DEĞİŞİK HALLER DENKLEMİ

ERSİN SOYBERK Elektrik Y.müh.(İ.T.Ü)

TEİAŞ Genel müd. den emekli Gazi Üniversitesi Mühendislik. Fak.

Elektrik Bölümü Öğretim görevlilerinden e-mail : ersinsoyberk@gmail.com

Enerji iletim hatlarında değişik ortam sıcaklıklarındaki yani en düşük or- tam sıcaklığından en yüksek ortam sıcaklığına kadar 5 er derece ara ile hat bölü- mündeki tel gerilmelerini ve çekme kuvvetlerini hesaplamak için kullanılan de- ğişik haller denkleminin muhtelif ifadelerinin bulunması aşağıda anlatılmış son- ra bu ifadeler yardımıyla aynı hat bölümü için bilgisayar programlarıyla çözül- müş karşılaştırmalı çözüm çıktıları verilmiştir .

DEĞİŞİK HALLER DENKLEMİ

Enerji iletim hatlarında ortam sıcaklığının değişmesi sonucu telin boyun- da değişme.olur . Sıcaklık artışında boyu uzar sıcaklık azalmasında da boyu kı- salır . Ayrıca telin üzerinde ilave bir ek yük oluştuğu zamanda telin boyu Hook kanununa uygun olarak uzar . Boy değişimine bağlı olarak da telin gerilmesi ve sehimi değişir . İletkenlerin üzerinde oluşacak ilave yük buz ve rüzgar yüküdür . Bu suretle sıcaklık değişimleri ve ilave yükler tellerin sehim ve gerilmelerinin değişmesine sebep olurlar . Yani iletken bir durumdan başka bir duruma geçtiği zaman sehim ve gerilmesi de değişir .

Değişik ortam sıcaklıklarındaki gerilmeleri hesaplamaya yarayan ifadeye değişik haller denklemi denir . Bu ifadeyi bulmaya çalışalım .

Telin sıcaklığa ve yüke bağlı olarak boyu ve gerilmesi değişmektedir .Baz alınan başlangıç durumunda ki bir t₁ ortam sıcaklığında telin gerilmesi σ₁ ve uzunluğu ℓ1 , herhangi bir t2 ortam sıcaklığındaki gerilmesi ise σ2 ve uzunluğu ℓ2 olsun . (Gerilmeler telin yatay teğetli noktasındaki gerilme değerleridir .) Telin elastiki- yet modülü E ve ısıl uzama katsayısı β ise, ortam sıcaklığı t1 den t2 ye değiştiği takdirde termik ve Hook kanunu gereği ısıl ve mekanik uzamalar dolayısıyla te- lin boyundaki fark ;

∆l = (ℓ₂ – ℓ₁ ) = ( t₂ – t₁).β.ℓ₁ + ( σ₂ – σ₁ ).ℓ₁ / E olacaktır.

Tel uzunluğunun gerçek değeri, telin parametresi c = σ/γ = H/g olmak üzere , x2 x₂

ℓ = c.Sinh ( x/c) │ = σ / γ . Sinh ( γ. x / σ ) │ x1 x₁

ifadesinden hesaplanabilir .

γ : Telin yoğunluğu [kg/m.mm²] σ : Yatay gerilme [kg/mm²]

g : Telin birim ağırlığı [kg/m] H : Yatay çekme kuvveti [kg] dır .

DÜZ MENZİL İÇİN DEĞİŞİK HALLER DENKLEMİ

Tel boyu Mac – Laurin serisine açılıp, a direkler arası açıklık olmak üzere x₁ = – a /2 x₂ = a /2 konursa toplam tel boyu,

Sinh (x/c) = x/c + x³ /3!.c³ + x⁵ /5!.c⁵ + x⁷ /7!.c⁷ + ……… olduğundan x2 = a/2

L = x + x³ / 6 c² + x⁵ / 120 c⁴ + x⁷ /5040 c⁶ + ... | olur . x1 = –a/2

L = a + a³ /24 c² + a⁵/1920.c⁴ + ... = a + a ³.γ² /24.σ ² + ……

Serinin ilk iki teriminin alınması ile yetinilirse az bir hata ile tel boyundaki fark, a3 γ₂² γ₁²

∆ℓ = ℓ2 – ℓ1 = —–– . ( —— – —— ) olacaktır . 24 σ22 σ12

ℓ₁ ≈ a olduğu kabul edilerek termik ve mekanik uzama ifadesinde yerine konu- lacak olursa ,

( σ₂ – σ₁ ) . ℓ₁ ∆ℓ = ( ℓ₂ – ℓ₁ ) = ( t₂ – t₁). β.ℓ₁ + ——————

E a² γ22 γ12 ( σ2 – σ1 ) —– . ( —— – —— ) = ( t2 – t1) . β + ————

24 σ₂² σ₁² E a².γ₂² a².γ₁2 ( σ₂ – σ₁ )

——— = ———— + ( t₂ –t₁).β + ————– bulunur . 24.σ₂2 24 .σ₁2 E

Denklemin her iki tarafı E.σ22 ile çarpılarak düzenlenirse a² .γ₂².E a² .γ₁².E

————– = [ ———— + ( t₂ –t₁ ).β.E + ( σ₂ – σ₁ ) ] .σ₂² 24 24 .σ₁²

a² .γ₁².E a².γ₂².E σ23 + [ ———— + ( t2 – t1).β.E – σ1 ].σ22 = —————

24 .σ12 24 elde edilir . Düz menzil için değişik haller denkleminin ifadesidir .

Çekme kuvveti cinsinden yazılmak istenirse σ = H /q γ = g / q konularak a².g12.E.q a² .g22 .E.q

H23 + [ ————— + ( t2 – t1).β.E.q – H1 ].H22 = ————– bulunur . 24 .H12 24

Tel boyunun ilk üç terimi alınırsa,değişik haller denklemi beşinci dereceden çıkar .

EĞİK MENZİL İÇİN DEĞİŞİK HALLER DENKLEMİ

Tespit noktaları arasında kot farkı mevcut olduğu zaman en büyük gerilme en yukarıdaki askı noktasında olup, yatay teğetli noktadaki gerilmeden oldukça büyüktür . Telin her noktasında gerilme farklı olduğundan Hook kanununa göre telin mekanik uzamasında tel eğrisi üzerindeki farklı gerilmelerin ortalamaları alınırsa eğik menzilde hata nispeti azaltılabilir .

