Bir Spektruma ve Normalleştirici Sayılara Göre Sturm-Liouville Operatörler için Ters (Inverse) Problem

C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi

Fen Bilimleri Dergisi (2003)Cilt 24 Sayı 1

Bir Spektruma ve Normalleştirici Sayılara Göre Sturm-Liouville Operatörler için Ters (Inverse) Problem

R.Kh. AMİROV ve Y. ÇAKMAK

Cumhuriyet Üniversitesi Fen-Edebiyat Fak. Matematik Bölümü SİVAS

Received:02.05.2003, Accepted: 13.06.2003

Özet: Bu makalede, verilen

{ }

ve

{ }

dizileri için singüleriteye sahip diferansiyel operatörün kuruluşu verilmiştir. Bunun için

{ }

ve

{ }

dizileri bazı belli özelliklere sahip olmalıdır. Bu tip asimptotik formüller q fonksiyonunun regülerlik mertebesine bağlıdır. Bu

{ }

ve

{ }

dizilerine göre ters problemin çözümünden görülebilir.

0 ≥ n n λ n λ ) x 0 ≥ n n α 0 ≥ αn n n≥0 ( λ_{n n≥0} α_{n n≥0}

Anahtar Kelimeler: Ters problem, özdeğer, operatör

Inverse Problem For Sturm-Liouville Operators According to A Spectrum and Normalizing

Abstract: In this article, for given of

{ }

and

{ }

constructing a differential operator, which has a singularity, has explained. In order to accomplish this,

{ }

and

{ }

have to some certain asymptotic. This kind of asymptotic formulae depend on the regularity order of the function q . This connection can be seen in the solution of the inverse problem which depend on the sequences of

{ }

and

{ }

. 0 ≥ n n λ α_{n n≥0} 0 ≥ n n λ α_{n n≥0} ) (x n λ _n≥0 0 ≥ n n α

1. Giriş

M.G. Gasimov ve B.M. Levitan [1]’de, regüler Sturm-Liouville denkleminin bir spektrum ve normalleştirici sayıya göre kurmak için etkili metot verdiler. Fakat [1]’de verilen bu metot belli karakteristiklere sahiptir öyle ki,

{ }

ve

{ }

dizileri bilinen bir denklemin sırasıyla özdeğer ve normalleştirici sayılarıdır. Yukarıda verilen bu problem regüler denklemler için çözülmüştür. M.G. Gasimov [2]’de, bir spektrum ve normalleştirici sayılar göre aralığında ’de

0 ≥ n n λ

(

)

(

)

0 ≥ n n α

[

0,π

]

x=π 1₂ x − + π l l _{( l pozitif tamsayı)} singüleritesi olan denklem için ters problemin çözümünü verdi. aralığında

’de

[ ]

0,π 0 = x x A

( A reel) singüleritesi olan denklem M.G. Gasimov ve R.Kh. Amirov

tarafından [3]’de araştırılmıştır.

Bu makalede

[

0,π

]

aralığında ’de x=0 _p

x x A δ

+ ( A reel )

singüleritesine sahip olan denklemler için bir spektrum ve normalleştirici sayılara göre ters problemin çözümü verilir.

δ , p∈

(

1 ,5/4

)

2. F( tx ,) Fonksiyonunun Araştırılması 2 , ) ( λ λ ρ δ = =     _{+ +} + ′′ q x y y x x A y _p − (2.1) diferansiyel denklemi ve 0 ) ( ) ( , 0 ) 0 ( = y′π −Hy π = y (2.2)

sınır koşulları verilmiş olsun. Burada gerçel sayılar ve

) dir.

[ ]

A H W x q( ) 2 0 , , , ve 2 π δ ∈

(

1 ,5/4 ∈ p

)

=

)

ρ λ ϕ λ ϕ(0 , )=0, ′(0 , ) (2.3)

başlangıç şartlarını sağlayan (2.1) denkleminin çözümü ϕ olsun. ’ler (2.1), (2.2) sınır değer probleminin özdeğerleri, özfonksiyonları ve

olması durumunda ise (2.1), (2.2) sınır değer probleminin özdeğerleri ’ler ve özfonksiyonları ) , (x λ

(

0 , n≥ K , , ₁ 0 λ λ

(

x ,λ_n

)

ϕ 0 ) (x = q K , , 0 1 0 0 λ λ

( )

, 0 ,

(

0 0 x λn n≥

)

ϕ olsun.

(

0

)

, ) , ( 2 _≥ =

∫

x _n dx n n π λ ϕ α (2.4)

sayılarına (2.1), (2.2) sınır değer probleminin normalleştirici sayıları denir.

sayıları ise (2.1), (2.2) sınır değer probleminin durumuna karşılık gelen normalleştirici sayılarıdır.

