Emrah CEYRAN
Dumlupınar Üniversitesi
Lisansüstü E˘gitim Ö˘gretim ve Sınav Yönetmeli˘gi Uyarınca
Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında
YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I
Olarak Hazırlanmı¸stır
Danı¸sman: Prof. Dr. Erdal ULUALAN
Emrah CEYRAN’ın YÜKSEK L˙ISANS tezi olarak hazırladı˘gı Simplisel Çaprazlanmı¸s
Modüller ba¸slıklı bu çalı¸sma, jürimizce Dumlupınar Üniversitesi Lisansüstü E˘gitim Ö˘gretim ve
Sınav Yönetmeli˘ginin ilgili maddeleri uyarınca de˘gerlendirilerek kabul edilmi¸stir.
14/08/2018
Prof. Dr. Önder UYSAL
Enstitü Müdürü, Fen Bilimleri Enstitüsü _________________
Prof. Dr. ˙Ismail EK˙INC˙IO ˘GLU
Bölüm Ba¸skanı, Matematik Bölümü _________________
Prof. Dr. Erdal ULUALAN
Danı¸sman, Matematik Bölümü _________________
Sınav Komitesi Üyeleri
Prof. Dr. Erdal ULUALAN
Matematik Bölümü, Dumlupınar Üniversitesi _________________
Doç. Dr. Ahmet Boz
Matematik Bölümü, Dumlupınar Üniversitesi _________________
Doç. Dr. Sedat PAK
Bu tezin hazırlanmasında Akademik kurallara riayet etti˘gimizi, özgün bir çalı¸sma oldu˘gunu
ve yapılan tez çalı¸smasının bilimsel etik ilke ve kurallara uygun oldu˘gunu, çalı¸sma kapsamında
teze ait olmayan veriler için kaynak gösterildi˘gini ve kaynaklar dizininde belirtildi˘gini, Yüksek
Ö˘gretim Kurulu tarafından kullanılmak üzere önerilen ve Dumlupınar Üniversitesi tarafından
kullanılan ˙Intihal Programı ile tarandı˘gını ve benzerlik oranının %23 çıktı˘gını beyan ederiz. Aykırı
bir durum ortaya çıktı˘gı takdirde tüm hukuk¸s sonuçlara razı oldu˘gumuzu taahhüt ederiz.
Prof. Dr. Erdal ULUALAN Emrah CEYRAN
S˙IMPL˙ISEL ÇAPRAZLANMI ¸S MODÜLLER
Emrah Ceyran
Matematik, Yüksek Lisans Tezi, 2018
Tez Danı¸smanı: Prof. Dr. Erdal ULUALAN
ÖZET
Bu tezde herhangi bir grup homomorfizminden Bar yapılandırılması ile elde edilen
simplisel küme kavramı incelenmi¸stir. Bu homomorfizm üzerinde homotopi normal dönü¸süm
yapısı var oldu˘gunda elde edilen simplisel kümenin simplisel grup yapısına sahip oldu˘gu
ince-lenmi¸stir. Sonraki bölümlerde bu yapılanmanın de˘gi¸smeli cebirler üzerinde nasıl oldu˘gu
incelen-mi¸stir. Herhangi bir cebir homomorfizminden Bar yapılanması kullanılarak bir simplisel modül
elde edilmi¸stir. Bu cebir homomorfizmi üzerinde homotopi normal yapısı var oldu˘gunda elde
edilen simplisel modülün üzerinde bir simplisel cebir yapısının varlı˘gı incelenmi¸stir. Ayrıca Bar
simplisel modülünün üzerinde bir simplisel cebir yapısı var oldu˘gunda da ba¸sta verilen cebir
ho-momorfizmi üzerinde bir homotopi normal yapısının var oldu˘gu ispatlanmı¸stır.
SIMPLICIAL CROSSED MODULES
Emrah Ceyran
Mathematics, M.S. Thesis, 2018
Thesis Supervisor: Prof. Dr. Erdal ULUALAN
SUMMARY
In this thesis, from any homomorphism of groups, the simplicial set obtained by the Bar
construction method has been investigated. In the case of existence of homotopy normal map
struc-ture over this homomorphism, we see that there is a simplicial group strucstruc-ture over the simplicial
set which is obtained from this homomorphism using the Bar construction. Infurther sections, we
explore this construction over commutative algebras. From any homomorphism of commutative
algebras, using the Bar construction, a simplisel module structure has been obtained. Furthermore,
in the case of existence of any homotopy normal map structure over this homomorphism of
com-mutative algebras, we see that there is a simplicial algebra structure over the simplicial module.
And vice versa, if there is an ideal simplicial algebra structure over this simplicial module, then
we obtain a homotopy normal map structure over the homomorphism of algebras.
TE ¸SEKKÜR
Bu tezin hazırlanmasında büyük emeklerini ve yardımlarını esirgemeyen, ö˘grencilerine
daima her yönde örnek ve destek olan, hep motive ederek daha ileriye gitmemi sa˘glayan kıymetli
Danı¸sman Hocam Sayın Prof. Dr. Erdal ULUALAN ’a sonsuz te¸sekkürlerimi ve saygılarımı
˙IÇ˙INDEK˙ILER
Sayfa
ÖZET ... v
SUMMARY ... vi
TE ¸SEKKÜR ... vii
1. ÇAPRAZLANMI ¸S MODÜLLER VE HOMOTOP˙I NORMAL DÖNÜ ¸SÜMLER...1
1.1. Simplisel Kümeler ve Simplisel Gruplar...1
1.2. Bar(X,N) Simplisel Kümesi...1
1.3. Bir Homomorfizm Yardımıyla Simplisel Küme...6
1.4. Bar(G,N) Simplisel Grup Yapısı...6
2. ÇAPRAZLANMI ¸S DÖNÜ ¸SÜMLER, NORMAL DÖNÜ ¸SÜMLER VE NORMAL YAPILAR..11
2.1. Bar(G,N) Üzerindeki Bir Normal Simplisel Grup Yapısından ∂ : N → G Dönü¸sümü Üzerindeki Bir Normal Yapıya...14
3. f : N → G ÜZER˙INDEK˙I B˙IR NORMAL YAPIDAN BAR(G,N) ÜZER˙INDEK˙I B˙IR NORMAL S˙IMPL˙ISEL GRUP YAPISINA...21
4. DE ˘G˙I ¸SMEL˙I CEB˙IRLERDE HOMOTOP˙I NORMAL DÖNÜ ¸SÜMLER...25
4.1. ˙Ideal Simplisel Cebir Yapısı...26
4.2. Bar(G,N) Üzerindeki Bir ˙Ideal Simplisel Cebir Yapısı...29
5. Bar(G,N) ÜZER˙INDEK˙I B˙IR ˙IDEAL S˙IMPL˙ISEL CEB˙IR YAPISINDAN ∂ : N → G DÖNÜ ¸SÜMÜ ÜZER˙INDEK˙I HOMOTOP˙I NORMAL YAPIYA...32
1.
ÇAPRAZLANMI ¸S MODÜLLER VE HOMOTOP˙I NORMAL
DÖNÜ ¸SÜMLER
Bu bölümde tezde kullanılacak temel kavramlar tanıtılacaktır.
1.1. Simplisel Kümeler ve Simplisel Gruplar
k= 0, 1, 2, ∈ Z+∪ {0} olmak üzere (Xk) kümelerinin bir ailesini göz önüne alalım. k ≥ 1
için yüz operatörleri ile adlandırılan di= dik: Xk→ Xk−1ve k ≥ 0 için si= ski : Xk→ Xk+1dejenere
operatörleri var ve a¸sa˘gıdaki özellikler sa˘glanıyorsa X = (Xk, di, si)’ye simplisel küme denir.
1) didj= dj−1di, i < j ise
2) disj= sj−1di, i < j ise
3) djsj= id = dj+1sj
4) disj= sjdi−1, i > j + 1 ise
5) sisj= sj+1si, i ≤ j ise
E˘ger her k için Xk lar birer grup ve di, si operatörleri birer homomorfizm ise X ’e
sim-plisel grup denir. Bir simsim-plisel kümeyi a¸sa˘gıdaki diyagram ile gösterebiliriz.
X : . . . Xn // .. . // Xn−1 oo .. . oo . . . X3 ////////X2 d0,d1,d2 //// // oooo oo X1 d0,d1 //// oo s0,s1 oo X0 s0 oo
1.2.Bar(X,N) Simplisel Kümesi
Bir grubun bir küme üzerindeki etkisini kullanarak Bar yapılandırmasıyla nasıl bir simplisel
Yani;
N× X −→ X
(a, x) 7−→ xa
olacak ¸sekilde bir fonksiyon var ve a¸sa˘gıdaki özellikleri sa˘glasın:
1. x(a.b)= (xa)b, a, b ∈ N ve x ∈ X
2. xe= x, e ∈ N ve x ∈ X
Bu etkiyi a : x 7→ xa, a ∈ N, x ∈ X ile gösterelim. ¸Simdi Bar yapılandırmasını açıklayalım: Bu yapı
B= Bar(X , N) a¸sa˘gıdaki verilerden ibaret olan simplisel kümedir.
Bu simplisel kümenin verileri ¸su ¸sekildedir:
i) Her k ≥ 0 tam sayısı için, B0= X , Bk= X × Nk, yani
B0= X , B1= X × N, B2= X × N × N, ... ¸seklindedir.
ii) dik: Bk−→ Bk−1, k ≥ 1 için 0 ≤ i ≤ k olmak üzere a¸sa˘gıdaki gibi tanımlıdırlar.