Bu nedenle açıklığı a ve askı noktaları arasındaki kot farkı h olan bir eğik menzil için tel eğrisi parabol kabul edilerek yatay teğetli noktadaki σ gerilmesi cinsin- den hesaplanan ortalama gerilme telin mekanik uzamasında esas alınmalıdır . Tel boyu ifadesinde ise yatay teğetli noktadaki gerilme alınabilir .

Buna göre tel boyundaki fark ifadesini, Mac – Laurin serisinin ilk iki terimini alarak yazacak olursak,durum değişikliğinde tel boyundaki fark,

a3 γ₂² γ₁²

∆ℓ = ℓ_{2 –} ℓ₁ = —–– . ( —— – —— ) olacaktır . 24 σ₂² σ₁²

ℓ₁ ≈ a /Cosφ olduğu kabul edilerek ve ortalama gerilme için yatay teğetli noktadaki gerilme cinsinden hesaplanan

σ.h² γ².a²

σ ort = σ + ——— + ——— değeri 2.a2 24.σ

termik ve mekanik uzama ifadesinde yerine konacak olursa, ( σ₂ – σ₁ ).ℓ₁

∆ℓ = ( ℓ₂ – ℓ₁ ) = ( t₂ – t₁). β.ℓ₁ + ——————

E

a² γ22 γ12 (σort 2 – σort 1)

—– .( —— – —— ).Cosφ = (t2 – t1).β + —————— elde edilir . 24 σ₂² σ₁² E

a2 γ₂² γ₁²

—–– ( —— – —— ).Cosφ = (t₂ –t₁).β + 24 σ₂² σ₁²

σ2.h² γ22.a² σ1.h2 γ12.a2 1 (σ2 + ——– + ——– – σ1 – ——– – ——– ) . ––––

2.a² 24.σ₂ 2.a² 24.σ1 E a².γ₂² a².γ₁²

( ——— ).Cosφ = ( ——– ).Cosφ + (t₂ –t₁).β + 24.σ22 24.σ12

( σ2 – σ1 ) h².(σ2 – σ1 ) a2 γ22 γ12

———— + —————– + ——– . (——– – —— ) E 2.a².E 24.E σ₂ σ₁

Her iki taraf E.σ₂² ile çarpılırsa

a².γ₂².E.Cosφ a².γ₁².E.Cosφ

——————– = ( —————— ).σ₂² + (t₂ –t₁).β.E.σ₂² + 24 24.σ12

h².σ23 h².σ1.σ22 a².γ22.σ22 a².γ12.σ22

σ₂³ – σ₁.σ₂² + ———– – ———– + ————– – ————

2.a² 2.a2 24.σ₂ 24.σ₁ h² a².γ₁².E.Cosφ h² a².γ₁².

(1+——).σ23+[——————–+(t2 –t1).β.E – (1+—––).σ1 – ––––––– ].σ22 2a2 24σ12 2a² 24.σ1

a².γ₂². a².γ₂².E.Cosφ + –––––––. σ₂ = ––––––––––––

24 24

altları çizili terimler çok küçük oldukları için ihmal edilebilirler . Sonuç olarak tek açıklıklı eğik bir menzil için değişik haller denklemi ,

h² a².γ₁².E.Cosφ h² a².γ₂².E.Cosφ (1+——).σ₂³+[——————–+(t₂ –t₁).β.E – (1+—––).σ₁ ].σ₂² = –––––––––––

2a2 24σ₁2 2a² 24 olur . b = 1 + h²/2a² olmak üzere kot farkına bağlı bir katsayıdır .

Çekme kuvveti cinsinden yazılmak istenirse σ = H /q γ = g / q konularak

h² a².g₁².E.q.Cosφ h2 a².g₁² (1+——).H₂³ + [——————– + (t₂ –t₁).β.E.q – (1+—–).H₁ – ——– ].H₂² 2a2 24H12 2a2. 24H1 a².g₂² a².g₂².E.q.Cosφ + ——— .H₂ = ———————

24 24

bulunur . ifade de altları çizili terimler çok küçük oldukları için ihmal edilirse, h² a²g12E.q.Cosφ h2 a²g22E.q.Cosφ (1+——).H₂³+[——————+(t₂ –t₁).β.E.q – (1+—–).H₁].H₂² = –––––––––––

2a2 24H₁2 2a² 24

φ : A tan φ =

D 1 indis ek yük düşük 2 indis lığı ile buz yü Değişi t : Or sıc a : Di ru σ : Te sıc len H : Te ta is γ : Te γ2

g : Te t₂ E : Te m ku iç β : Te hat böl ğişik h Değişi duktan daki se ğa ait k Ruling bölüm

skı noktal

= h/a

Değişik ha sli değerler klü yoğunl

ortam sıca sli değerler telin yoğu ükü veya rü k haller de tam sıcakl caklığı irekler ara uling açıkl lin yatay t caklığında n gerilmes elin yatay am sıcaklığ stenilen çe elin özgül ise t2 orta elin birim ortam sıc elin elastik mu için yap

ullanılmal çin telin ilk

elin ısıl uz İletim hat lümüne ait haller denk k haller de n sonra bu

ehimlerin b kot farkı d g açıklığa a

içindeki h

larını birle Cos φ = a

aller denkl r baz alına luğudur . m

aklığında r ise hesap unluğudur üzgar yük enklemi if lığı [⁰C] o ası açıklık lığı (a r )al teğetli nok aki, σ2 ise

sidir . teğetli nok ğındaki, H ekme kuvv ağırlığıdır am sıcaklığ ağırlığıdır caklığındak

kiyet mod pılacak he lı . Ancak kel elastik zama katsa

tlarında ik t muhtelif kleminde b

enklemi il gerilmele bulunmas da nazarı d

ait sehim herhangi b

eştiren doğ a / √ a ² + h

leminde, an max ge max gerilm

ise buzsuz planması i r . Hesapla kü yoksa te fadesinde olup , t₁ ba [m] ( lınmalıdır ktadaki ge

herhangi b ktadaki çe H₂ ise herh

vetidir . r . [kg/m.

