shak ALTUN DOKTORA TEZ MATEMAT K

øshak ALTUN

DOKTORA TEZø MATEMATøK

GAZø ÜNøVERSøTESø FEN BøLøMLERø ENSTøTÜSÜ

HAZøRAN 2007 ANKARA

Doç. Dr. A. Duran TÜRKOĞLU Tez Yöneticisi

Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Doktora tezi olarak kabul edilmiştir.

Başkan : : Prof. Dr. Mustafa KORKMAZ

Üye : Prof. Dr. Cemil YILDIZ

Üye : Prof. Dr. Bahri TURAN

Üye : Doç Dr. A. Duran TÜRKOĞLU

Üye : Doç. Dr. Alev KANIBİR

Tarih : 06 / 06 / 2007

Bu tez, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygundur.

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranıú ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu÷unu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalıúmada orijinal olmayan her türlü kayna÷a eksiksiz atıf yapıldı÷ını bildiririm.

øshak ALTUN

SABøT NOKTA TEOREMLERø VE UYGULAMALARI (Doktora Tezi)

øshak ALTUN

GAZø ÜNøVERSøTESø FEN BøLøMLERø ENSTøTÜSÜ

Haziran 2007 ÖZET

Bu çalıúmada bir uzay üzerinde iki metrik ile birlikte bir kapalı ba÷ıntıyı sa÷layan tek de÷erli bir dönüúüm için iki sabit nokta teoremi ispatlandı ve bu teoremlerden biri kullanılarak bir uygulama verildi. Ayrıca bir sıralı Banach uzayı üzerinde tanımlı iki küme de÷erli dönüúümün ortak sabit noktasını veren bir teorem yardımıyla iki integral içermenin ortak çözümünün varlı÷ı hakkında bir teorem ispatlandı.

Bilim Kodu : 204.1.132

Anahtar Kelimeler : Metrik uzay, Kapalı ba÷ıntı,Küme de÷erli dönüúüm, øntegral içerme

Sayfa Adedi : 66

Tez Yöneticisi : Doç. Dr. A. Duran TÜRKOöLU

FIXED POINT THEOREMS AND APPLICATIONS (Ph.D. Thesis)

øshak ALTUN

GAZø UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY June 2007

ABSTRACT

In this study, two fixed point theorems for single valued mappings satisfying an implicit relation on a space with two metrics have been proved and an application has been given using one of these theorems. Also, an existence theorem for common solution of two integral inclusions has been proved using a common fixed point theorem for multivalued mappings on an ordered Banach space.

Science Code : 204.1.132

Key Words : Metric space, implicit relation, multivalued map, integral inclusion

Page Number : 66

Adviser : Assoc. Prof. Dr. A. Duran TÜRKOöLU

TEùEKKÜR

Çalıúmalarım boyunca de÷erli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren hocam Doç.

Dr. A. Duran TÜRKOöLU ’na teúekkürü bir borç bilirim.

øÇøNDEKøLER

Sayfa

ÖZET ... iv

ABSTRACT... v

TEùEKKÜR... vi

øÇøNDEKøLER ... vii

SøMGELER VE KISALTMALAR... viii

1. GøRøù ... 1

2. BAZI TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER ... 5

3. METRøK UZAYLARDA SABøT NOKTA TEOREMLERø... 12

3.1. Metrik Uzayda Tek De÷erli Dönüúümler øçin Bazı Sabit Nokta Teoremleri ... 12

3.2. Uygulama ... 36

4. KÜME DEöERLø DÖNÜùÜMLER øÇøN BøR SABøT NOKTA TEOREMø VE UYGULAMASI ... 43

4.1. Küme De÷erli Dönüúümler øçin Bir Sabit Nokta Teoremi ... 43

4.2. Uygulama ... 49

5. SONUÇ ... 62

KAYNAKLAR ... 63

ÖZGEÇMøù ... 66

SøMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalıúmada kullanılan bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aúa÷ıda sunulmuútur.

