ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
EPİDEMİK MODELLERİN OPTİMAL KONTROLÜ
Özlem BAŞ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2021
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
EPİDEMİK MODELLERİN OPTİMAL KONTROLÜ
Özlem BAŞ
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Elif DEMİRCİ
Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, birinci basamaktan diferensiyel denklem sistemleri ve bu sistemlerin ka- rarlılığına ilişkin bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümde, bölmeli modeller ile ilgili genel bilgi verilmiştir.
Dördüncü bölümde, optimal kontrol problemine ilişkin bazı temel kavramlar ve teoremler ifade edilmiştir.
Beşinci bölümde, bir SIQR epidemik modeli açıklanmış ve kararlılığı incelenmiştir.
Altıncı bölümde, beşinci bölümde ele alınan SIQR modeline, karantina altında tedaviye alı- nan bireyleri karakterize eden bir kontrol parametresi eklenerek verilen bir optimal kontrol problemi ele alınmıştır.
Yedinci bölümde, Optimal kontrol parametresinin SIQR modeli üzerindeki etkisi nümerik olarak incelenmiş ve elde edilen nümerik çözümlerin grafikleri yorumlanmıştır.
Son bölümde, tezde elde edilen sonuçlar özetlenmiştir.
Haziran 2021 , 66 sayfa
Anahtar Kelimeler: Optimal kontrol, SIQR modeli, kararlılık, temel üreme sayısı
ABSTRACT
Master Thesis
OPTIMAL CONTROL OF EPIDEMIC MODELS
Özlem BAŞ
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Assoc.Prof.Dr.Elif DEMİRCİ
This thesis consists of eight chapters.
The first chapter is devoted to the introduction.
In the second chapter, some basic definitions and theorems related to the first order systems of differential equations and their stability are given.
In the third chapter, general information about the compartmental models is given.
In the fourth chapter, some basic concepts and theorems related to the optimal control problem are expressed.
In the fifth chapter, a SIQR epidemic model is described and its stability is examined.
In the sixth chapter, an optimal control problem which is given by adding a control para- meter that characterizes the individuals treated under quarantine, to the SIQR model in the fifth chapter is discussed.
In the seventh chapter, the effect of the optimal control parameter on the SIQR model is numerically examined and the graphs of the obtained numerical solutions are interpreted.
In the last section, the results obtained in the thesis are summarized.
June 2021 , 66 pages
Key Words: Optimal control, SIQR model, stability, basic reproduction number
iv TEŞEKKÜR
Yüksek lisans eğitimim sürecinde ve bu tez çalışmasında beni yönlendiren, bilgilerini, yardımlarını ve tecrübelerini benden esirgemeyerek çalışmanın ilerlemesine katkıda bulunan danışman hocam Sayın Doç. Dr. Elif DEMİRCİ’ye; üzerimde emeği olan bütün bölümümüz öğretim üyelerine sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Hayatım boyunca maddi manevi yanımda oldukları gibi çalışmalarım süresince de beni destekleyen sevgili aileme en içten duygularımla teşekkür ederim.
Özlem BAŞ
Ankara, Haziran 2021
v
İÇİNDEKİLER
TEZ ONAY SAYFASI
ETİK ... i
ÖZET ... ii
ABSTRACT ... iii
TEŞEKKÜR ... iv
SİMGELER DİZİNİ ... vi
ŞEKİLLER DİZİNİ ... vii
ÇİZELGELER DİZİNİ ... viii
1. GİRİŞ ... 1
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER ... 4
2.1 Birinci Basamaktan Diferensiyel Denklem Sistemleri ... 4
2.2 Kararlılığa İlişkin Bazı Tanımlar ... 7
3. BÖLMELİ MODELLER ... 13
4. OPTİMAL KONTROL PROBLEMİ ... 16
5. BİR SIQR MODELİ ... 24
5.1 Model Analizi ... 27
6. SIQR MODELİNİN OPTİMAL KONTROLÜ ... 42
7. OPTİMAL KONTROLÜN NÜMERİK ANALİZİ ... 49
7.1 SIB Alt-Modeli ... 49
7.2 SIQRB Modelinin Endemik Denge Noktasının Lokal Kararlılığı ... 49
7.3 Optimal Kontrol Probleminin Çözümü ... 58
8. SONUÇ ... 62
KAYNAKLAR ... 63
ÖZGEÇMİŞ ... 66
SİMGELER DİZİNİ
P Toplam
∂ Kısmi türev
Rn n-boyutlu reel uzay
≥ Büyük eşit
≤ Küçük eşit
Çok daha küçük
≈ Yaklaşık olarak eşit
∀ Her
Kısaltmalar
OKP (Optimal Kontrol Problemi)
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 4.1 u∗ optimal kontrolü ve x∗ durumu (kesiksiz); u ve x (kesikli)
gösterimi . . . 19
Şekil 5.1 Akış Diyagramı . . . 25
Şekil 7.1 ω = δ = = α2 = 0 değerleri ve çizelge 7.1’deki diğer para- metre değerleri için (7.1) modelinin tahmin edilen I* çözümü ve 1 Ka- sım 2010’dan 1 Mayıs 2011’e kadar Haiti Artibonite Bölgesi’ndeki kolera salgınının gerçek verilerinin kıyaslanması . . . 50
Şekil 7.2 ω = δ = = α2 = 0 değerleri ve çizelge 7.1’deki diğer parametre değerleri için (7.1) modelinin tahmin edilen B* çözümü . . . 51
Şekil 7.3 Duyarlı sınıfı S∗ . . . 53
Şekil 7.4 Semptomlu enfekteler I∗ . . . 54
Şekil 7.5 Karantina altında tedavide olan bireyler Q∗ . . . 55
Şekil 7.6 İyileşmiş bireyler R∗ . . . 56
Şekil 7.7 Bakteri yoğunluğu B* . . . 57
Şekil 7.8 Çizelge 7.1’deki başlangıç koşulları ve parametre değerleri için (6.10) optimal kontrolü . . . 58
Şekil 7.9 Kesiksiz çizgi; 1 Kasım 2010’dan 1 Mayıs 2011’e kadar, Haiti Arti- bonite Bölgesi’ndeki kolera salgınının gerçek verileri, Kesikli çizgi; çizelge 7.1’deki başlangıç koşulları ve parametre değerleri için (6.4) OKP (Op- timal Kontrol Problemi) ile elde edilen S∗, I∗, Q∗ ve R∗ optimal çözümleri 60 Şekil 7.10 Çizelge 7.1’deki başlangıç koşulları ve parametre değerleri ile (6.4) optimal kontrol problemi için optimal bakteriyel yoğunluk . . . 61
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 7.1 SIQR modeli için parametre değerleri ve başlangıç koşulları ... 52
1.
GİRİŞBulaşıcı hastalıklar tarih boyunca salgınlara yol açmış ve birçok insanın ölümüne neden olmuştur. Tarihteki önemli salgınlardan biri 1346 yılında ortaya çıkmış bu- bonik veba salgınıdır. Asya’da ortaya çıkmış ve dalgalar halinde Avrupa’ya yayılmış veba salgınında (1346-1350), Avrupa nüfusunun üçte birinin öldüğü bilinmektedir.
Epidemiyolojide hastalıkların yayılımlarına göre farklılıklarını ifade etmek için üç temel kavram kullanılır. Bunlardan ilki belirli bir bölge veya nüfusta yerel olarak, sürekli mevcut olan hastalıklar için kullanılan endemik hastalık ifadesidir. İkinci kavram olan epidemik hastalık ifadesi, aynı anda pek çok insanı etkileyen salgınlara neden olan hastalıklar için kullanılır. Son olarak epidemik hastalıkların küresel olarak yayılması durumunda pandemik hastalık terimi kullanılmaktadır.