ğındaki ek r . [kg/m]

ki ek yükl dülüdür . [k

saplarda n tel çekim kiyet modü

ayısıdır . [ ki durduru f sıcaklıkla

bölümün d le muhteli ere tekabül

ında ise, d dikkate alı

: f _r = g bir a açıklı

ğrunun yat h ² dir .

erilme ve b me buzlu h z alınacak istenen ge anması ist el yoğunlu

,

az alınan o (iki durdur

.

erilmesi [k bir ortam ekme kuvv hangi bir o

mm²] γ1 b k yüklü ya

g₁ baz al lü ya da ek

kg/mm²] H nihai elast

ine ait seh ülü ile ilke [1/⁰C]

cu direk a ardaki ger direk açıkl if ortam sı

l eden böl direkler ar ınmalıdır . g.a _r² / 8.H ığına ait se

tayla yapt .

buna ait sı halde ise t ktır .

erilme ve b tenen ortam uğu buzsu

ortam sıcak rucu arasın kg/mm²] o

sıcaklığın veti [kg] o ortam sıcak

baz alınan a da ek yük

ınan t₁ ort k yüksüz b Hattın 10-

ikiyet mod him hesapl

el gerilme

arasında ta rilmelerin lığı olarak caklıkların lüm içinde rası mesaf

.

ehim : f

tığı açıdır

ıcaklık der tel yoğunlu buna ait or

m sıcaklık uz alınacak

klığı, t₂ he ndaki bölü lup, σ1 ba ndaki hesap

olup, H₁ ba klığındaki n t1 ortam

ksüz yoğu tam sıcakl birim ağır -12 yıl son

dülü ile ni larında o a si kullanıl

aşıyıcı dire hesaplana k ruling aç ndaki geri eki taşıyıc feler kullan

f = g.a ² / .

recesi ile t uğu buzlu rtam sıcak k derecesin ktır .

erhangi bir üm için bö az alınan t1

aplanması az alınan t i hesaplan sıcaklığın unluklardır

lığındaki, rlıklardır . nraki nihai ihai gerilm andaki dur lmalıdır .

eklerden o abilmesi iç çıklık kulla ilmeler bu

ı direkler nılmalı ve

/ 8.H.Cos telin u, en

k- nde

r ortam ölümün

1 ortam isteni- t₁ or- nması ndaki,

r . g₂ ise i duru- mesi

rum

oluşan çin de- anılır . ulun-

arasın- e açıklı-

φ

EĞİK AÇIKLIKLI HAT BÖLÜMÜ İÇİN DEĞİŞİK HALLER DENKLEMİ İki durdurucu direk arasında taşıyıcı direkleri ve bunlar arasında eğik açık- lıkları ihtiva eden bir hat bölümüne ait değişik haller denklemini bulmaya çalışa- lım .

A

Hat bölümünde n adet açıklık mevcut olsun . Herhangi bir k açıklığında direk- ler arası açıklık a k ve tel boyu l k ise ,durum değişikliği sonucu bu açıklıktaki mekanik uzama miktarı için telin her yerindeki gerilmesi farklı olduğundan telin yatay gerilmesi yerine ortalama gerilmesi olan

σ.h2 γ².a²

σ _ort = σ + –––––– + ––––– alınacaktır . 2a2 24σ

Buna göre ak açıklığındaki tel boyundaki mekanik ve termik uzama miktarı a k3 γ 22 γ 12 l k

∆l _k = ––––– ( ––––– – ––––– ) = ––– (σ_ort2 – σ_ort1) + ( t ₂ – t ₁ ) β .l _k olur . 24 σ_2k² σ_1k² E

Tel boyunun askı noktalarını birleştiren kirişe eşit olduğu kabul edilirse, l _k ≈ a _k /Cosφ _k olacaktır .

Böylece k açıklığındaki sıcaklık değişikliği sonucu tel boyundaki değişme a _k³ γ ₂² γ ₁² a _k σ_2k.h_k² σ_1k.h_k² ∆l _k = ––––– ( ––––– – ––––– ) = ––––––– [(σ_2k – σ_1k) + –––––– – –––––– + 24 σ_2k² σ_1k² E.Cosφ_k 2.a _k² 2.a _k² γ ₂².a_k² γ ₁².a_k²

–––––– – –––––– ] + ( t 2 – t 1 ) β .a k /Cosφk olur . 24σ2 24σ1

Her iki taraf Cosφ_k ile çarpılırsa,

a _k³.Cosφ_k γ ₂² γ ₁² a _k h_k²

∆l _k = –––––––– ( ––––– – ––––– ) = ––––– .[(σ _2k – σ_1k) (1 + –––––– ) + 24 σ2k2 σ1k2 E. 2.a k2 ak2 γ 22 γ 12

–––– ( ––– – ––– ) ] + ( t ₂ – t ₁ ) β .a _k 24 σ₂ σ₁

n adet açıklıktaki tel boyundaki değişmelerin toplamı

n n a i3.Cosφi γ 22 γ 12 1 n h i2

∑∆l i = ∑ –––––––– ( ––––– – ––––– ) = –––– [(σ2 – σ1) ∑a i (1 + –––––– ) + i=1 i=1 24 σ₂² σ₁² E i=1 2.a _i² n

n n γ ₂² γ ₁² n

∑a _i . ∑a _i² ( –––– – –––– ) ] + ( t ₂ – t ₁ ) β .∑a _i olur . i=1 i=1 24σ₂ 24σ₁ i=1

Bu ifade ∑a i ye bölünerek düzenlenirse,

∑ a _i³.Cosφ_i γ ₁² γ ₂² 1 ∑ a _i (1+ h _i²/2a _i ²) –––––––––– ( –––––– – ––––– ) + –––– .[(σ₂ – σ₁) . ––––––––––––––––– + ∑ a _i 24.σ₁² 24.σ₂² E ∑ a _i

