Lacunary Quasi Cauchy dizileri

T.C.

NİĞDE ÖMER HALİSDEMİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

LACUNARY QUASİ CAUCHY DİZİLERİ

MİNE KUŞDEMİR

Eylül 2020 M. KUŞDEMİR, 2020 YÜKSEK LİSANS TEZİ E ÖMER HALİSDEMİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C.

NİĞDE ÖMER HALİSDEMİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

LACUNARY QUASİ CAUCHY DİZİLERİ

MİNE KUŞDEMİR

Yüksek Lisans Tezi

Danışman

Dr. Öğr. Üyesi Nurhan KAPLAN

Eylül 2020

Mine KUŞDEMİR tarafından Nurhan KAPLAN danışmanlığında hazırlanan

“Lacunary Quasi Cauchy Dizileri ” adlı bu çalışma jürimiz tarafından Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı’nda Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.

Başkan : Prof. Dr. Adnan TUNA

( Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü)

Üye : Dr. Öğr. Üyesi Nurhan KAPLAN

( Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü)

Üye : Dr. Öğr. Üyesi Ümit TOKEŞER

( Kastamonu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü) ONAY:

Bu tez, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulunca belirlenmiş olan yukarıdaki jüri üyeleri tarafından …./…./20.... tarihinde uygun görülmüş ve Enstitü Yönetim Kurulu’nun …./…./20.... tarih ve …... sayılı kararıyla kabul edilmiştir.

.../.../20...

Prof. Dr. Murat BARUT MÜDÜR

TEZ BİLDİRİMİ

Tez içindeki bütün bilgilerin bilimsel ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Mine KUŞDEMİR

ÖZET

LACUNARY QUASİ CAUCHY DİZİLERİ

KUŞDEMİR, Mine

Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman : Dr. Öğr. Üyesi Nurhan KAPLAN

Eylül 2020, 37 sayfa

 

sn reel terimli bir dizi olmak üzere bu dizinin ardışık terimleri arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa yani; d s



_n1,s_n



0



n 



oluyorsa

 

sn dizisine bir quasi cauchy dizisi denir. Reel sayılar kümesinin bir A alt kümesinden reel sayılar kümesi içine bir f fonksiyonu eğer quasi cauchy dizilerini quasi cauchy dizilerine dönüştürüyorsa, yani A da olan her

 

n quasi cauchy dizisi için



f

 

n



dönüşüm diziside quasi cauchy oluyorsa f fonksiyonuna ward süreklidir denir. Reel sayılar kümesinin bir A alt kümesinden alınan her bir

 

n dizisinin en az bir quasi cauchy alt dizisi bulunabiliyorsa A ya ward kompakt küme denir.

 

n reel terimli bir dizi olmak

üzere 1

lim 0

r

r n r n I

h  L

 



  ^oluyorsa

^{ }

^n dizisi Lℝ ye N_-yakınsaktır denir ve lim _n

N_   L ile gösterilir.

 

n bir dizi ve



n



dizisi sıfıra N_-yakınsak olsun.

Yani; 1

lim 0

r

r n r n I

h 

 

 



olsun. Bu durumda

 

n dizisine kuvvetli N_-quasi cauchy ya da N_-quasi cauchy denir ve N_ ile gösterilir.

Anahtar Sözcükler: Quasi cauchy dizileri, ward süreklilik, kompaktlık, lacunary quasi cauchy dizileri

SUMMARY

KUŞDEMİR, Mine

Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi Graduate School of Science and Engineering

Department of Mathematics

Supervisor : Dr. Öğr. Üyesi Nurhan KAPLAN

September 2020, 37 pages

İf the consecutive terms of the sequence

 

sn whose terms are real numbers converges to 0, namely d s



_n1,s_n



0



n 



,

 

sn is called a quasi-cauchy sequence. İf a f function from the set A which is the subset of real numbers to real numbers, that is for each

 

n quasi-cauchy sequence if



^f

 

^n



is quasi-cauchy sequence , the f

function is called ward-continuty. For each

 

n sequence taken fromthe set A which is the subset of real numbers contains at least a quasi-cauchy subsequence, then A is ward-compact set. Let

 

n real terms sequence, if 1

lim 0

r

r n r n I

h  L

 



  , then the sequence,

 

n is called N_-converges to Lℝ and it is denoted by N_ lim_n L. Assume that the sequence

 

n and the sequence



n



N_-convergents to zero.

That is 1

lim 0

r

r n r n I

h 

 

 



. In this case , the sequence

 

n is called strongly N_- quasi cauchy or N_-quasi cauchy and it is denoted by N_.

Key words: Quasi cauchy sequence, ward continuity, ward compactness, lacunary quasi cauchy sequence

ÖN SÖZ

Yüksek lisans tez çalışmamın yürütülmesi esnasında, çalışmalarıma yön veren, bilgi ve yardımlarını esirgemeyen ve bana her türlü desteği sağlayan danışman hocam, Sayın Dr.Öğr. Üyesi Nurhan KAPLAN' a en içten teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans tez çalışmam esnasında tecrübelerine başvurduğum Dr.Öğr. Üyesi Hüseyin KAPLAN’a ve diğer hoclarıma müteşekkir olduğumu ifade etmek isterim.