(

0 , 0 _n≥ n α

)

q(x)=0

1985 yılında M.G. Gasimov ve R.Kh. Amirov yapmış oldukları bir çalışmada [3], singüler diferansiyel operatörler için de f(x),g(x)∈L₂[0 ,π] olmak üzere

∑

∫

∫

∫

∞₌       = 0 0 0 0 ) , ( ) ( ) , ( ) ( 1 ) ( ) ( n n n n dt t t g dx x x f dx x g x f π π π λ ϕ λ ϕ α

Parseval eşitliğinin doğru olduğunu göstermişlerdir.

Buradaki

{ }

ve dizilerine (2.1), (2.2) sınır değer probleminin spektral karakteristikleri denir.

0 ≥

n n

λ

{ }

α_{n n≥0}

ve dizilerinin yardımı ile fonksiyonu,

{ }

λn _n≥0

{ }

αn n≥0 F( tx ,)

∑

∞ =      − = 1 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 1 ) , ( ) , ( 1 ) , ( n n n n n n n t x t x t x F ϕ λ ϕ λ α λ ϕ λ ϕ α (2.5)

olarak oluşturulsun. Oluşturulan bu fonksiyon yardımı ile, bilinmeyen bir fonksiyon olmak üzere

) , ( tx K 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 = + +K x t

∫

K xξt F ξ t dξ t x F x (2.6)

Volterra tipi integral denklemi kurulabilir. Bu integral denkleminin çözümünün varlığı ilk kez 1985 yılında M.G. Gasimov ve R.Kh. Amirov tarafından [3] potansiyeli

      + )q(x x A

olan diferansiyel operatör için gösterilmiştir. Bu çalışmada ise bu integral

denklemin çözümünün varlığı ve tekliği 

     _{+ +q(x)} x x A p δ ) , ( tx F ) , ( 0 x λn 0

potansiyeline sahip bir

operatör için araştırılacaktır. Bunu yapmak için fonksiyonunun özelliklerinin

bilinmesi gerekmektedir. Bunun için de ϕ ve ϕ fonksiyonlarının

asimptotik formüllerinden yararlanılacaktır. Bu asimptotik formüller ve ’nin yeterince büyük değerleri için geçerlidir.

) , ( 0 n x λ 0 > x n

Birinci bölümde verilen operatörün özdeğerleri ϕ özfonksiyonları ve normalleştirici sayıların asimptotik ifadelerinden yararlanarak q durumuna

n

ρ (x ,ρ_n)

n

karşılık gelen operatörün özdeğerleri, ϕ özfonksiyonları, α normalleştirici sayıları için, 0 n ρ ( , 0) 0 x ρn n0 p p − − 4 2 4 ) ) 2 / ) p n c − + + 2 ( 1 ) n n n c n + + + + + 2 14 2 0 10 ) 2 / 1 ( 1 ( ln ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ) 2 / 1    p n 4 3 ( ln + + n n 2 0 17 2 / 1 ( 1 ( ln ) (x q 3 ) 2 ) 2 / , 1 ) 2 / 1 ( ) ( ( ln( ) ( 3 6 3 0 6 2    + − p n n x g n n x g ( ( ) ( + n g x ) 2 / / 1 ) 2 + , ) 2 / 1 x n+ 2 / 1 cos(n+ 2 / 1 cos(n+ 2 / 1 cos(n+ ) 2 / x / 1 + / 1 + / 1 + A + x x 3( ) ξ ξ0₍x₎ + + ) x δ + p p p p p p n n n c c c n n c c n n n n c n c c n n A n c n − − − − − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 0 33 4 2 5 0 32 2 5 12 3 6 31 3 8 3 4 7 0 2 1 0 2 / 1 ( 1 ln( ) 2 / ) 2 / 1 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ln( 2 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( π ρ (2.7)    + + + + + + + + + − + + − − p n O n c n n c c n A n c 8 3 0 19 0 35 3 3 3 4 0 34 1 ) 2 / 1 ( / 1 ( 1 ln( ) ) 2 / ) 2 / 1 ) 2 / 1 ( 24 ) 2 / 1 ( π

buradaki c sabitleri, bilinen c sabitlerindeki 0 durumudur.