Simgeler Açıklamalar

( , )X d Metrik uzay ( )

CB X X in boú olmayan kapalı altkümelerinin ailesi

d Hausdorff metri÷iH

( )A

D ^A kümesinin kompaktsızlık ölçüsü

dönüúümünün grafi÷i ( )

Gr F F

1.GøRøù

X boútan farklı bir küme ve f X: o X bir dönüúüm olsun. E÷er fx0 x0 olacak úekilde bir x₀X noktası varsa bu x noktasına₀ dönüúümünün bir sabit noktası denir. Örne÷in,

f

[0, )

X f ,

2

fx x, gx x 1

úeklinde tanımlanırsa, x₀ 0 noktası f dönüúümünün sabit noktasıdır ancak g dö- nüúümünün sabit noktası yoktur. Yine X (0, )f alınırsa dönüúümünün de sabit noktası olmadı÷ı açıktır. O halde bir dönüúümün sabit noktasının varlı÷ı, o dönüúü- mün tanımına ba÷lı oldu÷u gibi tanımlandı÷ı kümenin yapısına da ba÷lıdır. Bu ne- denle sabit nokta teori çalıúmaları, bir dönüúümün sabit noktasının hangi koúullar altında var oldu÷u, varsa tek olup olmadı÷ı, tek ise nasıl bulunabilece÷i sorularına cevap aramaktadır.

f

Genel olarak sabit nokta teori çalıúmaları iki yönde geliúmektedir. Birincisi tam met- rik uzaylar üzerinde tanımlı büzülme ve büzülme tipi dönüúümler için sabit nokta teori, di÷eri ise normlu lineer uzayların kompakt konveks alt kümeleri üzerinde ta- nımlı sürekli dönüúümler için sabit nokta teoridir.

Normlu lineer uzaylarda sabit nokta teori çalıúmaları Brouwer ile baúlamıútır.

Brouwer, nin kapalı birim yuvarından yine kendi üzerine tanımlanan sürekli dö- nüúümün sabit noktasının varlı÷ını kanıtlamıútır [1]. Daha sonra Schauder, Brouwer’ın teoremini yerine herhangi bir normlu lineer uzay alarak aúa÷ıdaki úekilde geniúletmiútir [2].

\n

\n

“X bir normlu lineer uzay, kapalı ve konveks bir alt küme ve

sürekli ve kompakt bir dönüúüm olsun. O zaman , de bir sabit noktaya sahiptir”.

CŽ X f C: oC

f C

Tam metrik uzaylar üzerinde sabit nokta teori çalıúmaları ise Banach ile baúlamıútır.

Banach, büzülme dönüúüm prensibi olarak da bilinen aúa÷ıdaki teoremi vermiútir [3].

“( , )X d bir tam metrik uzay ve f X: o X dönüúümü her x y, X ve bir D[0,1) için d fx fy( , )dDd x y( , )eúitsizli÷ini sa÷lıyorsa dönüúümü bir tek sabit noktasına sahiptir, üstelik her

f zX

xX için úeklinde tanımlanan dizisi noktasına yakınsar”.

n

yn f x { }y_n

z

Banach sabit nokta teoremi, dönüúümün sabit noktasının varlı÷ını garanti etti÷i gibi, Brouwer ve Schauder sabit nokta teoremlerinden farklı olarak bu sabit noktanın tek- li÷ini ve nasıl bulunabilece÷ini de göstermektedir.

Sabit nokta teorinin temelini teúkil eden yukarıdaki teoremler daha sonra pek çok yazar tarafından genelleútirilmiútir. Örne÷in, ûiriü çalıúmalarını, “Fixed Point Theory” adlı kitabında toplamıú, Kirk ve Sims, çeúitli yazarlar tarafından yazılmıú olan makaleleri “Handbook of Metric Fixed Point Theory” adlı bir kitapta toplamıú ve sabit nokta teori çalıúanlar için temel bir kitap olan “Fixed Point Theory and Applications” adlı kitap ise Agarwal, Meehan ve O’Regan tarafından yazılmıútır [4- 6].

Sabit nokta teori çalıúmaları sadece yukarıda bahsedilen tam metrik ve normlu uzay- larda sınırlı kalmayıp, sıralı Banach uzayları, düzgün uzaylar, fuzzy metrik uzaylar v.b. uzaylarda da yapılmıútır. Bahsedilen bu uzaylardaki birkaç çalıúma úu kaynak- larda bulunabilir [7-15].