Bu tezi, sadece bu çalışmam boyunca değil, tüm öğrenim hayatım boyunca maddi ve manevi desteğini esirgemeyen aileme teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... iv

SUMMARY ... v

ÖN SÖZ ... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

SİMGE VE KISALTMALAR ... viii

BÖLÜM I TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER ... 1

BÖLÜM II QUASİ CAUCHY DİZİLERİ ... 17

BÖLÜM III METRİK UZAYLARDA Q.C DİZİLERİ ... 24

BÖLÜM IV KUVVETLİ LACUNARY Q.C DİZİLERİ ... 28

BÖLÜM V SONUÇ ... 35

KAYNAKLAR ... 36

ÖZ GEÇMİŞ ... 38

SİMGE VE KISALTMALAR

Simgeler Açıklama

X Metrik uzay

ℂ Kompleks sayılar kümesi ℕ Doğal sayılar kümesi Q.C Quasi cauchy

ℝ Reel sayılar kümesi

s(ℝ) Reel terimli tüm dizilerin vektör uzayı

W(C) Ward sürekli

ℤ Tam sayılar kümesi

BÖLÜM I

TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER

Tanım 1.1. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir.

Tanım1.2. A ve B kümeleri verilsin. a A ve bB olmak üzere

 

a b sıralı ^, ikililerinin oluşturduğu kümeye A ve B kümelerinin Kartezyen kümesi denir ve A B ile gösterilir.

Tanım 1.3. A B nin her bir alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.

Tanım 1.4. X , Y ≠∅ olmak üzere X den Y ye olan bir f bağıntısı;

i. ∀ xX için

 

^{x y,  f} olacak şekilde ∃ y ∈Y vardır.

ii.

 

^{x y, f ve}

 

^{x z,  f ⇒ yz.}

özelliklerini sağlıyorsa f ye X den Y ye bir fonksiyon denir.

Tanım 1.5. Tanım kümesi ℕ (doğal sayılar) olan fonksiyona dizi denir. Diziler {x_n} veya (x_n) şeklinde gösterilir ve değer kümesine göre adlandırılırlar ( Balcı, 2016 ).

Tanım 1.6. Bir (a_n) dizisi verilmiş olsun. (k ) artan bir pozitif tamsayı dizisi olmak _n üzere, (

kn

a ) dizisine (a ) dizisinin bir alt dizisi denir. _n

Tanım 1.7. (s ) reel terimli bir dizi olsun. _n ∀n∈ℕ için s_n≤ M olacak şekilde bir M sayısı varsa diziye üstten sınırlı, m≤s olacak şekilde bir _n m sayısı varsa diziye alttan sınırlı denir. Alttan ve üstten sınırlı olan diziye kısaca sınırlı dizi adı verilir. Buna göre;

(s ) sınırlıdır ⇔ ∀n∈ℕ için ∣_n S_n∣ ≤ M dir.

Tanım 1.8. (s_n) reel terimli bir dizi olsun. Eğer ∀>0 için (s_n) dizisi sonlu sayıdaki terimleri hariç, diğer bütün terimleri bir s sayısının ε komşuluğunda bulunuyorsa yani (s− ,s+ ) aralığında ise (s ) dizisinin limiti s dir denir ya da (_n s_n) , s ye yakınsaktır denir ve lim _n

n s s

  veya

 

sn s ile gösterilir. Başka bir deyişle;

 

sn s



^{n }



^{⇔ ∀} >0 için ∃n0

 

  n>n için ₀ s_ns < dur.

Bir reel sayıya yakınsayan diziye yakınsak dizi, aksi halde ıraksak dizi denir.

Teorem 1.9. Yakınsak bir dizinin limiti tektir (Sutherland,2009).

İspat:

 

sn herhangi bir yakınsak dizi olsun. Farz edelim ki

 

sn dizisinin s≠t olmak üzere s ve t gibi iki tane yakınsadığı sayı olsun.

 

sn    s  ⁰ için n1

 

 ∋ n n1

 

 için

n 2

s _{ }s  dur.

 

sn    t  ⁰ için n2

 

 ∋  n n2

 

 için

n 2 s _{ }t 

dur.

 

0 max 1, 2

n  n n diyelim.  n n₀ için,

0      s t s sⁿ sⁿ t sⁿ s sⁿ  t  2 2 bulunur. Bu çelişki s=t olduğunu gösterir.

Tanım 1.10. ( Süreklilik): Aℝ, f :Aℝ ve aA olsun. Eğer lim

xa ^{f x}

 

^{ f a}

 

oluyorsa f fonksiyonuna a noktasında süreklidir denir (Balcı,2016). Eğer f , A kümesinin her noktasında sürekli ise f e A üzerinde süreklidir denir. Bu tanıma göre f in A noktasında sürekli olabilmesi için f in a noktasında tanımlı olması ve a da bir limitinin olması, aynı zamanda f a değerinin limit değerine eşit olması gerekir.