∑a i2 γ 22 γ 12

––––––.(–––– – ––––) ] + ( t 2 – t 1 ) β = 0 olur . 24 σ₂ σ₁

Burada

∑ a _i³ .Cosφ_i

a _e² = –––––––––––––––

∑ a _i a _e : Eşdeğer açıklık

∑ a i (1+h i2/2a i2) b : Kot farklarına bağlı bir b = –––––––––––––––– katsayı

∑ a _i (ortalama eğim faktörü) olup,

γ ₁² 1 ∑a _i² γ₂² γ₁²

a e2 (––––––– ) + –––– .[(σ 2 – σ1).b + –––– (–––– – –––– ] + ( t 2 – t 1 ) β 24.σ 12 E 24 σ 2 σ 1

γ22

= a _e² (––––––– ) olur . 24.σ ₂²

Her iki taraf E.σ ₂² ile çarpılırsa,

γ ₁². a _e² .E.σ ₂² σ ₂².∑a _i² γ₂² γ₁²

–––––––––––– + b.σ ₂³ – b.σ₁.σ ₂² + –––––– .(–––– – ––––) + ( t ₂ – t ₁ ) β.E.σ ₂² 24.σ 12 24 σ 2 σ 1

γ22. a e2.E = ––––––––––

24 σ ₂ nin kuvvetlerine göre düzenlenirse

γ 12.a e2 .E γ12.∑a i2 γ22.∑a i2

b.σ 23 + [ ––––––––––– + ( t 2 – t 1 ) β.E – b.σ 1 – –––––– ].σ 22 + ––––––.σ 2

24.σ ₁² 24.σ₁ 24 γ₂². a _e².E = (––––––––– ) 24

Elde edilir .

Çekme kuvveti cinsinden yazılmak istenirse σ = H /q γ = g / q konularak

g ₁².a _e² .q.E g ₁².∑a _i² b.H ₂³ + [ ––––––––––– + ( t ₂ – t ₁ ) β.E.q – b.H ₁ – ––––––– ].H ₂² + 24.H ₁² 24.H₁ g 22.∑a i2 g 22. a e2.q.E –––––––.H ₂ = –––––––––––

24 24 bulunur .

Burada

∑a i2 : Hat bölümü içindeki direkler arasındaki açıklıkların karelerinin toplamına eşit bir sabitedir .

Bulunan bu ifadeler enerji iletim hatlarında iki durdurucu direk arasında taşıyı- cı direklerden oluşan bir hat bölümüne ait değişik haller denkleminin gerilme ve çekme kuvveti cinsinden ifadeleridir . Altı çizili terimler çok küçük oldukların- dan ihmal edilebilirler . Bu durum ortalama gerilme ifadesinin üç yerine iki teri- minin alınmasına karşılık gelir .

Böylece, iki durdurucu arasındaki hat bölümüne ait üçüncü dereceden değişik haller denklemlerinin altı çizili terimlerinin ihmal edilmesiyle çözüm kolaylığı açısından da birinci dereceli gerilme terimi nazarı itibara alınmamış olur .

gerilm b

Çekm b.H Olur . Tek aç olacağ denkle Düz m kardak Sonuç hesapla muhtel DEĞİŞ alınara

Tel boy c = σ

e cinsinde b.σ ₂³ + [ – me kuvveti g H 23 + [ ––

çıklıklı eği ından bu i emlerine e menzilde C ki ifadeler olarak hat andıktan s lif ortam s ŞİK HAL

Tel boyun ak değişik

yu, ℓ = c σ/γ = H/g

en yazılma γ ₁².a _e² . –––––––––

24.σ 12 cinsinden g ₁².a _e² .q.

–––––––––

24.H 12

ik menzill ifadeler te şdeğer olu Cosφ =1 ve tek açıklık t bölümün sonra yuka sıcaklıklar LLER DE nun Mac-L haller den

. Sinh (x/c g olmak ü

ak istenirs E ––– + ( t ₂

n ise,

E –– + ( t 2 –

i bir hat iç ek açıklıkl

ur .

e h=0 oldu klı düz me ne ait a e (e arıdaki ifa rındaki ger

ENKLEM Laurin ser nkleminin

x_A

x_B σ c)│ = –––

xA γ üzere telin

se,

– t ₁ ) β.E

– t 1 ) β.E.

çin a _e² = ı eğik men uğundan enzile ait d eşdeğer aç adeler yard

rilmelerin MİNİN GE

risine açılm gerçek ifa

x_B

σ –– . Sinh ( γ n parametr

– b.σ ₁ ].σ

q – b.H 1 ]

a².Cosφ nzile ait bu

a e2= a ² v değişik ha çıklık) ve b dımıyla ko n bulunmas ERÇEK mış ifades fadesi bulu

γ. x x ( –––––)│

σ x residir .

σ ₂² + = (–

].H 22 + =

ve b = ulunan de ve b = 1 o aller denkl b ortalama ot farklı bi

sı mümkü İFADES si yerine g unabilir .

x_B

xA

γ₂². a _e².E –––––––––

24

g ₂². a

= –––––––

2

1+ h²/2a² eğişik halle

olacağında lemine eşi a eğim fak ir hat bölü ün olur .

İ

gerçek değ

dir . E

– )

e2.q.E –––––

4

er an yu-

it olur . ktörü ümünde

ğeri

Eğik menzil için : A ve B tespit noktalarının apsisleri, h

x_B = c.Sinh^-1 ( –––––––––––– ) + a/2 2c.Sinh (a/2c)

h

x_A = c.Sinh^-1 ( ——————— ) – a/2 olacaktır . 2c.Sinh (a/2c)

Buna göre tel boyu,

σ γ.x_B γ.x_A ℓ = ––– .[Sinh (–––––) – Sinh ( –––––)]

γ σ σ olur . Birinci ve ikinci durumdaki tel boyları,

σ₁ γ₁.x₂ γ₁.x₁ ℓ₁ = ––– .[Sinh (–––––) – Sinh ( –––––)]

γ1 σ1 σ1 σ₂ γ₂.x₂ γ₂.x₁ ℓ₂ = ––– .[Sinh (–––––) – Sinh ( –––––)]

γ₂ σ₂ σ₂ dir .