i i =0 ) 2 / 1 ) ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) ( 1 ( ) 2 ( ln ) ( ) 2 / 1 ) 2 / 1 ln( ( ) 2 / 1 ( ) ( / 1 ( ) ( ) 2 / 1 ) 2 / 1 ) 2 / 1 ) ( ) 2 / 1 sin( ) , ( 2 9 2 0 8 2 2 7 3 5 2 4 4 0 3 2 1 0 0    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = − − − − p p p p n O x n n x g n n x g n n g n x g n x g n x g x n x λ ϕ (2.8) burada, cos( ) ( 1 sin( 4 : ) ( 0 1 0 3 n A x A x g = + + π , ) ) ( ) 2 sin( ) ( : ) ( 0 7 0 5 0 6 x A x n x A x x g = + , ) ) ( ) 2 sin( ) ( : ) ( 0 ₁₀ 8 0 8 x A x n x A x x g = + , ) ) ( ) 2 sin( ) ( : ) ( 0 11 0 9 0 9 x A x n x A x x g = + ve 2 ln ) ( : ) ( 0 1 0 2 0 1 x x x c x A = −ξ , x c c x Ac x c x c c x A _p 0 2 1 1 1 2 0 2 1 0 5 2 ln : ) ( =− + + δ , ( 2 4 : ) ( 0 1 4 20 ₁ 8 0 7 x c M x c A x c x A = + π +ξ ,

π ξ π π 2 ) ( 2 4 ln 2 : ) ( 0 1 0 2 2 2 0 2 0 8 x x A x Ac x x A x Ac x A =− + + + ,

( )

_{( ) ( )} 2 ln 2 : ) ( 0 5 0 2 0 1 0 2 2 2 0 2 0 9 x c x x x x Ac x c x A =− + +ξ +ξ , 8 ln ) ( 4 : ) ( 2 6 0 10 0 2 0 11 x A x x c x c A x A =− π + +ξ − π , . 1 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ln ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( 1 4 ) 2 / 1 ( 1 2 2 3 6 2 0 5 2 0 4 2 2 3 3 0 2 3 2 4 1 2 2 1 0       + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = − − − − − p p p p p p n n O n b n n b n n b n b n n c A n b n A n M π δ π π δ π α (2.9) Burada,

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

 _      + − − − − − + − − −    + + − − − + + + − − − − =

∫

− − − dx x A x p p p AM c A c c M A p p c M Ac c c Ac c c c b p p p p p p π _δ π δπ π π π π π π δ π δ π δ π π ξ π δ π π π δ 0 1 3 2 2 3 0 2 2 3 0 2 2 1 3 1 2 1 3 2 0 2 2 1 3 0 2 1 0 2 2 ln 1 2 2 3 1 2 2 4 8 ln 2 1 3 8 3 1 2 2 8 ln 2 1 3 2 :

(

)

(

)

(

₋

)(

₋

)

− _

(

₋

)

+ _ _ − + − − −    + + − − + − =

∫

∫

− − dx x A x p p p AM c A c A dx x A Ac A b p p π π δ π δπ π π π π π π δ ξ π π π 0 1 3 2 2 3 0 2 2 3 0 2 0 5 2 2 0 2 0 4 2 ln 1 2 2 3 1 4 4 8 16 ln 2 1 6 ) ( 16 ln 2 1 3 4 :

( )

(

)

(

p

)(

p

)

A x dx c x x A x dx c M Ac Ac c AM A c b p 2 0 1 0 2 0 5 3 2 3 0 2 2 0 2 2 0 2 3 2 0 2 2 1 0 2 0 5 2 ln ) ( 2 1 ) ( 32 3 1 2 8 ln 2 1 6 2 4 ln 2 ) ( :

∫

∫

      _{− +} + − + + − − − + − − − − + − = − π π ξ ξ π π δ π π π π π π ξ π şeklinde sabitlerdir.

      + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = − − − − − p p p p p n n O n x g n n x g n n x g n x g n n x g n x g n x g n n x g n x g x n x 3 6 2 9 2 8 2 2 7 3 6 3 5 2 4 4 3 2 2 1 0 1 ) 2 / 1 ( ) ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ln ) ( ) 2 / 1 ( ) ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) ( ) 2 / 1 ( ) ( ) 2 / 1 ( ) ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) ( ) 2 / 1 ( ) ( ) 2 / 1 sin( ) , ( λ ϕ (2.10)