Bazı bölgelerde endemik olan hastalıklar için, belirli bir zamandaki enfeksiyonların sayısını ve yeni enfeksiyonların ortaya çıkma oranını tahmin edebilmek ve buna bağlı olarak gerekli tedbirleri alma çalışmaları önemlidir. Karantina ve aşı yöntemleri hastalığın endemik doğasını yenme ve böylece bir popülasyondaki hastalığı kontrol etme ve hatta yok etme olasılığını arttırmada etkili olmaktadır (Brauer vd. 2019).
Epidemiyologların amacı, önce bir hastalığın nedenlerini anlamak, ardından seyrini tahmin etmek ve son olarak, farklı olası yaklaşımları karşılaştırarak onu kontrol etmenin yollarını geliştirmektir. İlk adım, gözlemlenen verileri elde etmek ve analiz etmektir (Brauer 2017).
Kolera, suda bulunan bir organizmada yaşayan Vibrio Cholerae bakterisi ile bağır- sakta enfeksiyonun neden olduğu akut bir hastalıktır. John Snow’un 1854’te kanıt- ladığı gibi, kirli suyun yutulması kolera salgınına neden olabilir (Shuai vd. 2012).
Bu durum hastalığın bulaşma yollarından biridir, ancak başka bulaşma yolları da mevcuttur. Örneğin, duyarlı kişiler, enfekte kişilerle temas halinde olurlarsa enfekte olabilirler. Bireylerin enfeksiyon riski yüksekse, ortak yiyecek ya da su kabı kullana- rak da hastalığı kendileriyle yaşayan diğer kişilere bulaştırabilirler (Shuai vd. 2012).
Hastalığın bazı semptomları sulu ishal, kusma ve bacak kramplarıdır. Enfekte bir kişi
tedavi görmüyorsa, susuz kalır, asidoz ve dolaşım bozukluğu yaşar. Bu durum 12-24 saat içinde ölüme neden olabilir ( Mwasa ve Tchuenche 2011, Shuai vd. 2012). Bazı çalışmalar ve deneyler, iyileşmiş bir bireyin 3-10 yıllık bir süre boyunca hastalığa karşı bağışık olabileceğini öne sürmüştür. Ancak son araştırmalar, bağışıklığın haf- talar ile aylar arasında kaybedilebileciğini öne sürmektedir. 1979’dan beri, koleranın bulaşma dinamikleri için bazı matematiksel modeller önerilmiştir (Pascual vd. 2008, Shuai vd. 2012). Neilan vd.’nin (2010) çalışmasında bir SIR (Duyarlı-Bulaşıcı-İyileşmiş) tipi model önerilmiştir ve iki sınıf bakteri konsantrasyonu (hiperenfeksiyöz ve daha az bulaşıcı) ve iki bulaşıcı birey sınıfı (asemptomatik ve semptomatik) ele alınmıştır.
Hastalığı azaltmak için SIR tipi bir modele halk sağlığı eğitim kampanyaları, aşılama, karantina ve tedavi kontrol stratejisi olarak dahil edilmiştir (Mwasa ve Tchuenche 2011).
Salgın hastalıkları kontrol etmek için karantina uygulaması her zaman tartışmalı olmuştur, çünkü bu tür bir strateji politik, etik ve sosyoekonomik sorunları gün- deme getirir ve kamu yararı ile bireysel haklar arasında dikkatli bir denge gerekti- rir (Tognotti 2013). Bu tez çalışmasında, Lemos-Paião vd.’nin (2017) çalışmasında önerilmiş, bulaştırıcı bireylerin tedavi süresi boyunca karantinaya tabi tutuldukları SIQR (Duyarlı-Bulaşıcı-Karantinaya Alınmış-İyileşmiş) tipi bir model incelenmek- tedir.
Optimal kontrol, dinamik bir sistemi kontrol etmenin en uygun yollarını bulmak için geliştirilmiş güçlü bir matematiksel araçtır (Pontryagin vd. 1962, Cesari 1983).
Neilan vd.’nin (2010) çalışmasında kolera modellerine optimal kontrol uygulaması yapılmıştır. Lemos-Paião vd.’nin (2017) çalışmasında, tamamen iyileşme gerçekle- şene kadar karantina altında tedaviye alınacak enfekte bireylerin bir kısmını ifade eden bir kontrol fonksiyonu ele alınmıştır. Burada ulaşılmak istenen amaç; enfekte bireylerin sayısının ve bakteri konsantrasyonunun azaltılmasına ek olarak minimum maliyet gerektiren bir karantina aracılığıyla en uygun tedavi stratejisini bulmaktır.
2007 ve 2011 yılları arasında, Angola, Haiti ve Zimbabwe’de ortaya çıkan kolera salgınları, koleranın hala toplum sağlığını tehdit eden bir hastalık olduğunu ortaya koymaktadır (Shuai vd. 2012). Haiti’de ilk kolera vakaları 14 Ekim 2010’da Artibo-
nite Bölgesi’nde meydana gelmiştir. Hastalık Artibonite nehri boyunca yayılmıştır ve birkaç bölgeye ulaşmıştır.
Yalnızca bir ay içinde, kırsal alanlarda ve halk sağlığı açısından iyi koşulların olma- dığı yerlerde vakalar bildirilmiştir (Anonymous 2011). Bu tez çalışmasında, 1 Kasım 2010’dan 1 Mayıs 2011’e kadar Artibonite Bölgesi’ndeki kolera salgını için nümerik simülasyonlar sağlanmıştır (Anonymous 2011). Uygulanan stratejinin enfekte birey- lerin sayısının ve bakteri yoğunluğunun azalması üzerinde büyük olumlu etkisi ol- muştur ve 2010 yılında Haiti’de meydana gelen kolera salgınının gerçek verileriyle uyumlu bir şekilde nümerik olarak da gösterilmiştir.
Bulaştırıcı bireylerin sayısının önemli ölçüde azaldığı ve kontrol stratejisi uygulandı- ğında bakteri konsantrasyonunun kesin azalan bir fonksiyon olduğu gösterilmektedir.
Bu tezde, Lemos-Paião vd. (2017) tarafından yapılmış çalışmada verilen, karan- tina stratejisi kullanılarak oluşturulmuş bir sistem için, kolera hastalığına yönelik matematiksel model ele alınmıştır. Modelin hem epidemiyolojik hem de matema- tiksel olarak iyi tanımlı olduğu gösterilmiştir. Modelin tüm çözümlerinin pozitif ve sınırlı olduğu ve belirli bir kümedeki başlangıç koşullarına sahip her çözümünün tüm zamanlar için bu kümede kaldığı gösterilmiştir. Ele alınan modelin hastalıksız denge noktası, endemik denge noktası ve temel üreme sayısı hesaplanmıştır. Daha sonra, bu denge noktalarının lokal asimptotik kararlılığı incelenmiştir. Optimal kont- rol problemi aracılığıyla bulaştırıcı bireylerin sayısı ve bakteri yoğunluğuna ek olarak karantina ile ilgili maliyetlerin en aza indirilmesi için en uygun karantina stratejisi incelenmiştir. Son olarak, 2010 yılında (Haiti) Artibonite Bölgesi’ndeki veriler kul- lanılarak, modelin nümerik simülasyonları verilmiştir.
2.
TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLERBu bölümde, tez çalışmasında kullanılacak bazı temel tanımlar ve teoremler ifade edilecektir.
2.1 Birinci Basamaktan Diferensiyel Denklem Sistemleri
Günlük hayatın içinde yer alan birçok prensip ya da kanun, olayların oluşma hızlarını içeren ifadeler veya bağıntılardır. Bağıntılar denklemler ile hızlar ise türevler aracılı- ğıyla matematiksel olarak ifade edilebilirler. Bilinmeyen bir fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklemler denir. Sıvıların hareketini, elektrik dev- relerindeki akım akışını veya popülasyonların artmasını ya da azalmasını ve bu gibi durumları içinde bulunduran problemleri anlamak ve çözmek için diferensiyel denk- lemlerden yararlanılır. Bu süreçleri modellemek için t (zaman) gibi tek bir bağımsız değişkene ve birden fazla bağımlı değişkene sahip eş zamanlı adi diferensiyel denk- lemler yardımıyla oluşturulan sistemler sıklıkla kullanılır (Boyce ve Diprima 2004).