Telin her yerindeki gerilme farklı olduğundan mekanik uzamalar için telin yatay gerilmesi yerine ortalama gerilmesi alınıp, üçüncü terimi çok küçük olduğundan ihmal edilip ilk iki terimi alınırsa, ortalama gerilme

σ.h²

σ _ort = σ + –––––– olacaktır . 2.a²

Termik ve mekanik uzamalar dolayısıyla tel boyundaki fark (σort2 – σort1).ℓ1

∆ℓ = ( ℓ₂ – ℓ₁ ) = (t₂ – t₁).β.ℓ₁ + ——————– olacağından, E

Değerler yerlerine konarak,

(ℓ2 – ℓ1) (σ2 – σ1) h².(σ2 – σ1 )

———— = (t2 – t1).β. + ———— + ——–——– elde edilir . ℓ1 E 2.a².E

Bu suretle değişik haller denkleminin eğik menzil için gerçek ifadesi σ₂ γ₂.x_B γ₂.x_A

––– .[Sinh (––––) – Sinh ( ––––)]

γ2 σ2 σ2 (σ2 – σ1) h²(σ2 – σ1) ––––––––––––––––––––––––––––– = 1 + (t2 – t1).β + ––––––– + –––––––––

σ₁ γ₁.x_B γ₂.x_A E 2.a².E ––– .[Sinh (––––) – Sinh ( ––––)]

γ₁ σ₁ σ₁ bulunmuş olur .

1 indisli değerler (t₁ , σ₁ , γ₁ ) baz alınarak, t₂ ortam sıcaklığı ve γ₂ yoğunluğu için σ₂ gerilmesinin gerçek değeri bu ifadeden hesaplanarak bulunabilir .

Tespit noktalarının apsislerinin hesabında c tel parametresi için baz alınan sıcak- lıktaki gerilmeye karşılık gelen parametrenin alınması halinde

c = c₁ = c₂ = σ₁ /γ₁ olacaktır . xB ve xA tespit noktalarının apsisleri,

h

x_B = c. Sinh^-1 ( ––––––––––––––) + a/2 2c.Sinh (a/2c)

h

xA = c. Sinh^-1 ( ––––––––––––––) – a/2

2c.Sinh (a/2c) olur . Apsisler bu ifadelerden bulunup denklemde yerlerine konacaktır .

Değişik haller denklemi hiperbolik fonksiyonları ihtiva ettiğinden bu denklemin çözümü deneme yanılma (iterasyon) yöntemi ile yapılabilir . Bunun için, bulun- ması istenilen σ₂ gerilmesine eşitlik sağlanıncaya kadar çeşitli değerler verilerek aranılan çözüm bulunabilir .

Düz menzil için :

h = 0 x_B = a/2 x_A = – a/2 olduğundan σ2/γ2 . Sinh (γ2.a / 2.σ2) σ2 – σ1

––––––––––––––––––––– = 1 + (t2 – t1).β + ———— olur . σ1/γ1 . Sinh (γ1.a / 2.σ1) E

Bu ifade değişik haller denkleminin düz menzil için gerçek ifadesidir .

Kritik açıklık

En düşük ortam sıcaklığındaki gerilme ile yüklü haldeki (Buz yükü ya da rüzgar yükü) ortam sıcaklığındaki gerilmenin birbirine eşit olduğu açıklığa kritik açık- lık denir . Max gerilmenin hangi halde meydana geldiği kritik açıklığa göre be- lirlenir .

Düz menzil için

––––––––––––––––––––––––––

24 (t ₁ – t ₂) β a _kr = σ _max ––––––––––––––

√ γ ₁ ² – γ ₂ 2

Eğik menzil için kritik açıklık

———————————————

24.(t₁ – t₂).β.

a _kr = σ_max . ———————— Cos φ = a /√ a² + h² √ (γ₁² – γ₂²).Cosφ

t 1 : buz ya da rüzgar yüklü sıcaklık derecesi t ₂ : En düşük ortam sıcaklığı

β : İletkenin ısıl uzama katsayısı [ 1/C⁰ ]

σ _max : Max gerilmedir . [ kg/mm² ) σ _max = σ _{c max} alınır .

γ ₁ = γ _top : Ek yüklü halde iletkenin toplam yoğunluğu [kg/m.mm²] γ ₂ : İletkenin en düşük ortam sıcaklığındaki yoğunluğu [kg/m.mm²] a : Direkler arası açıklık

h : Askı noktaları arasındaki kot farkı

φ : Askı noktalarını birleştiren doğrunun yatayla yaptığı açı [ ⁰ ] a _r : Ruling açıklık [ m ]

1) a _r > a _kr ise max gerilme ek yüklü haldedir . (Buzlu ya da rüzgarlı hal)

2) a _r < a _kr ise max gerilme en düşük ortam sıcaklığında ve ek yüksüz haldedir Ruling açıklık

iki durdurucu direk arasındaki hat bölümünde tel boyundaki toplam değişme eşit açıklıklı bir hattaki durdurucular arasındaki toplam değişmeye eşit olsun .

İşte bu açıklığa eşdeğer (Ruling) açıklık denir .

a13 + a23 + a33 + .... + an3

a r = ––––––––––––––––––––– olur . √ a₁ + a₂ + a₃ + .... + a_n

Taşıyıcı direklerden oluşan ve kot farklarını ihtiva eden bir hat bölümüne ait değişik haller denklemi ile bilgisayar programı ile çözülmüş bir örnek aşağıda verilmektedir .

Programlayan Y.Müh.Ersin Soyberk 2014 Program adı : HATRUF HAVA HATLARINDA KOT FARKLARI BULUNAN ACIKLIKLARA AIT DEGISIK HALLER DENKLEMINI KULLANARAK MUHTELIF ORTAM SICAKLIKLARINDA ILETKENIN GERILME,SEHIM VE CEKME KUVVETININ BULUNMASI

GIRIS DEGERLERI

Hattın adı ... : ANKARA II - OSMANCA E.I.H

Hattın gerilimi ... : 380 kV Buz yükü Bölgesi ... : 3 En düşük ortam sıcaklığı ... : -25 ⁰C En yüksek ortam sıcaklığı ... : 40 ⁰C Rüzgarlı haldeki ortam sıcaklığı ... : 5.0 ⁰C Rüzgarlı halde tellere rüzgar basıncı ( 5 ⁰C) ... : 68.00 Kg/m2 Rüzgarlı halde tele rüzgar yükü yüzdesi ( 5 ⁰C) ... : % 70

