Test 20 Mutlak Değer II

www

.krakademi.com

1.

İki ifadenin mutlak değerleri eşit ise ya ifadeler birbiri-ne eşittir ya da biri diğerinin ters işaretlisibirbiri-ne eşittir.

ax b+ =cx d+ ax b+ = -cx d

-5 4

|ax b+ | |= cx d+ |

olur.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

x= -4 x=2 5 4 x-5=2x-1 x-5= -2x+1 |x | | x | x x x x x x 5 2 1 2 1 5 2 1 5 4 3 6 - = -- = - + + = + - = = olur.

O hâlde, x değerleri çarpımı –4·2 = –8 bulunur. Cevap: B

2.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

| | | | | | | | | ( ) | | ( ) ( ) | | | | | | | | | ü . x x x x x x x x x x x t r 9 3 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 _$ $ $ - = -+ - = + - + = + - = + - =

|x – 3| = 3 eşitliği çözülürken sonuç pozitif olduğun-dan sonucun bir (+) lısı bir (–) lisi alınırsa

x=6 x=0 5 4 x-3=3 x-3= -3 |x | x x 3 3 3 3 3 3 - = = + = - + olur.

Ayrıca sadeleştirilen |x + 3| ifadesinden gelecek kök, yani mutlak değer içini sıfır yapan –3 değeri de çözüm kümesine alınmalıdır.

O hâlde, x değerleri toplamı ( ) . bulunur 6 0 3 6 0 3 3 + + - = + -= Cevap: A

www

.krakademi.com

Burada dikkat edilecek nokta eşitliğin her iki tarafında x li ifadelerin olduğu durumda, bulunan x değerlerinin yerine yazılıp doğruluğunun kontrol edilmesidir. Buna göre, bulunan x değerleri yerlerine yazılıp doğ-rulukları kontrol edilirse,

x = –3 için | ( ) | | | | | 2 3 3 3 6 6 3 9 9 9 9 9 $ - - = -- -- = -- = =

-olur ve bu eşitsizlik doğru değildir. Bu nedenle –3 sayısı çözüm kümesinde yer almaz.

x = 3 için | | | | | | 2 3 3 3 6 6 3 3 3 3 3 3 $ - = -- = = =

-olur ve bu eşitlik doğru olmadığından 3 sayısı çözüm kümesinde yer almaz.

O hâlde, denklemi sağlayan herhangi bir x değeri olmadığından denklemin çözüm kümesi

Ç.K = Q olur.

Cevap: D

c pozitif bir sayı olmak üzere |ax + b| < c eşitsizliği

–c < ax + b < c eşitsizliği çözülerek bulunur. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

|x + 3| < 6 eşitsizliği çözülürken –6 < x + 3 < 6 eşitsizliği çözülür. O hâlde, . x x x elde edilir 6 3 6 6 3 6 3 9 3 < < < < < < - + - -

-Eşitsizliği sağlayan x değerleri –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2 olur. x değerleri toplamı ise

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bulunur. 8 7 6 5 4 3 2 2 1 0 1 33 - + - + - + - + - + - + -+ - + + + = -Cevap: C

5.

eşitsizliğinde içler dışlar çarpımı yapılır ve eşitsizlik düzenlenir. | | | | fl € çö ü ü . x x e itsizli i z l rse x x x olur 4 2 8 2 32 32 2 32 32 2 32 2 30 34 < < < < < < < < -- -- + +

-Bu durumda x in alabileceği en küçük değer –29, en büyük değer 33 tür.

O hâlde x in en küçük ve en büyük değerleri toplamı –29 + 33 = 4 bulunur.

www

.krakademi.com

6.

çıkar. Yani ( ) | | . x x olur 2 1 9 2 1 3 2_# # + + |2x+1|#3 eşitsizliği çözülürken -3#2x+1#3 eşitsizliği çözülür. O hâlde, . x x x x elde edilir 3 2 1 3 3 1 2 3 1 4 2 2 2 1 # # # # # # # # - + - -

-Eşitsizliği sağlayan x değerleri –2, –1, 0, 1 olur. x değerleri toplamı ise

–2 + (–1) + 0 + 1 = –2 bulunur.

Cevap: E

7.

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değer içindeki ifade sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. İşaret değişti-rerek çıkıyorsa mutlak değer içindeki ifade sıfıra eşit veya sıfırdan küçüktür. Yani

| | | | . x x x x x x d r 0 0 › & & $ # = =

-Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; |x – 5| = 5 – x eşitliğinde mutlak değer içindeki ifade mutlak değer dışına işaret değiştirerek çıktığından mutlak değer içindeki ifade sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olmalıdır. O hâlde, | | . x x ise x x olur 5 5 5 0 5 # # - =

-x doğal sayı olduğuna göre alabileceği en küçük değer 0 dır. x 5# olduğundan alabileceği en büyük değer 5 olur. Bu durumda x in alabileceği değerler 0, 1, 2, 3, 4, 5 tir.

x değerleri toplamı ise

. bulunur 0 1 2 5 2 5 6 15 $ g + + + + = = Cevap: B

8.

c pozitif bir sayı olmak üzere |ax + b| > c eşitsizliği

ax + b > c ve ax + b < –c eşitsizlikleri çözülerek bulunur.

Çözüm kümesi ise (–∞, sayı) £ (sayı, ∞) dur. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

x>11 x< -1 5 4 x-5>6 x-5<-6 |x 5- |>6 olur. x > 11 ise x değerleri 12, 13, 14... x < –1 ise x değerleri –2, –3, –4... dır.

