İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
OCAK 2012
CEBİRİNDEN ELDE EDİLEN SİMETRİK GRUBU
Nazlı Selin ÇOPUR
Matematik Mühendisliği Anabilim Dalı Matematik Mühendisliği Programı
Anabilim Dalı : Herhangi Mühendislik, Bilim Programı : Herhangi Program
OCAK 2012
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
CEBİRİNDEN ELDE EDİLEN SİMETRİK GRUBU
YÜKSEK LİSANS TEZİ Nazlı Selin ÇOPUR
(509091024)
Matematik Mühendisliği Anabilim Dalı Matematik Mühendisliği Programı
Anabilim Dalı : Herhangi Mühendislik, Bilim Programı : Herhangi Program
iii
İTÜ, Fen Bilimleri Enstitüsü’nün 509091024 numaralı Yüksek Lisans Öğrencisi Nazlı Selin ÇOPUR, ilgili yönetmeliklerin belirlediği gerekli tüm şartları yerine getirdikten sonra hazırladığı “ CEBİRİNDEN ELDE EDİLEN
SİMETRİK GRUBU ” başlıklı tezini aşağıda imzaları olan jüri önünde başarı ile sunmuştur.
Tez Danışmanı : Yard. Doç Dr. Şeyda Canan TEKİN ... İstanbul Teknik Üniversitesi
Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Emanullah HIZEL ... İstanbul Teknik Üniversitesi
Yard. Doç. Dr. Salih ÇELİK ... Yıldız Teknik Üniversitesi
Yard. Doç. Dr. Şeyda Canan TEKİN ... İstanbul Teknik Üniversitesi
Teslim Tarihi : 19 Aralık 2011 Savunma Tarihi : 23 Ocak 2012
v ÖNSÖZ
Öncelikle bu tezin hazırlanmasında teĢekkürü herkesten önce hak eden, yardımlarını hiçbir koĢulda esirgemeyen, emeğini ödeyemeyeceğim danıĢman hocam Yard. Doç. Dr. ġeyda Canan TEKĠN’e ve konumuzun bugünlere gelmesinde büyük yardımları olan Boğaziçi Üniversitesi öğretim üyesi Prof. Dr. Metin ARIK’a sonsuz teĢekkürlerimi sunarım.
Her ne kadar hayatıma yeni dahil olsa da çalıĢmalarım sırasında beni teĢvik eden Türkiye ĠĢ Bankası çalıĢanı Ģefim Mihrap GÜNEġ’e teĢekkür ederim.
Beni çalıĢmalarım boyunca yalnız bırakmayan ve desteklerini her saniye hissettiğim kardeĢlerim Eda TUĞRUL, Elif GÜRBULAK, Duygu GÜLEÇ, Rabia DURUR ve hayatımda önemli yer tutan diğer bütün arkadaĢlarıma ve her Ģeyden önemlisi beni dünyaya ve bugünlere getiren aileme sonsuz teĢekkürler.
Aralık 2011 Nazlı Selin ÇOPUR
vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖNSÖZ ... v İÇİNDEKİLER ... vii ÖZET ... ix SUMMARY ... xi 1. GİRİŞ ... 1
2. CEBİRİNİN TANIMI VE İZDÜŞÜM OPERATÖRÜ ... 9
2.1 Cebirinin Temsili ... 14
3. OPERATÖRÜNÜN TANIMI VE TEMSİLİ ... 19
3.1 Operatörlerinin Multinomial Formül ile İlişkisi ... 24
3.2 Simetrik Grubu ... 25
4. SONUÇ ... 29
KAYNAKLAR ... 31
ix
CEBİRİNDEN ELDE EDİLEN SİMETRİK GRUBU ÖZET
Bu tezde cebirinden simetrik grubuna izomorf olan -grubu elde edilmiştir. Tezimizin ilk bölümünde bazı temel tanımlar verilmiş ve ileriki bölümlerde genelleştirilmesiyle yeni bir cebirsel yapı oluşturacak Fermion ve Boson cebirleri ve bu cebirlerin sayı operatörleri tanımlanmıştır. Bu sayı operatörlerinin özvektörleri yardımıyla temsil uzayları kurulmuştur. Fermion cebirinin özdeğerleri iki tane, Boson cebirinin ise sonsuz sayıdadır. Özdeğeri bu iki değer arasında olan cebiri tanımlanmış ve yapısı incelenmiştir. Bu cebir Orthofermion cebirine izomorf olduğundan önemlidir. Tek Fermion ve tek Boson cebirlerinin daha genel hale getirilmeleri -deforme Boson cebiri CBY (Coon-Baker-Yu) modelidir. Bu modelin içerdiği reel değerli -parametresinin limiti sıfıra giderken bize Cuntz cebirini verir. Buradan sonlu boyutlu Cuntz cebirinin bir genelleştirilmesi olan ve cebirinin durumuna karşılık gelen cebir elde edilir. Tüm bu durumları içeren cebiri ise tezin
bağıntıları ile verilir.