şeklinde elde edilir. Burada,

, ) 2 / 1 cos( ) ( ) 2 / 1 sin( 2 : ) ( 4 1 x n x c x n M x g _{= + +} p _{−π +} π δ δ , ) 2 / 1 cos( ) ( 2 : ) ( 2 x n x A x g = −π + π , ) 2 / 1 cos( ) ( ) 2 / 1 sin( 4 : ) ( ₁ 3 n x A x n x A x g = π + + + , ) 2 / 1 cos( ) ( ) 2 / 1 sin( ) ( : ) ( _{2 3} 4 x A x n x A x n x g = + + + , ) 2 / 1 cos( ) ( ) 2 / 1 sin( ) ( : ) ( _{4 6} 5 x A x n x A x n x g = + + + , ) 2 / 1 cos( ) ( ) 2 / 1 sin( ) ( : ) ( _{5 7} 6 x A x n x A x n x g = + + + , ) 2 / 1 sin( ) ( 8 : ) ( ₂ 2 7 x x n x A x g =− −π + π , ) 2 / 1 cos( ) ( ) 2 / 1 sin( ) ( : ) ( _{8 10} 8 x A x n x A x n x g = + + + , ) 2 / 1 cos( ) ( ) 2 / 1 sin( ) ( : ) ( _{9 11} 9 x A x n x A x n x g = + + + ve 2 ln ) ( : ) ( 0 1 2 1 x A x x c x A = −ξ + , 4 ) ( : ) ( 2 4 1 2 1 2 M x c c x c x A =− +δ _p +δ 2 ) ( : ) ( 4 1 2 7 3 x c M x x c x A = −ξ +δ , π δ π 2 2 2 : ) ( 1 2 1 4 x c A x Ac x Ac x A _{=− + +} p x c c x x x Ac x c x x c c x A 1 _{3 p 2} 1 0 1 2 2 1 5 ( ) 2 ln ) ( : ) ( =− +ξ + +ξ +δ , π δ 2 : ) ( 4 4 6 Ax M x c x A = + , 2 4 ) ( : ) ( 1 4 1 4 8 7 x c M x c A x x c x A = −ξ + π +δ , π ξ π π 2 ) ( 2 4 ln 2 : ) ( 0 1 2 2 2 2 8 Ax x x Ac x x A x Ac x A =− − + + ,

) ( 2 ln ) ( 2 : ) ( 0 5 2 2 0 1 2 2 2 9 x x x Ac x c x x c x A =− +ξ + +ξ , 8 ) ( : ) ( 2 10 π − = A x x A , 8 ln ) ( 4 : ) ( 2 6 2 10 11 x A x x c A x c x A = + π +ξ − π

şeklindedir. Diğer taraftan,

      + + + + + + + + + + + + + − + + + − + − = − − − − − p p p p p p n n O n d n n d n n d n d n n c A n d n A n M 3 6 2 5 2 4 2 2 3 3 2 3 2 4 1 2 4 1 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ln ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( 4 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( 1 2 2 1 π δ π δ π α (2.11) ve       + + + + + + + + + + + + + − + + + − + − = − − − − − p p p p p p n n O n d n n d n n d n d n n c A n d n A n M 3 6 2 0 5 2 0 4 2 2 3 3 0 2 3 2 4 1 2 4 0 1 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ln ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( 4 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( 1 2 2 1 π δ π δ π α (2.12)

şeklinde elde edilir, burada

, 4 2 : ₂1 2 4 2 1 _{π π} δ M b d = − : 2 4 ₂2 , 4 2 δ _π b A M d = − : 4₂3, 3 _π b d =− ₂4 4 4 : π b d =− , 4 2 : 2 ₂5 5 _π π b A d = − : 2 4 ₂ , 0 2 4 0 2 δ _π b A M d = − : 4 ₂ , 0 4 0 4 _π b d =− 0 2 ₂50 5 4 2 : π π b A d = −

Eğer fonksiyonunun (2.5) ifadesinde (2.8), (2.10), (2.11) ve (2.12) eşitlikleri yerlerine yazılırsa,

) , ( tx F

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∞ = ∞ = − ∞ = − ∞ = − ∞ = − ∞ = ∞ = + + + + + + − + + + + + + + − + + + + + + + − + + + + + = 1 2 7 1 3 6 1 3 5 1 3 4 1 3 3 1 2 1 1 ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( cos ) 2 / 1 ln( ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( sin ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( sin ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( cos ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( cos ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( sin ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( sin ) , ( ) , ( n n p n p n p n p n n n x t n n t x F n x t n t x F n x t n t x F n x t n t x F n x t n t x F n x t n t x F n x t n t x F t x F

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

      + + − + + + + + + + − + + + + + + + − + + + − ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ =

∑

∑

∑

∑

∑

p n n n n n n O n x t n t x F n x t n t x F n x t n t x F n x t n t x F n x t n n t x F 2 5 1 2 12 1 2 11 1 2 10 1 2 9 1 2 8 1 ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( sin ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( sin ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( cos ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( cos ) , ( ) 2 / 1 ( ) )( 2 / 1 ( cos ) 2 / 1 ln( ) , (

elde edilir, burada,

∫

+ = π π2 ₀ 1 ( ) 2 ) ( : ) , (x t x t q t dt F , = −

∫

π π2 ₀ 2 ( ) 2 ) ( : ) , (x t t x q t dt F , 4 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( : ) , ( 0 2 2 0 2 2 2 1 3 3 d d dt t q t x c t x c x t t x c t x F p p _ − −       + − + − − + − =