Tanım 2.1 Ω ⊂ Rn+1 açık bir bölge, F ∈ (Ω, Rn), t ∈ I ⊂ R, i = 1, 2, . . . , n için F = (f1, f2, . . . , fn)T ve X = (x1, x2, . . . , xn)T, Rn de vektörler olmak üzere birinci mertebeden bir diferensiyel denklem sistemi
dx1
dt = f1(x1(t) , . . . , xn(t) , t) , ...
dxn
dt = fn(x1(t) , . . . , xn(t) , t)
(2.1)
normal formunda verilir. (2.1) sistemi matris formunda dX
dt = F (X (t) , t) (2.2)
şeklinde ifade edilir (Perko 2013).
Tanım 2.2 (2.2) diferensiyel denklem sisteminde F fonksiyonu açık bir şekilde t ye bağlı değilse yani sistem
dX
dt = F (X (t)) (2.3)
formunda ifade edilebiliyorsa (2.2) sistemine otonomdur aksi halde otonom değildir denir (Allen 2007).
Tanım 2.3 (2.2) sisteminin I = {t : α < t < β} aralığı üzerindeki bir çözümü, I aralığındaki tüm noktalarda türevlenebilen ve bu aralıktaki her noktada (2.2) denklem sistemini sağlayan, n tane fonksiyondan oluşan (x1(t) , x2(t) , . . . , xn(t))T vektörüdür.
t0 ∈ I ve x10, x20, . . . , xn0 reel sabitler olmak üzere (2.2) sistemi
xi(t0) = xi0, i = 1, 2, . . . , n (2.4)
başlangıç koşulları ile birlikte bir başlangıç değer problemi tanımlar (Boyce ve Diprima 2004).
Tanım 2.4 Ω ⊂ Rn+1 açık bir küme, f : Ω → Rn bir fonksiyon olsun.
Her (t, X) , (t, Y ) ∈ Ω için
k f (t, X) − f (t, Y ) k≤ L k X − Y k (2.5) koşulu sağlanacak şekilde pozitif bir L sabiti varsa, f fonksiyonuna Ω üzerinde Lipsc- hitz koşulunu sağlar denir, L sabitine de Lipschitz sabiti adı verilir (Rama ve Rao 1981).
Teorem 2.1 (Cauchy-Peano Varlık Teoremi)
B0 = {(t, X) ∈ Ω : t0 ≤ t ≤ t0+ a, k X − X0 k≤ b} ve f ∈ C [B0, Rn] olmak üzere B0 üzerinde k F (t, X) k≤ M olsun. Bu durumda X0 = F (t, X) , X (t0) = X0 başlangıç değer probleminin α = min a,Mb olmak üzere [t0, t0+ α] aralığında tanımlı en az bir X (t) çözümü vardır (Rama ve Rao 1981).
Teorem 2.2 (Picard-Lindelöf Teoremi) B0 = {(t, X) ∈ Ω : t0 ≤ t ≤ t0 + a, k X − X0 k≤ b} olmak üzere F (t, X), B0 üzerinde sürekli bir fonksiyon olsun ve B0 da (2.5) ile verilen Lipschitz koşulunu sağlasın.
M = max
(t,X)∈B0
k f (t, X) k, α = min
a, b
M
olmak üzere X0 = F (t, X) , X (t0) = X0 başlangıç değer probleminin [t0, t0 + α]
aralığı üzerinde tanımlı tek bir X (t) çözümü vardır (Rama ve Rao 1981).
Tanım 2.5 i = 1, 2, . . . , n için ai katsayıları ve gi ifadeleri sabit ya da t ye bağlı fonksiyonlar olmak üzere (2.1) sistemi
dxi dt =
n
X
j=1
aij(t) xj+ gi(t) (2.6)
formunda ifade edilebiliyorsa, (2.1) sistemi lineerdir denir. Aksi halde sistem lineer değildir. Sistem lineerse ve gi(t) ≡ 0 ise, (2.6) sistemine lineer homogen diferensiyel denklem sistemi denir (Allen 2007).
Birinci basamaktan lineer homogen sabit katsayılı bir diferensiyel denklem sistemi x01 = a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn,
x02 = a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn,
... ...
x0n = an1x1+ an2x2+ . . . + annxn
(2.7)
formundadır.
i, j = 1, . . . , n için A = [aij] reel değerli bir matris ve X = [x1, x2, . . . , xn]T olmak üzere (2.7) sistemi matris formunda
X0 = AX (2.8)
şeklinde ifade edilir.
(2.8) lineer homogen deklem sisteminin çözümü, v, Rn de sabit bir vektör ve λ bir sabit olmak üzere
X (t) = eλtv (2.9)
formunda aranırsa
λeλtv = Aeλtv ifadesi yani
(A − λI)v = 0 (2.10)
matris denklemi elde edilir. (2.10) lineer denklem sisteminin aşikar olmayan v çözü- münün mevcut ve tek olması için
det(A − λI) = 0 (2.11)
olmalıdır. (2.11) eşitliğini sağlayan λ sayılarına, n × n lik A matrisinin özdeğerleri denir. Her bir λ özdeğerine karşılık gelen, (2.10) eşitliğini sağlayan, sıfırdan farklı v vektörüne sağ özvektör denir.
vT(A − λI) = 0 (2.12)
eşitliğini sağlayan v vektörlerine ise sol özvektör adı verilir. (2.11) eşitliği açık olarak
det(A − λI) =
a11− λ a12 . . . a1n
a21 a22− λ . . . a2n
... ... ...
an1 an2 . . . ann− λ
= 0 (2.13)
şeklinde ifade edilir.
Buradan, bn6= 0 olmak üzere,
Pn(λ) := bnλn+ bn−1λn−1+ . . . + b1λ + b0 = 0 (2.14) formunda n-inci dereceden bir polinom denklem elde edilir. Bu ifade A matrisinin karakteristik denklemi olarak adlandırılmaktadır (Braun 1993, Press vd. 2007).
2.2 Kararlılığa İlişkin Bazı Tanımlar
Diferensiyel denklem sistemlerinin analitik çözümlerini bulmak her zaman kolay de- ğildir. Bu durumda çözümler için nümerik yaklaşım yöntemleri kullanılır ya da çö- züm elde edilmeden çözümün davranışı nitel olarak incelenebilir.
Tanım 2.6 F X = 0 eşitliğini sağlayan sabit bir X çözümüne (2.3) diferensiyel denklem sisteminin bir denge çözümü (kritik noktası ya da denge noktası) denir (Allen 2007).
Tanım 2.7 X (t),
X0 = F (X) , X (t0) = X0
başlangıç değer probleminin çözümü olsun. X sistemin denge çözümü olmak üzere her bir > 0 için
k X0− X k< δ durumunda k X (t) − X k< , t ≥ t0
olacak şekilde bir δ = δ (X0, ) > 0 varsa X denge çözümüne lokal kararlı denge çözümü denir (Allen 2007).
Bir başka anlatım ile, (2.3) sisteminin X denge çözümünün δ komşuluğu içerisinde başlayan her çözümü, yine X denge çözümünün komşuluğunda kalıyorsa X karar- lıdır.
Tanım 2.8 Bir denge çözümü kararlı değilse kararsızdır (Allen 2007).
Tanım 2.9 X (t),
X0 = F (X) , X (t0) = X0
başlangıç değer probleminin çözümü ve X verilen sistemin denge çözümü olsun. X denge çözümü lokal kararlı ve
k X0− X k< γ eşitsizliğini sağlayan her X0 için
t→∞lim k X (t) − X k= 0
olacak şekilde bir γ > 0 varsa X denge çözümüne lokal asimptotik kararlıdır denir (Allen 2007).