Tezimizin ikinci bölümünde cebirinin -sayıda Fermion için genelleştirmesi olan cebiri incelenmiştir. Bu cebirin izdüşüm operatörleri tanımlanmış, bu operatörlerle cebirin üreteçleri arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Yine bu bölümde cebirinin sonlu boyutlu temsilleri sayı operatörünün özvektörleri üzerine etkisiyle elde edilmiştir.
Üçüncü bölümde diye adlandırılan operatörler tanımlanmıştır. Bu operatörlerin özvektörler üzerine etkisi incelenmiş ve temsilleri bir örnek üzerinde verilmiştir. temsillerinin indirgenemez kısımlarının multinomial formül yardımıyla sayılabileceği açıklanmıştır. operatörleri temsil uzayının bir kısıtlanması altında tamamen tersinir operatörlere dönüşmektedir. Bu durumdaki -operatörlerinin kümesinin matris çarpımı altında bir grup oluşturduğu ve bu grubun simetrik grubuna izomorf olduğu gösterilmiştir.
xi
SYMMETRIC GROUP FROM AN ALGEBRA SUMMARY
In this thesis, a group that is isomorphic to the symmetric group is obtained
by the elements of an algebra . We present some basic definitions in the first chapter to get the meaning of the algebraic constructure of and the relations between defined operators and its generators further. In the introduction part, a general definiton of the Fermion algebra
and Boson algebra
are given as well and their representations are obtained by means of eigenvectors of the number operator which counts the possible particles of the given state. Number operator is crucial in respect to obtaining matrix representations of the algebra. So we define appropriate number operator at first to obtain representations. Fermion algebra has two eigenvalues as for bosons have infinite number of eigenvalues. In this chapter, we define the algebra whose number of eigenvalues are a positive integer bigger than two. The algebra is defined as follows:
This algebra is important because it is isomorphic to Orthofermion algebra which is defined as follows
and in which has dimensional representation. We also present the algebra ’s matrix representations in the same chapter. Unique Fermion and unique Bosons are generalized as -deformed Boson algebra which is defined as follows,
In this deformed model gives us Cuntz algebra when limit goes to zero. Thus it is obtained an algebra which is a generalization of finite dimensional Cuntz algebra and corresponding to when . This algebra is indicated and defined as follows:
As we can see in the definition of , the algebra gives Fermion when and for the whole other ’s it gives finite dimensional Cuntz algebra. Then as a previous
xii
research is mentioned in the last passage of the first chapter that the tensor product of is isomorphic to the algebra .
In chapter two, a generalization of for -number of fermions is given as the algebra . The new discovery algebra is defined as:
The projection operators of this algebra defines as follows:
There is given a lemma to prove that ’s are projection operators. This lemma helps us to proceed more easily on finding the representations of the algebra and the relations between number operator and generators. Projection operators are essential to define number operator. In this chapter it is also shown that each element of the algebra can be written as normal form which means the generators with stars are on the left and the rest on the right. We need to define the number operator of the algebra in order to obtain its representations. The representations of the algebra obtain by means of the action of the eigenvectors on number operator. Thus after proving the ’s are projection operators by given lemma, the number operator of the algebra is defined as the sum of all possible projection operators. There is also investigated the action of eigenvectors on the number operator. Then we compose the finite dimensional representations of by the action on eigenvectors of number operators and give an example on finding its representations. In the example it is seen that each generators can be represented in the matrix form and stars of generators can be directly found. We may understand how to find representations of the algebra by looking at the example.
In chapter three, new discovery operators are defined by using the inverse of and expressed how to write by means of generators. Then we investigate their action on eigenvectors by proving a lemma. This lemma helps us to find matrix representations easily. Then we find its representations by using proved lemma. With this proof we simply find -representations by giving an example. As we can see from the example, the matrices of are not invertible and it is shown that irreducible part of -representations can be counted by using appropriate multinomial formula in the same chapter. Then to make matrix representations invertible we use an appropriate restriction on defined set which consist of all possible operators and write its representation space as since is a subspace of . This appropriate restriction which is mentioned above is on the subspace to seperate zero rows in the representations which cause the matrices non-invertible. If we restrict the set on the subspace , then we can show that is isomorphic to . After making matrix representations invertible, it is first shown that constitute a group under multiplication by proving group axioms one by one and this group is isomorphic to the symmetric group by defining a map
xiii
which is . Thus it is proved that the set is a symmetric
group.