En yüksek ortam sıcaklığındaki rüzgar yükü yüzdesi : % 42 iletken telin adı ... : cardinal Telin kesiti ... : 547.34 mm2 Telin anma çapı ... : 30.42 mm Telin birim ağırlığı ... : 1.8298 kg/m Telin ilkel elastikiyet modülü ... : 5100 kg/mm2 Telin ısıl uzama katsayısı ... : 1.95E-005 1/⁰C Telin kopma kuvveti Tk ... : 15238 Kg

Telin emniyet gerilmesi ... : 12.53 Kg/mm2 Telin yatay teğetli noktadaki max çekme kuvveti ... : 5300 Kg Creep faktörü ... : 1.0347 Açıklık ve kot farkları .... :

yatay acıklık m Kot farkı m 445.00 19.00 354.00 28.00 408.00 36.00 522.00 -12.00 410.00 21.00 264.00 5.00

S O N U C D E G E R L E R I

NOT: Rüzgar kuvveti açıklığa bağlı olmadan W = c.p.d.aw bağıntısından hesaplanmıŞtır. c= 1

Hat bölümüne ait eşdeğer açıklık ... : 422.69 m Hat bölümüne ait ortalama eğim faktörü ... : 1.002 kritik açıklık : akr= 163.21 m

akr<a olduğundan max gerilme -5.0⁰C de buzlu haldedir.

kritik sıcaklık : tkr= 46.33⁰C

tkr>tmax = 40⁰C olduğundan max sehim -5.0⁰C de buzlu haldedir.

buzlu haldeki max sehim .... : fmax= 15.22 m Değişik haller denklemi :

1.002 G³ + ( 8.030 + 0.099 t ) G² = 424.331

MUHTELIF ORTAM SICAKLIKLARINDAKI GERILME,SEHIM VE CEKME KUVVETI DEGERLERI

Hattın adı : ANKARA II-0SMANCA E.I.H

Buz yükü bölgesi : 3

iletkenin adı : cardinal Sıcaklık Yatay Sehim yatay Eşdeğer açıklık Gerilme çekme kuv. 422.69 m ⁰C Kg/mm2 m kg --- --- --- --- --- -5.0 10.02 15.22 5484 Buz + Rüzg yüklü -5.0 9.50 14.99 5200 % 100 Buz yüklü -5.0 7.67 14.16 4198 % 50 Buz yüklü 5.0 7.71 14.64 4221 % 100 Rüzgar yüklü 5.0 6.72 14.18 3680 % 70 Rüzgar yüklü 40.0 5.46 15.18 2986 % 42 Rüzgar yüklü -25 6.05 12.36 3310

-20 5.95 12.57 3255

-15 5.85 12.78 3202

-10 5.76 12.98 3151

-5 5.67 13.19 3102

0 5.58 13.39 3055

5 5.50 13.60 3010

10 5.42 13.80 2966

15 5.34 14.00 2924

20 5.27 14.20 2883

25 5.20 14.39 2844

30 5.13 14.59 2806

35 5.06 14.78 2769

40 4.99 14.97 2734

⁰C -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Kg/mm2 5.67 5.58 5.50 5.42 5.34 5.27 5.20 5.13 5.06 4.99 --- açıklık kot(m) sehimler(m)

445.00 19.00 14.63 14.86 15.09 15.31 15.53 15.75 15.97 16.19 16.40 16.61 354.00 28.00 9.28 9.42 9.56 9.70 9.84 9.98 10.12 10.26 10.40 10.53 408.00 36.00 12.34 12.53 12.72 12.90 13.09 13.28 13.46 13.64 13.82 14.00 522.00 -12.00 20.14 20.45 20.76 21.06 21.37 21.67 21.97 22.27 22.57 22.86 410.00 21.00 12.43 12.62 12.81 13.00 13.19 13.37 13.56 13.74 13.92 14.11 264.00 5.00 5.14 5.22 5.30 5.38 5.46 5.53 5.61 5.69 5.76 5.84

Aynı hat düz menzile ait değişik haller denkleminden hesaplanırsa

Program adı : HATHES 1998(vers. 2007) S O N U C D E G E R L E R I

Ruling açıklık ..: 423.00 m kritik açıklık : akr= 163.21 m

akr<a olduğundan max gerilme -5.0⁰C de buzlu haldedir.

kritik sıcaklık : tkr= 46.33⁰C

tkr>tmax = 40⁰C olduğundan max sehim -5.0⁰C de buzlu haldedir.

buzlu haldeki max sehim .... : fmax= 15.24 m Değişik haller denklemi :

G³ + ( 8.072 + 0.099 t ) G² = 424.936

MUHTELIF ORTAM SICAKLIKLARINDAKI GERILME,SEHIM VE CEKME KUVVETI DEGERLERI

Hattın adı : ANKARA II-OSMANCA E.I.H

Buz yükü bölgesi : 3

iletkenin adı : CARDINAL Sıcaklık Yatay Sehim yatay Ruling açıklık Gerilme çekme kuv. 423.00 m ⁰C Kg/mm2 m kg --- --- --- --- --- -5.0 10.02 15.24 5484 Buz+rüzg yüklü ( 20 kg/m2) -5.0 9.50 15.01 5200 % 100 Buz yüklü -5.0 7.67 14.18 4197 % 50 Buz yüklü 5.0 7.71 14.66 4221 % 100 Rüzgar yüklü 5.0 6.72 14.21 3679 % 70 Rüzgar yüklü 40.0 5.45 15.20 2985 % 42 Rüzgar yüklü -25 6.04 12.38 3308

-20 5.94 12.59 3253

-15 5.85 12.80 3201

-10 5.75 13.01 3150

-5 5.67 13.22 3101

0 5.58 13.42 3054

5 5.50 13.62 3008

10 5.42 13.82 2965

15 5.34 14.02 2923

20 5.27 14.22 2882

25 5.19 14.42 2843

30 5.12 14.61 2805

35 5.06 14.81 2768

40 4.99 15.00 2733

⁰C -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Kg/mm2 5.67 5.58 5.50 5.42 5.34 5.27 5.19 5.12 5.06 4.99 --- acıklık kot(m) sehimler(düz menzil için) m