Ayrıca sabit nokta teori matemati÷in çeúitli alanlarında uygulaması olması nedeniyle matematik dünyasında önemli bir yer tutmaktadır. Örne÷in bu teori lineer denklemle- rin, diferensiyel ve integral denklemlerin çözümlerinin varlık ve tekli÷inde sıkça kul- lanılmaktadır. Bu yöndeki bazı çalıúmalar úu kaynaklarda bulunabilir [16-18].

Tek de÷erli dönüúümler için sabit nokta teori, daha sonra küme de÷erli dönüúümler açısından da incelenmeye baúlanmıútır. X boútan farklı bir küme, 2^X, X in boútan farklı alt kümelerinin ailesi ve F X: o 2^X bir dönüúüm olsun. E÷er x0Fx0 olacak úekilde bir x₀X noktası varsa bu x noktasına₀ küme de÷erli dönüúümünün bir sabit noktası denir. Örne÷in,

F

[0,1]

X , Fx [x x³, ²]

úeklinde tanımlanırsa x₀ 0 ve x₁ bu dönüúümün sabit noktalarıdır.1

( , )X d bir metrik uzay, CB X( ) de X in boútan farklı kapalı ve sınırlı alt kümeleri- nin ailesi olmak üzere A B, CB X( ) için

( , ) inf{ ( , ) : } d x A d x y yA

ve

( , ) max{sup ( , ), sup ( , )}

H x A y B

d A B _ d x B _ d y A

olarak tanımlansın. Nadler, Hausdorff metri÷i olarak ta bilinen yukarıdaki d fonk-_H siyonunu kullanarak küme de÷erli dönüúümler için ilk sabit nokta teoremini aúa÷ıda- kiúekilde vermiútir [19].

“( , )X d bir tam metrik uzay ve F X: oCB X( ) küme de÷erli dönüúümü, e÷er her ,

x yX ve bir O(0,1) için

( , ) ( ,

dH Fx Fy dOd x y)

eúitsizli÷ini sa÷lıyorsa X içinde bir sabit noktaya sahiptir”.

Nadler’in bu teoreminden sonra geliúmeye baúlayan küme de÷erli dönüúümler için sabit nokta teori de tek de÷erli dönüúümler için verilen sabit nokta teoremlerine ben- zer úekilde difeferensiyel ve integral içermelerin çözümlerinin varlık ve tekli÷inde kullanılmıútır. Küme de÷erli dönüúümler için verilen bazı sabit nokta teoremlerine ve bunların bazı uygulamalarına örnek olarak úu kaynaklara bakılabilir [20-30].

2. BAZI TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER

Bu bölümde ileride kullanaca÷ımız bazı temel tanım ve teoremlere yer verilecektir.

[0, )

 f

\ olmak üzere x y,  \ için xd ba÷ıntısınıny ba÷ıntısına denk oldu÷u bilinmektedir. Bu düúünce ile bir Banach uzayında nın yerine geçe- cek uygun bir alt küme bulundu÷unda bu uzayda sıralama yapılabilir.

y  \x _

\

2.1. Tanım



E^, ˜ E



bir reel Banach uzayı ve K ŽE boútan farklı kapalı bir küme olsun. E÷er K kümesi,

(i) KK ŽK,

(ii) Her O ! için K0 O ŽK,

(iii) 0, E nin birimi olmak üzere,  ˆK K {0}

koúullarını sa÷lıyorsa K kümesine E içinde bir koni denir. Böylece E üzerinde

xd yœ y x K

úeklinde bir kısmi sıralama ba÷ıntısı tanımlanabilir. E Banach uzayı K tarafından üretilen d kısmi sıralama ba÷ıntısı ile donatıldı÷ında E ye bir sıralı Banach uzayı denir [9].

2.1. Örnek

(a) uzayında kümesinin koni koúullarını sa÷ladı÷ı

kolayca gösterilebilir. Bu koni yardımıyla üzerinde için E \2 K {( , ) :x y xt0,yt0}

\2 ( ,x y_{1 1}), (x y₂, ₂) \²

1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2

( ,x y )d( ,x y )œ( ,x y ) ( , x y )K œx d x vey d y

úeklinde bir kısmi sıralama ba÷ıntısı tanımlanabilir. Dolayısıyla kısmi sıralanmıú bir uzay olur [31].