Bu tam sayıların toplamı bulunurken dikkat edilmesi gereken toplamda birbirini götüren sayılar olmasıdır. Yani

x > 11 ise 12, 13, 14, 15, ...

x < –1 ise –2, –3, –4, –5, –6, –7, –8, –9, –10, –11, –12, –13, ...

Görüldüğü üzere 12, 13, 14... ve –12, –13, –14... sayıları birbirini götürür ve geriye –2, –3, –4, –5, –6, –7, –8, –9, –10, –11 kalır ve toplam da –65 bulunur.

www

.krakademi.com

c < |ax + b| < d eşitsizliği

c < ax + b < d ve –d < ax + b < –c eşitsizlikleri çözülerek bulunur.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; 4 < |x + 1| # 8 eşitsizliği çözülürken ifade önce aynen yazılır sonra sınır değerlerinin yeri ve işareti değiş-tirilir. O hâlde, x x 3< #7 -9# <-5 x x 4< +1#8 -8# +1<-4 4 x x 4 1- < #8 1- - -8 1# <- -4 1 5 |x | 4< +1 #8 olur. Bu durumda 3 < x # 7 ise x = 4, 5, 6, 7 –9 # x < –5 ise x = –9, –8, –7, –6 olur. Buna göre, x in alabileceği değerler toplamı

( ) ( ) ( ) ( ) . bulunur 4 5 6 7+ + + + -9 + -8 + -7 + -6 = -8

Cevap: A

pay ve payda ters işaretli olmalıdır. | | x x 3 9 2 0 #

ifadesinde pay kısmı mutlak değer içinde olduğundan kesinlikle pozitiftir. Bu durumda sonucun negatif (<0) olması için paydadaki ifade pay kısmın-daki ifadenin ters işaretlisi yani negatif olmalıdır. O hâlde, payda negatif olacağından

. x x x olur 3 9 0 3 9 3 # # #

-x doğal sayı olduğundan alabileceği değerler 0, 1, 2, 3 olur. Ancak 3 sayısı paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesine alınmaz.

Bu durumda x değerleri toplamı 0 + 1 + 2 = 3 bulunur.

www

.krakademi.com

11.

Mutlak değerli ifadelerin toplamı sıfıra eşitse mutlak değerlerin içindeki ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşitlenir. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

|a 5| |a b 7| 0 0 0 - + + - = 1444 4442 3 >

ifadesinde toplam sıfıra eşit olduğundan mutlak değer içindeki ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşitlenir.

. a a tir 5 0 5 - = =

a + b – 7 = 0 ifadesinde a yerine 5 yazılırsa

. a b b b b dir 7 0 5 7 0 2 0 2 + - = + - = - = = .

Buna göre a·b çarpımı 5·2 = 10 bulunur.

Cevap: B

12.

|2x 4| |x 3| 8

- + - ifadesinin en büyük değeri alabil-mesi için |2x – 4| + |x – 3| toplamının en küçük değe-rini alması gerekir.

|2x – 4| + |x – 3| ifadesinin en küçük değeri bulu-nurken her bir mutlak değerin içindeki ifade ayrı ayrı sıfıra eşitlenir. Bulunan değerler verilen toplamda tek tek yerine yazılır. Ayrı ayrı bulunan bu değerlerden en küçük olanı ifadenin en küçük değeridir.

O hâlde,

2x – 4 ifadesi 0 a eşitlenir. Bulunan değer yerine yazılırsa . x x x dir 2 4 0 2 4 2 - = = = | | | | | | | | | | | | . x x dir 2 4 3 2 2 4 2 3 0 1 0 1 1 $ - + - = - + -= + -= + =

Aynı şekilde x – 3 ifadesi 0 a eşitlenir. Bulunan değer yerine yazılırsa ü . x x t r 3 0 3 - = = | | | | | | | | | | | | . x x dir 2 4 3 2 3 4 2 3 2 0 2 $ - + - = - + -= + =

Buna göre, |2x – 4| + |x – 3| ifadesinin en küçük değe-ri 1 dir. Bu değer sorulan ifadede yedeğe-rine yazılırsa

|2x 4| |x 3| 8

- + - ifadesinin en büyük değeri

|2x 4| |x 3| bulunur. 8 1 8 ₈ - + - = = Cevap: E

www

.krakademi.com

Soruda mutlak değer içindeki ifadenin pozitif mi negatif mi olduğu bilinemiyorsa, mutlak değer içindeki ifade hem pozitif hem de negatif alınarak işlem yapı-lır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; 5|x| – x = 24 eşitliğinde |x| in işareti tespit edilemedi-ğinden x hem pozitif hem de negatif alınır.

O hâlde, x < 0 için | | ( ) ü . x x x x x x x x t r 5 24 5 24 5 24 6 24 4 - = - - = - - = - = = -7 x > 0 için | | . › x x x x x x d r 5 24 5 24 24 4 6 - = - = = = + 7

Buna göre x in alabileceği değerler toplamı –4 + 6 = 2 bulunur.

Cevap: A

|x – a| = 1907! ifadesinde sonucun bir (+) lısı bir (–) lisi alınırsa ! ! x=1907 +a x= -1907 +a 5 4 ! ! x a- =1907 x a- = -1907 |x a- |=1907! olur.

x in alabileceği değerler toplamı 8 olduğuna göre,

! ! . a a a a bulunur 1907 1907 8 2 8 4 + - + = = = Çözüm II: Bilgi:

|x – a| = 1907! eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı mutlak değerin içini sıfır yapan değerin 2 katıdır. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Buna göre, mutlak değerin içini sıfır yapan değer bulunur. x a x a 0 - = =

Mutlak değerin içini sıfır yapan değerin 2 katı x in alabileceği değerler toplamına eşit olacağından

. a a bulunur 2 8 4 = = Cevap: C