 

Başka bir gösterimle;

:

f Aℝ, aA noktasında süreklidir ⇔         0,  0 0 x a  iken

   

f x  f a  olmalı.

Sonuç 1.11. a noktasında sürekli olmayan bir fonksiyon bu nokta da süreksizdir denir.

Tanım 1.12. (Düzgün süreklilik ): Aℝ , f :Aℝ olsun. f , A üzerinde düzgün süreklidir ⇔ ∀ε>0 için öyle bir δ>0 vardır ki x t, A için

   

x t   f x  f t  dur (Balcı,2016).

Bu tanım ilk bakışta f in süreklilik tanımına benzemektedir fakat bunlar farklıdır. f in A kümesinde sürekli olması A nın her bir x noktasında sürekli olması demektir. ₀ Yani ∀ε>0 için öyle bir   



, x0



sayısı buluyorduk ki xx₀  iken

   

0

f x  f x  kalmalıydı. Düzgün süreklilikte ise bulunacak olan  sayısı noktadan bağımsız olup sadece  a bağlıdır. Yani  sayısı nokta değiştiği zaman değişmez. Süreklilik bir noktada incelenir. Düzgün süreklilik ise bir kümede incelenir.

Bu tanıma göre düzgün sürekli fonksiyon süreklidir fakat karşıtı doğru değildir.

Tanım 1.13. Dℝ ve f (D)={ f ⃒ f :D→ℝ } olsun. s:ℕ f D( ) ile tanımlı s fonksiyonuna bir fonksiyon dizisi denir. Başka bir deyişle; her n doğal sayısı için f , ℝ _n nin E alt kümesinden ℝ içine bir fonksiyon olsun. Bu durumda

 

fn fonksiyonlarının oluşturduğu bir diziye bir fonksiyon dizisi denir.

Örnek 1.14. fn^{: 0,1}

 

ℝ olmak üzere, her n∈ℝ için fn

 

x xⁿ olsun. Bu tür diziler için iki tür yakınsaklıktan bahsedeceğiz; noktasal ve düzgün yakınsaklık.

Tanım1.15. (Noktasal yakınsaklık):

 

fn , D üzerinde bir fonksiyon dizisi olsun. Eğer her bir xD için



fn

 

x



dizisi yakınsak ise

 

fn , D üzerinde noktasal yakınsaktır denir.

Yukarıdaki örnekte diziyi tekrar ele alalım. Noktasal yakınsak olup olmadığını inceleyelim.

 

^0,1

 x için , lim

n

 

^{0, 0 1}

1, 1

n

f x x

x

   

   = ^{f x}

 

O halde

 

0,1 üzerinde f_n  f ( noktasal) olur.

Noktasal yakınsaklığın tanımına dönersek, Dℝ kümesi üzerinde, f_n  f (noktasal)

 0

   , her bir xD için    n₀ n n₀ olduğunda fn

 

x  f x

 

 sağlanır.

Demek ki burada n0 n0

 

,x olur.

Tanım 1.16. (Düzgün yakınsaklık): Dℝ ve f_n:Dℝ olsun. D kümesi üzerinde f_n  f (düzgün)     0, n₀  n n₀ ve  x D için fn

 

x  f x

 

 sağlanır. Demek ki n0 n0

 

 sağlanır. Burada n sadece ₀  a bağlıdır. Eğer D kümesi üzerinde f_n  f ( düzgün ) ise f_n  f ( noktasal ) olur. Fakat bu önermenin karşıtı doğru değildir.

Örnek 1.17. fn



^1,1



ℝ , fn

 

x x ^{1 2} n

 

   ile tanımlı fonksiyon dizisi düzgün yakınsak mıdır?



^1,1



x  , lim

n fn

 

x ^limn

 

1 2

x n

  

 

  ^{x2  f x}

 

^, fn  f ( noktasal).



^1,1



x  olmak üzere , x 1

   

^{2 2} 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1

n

f x f x x x x x

n n n n n n n

  

           

O halde ;

   

₂

1 1

2 1

sup 0( )

n n

x

c f x f x n için

n n

  

      

lim

n c_n 0 olduğundan



^1,1



aralığında f_n  f (düzgün ).

Tanım 1.18. (Cauchy dizisi):

 

sn reel terimli bir dizi olsun.

 

sn dizisinin cauchy dizisi olması için herhangi iki terimi arasındaki fark istenilen her  sayısından küçük kalmasıdır. Yani;

 

sn cauchy dizisidir    0için n, 0

 

  n m, n0 için s_ns_m  dur.

Bu tanıma göre cauchy dizisinin sınırlı olduğunu görebiliyoruz. Aşağıdaki teorem ile ispatlayalım.

Teorem 1.19. Reel terimli her cauchy dizisi sınırlıdır.

İspat:

 

sn reel terimli bir cauchy dizisi olsun.   0için m,n≥n olduğunda ₀

n m

s s  olacak şekilde  sayısına bağlı bir n sayısı vardır. Özel olarak ε=1 için ₀ n,m≤n olduğundan ₁ s_n s_m  özelliği sağlanacak şekilde bir n doğal sayısı vardır. ₁ Diğer taraftan her n∈ℕ için

1 1 1 1 1

n n n n n n n n

s  s s s  s s  s   s dir,

Dolayısıyla nn₁ için 1 1

n n

s   s bulunur.