∫

π π δ π π π δ , 4 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( : ) , ( 0 2 2 0 2 2 2 1 3 4 d d dt t q t x c t x c x t t x c t x F p p ₊ −         + − + + − + − = π

_∫

π δ π π π δ ,

∫

      ₋ + = π π δ π 2 ₀ 4 2 5 ( ) 4 ) ( 2 : ) , (x t t M x t q t dt F ,

∫

      ₊ − = π π δ π 2 ₀ 4 2 6 ( ) 4 ) ( 2 : ) , (x t t M x t q t dt F , 2 ) ( 2 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( : ) , ( 0 4 4 0 3 3 7 d d dt t q t At x Ax x At t Ax t x F  − −      − + − ₋ − + − =

∫

π π π π π π π , 2 ) ( 2 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( : ) , ( 0 4 4 0 3 3 8 d d dt t q t At x Ax x At t Ax t x F  + −      − + − ₊ − + − =

_∫

π π π π π π π , 4 ) ( ln 4 ) ( ) ( ) 1 ( 4 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 4 4 2 ln 2 : ) , ( 0 5 5 0 2 1 1 1 2 2 5 2 2 3 5 9 d d dt t q x t t x A xt t x p t x t x AM t x p H A AM t x F p p p p − −    − +       + − + +    + − +       − − − + =

∫

− − − + π π π δ π π δ π π ,    − + −       − + − + − = ₊ 2 5 ₂ 2 3 5 10 ) ( ) ( ) 1 ( 4 4 2 ln 2 : ) , ( π π δ π π AM x t t x p H A AM t x F _p 4 ) ( ln 4 ) ( ) ( ) 1 ( 4 ) ( 0 5 5 0 2 1 1 1 2 d d dt t q x t t x A xt t x p t x p p p ₋ +    + +       − − − + − ₋−

∫

π π π δ ,

∫

+ − = π π ₀ 11 ( ) 8 ) ( : ) , (x t A x t q t dt F , = −

∫

π π ₀ 12 ₈ ( ) ) ( : ) , (x t A x t q t dt F , elde edilir. π π 2 0 , 2 sin 1 < < − =

∑

∞ = x x n nx n , π π π 2 0 , 12 2 6 3 cos 1 2 2 2 < < + − =

∑

∞ = x x x n nx n , π 2 0 , 2 cot 2 1 2 sin 2 ln sin 1 2 ≤ ≤ −       =

_∫

∑

∞ = x dx x x x x n nx n ve 0< x<1

olduğundan dolayı ) fonksiyonu ve için ve t

değişkenlerine göre sürekli türevlenebilirdir. ,

( tx

3. K( tx, ) Fonksiyonuna göre İntegral Denkleminin Çözümünün Varlığı

Bu bölümde (2.6) integral denkleminin çözümünün varlığı ve tekliği ispatlanacaktır. Bunun için

0 ) ( ) , ( ) ( 0 = +

_∫

xF s t g s ds t g (3.1)

homojen integral denkleminin için bir tek çözümü var olduğu

gösterilmelidir. (3.1) denkleminin bir çözümü olduğu kabul edilirse, bu durumda (3.1) denkleminin her iki tarafı ) fonksiyonu ile çarpılıp

[

aralığında t değişkenine göre integrallenirse,

π ≤ x (t g 0 ) ( =t g 0 )≠ (t g 0,x

]

0 ) ( ) , ( ) ( 0 0 0 2 _{+ =}

∫∫

∫

xg t dt x xF s t g s dsdt

elde edilir. Bu son eşitlikte fonksiyonu yerine yazılırsa, F( tx, )

(

,

)

0 ) ( 1 2 0 0 0 =      

∫

∑

∞ = x n n n dt t t g ϕ λ α

bulunur. Burada her için α pozitif olduğundan n _n

(

,

)

0 ) ( 0 0 =

∫

xg t ϕ t λn dt (3.2) olur.

Eğer ϕ fonksiyonlar sisteminin uzayında tam olduğu

gösterilebilirse çelişkisi elde edilir. Bunu göstermek için uzayından

alınan keyfi bir fonksiyonun

∫

eşitliğini sağlaması için gerekli ve yeterli koşulun olduğunun gösterilmesidir. M.G. Gasimov ve R.Kh. Amirov yapmış oldukları [3] çalışmasında,

(

t,λn 0 0 ) ( =t g ) (t f ) (t f

)

]

]

[

0,π 2 L 0 =

[

0,π 2 L

(

,

)