1. d0(x, a1, a2, ..., ak) = (xa1, a2, ..., ak)
2. di(x, a1, a2, ..., ak) = (x, a1, a2, ..., aiai+1, ..., ak)
3. dk(x, a1, a2, ..., ak) = (x, a1, a2, ..., ak−1)
iii) si: Bk−→ Bk+1dejenere dönü¸sümleri ise 0 ≤ i ≤ k için
si(x, a1, a2, ..., ak) = (x, a1, a2, ..., ai, 1, ai+1, ..., ak)
¸seklinde tanımlıdırlar.
¸Simdi bu Bar(X , N) de tanımlı olan dive sjoperatörlerinin simplisel özde¸slikleri sa˘gladı˘gını
1) i + 1 = j =⇒ didj(g, a1, a2, ..., ak) = di(g, a1, ..., aj· aj+1, ..., ak) = (g, a1, ..., ai· aj· aj+1, ..., ak)...(1) dj−1di(g, a1, a2, ..., ak) = dj−1(g, a1, ..., ai· ai+1, ..., ak) = (g, a1, ..., ai· ai+1· aj+1, ..., ak)...(2) (1) ve (2) den didj= dj−1di oldu˘gu görülür. i + 1 < j =⇒ didj(g, a1, a2, ..., ak) = di(g, a1, ..., aj· aj+1, ..., ak) = (g, a1, ..., ai· ai+1, ..., aj· aj+1, ..., ak)...(1) dj−1di(g, a1, a2, ..., ak) = dj−1(g, a1, ..., ai· ai+1, ..., ak) = (g, a1, ..., ai· ai+1· aj+1, ..., ak)...(2) (1) ve (2) den didj= dj−1di oldu˘gu görülür. 2) i + 1 = j =⇒ disj(g, a1, a2, ..., ak) = di(g, a1, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak) = (g, a1, ..., ai· aj, 1, aj+1, ..., ak)...(1) sj−1di(g, a1, a2, ..., ak) = sj−1(g, a1, ..., ai· ai+1, ..., ak) = (g, a1, ..., ai· aj, 1, aj+1, ..., ak)...(2)
(1) ve (2) den disj= sj−1dioldu˘gu görülür. i + 1 < j =⇒ disj(g, a1, a2, ..., ak) = di(g, a1, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak) = (g, a1, ..., ai· ai+1, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak)...(1) sj−1di(g, a1, a2, ..., ak) = sj−1(g, a1, ..., ai· ai+1, ..., ak) = (g, a1, ..., ai· ai+1, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak)...(2) (1) ve (2) den disj= sj−1dioldu˘gu görülür. 3) disi(x, a1, ..., ak) = di(x, a1, ..., ai, 1, ai+1, ..., ak) = (x, a1, ..., ai, ai+1, ..., ak) = id oldu˘gu görülür. dj+1sj(g, a1, a2, ..., ak) = dj+1(g, a1, a2, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., aj, aj+1, ..., ak) = id oldu˘gu görülür. 4)i = j + 2 =⇒ disj(g, a1, a2, ..., ak) = di(g, a1, a2, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., aj, 1, aj+1· ai, ..., ak)...(1) sjdi−1(g, a1, a2, ..., ak) = sj(g, a1, a2, ..., aj+1· ai, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., aj, 1, aj+1· ai, ..., ak)...(2)
(1) ve (2) den disj= sjdi−1oldu˘gu görülür. i> j + 2 =⇒ disj(g, a1, a2, ..., ak) = di(g, a1, a2, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., aj, 1, aj+1, ..., ai· ai+1, ..., ak)...(1) sjdi−1(g, a1, a2, ..., ak) = sj(g, a1, a2, ..., aj+1· ai, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., aj, 1, aj+1, ..., ai· ai+1, ..., ak)...(2)
(1) ve (2) den disj= sjdi−1oldu˘gu görülür.
5) i = j =⇒ sisj(g, a1, a2, ..., ak) = si(g, a1, a2, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., aj, 1, 1, aj+1, ..., ak)...(1) sj+1si(g, a1, a2, ..., ak) = sj+1(g, a1, a2, ..., ai, 1, ai+1, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ai, 1, 1, ai+1, ..., ak)...(2) (1) ve (2) den sisj= sj+1sioldu˘gu görülür. i< j =⇒ sisj(g, a1, a2, ..., ak) = si(g, a1, a2, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ai, 1, ai+1, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak)...(1) sj+1si(g, a1, a2, ..., ak) = sj+1(g, a1, a2, ..., ai, 1, ai+1, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ai, 1, ai+1, ..., aj, 1, aj+1, ..., ak)...(2) (1) ve (2) den sisj= sj+1sioldu˘gu görülür.
1.3. Bir Homomorfizm Yardımıyla Simplisel Küme
Kabul edelim ki X kümesi G gibi bir grup olsun ve N de G üzerine f : N −→ G
homomor-fizmi ile etki eden bir grup olsun. Yani N nin G üzerine etkisi a ∈ N ve g ∈ G için a : g = ga= g f (a) olsun. X = G alarak yeniden Bar yapılandırmasını uygulayarak elde edece˘gimiz simplisel kümeyi
B= Bar(G, N) ile gösterelim. ¸Simdi simplisel kümenin nasıl olu¸stu˘gunu açıklayalım:
f : N −→ G homomorfizm olsun. Bar(G, N)’nin verileri a¸sa˘gıdaki gibi olur:
1. B0= G, B1= G × N, B2= G × N × N, ... dir.
2. Yüz operatörleri ¸su ¸sekilde verilir:
d0(g, a1, a2, ..., ak) = (g f (a1), a2, ..., ak)
di(g, a1, a2, ..., ak) = (g, a1, ..., aiai+1, ..., ak)
dk(g, a1, a2, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ak−1)
3. Dejenere operatörü ¸su ¸sekilde tanımlanır:
si(g, a1, a2, ..., ak) = (g, a1, ..., ai, 1, ai+1, ..., ak)
dır. Bu ¸sekilde tanımlanan di ve sioperatörleri yukarıda g ∈ G yerine x ∈ X alındı˘gında simplisel
özde¸slikleri sa˘gladı˘gını ispat etti˘gimizden burada da yani g ∈ G alındı˘gında da simplisel
özde¸slik-leri sa˘glayaca˘gı açıktır. Bu durumda Bar(G, N) yapısı simplisel küme olur.
1.4. Bar(G,N) Simplisel Kümesi Üzerindeki Normal Simplisel Grup Yapısı
Bu alt bölümde N ve G gruplar f : N −→ G bir grup homomorfizmi ve Bar(G, N) yukarıdaki
gibi tanımlı simplisel küme olsun. Bar(G, N) üzerindeki normal simplisel grup yapısı a¸sa˘gıdaki
gibi tanımlanır:
1.4.1. Tanım: B = Bar(G, N) olsun. B üzerindeki normal simplisel grup yapısı a¸sa˘gıdaki gibidir:
i) G grup olmak üzere B0= G olarak alınmaktadır.
ii) Bk= G × Nk, k ≥ 1 için
ile gösterilen00∗00çarpımı ile bir gruptur.
iii) dikve skjoperatörleri birer grup homomorfizmleridir.
iv) Her g ∈ G ve (h, a1, a2, ..., ak) ∈ Bkiçin (g, 1, 1, ..., 1) ∗ (h, a1, a2, ..., ak) = (g.h, a1, a2, ..., ak)
dır.
Uyarı: G nin Bar(G, N) üzerindeki do˘gal etkisi ile ¸su kasdedilmektedir.
g∈ G’nin her bir (h, a1, a2, ..., ak) ∈ Bk elemanı üzerine etkisi:
g: (h, a1, a2, ..., ak) 7→ (gh, a1, a2, ..., ak) G× Bk−→ Bk g: (h, a1, a2, ..., ak) 7−→ (h, a1, a2, ..., ak)g (h, a1, a2, ..., ak)g= (gh, a1, a2, ..., ak) = (g, 1, 1, ..., 1) ∗ (h, a1, a2, ..., ak) dır. Önerme: k ≥ 1 olsun. 1) Gk:= {(g, 1, 1, ..., 1) : g ∈ G}6 Bk dır. 2) Nk:= {(1, a1, a2, ..., ak) : ai∈ N} 6 Bkdır.
˙Ispat: Gk≤ Bk oldu˘gunu gösterelim. x = (g1, 1, 1, ..., 1) ve y = (g2, 1, 1, ..., 1) ∈ Gk olsun.
x∗ y−1= (g
1g2−1, 1, 1, ..., 1) olup g1g2−1∈ G oldu˘gundan x ∗ y−1∈ Gk olur.
1.4.2. Yardımcı Teorem: (Farjoun ve Hess, 2012) Bar(G, N) nin üzerinde normal simplisel grup
yapısının var oldu˘gunu kabul edelim.
k≥ 1 olsun. Bu durumda Gk, G ye izomorf olan Bknın bir alt grubudur. NkE Bkdır ve Bk= Gk· Nk
˙Ispat: (g, 1, 1, ..., 1) ∈ Gk ve (1, a1, a2, ..., ak) ∈ Nk olsun. Bar(G, N) üzerinde normal simplisel
grup yapısı var oldu˘gundan iv. özellikten
(g, 1, 1, ..., 1) ∗ (1, a1, a2, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ak) ∈ Bk
olur.
G0= G = B0
G1= G × {1}
G2= G × {1} × {1} dir.