445.00 0 14.63 14.85 15.08 15.30 15.52 15.74 15.96 16.18 16.39 16.60 354.00 0 9.25 9.39 9.54 9.68 9.82 9.96 10.09 10.23 10.37 10.50 408.00 0 12.29 12.48 12.67 12.86 13.05 13.23 13.41 13.59 13.77 13.95 522.00 0 20.14 20.45 20.76 21.07 21.37 21.67 21.97 22.27 22.57 22.86 410.00 0 12.41 12.61 12.80 12.99 13.17 13.36 13.54 13.73 13.91 14.09 264.00 0 5.14 5.22 5.30 5.38 5.46 5.53 5.61 5.69 5.76 5.84

Bu iki çözümde de gerilme değerleri hemen hemen birbirine eşit olmaktadır . Bölüm içindeki aynı açıklıklar için kot farklarına bağlı olarak eşdeğer açıklık da değişmektedir . Kot farkları büyüdükçe bölümün eşdeğer açıklığı düz menzile ait ruling açıklıktan daha küçük değerler alacaktır . Bölüm içinde büyük kot farklarının mevcut olması durumunda eşdeğer açıklık küçülecek gerilmeler de büyüyecektir .

Sonuç olarak çok büyük kot farklarını ihtiva eden hat bölümlerinde düz menzile ait değişik haller denkleminin kullanılması halinde bulunan gerilme ve sehim değerleri gerçeği tam yansıtmayacaktır .

Aynı hat bölümünün, açıklıkları aynı ancak kot farkları on misli arttırılmış duru- mu için kot farklı hat bölümüne ait değişik haller denkleminden bulunan bilgisa- yar hesap çıktıları da aşağıda verilmektedir .

Programlayan Y.Müh.Ersin Soyberk 2014 Program adı : HATRUF HAVA HATLARINDA KOT FARKLARI BULUNAN ACIKLIKLARA AIT DEGISIK HALLER DENKLEMINI KULLANARAK MUHTELIF ORTAM SICAKLIKLARINDA ILETKENIN GERILME,SEHIM VE CEKME KUVVETININ BULUNMASI

GIRIS DEGERLERI

Hattın adı ... : ANKARA II - OSMANYE E.I.H

Hattın gerilimi ... : 380 kV Buz yükü Bölgesi ... : 3 En düşük ortam sıcaklığı ... : -25 ⁰C En yüksek ortam sıcaklığı ... : 40 ⁰C Rüzgarlı haldeki ortam sıcaklığı ... : 5.0 ⁰C Rüzgarlı halde tellere rüzgar basıncı ( 5 ⁰C) ... : 68.00 Kg/m2 Rüzgarlı halde tele rüzgar yükü yüzdesi ( 5 ⁰C) ... : % 70

En yüksek ortam sıcaklığındaki rüzgar yükü yüzdesi : % 42 iletken telin adı ... : CARDINAL Telin kesiti ... : 547.34 mm2 Telin anma çapı ... : 30.42 mm Telin birim ağırlığı ... : 1.8298 kg/m Telin ilkel elastikiyet modülü ... : 5100 kg/mm2 Telin ısıl uzama katsayısı ... : 1.95E-005 1/⁰C Telin kopma kuvveti Tk ... : 15238 Kg Telin emniyet gerilmesi ... : 12.53 Kg/mm2 Telin yatay teğetli noktadaki max çekme kuvveti ... : 5300 Kg Creep faktörü ... : 1.0347 Açıklık ve kot farkları .... :

yatay acıklık m Kot farkı m 445.00 190.00 354.00 280.00 408.00 360.00 522.00 -120 410.00 210.00 264.00 50.00

S O N U C D E G E R L E R I

NOT: Rüzgar kuvveti açıklığa bağlı olmadan W = c.p.d.aw bağıntısından hesaplanmıŞtır. c= 1

Hat bölümüne ait eşdeğer açıklık ... : 400.17 m Hat bölümüne ait ortalama eğim faktörü ... : 1.159 kritik açıklık : akr= 163.21 m

akr<a olduğundan max gerilme -5.0⁰C de buzlu haldedir.

kritik sıcaklık : tkr= 46.33⁰C

tkr>tmax = 40⁰C olduğundan max sehim -5.0⁰C de buzlu haldedir.

buzlu haldeki max sehim .... : fmax= 13.64 m Değişik haller denklemi :

1.159 G³ + ( 4.630 + 0.099 t ) G² = 380.312

MUHTELIF ORTAM SICAKLIKLARINDAKI GERILME,SEHIM VE CEKME KUVVETI DEGERLERI

Hattın adı : ANKARA II - OSMANYE E.I.H

Buz yükü bölgesi : 3

iletkenin adı : CARDINAL Sıcaklık Yatay Sehim yatay Eşdeğer açıklık Gerilme çekme kuv. 400.17 m ⁰C Kg/mm2 m kg --- --- --- --- --- -5.0 10.02 13.64 5484 Buz + Rüzg yüklü -5.0 9.53 13.39 5217 % 100 Buz yüklü -5.0 7.80 12.47 4270 % 50 Buz yüklü 5.0 7.81 12.94 4277 % 100 Rüzgar yüklü 5.0 6.87 12.43 3762 % 70 Rüzgar yüklü 40.0 5.56 13.33 3045 % 42 Rüzgar yüklü -25 6.33 10.58 3466

-20 6.22 10.78 3402

-15 6.10 10.98 3340

-10 5.99 11.17 3281

-5 5.89 11.37 3224

0 5.79 11.57 3169

5 5.69 11.76 3117

10 5.60 11.96 3066

15 5.51 12.15 3018

20 5.43 12.34 2971

25 5.35 12.54 2926

30 5.27 12.73 2882

35 5.19 12.91 2840

40 5.11 13.10 2800

⁰C -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Kg/mm2 5.89 5.79 5.69 5.60 5.51 5.43 5.35 5.27 5.19 5.11 --- acıklık kot(m) sehimler(m)

445.00 190.00 15.30 15.56 15.82 16.09 16.35 16.60 16.86 17.12 17.37 17.62 354.00 280.00 11.34 11.54 11.74 11.93 12.12 12.31 12.50 12.69 12.88 13.07 408.00 360.00 15.77 16.04 16.31 16.58 16.85 17.11 17.38 17.64 17.90 18.16 522.00-120.00 19.87 20.22 20.56 20.90 21.24 21.57 21.91 22.24 22.57 22.90 410.00 210.00 13.41 13.65 13.88 14.11 14.33 14.56 14.79 15.01 15.23 15.45 264.00 50.00 5.03 5.12 5.21 5.29 5.38 5.46 5.55 5.63 5.72 5.80

Görüldüğü gibi büyük kot farklarını ihtiva eden hat bölümlerinde düz menzile ait değişik haller denklemini kullanarak bulunan gerilme değerleri, kot farklı hat bölümüne ait değişik haller denkleminden bulunan değerlerden farklı olmaktadır . Kot farkları arttıkça tel gerilmeleri büyümekte eşdeğer açıklık da düz menzile ait ruling açıklığa nazaran küçülmektedir .