In conclusion part, it is summarized what we have done and briefly given obtaining results throughout thesis.
1 1. GİRİŞ
Bu tezde birleşmeli bir cebirden elde edilen simetrik grup incelenecektir. Bu nedenle öncelikle ilerdeki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanımlar verilecektir. Tanım 1.1: boştan farklı bir küme ve , kümesi üzerinde tanımlı bir ikili işlem olsun. Aşağıdaki özellikleri sağlayan cebirsel yapısına grup denir.
1. Her için ’dir. (Kapalılık özelliği)
2. Her için (Birleşme özelliği) 3. Her için öyle bir vardır ki (Birim eleman
özelliği)
4. Her için öyle bir vardır ki (Ters eleman özelliği)
Tanım 1.2: , üzerinde ve ikili işlemlerinin tanımlı olduğu boştan farklı bir küme olsun. Eğer kümesi
1. Toplama işlemine göre değişmeli bir grup, 2. Her için
3. Her için , koşullarını sağlarsa cebirsel yapısına halka denir.
Eğer halkası her için koşulunu sağlıyorsa bu halkaya değişmeli halka denir. Eğer her için olacak biçimde bir varsa bu halkaya birimli halka denir.
Tanım 1.3: Bir halkasında alt kümesi çarpma işlemine göre değişmeli bir grup oluşturuyorsa bu halkaya cisim denir. O halde cismi aşağıdaki aksiyomları gerçekler:
1. Her için ’tir.
2. Her için ’dir. 3. Her için ’dır.
2
4. Her için öyle bir vardır ki eşitliğini sağlar. 5. Her için ’dır.
6. Her için ’tir.
7. Her için ’dir.
8. Her için , ’dır. 9. Her için öyle bir vardır ki olur.
Tanım 1.4: , üzerinde toplama ve skaler çarpımın tanımlı olduğu bir küme olsun. kümesi aşağıdaki aksiyomları sağlarsa bir vektör uzayı oluşturur:
1. Her için
2. Her için 3. Her için olacak şekilde vardır. 4. Her için olacak şekilde vardır. 5. Her ve bir skaler için ’dir.
6. Her ve herhangi iki skaler için ’tir. 7. Her ve herhangi iki skaler için ’tir. 8. Her için ’tir.
Tanım 1.5: Birleşmeli cebir, bir cisim üzerinde vektör uzayı yapısına uygun olan birleşmeli halkadır. Tezde incelenen birleşmeli cebir birim elemana sahiptir.
Tanım 1.6: boştan farklı sonlu bir küme ve
olsun. cebirsel yapısına simetrik grup denir. Buradaki işlemi fonksiyon bileşkesidir.
Tanım 1.7: ve iki vektör uzayı olmak üzere doğrusal bir tasvir olsun. Bu durumda tasvirine operatör denir. Aynı vektör uzayları üzerinde doğrusal bir dönüşüm oluşturan yapıya endomorfizma denir.
Tanım 1.8: bir grup, , cismi üzerinde doğrusal bir vektör uzayı ve -boyutlu matrisler uzayını göstersin. Bu matrisler üzerinde etki etsin. Bu durumda homomorfizmasına ’nin bir temsili denir.
Simetrik grupların temsillerini elde etmenin bir yolu da Young diagramlarını kullanmaktır [1]. Bu diagramları oluştururken aşağıda tanımlanan parçalanışlardan yararlanılır:
3
Tanım 1.9: pozitif bir tamsayı olmak üzere ve ise ’ya ’nin bir parçalanışı denir.
Örnek 1.10: olmak üzere ’nin olası bütün parçalanışları
’dir.
Parçalanışlar yardımıyla elde edilen diagramların satırlarında sıradan bağımsız elemanların oluşturduğu farklı diagramlara tabloid denir. Bu şekilde birden fazla tabloidin oluşturduğu politabloid yapısının [1] referansı ile verilen kitapta Specht modüller için bir taban oluşturduğu gösterilmiştir. Verilen parçalanışa karşılık gelen Young temsili ise politabloidler ve Garnir elemanları yardımıyla bulunur.
Yarı standart tabloidler satırlarda azalmayan, sütunlarda kesin artan elemanlardan oluşan tabloidlerdir. Yarı standart tabloidlerin sayısı Kostka sayılarını verir.