Dejenere operatörlerinin tanımından, s0(g) = (g, 1)
s1(g, 1) = (g, 1, 1)
s2(g, 1, 1) = (g, 1, 1, 1), ... oldu˘gunu biliyoruz. Buna göre bir grubun görüntüsüde alt grup oldu˘gun-dan s0(G0) = G1≤ B1 s0: B0−→ B1 s1(G1) = G2≤ B2 s1: B1−→ B2 G16 B17−→ s1(G1) = G26 B2
tümevarımla sk−1(Gk−1) = Gk6 Bkoldu˘gu görülür. Burada
s0: G0−→ G1
g7−→ (g, 1)
si dejenere operatörleri homomorfizma s1, 1:1 ve örten oldu˘gundan
bulunur. Ayrıca
s1: G1−→ G2
den
G2∼= G1∼= G0= G
olur.
f : G −→ H Homomorfizma Ker f = {g ∈ G : f (g) = eH} Ker f E G oldu˘gundan
N1= {(1, a1) : a1∈ N} E B1= G × N
olur. d1yüz operatörü
d1: B1= G × N −→ G
d1(g, a1) = g
¸seklinde tanımlı olup,
N1= Kerd1E G × N = B1
olur. Yani
Kerd1= {(g, a1) : d1(g, a1) = 1 = g}
= {(1, a1) : a1∈ N} = N1 B1
Benzer ¸sekilde d2: B2−→ B1yüz operatörü için
G× N × N d2 //G× N d1 //G
diyagramından, B2= G × N × N ve B1= G × N için
olur. Genel olarak Nk−1 Bk−1oldu˘gunu kabul edelim. k için ispat yapalım:
Bk−→dkBk−1−→dk−1 · · · −→d1 G
diyagramından, Ker(d1◦ d2◦ · · ·dk−1◦ dk) = Nk Bkolaca˘gı açıktır.
NkE Bk
2.
ÇAPRAZLANMI ¸S MODÜLLER, NORMAL DÖNÜ ¸SÜMLER VE
NORMAL YAPILAR
Çaprazlanmı¸s modüller ilk olarak 1950 yılında Whitehead tarafından gruplar üzerinde
tanımlanmı¸stır. Daha sonra çe¸sitli cebirsel yapılar, örne˘gin de˘gi¸smeli cebirler, Lie cebirler üzerinde
çaprazlanmı¸s modül uygulamaları yapılmı¸stır. g ∈ G için `(g) = `g : N −→ N bir otomorfizm
olmak üzere a¸sa˘gıdaki iki ¸sart sa˘glanırsa ` ye ∂ üzerinde bir normal dönü¸süm denir. ∂ : N −→ G
bir grup homomorfizmi ve ` : G −→ Aut(N) bir homomorfizm olsun.
NM1) ∂ (ag) = g−1∂ (a)g, her g ∈ G ve a ∈ N için
NM2) a∂ (b)= b−1ab, her a, b ∈ N için
Uyarı: G bir grup ve N6 G olsun. ∂ : N −→ G içine dönü¸süm ve G/N, N nin G deki sol kosetleri
kümesi olsun. Yani;
∂ : N −→ G
n7−→ n
ve G/N= {aN : a ∈ G} G nin G/N üzerine sol öteleme ile tanımlanan
G× G/N−→ G/N
(g, aN) 7−→ (aN)g= (ga)N
¸seklinde tanımlı bir do˘gal etkisi vardır. Buna göre a¸sa˘gıdakileri yazabiliriz:
Önerme: (Farjoun ve Hess, 2012) A¸sa˘gıdaki önermeler denktir.
i) NE G
iii) (G/N, ∗) ikilisi bir grup yapısıdır ve00∗00i¸slemi
(gN) ∗ (aN) = (g · aN) = (ga)N
dir.
˙Ispat: (i =⇒ ii) N E G olsun. Bu durumda her g ∈ G ve a ∈ N için g−1ag∈ N dir.
¸Simdi ` : G −→ Aut(N) dönü¸sümünün NM1) ve NM2) ¸sartlarını sa˘gladı˘gını gösterelim:
` : G −→ Aut(N)
g7−→ `g
olup her g ∈ G için
`g: N −→ N
bir otomorfizmdir ve her a ∈ N için
a7−→ `g(a) = g−1∂ (a)g = g−1ag∈ N
bulunur. Ayrıca her g1, g2∈ G için `(g1·g2) = (g1·g2)−1a(g1·g2) = g2−1(g1−1ag1)g2= g2−1(`g1(a))g2
= `g1◦ `g2(a) olur.
NM2) ¸sartını sa˘gladı˘gını gösterelim. Her a ∈ G ve b ∈ N için
a∂ (b)= `
∂ (b)(a) = `b(a) = b −1ab
olup NM1 ¸sartının sa˘glandı˘gı görülür. ¸Simdi NM1 ¸sartını sa˘gladı˘gını gösterelim. Her g ∈ G ve
a∈ N için
olur.
(ii =⇒ i) ` : G −→ Aut(N), NM1 ve NM2 ¸sartlarını sa˘glasın N E G oldu˘gunu gösterelim. ∀g ∈ G ve a ∈ N için g−1ag= ag= `g(a) olup;
`g: N −→ N
a7−→ `g(a) ∈ N
oldu˘gundan g−1ag∈ N olup N E G oldu˘gu gösterilmi¸s olur.
(ii =⇒ iii) (G/N, ∗), (gN) ∗ (aN) = (ga)N i¸slemine göre gruptur.Çünkü N E G dir. Bu i¸slem N E G
oldu˘gundan yani00∗00i¸slemi iyi tanımlı G/
N üzerinde bir ikili i¸slemdir.
2.1. Yardımcı Teorem: (Farjoun ve Segev, 2010) ∂ : N −→ G ye bir normal dönü¸süm ve ` : G −→
Aut(N) normal yapı olsun. Bu durumda
i) ∂ (N)E G dir. ii) Ker∂ 6 Z(N) dır.
iii) Ker∂ , `(G) altında invaryanttır.
Uyarı: ∂ : N −→ G bir grup homomorfizmi oldu˘gunda ∂ (N) nin G nin bir normal alt grubu olması
gerekmez. Yukarıdaki yardımcı teoremde e˘ger ∂ bir normal dönü¸süm ise ∂ (N) nin G nin bir
normal alt grubu oldu˘gunu söylemektedir.
Bu Teoremin ispatını kısaca yapalım; ˙Ispat: i) ∀g ∈ G ve a ∈ ∂ (N) için a = ∂ (n) olacak ¸sekilde
n∈ N vardır. Buradan g−1ag= g−1∂ (n)g dir. NM1) ¸sartından g−1∂ (n)g = ∂ (`g(n)) oldu˘gundan
ve `g(n) ∈ N oldu˘gundan g−1∂ (n)g ∈ ∂ (N) olur. Yani ∂ (N) G olur. ii) Ker∂ = {n ∈ N : ∂ (n) = eG} 6 Z(N) oldu˘gunu gösterelim.
a, b ∈ Ker∂ =⇒ ∂ (a) = eG, ∂ (b) = eGdir.
NM2 ¸sartından a∂ (b)= b−1ab...(1) elde edilir.
∂ (b) = eGoldu˘gundan a∂ (b)= aeG = a...(2)
∀a, b ∈ Ker∂ için ab = ba olup Ker∂ 6 Z(n) olur.
iii) ` : G −→ Aut(N), g 7−→ `g: N −→ N ∂ (`g(a)) = g−1∂ (a)g = g−1eGg= eGolup
a∈ Ker∂ =⇒ `g(a) ∈ Ker∂ olur. Yani Ker∂ invaryanttır.
2.1. Bar(G,N) Üzerindeki Bir Normal Simplisel Grup Yapısından ∂ : N −→ G Dönü¸sümü
Üzerindeki Bir Normal Yapıya
N ve G birer grup ve ∂ : N −→ G bir grup homomorfizması olsun.Bu bölümde elde
edilen Bar(G, N) üzerindeki normal simplisel grup yapısından tekrar, ∂ üzerinde normal yapıyı
elde edece˘giz. A¸sa˘gıdaki önerme ` : G −→ Aut(N) çaprazlanmı¸s modül yapısının nasıl
tanım-landı˘gını vermektedir.
Önerme: (Farjoun ve Segev, 2010) Kabul edelim ki Bar(G, N) bir normal simplisel grup yapısı ile
birlikte olsun. Bu durumda
1) (1, a) ∗ (1, b) = (1, ab), a, b ∈ N. Bu i¸slem N1= {(1, a) : a ∈ N} E B1de yer alır.
2) ` : G −→ Aut(N), g 7−→ `g: a 7−→ agdönü¸sümü
(1, ag) = (g−1, 1) ∗ (1, a) ∗ (g, 1) ile birlikte ∂ : N −→ G üzerinde bir normal yapıdır.
Burada G nin N üzerine olan grup etkisini
N× G −→ N
(a, g) 7−→ ag= `g(a)
¸seklinde tanımlayalım. Önce bunun iyi tanımlı oldu˘gunu gösterelim.
1) (a, g) = (a0, g0) =⇒ ag= a0g0 olmalı
` : G −→ Aut(N), `g: N −→ N
g= g0⇒ `g= `g0 ⇒ `g(a) = `g0(a)
a= a0⇒ `g(a) = `g0(a0) ⇒ ag= a0g 0
olup yani iyi tanımlı olur. 2) (a1a2)g= (a g 1) · (a g 2) olmalıdır. (a1a2)g= `g(a1· a2) = `g(a1)`g(a2) = (ag1) · (ag2) 3) ((a)g1)g2 = ag1g2 olmalı. (ag1)g2= `
g2(`g1(a)) = `g2◦ `g1(a) = `g2·g1(a) = a
g2g1 olur.