Şimdi max



s1 ,s2 ,...,s_n1_1 ,1 s_n1



K diyelim. Bu taktirde n∈ℕ için s_n K olur ki

 

sn dizisinin sınırlı olduğu elde edilmiş olur.

Teorem 1.20. Reel terimli her cauchy dizisi ℝ de yakınsaktır.

İspat: Reel terimli herhangi bir

 

n cauchy dizisi verilsin. Her cauchy dizisi sınırlı olduğundan

 

n dizisi sınırlıdır. Teorem 1.9 dan dolayı sınırlı her reel terimli dizinin yakınsak bir alt dizisi bulunacağından,

 

n dizisinin yakısak bir

 

nk alt dizisi vardır.

limn

 

nk a diyelim. Şimdi

 

n dizisininde a sayısına yakınsadığını göstereceğiz.

Bunun için herhangi bir  0 alalım. lim

n

 

nk =a olduğundan nn₁ olduğunda

2

nk a 

  

olacak şekilde 2

 sayısına bağlı bir n sayısı vardır. ₁

Diğer taraftan

 

n dizisi cauchy şartını sağladığından n m, m₂ olduğundan

n m 2

   olacak şekilde 2

 sayısına bağlı bir n sayısı vardır. ₂ n0 max



n n1, 2



diyelim.

 

n0  1 p0 ve

0 0

kp m yazalım ve bu taktirde nm₀ olduğunda



0

 

0



0 0

2 2

n a n m m a n m m a  

               

olur. Bu da lim

nn a olduğunu gösterir. Bu ise teoremin ispatını tamamlar.

Teorem 1.21: Reel terimli yakınsak her dizi cauchy şartını sağlar.

İspat: Herhangi bir yakınsak dizi

 

n olsun. lim

nn a diyelim.

 

n dizisinin cauchy şartını sağladığını göstermek için herhangi bir  0 alalım. lim

nn a olduğundan nn₀ olduğunda

n a 2

   olacak şekilde ε sayısına bağlı bir n sayısı ₀ vardır. Bu taktirde m,n≥n olduğunda, ₀

n m n a a m n a a m

           

olur. O halde

 

n dizisi cauchy şartını sağlar.

Sonuç 1.22. Reel terimli bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter şart cauchy olmasıdır.

Tanım 1.23. (Düzgün Cauchy Dizisi): Dℝ ve f_n:Dℝ verilsin. Eğer

∀ε>0, n0 n0

 

  n m, n0, x D için fn

 

x  fm

 

x  gerçekleniyorsa fn

 

x fonksiyon dizisine D üzerinde düzgün cauchy dizisidir denir.

Teorem 1.24. Dℝ , f_n:Dℝ olsun. D üzerinde

 

fn bir düzgün cauchy dizisi olması için gerek ve yeter şart D üzerinde f_n  f (düzgün) olmasıdır.

Tanım 1.25. (Metrik Uzay): Bir metrik uzay; boş olmayan bir X kümesi ile birlikte aşağıdaki koşulları sağlayan bir :d X ℝ fonksiyonundan oluşur. X

(M1) x y, X için ^{d x y}

 

^{, 0; ve d x y}

 

^{,   0 x y}

(M2) x y, X için ^{d x y}

 

^{, d y x}

 

^, ( simetri ) (M3) x y z, , X için ^{d x z}

 

^{, d x y}

   

^{, d y z,}

X in elemanları uzayın noktaları olarak adlandırılır ve d ye metrik veya uzaklık fonksiyonu denir.



X d ikilisine ise bir metrik uzay denir. ^,





X d bir metrik uzay ve ^,



E X olmak üzere, d nin E E ye kısıtlanışı

E :

d E E ℝ fonksiyonu (M1), (M2), (M3) koşullarını sağlar, dolayısıyla da



E d^, E



ye X in bir alt metrik uzayı denir.

Tanım 1.26. (Metrik uzayda yuvarlar ve komşuluk):



X d bir metrik uzay ^,



 

 

^,



^:

 

^,



B a r  xX d a x r kümesine açık yuvar,

 

^,



^:

 

^,



B a r  xX d a x r kümesine kapalı yuvar ve

xX ve  0 olmak üzere ^{B x}

 

^, açık yuvarına X in  komşuluğu adı verilir (Yüksel,2011).

Tanım 1.27. (iç nokta):



X d bir metrik uzay, ^,



GX ve x G olsun.

 

^,

B x r Golacak şekilde pozitif bir r sayısı varsa x e G nin iç noktası denir. Bütün noktaları iç nokta olan bir kümeye açık küme adı verilir (Yüksel,2011).

Tanım 1.28.



