İki Ölçütlü Paralel Makineli Çizelgeleme Problemi : Maksimum Tamamlanma Zamanı Ve Maksimum Erken Bitirme

V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005

İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ:

MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME

Tamer EREN

Kırıkkale Üniversitesi

Ertan GÜNER

Gazi Üniversitesi

Özet

Çok ölçütlü çizelgeleme problemleri son yıllarda araştırmacıların en çok ilgisini çeken konulardan biridir.

Yapılan çok ölçütlü çizelgeleme çalışmaları tek makineli ve akış tipi sistemler üzerinde yoğunlaşmıştır. Paralel makineli sistemlerde ise yapılan çalışmalar oldukça sınırlı sayıdadır. Bu çalışmada iki ölçütlü paralel makineli çizelgeleme problemi incelenecektir. Ele alınan performans ölçütleri maksimum tamamlanma zamanı ve maksimum erken bitirmedir. NP-zor yapıda olan bu problemin (P2 //αC_max+βE_max) çözümü için, tamsayılı programlama modeli önerilmiş ve önerilen model örnek problemler üzerinde gösterilmiştir. Bu çalışma, paralel makineli sistemlerde, maksimum tamamlanma zamanı ve maksimum erken bitirme ölçütlerinin aynı anda ele alındığı ilk çalışmadır.

Anahtar kelimeler: Paralel Makineli Çizelgeleme, İki Ölçüt, Maksimum Tamamlanma Zamanı, Maksimum Erken Bitirme, Tamsayılı Programlama Modeli.

1. GİRİŞ

Çok ölçütlü çizelgeleme problemleri tek makineli ve akış tipi sistemler üzerinde yoğunlaşmış olmasına rağmen paralel makineli sistemler için yapılan çalışma sayısı oldukça sınırlıdır. Bu çalışmalar: maksimum tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanı ölçütleri ile ilgili,P2 //αC_max+β

∑

F , Gupta ve Ruiz-Torres (2000), Gupta ve diğerleri (2000), Lin ve Liao (2004) tarafından, maksimum tamamlanma zamanı ve maksimum gecikme ölçütleri ile ilgili,P2 //αC_max+βL_max, Suresh ve Chaudhuri (1996) ve Mohri ve diğerleri (1999) tarafından, maksimum gecikme ve geciken iş sayısını minimize edilmesi ölçütleri ile ilgili,P2 //αT_max+βn_T, Sarin ve Hariharan (2000), tarafından yapılan çalışmalar vardır. İncelenmelerimize göre çok ölçütlü çalışmalar içinde erken bitirme ölçütünün dahil edildiği bir çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışmada maksimum tamamlanma zamanı ve maksimum erken bitirme ölçütleri dikkate alınarak iki özdeş paralel makineli çizelgeleme problemi,P2 //αC_max+βE_max, incelenmiştir.

Maksimum tamamlanma zamanı ölçütü ara stoklarla ilişkili bir gösterge olup bu ölçütün enküçüklenmesiyle ara stoklarda azalmakta ve üretim çevrim hızı artmaktadır. Maksimum erken bitirme ölçütü ise işlerin erken bitmesinden kaynaklanan maliyetleri (stok taşıma maliyeti vb.) önlenmektedir. Bu tip erken tamamlanma zamanına dayalı ölçütlere olan ilgi özellikle 1980’li yıllarda ortaya çıkan ve uygulaması gittikçe yaygınlaşan tam zamanında üretim felsefesiyle daha da artmıştır. (Güner, 1994).

Çok ölçütlü çizelgeleme problemlerinin çözümünde genellikle kullanılan iki farklı yaklaşım vardır. Birincisinde, ölçütlerin ağırlıkları eşitse problemin bütün etkin çözümleri üretilir. Daha sonra da çok ölçütlü karar verme teknikleri kullanılarak çözümler arasında ödünleşimler yapılır. İkincisinde ise ölçütlerin ağırlık değerleri farklı olup amaç fonksiyonu bu ölçütlerin ağırlıklı toplamından oluşur ve bu fonksiyonun eniyilenmesi sağlanır (Eren, 2004; Gupta 2001). Bu çalışmada ikinci yaklaşım dikkate alınmıştır.