2.1.1. Yardımcı Teorem: (Farjoun ve Segev, 2010) k ≥ 0 ve a, b ∈ N olsun. Bu durumda
1) Bknın birim elemanı (1, 1, ..., 1) dir.
2) (1, a−1, a) ∗ (1, 1, b) = (1, a−1, ab)
3) ( f (a−1), a) ∗ (1, b) = ( f (a−1), ab)
4) (1, a) ∗ (1, b) = (1, ab) dir.
˙Ispat: 1) Tanımdan B0= G nin birim elemanı 1; G nin birim elemanıdır. Buradan tümevarımla
s0: Bk−→ Bk+1bir grup homomorfizmi oldu˘gundan her k ≥ 0 için
s0(1) = (1, 1) ∈ B1= G × N s0(1, 1) = (1, 1, 1) ∈ B2= G × N × N s0(1, 1, ..., 1) = (1, 1, ..., 1) ∈ Bk= G × Nk 2) ve 3) d22yi ve 1) i kullanırsak d22: B2−→ B1 d22((1, a−1, a)) = (1, a−1) d22((1, 1, b)) = (1, 1) olup (1, a−1) ∗ (1, 1) = (1, a−1)
d22(1, a−1, a) ◦ d22(1, 1, b) = d22((1, a−1, a) ∗ (1, 1, b)) d21(1, 1, b) = (1, b) d21(1, a−1, a) = (1, 1) d12(1, a−1, x) = (1, a−1x) d12((1, a−1, a) ∗ (1, 1, b)) = d12((1, a−1, x)) ⇒ (1, 1) ∗ (1, b) = (1, a−1x) ⇒ (1, b) = (1, a−1x) ⇒ a−1x= b ⇒ x = ab olur. Yani (1, a−1, a) ∗ (1, 1, b) = (1, a−1, ab)
oldu˘gu ispatlanmı¸s olur.
3) d02(1, a−1, a) = ( f (a−1), a) d20(1, 1, b) = (1, b) ( f (a−1), a) ∗ (1, b) = d02(1, a−1, a) ∗ d02(1, 1, b) = d02((1, a−1, a) ∗ (1, 1, b)) = d02(1, a−1, ab) = ( f (a−1), ab)
olur.
B1= G n`N, N nin G ile yarı-direkt çarpımı olsun. B1deki çarpım g, h ∈ G, a, b ∈ N
(h, a) ∗ (g, b) = (hg, ag· b)
i¸slemine göre B1= G n`Nbir gruptur.
2.1.2. Yardımcı Teorem: (Carrasco ve Cegarra, 1991) ϕ(g, a) = g f (a) ¸seklinde tanımlı ϕ : G n`
N−→ G dönü¸sümü bir homomorfizm olması için gerek ve yeter ¸sart (⇐⇒) f nin NM1 ¸sartını sa˘glaması gerekir.˙Ispat: ϕ ((h, a) ∗ (g, b)) = ϕ (hg, agb) ⇐⇒ = hg f (ag) f (b) ⇐⇒ = hgg−1f(a)g f (b) ⇐⇒ = h f (a)g f (b) ⇐⇒ = ϕ(h, a)ϕ(g, b)
2.1.3. Yardımcı Teorem: (Carrasco ve Cegarra, 1991) N nin kendi üzerine e¸slenik olma etkisini
göz önüne alırsak, çarpma i¸slemi ve N n N yarı-direkt çarpım formu bu etkiye uygundur. b, c ∈ N için bc= c−1bcdir. N n N bu etkiye göre;
i¸slemine göre N nN invaryanttır ve ψ : N nN −→ GnN, (a, b) 7−→ ( f (a), b) homomorfizm olması için gerek ve yeter ¸sart f nin NM2 ¸sartını sa˘glıyor olmasıdır.˙Ispat:
ψ ((a, b) ∗ (c, d)) = ψ (ac, c−1bcd) ⇐⇒ = ( f (ac), c−1bcd) ⇐⇒
= ( f (a) f (c), bf(c)d)(NM2)artß ⇐⇒ = ( f (a), b) ∗ ( f (c), d) ⇐⇒
= ψ(a, b) ∗ ψ(c, d). ⇐⇒
2.1.4. Yardımcı Teorem: (Carrasco ve Cegarra, 1991) a, b ∈ N olsun. Bu durumda
1) Her k ≥ 1 ve a1, a2, ..., ak, b1, b2, ..., bk∈ N için (1, a1, a2, ..., ak) ∗ (1, b1, b2, ..., bk) = (1, a1b1, ab21b2, ab31b2b3, ..., a b1b2...bk−1 k bk) dır. 2) g ∈ G ve (1, a1, a2, ..., ak) ∈ Nk için (1, a1, a2, ..., ak)(g,1,1,...,1)= (1, ag1, ag2, ..., agk) dir.
˙Ispat: Tümevarımla 1) i ispatlayalım. k = 1 için
(1, a1) ∗ (1, b1) = (1, a1b1)
oldu˘gunu gördük.
k− 1 için do˘grulu˘gunu kabul edelim k içinde sa˘gladı˘gını gösterelim. dk(1, a1, a2, ..., ak) = (1, a1, a2, ..., ak−1)
dk(1, b1, b2, ..., bk) = (1, b1, b2, ..., bk−1) olup; dk((1, a1, a2, ..., ak) ∗ (1, b1, b2, ..., bk)) = dk(1, a1, a2, ..., ak) ∗ dk(1, b1, b2, ..., bk) = (1, a1, a2, ..., ak−1) ∗ (1, b1, b2, ..., bk−1) = (1, a1b1, ab21b2, ab31b2b3, ..., a b1b2...bk−2 k−1 bk−1) (1, a1, a2, ..., ak) ∗ (1, b1, b2, ..., bk) = (1, a1b1, ab21b2, ab31b2b3, ..., ak−1b1b2...bk−2bk−1, X ) olup; dk−1(1, a1b1, ab21b2, ab31b2b3, ..., a b1b2...bk−2 k−1 bk−1, X ) = (1, a1b1, ab21b2, ab31b2b3, ..., a b1b2...bk−2 k−1 bk−1·X) olur. dk−1((1, a1, a2, ..., ak) ∗ (1, b1, b2, ..., bk)) = dk−1(1, a1, a2, ..., ak) ∗ dk−1(1, b1, b2, ..., bk) = (1, a1, a2, ..., ak−1ak) ∗ (1, b1, b2, ..., bk−1bk) ∈ Bk−1 = (1, a1b1, ab21b2, ..., (ak−1ak)b1b2...bk−2(bk−1bk))olup; ab1b2...bk−2 k−1 bk−1· X = (ak−1ak)b1b2...bk−2(bk−1bk) ab1b2...bk−2 k−1 bk−1· X = a b1b2...bk−2 k−1 · a b1b2...bk−2 k bk−1· bk bk−1· X = abk1b2...bk−2bk−1· bk X= (bk−1)−1· akb1b2...bk−2bk−1· bk X= (ab1b2...bk−2 k ) bk−1 bk X= ab1b2...bk−2bk−1 k bk
olur ve böylece ispat tamamlanmı¸s olur.
2.1.5. Yardımcı Teorem: (Farjoun ve Hess, 2012) f : N −→ G ve ` : G −→ Aut(N)
homomor-fizmleri NM1 ve NM2 ¸sartlarını sa˘glarlar. ˙Ispat: B1 = G n N, d0(g, a) = ga = g f (a) ¸seklinde
olup d0bir homomorfizm oldu˘gundan d0: G n N −→ G homomorfizm ⇐⇒ f , NM1 ¸sartını sa˘glar.
N2= {(1, a1, a2); a1, a2∈ N} ∼= N n N e¸slenik etkisi ile (N2⊂ B2) N2 d1 0 ∼ = // N n N ψ (a,b)=( f (a),b) B1= G × N ∼ = //G n N
Önerme: (Farjoun ve Hess, 2012) f : N −→ G homomorfizma (g, a1, a2, ..., ak), (h, b1, b2, ..., bk) ∈
Bkolsun. Bu durumda (g, a1, a2, ..., ak) ∗ (h, b1, b2, ..., bk) = (gh, ah1b1, a h· f (b1) 2 b2, a h· f (b1)· f (b2) 3 b3, ..., a h· f (b1)... f (bk−1) k bk) dır.
˙Ispat: Yardımcı Teorem 1.5.6 dan f ve ` için NM1 ve NM2 ¸sartlarının sa˘gladı˘gını göstermi¸stik. Yardımcı Teorem 1.5.5 1)’e göre
(1, a1, a2, ..., ak) ∗ (1, b1, b2, ..., bk) = (1, a1b1, ab21b2, ab31b2b3, ..., a b1b2...bk−1 k bk) f : N −→ G, a17−→ f (a1) olup a1= f (a1) oldu˘gundan (1, a1, a2, ..., ak) ∗ (1, b1, b2, ..., bk) = (1, a1b1, a f(b1) 2 b2, a f(b1)· f (b2) 3 b3, ..., a f(b1)... f (bk−1) k bk)
Burada f , NM2 ¸sartını sa˘glada˘gı için ve N nin kendisi üzerine etkisi konjuge yani e¸slenik etki
oldu˘gu için, ab1
2 = b−11 a2b1= a f(b1)
2 dir.