Tanım 1.11: değişkenler, ’in bir parçalanışı olmak üzere multinomial formül aşağıdaki gibi ifade edilir:
Birleşmeli cebirsel yapıların incelenmesi, matematik dışında örneğin parçacık fiziğinde modeller oluşturması bakımından önemlidir. Bu yapılardan biri tek bir yaratan operatör , yok eden operatör ve birim operatörü üreteçlerinden oluşan Fermion cebiridir. Bu cebir aşağıdaki denklemi sağlar:
(1.1)
Buradaki , operatörün karmaşık eşleniği ve transpozunu belirtir. Fermion cebirinin tek bir şekilde tanımlı, 2-boyutlu indirgenemez temsili vardır. Sayı operatörü diye adlandırılan operatörü verilen durumdaki parçacıkları sayar. Fermion cebiri için sayı operatörü
(1.2)
şeklinde tanımlanır. -sayı operatörünün özvektörleri bu cebirin temsil uzayını oluşturur. Üreteçlerin doğal tabana göre temsilleri
4
(1.3)
dır. Sayı operatörünün temsili ise
(1.4)
olarak elde edilir. Fermion cebirine ait ’in özdeğerleri kümesi ‘dir. Bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler dirac notasyonu ile şeklinde gösterilir. ve matris olarak
(1.5)
karşılık gelir.
Bir diğer cebirsel yapı Boson cebiridir. Üreteçleri yaratan operatör , yok eden operatör ve birim operatör ’den oluşan Boson cebiri aşağıdaki denklemi sağlar:
(1.6)
Bu cebir tek bir şekilde tanımlı, sonsuz boyutlu indirgenemez bir temsile sahiptir ve sayı operatörü yine Fermion cebirininki gibi ’dır. Buradan ve operatörlerinin temsilleri aşağıdaki gibidir:
(1.7) (1.8)
5 (1.9)
şeklindedir. ’nin özdeğerleri kümesi ’dır. Bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler şeklinde gösterilir ve
(1.10) olarak yazılır.
Fermion cebirinde spektrum(özdeğer) iki tane, Boson’da ise sonsuz sayıdadır. Bu temel iki yapı spektrumundan başka bu iki değer arasında olan farklı yapılar incelenmektedir. Elde edilen sonuçlardan bir tanesi cebiridir [2]. Özdeğerleri olan cebirini tanımlamak için üreteçleri 1, , olan ve aşağıdaki koşulları sağlayan Orthofermion cebirinin tanımına bakılmalıdır [3-6]:
(1.11)
Buradaki Kronecker Delta’yı göstermektedir. Orthofermion cebirinin sayı operatörü
(1.12)
olarak tanımlanır. Bu operatörün özdeğerlerinin kümesi ’dir. Bu cebir d-boyutlu indirgenemez bir temsile sahiptir ve matris olarak
6 şeklinde gösterilir.
[2] ile verilen referansta Orthofermion cebiri ’ye izomorf olan cebiri tanımlanmıştır. Buna göre -boyutlu indirgenemez temsile sahip bu cebir aşağıdaki koşulları sağlar:
(1.14)
Yukarıdaki eşitlikten de anlaşılacağı gibi sonsuza giderken cebiri Boson cebirini ve durumunda ise cebiri Fermion cebirini verir. cebirinin sayı operatörü aynı Fermion ve Boson cebirlerinde olduğu gibi ve ’dir. Doğal tabandaki d-boyutlu indirgenemez temsili
(1.15) (1.16)
7 (1.17)
olur. ’nin özdeğerleri kümesi ’e karşılık gelen özvektörler (1.10) denkleminde verilmiştir.
Tek Fermion ve tek Boson cebirleri, -deforme yapılarla da genelleşirler [8]. CBY (Coon, Baker and Yu) modeli,
-deforme Boson cebirinin en iyi bilinenlerinden birisidir. Burada , reel değerli deforme parametresidir. limitinde Cuntz cebiri elde edilir. Bir sonraki bölümde incelenecek olan cebiri durumunda sonlu boyutlu Cuntz cebirinin bir genelleştirilmesini içermektedir. Bu genelleştirme [9] referansında incelenmiştir. Burada , ve üreteçlerinden oluşan cebiri;
(1.18)
şeklinde tanımlanır. cebirinin -boyutlu tek bir indirgenemez temsili vardır. için Fermion cebiri, diğer tüm ’ler için sonlu boyutlu Cuntz cebirini sağlar [10]. Ayrıca bu tezde tensor çarpımının cebirine izomorf olduğu da gösterilmiştir. cebirinin sayıda Fermion için bir genelleştirilmesi de diğer bölümde incelenecektir.
9
2. CEBİRİNİN TANIMI VE İZDÜŞÜM OPERATÖRÜ
cebiri, ve olmak üzere üreteçlerinden oluşan ve (2.1) (2.2) (2.3) (2.4)
koşullarını sağlayan, karmaşık sayılar üzerinde tanımlı, birleşmeli bir -cebiridir [11]. (2.3) eşitliğindeki , Kronecker Deltayı göstermektedir. Bu cebirin temsillerini elde edebilmek için yapısı incelenmelidir. Bunun için izdüşüm operatörleri bulunarak, sayı operatörü yardımıyla cebirin temsilleri elde edilecektir. Bu amaca ulaşmak için
(2.5)
operatörü tanımlanır ve ’in izdüşüm operatörü olduğu aşağıdaki lemma ile gösterilir:
Lemma 2.1: olmak üzere aşağıdaki özellikleri sağlar: 1.