Teorem 2.3 (2.8) sisteminin bir P (λ) karakteristik polinomunun tüm kökleri ne- gatif reel kısımlı ise,
| x (t) |≤ M e−bt, t > 0,
t→∞lim | X (t) |= 0
koşulları sağlanacak şekilde M ve b pozitif sabitleri vardır (Allen 2007).
Routh-Hurwitz Kriteri, (reel katsayılı) bir karakteristik polinomun köklerinin komp- leks düzlemin sol yarısında olup olmadığını belirlemeyi sağlayan bir gerek ve yeter koşuldur. (Allen 2007).
Teorem 2.4 ai, (i = 1, 2, . . . , n), reel sabitler olmak üzere,
P (λ) = λn+ a1λn−1+ . . . + an−1λ + an (2.15) için
H1 = a1
, H2 =
a1 1 a3 a2
, H3 =
a1 1 0 a3 a2 a1 a5 a4 a3
(2.16)
ve
Hn =
a1 1 0 0 . . . 0 a3 a2 a1 1 . . . 0 a5 a4 a3 a2 . . . 0 ... ... ... ... . . . ... 0 0 0 0 . . . an
(2.17)
olarak tanımlansın. (2.15) polinomunun negatif reel kısımlı köklerinin olması için Hj, j = 1, 2, . . . , n, Hurwitz matrislerinin tüm determinantları pozitif olmalıdır. Yani,
detHj > 0, j = 1, 2, . . . , n
eşitsizliği sağlanmalıdır. Özel olarak n = 2 durumunda: a1 > 0 ve a2 > 0,
n = 3 durumunda: a1 > 0, a3 > 0 ve a1a3 > 0,
n = 4 durumunda: a1 > 0, a3 > 0, a4 > 0 ve a1a2a3 > a23+ a21a4, n = 5 durumunda: a1 > 0, i = 1, 2, 3, 4, 5, a1a2a3 > a23+ a21a4, ve (a1a4− a5)(a1a2a3− a23− a21a4) > a5(a1a2− a3)2+ a1a25
koşulları sağlanmalıdır (Allen 2007).
dX
dt = F (X) (2.18)
sistemi lineer bir sistem değilse, sistemin X denge çözümünün kararlılığı (2.18) sis- teminin X komşuluğunda lineerleştirilmesi ile elde edilen lineer sistemin sıfır çözü- münün kararlılığı ile benzer özelliğe sahip olabilir.
x01 = f1(x1, x2, . . . , xn) , x02 = f2(x1, x2, . . . , xn) ,
... ...
x0n = fn(x1, x2, . . . , xn)
(2.19)
sisteminin bir denge çözümü X = (x1, x2, . . . , xn), olsun. Bu durumda
fi X = 0, i = 1, 2, . . . , n
dir. fi, i = 1, 2, . . . , n, X noktasını içeren bir açık kümede ikinci basamaktan sürekli kısmi türevlere sahip fonksiyonlar olsun.
fi, i = 1, 2, . . . , n, fonksiyonlarının X noktası komşuluğunda Taylor açılımları yapılır ve zi = xi− xi dönüşümü göz önüne alınırsa:
dxi
dt = fi X +
n
X
j=1
∂fi
∂xj X zj+ 1 2!
n
X
j=1 n
X
k=1
∂2fi
∂xk∂xjzkzj + . . . , i = 1, 2, . . . , n (2.20) elde edilir.
X denge çözümü civarında, (2.19) sisteminden (2.20) yardımı ile elde edilen lineer sistem,
J (X) =
∂f1
∂x1 . . . ∂x∂f1 .. n
. . .. ...
∂fn
∂x1 . . . ∂x∂fn
n
(2.21)
şeklinde tanımlanmak üzere,
Z0 = J X Z (2.22)
sistemidir.
(2.21) matrisine (2.19) sisteminin Jakobiyen matrisi denir.
Teorem 2.5 X, X0 = F (X) sisteminin bir denge noktası olsun. f nin X daki J X Jakobiyen matrisinin özdeğerleri i = 1, 2, . . . , n için λi olsun.
(i) ∀ i, i = 1, 2, . . . , n, için Re (λi) < 0 ise X lokal asimptotik kararlı bir denge noktasıdır.
(ii) ∃ i, i = 1, 2, . . . , n için Re (λi) > 0 ise X denge noktası kararsız bir denge noktasıdır.
(iii) Re (λi) = 0 ise X lineerleştirilmiş sistemin kararlı denge noktası olarak kabul edilse bile, (2.2) sisteminin asimptotik kararlı, kararlı ya da kararsız denge noktası olabilir (Boyce ve Diprima 2004).
Teorem 2.6
dX
dt = F (X, Φ) (2.23)
f : Rn× Rn → Rn ve F ∈ C2(Rn× Rn) olmak üzere ∀ Φ için 0 (2.23) sisteminin denge noktası olsun yani
F (0, Φ) ≡ 0, ∀ Φ (2.24)
A1 : F (0) = Φ olacak şekilde A = DxF (0, 0) =
∂fi
∂xj(0, 0)
(2.23) sisteminin 0 denge noktası etrafında lineerleştirilmiş matrisidir.
0, A nın özdeğerlerinden bir tanesidir ve A nın diğer tüm özdeğerleri negatif reel kısımlıdır;
A2 : A matrisinin 0 özdeğerine ilişkin negatif olmayan bir w sağ özvektörü ve v sol özvektörü vardır.
F nin k. bileşeni fk olsun ve a =
n
X
k,i,j=1
vkwiwj ∂2fk
∂xi∂xj (0, 0) (2.25)
b =
n
X
k,i=1
vkwi ∂2fk
∂xi∂Φ(0, 0) (2.26)
eşitlikleri sağlansın.
0 denge noktası civarinda (2.23) sisteminin lokal davranışı a ve b nin işaretlerine göre belirlenmektedir.
I. durum a > 0, b > 0 için | Φ | 1 olacak şekilde Φ < 0 olduğunda, 0 lokal asimptotik kararlıdır ve bir pozitif kararsız denge noktası vardır. 0 < Φ 1 olduğunda, 0 kararsızdır ve bir negatif ve lokal asimptotik kararlı denge noktası vardır.
II. durum a < 0, b < 0 için | Φ | 1 olacak şekilde Φ < 0 durumunda 0 kararsızdır;
0 < Φ 1 durumunda 0 lokal asimptotik kararlıdır ve bir pozitif kararsız denge noktası vardır.
III. durum a > 0, b < 0 için | Φ | 1 olacak şekilde Φ < 0 olduğunda 0 kararsızdır ve bir lokal asimptotik kararlı denge noktası vardır; 0 < Φ 1 durumunda 0 kararlıdır ve bir pozitif kararsız denge noktası oluşur.
IV. durum a < 0, b > 0 için Φ negatifken pozitif olduğunda 0 denge noktası kararlı bir denge noktası iken kararsız bir denge noktası haline gelir. Bunun bir sonucu olarak bir negatif kararsız denge noktası pozitif ve lokal asimptotik kararlı denge noktası olur (Castillo-Chavez ve Song 2004).
3.
BÖLMELİ MODELLERBölmeli modeller, bulaşıcı hastalıkların matematiksel modellenmesinde yaygın ola- rak kullanılan önemli araçlardır. İlk olarak Hamer 1906 yılındaki çalışmasında has- talığın yayılmasının hastalığa duyarlı (sağlıklı, henüz enfekte olmamış) bireylerin ve enfekte bireylerin sayısına bağlı olduğu fikrini ortaya atmıştır (Hamer 1906). Ancak bu fikrin matematiksel olarak bölmeli modellerle ifadesi ilk olarak Kermack ve Mc Kendrick tarafından 1927’de verilmiştir (Kermack ve McKendrick 1927). Kermack- Mc Kendrick modeli olarak bilinen model
S0 = −αSNI, I0 = αSNI − γI
(3.1) sistemidir. Burada S duyarlı grubu, I enfekte grubu ve N de toplam nüfusu belirt- mektedir. (3.1) ile verilen modelde toplam nüfus N , iki bölmeye ayrılmıştır ve bi- reylerin bu bölmeler arasındaki geçişleri incelenmiştir. Ele alınan hastalığın yayılma yapısına bağlı olarak bu model geliştirilmiş, farklı bölmeler de modele eklenmiştir.