) ( 0 0 x n dt t t f ϕ λ 0 =

(

t

)

t K t s sds n n t n n n _λ λ λ λ λ ϕ , sin ( , )sin 0 0 0 = +

∫

0 sin ) ( ) , ( ) ( sin ) , ( ) ( sin ) ( sin ) , ( sin ) ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =       + = + =       + =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

π π π π π λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ϕ dt t ds s f s t K t f dt ds s s t K t f dt t t f dt ds s s t K t t f t n n t t n n n n t n n n n n elde edilir.       n nt λ λ sin

∫

≤ ≤ t t K 0 2 0 0 ( sup π

fonksiyonlar sistemi uzayında lineer bağımsız ve tam

olduğundan ve olmak üzere

[

0,π 2 L

[ ]

0,π 2 L

]

}

]

∞ < ds s t ), f(t)∈ 0 ) ( ) , ( ) ( +

∫

₀ = π t ds s f s t K t f

bulunur. Bu son denklem fonksiyonu için Volterra tipinden integral denklemi olduğundan, Volterra tipindeki integral denklemler teorisinden yararlanılarak elde edilir ki, bu da

{

fonksiyonlar sisteminin uzayında tam olduğunu verir. (3.2) eşitliğinden olduğu bulunur. Bu ise ispatı bitirir.

) (t f

)

n 0 ) = 0 ) ( =t f

(

t λ ϕ ,₀ (t g

[

0,π 2 L

(2.6) integral denkleminden görüldüğü gibi fonksiyonunun t

değişkenine göre türevlenebilirlik mertebesi, fonksiyonunun türevlenebilirlik mertebesi ile aynıdır. fonksiyonunun değişkenine göre araştırılması B.M. Levitan ve M.G. Gasimov [1] tarafından yapılan benzeri sonuca uygun olarak aşağıdaki Lemma ile ifade edilir.

) , ( tx K ) , ( tx F x ) , ( tx K

Lemma 3.1: ve fonksiyonları değişkenine ve a parametresine göre

sürekli olmak üzere,

) g( at, ) , , (t s a H t

∫

+ =h(t,a) t H t s a h s a ds g(t,a) 0 ) , ( ) , , (

integral denklemi verilmiş olsun. Burada verilen integral denklemin çekirdeği, ise serbest terimdir. Eğer, verilen integral denkleme karşılık gelen homojen integral denklemin için bir tek trivial çözümü var ise verilen integral denklemin ’ın herhangi yakın komşuluğunda çözümü t ve ’ya göre

) , , (t s a H (t h ) , ( at g 0 a a= 0 a a= ) , a a

mertebeden türevlere sahip ise fonksiyonu da parametresine göre mertebeden türevlere sahiptir.

) , ( at h , (x F a m. ) , t

Lemma’nın sonucu olarak; fonksiyonu ve t değişkenlerine göre

sürekli olduğu zaman fonksiyonu da ve t değişkenlerine göre süreklidir. Ayrıca fonksiyonunun değişkenine göre türevlenebilirlik mertebesi,

fonksiyonunun değişkenine göre türevlenebilirlik mertebesi ile aynıdır. ) t x ) , ( tx K x ) , ( tx K x F(x x

4. Diferansiyel Denklemin ve Sınır Koşullarının Belirlenmesi

Bu bölümde F fonksiyonunun özelliklerinden yararlanarak

{

}

fonksiyonlar dizisinin sağladığı diferansiyel denklem ve sınır koşulları belirlenecektir. fonksiyonu ve t değişkenlerine göre ikinci mertebeden sürekli türevlere

sahip olsun. Bu durumda Lemma (3.1)’e göre fonksiyonu da ve t

değişkenlerine göre ikinci mertebeden sürekli türevlere sahiptir. ) , ( tx x

(

x,λ_n

)

_n≥0 ϕ x ) , ( tx F ) , ( tx K

Lemma 4.1: (2.5) formülüyle verilen F( tx, ) fonksiyonu,

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( F x t t t A t x F t x F x x A t x F_xx + +_{ p} =− _tt +_ + _p − δ δ (4.1)

diferansiyel denklemini sağlar.

Lemma’nın ispatı M.G. Gasimov ve R.Kh. Amirov [3] tarafından verilen Lemma’nın ispatına benzer olarak yapılır.

Teorem 4.2: (2.6) integral denkleminin çözümü olan K( tx, ) fonksiyonu,

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( K x t t t A t x K t x K dx x x dK t x K x x A t x K_xx +_ + _p − =− _tt +_ + _p − δ δ (4.2)

diferansiyel denklemini sağlar.