T. Eren, E. Güner

Ele aldığımız iki ölçütlü iki paralel makineli P2 //αC_max+βE_max problemi, NP-zor yapıda bir problemdir.

Çünkü iki paralel makineli maksimum tamamlanma zamanının enküçüklenmesi problemi ,P2 //C_max,NP-zor yapıdadır (Lenstra ve diğerleri 1977). Ele alınan problem ise bu ölçüte ilaveten maksimum erken tamamlanma zamanını içermektedir.

Ele aldığımız problemin çözümü için bir tamsayılı programlama modeli önerilmiştir. Model örnek problemler üzerinde uygulanmıştır.

Çalışmanın ikinci bölümünde ele alınan iki ölçütlü paralel makineli problem tanımlanacaktır. Üçüncü bölümde ise problemin eniyi çözümlerini bulmak için matematiksel programlama modeli verilecektir ve verilen model sayısal bir örnek üzerinde gösterilecektir. Deneysel sonuçlar dördüncü bölümde sunulacaktır. Son bölümde ise yapılan çalışmanın sonuçları ve gelecekte yapılabilecek çalışmalar hakkında bilgi verilecektir.

2. PROBLEMİN TANIMLANMASI

Atölyeye gelen n iş sıfırıncı zamanda işlem için hazırdır. Paralel makineli sistemde gelen işler ( j=1,2,...,n) mevcut paralel işleyicilerin (i=1,2) herhangi birinde işlem görebilir. p_j ve d_j, j işinin işlem zamanını ve teslim tarihini göstermektedir. C_j ve E_j sırasıyla j işinin tamamlanma zamanı ve erken bitirmesini ifade etmektedir. Ej =^max

{

dj−Cj^,0

}

olarak tanımlanmaktadır. Makineler özdeş makinelerdir. Bu makinelere işlerin atanması örneği olarak 10 işli bir durum dikkate alındığında

(

n1, n2

)

=(9,1);(8,2);(7,3);(6,4) ve (5,5) olmaktadır.

Burada n₁ ve n₂ birinci ve ikinci makinelere atanan işlerin sayısını göstermektedir.

Çalışmada kullanılan diğer varsayımlar şöyledir: Makine hazırlık zamanları önceden bilinmekte olup işlem zamanına dahil edilmiştir. İş kesintisine izin verilmeyip başlanan bir iş makinede tamamlanmadan başka bir iş başlayamaz ve makinelerin çizelgeleme periyodu süresince sürekli çalıştığı varsayılmaktadır. Ayrıca bir makinede aynı anda tek bir iş yapılabilmektedir.

3. TAMSAYILI PROGRAMLAMA MODELİ

Ele alınan iki ölçütlü paralel makineli çizelgeleme problemi için geliştirilen tamsayılı programlama modeli

3 3 2/ 2

n + n + değişkenli ve n 3n² kısıtlıdır. Problemde kullanılan parametreler, değişkenler ve model aşağıda açıklanmıştır.

3.1. Parametreler

n iş sayısı j=1,2,...,n.

m makina sayısı i=1,2.

α maksimum tamamlanma zamanına ait ağırlık değeri α≥0

β maksimum erken bitirmenin ağırlık değeri β ≥0

1

= +β α

pj j işinin işlem zamanı p =_j p_ij i=1,2 j=1,2,...,n.

d j j işinin teslim tarihi j=1,2,...,n.

n i i. makinadaki iş sayısı n n

i

∑

i=

= 2 1

2 , 1 i= .

3.2.

Karar

Değişkeni



=

dd 0

atanırsa işe sıradaki k.

iş j.

1

Xijk i=1,2 j, =k 1,2,...,n

3.3.