Burada Tanım 1.3.1’in ii) deki00∗00i¸slemi tanımlanmı¸s olur. Yardımcı Teorem 1.5.5 den
(1, a1, a2, ..., ak)(g,1,1,...,1)= (1, a g 1, a g 2, ..., a g k) yazabiliriz. (g, a1, a2, ..., ak)∗(h, b1, b2, ..., bk) = (g, 1, 1, ..., 1)∗(1, a1, a2, ..., ak)∗(1, b1, b2, ..., bk)∗(h, 1, 1, ..., 1) = (g, 1, 1, ..., 1) ∗ (1, a1b1, a f(b1) 2 b2, a f(b1)· f (b2) 3 b3, ..., a f(b1)... f (bk−1) k bk) ∗ (h, 1, 1, ..., 1) = (g, 1, 1, ..., 1) ∗ (1, a1b1, a f(b1) 2 b2, a f(b1)· f (b2) 3 b3, ..., a f(b1)... f (bk−1) k bk)(h,1,1,...,1) = (g, 1, 1, ..., 1) ∗ (h, ah 1b1, a h· f (b1) 2 b2, a h· f (b1)· f (b2) 3 b3, ..., a h· f (b1)... f (bk−1) k bk) = (gh, ah1b1, ah· f (b1) 2 b2, a h· f (b1)· f (b2) 3 b3, ..., a h· f (b1)... f (bk−1) k bk)
3.
f
: N −→ G ÜZER˙INDEK˙I B˙IR NORMAL YAPIDAN Bar(G,N)
ÜZER˙INDEK˙I B˙IR NORMAL S˙IMPL˙ISEL GRUP YAPISINA
Bu bölümde f : N −→ G, ve ` : G −→ Aut(N) grup homomorfizmleri olsun. Normal yapı
` : G −→ Aut(N), `g: N −→ N
g7−→ `ga7−→ ag
ile gösterilecektir.
Kabul edelim ki `, f üzerinde bir normal yapı olsun. N nin G üzerine g 7−→ g · f (a), g ∈
G ve a ∈ N için permütasyon etkisi ile etki etsin ve bunun sonucu olarak Bar(G, N) simplisel
kümesini ele alalım. Bu bölümde amacımız ` normal yapısının Bar(G, N) üzerinde bir normal
simplisel grup yapısını verdi˘gini gösterece˘giz. k ≥ 0 için Bküzerinde çarpma i¸slemini tanımlayarak
ba¸slayalım. k = 0 için B0= G ve B0daki i¸slem G deki i¸slemdir. k = 1 için Önerme 1.5.7 ye göre
a¸sa˘gıdaki çarpmayı tanımlayabiliriz.
(g, a1, a2, ..., ak) ∗ (h, b1, b2, ..., bk) = (gh, ah1b1, a h· f (b1)
2 b2, ..., a
h· f (b1)... f (bk−1)
k bk) olsun.
3.1.1. Teorem: (Farjoun ve Hess, 2012) k ≥ 0 olsun. Bu durumda
1) Bkbir gruptur.
2) d0: Bk−→ Bk−1, d0(g, a1, a2, ..., ak) = (g · f (a1), a2, a3, ..., ak) bir grup homomorfizmidir.
3) 1 ≤ i ≤ k − 1 olmak üzere di: Bk−→ Bk−1di(g, a1, a2, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ai· ai+1, ..., ak)
bir grup homomorfizmidir.
4) dk: Bk−→ Bk−1, dk(g, a1, a2, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ak−1) bir grup homomorfizmidir.
5) si: Bk−→ Bk+1, si(g, a1, a2, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ai, 1, ai+1, ..., ak) 0 ≤ i ≤ k olmak üzere si
ler birer grup homomorfizmidir.
edelim ki Bk bir grup ve fkda bir grup homomorfizmasıdır. k = 1 için Yardımcı Teorem 1.5.3 de
f: (g, a1) = G × N −→ G
(g, a1) 7−→ g f (a1)
bir grup homomorfizmi oldu˘gunu biliyoruz. A¸sa˘gıdaki diyagramı elde etmi¸s oluruz:
G× N f1 ∼ = // G n N ϕ G = //G
Kabul edelim ki bu durum k − 1 için do˘gru olsun.
fk−1: Bk−1−→ G
(g, a1, a2, ..., ak−1) 7−→ g · f (a1· a2· a3...ak−1)
bir homomorfizma olsun. Bu durumda Bk−1, N üzerine
a∈ N, (g, a1, a2, ..., ak−1) ∈ Bk−1olmak üzere
a(g,a1,a2,...,ak−1)= `
g· f (a1·a2·a3...ak−1)(a)
¸seklinde etkisi var demektir. Bu etkiye göre
Bk= Bk−1n N = {((g, a1, ..., ak−1), ak); ai∈ N, g ∈ G} kümesi
((g, a1, a2, ..., ak−1), ak) ∗ ((h, b1, ..., bk−1), bk)
= ((g, a1, a2, ..., ak−1) ∗ (h, b1, ..., bk−1) · a(h,bk 1,...,bk−1)· bk)
= (gh, a1hb1, ah· f (b2 1)b2, ..., ak−1h· f (b1...bk−2)bk−1, ah· f (bk 1...bk−1)bk)
˙I¸slemine göre bir grup olur.
¸Simdi f : Bk−1n N −→ G’nin bir homomorfizma oldu ˘gunu gösterelim. fk((g, a1, a2, ..., ak) ∗ (h, b1, b2, ..., bk)
= fk(gh, ah1b1, a h f(b1) 2 b2, ..., a h f(b1...bk−1) k bk) = gh · f (ah 1b1· ah f(b2 1)b2· ... · ah f(bk 1...bk−1)bk) = gh · f (a1)hf(b1) · f (a2)h f(b1)f(b2) · ... · f (ak)h f(b1) f (b2)... f (bk−1)f(bk) = (g f (a1) f (a2)... f (ak))(h f (b1) f (b2)... f (bk)) = fk(g, a1, a2, ..., ak) · fk(h, b1, b2, ..., bk)
olur. Yani fk bir grup homomorfizmi olur.
2) ¸Simdi d0ın bir grup homomorfizmi oldu˘gunu gösterelim:
d0((g, a1, a2, ..., ak) ∗ (h, b1, b2, ..., bk)) = d0(gh, ah1b1, a h· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1, a h· f (b1...bk−1) k bk) = (gh · f (ah1b1), ah· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1, a h· f (b1...bk−1) k bk) = (gh · f (a1)hf(b1), a h· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1, a h· f (b1...bk−1) k bk) = (gh · h−1f(a1)h f (b1), a h· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1, a h· f (b1...bk−1) k bk) = (g f (a1)h f (b1), ah· f (b2 1)b2, ..., ak−1h· f (b1...bk−2)bk−1, ah· f (bk 1...bk−1)bk) = (g f (a1), a2, ..., ak) ∗ (h f (b1), b2, ..., bk) = d0(g, a1, a2, ..., ak) ∗ d0(h, b1, b2, ..., bk)
olup d0bir grup homomorfizmidir.
3) f : N −→ G, NM1 ¸sartını sa˘gladı˘gından dolayı af(a)= ab, a, b ∈ N dir ve buradan
(g, a1, a2, ..., ak) = u ve (h, b1, b2, ..., bk) = v diyelim 0 < i < k için dk nın grup homomorfizmi
oldu˘gunu gösterelim. di(u ◦ v) = di(gh, ah1b1, a h· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1, ah· f (bk 1...bk−1)bk) = (gh, ah 1b1, a h· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bi−1) i bi· a h· f (b1...bi) i+1 bi+1, ..., a h· f (b1...bk−1) k bk) = (gh, ah1b1, ah· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bi−1) i bi· a h· f (b1...bi−1) f (bi) i+1 bi+1, ..., a h· f (b1...bk−1) k bk) = (gh, ah1b1, a h· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bi−1) i bi· (a h· f (b1...bi−1) i+1 ) f(bi)b i+1, ..., a h· f (b1...bk−1) k bk) = (gh, ah 1b1, a h· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bi−1) i bi· (a h· f (b1...bi−1) i+1 )bibi+1, ..., a h· f (b1...bk−1) k bk) = (gh, ah1b1, ah· f (b2 1)b2, ..., ah· f (bi 1...bi−1)bi· bi−1· (a h· f (b1...bi−1) i+1 ) · bi· bi+1, ..., ah· f (bk 1...bk−1)bk) = (gh, ah 1b1, a h· f (b1) 2 b2, ..., (ai· ai+1) h· f (b1...bi−1)· (b i· bi+1), ..., a h· f (b1...bk−1) k bk)
4) dk((g, a1, a2, ..., ak)?(h, b1, b2, ..., bk)) = dk(gh, ah1b1, a2h· f (b1)b2, ..., ah· f (bk−1 1...bk−2)bk−1, ah· f (bk 1...bk−1)bk) = (gh, ah 1b1, a h· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1) = (g, a1, a2, ..., ak−1) ? (h, b1, b2, ..., bk−1)
= dk(g, a1, a2, ..., ak−1) ? dk(h, b1, b2, ..., bk−1) olup dkbir grup homomorfizmasıdır.
5) si : Bk −→ Bk+1, si(g, a1, a2, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ai, 1, ai+1, ..., ak) dejenere
opre-ratörünün bir grup homomorfizması oldu˘gunu gösterelim.
si((g, a1, a2, ..., ak) ? (h, b1, b2, ..., bk)) = si(gh, ah1b1, a h· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1, a h· f (b1...bk−1) k bk) = (gh, ah1b1, ah· f (b1) 2 b2, ..., a h· f (b1...bi−1) i bi, 1, a h· f (b1...bi) i+1 bi+1, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1, ah· f (bk 1...bk−1)bk) ...(1) si(g, a1, a2, ..., ak)?si(h, b1, b2, ..., bk) = (g, a1, a2, ..., ai, 1, ai+1, ..., ak)?(h, b1, b2, ..., bi, 1, bi+1, ..., bk) = (gh, ah1b1, ..., ah· f (b1...bi−1) i bi, 1h· f (b1...bi−1)1, a h· f (b1...bi) i+1 bi+1, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1, a h· f (b1...bk−1) k bk) = (gh, ah1b1, ..., a h· f (b1...bi−1) i bi, 1, a h· f (b1...bi) i+1 bi+1, ..., a h· f (b1...bk−2) k−1 bk−1, a h· f (b1...bk−1) k bk) ...(2) (1) ve (2)’den si((g, a1, a2, ..., ak) ? (h, b1, b2, ..., bk)) = si(g, a1, a2, ..., ak) ? si(h, b1, b2, ..., bk) oldu˘gu görülür.