X d bir metrik uzay A^,



 X ve aX olsun. Verilen ∀ε>0 sayısına karşılık ^{B a}

 

^, da A kümesinin a da farklı en az bir elemanı varsa a noktasına A kümesinin bir yığılma ( limit noktası ) denir. Yani;

   

 

' ,

x A B x r  x   A

A kümesinin elemanları ile yığılma noktalarının oluşturduğu kümeye A kümesinin kapanışı denir ve A, A yı kapsayan en küçük kapalı kümedir.

Tanım 1.29.



X d bir metrik uzay ve ^,

  

xn , X in elemanlarından oluşan bir dizi olsun. Eğer lim

n d x a



n^,



⁰olacak biçimde bir a X varsa

 

xn dizisine



^{X d ,}



metrik uzayında yakınsaktır denir ve bu durum lim

n

 

xn a ya da

 

xn a



^{n }



şeklinde gösterilir.

Teorem 1.30.



X d metrik uzayında yakınsak olan bir dizinin limiti tektir ^,



(Sutherland,2009).

İspat: Yakınsak herhangi bir dizi

 

xn olsun.

 

xn dizisi s ve t gibi iki farklı sayıya yakınsadığını varsayalım.^{d s t}

 

^{, 0 dır.  d s t}

 

^{, alalım. 0 dır.}

 

xn , s ye

yakınsadığında tüm nN₁ için



^,



¹

n 2

d x s   olacak şekilde bir N pozitif tamsayısı ₁ vardır. Benzer şekilde ,

 

xn , t ye yakınsadığından, tüm nN₂ için



^,



¹

n 2

d x t  

olacak şekilde bir N pozitif tamsayısı vardır. ₂ N max



N N1, 2



alalım. O zaman üçgen eşitsizliğini kullanarak

 

^,



^,

 

^,



^{1 1}

2 2

n n

d s t d s x d x t

        

çıkar, buradan da   eşitsizliği elde edilir ve dolayısıyla bu çelişki nedeniyle st olması gerektiği sonucu elde edilir.

Tanım 1.31.



X d bir metrik uzay ve A , X in boş olmayan bir alt kümesi olsun. A ^,



nın çapı d A ile gösterilir ve

 

^{d A}

 

^sup



^{d x y}

 

^{, : ,x yA}



ile tanımlanır, ^{d A}

 

sonlu ise A ya sınırlı küme denir. Sonsuz ise kümeye sınırsız küme denir.

Tanım 1.32.



X d bir metrik uzay ve ^,

  

xn , X de bir dizi olsun. Eğer aX olmak üzere

 

xn B a r

 

^, olacak biçimde bir r0 varsa

 

xn dizisine bu uzayda sınırlıdır denir. O halde

 

xn sınırlıdır ⇔ m n, ℕ için d x x



n^, m



k olacak şekilde

0

k vardır.

Tanım 1.33. (Metrik Uzayda Cauchy Dizisi):

 

xn ,



X d metrik uzayında bir diz ^,



olsun. Her  0 için n m, n₀ olduğunda d x x



n^, m



 olacak şekilde ε sayısına bağlı bir n sayısı bulunabiliyorsa ₀

 

xn dizisine cauchy dizisi denir.

Örnek 1.34. (ℝ, ) metriğine göre genel terimi ₂

0 n cos

n

a xdx





x ^olan

^{ }

^an dizisinin cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

1 2

2 2 2

0 0 0

cos cos cos

, ,..., ,...

x x n x

x dx x x

 

 



  



∀ 0 için öyle bir n0

 

 sayısı bulmalıyız ki m n, n0

 

 iken d a a



n^, m



 kalmalı.

 

_{2 2}

0 0

cos cos

,

n m

n m n m

x x

d a a a a dx dx

x x

  







^

^{n m n0}

^

2 2 2

cos cos

n n n

m m m

x x dx

dx dx

x  x  x

  

^{1n 1 1 1 1 1 1 2}

x m n m n m m m m 

 

        

0

 

1 2 2

2

m m n m n 

  

       

dolayısıyla cauchy dizisidir.

Tanım 1.35.



X d bir metrik uzay ve ^,

  

xn , X de bir dizi olsun. Verilen ∀ 0 sayısına karşılık ∀n m, n₀ için d x x



n^, m



 olacak biçimde bir n0 n0

 

 >0 varsa

 

xn dizisine X de bir cauchy dizisi adı verilir. Bilindiği gibi ℝ de veya ℂ de bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul onun cauchy dizisi olmasıdır.

Ancak bu durum genelde metrik uzaylar için doğru değildir. Yani bir dizi bir cauchy dizisi olduğu halde yakınsak olmayabilir. Bu duruma örnek verecek olursak, ^{X }



^0,1



^,

 

^,

d x y  x y olmak üzere



X d metrik uzayını göz önüne alalım. Bu uzayda ^,



1 xn

n dizisi bir cauchy dizisidir. Ancak yakınsak değildir. Gerçekten de ∀ 0 sayısı için



_n^, _m



^{1 1 1 1 m n m n}

d x x d

n m n m mn mn

 

 

      

yazılabilir. Eğer ^max

 

^{n m, k} dersek ^{m n k k 2k}₂ ²

mn kk k k

 

   olur. O halde

0

n 2

seçilirse ∀n m, n₀ için

 

0 0 0

1 1 1 1 2

n, m

d x x m n

mn^ n m n n n 

       olup

cauchy dizisidir.