2. , uygun için
3. , uygun için
4. , (çarpımından gelen olası sıfır durumu dışında)
10
5. , (çarpımından gelen olası sıfır durumu dışında)
6. , uygun için
İspat: 1.
2. olmak üzere (2.2) eşitliğinden
ve (2.1) eşitliğinden
elde edilir.
3.
Burada (2.3) eşitliği ve lemmanın 2. koşulu kullanılarak
ve
bulunur.
4.
Lemmanın 3. koşulu kullanılırsa
ya da
elde edilir.
5. Bu özellik ispatlanırken iki kez tümevarım yöntemi uygulanır. Öncelikle üzerinden tümevarım yapılır. için olduğu 4. şıkta gösterildi.
11
için olmak üzere ’in doğru olduğu kabul edilir. Yani her için ’dir. için doğru olduğu ispatlanır.
olduğunda,
elde edilir.
Buradan ikinci bir tümevarım ile öncelikle için olduğu kanıtlanacaktır. üzerinden tümevarım yöntemi uygulanarak için doğru olduğu 4. şıkta gösterildi. için ’in doğru olduğu kabul edilir ve için ’in doğru olduğu ispatlanır.
iken,
olur ve tümevarımın kabulünden
bulunur ve ikinci terim lemmanın 2. koşulundan sıfır bulunur.
iken eşitlik
olur ve tümevarımın kabulü ve 2. koşuldan ikinci terim sıfır elde edilir. Bu şekilde devam edildiğinde son olarak
Aynı adımlar uygulandığında geriye
12 kalır. Lemmanın 4. koşulundan ikinci terim
elde edilir. Yani bulunmuş olur.
Bu ispattan sonra bir üstteki ispata dönersek
eşitliğinde ikinci terim ispatlanan tümevarım ve lemmanın 2. koşulundan sıfır olacaktır. Birinci terim ise tümevarımdan bulunur. Yani her
‘dir.
6.
alındığında
Lemmanın 5. özelliği kullanılırsa
elde edilir. Lemmanın 2. özelliğinden ikinci terim sıfır bulunur ve buradan
olduğu gösterilir.
Bir diğer ispatta benzer şekilde
iken ve lemma 2.1’in 5. koşulu kullanılarak,
elde edilir.
Buradan ’lerin izdüşüm operatörleri olduğu görüldükten sonra cebirinin sayı operatörü
13
olarak tanımlanır. Şimdi sayı operatörü ’in sağladığı bazı özellikleri verelim:
1. (2.7)
Lemma 2.1’in 1. koşulundan,
2. , uygun için (2.8) 3. , uygun için (2.9)
Yaratan operatörlerin istenilen sayıda çarpımı solda, yok eden operatörlerin istenilen sayıda çarpımı da sağda kalacak şekilde oluşturulan cebirin elemanına normal form denir. Cebirin her elemanı normal formda olan toplamlar şeklinde yazılabilir. Bunu göstermek için ve pozitif sayıları keyfi olmak üzere elemanını göz önüne alalım. iken ise lemma 2.1’in 6. koşulu kullanılarak
(Burada kullanılacak olan olarak kabul edilecektir.)
yazılır. alındığında Burada lemma 2.1’in 5. koşulu kullanılarak parantezli çarpım açılırsa
14
kalır. Bu işlem için oluncaya kadar devam eder.
olduğunda
bulunur ve lemma 2.1’in 6. koşulunu kullanarak
elde edilir. Yani keyfi ve pozitif sayıları alındığında için cebirin her elemanı normal formda yazılmış olur.
Keyfi ve pozitif sayıları için olsun. Cebirin elemanını göz önüne alalım. Yukarıdaki adımlar oluncaya kadar aynen uygulanır. olduğunda
elde edilir. Burada lemma 2.1’in 6. koşulu kullanılarak
normal formda yazılmış olur.
Keyfi ve pozitif sayıları için ise cebirden alınan elemanı için aynı adımlar oluncaya kadar uygulanır. olduğunda
elde edilir. Buradan da görüldüğü gibi cebirin her elemanı normal formda yazılmış olur.