Sonuç olarak f homomorfizmi üzerinde bir normal yapının var olması için gerek ve yeter ¸sart
4.
DE ˘
G˙I ¸SMEL˙I CEB˙IRLERDE HOMOTOP˙I NORMAL DÖNÜ
¸SÜM-LER
Cebirlerin bir çaprazlanmı¸s modülü ∂ üzerinde homotopi normal yapı (veya
Çaprazlan-mı¸s modül yapısı) olarak adlandırdı˘gımız ` : G −→ Aut(N) homomorfizmi ile birlikte bir normal
dönü¸süm olarak adlandırdı˘gımız ∂ : N −→ G cebir homomorfizminden olu¸sur. g ∈ G için a ∈ N
nin `g altındaki görüntüsünü g · a ¸seklinde gösterece˘giz. Her k ∈ k, a, a0∈ N ve g, g0 ∈ G için
a¸sa˘gıdakiler sa˘glanır.
1. k(g · a) = (kg) · a = g · (ka)
2. g · (a + a0) = g · a + g · a0
3. (g + g0) · a = g · a + g0· a
4. g · (aa0) = (g · a)a0= a(g · a0), 0G· a = 0N, g · 0N= 0N
5. (gg0) · a = g · (g0· a)
∂ ve ` dönü¸sümlerinin a¸sa ˘gıdaki ¸sartları sa˘glaması gerekmektedir.
CM1) ∂ (g · a) = g∂ (a), her g ∈ G ve a ∈ N için
CM2) ∂ (a) · a0= aa0, her a, a0∈ N için.
Önerme: G ve N birere cebir ve ∂ : N −→ G bir cebir homomorfizmi olsun. E˘ger ` : G −→
Aut(N); g ∈ G dönü¸sümü ∂ : N −→ G homomorfizmi üzerinde bir çaprazlanmı¸s modül yapısı
ise bu durumda Im(∂ ), G’nin bir homotopi normalidir. NM1) dem her g ∈ G ve g0 ∈ Im(∂ ), g0= ∂ (a), a ∈ N elde ederiz.
gg0= g∂ (a) = ∂ (g · a) ∈ Im(∂ ).
Bu Im(∂ ), G’nin homotopi normalidir. Aksi takdirde e˘ger I, G0nin bir ideal cebiri ise bu durumda I−→ G içine dönü¸sümü G’nin I üzerine do˘gal etkisi ile bir çaprazlanmı¸s modül olur ve Ker(∂ ), N de bir homotopi normal dönü¸süm ve G üzerinde bir modül olur. Ker(∂ ), G/Im(∂ ) modülü olmak
için G/Im(∂ )’ın etkisini devraldı˘gından G nin homotopi normali olan Im(∂ ), Ker(∂ ) üzerine etkisiz
olur.
¸Simdi G bir cebir ve N, G’nin bir altcebiri olsun. ∂ : N −→ G içine bir dönü¸süm ve G/N de G
deki N lerin cosetlerinin bir kümesi olsun. Bu durumda G’nin G/N kümesi üzerine sol çarpım
üzerinden do˘gal bir etkisi vardır. Dolayısıyla a¸sa˘gıdaki önermelerin denk olduklarını kanıtlamak
kolaydır.
i) N, G’nin homotopi normalidir.
ii) ∂ : N −→ G içine dönü¸sümü üzerinde bir çaprazlanmı¸s modül yapısı vardır.
iii) G’nin G/N üzerine
g· (g0+ N) = gg0+ N
etkisi ile G/N üzerinde bir cebir yapısı vardır.
4.1. ˙Ideal Simplisel Cebir Yapısı
Bu bölümde N ve G yi birer k-cebir ve ∂ : N −→ G dönü¸sümünü ise bir k-cebir
homomor-fizmi olarak kabul edece˘giz. A¸sa˘gıdaki Yardıöcı teoremde ∂ : N −→ G cebir homomorfizmasından
bir simplisel k-modül yapısını verece˘giz.
4.1.1. Yardımcı Teorem: Kabul edelim ki ∂ : N −→ G k-cebirlerin bir homomorfizması olsun. Bu
durumda Bar(G, N) bar yapısı a¸sa˘gıdak verilerle bir simplisel k-modül olu¸sturur.
i) B0= G ve herbir n ≥ 1 tamsayısı için Bn= G × ×Nn, her g, g0∈ G ve ai, a0i∈ N için
(g, a1, a2, ..., an) ⊕ (g0, a01, a02, ..., a0n) = (g + g 0, a
1+ a01, a2+ a02, ..., an+ a0n)
ve her k ∈ k için
k(g, a1, a2, ..., an) = (kg, ka1, ka2, ..., kan)
ii) Her n ≥ 1 ve 0 ≤ i ≤ n için din: di: Bn−→ Bn−1k-modül yüz homomorfizmleri d0(g, a1, a2, ..., an) = (g + ∂ (a1), a2, a3, ..., an), di(g, a1, a2, ..., ai, ai+1, ..., an) = (g, a1, a2, ..., ai+ ai+1, ..., an) ve dn(g, a1, a2, ..., an) = (g, a1, a2, ..., an−1) ¸seklinde tanımlanır.
iii) Her n ≥ 0 ve 0 ≤ i ≤ n için sj: Bn−→ Bn+1k-modül dejenere homomorfizmleri
sj(g, a1, a2, ..., an) = (g, a1, a2, ..., ai, 0, ai+1, ..., an)
¸seklinde tanımlanır.
˙Ispat: i) B0= G, k-cebiri G’nin temel (esas) k-modülüdür ve k-modüllerin direkt çarpım
tanımın-dan her n ≥ 1 tamsayısı için Bn= G × Nnbir k-modül elde ederiz.
ii) Her 0 ≤ i ≤ n için di yüz dönü¸sümlerinin Bn −→ Bn−1 e birer k-modül homomorfizmleri
oldu˘gunu gösterelim. u= (g, a1, a2, ..., an), v = (g0, a01, a02, ..., a0n) ∈ Bkve k ∈ k için d0(u ⊕ v) = d0(g + g0, a1+ a01, a2+ a02, ..., an+ a0n) = ((g + g0) + ∂ (a1+ a01), a2+ a02, ..., an+ a0n) = (g + ∂ (a1) + g0+ ∂ (a01), a2+ a02, ..., an+ a0n) = (g + ∂ (a1), a2, ..., an) ⊕ (g0+ ∂ (a01), a 0 2, ..., a 0 n) = d0(u) ⊕ d0(v)
ve d0(ku) = d0(kg, ka1, ka2, ..., kan) = ((kg) + ∂ (ka1), ka2, ka3, ..., kan) = (k(g + ∂ (a1)), ka2, ka3, ..., kan) = k(g + ∂ (a1), a2, a3, ..., an) = kd0(u)
elde ederiz. Benzer ¸sekilde
di(u ⊕ v) = di(g + g0, a1+ a01, a2+ a02, ..., an+ a0n) = (g + g0, a1+ a01, ..., ai+ ai0+ ai+1+ a0i+1, ..., an+ a0n) = (g + g0, a1+ a01, ..., ai+ ai0+ ai+1+ a0i+1, ..., an+ a0n) = (g, a1, a2, ..., ai+ ai+1, ..., an) ⊕ (g0, a01, a02, ..., a0i+ a 0 i+1, ..., a 0 n) = di(u) ⊕ di(v) dir. Ve di(ku) = di(kg, ka1, ka2, ..., kan) = (kg, ka1, ka2, ..., kai+ kai+1, ..., kan) = k(g, a1, a2, ..., ai+ ai+1, ..., an) = kdi(u)
elde ederiz. Ve yine dn(u ⊕ v) = dn(g + g0, a1+ a01, a2+ a02, ..., an+ a0n) = (g + g0, a1+ a01, a2+ a02, ..., an−1+ a0n−1) = (g, a1, a2, ..., an−1) ⊕ (g0, a01, a02, ..., a0n−1) dn(u) ⊕ dn(v) ve dn(ku) = dn(kg, ka1, ka2, ka3, ..., kan) = (kg, ka1, ka2, ka3, ..., kan−1) = k(g, a1, a2, a3, ..., an−1) = kdn(u) elde ederiz.
iii) ¸Simdi sj dejenere dönü¸sümlerinin k-modül homomorfizmleri oldu˘gunu gösterelim.
sj(u ⊕ v) = sj(g + g0, a1+ a01, a2+ a02, ..., an+ a0n) = (g + g0, a1+ a01, ..., aj+ a0j+ 0 + aj+1+ a0j+1, ..., an+ a0n) = (g, a1, a2, ..., aj, 0, aj+1, ..., an) ⊕ (g0, a01, a02, ..., a0j, 0, a 0 j+1, ..., a 0 n) = sj(u) ⊕ sj(v).
Benzer ¸sekilde sj(ku) = ksj(u) elde edilir.