Ancak herhangi bir lX için l0 olacağından 2

  l seçilirse  n n₁ için



n^,



d x l olacak şekilde n₁0 sayısı bulunamaz. O halde x , l ye yakınsak değildir. _n Dolayısı ile X in hiçbir elemanı

 

xn dizisinin limiti olamaz.

Tanım 1.36. X deki her

 

xn dizisi cauchy dizisi yakınsak ise



X d metrik uzayına ^,



tam metrik uzay ya da tamdır denir.

Tanım 1.37. (Metrik Uzaylarda Düzgün Süreklilik):



X d^, x



ve



Y d^, Y



metrik uzaylar ve f :X Y bir fonksiyon olsun. Eğer her  0 sayısına karşılık her

,

x yX için

 

^, Y

    

^,



d x y   d f x f y 

olacak biçimde bir  0 varsa f ye ( X üzerinde ) düzgün süreklidir denir.

X ve Y uzayları olarak ℝ yi aldığımızda ℝ üzerinde ki mutlak değer metriği olan

 

^,

d x y  x y metriğini aldığımızda düzgün süreklilik tanımı ℝ için iyi bilinen tanıma indirgenir (Soykan,2012). f :ℝ→ℝ bir fonksiyon olsun. A , ℝ nin bir alt kümesi olsun. Eğer her  0 sayısına karşılık her x y, A için;

   

x  y  f x  f y 

olacak biçimde bir  0 varsa f ye ( A üzerinde ) düzgün süreklidir denir.

Teorem 1.38. Bir cauchy dizisinin düzgün sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü de cauchy dizisidir (Yüksel,2011).

İspat:



X d^, x



ve



Y d^, Y



metrik uzaylar olmak üzere f :X Y düzgün sürekli olsun. O halde  0 verildiğinde her x y, X için dX

 

x y^,  olduğunda

   



^,



dY f x f y  olacak biçimde bir  0 vardır. Eğer

 

xn ,



X d^, x



içinde cauchy dizisi ise her m n, N için; dX



x xn^, m



 olacak şekilde bir N vardır. Bu durumda f , X üzerinde düzgün sürekli olduğundan her m n, N için

   



^,



Y n m

d f x f x  olur. Yani



^{f x}

 

ⁿ



^dizisi

^

^{Y d, Y}

^

içinde cauchy dizisidir.

Bu teoremin karşıtı doğru değildir. Her cauchy dizisini cauchy dizisine dönüştüren her fonksiyon düzgün sürekli olmak zorunda değildir.

Örnek 1.39. f :ℝ→ℝ, ^{f x}

 

^x2şeklinde tanımlanan f fonksiyonu her cauchy dizisini cauchy dizisine dönüştürür. Gerçekten de;

 

xn , ℝ de herhangi bir cauchy dizisi olsun. Bu durumda

 

xn sınırlı olduğundan x_n K olacak şekilde K0 vardır.

 

xn

cauchy dizisi olduğundan  0 için m n, N olduğunda

n m 2 x x

K

   olacak şekilde

 a bağlı bir pozitif N tamsayısı vardır. Bu  0 için;

 

n

 

m n² m²



n m



n m



n m n m

f x  f x  x x  x x x x  x x x x

 

n m n m n m n n m m

x x x x x x x x x x

      

2 2

n m n m n m 2

x x K x x K x x K K

K

 

       

bulunur. Böylece herhangi bir

 

xn cauchy dizisinin f fonksiyonu altındaki görüntüsünün de cauchy dizisi olduğunu göstermiş olduk. Fakat söz konusu f fonksiyonu düzgün sürekli değildir.

Uyarı 1.40. Cauchy dizisinin sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsünün cauchy olması gerekmez.

Örnek 1.41.

 

^{0,1 ve} ℝ metrik uzayları ve ^{f x}

 

^{1 f : 0,1}

 

 x ℝ fonksiyonu verilsin. Bu durumda f fonksiyonu süreklidir.

 

^x_n ¹

n

     dizisi bir cauchy dizisidir,

ancak ^{f 1}

 

ⁿ

n

    

  

  dizisi alışılmış topolojisini veren alışılmış ^{d x y}

 

^{,  x y}

metriği ile ℝ uzayında bir cauchy dizisi değildir.

Tanım 1.42. Bir X topolojik uzayının A alt kümesinin her açık örtüsünün bir sonlu örtüsü varsa A ya kompakt küme denir.

Tanım 1.43. ( X ,𝒯) topolojik uzayı ve herhangi A B, X alt kümeleri verilsin. Eğer A  B ya da A  B ise A ve B kümelerine bağlantılı (bitişik) iki küme denir.

Eğer A  B ya da A  B ise A ve B kümelerine bağlantılı olmayan (ayrılmış) iki küme denir.