15 2.1 Cebirinin Temsili
cebirinin temsili sayı operatörü ’in özvektörleri yardımıyla oluşturulur. Bunun için , ’in bir özdeğeri ve ise ’ya karşılık gelen özvektör olmak üzere
(2.10) dir. (2.8) ve (2.10) kullanılarak (2.11) elde edilir. Benzer şekilde operatörleri için
(2.12)
bulunur. Hermisyen matrislerin özdeğerleri ya sıfır ya da pozitif sayı olduğundan (2.12) eşitliğinde olmalıdır. O halde ’tir. Eğer kabul edersek,
16
(2.13)
olduğu görülür. olmak üzere
bulunur. Normun özelliği kullanılırsa
(2.14)
elde edilir. koşulu altında (2.11) eşitliğinden
elde edilir. Notasyonel olarak
(2.15)
olarak tanımlarsak,
(2.16)
bulunur. Buradan temsil uzayının bir tabanı
(2.17) olarak elde edilir. (2.17) ile elde edilen taban aynı zamanda dikey bir tabandır. Buradan bu vektörlerin sayısının olduğu görülür. Yani temsilin boyutu olarak elde edilir. Bu tabana göre ve
temsilleri aşağıdaki gibidir:
(2.18)
17
(2.20)
(2.21)
Örnek 2.2: cebirini ele alalım. Bu cebirin matris temsillerini bir örnek üzerinde gösterelim.
Matris temsilinde satırlar ve sütunlar sırayla özvektörlerine karşılık gelmektedir. Buradan temsili
olarak bulunur.
18 Buradan temsili olarak elde edilir.
üretecinin matris temsili
olur.
üretecinin matris temsili
19
3. OPERATÖRÜNÜN TANIMI VE TEMSİLİ
Bu bölümde cebirinden elde edilen simetrik grubunu oluşturmak için operatörü tanımlanacaktır.
Tanım 3.1: (2.4) numaralı eşitlikle tanımlanan izdüşüm operatörü ele alınsın. Buradaki ’lı terimlerin indisleri korunup, ’sız terimlerin indisleri ise sırayla
olarak yazılır. Burada ,
kümesinin bir permütasyonu olup, ise ’nın permütasyon çarpımına göre
tersidir. Bu şekilde elde edilen operatör olarak gösterilir.
Örnek 3.2: cebiri için olsun. ’nın tanımından olmak üzere olarak elde edilir.
Lemma 3.3: 1.
2. İspat: 1. (2.15)’teki tanımdan
bulunur. Buradan olduğunda sıfırdan farklı bir sonuç verir. Aksi halde
(2.3) eşitliğindeki Kronecker Delta sıfırı verecektir. eşitliğinde her iki
tarafın ile bileşkesi alındığında olur. Şimdi için
Lemma 2.1’in 6. özelliği kullanılırsa 2. terim
20
olur ve (2.13) eşitliğinden ikinci terim sıfır bulunur. Buradan alınarak
işleme olana kadar devam edilir. Her için her iki tarafın
permütasyonu ile bileşkesi alındığında genel olarak
(3.1)
olduğu kolayca görülür.
(2.13) eşitliğinden ikinci terim sıfır olur ve buradan
(3.2) elde edilir. 2. Eğer ise
yazılır. Yukarıdaki eşitlik olduğunda sıfırdan farklı bir sonuç verir.
Aksi halde (2.3) eşitliğindeki Kronecker Delta sıfırı verecektir. Şimdi için
Lemma 2.1’in 6. özelliği kullanılırsa 2. terim
olur ve (2.13) eşitliğinden ikinci terim sıfır bulunur. Buradan alınarak
işleme
olana kadar devam edilir.
21
Buradan (2.13) ve (2.14) eşitlikleri kullanılarak
(3.3)
olduğu görülür.
Şimdi bazı operatörlerinin matris temsillerini bir örnek üzerinde gösterelim: Örnek 3.4: cebiri ele alındığında sırasıyla , , , , , operatörlerinin
, , , , , , , , , , , , , ,
(3.4)
sıralı tabandaki temsillerini yazalım. Öncelikle cebir, (2.3) eşitliğinden
,
şeklinde yazılır. operatörü sayı operatörü ’nin özvektörleri olan üzerinde etkidiğinde lemma 3.3’ten sıfırı verir. | özvektörü üzerinde etkidiğinde ise (3.2) eşitliğinde elde edildiği gibi sıfırdan farklı vektörler verir ve (2.15)’deki tanımı da kullanarak – temsillerini bulmak için sıfırdan farklı özvektörler üzerindeki etkisini incelemek yeterlidir:
bulunur. O halde operatörünün sayı operatörü ’nin bütün olası sıfırdan farklı özvektörlerinin üzerine etkisi (3.4) ile verilen sıralı tabanda yazılmak üzere
22 = 07 temsilini verir. Lemma 3.3 yardımıyla
bulunur. O halde aynı sıralı tabanda temsili
olarak elde edilir. Lemma 3.3’ten olur ve temsili = 07 olarak bulunur. = 07
23 Lemma 3.3’ten
elde edilir ve yine aynı sıralı tabandaki temsili
07
olarak bulunur.