Örneğin yayılmada iyileşen bireylerin etkili olduğu hastalıklar için modele bu birey- lerden oluşan bir R grubu eklenmiştir. Benzer şekilde hastalığa maruz kalan birey- lerin oluşturduğu bölmeyi de içeren SEIR modelleri ele alınmıştır (Brauer 2017).
Epidemik modellerle ilgili detaylı incelemeler Brauer ve Castillo-Chavez (2001)’in çalışmasında mevcuttur.
Epidemik modeller yardımıyla olası epidemik salgın durumunda; kaç kişinin salgın- dan etkileneceği ve tedaviye ihtiyaç duyacağı, salgının ne kadar süreceği, epideminin;
salgın öncesinde nüfusun yeterli sayıda üyesinin aşılanmasıyla önlenip önlenemeye- ceği, popülasyonun karantinaya alınmasının salgının şiddetini azaltmada ne kadar işe yarayacağı gibi sorulara cevap aranmaktadır (Brauer vd. 2019).
Epidemik modellerde bir diğer önemli unsur R0 olarak adlandırılan temel üreme sa- yısıdır. Temel üreme sayısı, bireylerin enfeksiyona hassas olduğu bir popülasyonda, bir enfekte birey tarafından doğrudan oluşturulan beklenen vaka sayısını ifade eder.
R0, virüsün ne kadar bulaşıcı olduğunun belirlenmesinde kullanılmaktadır. Epide-
miyolojik olarak, R0 değerinin birin altında olması hastalığın zamanla azalarak yok olacağını, birin üzerinde olması ise salgın oluşturabileceğini ifade etmektedir. R0 > 1 olması durumunda salgın kontrolü için aşı ve karantina gibi müdahaleler yapılabilir.
Temel üreme sayısını hesaplamak için kullanılan yöntemlerden biri gelecek nesil matrisi yöntemidir. Gelecek nesil matrisinin temel fikri, (i, j) girdisi, j bölmesindeki enfekte bir bireyin i bölmesinde neden olduğu ikincil enfeksiyonların sayısı olarak yorumlanan matrisi hesaplamaktır. n hastalık bölmesi ve m hastalıksız bölme olmak üzere, X ∈ Rn ve Y ∈ Rm bu bölmelerden her birinin alt-popülasyonları olsunlar.
Bir bölme, içindeki bireyler enfekte ise hastalık bölmesi olarak adlandırılır. Hastalık bölmesi, aktif enfekte bireylerle birlikte maruz kalma gibi enfekte olma aşamasındaki bireyleri de içermektedir.
Fi, i. hastalık bölmesindeki ikincil enfeksiyonların artış oranını ve Vi, hastalığın ilerleyişi, ölüm ve iyileşme durumlarına göre i. bölmeye geçiş oranını belirtmek üzere ele alınan model,
x0i = Fi(X, Y ) − Vi(X, Y ) , i = 1, . . . , n, y0j = gj(X, Y ) , j = 1, . . . , m
(3.2)
formunda yazılabilir.
Temel üreme sayısı hastalıksız denge noktası civarında diferensiyel denklem sistemi- nin lineerleştirilmesi ile elde edilmektedir.
Her (i, j) ikilisi için Fi(0, Y ) = 0, Vi(0, Y ) = 0 olduğu varsayıldığında
∂Fi
∂yj
(0, Y0) = ∂Vi
∂yj
(0, Y0) = 0 elde edilir.
Buradan, hastalıksız bölmeler için lineerleştirilmiş sistem
X0 = (F − V ) X (3.3)
formundadır. Burada,
F =
∂f1
∂x1 . . . ∂x∂f1 .. n
. . . . ...
∂fn
∂x1
∂fn
∂xn
X=0,Y =Y0
V =
∂v1
∂x1 . . . ∂x∂v1 .. n
. . . . ...
∂vn
∂x1
∂vn
∂xn
X=0,Y =Y0
matrisleridir. K = F V−1 matrisi sistemin hastalıksız denge noktasındaki gelecek nesil matrisi olarak adlandırılır.
K matrisinin spektral yarıçapı yani en büyük özdeğeri modelin temel üreme sayısıdır (Van den Driessche ve Watmough).
4.
OPTİMAL KONTROL PROBLEMİMatematiksel modellemenin temel amacı gerçek yaşam problemlerini matematiksel olarak ifade ederek süreçlerin işleyişini açıklayabilmektir. Bununla birlikte modelle- nen sürecin kontrol edilebilmesi de önemlidir.
Adi diferensiyel denklemler, kısmi diferensiyel denklemler veya fark denklemleri yar- dımıyla oluşturulmuş, bir matematiksel modeli ifade eden dinamik sistem göz önüne alınsın. Bu sistemin dışarıdan kontrol edilebilir değişkeni veya değişkenlerinin var olduğu kabul edilsin. Bu durumda "en iyi" sonuca ulaşmak için kontrolün nasıl ya- pılacağı sorusu ortaya çıkar. Bir dinamik sistemi kısıt olarak kabul ederek verilen (veya oluşturulan) amaç fonksiyonelini "en iyi" (minimum veya maksimum) yapan kontrolü belirleme problemine optimal kontrol problemi denir.
Optimal kontrol problemi için klasik bir uygulama King ve Roughgarden tarafından 1982 yılında ele alınmıştır (King ve Roughgarden 1982, Lenhart ve Workman 2007).
Bu uygulamada yıllık bitkilerin ağırlıklarının bitkisel ve üreme kısımları arasında paylaştırılması problemi incelenmiştir.
İlk olarak Cohen (1971) tarafından verilen bu bitki büyüme modeli, bitkiyi iki bölüm- den oluşacak şekilde ele almıştır (Lenhart ve Workman 2007). İlk bölüm yapraklar, gövde ve köklerden oluşan bitki kısmı, diğeri ise üreme kısmıdır. Fotosentez oranı bitki kısmının ağırlığı ile orantılıdır ve fotosentezin ürünleri iki kısma paylaştırılır.
x1(t), t anındaki bitki kısmının ağırlığı ve x2(t), t anındaki üreme kısmının ağırlığı olmak üzere
x01(t) = u (t) x1(t) , x02(t) = (1 − u (t)) x2(t) ,
0 ≤ u (t) ≤ 1, x1(0) > 0, x2(t) > 0
ile verilen model incelenmiştir. Burada u (t) üretilen enerjinin, bitkisel kısmın bü- yümesi için ayrılan oranıdır. Bitkinin doğal evrimi gereği üreme kısmının maksimal büyümesi sağlanmaya çalışılacaktır. Bahsedilen çalışmada
Z T 0
ln(x2(t))dt
ifadesini maksimum yapma problemi incelenmiştir. Bu ifadede T , zaman aralığı için üst sınırdır ve mevsimsel bitkilerde sonlu ve belirli bir değere sahiptir.
Tanım 4.1 K ⊂ Rn kümesi ele alınsın. ∀ u1, u2 ∈ K ve λ ∈ [0, 1] için λu1 + (1 − λ) u2 ∈ K ise, K kümesine Rn de konveks bir küme denir (Pedregal 2006).
Tanım 4.2 K, Rn de konveks bir küme olmak üzere, f : K ⊂ Rn → R fonksiyonu ele alınsın. Keyfi u1, u2 ∈ K ve λ ∈ [0, 1] olacak biçimde
f (λu1+ (1 − λ) u2) ≤ λf (u1) + (1 − λ) f (u2)
eşitsizliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna K de konveks fonksiyon adı verilir (Pedregal 2006).