Tanım 1.44. ( X ,𝒯) topolojik uzayı verilsin. Eğer X kümesi boştan farklı, bağlantılı olmayan iki alt kümenin birleşimine eşit ise, ( X ,𝒯) uzayına bağlantılı olmayan uzay ya da bağlantısız uzay denir. Eğer X kümesi boştan farklı, bağlantılı iki kümenin birleşimine eşit ise, ( X ,𝒯) uzayına bağlantılı uzay denir.

Örnek 1.45.



^X,



^X,

 

ayrık olmayan her topolojik uzay, bağlantılı bir uzaydır çünkü X kümesinin boş olmayan tek alt kümesi, X kümesinin kendisidir.

Tanım 1.46. (Vektör Uzayı): X boş olmayan bir küme ve F bir cisim olsun.X X X olmak üzere

 

^{x y,  x y ve F X X} olmak üzere



^{, x}



^ax verilsin. Bu fonksiyonlar, (V1) x y, X için x y X dir.

(V2) x y, X için x  y y x

(V3) x y z, , X için ^x



^yz

 

^{ xy}



^z

(V4)  x X için öyle bir 0Xvektörü vardır ki 0  x x 0 olur.

(V5)  x X için bir tek yX vektörü vardır öyle ki x y 0olur.

(V6)  x X ve F skaler değeri için xX vektörü vardır.

Eğer 1 ise x.1 1. xx olur.

(V7) x y, X ve  , F skaler değeri için ^{ }

   

^{x   x}

(V8)x y, Xve  , F skaler değerleri için



^{ }



^{xxx ve}



^{x y}



^{x y}

   

özellikleri sağlanıyor ise X kümesine F cismi üzerinde bir vektör uzayı ( lineer uzay ) denir.

ℝ üzerinde tanımlı vektör uzayına reel vektör uzayı, ℂ üzerinde tanımlı bir vektör uzayına kompleks vektör uzayı denir. ℝ⊆ℂ olarak düşünülebileceğinden ℝ üzerindeki bir vektör uzayı aynı zamanda ℂ üzerinde bir vektör uzayı olarak alınabilir.

Tanım 1.47. X bir vektör uzayı ve AX , A  olsun. A kümesi toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre kapalı ise yani; x y, A ve   K için x y A ve .xA oluyorsa A ya X in bir alt uzayı ( lineer alt uzayı ) denir.

Örnek 1.48. Sıfıra yakınsayan reel ya da karmaşık terimli bütün dizilerin c kümesi ₀ c lineer uzayının ve dolayısıyla l_ lineer uzayının birer alt uzayıdır.

Tanım 1.49. X bir vektör uzayı olmak üzere x y, X ve   K için . : X ℝ fonksiyonu

(N1) x 0 ve x   0 x 0 dır.

(N2) x   . x

(N3) xy  x  y

şartlarını sağlıyorsa . fonksiyonuna norm fonksiyonu,



^X,



ikilisine de normlu uzay denir.

Tanım 1.50.   0 sayısına karşılık m n, 0 için x_nx_m  ise

 

xn dizisine



^X,



normlu uzayında bir cauchy dizisi adı verilir.

Tanım 1.51.



^X,



normlu lineer bir uzay olsun. Bu uzaydaki her cauchy dizisi yakınsak ise



^X,



uzayına tamdır denir. Normlu bir tam uzaya Banach uzayı adı verilir.

Tanım 1.52. .,. : X X F dönüşümü

i.  x X için x x,   0 x 

ii. x y, X için x y,  y x, ( kompleks eşlenik ) iii. x y, X ve F için x y,  x y,

iv. x y z, , X için xy z,  x z,  y z, özellikleri sağlıyor ise .,. ’ye X üzerinde bir iç çarpım,



^{X, .,.}



ikilisine de iç çarpım uzayı ( veya ön Hilbert uzayı ) denir.

Tanım 1.53. Bir



^{X, .,.}



iç çarpım uzayı x  x x, olarak tarif edilsin.



^,



^,

d x y  xy  xy xy olarak tarif edilen d bir metrik ve



X d bir metrik ^,



uzay olur. X iç çarpım ile tarif edilen d metriğine göre tam ise Hilbert uzay denir.

Tanım 1.54.

 

an dizisi verilmiş olsun

1 1

2 1 2

1 2

. .

n ... n

s a

s a a

s a a a



 

   

biçiminde tanımlanan

 

sn dizisini göz önüne alalım.

    

^{n , sn}



ikilisine seri adı verilir.

a terimine serinin genel terimi, n

 

sn dizisine de serinin kısmi toplamlar dizisi denir.

Pratikte seri



a_nbiçiminde gösterilir. Eğer

 

sn kısmi toplamlar dizisi bir ssayısına yakınsak ise yani; lim _n

n s s

  ise seriye yakınsak ve serinin toplamı sdir denir.

an s



ile gösterilir. Yakınsak olmayan seriye ıraksak seri denir.

Tanım 1.55. (Eşitsizlikler)

i. k için p_k 0 ve H supp_k olmak üzere a b_k, _kC olsun. Bu durumda

 

^{, max 1, 2}

^

¹

^

k k k

p p p H

k k k k

a b c a  b c ^ dır.

ii. p1, ^{1 1} 1

p q olsun. Eğer

 

ak lp,

 

bk lp ise

1 1

1 1 1

p q

p q

k k k k

k k k

a b a b

  

  

   

    

   

  

^dır

iii. p1 ve

   

ak ^, bk lp olsun.