4.2. Bar(G, N) Üzerindeki Bir ˙Ideal Simplisel Cebir Yapısı
Bu bölümde Bar(G, N) simplisel k-modül üzerindeki bir ideal simplisel cebir yapısının
4.2.1. Tanım: B := Bar(G, N) olsun. B üzerindeki bir ideal simplisel cebir yapısı tarafından ...
a¸sa˘gıdakiler
i) B0= G G k-cebiridir.
ii) Her k> 1 için bir k-cebir yapısı ile k-modülü Bk:= G × Nkverilmi¸s olsun ve Bkdaki çarpım
i¸slemini her g, g0∈ G ve ai∈ N için
(g, a1, . . . , ak) ∗ (g0, a01, . . . , a0k).
¸seklinde ifade edelim.
iii) dk
i yüz operatörü ve skj dejenere operatörü birer k-cebir homomorfizmleridir.
¸Simdi, bir simplisel cebirin yarı-direkt çarpımının ayrı¸sımınından bahsedelim.
4.2.2. Tanım: G k-cebir ve N1, N2, ..., Nn, n> 2, G’nin altgrupları olsun. E˘ger a¸sa˘gıdaki sartlar
sa˘glanırsa G k-cebiri N1, N2, ..., Nn’lerin yarı-direkt çarpımı olur.
(i) N1+ N2+ ... + Ns16 s 6 niçin, G’nin bir idealidir.
(ii) N1+ N2+ ... + Nn= G,
(iii) (N1+ N2+ ... + Ns) ∩ Nt= {0} , 1 6 s < t 6 n için.
G= N1n N2n ... n Nn olarak ifade edelim. Herhangi bir eleman can be uniquely
ex-pressed as n1+ n2+ ... + nnwith ni∈ Niolacak ¸sekilde bir tek gösterime sahiptir..||
4.2.3. Yardımcı Teorem: E simplisel cebir olsun. Bu durumda Ek, yarı-direkt çarpımın
ayrı¸sımı ¸seklinde ifade edilebilir:
sk−1(Ek−1) n ker dk∼= Ek.
˙Ispat: θ : Ek → sk−1(Ek−1) n ker dk izomorfizması θ (a) = (sk−1dka, a − sk−1dka) için a ∈ Ek
¸seklinde tanımlanabilir
1. Nk:= {(0G, 0N, 0N, . . . , 0N, ak) : ak∈ N}.
2. Gk:= {(s, a1, a2, . . . , ak−1, 0N) : g ∈ G, ai∈ N}.
4.2.4. Yardımcı Teorem: Tanım 4.2.1 deki gibi tanımlamı¸s ¸sekilde bir ideal grup yapısı ile Bar(G, N)
yapısı verilmi¸s olsun. k> 1 olsun. Bu durumda, Nk, N’ye izomorfik olan Bk’nın bir idealidir ve
Bk= Gk+ Nkve Gk∩ Nk= {0} dır. ˙Ispat:
ker dk= {(g, a1, a2, ..., ak) : dk(g, a1, a2, ..., ak) = (g, a1, a2, ..., ak−1) = (0G, 0N, ..., 0N)}
= {(0G, 0N, ..., 0N, ak) : ak∈ N}
= Nk,
Bu Bk’nın bir idealidir. Di˘ger bir taraftan, Gk, Gk−1’in sk−1 altındaki görüntüsü iken, yukarıdaki
Yardımcı Teoremlerden ve tanımlardan , we get clearly Gk∩ Nk= {0} ve Bk= Gk+ Nkelde ederiz.
Buradan, Bk= Gkn Nkbuluruz.
Uyarı: k = 1 için, Yardımcı Teorem 4.2.3 den, B1∼= S1n R1elde ederiz, G1= {(g, 0N) : g ∈ G} ∼=
5.
Bar(G, N) ÜZER˙INDEK˙I B˙IR ˙IDEAL S˙IMPL˙ISEL CEB˙IR
YAPISIN-DAN ∂ : N −→ G DÖNÜ ¸SÜMÜ ÜZER˙INDEK˙I HOMOTOP˙I
NOR-MAL YAPIYA
Bu bölümde N ve G birer k-cebir ve ∂ : N −→ G ise k-cebir homomorfizması olarak kabul
edece˘giz. Bu bölümün amacı birle¸smeli Bar(G, N) bar yapısı üzerindeki bir ideal simplisel cebir
yapısından ∂ : N −→ G homomorfizmi üzerinde çaprazlanmı¸s modül yapısı (veya bir homotopi
normal yapısı) kurabilece˘gimizi ispat etmektir.
Önerme: Farzedelim ki bir ideal simplisel cebir yapısı ile Bar(G, N) verilmi¸s olsun. Bu durumda;
1. Her a, a0∈ N (0, a) ⊕ (0, a0) = (0, a + a0) ve (0, a) ∗ (0, a0) = (0, aa0) dir.
2. ` : G −→ Aut(N)
`g: a 7−→ g · a
¸seklinde tanımlanan ` dönü¸sümü ∂ üzerinde bir ideal yapısı (veya çaprazlanmı¸s modül
yapısı) nı verir.
Her (g, 0N) = s0(g) ∈ G1ve (0G, a) ∈ N1= Kerd1.
(0G, g · a) = (g, 0N) ∗ (0G, a)
dir.
˙Ispat: Önerme ve Yardımcı Teorem 4.2.4 ile birlikte ` dönü¸sümü N üzerindeki G’nin iyi tanımlı bir etkisidir. Bu önermeyi ispat için bir ideal simplisel cebir yapısı ile Bar(G, N) bar yapısı bölüm
1.2 de tanımlandı˘gı ¸sekilde verilmi¸s oldu˘gunu kabul edelim.
1. Bu özelli˘gi Yardımcı Teorem 5.1.1 nin iv) ¸sartından ispatlayaca˘gız.
Her g, g0∈ G ve a ∈ N için (0G, (gg0) · a) = (gg0, 0N) ∗ (0G, a) = ((g, 0N) ∗ (g0, 0N)) ∗ (0G, a) = (g, 0N) ∗ ((g0, 0N) ∗ (0G, a)) = (g, 0N) ∗ (0G, g0· a) = (0G, g · (g0· a))
iken her a ∈ N için `gg0(a) = (gg0) · a = g · (g0· a) = `g(`g0(a)) = `g◦ `g0(a) buluruz.
Buradan `(gg0) = `gg0 = `g◦ `g0= `(g) ◦ `(g0) elde ederiz. Benzer ¸sekilde `(g + g0) = `(g) + `(g0)
elde ederz. Di˘ger taraftan her a1, a2∈ N için Yardımcı Teorem 5.1.1 den (0G, a1) ⊕ (0G, a2) =
(0G, a1+ a2) elde edilir ve bu durumda
(0G, g · (a1+ a2)) = (g, 0N) ∗ (0G, a1+ a2)
= (g, 0N) ∗ ((0G, a1) ⊕ (0G, a2))
= (g, 0N) ∗ (0G, a1) ⊕ (g, 0N) ∗ (0G, a2)
= (0G, g · a1) ⊕ (0G, g · a2).
Sonuç olarak, herbir g ∈ G, `g∈ Aut(N) için `g(a1+ a2) = `g(a1) + `g(a2) buluruz.
5.1.1. Yardımcı Teorem: k> 0 and a, a0∈ N olsun. Bu durumda (i) Bk’nın birim (etkisiz) elemanı (0G, 0N, . . . , 0N) dır,
(ii) (0, −a, a) ⊕ (0, 0, a0) = (0, −a, a + a0), (iii) (−η(a), a) ⊕ (0, a0) = (−η(a), a + a0), (iv) (0, a) ∗ (0, a0) = (0, aa0).
˙Ispat:
(i) Tanımdan, B0= G’nin birim elemanı G’nin birim elemanı olan 0Gdir. Her k> 0 için
(0G, 0N), B1’in birim elemanını verir ve s0(0G, 0N) = (0G, 0N, 0N), B2’nin birim elemanıdır ve
Tümevarımla bu böyle her Bkiçin sa˘gladı˘gı görülür.
(ii) d22’nin uygulanması ve (i)’nin kullanılmasıyla;
(0G, −a, a) ⊕ (0G, 0N, a0) = (0G, −a, x).
bulunur. Yine d12’nin uygulanması ve (i)’nin kullanılmasıyla;
(0G, a0) = (0G, −a + x)
bulunur. Buradan x = a + a0bulunur ve (ii)’i sa˘glanmı¸s olur.
(iii) Bu kısım (ii)’ye d02’nin uygulanmasıyla sa˘glandı˘gı görülür.
(iv) Bir ideal simplisel cebir yapısı ile Bar(G, N) bar yapısı verilmi¸s oldu˘gunda B1’in
tanımından, g ∈ G, a ∈ N için d0(g, a) = g+∂ (a), d1(g, a) = g ve s0(g) = (g, 0) oldu˘gunu biliyoruz.
E˘ger (g, a) ∈ ker d1ise, d1(g, a) = g = 0Golur ve bu durumda (0, a) ∈ ker d1olur.
ker d1= {(0, r) : r ∈ R} = {0} × R
oldu˘gunu biliyoruz. d0’ın ker d1’e indirgenmesini a ∈ N için d0(0, a) = ∂ (a)’dan elde ederiz.
θ (0, a) = a’dan θ : {0} × N → N ¸seklinde bir izomorfizm vardır. Her a, a0∈ N için, aa0= θ (0, aa0) ve aa0= θ (0, a)θ (0, a0) = θ ((0, a)∗(0, a0)) bulunur. Burada θ (0, aa0) = θ ((0, a)∗(0, a0)) oldu˘gunu biliyoruz. θ bir izomorfizm oldu˘gundan; (0, a) ∗ (0, a0) = (0, aa0) e¸sitli˘gini elde ederiz.