Sonuç :

Büyük kot farklarını ihtiva eden hat bölümlerinde düz menzil yerine kot farklı hat bölümüne ait değişik haller denkleminin kullanılması daha uygun olacaktır . Kot farkları çok büyük olmayan hat bölümlerinde düz menzile ait değişik haller denkleminin kullanılması durumunda tel gerilmelerinde az bir fark olmaktadır .

Değişik haller denkleminin hiperbolik fonksiyonlu gerçek ifadesinin kullanılma- sı durumunda da tel gerilmelerinde önemli bir fark olmamaktadır .

Aynı hattın değişik haller denkleminin düz menzile ait hiperbolik fonksiyonlu gerçek ifadesi ile bilgisayar programında hesaplanmış çıktıları da aşağıdadır .

Programlayan Y.Müh.Ersin Soyberk 1998(Vrs 2014) Program adı : Hathip ENERJI ILETIM HATLARINDA GERCEK DEGISIK HALLER DENKLEMINI

KULLANARAK MUHTELIF SICAKLIKLARDAKI GERILME,SEHIM VE CEKME KUVVETININ BULUNMASI

G I R I S D E G E R L E R I

Hattın adı ... : ANKARA II-OSMANCA

Hattın gerilimi ... : 380 kV Buz yükü Bölge No su ... : 3

iletkenlere rüzgar basıncı ( 5 ⁰C) ... : 68.00 kg/m2 Buzlu iletkenler üzerine rüzgar basıncı (-5 ⁰C) .. : 20 Kg/m2 Buz yoğunluğu ... : .6 Kg/dm3 iletkenin adı ... : CARDINAL iletkenin kesiti ... : 547.34 mm2 iletkenin anma çapı ... : 30.42 mm iletkenin birim ağırlığı ... : 1.8298 kg/m iletkenin ilkel elastikiyet modülü ... : 5100 kg/mm2 iletkenin ısıl uzama katsayısı ... : 1.95E-005 1/⁰C iletkenin max ilkel çekme kuvveti ... : 5484 Kg

Açıklık ve kot farkları .... : yatay acıklık m Kot farkı m 445.00 19.00 354.00 28.00 408.00 36.00 522.00 -12.00 410.00 21.00 264.00 5.00

Direkler arası açıklık (ruling açıklık) ... : 422.996 m

S O N U C D E G E R L E R I

NOT: Rüzgar kuvveti açıklığa bağlı olmadan W = c.p.d.aw bağıntısından hesaplanmıştır. c= 1

kritik açıklık : akr= 163.21 m

akr<a olduğundan max gerilme -5.0⁰C de buzlu haldedir.

kritik sıcaklık : tkr= 46.33⁰C

tkr>tmax = 40⁰C olduğundan max sehim -5.0⁰C de buzlu haldedir.

buzlu haldeki max sehim .... : fmax= 15.24 m

MUHTELIF ORTAM SICAKLIKLARINDAKI GERILME,SEHIM VE CEKME KUVVETI DEGERLERI

Buz yükü bölgesi : 3

iletkenin adı : CARDINAL

Sıcaklık Gerilme Sehim çekme kuvveti Ruling menzil ⁰C kg/mm2 m kg 422.996 m --- --- --- ---

-5.0 10.02 15.24 5484 Buz+rüzg.yüklü(20Kg/m2) -5.0 9.50 15.01 5200 %100 Buz yüklü

-5.0 7.67 14.18 4197 % 50 Buz yüklü 5.0 7.71 14.66 4221 %100 Rüzgar yüklü 5.0 6.72 14.20 3680 % 70 Rüzgar yüklü 40.0 5.45 15.20 2985 % 42 Rüzgar yüklü -25 6.05 12.38 3310

-20 5.95 12.59 3254 -15 5.85 12.80 3201 -10 5.76 13.01 3151 -5 5.67 13.21 3102 0 5.58 13.42 3054 5 5.50 13.62 3009 10 5.42 13.82 2965 15 5.34 14.02 2923 20 5.27 14.22 2882 25 5.19 14.42 2843 30 5.13 14.61 2805 35 5.06 14.81 2768 40 4.99 15.00 2733

ACIKLIKLARA AIT MUHTELIF SICAKLIKLARDAKI GERILMELER VE SEHIMLER

Creep faktörü .... : 1.0347 Max ilkel gerilme :10.02 kg/mm2 iletkenin adı ... : CARDINAL Buz yükü bölgesi : 3

Ruling açıklık .... : 422.996 m

⁰C -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Kg/mm2 5.67 5.58 5.50 5.42 5.34 5.27 5.19 5.13 5.06 4.99 --- açıklık kot(m) sehimler(m)

445.00 19.00 14.64 14.86 15.09 15.31 15.53 15.75 15.97 16.19 16.40 16.62 354.00 28.00 9.28 9.42 9.56 9.71 9.85 9.99 10.12 10.26 10.40 10.53 408.00 36.00 12.34 12.53 12.72 12.91 13.09 13.28 13.46 13.65 13.83 14.01 522.00 -12.00 20.14 20.45 20.76 21.07 21.38 21.68 21.98 22.28 22.57 22.87 410.00 21.00 12.43 12.62 12.81 13.00 13.19 13.38 13.56 13.74 13.93 14.11 264.00 5.00 5.14 5.22 5.30 5.38 5.46 5.53 5.61 5.69 5.76 5.84