\2

(b) için ile [ , kapalı aralı÷ından ye tanımlı bütün sü- rekli fonksiyonların uzayını gösterirsek, bu uzay

,

a b \ ( ([ , ]), )C a b \ a b] \

^ `

([ , ]) max ( ) : [ , ]

C a b

x x t t a b

normu ile birlikte bir Banach uzayıdır. nin negatif olmayan fonksiyon- larından oluúan altkümesi olan (

( ([ , ]), )C a b \ ([ , ]), )

C a b \_ bir konidir [31].

E Banach uzayında K konisi tarafından elde edilen sıralama, kısmi sıralama olma- sına ra÷men üzerindeki tam sıralama ba÷ıntısının birçok özelli÷ine sahiptir. Örne-

÷in, bir

\

E Banach uzayında ki bir K konisi tarafından elde edilen d sıralaması,

(i) her x y z w, , , E için xd y z, dw ise x d z y w (ii) x y, K ve a b,  \_ için axbyK,

(iii)  x K ise inf{ xy :yK}!0

gibi özelliklere sahiptir [31].

2.2. Tanım

E bir reel Banach uzayı, KŽE bir koni, x y, E ve xd olsun. xy d d koúu-z y lunu sa÷layan bütün zE elemanlarının kümesine sıra aralık denir ve [ ,x y] ile gös- terilir [9].

2.3. Tanım

E bir reel Banach uzayı, KŽE bir koni olsun. 0d dx y koúulunu sa÷layan her- hangi x y, E için

E E

x dN y olacak úekilde N !0 sayısı varsa ^K ya normal koni denir [9].

2.2. Örnek

(a) ( ([0,1]), )C \ uzayında ( ([0,1],C \_) konisi normaldir [31].

(b) ile [0 kapalı aralı÷ından ye tanımlı bütün birinci mertebe- den sürekli türeve sahip fonksiyonların uzayını gösterirsek bu uzay

(C(1)([0,1]),\) ,1] \

^ `

(1)([0,1]) max ([0,1]), ([0,1])

C C

x x xc_C

)

normu ile bir Banach uzayıdır. Bu uzayda (C⁽¹⁾([0,1],\_ konisi normal de÷ildir.

Gerçekten y t( ) 1 ve x t_n( ) sin²nt ise 0dx t_n( )dy t( ) olmasına ra÷men

(1)([0,1])

lim _{n C}

n x

of f dur [31].

E÷er E nin her sıra aralı÷ı norma göre sınırlı ise K konisi normaldir [9].

2.4. Tanım

E bir reel Banach uzayı, : de _E E nin bütün sınırlı alt kümelerinin ailesi olsun.

için

A :E ^{Çap A( i) sup}

^

^{xy x y: , Ai}

`

olmak üzere

^

¹

`

( ) inf 0 : ⁿ _i ve ( _i) , {1, 2, , }

A A i A Çap A i

D H ! Ž

*

dH  " ⁿ

úeklinde tanımlanan D:: o \ fonksiyonuna Kuratowskii kompaktsızlık ölçüsü _{E } denir [32].

2.1. Teorem

E bir reel Banach uzayı, A B, ŽE sınırlı alt kümeler ve O \ olsun. Bu durumda aúa÷ıdaki ifadeler sa÷lanır:

(i) D( )A œ0 A kompakt, (ii) AŽB ise D( )A dD( )B , (iii) D( )A D( )A ,

(iv) D(A‰B) max{ ( ), ( )}D A D B ,

(v) OA {Ox x: A} olmak üzere (D OA) O D( )A ^,

(vi) AB {xy x: A y, B} olmak üzere D(AB)dD( )A D( )B , (vii) co A( ), A kümesinin konveks zarfı olmak üzere, D(co A( )) D( )A , (viii) A kümesi sonlu ise D( )A 0 dır [32].