Yardımcı

Değişkenler

[ ]ik

p i. makinada k. sıraya atanan işin işlem zamanı

[ ] 1

n ijk ij ik

j

p X p

=

=

∑

ⁱ

^=1,2 k=1,2,...,ni (1)

Cik i. makinada k. sıradaki işin tamamlanma zamanı,

V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005

Cmax maksimum tamamlanma zamanı

max ik

C ≥C i=1,2 k=1,2,...,n_i (3)

k*

d k. sıraya atanan işin teslim tarihi

* 1 n

k ijk j

j

d X d

=

=

∑

^i=1,2 k=1,2,...,ni (4)

Emax maksimum erken bitirme

ik

k C

d

E_max ≥ ^*−

i

=1,2 k=1,2,...,n_i (5)

3.4. Matematiksel Programlama Modeli Amaç fonksiyonu

max

max E

C

Min α +β

Kısıtlar:

∑

=

=

n j Xijk

1

1

i

=1,2 k=1,2,...,n_i. (6)

∑ ∑

= =

=

m i

n

k ijk

i X

1 1

1 j=1,2,...,n (7)

∑

=

=

n j Xijk

1

1 veya

0

j

=1,2,...,

n i

=1,2 k=1,2,...,n_i (8) (1)-(5) nolu yardımcı değişken kısıtları

Modele ait sayısal bir örnek

Paralel özdeş iki makineli 10 işe ait işlerin işlem zamanları ve teslim tarihleri Tablo 1’de verilmiştir. Maksimum tamamlanma zamanı ve maksimum erken bitirme ölçütlerin ağırlık değerleri (α, )=(0.25,0.75); (0.50,0.50) ve β (0.75,0.25) için geliştirilen modele göre çözümlerini inceleyelim.

Tablo 1. Sayısal örnek verileri

iş 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p

j

97 82 46 10 12 77 20 45 81 41

d

j

211 240 113 189 69 123 35 65 12 219

Sayısal örnek çözümü

Önerilen modelle problem formüle edilip çözüldüğünde farklı α ve β değerleri için çözüm sonuçları koyu renk ile Tablo 2’de verilmiştir.

Tablo 2. Sayısal örnek çözüm sonuçları ( α , β )

(n

₁

,n

₂

) (0.25,0.75) (0.50,0.50) (0.75,0.25)

5,5 66.00 132.00 197.00

6,4 66.25 132.50 197.75

7,3 71.50 143.00 200.75

8,2 83.00 166.00 249.00

9,1 103.50 207.00 310.50

Çizelge 2’de görüldüğü gibi 10 işli problemin eniyi çözümünü üç ağırlık değeri içinde her iki makineye 5 işin atanması durumunda vermiştir. Örnek problemin eniyi çözümlerinin Gantt şeması Şekil 1’de verilmiştir.

T. Eren, E. Güner

Şekil 1. Eniyi çözümün Gantt şemaları (a) (α α α α,β β β)=(0.25,0.75) β (b) (α α α α,β β β)=(0.50,0.50) β (c) (α α α α,β β β)=(0.75,0.25) β 4. DENEYSEL SONUÇLAR

Yapılan çalışmada bütün deneysel testler için Pentium IV/2 GHz 512 RAM kapasiteli kişisel bilgisayar kullanılmıştır. Ele alınan problemin eniyi çözümlerini bulmak için Hyper LINDO/PC 6.01 programı kullanılmıştır. İşlem zamanları p_j, 1 ile 100 arasında, teslim tarihleri d_j ise 0 ile

∑

= n

j pj

1

2

/ arasında düzgün dağılımdan üretilmiştir. Deney seti toplu olarak Tablo 3’de verilmiştir. Tablo 3’de görüldüğü gibi toplam 90 problem çözülmüştür.

Tablo 3. Problemin deneysel seti Parametreler Değerleri

Ağırlıklar (α,β) (0.25,0.75);

(0.50,0.50);(0.75,0.25) Iş sayısı, n 10,15,20

İşlem zamanı p

j

[1,100]

Teslim tarihi d

j

[0, ∑

p_j/2

] Çözülen problem 10

Toplam problem 3×3×10=90

Tablo 4’de ele alınan iki ölçütlü paralel makineli problemin tamsayılı programlama çözüm süreleri verilmektedir.