İspat: 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 = + +

∫

K x F t d K x t t x F x ξ ξ ξ (4.3)

denklemi değişkenine göre iki kez diferansiyellenirse, x

0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 = + + + + +

∫

= x xx x t x x xx xx d t F x K t x F t x K t x F x x K t x F dx x x dK t x K t x F ξ ξ ξ (4.4)

eşitliği ve yine (4.3) denklemi bu kez t değişkenine göre iki kez diferansiyellenirse,

0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 = + + _tt

∫

x _tt tt x t K x t K x F t d F ξ ξ ξ

elde edilir. Bu eşitlikte (4.1) denklemi göz önünde bulundurulursa,

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0       − − + + +

∫

∫

x x p p tt tt K x F t d A t t A t x K t x F ξ ξ ξ ξ δ ξ δ

bulunur. Bu son eşitlikte kısmi integrasyon kullanılarak 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 0 = + − +       − − + + +

∫

∫

= x x x p p tt tt d t F x K t F x K t F x K d t F x K A t t A t x K t x F ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ δ ξ δ ξξ ξ ξ ξ (4.5)

elde edilir. fonksiyonunun ikinci mertebeden türevleri sınırlı olduğundan (4.5) eşitliğinde t iken limit alınırsa,

) , ( tx F 0 → 0 ) 0 , (x = F (4.6)

olur. Bu ise (4.3) ve (4.6) eşitliklerinden olduğunu verir. Böylece, K(x,0)=0

0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 = + − +       − − + + +

∫

∫

= x x x p p tt tt d t F x K t F x K t F x K d t F x K A t t A t x K t x F ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ δ ξ δ ξξ ξ ξ ξ (4.7)

şeklinde yazılabilir. (4.3) eşitliğini _ + − − − _

dx x x dK x x A t t A p p ) , ( 2 δ δ ifadesiyle çarpmakla

elde edilen yeni eşitliğe (4.4) eşitliği eklenir, elde edilen son ifadeden (4.5) eşitliği çıkarılır ve (4.1) eşitliği göz önünde bulundurulursa,

0 ) , ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 =    −       ₊ − −        + − + −     + + −     + −

∫

ξ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ ξ δ ξ δ δ ξξ K x F t d dx x x dK x K A x K x K x x A x K t x K dx x x dK t x K t t A t x K t x K x x A t x K p x p xx p tt p xx (4.8)

elde edilir. (4.8) eşitliği homojen Volterra tipinde bir integral denklemi olduğu için

0 ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( = −     + + −     + − t x K dx x x dK t x K t t A t x K t x K x x A t x K_xx δ_{p tt} δ_p veya ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( K x t t t A t x K t x K dx x x dK x x A t x K_{xx p tt p}     + − =     _{+ +} − δ δ

(

x

)

(

x

)

K x t

(

t

)

dt x n n n = +

∫

0 0 0 , ( , ) , ,λ ϕ λ ϕ λ ϕ (4.9)

şeklinde fonksiyonlar sistemi oluşturulsun. Burada

{

}

fonksiyonlar sistemi, durumunda (2.1) denkleminin (2.3) koşullarını sağlayan çözümüdür.

(

)

{

ϕ x,λ_{n n≥0} q

}

)

(

x,λ_n

)

_n≥0 ϕ 0 ) (x =

Teorem 4.3: (4.9) eşitliği ile verilen ϕ fonksiyonu (2.1) diferansiyel denklemin çözümüdür ve

(

x,λn dx x x dK x q( )=2 ( , ). İspat:

(

,

)

2 ₀

(

,

)

0 0 =       _{+ −} − ″ n n p n x x x A x λ δ λ ϕ λ ϕ (4.10)

olduğundan, (4.9)eşitliğindeki ’ nın ifadesi (2.1) diferansiyel denkleminin sol tarafında yerine yazılırsa,

(

x λn ϕ ,

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

₍

₎

₍

₎

∫

∫

∫

∫

+ + + + −     + − − = = +       _{+ +} − ″ = x n xx x t n x n x n n x n x n p n n n n p n dt t t x K x t x K dx x d x x K dt t t x K dt t t x K dx x x dK dt t t x K x x A x dx x x dK x x dx x x dK x x A x 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( ) , ( 2 , ) , ( , ) , ( , , ) , ( 2 , λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ λ ϕ λ ϕ δ λ ϕ λ ϕ λ λ ϕ δ λ ϕ

elde edilir. (4.2) eşitliği kullanılarak son eşitlikteki , ile ifade edilirse, K_xx( tx, ) K_tt( tx, )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

₍

₎

(

)

_∫

(

)

∫

∫

    + − + + + + − = = +     _{+ +} − ″ = x n p x n tt x t n x n x n n n n n n p n dt t t x K t t A dt t t x K x t x K dx x d x x K dt t t x K x dx x x dK x x dx x x dK x x A x 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , , ) , ( 2 , λ ϕ δ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ λ ϕ λ ϕ λ λ ϕ δ λ ϕ (4.11) bulunur. Ayrıca,