2.5. Tanım

X bir topolojik uzay, ( , )Y d bir metrik uzay, C X Y( , ), X den Y ye tanımlı bütün sürekli fonksiyonların sınıfı ve : ŽC X Y( , ) olsun. E÷er bir x₀X ve her H !0 için

 x U ve   :f için d f x( ( ), ( ))f x₀ H

olacak úekilde x₀ ın bir U açık komúulu÷u varsa : kümesine x noktasında₀ eúsüreklidir denir. E÷er _: kümesi X in her noktasında eúsürekli ise _: kümesine

X içinde eúsüreklidir denir [33].

Açıktır ki : kümesi X de eúsürekli ise, : nın keyfi bir f elemanı X de sürekli- dir. Bunun tersi do÷ru olmayabilir, yani her f  : sürekli iken : eúsürekli olmaya- bilir.

2.3. Örnek

X Y \ ve üzerindeki metrik alıúılmıú metrik olsun ve

{f_n: f x_n( ) nx x, } C( , )

: \ Ž \ \

ile tanımlansın. nın her bir elemanının sürekli oldu÷u açıktır. Ancak ve her

: x₀ \

H ! için 0

0 _n( ) _n( )0

xx  ŸG f x  f x n xx₀ H

olacak úekilde bir G ! sayısının bulunamayaca÷ı açıktır. Dolayısıyla0 kümesi eúsürekli de÷ildir .

:

2.6. Tanım

,

X Y iki Banach uzayı, ve bir dönüúüm olsun. E÷er nin her açık alt kümesi için kümesi içinde açık oluyorsa dönüúümüne içinde üstten yarı süreklidir denir. Yine e÷er nin her V açık alt

kümesi için kümesi içinde açık oluyorsa dönü-

úümüne içinde alttan yarı süreklidir denir [32].

DŽX F D: o 2^Y Y

V F V^( ) {xD Fx: V} D F

D Y

( ) { : }

F V^ xD FxˆV z ‡ D F

D

Fx0 V olacakúekilde Y içindeki her V açık alt kümesi için F B x( ( , )₀ G ˆD)V olacak úekilde en az bir G G( , )x V₀ ! sayısı varsa 0 F küme de÷erli dönüúümüne

x0D noktasında üstten yarı süreklidir denir. Yine e÷er her yFx₀ ve y nin her

V komúulu÷u için xDˆB x( , )₀ G olmak üzere Fxˆ z ‡ olacak úekilde en az V bir G G( , , )x y V₀ ! sayısı varsa0 F küme de÷erli dönüúümüne x₀D noktasında alttan yarı süreklidir denir [32].

2.7. Tanım

ve

X Y iki Banach uzayı, , bir dönüúüm ve , üzerindeki metrik olsun.

DŽX F D: o 2^Y d Y

n 0

x ox iken oluyorsa küme de÷erli dönüúümü- ne süreklidir denir [32].

( , 0)

H n

d Fx Fx o 0

2

F

2.2. Teorem

ve

X Y iki Banach uzayı DŽX ve F D: o ^Y bir dönüúüm olsun.

a) F D, de üstten yarı süreklidir ancak ve ancak her kapalı AY kümesi için kümesi içinde kapalıdır. alttan yarı süreklidir ancak ve ancak her açık kümesi için kümesi içinde açıktır.

( )

F^ A D F

V Y F^( )A D

b) Her xD için Fx kapalı ve d, Y üzerindeki metrik olsun. Bu durumda

n 0

x ox iken sup

^

d y Fx( , _n) :yFx0

`

o oluyorsa 0 F alttan yarı süreklidir. Yine

n 0

x ox iken sup

^

d y Fx( , 0) :yFx_n

`

o oluyorsa 0 üstten yarı süreklidir.

hem alttan hem de üstten yarı sürekli ise süreklidir.

F F

c) Her için kapalı olsun. E÷er üstten yarı sürekli ve kapalı ise bu durumda nin grafi÷i olan

xD Fx F D

F ^{Gr F( )}

^

^{( , )x y X Y xu : X y, Fx}

`

kümesi kapalı- dır. E÷er F D( ) kompakt ve kapalı ise bu durumda nin üstten yarı sürekli ol- ması için gerek ve yeter koúul nin kapalı olmasıdır.