Tanım 4.3 K ⊂ Rn konveks küme olmak üzere, f : K → R fonksiyonu ele alınsın.
u1 6= u2 ∈ K ve λ ∈ (0, 1) için
f (λu1+ (1 − λ) u2) < λf (u1) + (1 − λ) f (u2)
eşitsizliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna kesin konveks fonksiyon denir (Pedregal 2006).
U uygun kontrollerin kümesi olmak üzere u = (u˜ 1, u2, . . . , um)T ∈ ˜U ⊂ Rm kontrol vektörü, ˜X uygun durum değişkenleri kümesi olmak üzere X = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ X ⊂ R˜ n durum vektörü, t ∈ [0, T ] ⊂ R bağımsız değişken (zaman) olacak şekilde bir kontrol sistemi
X0 = g (t, X (t) , u (t)) , (4.1)
X (0) = X0 (4.2)
formunda tanımlanır. Burada 0 başlangıç zamanını ve T bitiş zamanını ifade etmek- tedir. T belirlenmiş ya da serbest olabilir. Sistemin t = 0 başlangıç zamanındaki konumu X0 ve t = T nihai zamandaki konumu XT ile gösterilmektedir.
g (t, X, u) nin sürekli ve tüm değişkenlerine göre sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olduğu ve u = u (t) kontrol fonksiyonunun parçalı sürekli bir fonksiyon olduğu kabul edilmektedir.
Sistemin nicel bir ölçütü olan amaç fonksiyoneli, J (t, X, u) = Ψ (X (T )) +
Z T 0
f (t, X (t) , u (t)) (4.3) şeklinde ifade edilmektedir.
Verilen bir kontrol girdisi için, (4.1) diferensiyel denklemini ve (4.2) başlangıç koşu- lunu sağlayan, u (.) kontrol fonksiyonu ile yönlendirilen ve t ≥ t0’da sistemin davra- nışının belirlenmesinde kullanılan temel değişken olan X (t) çözümüne yörünge ya da durum denir.
Tüm X değişkenleri arasındaki en optimal yörünge X∗ ile gösterilir.
Durum değişkenlerini etkileyen ve (4.1), (4.2) sistemin davranışını başlangıç noktası X0 dan hedef noktası XT ye ulaştıran bütün u (.) ∈ ˜U kontrol fonksiyonları ara- sında (4.3) amaç fonksiyonelini maksimum ya da minimum yapan en uygun u∗(t) fonksiyonuna optimal kontrol denir.
Bir optimal kontrol problemi için;
H (t, x, u, λ) = f (t, x, u) + λg (t, x, u) (4.4) formundaki ifadeye Hamilton fonksiyonu denir (Kirk 2004, Lenhart ve Workman 2007).
Bu yeni fonksiyon aracılığıyla en uygun kontrol müdahalesi ile sistemin performansı optimum duruma getirilmeye çalışılır.
Optimal kontrol teorisinde önemli bir teorem olan Pontryagin maksimum prensibi- nin avantajı; sonsuz boyutlu bir kontrol problemini ele almak yerine sisteme dair bilgileri içerecek şekilde oluşturulan Hamilton fonksiyonunu maksimum ya da mini- mum yapma problemini ele almanın çok daha kolay olmasıdır. Bu prensip bir gerek koşuldur, yeter koşul değildir. Pontryagin maksimum prensibi, ulaşılmak istenen amaca, zamanın serbest ya da belirlenmiş olmasına ve fiziksel kısıtlara göre farklılık gösterebilmektedir.
Gerek koşullar Pontryagin ve çalışma arkadaşları tarafından 1950’lerde Moskova’da elde edilmiştir. Pontryagin, amaç fonksiyoneline diferensiyel denklemi iliştirmek için
"adjoint" fonksiyonlar fikrini ortaya atmıştır. Adjoint fonksiyonlar, çok değişkenli analizde, kısıtları, minimum ya da maksimum yapılacak fonksiyona iliştirmek için kullanılan Lagrange çarpanları ile benzer bir amaca yönelik fonksiyonlardır.
Şekil 4.1 u∗ optimal kontrolü ve x∗ durumu (kesiksiz); u ve x (kesikli) gösterimi
Bir u∗ optimal kontrolü ve buna ilişkin x∗ durumu ele alınsın. Bu durumda her u kontrolü için
J (u) ≤ J (u∗) < ∞
sağlanmalıdır. h (t) parçalı sürekli bir varyasyon fonksiyonu ve ∈ R de bir sabit olsun. O halde,
u(t) = u∗(t) + h (t) bir diğer parçalı sürekli kontroldür.
x, u kontrolüne ilişkin durum olsun yani x, u un sürekli olduğu her noktada d
dtx(t) = g (t, x(t) , u(t))
denklemini sağlasın. Denklemin tüm yörüngeleri aynı noktadan başlayacağı için x(t0) = x0
dır ( Şekil 4.1). Her t için → 0 durumunda u(t) → u∗(t) sağlanır. Buna ek olarak her t için
∂u(t)
∂
=0
= h (t)
eşitliği sağlanır. Benzer bir durum xiçin de geçerlidir. g üzerine yapılan kabullerden dolayı her sabit t için x(t) → x∗(t) de sağlanır. Her t için ∂∂x(t)
=0
türevi de mevcuttur. Amaç fonksiyonelinin u daki değeri
J (u) = Z t1
t0
f (t, x(t) , u(t)) dt
dir. Şimdi λ adjoint fonksiyonu tanımlansın. λ (t), [t0, t1] üzerinde parçalı türevlene- bilir bir fonksiyon olmak üzere analizin temel teoreminden
Z t1
t0
d
dt[λ (t) x(t)]dt = λ (t1) x(t1) − λ (t0) x(t0) yani,
Z t1
t0
d
dt[λ (t) x(t)]dt + λ (t0) x0− λ (t1) x(t1) = 0 (4.5) eşitliği elde edilir. J (u) ifadesi ve (4.5) eşitliği birlikte ele alındığında
J (u) = Z t1
t0
h
f (t, x(t) , u(t)) + d
dt(λ (t) x(t)) i
dt + λ (t0) x0− λ (t1) x(t1)
= Z t1
t0
h
f (t, x(t) , u(t))+λ0(t) x(t)+λ (t) g (t, x(t) , u(t)) i
dt+λ (t0) x0−λ (t1) x(t1) (4.6) elde edilir. u kontrolüne göre J nin maksimumu u∗ noktasında olduğu için (h yö- nünde), J (u∗) un a göre türevi 0 dır yani,
0 = ddJ (u) =0
= lim
→0
J (u) − J (u∗)
eşitliği sağlanır.
0 = d dJ (u)
=0
= Z t1
t0
∂
∂
h
f (t, x(t) , u(t)) + λ0(t) x(t) + λ (t) g (t, x(t) , u(t)) dti =0
− ∂
∂λ (t1) x(t1) =0
ifadesinde f ve g ye zincir kuralı uygulandığında
0 = Z t1
t0
"
fx∂x
∂ + fu∂u
∂ + λ0(t)∂x
∂ + λ (t)
gx∂x
∂ + gu∂u
∂
# =0
dt
− λ (t1)∂x
∂ (t1) =0
(4.7)
dır. Burada fx, fu, gx ve gu terimlerinin değişkenleri (t, x∗(t) , u∗(t)) dir. (4.7) denk- lemindeki terimler yeniden düzenlendiğinde
0 = Z t1
t0
"
fx+ λ (t) gx+ λ0(t)∂x
∂ (t) =0
+ (fu+ λ (t) gu) h (t)
# dt
− λ (t1)∂x
∂ (t1) =0
(4.8) yazılabilir. (4.8) den adjoint fonksiyonu elde etmek için
∂x
∂ (t) =0
ifadesinin katsayıları sıfıra eşitlenirse λ0(t) = −
h
fx(t, x∗(t) , u∗(t)) + λ (t) gx(t, x∗(t) , u∗(t)) i
adjoint denklem ve
λ (t1) = 0 (transversality koşulu) sınır koşulları elde edilir.