(

)

(

)

(

)

(

)

∫

∫

+ − = ₌ x n n x t n t x n tt dt dx t d t x K dx x d x x K t t x K dt t t x K 0 2 0 2 0 0 0 0 , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ

olduğundan, bu ifade (4.11) eşitliğinde yerine yazılır ve (4.10) eşitliği kullanılırsa fonksiyonu için

(

x λn ϕ ,

)

(

n

)

p

(

x n

)

n

(

x n

)

dx x x dK x x A x λ δ ϕ λ λ ϕ λ ϕ , 2 ( , ) , ₌ 2 ,     _{+ +} + ″ −

diferansiyel denklemi elde edilir.

M.G. Gasimov ve R.Kh. Amirov [3] tarafından yapılan çalışmanın sonuçları kullanılarak, (4.9) denklemi ile verilen

{

fonksiyonlar sisteminin

uzayında bir tam sistem oluşturduğu açıktır.

(

x,λ_n

)

_n≥0 ϕ

}

)

] , 0 [ 2 π L π =

x noktasında ϕ

(

x,λ_n fonksiyon unun sağladığı sınır koşullarını belirtmek için,

(

,

)

( )

(

,

)

=0     _{− − −} − ″ n p n n x x x A x q x λ λ δ ϕ λ ϕ ve

(

,

)

−_ − ( )− − _

(

,

)

=0 ″ m p m m x x x A x q x λ λ δ ϕ λ ϕ

denklemlerinin birincisi ϕ fonksiyonu, ikincisi ϕ fonksiyonu ile çarpılır ve taraf tarafa çıkarılırsa,

(

x,λm

)

)

)

]

(

x,λn

(

) (

)

(

) (

)

[

ϕ′ x,λn ϕ x,λm −ϕ′ x,λm ϕ x,λn

]

′ =

(

λm−λn

) (

ϕ x,λn

) (

ϕ x,λm

eşitliği elde edilir. Bu son eşitlik aralığında integrallenir ve

{

}

fonksiyonlar sisteminin uzayındaki ortogonalliği kullanılırsa,

[

0,π ϕ

(

x,λ_n

)

_n≥0 ] , 0 [ 2 π L ϕ′

(

x,λ_n

) (

ϕ x,λ_m

)

−ϕ′

(

x,λ_m

) (

ϕ x,λ_n

)

=0 veya

(

)

(

)

(

(

,

)

)

, ( , 0,1, ) , , , K = ′ = ′ m n x x x x m m n n λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ

eşitliği bulunur. Buradan, sabit bir

₍

(

₎

)

n n x x λ ϕ λ ϕ , , ′ sayısı veya ϕ′

(

x,λ_n

)

−Hϕ

(

x,λ_n

)

=0

sınır koşulu elde edilir.

Böylece, aşağıdaki teorem ispatlanmış olur.

Teorem 4.4: ve olmak üzere

{ }

ve

{ }

dizilerinin (2.1)-(2.2) tipindeki bir problemin spektral karakteristikleri olması için , her için α ve , sayıları bilinen sabitler olmak üzere,

[

0,π ) ( 2 2 W x q ∈ n _n

]

p∈

(

1 ,5/4

)

i c b_i 0 ≥ n n λ α_{n n≥0} , n k ≠ ρ ≠_k ρ_n >0       + + + + + + + + + + + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = − − − − − − − − − − − p p p p p p p p p p p n n O n c n n c n n c n n A n c n n c n n c n c n n c n c n c n c n n c n c n c n n A n c n 4 8 3 19 3 35 3 2 17 3 3 3 4 34 4 33 4 2 14 2 5 32 2 5 12 3 6 31 2 10 3 8 3 4 2 4 7 2 2 1 1 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ln ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ln 24 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ln ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( 2 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( π π ρ ve . 1 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ln ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ln( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( 1 4 ) 2 / 1 ( 1 2 2 3 6 2 5 2 4 2 2 3 3 2 3 2 4 1 2 2 1       + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = − − − − − p p p p p p n n O n b n n b n n b n b n n c A n b n A n M π δ π π δ π α

asimptotik formüllerinin sağlanması yeterlidir.

Kaynaklar

[1] M.G. Gasimov and B.M. Levitan, About Sturm-Liouville differential operators, Math. Sborn., 63, (105), No.3, 1964.

[2] M.G. Gasimov, About an inverse problem for Sturm-Liouville equation, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, vol.154, No.2, 1964.

[3] M.G. Gasimov and R.Kh. Amirov, Direct and inverse spectral problems for second order differential operators which has Coulomb singularity, Dokl. Akad. Nauk.Az., SSR, vol.41, No.8, 1-5, 1985.