Yardımcı Teorem 4.2.4 ve Uyarıyı kullanarak a¸sa˘gıdaki sonucu elde ederiz.
5.1.2. Yardımcı Teorem: Bir ideal simplisel cebir yapısı ile Bar(G, N) bar yapısı verilmi¸s olsun.
Bu durumda Her g, g0∈ G ve a, a0∈ N için,
dan
B1∼= G1n N1∼= G n N = {(g, a) : g ∈ G, a ∈ N}
(g, a) ∗ (g0, a0) = (gg0, g · a0+ g0· a + aa0)
N’nin G ile çarpımından olan yarı-direkt çarpımıdır.
˙Ispat: Yardımcı Teorem 4.2.4 den B1∼= G1n N1dir. G1= {(g, 0N) : g ∈ G} ∼= G ve N1= {(0N, a) :
a∈ N} ∼= N. B1herhangi bir elemanı olan (g, a) (g, 0N) + (0G, a) toplamı ¸seklinde ifade edilebilir.
Burada
(g, a) ∗ (g0, a0) = ((g, 0N) + (0G, a)) ∗ ((g0, 0N) + (0G, a0))
= (g, 0N) ∗ (g0, 0N) + (g, 0N) ∗ (0G, a0) + (0G, a) ∗ (g0, 0N) + (0G, a) ∗ (0G, a0)
= (gg0, 0N) + (0G, g · a0) + (0G, g0· a) + (0G, aa0)
= (gg0, g · a0+ g0· a + aa0).
5.1.3. Yardımcı Teorem: Φ(g, a) = g+∂ (a) ¸seklinde tanımlı Φ : GnN → G dönü¸sümünün bir cebirler homomorfizması olması için gerek ve yeter ¸sart ∂ ’ın (CM1) ¸sartını sa˘glamasıdır. ˙Ispat:
Her (g, a), (g0, a0) ∈ G n N için,
Φ((g, a) ⊕ (g0, a0)) =Φ((g + g0, a + a0)) =g + g0+ ∂ (a + a0) =g + ∂ (a) + g0+ ∂ (a0) =Φ(g, a) + Φ(g0, a0)
ve
Φ((g, a) ∗ (g0, a0)) =Φ(gg0, g · a0+ g0· a + aa0) =gg0+ ∂ (g · a0+ g0· a + aa0)
=gg0+ g∂ (a0) + g0∂ (a) + ∂ (a)∂ (a0) (CM1) den =g(g0+ ∂ (a0)) + ∂ (a)(g0+ ∂ (a0))
=(g + ∂ (a))(g0+ ∂ (a0)) =Φ((g, a))Φ((g0, a0)).
5.1.4. Yardımcı Teorm: N’in kendisi üzerine çarpma i¸slemi ve N n N yarı-direkt çarpımın N’in kendisi üzerine olan etkisine uygunlu˘gundan yine N’in kendisi üzerine olan etkisini gözönüne
alalım. Burada
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
ve
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + bc + bd), a, b, c, d ∈ N.
Bu durumda, (a, b) 7→ (∂ (a), b) ¸seklinde tanımlı Ψ : N n N → G n N dönü¸sümünün bir homomor-fizm olması için gerek ve yeter ¸sart ∂ ’ın (CM2) ¸sartını sa˘glamasıdır. ˙Ispat: Her (a, b), (c, d) ∈
N n N için,
Ψ((a, b) ⊕ (c, d)) =Ψ((a + c, b + d))
=(∂ (a + c), b + d)
=(∂ (a), b) + (∂ (c), d)
buluruz, ve Ψ((a, b))Ψ((c, d)) =(∂ (a), b)(∂ (c), d) =(∂ a∂ c, ∂ (a) · d + ∂ (c) · b + bd) =(∂ (ac), ad + bc + bd) (CM2) den =Ψ(ac, ad + bc + bd) =Ψ((a, b) ∗ (c, d)).
5.1.5. Yardımcı Teorem: ai, bi∈ N olsun. Bu durumda
(i) (0S, a1, . . . , ak) ∗ (0S, b1, . . . , bk) = (0S, a1b1, a1b2+ a2(b1+ b2), . . . , ( k−1
∑
i=1 ai)bk+ ak k∑
i=1 bi).(ii) s ∈ S ve (0S, a1, a2, . . . , ak) ∈ Bkolsun. Bu durumda;
(0S, a1, . . . , ak) ∗ (s, 0R, . . . , 0R) = (0S, s · a1, s · a2, . . . , s · ak).
˙Ispat: (i)’in ispatını tümevarımla yapalım. k = 1 için
(0s, a1) ∗ (0S, b1) = (0S, a1b1).
dir. Bu durumda, dk’nın uygulanması ve tümevarımla;
(0S, a1, . . . , ak) ∗ (0S, b1, . . . , bk) = (0S, a1b1, . . . , ( k−2
∑
i=1 ai)bk−1+ ak−1 k−1∑
i=1 bi, x).oldu˘gunu görürüz. dk−1’in uygulanması ve tümevarımın bir kez daha kullanılmasıyla; (0S, a1b1, . . . , ( k−2
∑
i=1 ai)bk−1+ ak−1 k−1∑
i=1 bi+ x) =(0S, a1, . . . , ak−1+ ak) ∗ (0S, b1, . . . , bk−1+ bk) =(0S, a1b1, . . . , k−2∑
i=1 ai(bk−1+ bk) + (ak−1+ ak) k∑
i=1 bi) =(0S, a1b1, . . . , k−2∑
i=1 ai(bk−1) + k−2∑
i=1 ai(bk) + ak−1 k∑
i=1 bi+ ak k∑
i=1 bi) =(0S, a1b1, . . . , k−2∑
i=1 ai(bk−1) + ak−1 k−1∑
i=1 bi+ ak−1bk+ k−2∑
i=1 ai(bk) + (ak) k∑
i=1 bi). elde ederiz. x= ( k−1∑
i=1 ai)bk+ ak k∑
i=1 bi.bulunur. (ii) Benzer ¸sekilde tümevarımla (ii)’nin ispatını yapalım. k = 1 için,
(0S, a1) ∗ (s, 0R) = (0S, s · a1).
oldu˘gunu biliyoruz. k − 1için dk’nın uygulanması ve tümerımla;
(0S, a1, . . . , ak) ∗ (s, 0R, . . . , 0R) = (0S, s · a1, s · a2, . . . , s · ak−1, x).
oldu˘gu görülür. Bu durumda dk−1’in uygulanması ve tümevarımla;
(0S, s · a1, . . . , s · ak−1+ x) =(0S, a1, . . . , ak−1+ ak) ∗ (s, 0R, . . . , 0R)
=(0S, s · a1, . . . s · (ak−1+ ak))
Önerme: ` : G → Aut(N) ve ∂ : N → G homomorfizmleri CM1 ve CM2 ¸sartlarını
sa˘glar-lar. ˙Ispat: B1= G n N den, ve
d0: G n N = B1→ B0= S
d0(g, a) = g + ∂ (a) ¸seklinde tanımlı d0’ın homomorfizm olmasından, Yardımcı Teorem 5.4 den
∂ : N → G dönü¸sümü (CM1) i sa ˘gladı˘gı görülür. Yardımcı Teorem 5.6 dikkate alınırsa B1n N = B2’nin ideali olan N1n N, N n N’ye izomorfiktir.d0 dönü¸sümü d0(0S, a, b) = (0S+ ∂ (a), b) =
(∂ (a), b) tarafından elde edilen R1n R’e sınırlıdır ve N n N’den Ψ(a, b) = (∂ (a), b) ile elde edilen G n N’ye bir homomorfizmdir. Yardımcı Teorem 5.5’den, ∂ dönü¸sümünün (CM2) ¸sartını sa˘gladı˘gını biliyoruz.
(g, a1, . . . , ak), (g0, b1, . . . , bk) ∈ Bk olsun. Bu durumda yukarıdaki sonuçlardan
(g, a1, . . . , ak) ∗ (g0, b1, . . . , bk) =(gg0, g · b1+ g0· a1+ a1b1, g · b2+ g0· a2+ a1b2+ a2(b1+ b2), . . . , g · bk+ g0· ak+ k−1
∑
i=1 aibk+ ak k∑
i=1 bi). elde ederiz.KAYNAKLAR D˙IZ˙IN˙I
Arvasi, Z., Porter, T., (1998), Freeness Conditions for 2-Crossed Module of Commutative Algebras,
Applied Categorical Structures, 6, 455-477.
Arvasi, Z., Porter, T., (1997), Higher Dimensional Peiffer Elements in Simplicial Commutative
Algebras, Theory and Applications of Categories, 3, (1), 1-23.
Carrasco, P., Cegarra, A.M., (1991), Group-Theoretic Algebraic Models for Homotopy Types,
Journal of Pure and Applied Algebra, 75, 195-235.
Duskin, J., (1975), Simplicials Methods and Interpretation of Triple Cohomology, Memoirs
A.M.S., 3, 163.
Farjoun, E.D., Hess, K., (2012), Normal and Co-Normal Maps in Homotopy Theory, Homology,
Homotopy and Applications, 14, (1), 79-112.
Farjoun, E.D., Segev, Y., (2010), Crossed Modules as Homotopy Normal Maps, Topology and
its Applications, 157, 359-368.
Porter, T., (1986), Homology of Commutative Algebras and Invariant of Simis and Vasconceles,
Journal of Algebra, 99, 458-465.
Shammu, N.M., (1992), Algebraic and Categorical Structure of Category of Crossed Modules of
Algebras, University of Wales, Ph. D. Thesis.