(4.8) denklemi sadeleştirildiğinde 0 =
Z t1
t0
fu(t, x∗(t) , u∗(t)) + λ (t) gu(t, x∗(t) , u∗(t)) h (t) dt (4.9) ifadesi elde edilir. h (t) herhangi bir parçalı sürekli fonksiyon olduğu için
h (t) = fu(t, x∗(t) , u∗(t)) + λ (t) gu(t, x∗(t) , u∗(t)) sağlanır. Bu durumda
0 = Z t1
t0
fu(t, x∗(t) , u∗(t)) + λ (t) gu(t, x∗(t) , u∗(t))2
dt
eşitliğinden optimallik koşulu
fu(t, x∗(t) , u∗(t)) + λ (t) gu(t, x∗(t) , u∗(t)) = 0, ∀ t0 ≤ t ≤ t1, şeklinde elde edilir (Lenhart ve Workman 2007).
Teorem 4.1 (Pontryagin maksimum prensibi) u∗(.) (4.1), (4.2) ve (4.3) kont- rol probleminin optimal çözümü, x∗(.) bu kontrole ilişkin yörünge olmak üzere aşa- ğıda verilen koşulları sağlayan parçalı sürekli bir λ (t) adjoint değişkeni vardır.
1) Her t ve tüm u kontrolleri için H (t, x∗(t) , u (t) , λ (t)) ≤ H (t, x∗(t) , u∗(t) , λ (t)), 2) λ0i(t) = −∂H∂x
i H (t, x∗(t) , u∗(t) , λ (t)), ∀ t ∈ [0, T ] (adjoint denklem) λi(T ) = ∂x∂Φ
i (x∗(T )) (transversality koşulu),
Buna ek olarak, u∗ da ∂∂u2H2 < 0 ise problem maksimizasyon problemi,
∂2H
∂u2 > 0 ise minimizasyon problemidir (Lenhart ve Workman 2007).
Örnek 4.1
minu
Z 1 0
x2(t) + u (t)2dt x01(t) = x2(t) , x1(0) = 0, x1(1) = 1, x02(t) = u (t) , x2(0) = 0 problemi ele alınsın. Bu problem için Hamilton fonksiyonu
H = x2+ u2+ λ1x2+ λ2u şeklinde oluşturulur.
Adjoint denklem sistemi ve transversality koşulları λ01(t) = −∂H
∂x1
= 0, (4.10)
λ02(t) = −∂H
∂x2 = −λ1− 1, λ2(1) = 0 (4.11) şeklinde elde edilir.
İlk adjoint, lineer deklem çözümünden λ1 = C sabiti olarak bulunur. (4.11) eşitli- ğinde λ1 yerine yazıldığında,
λ1(t) ≡ C,
λ2(t) = − (C + 1) (t − 1)
elde edilir.
Optimallik koşulu kullanılarak
0 = ∂H∂u = 2u + λ2 ⇒ u∗ = −λ22 = C+12 (t − 1) bulunur.
Son olarak, durum denklemleri ve sınır koşulları kullanılarak, x02 = u ⇒ x2(t) = C + 1
2
t2 2 − t
, x2(0) = 0, x01 = x2 ⇒ x1(t) = C + 1
2
t3 6 − t2
2
, x1(0) = 0 elde edilir.
x1(1) = 1 için C = −7 dir. Dolayısıyla, optimal çözüm kümesi u∗(t) = 3 − 3t,
x∗1(t) = 3 2t2− 1
2t3, x∗2(t) = 3t −3
2t2 dır (Lenhart ve Workman 2007).
Teorem 4.2 (Optimal Kontrolün Varlık Teoremi)
(4.1), (4.2) ve (4.3) ile verilen optimal kontrol problemi ele alınsın. ∀X, X0 ∈ Rn ve u ∈ U için U kontrol kümesi ve durum kümesi boş kümeden farklı ve kompakt küme, t0 ≤ t ≤ t1 olmak üzere
1. | g (t, X, u) |≤ C1(1+ | X | + | u |)
2. | g (t, X0, u) − g (t, X, u) |≤ C2 | X0− X | (1+ | u |) 3. g (t, X, u) = α (t, X) + β (t, X) u
4. f (t, X, u), u ya göre konveks 5. f (t, X, u) ≥ C3 | u |β −C4
olacak biçimde C4 ve C1, C2, C3 > 0 ve β > 1 reel sabitleri varsa optimal kontrol probleminin bir çözümü vardır. Başka bir deyişle, J (u) yu minimum yapan bir u optimal kontrol fonksiyonu vardır (Fleming ve Rishel 1975).
5.
BİR SIQR MODELİBu bölümde Lemos-Paião vd. (2017) tarafından yapılmış çalışmada ele alınmış olan, tedavinin optimal kontrol olarak kabul edildiği, kolera hastalığının yayılımını açık- layan matematiksel model incelenmiştir. Öncelikle incelenecek model ifade edilecek ve yapılan kabuller belirtilip, kullanılan parametre ve değişkenler açıklanacak, daha sonra modelin matematiksel incelemesi yapılacaktır.
Kolera, Vibrio Cholerae bakterisinin neden olduğu, şiddetli akut ishale sebep olan, tedavi edilmemesi halinde ölümcül olabilecek bir akut bağırsak hastalığıdır. Kolera, enfeksiyon oluşturabilecek kadar bakterinin ağızdan alınması ile bulaşır ve genellikle dışkı karışmış su veya yiyecekler hastalığın yayılımında etkilidir (Anonim 2017).
İncelenecek modelde toplam nüfus N (t), dört bölmeye ayrılmıştır. t ≥ 0 için sağ- lıklı ve hastalığa duyarlı (açık) bireyler S (t), semptomatik enfekte bireyler I (t), karantinaya alınmış tedavi altındaki bireyler Q (t) ve iyileşmiş bağışık bireyler R (t) ile gösterilmiştir. Modelde ayrıca t anındaki bakteri yoğunluğunu ifade eden B (t) değişkeni de göz önüne alınmıştır.
Birim zamandaki nüfus artışı pozitif Λ parametresi ile ifade edilmiş, doğan bireylerin S (t) sınıfına dahil olduğu kabulü yapılmıştır.
Nüfusa ait doğal ölüm oranı tüm t ≥ 0 anları için µ sabiti ile verilmiştir.
κ bakteri popülasyonundaki doygunluk sabiti olmak üzere hastalığa açık, sağlıklı bi- reylerin kirli kaynak ile teması halinde semptomatik enfekte olma olasılıkları κ+B(t)βB(t) ile verilmiştir. Ayrıca β > 0 parametresi kontamine kaynağın kullanılması (kanal su- ları vb.) halinde bakterinin yutulma oranını belirtmektedir (Mwasa ve Tchuenche 2011).
İyileşmiş bireylerin geçici bir bağışıklığa sahip oldukları ve bağışıklığın kaybedilme oranının ω olduğu kabul edilmiştir. Enfekte bireylerin δ oranındaki bir kısmı bir süre karantinaya alınmayı kabul edebilirler. Bu bireyler karantina süresince uygun bir ilaca tâbi tutulurlar. Karantinaya alınan kişilerin ε oranında iyileşebildikleri kabul edilmiştir. α1, enfekte bireylerin hastalığa bağlı ölüm oranı, α2, karantinadaki birey- lerin hastalığa bağlı ölüm oranı olarak kabul edilmektedir. Enfekte olan her bireyin bakteri konsantrasyonunun artmasında etkili olduğu oran η ile ifade edilmektedir.
Şekil 5.1 Akış Diyagramı
Öte yandan bakteri yoğunluğunun d ölüm oranında azaldığı kabul edilmektedir. Bu süreci ifade eden akış diyagramı şekil 5.1 de verilmiştir.