D F

( ) Gr F

d) E÷er D kompakt, F üstten yarı sürekli ve her xD için kompakt ise bu durumda kompakttır [32].

Fx ( )

F D

2.4. Örnek

X Y \ olsun. F ve G küme de÷erli dönüúümleri

{1} , 0

[0,1] , 0 Fx x

x

­ z ®¯

ve

[0,1] , 0 {0} , 0 Gx x

x

­ z ®¯

úeklinde tanımlansın. Bu durumda üstten yarı sürekli fakat alttan yarı sürekli de-

÷ildir. Yine alttan yarı sürekli fakat üstten yarı sürekli de÷ildir [34].

F G

3. METRøK UZAYDA BAZI SABøT NOKTA TEOREMLERø

3.1. Metrik Uzayda Tek De÷erli Dönüúümler øçin Bazı Sabit Nokta Teoremleri

Bu kısımda bir uzay üzerinde iki metrik ile birlikte bir kapalı (implicit) ba÷ıntıyı kul- lanarak tek de÷erli dönüúümler için sabit nokta teoremleri verilecektir.

Bu kısımda kullanaca÷ımız kapalı ba÷ıntıyı tanımlayarak buna iliúkin bazı örnekleri verelim.

\ negatif olmayan reel sayıların kümesi ve de T \⁶ dan \ ye aúa÷ıdaki koúulları sa÷layan bütün sürekli T fonksiyonların kümesini göstersin:

T : 1 T t t( , ,_{1 2} ", )t₆ fonksiyonu t₂,",t₆ de÷iúkenlerine göre artmayan,

t T : 2 T u v v u u( , , , , v, 0)d0

veya

( , , 0, 0, , ) 0 T u v v v d

iken \_ dan \_ ya sürekli, azalmayan, f(0) 0, 0 için ( )t! f t  koúullarına uy- gun öyle f fonksiyonu vardır ki ud f v( ),

T : 3  !u 0 için ( , 0, 0, , , 0)T u u u !0 dır.

Yukarıda verilen koúulları sa÷layan fonksiyon için birkaç örnek verelim.

3.1. Örnek

T fonksiyonu 0dD1, 0d a 1 2, 0d b 1 2 olmak üzere

1 6 1 2 3 4 5

( , , ) max{ , , } (1 )[ ]

T t " t t D t t t  D at bt₆

úeklinde tanımlansın. Bu durumda TT olur.

Gerçekten T fonksiyonunun t₂,",t₆ de÷iúkenlerine göre artmayan oldu÷u açıktır.

0 u! ve

( , , , , , 0) max{ , } (1 ) ( ) 0 T u v v u uv u D u v  D a uv d

olsun. E÷er utv ise (1a u) dau olup a1 2 oldu÷undan bu bir çeliúki oluúturur.

O halde u dir. Böylecev uDmax{ , } (1u v  D) (a uv)d0 ifadesinden (1 )

1 (1 ) u a

a v

D D

D d  

  bulunur. Benzer úekilde u!0 ve

( , , 0, 0, , ) (1 )( ) 0

T u v v v u Dv D ab vd

olsun. Buradan ud[D (1 D)(a b v )] bulunur. E÷er u ise bu durumda da 0

[ (1 )( )]

ud D  D a b v oldu÷u açıktır. Böylece

(1 )

( ) max , (1 )( )

1 (1 )

f t a a

a

D D

D D

D

­   ½

®   ¾

¯   ¿

b t



olmak üzere T₂ koúulu sa÷lanır.

Yine her u!0 için

( , 0, 0, , , 0) (1 )(1 ) 0 T u u u D a u!

olur. Yani T₃ koúulu da sa÷lanır. Sonuç olarak TT dir.

3.2. Örnek

T fonksiyonu 0d  1k olmak üzere

5 6

1 6 1 2 3 4

( , , ) max , , ,

2 t t T t t t k ­t t t  ½

 ® ¾

¯ ¿

"

úeklinde tanımlansın. Bu durumda TT olur.

Gerçekten T fonksiyonunun t₂,",t₆ de÷iúkenlerine göre artmayan oldu÷u açıktır.