Lemma 3.3 yardımıyla
elde edilir. temsili ise
=
07
şeklinde gösterilir. Lemma 3.3’ten
24 elde edilir [12].
3.1 Operatörlerinin Multinomial Formül ile İlişkisi
operatörlerinin temsilleri örnek 3.4’te de görüldüğü gibi simetrik grubunun indirgenemez temsillerini oluşturan matrislerin köşegen formda yazılmasıyla oluşur. Bu şekilde indirgenemez halde yazıldığında köşegen matrislerin boyutlarının farklı değerleri parçalanışlar yardımıyla bulunur. Multinomial formül ile de bütün tekrarlanan indirgenmiş matrisleri saymak mümkündür. Multinomial formül tanım 1.11’de olduğu gibi şu şekilde tanımlanır:
(3.5)
Buradaki pozitif bir sayı ve de ’in parçalanışıdır. Multinomial katsayılar şu şekilde hesaplanır:
(3.6)
Bu formülde parantezli ifadenin alt satırında bulunan sayılarının yazılış sırası da önemlidir. Multinomial formülü temsillerine uygularken formülde bulunan değerleri olacak şekilde alınır. Örnek 3.4’teki cebirinin indirgenemez temsillerinin sayısını multinomial formül ile bulalım:
=
25
Buradaki ve katsayıları parantezli ifadenin alt satırındaki sayıların yazılış sırasına göre değer alır. Buna göre alt satır iki farklı şekilde yazılabileceğinden ve olarak bulunur. Formüldeki parantezli ifade indirgenmiş matrisin boyutunu ve , katsayıları da temsilde bu indirgenmiş matrislerden kaç tane bulunduğunu gösterir. Böylece
olarak temsilin sadece sıfırlardan oluşan satır ve sütun dışındaki boyutu elde edilmiş olur. Bu boyut ileride verilecek olan operatörlerin simetrik grup elemanı olmasıyla ilgilidir.
3.2 Simetrik Grubu
Bu bölümde
kümesinin simetrik grup oluşturduğu gösterilecektir.
Bunun için öncelikle bir kısıtlamaya gereksinim vardır. Örnek (3.4)’te görüldüğü gibi ve operatörleri sırasıyla ve permütasyonlarına karşılık gelen operatörler olarak düşünülebilir. Permütasyon grubunda , ’nin tersidir. Ancak operatörleri matris temsillerinden de görüldüğü gibi tersinir operatörler değildir. Bu operatörleri tersinir yapabilmek için
cebirinin temsil uzayının kısıtlanması gerekir. Bu da şu şekilde yapılabilir:
operatörü cebirinin temsil uzayı ’nin bir doğrusal dönüşümü olarak ele alınır. Bu dönüşümün çekirdeği lemma 3.3’e göre olan vektörlerdir. O halde uzayı şeklinde yazılır. Burada , | özvektörleri tarafından üretilen ’nin alt uzayıdır ve
operatörlerinin etkisi altında değişmez kalır.
O halde kümesinin ’deki etkisi yerine sadece ’daki etkisiyle oluşan temsilleri göz önüne alınacak ve şeklinde gösterilecektir. Şimdi aşağıda kümesinin uzayında, temsillerinin simetrik grup olduğu kanıtlanacaktır:
Lemma 3.5: 1. ( , ) cebirsel yapısı bir gruptur.
2. , ile tanımlanan tasviri bir izomorfizmadır.
26
şeklinde yazılır. Buradan alındığında yukarıdaki çarpım sıfırdan farklı
bir sonuç verir. Aksi halde (2.3) eşitliğindeki Kronecker Delta sıfırı verecektir. O halde
olarak bulunur. Lemma 2.1’in 6. özelliği kullanılarak ikinci terim sıfır olarak bulunur. Aynı adımlar için uygulandığında geriye
kalacaktır. Bu eşitlikte yazarsak
(3.7) olarak bulunur. permütasyonları kümesi grup oluşturduğundan operatörlerinin kapalılık özelliğini sağladığı kolayca görülür. Her için (3.7) eşitliğinden olduğundan operatörü grubun birim elemanıdır. Cebirimiz birleşmeli bir cebir olduğundan birleşme özelliği kendiliğinden sağlanır. operatörleri uzayı üzerinde etkidiğinde oluşan sıfırdan farklı -temsilleri tersinir hale gelir. Buradan ( , ) cebirsel yapısı bir grup oluşturur.