Yukarıda ifade edilen kabuller altında elde edilen matematiksel model
S0(t) = Λ −κ+B(t)βB(t) S (t) + ωR (t) − µS (t) , I0(t) = κ+B(t)βB(t) S (t) − (δ + α1+ µ) I (t) , Q0(t) = δI (t) − (ε + α2+ µ) Q (t) , R0(t) = εQ (t) − (ω + µ) R (t) , B0(t) = ηI (t) − dB (t)
(5.1)
formundadır.
Sistemdeki tüm parametreler hem epidemiyolojik hem de matematiksel olarak an- lamlı bir çalışma elde etmek amacıyla pozitif olarak kabul edilecektir. Modeldeki ilk grup ele alınacak olursa; Λ doğum ya da iç göç gibi durumlarla sağlıklı bireylere katılma miktarı denkleme eklenir. κ+B(t)βB(t) S (t), hastalığa karşı duyarlı olan bireyle- rin kontamine kaynaklarla (kanalizasyon suyunun bulaştığı içme suyunun tüketilmesi vb.) temas halinde olmaları durumunda β bulaşma oranıyla enfekte olduklarını ifade eder. Bu durum sağlıklı ancak hastalığa karşı duyarlı olan bireylerde azalmaya neden olacağından modelde −κ+B(t)βB(t) S (t) ile gösterilir. Doğal yollarla ölen bireyler −µS ve iyileşen ancak bağışıklık kazanamayıp tekrar duyarlı hale gelen bireyler ωR (t) olarak modelde ifade edilir. Böylece hastalığa açık sağlıklı bireylerdeki değişim dinamiği
S0(t) = Λ −κ+B(t)βB(t) S (t) + ωR (t) − µS (t)
denklemi ile verilir.
İkinci denklemde sağlıklı kişilerin kirli kaynaklarla teması sonucunda ortaya çıkan enfekte olma durumu, hasta kişilerin sayısında artmaya neden olacak ve ilk grup olan sağlıklı bireylerden ayrılan κ+B(t)βB(t) S (t) ikinci grup olan enfekte gruba eklenecek- tir. Buna ek olarak enfekte bireyler arasında karantinada olmayı kabul edip uygun bir ilaca tâbi tutulan bireyler (δ oranında) de bu gruptan çıkarılıp üçüncü gruba dahil edilirler. Hastalık nedeniyle ölen bireyler −α1I ve doğal yolla ölen bireyler
−µI olarak modelde ifade edilirler. Bunun sonucu olarak enfekte bireylerin değişim dinamiği
I0(t) = κ+B(t)βB(t) S (t) − (δ + α1+ µ) I (t)
ile verilir.
Üçüncü denklemde ise δ oranında ilacın uygulandığı karantinadaki enfekte bireyler, δI, karantina grubuna dahil edilmişlerdir. ε oranında iyileşen bireyler, εQ, bu sınıftan ayrılırlar. α2Q hastalıktan dolayı ölen ve µQ doğal yolla ölen ve bu gruptan ayrılan bireylerdir.
Q0(t) = δI (t) − (ε + α2+ µ) Q (t)
karantina grubundaki değişim dinamiğini ifade eden denklemdir.
Benzer şekilde iyileşen bireylerin değişim dinamiği
R0(t) = εQ (t) − (ω + µ) R (t)
şeklinde ifade edilir.
Ortamdaki bakteri miktarı doğal yollarla −dB olarak azalmaktadır. Enfekte olan bi- reyler ise bakteri miktarını ηI oranında arttırmaktadır. Dolayısıyla beşinci denklem olan bakteri popülasyonundaki değişim dinamiği
B0(t) = ηI (t) − dB (t)
şeklinde ifade edilir.
5.1 Model Analizi
Biyolojik olarak anlamlı olması için (5.1) sistemi S (0) = S0 ≥ 0, I (0) = I0 ≥ 0, Q (0) = Q0 ≥ 0, R (0) = R0 ≥ 0, B (0) = B0 ≥ 0,
(5.2)
negatif olmayan başlangıç koşulları ile birlikte ele alınacaktır. (5.1), (5.2) başlangıç değer probleminin çözümlerinin negatif olmaması biyolojik olarak önemlidir.
Lemma 5.1 ∀ t ≥ 0 için (5.1) sisteminin (5.2) negatif olmayan başlangıç koşulla- rına sahip (S (t) , I (t) , Q (t) , R (t) , B (t)) çözümleri negatif olmayandır.
İspat. Herhangi bir (S0, I0, Q0, R0, B0) ∈ R+0
5
başlangıç değeri için sistemin tüm çözümlerinin ∀ t ≥ 0 halinde R+0
5
te olduğu gösterilmelidir.
ξ (v) = {v (t) = 0 ve S, I, Q, R, B ∈ C R0+
, R0+} ve v ∈ {S, I, Q, R, B}
(5.3) olsun.
dS(t)
dt |ξ(S) = Λ + ωR (t) > 0,
dI(t)
dt |ξ(I) = κ+B(t)βB(t) S (t) > 0,
dQ(t)
dt |ξ(Q) = δI (t) > 0,
dR(t)
dt |ξ(R) = εQ (t) > 0,
dB(t)
dt |ξ(B) = ηI (t) > 0,
(5.4)
olduğundan (5.1) sisteminin negatif olmayan başlangıç değerlerine sahip çözümleri negatif olmayandır (Yang vd. 1996).
Lemma 5.2
ΩH = {(S, I, Q, R) ∈ R+0
4
: 0 ≤ S (t) + I (t) + Q (t) + R (t) ≤ Λ
µ} (5.5) ve
ΩB = {B ∈ R+0 : 0 ≤ B (t) ≤ Λη
µd} (5.6)
olsun ve
Ω = ΩH × ΩB (5.7)
olarak tanımlansın.
N (0) ≤ Λµ ve B (0) ≤ Ληµd ise Ω bölgesi (5.1), (5.2) başlangıç değer problemi ile verilen model için pozitif invaryanttır.
İspat. İnsan popülasyonu, S (t) , I (t) , Q (t) , R (t) ve patojen popülasyonu, B (t), olacak şekilde (5.1) sistemi ikiye ayrılsın. (5.1) sisteminin ilk dört denklemi taraf tarafa toplandığında
N0(t) = S0(t) + I0(t) + Q0(t) + R0(t) = Λ − µN (t) − α1I (t) − α2Q (t) elde edilir.
α1 > 0, α2 > 0, ve ∀ t ≥ 0 için
N0(t) = Λ − µN (t) − α1I (t) − α2Q (t) ≤ Λ − µN (t) , dN
dt ≤ Λ − µN (t) elde edilir.
Elde edilen bu diferensiyel eşitsizlik N (0) ≤ Λµ kabulü ile birlikte ele alındığında N (t) ≤ Λµ elde edilir.
Patojen popülasyonu için inceleme yapılırsa,
B0(t) = ηI (t) − dB (t) ≤ ηΛ
µ − dB (t) , dB
dt + dB (t) ≤ ηΛ µ
eşitsizliği elde edilir. Elde edilen bu diferensiyel eşitsizlik B (0) ≤ ηΛµd kabulü ile birlikte ele alındığında B (t) ≤ ηΛµd elde edilir.
Bu nedenle (5.1) sisteminin Ω da başlayan her çözümü Ω da kalır. Ω bölgesinde tanımlı sistem epidemiyolojik ve matematiksel olarak iyi tanımlıdır.
(5.1) sistemi,
f1(S, I, Q, R, B) = Λ − κ+B(t)βB(t) S (t) + ωR (t) − µS (t) , f2(S, I, Q, R, B) = κ+B(t)βB(t) S (t) − (δ + α1+ µ) I (t) , f3(S, I, Q, R, B) = δI (t) − (ε + α2+ µ) Q (t) , f4(S, I, Q, R, B) = εQ (t) − (ω + µ) R (t) , f5(S, I, Q, R, B) = ηI (t) − dB (t)