Tablo 4’de de görüldüğü gibi makineler atanan işler ne kadar dengeli ise problem daha da zorlaşmaktadır.

5. SONUÇ VE ÖNERİLER

Bu çalışmada iki ölçütlü paralel makineli çizelgeleme problemi ele alınmıştır. Problemde maksimum tamamlanma zamanı ve maksimum erken bitirmenin ağırlıklı toplamını enküçüklemek için tamsayılı programlama modeli geliştirilmiştir. Geliştirilen model 20 işli 2 makineli duruma kadar üç farklı ağırlık

V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005 Tablo 4. Tamsayılı programlamanın CPU çözüm süreleri (saniye)

( α , β )

n (n

1

,n

2

) (0.25,0.75) (0.50,0.50) (0.75,0.25)

10 5,5 4.12 3.15 6.75

6,4 2.19 2.45 7.32

7,3 1.56 1.78 1.86

8,2 0.45 0.66 0.76

9,1 0.15 0.36 0.24

15 8,7 248.77 260.60 214.10

9,6 237.91 251.60 204.46

10,5 227.78 239.71 195.43

11,4 220.23 230.13 188.99

12,3 213.04 222.66 182.42

13,2 203.46 213.34 176.06

14,1 194.14 206.60 167.53

20 10,10 3595.59 3688.92 4175.69

11,9 3435.75 3563.08 3979.87

12,8 3282.37 3408.26 3791.32

13,7 3161.88 3260.03 3625.01

14,6 3012.70 3107.73 3490.78

15,5 2915.35 2969.26 3360.06

16,4 2794.02 2874.01 3254.02

17,3 2683.75 2759.40 3105.61

18,2 2577.19 2675.51 2987.28

19,1 2499.76 2576.62 2874.19

6. KAYNAKÇA

EREN, T., 2004, “Çok Ölçütlü Akış Tipi Çizelgeleme Problemleri için Çözüm Yaklaşımları”, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi. Ankara.

GUPTA, J. N. D., RUIZ-TORRES, A. J., 2000, “Minimizing Makespan Subject to Minimum Total Flow-Time on Identical Parallel Machines”, EuropeanJournal of Operational Research, 125, 370-380.

GUPTA, J. N. D., PALANIMUTHU, N., CHEN C.–L., 1999, “Designing and Tabu Search Algorithm for the Two-Stage Flow Shop Problem with Secondary Criterion”, Production Planning & Control, 10 (3), 251-265.

GUPTA, J. N. D., HO, J. C., WEBSTER, S., 2000, “Bicriteria Optimization of the Makespan and Mean Flowtime on Two Identical Parallel Machines”, Journal of the Operational Research Society, 51 (11), 1330- 1339.

GÜNER, E., 1994, “Tek Makinalı Sistemler için Çok Ölçütlü Çizelgeleme Algoritmaları”, Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.

LIN, C.-H., LIAO, C.-J., 2004, “Makespan Minimization Subject to Flowtime Optimality on Identical Parallel Machines”, Computers and Operations Research 31 (10), 1655-1666.

LENSTRA, J. K., KAN RINNOOY, A. H. G., BRUCKER, P., 1977, “Complexity of Machine Scheduling Problems”, Annals of Discrete Mathematics, 4, 281-300.

MOHRI, S., MASUDA, T., ISHII, H., 1999, “Bi-Criteria Scheduling Problem on Three Identical Parallel Machines”, International Journal of Production Economics 60, 529-536.

SARIN, S. C., HARIHARAN, R., 2000, “Two Machine Bicriteria Scheduling Problem”, International Journal of Production Economics 65 (2), 125-139.

SURESH, V., CHAUDHURI, D., 1996, “Bicriteria Scheduling Problem for Unrelated Parallel Machines”, Computers and Industrial Engineering, 30 (1), 77-82.