2. tasvirinin izomorfizma olması için öncelikle homomorfizma ve sonrasında
birebir ve örten olduğunun gösterilmesi gereklidir. Buna göre elde edilir. Buradan tasvirinin
homomorfizma olduğu görülür.
Lemma 3.3’e göre ’dir. Buradan tasvirinin birebir olduğu kolayca görülür.
27
’nın tanımına göre her ’e karşılık bir bulunabildiğinden örten bir
29 4. SONUÇ
Bu tezde bir birleşmeli -cebiri olan ve aynı zamanda parçacık fiziğindeki Fermion ve Boson cebirlerinin genelleştirilmelerinden birine karşılık gelen cebiri tanımlanmış ve cebirsel yapısı incelenmiştir. Buna göre tek yaratan operatör, tek yok eden operatör ve birim tarafından üretilen cebiri
özelliklerini sağlar. Bu cebirin boyutlu tek bir temsili vardır.
cebiri yapısı bakımından önemli özelliklere sahiptir. Cebirin izdüşüm operatörleri incelendiğinde bazı koşullar altında simetrik grup yapısı gösteren yeni operatörleri elde edilmiştir. Bu operatörlerin sayı operatörü ’nin özvektörleri üzerindeki etkisi incelenmiş ve için olası bütün temsilleri verilen bir örnek ile gösterilmiştir. Tanımlanan yeni operatörlerinin cebirinin temsil uzayının bir kısıtlaması altında çarpma işlemine göre grup yapısı oluşturduğu ve bu grubun da
simetrik grubuna izomorf olduğu tezde gösterilmiştir. Aynı zamanda
multinomial formül ile Kostka sayıları arasında bağlantı kurulabilir ve tanımlanan cebirlerin tensor çarpımları elde edilebilir.
31 KAYNAKLAR
[1] Sagan, B. E. (2001). The Symmetric Group. Springer-Verlag New York.
[2] Tekin, Ş. C., Aydın Torunbalcı, F., ve Arık, M. (2007). A New Interpretation of the Orthofermion Algebra. J. Phys. A: Math. Theor., 40 (27),7699– 7706.
[3] Mishra, A. K., ve Rajasekaran, G. (1991). Algebra for fermions with a new exclusion principle. Pramana J. Phys., 36 (5), 537–555.
[4] Mishra, A. K., ve Rajasekaran, G. (1991). Algebra for fermions with a new exclusion principle. Pramana J. Phys., 37 (5), 455 (E).
[5] Mishra, A. K., ve Rajasekaran, G. (1992). New forms of quantum statistics. Pramana J. Phys., 38 (4), L411–L416.
[6] Khare, A., Mishra, A. K., ve Rajasekaran, G. (1993). Orthosupersymmetric quantum mechanics. Int. J. Mod. Phys. A, 8 (7), 1245–1257.
[7] Mostafazadeh, A. (2001). On the representation theory of orthofermions and orthosupersymmetric realization of parasupersymmetry and fractional supersymmetry. J. Phys. A: Math. Gen., 34 (41), 8601–8609.
[8] Coon, D. D.,Baker, M., ve Yu, S. (1972). Operator Formulation of a Dual Multiparticle Theory with Nonlinear Trajectories, Phys. Rev. D 5, 1429-1433.
[9] Ezer, C. (2009). A Fundamental Oscillator Algebra Which Generalizes Bosons and Fermions. Boğaziçi Üniversitesi.
[10] Jorgensen, P. E. T.,Schmitt, L. M., ve Werner, R. F. (1994). Q-Canonical Commutation Relations and Stability of the Cuntz Algebra. Pacific journal of mathematics Vol.165, No.1.
[11] Arık, M., ve Tekin, Ş. C. Algebra with a Unique Dimesional Representation. (Yayınlanmak üzere hazırlanıyor.)
[12] Çopur, N. S., ve Tekin, Ş. C. (2011). Symmetric Group from an Algebra
33 ÖZGEÇMİŞ
Ad Soyad: Nazlı Selin ÇOPUR
Doğum Yeri ve Tarihi: Şişli / 25.04.1987
Adres: Etiler Mah. Yanarsu Sok. İstiridye Apt. C Blok D: 21 Etiler/İSTANBUL E-Posta: selcopur@yahoo.com
Lisans: İstanbul Üniversitesi – Matematik
Yüksek Lisans (Varsa): İTÜ – Matematik Mühendisliği
TEZDEN TÜRETİLEN YAYINLAR/SUNUMLAR
Çopur, N. S., ve Tekin, Ş. C. 2011: Symmetric Group from an Algebra . Poster sunumu. Karatekin Matematik Günleri, 20-24 Haziran, Çankırı, Türkiye.