1 1 1

1 1 1

p p p

p p p

k k k k

k k k

a b a b

  

  

      

     





 



 



 ^dır.

BÖLÜM II

QUASİ CAUCHY DİZİLERİ

Tanım 2.1.

 

sn reel terimli bir dizi olsun. Bu

 

sn dizisinin ardışık terimleri arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa yani

lim _n 1 _n 0

n s _ s

  

oluyorsa

 

sn dizisine quasi cauchy dizisi denir (Burton ve Coleman, 2010). Bir başka gösterimle;

 

sn , Q.C dir    0için ^nn

 

^ sayısı vardır ∋  n n₀için

1

n n

s _ s  dır.

Örnek 2.2. n∈ℤ olsun. Herkesin rastgele ve aynı anda seçildiği n kişiden oluşan bir grup alalım. n₁n olmak üzere gruptan n sayıda kişi ayrılıyor ve kalan insanlar yeni ₁ bir grup oluşturuyor. Daha sonra n₂ n olmak üzere gruptan n₂sayıda kişi ayrılıyor ve kalanlarla yeni bir grup oluşturuluyor. Bu işlem grupta bir kişi kalana kadar ya da hiç kimse kalmayana kadar devam ediyor. Bu iterasyon sonunda n kişilik bir grupta bir kişinin kalma ihtimali _nile gösterirsek



 1, 2,...,_n,...



bir Q.C dir (Çakallı,2018).

Örnek 2.3.

 

^{xn }

 

ⁿ dizisi Q.C midir? (Dağcı,2019)

      

 

1

1 1

lim lim 1 lim

n n 1

n n n

n n n n

x x n n

n n

   

   

    

 

lim 1 0

1

n^ n n 

 

olduğunda

 

xn dizisi Q.C dir.

Örnek 2.4.

 

xn ¹

n

     dizisi Q.C midir?

 0

  için ^nn

 

^ sayısı vardır ∋  n n₀için x_n1x_n  olmalıdır. Buna göre

1

1 1

n n 1

x x

n n

   

 dir. n 1 n olduğundan

1 1 1 1 1 1 2

1 1

n  n n     n n n n 

 

0

 

1 2 2

2 1

n n n n n 

  

        olduğundan

 

xn dizisi Q.C dir.

Sonuç olarak her cauchy dizisi Q.C dir. Ancak bu açıklamanın karşıtı doğru değildir.

Örneğin;

Örnek 2.5.

 

1 n 1

n k

x _ k

 

  





 dizisini inceleyelim (Dağcı,2019).



1



¹

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

lim lim lim lim 0

1 1

n n n n

n n

n n n n

k k k k

x x

k k n k k n



        

   

  

 

    

 

   

olduğundan

 

xn dizisi bir Q.C dir. Ancak mn için

1 1 1 1 1 1 1

1 ... 1 ... ...

2 2 1 2

m n

x x

m n n n m

 

                m yerine 2n1

yazarsak

2 1

1 1 1 1

1 2 ... 2 2 1

n n

x x

n n n n

      

   olur.

1, 2,..., 1

k n olmak üzere n için n k 2n1olduğundan ^{1 1}

2 1

n k  n

  olur.

2 1

1 1 1 1

2 1 2 1 ... 2 1 2 1

n n

x x n

n n n n 



       

    , ¹

 2 seçilirse m2n1için

m n

x x  olmaz. Cauchy dizisi olamaz.

Cauchy dizisi olmadığını

 

1 n 1

n k

x _ k

 

  





 dizisinin yakınsak olmadığından da anlayabiliriz. Şöyle ki bir dizinin cauchy dizisi olması için yakınsak olması şarttır.

Ancak bu durumun karşıtı doğru değildir.

Teorem 2.6. Yakınsak her dizi Q.C dir.

İspat:

 

xn , limiti l olan herhangi bir yakınsak dizi ve n  için  xn



xn_1xn



olsun. Bu durumda,



1

 

1

 

1

  

lim _n lim _{n n} lim _{n n} lim _{n n}

n x n x _ x n x_ l l x n x _ l l x

              



1

  

lim _n lim _n 0 0 0

n x _ l n l x

 

       olur.

Örnek 2.7.

 

^{xn }



^3n2



dizisini inceleyelim.



¹

      

lim _{n n} lim 3 1 2 3 2 lim 3 5 3 2

n x _ x n n n n n n

            



³



lim 0

3 5 3 2

n^ n n

 

  

olup

 

xn dizisi Q.C dir ancak lim 3 2

n n

   olup ıraksaktır.

Teorem 2.8. Reel terimli Q.C dizileri kümesi bir vektör uzayıdır (Çakallı ve Kaplan,2013).

İspat: Vektör uzayı olması için Q.C dizileri kümesinin toplama ve skalerle çarpma işlemlerini sağlaması gerekir. İki Q.C dizisinin toplamı Q.C dir.