0 u! ve

( , , , , , 0) max{ , } 0 T u v v u uv u k u v d

olsun. E÷er ise olur ki bu bir çeliúkidir. O halde u ve böylece olur. Benzer úekilde ve

utv udku v

udkv u!0

( , , 0, 0, , ) max{ , } 0 T u v v v u k u v d

ise yine udkv olur. E÷er u ise de u kv0 d oldu÷u açıktır. Böylece ol- mak üzere koúulu sa÷lanır.

( ) f t kt T2

Yine her u!0 için

( , 0, 0, , , 0) (1 ) 0 T u u u k u!

olur. Yani T₃ koúulu da sa÷lanır. Sonuç olarak TT dir.

3.3. Örnek

T fonksiyonu, :I \_ o\_ sürekli, azalmayan, I(0) 0 ve t!0 için ( )I t t ko- úullarını sa÷layan fonksiyon olmak üzere

5 6

1 6 1 2 3 4

( , , ) max , , ,

2 t t T t t t I^§¨ ^­®t t t ^{ ½}¾¸

¯ ¿

© ¹

" ·

úeklinde tanımlansın. Bu durumda TT olur.

Gerçekten T fonksiyonunun t₂,",t₆ de÷iúkenlerine göre artmayan oldu÷u açıktır.

0 u! ve

( , , , , , 0) (max{ , }) 0 T u v v u uv u I u v d

olsun. E÷er utv ise udI( )u olup bu bir çeliúki olur. O halde uv ve böylece ( )

udI v olur. Benzer úekilde u!0 ve

( , , 0, 0, , ) (max{ , }) 0 T u v v v u I u v d

ise yine udI( )v elde edilir. E÷er u ise bu durumda da 0 ^udI^{( )v} oldu÷u açıktır.

Böylece f I olmak üzere T₂ koúulu sa÷lanır.

Yine her u!0 için

( , 0, 0, , , 0) ( ) 0 T u u u u I u !

olur. Yani T₃ koúulu da sa÷lanır. Sonuç olarak TT dir.

3.4. Örnek

T fonksiyonu, a!0, , ,b c d t0, a  b c 1 vead1 olmak üzere

6 2

1 6 1 1 2 3 4 5

( , , ) ( )

T t " t t t at bt ct dt t

úeklinde tanımlansın. Bu durumda TT olur.

Gerçekten T fonksiyonunun t₂,",t₆ de÷iúkenlerine göre artmayan oldu÷u açıktır.

0 u! ve

( , , , , , 0) 2 ( ) 0

T u v v u uv u u av bv cu  d

olsun. O halde 1 u a b

c d 

 v olur. Benzer úekilde u!0 ve

2 2

( , , 0, 0, , ) 0

T u v v v u auvdv d

ise bu durumda

4 2

2

a d a

u  

d v bulunur. E÷er u ise bu durumda da 0 4 2

2

a d a

u  

d v oldu÷u açıktır. Böylece

4 2

( ) max ,

1 2

a b a d a

f t t

c

­    ½

° °

® ¾

°  °

¯ ¿

olmak üzere T₂ koúulu sa÷lanır.

Yine her u!0 için

( , 0, 0, , , 0) (1 ) 2 0 T u u u c u !

olur. Yani T₃ koúulu da sa÷lanır. Sonuç olarak TT dir.

3.5. Örnek

T fonksiyonu, 0D olmak üzere1

2 2 2 2

3 3 4 5 6

1 6 1

3 4 5 6

( , , )

1 t t t t

T t t t

t t t t

D ^

    

"

úeklinde tanımlansın. Bu durumda TT olur.

Gerçekten fonksiyonunun de÷iúkenlerine göre artmayan oldu÷u kolayca gösterilebilir.

T t₂,",t₆

0 u! ve

2 2

( , , , , , 0) 3 0

2 2 1

T u v v u u v u v u

u v

  D d

 

olsun. O halde

2

2 2

u v

u v

d D

 1 olup ayrıca

2

2 2 1

v v

u v

D dD

  oldu÷undan udDv elde edilir. Benzer úekilde u!0 ve

4

( , , 0, 0, , ) 3 0

2 1

T u v v v u v v

 D d



ise bu durumda ud ³Dv olur. E÷er u ise bu durumda da 0 ud ³Dv oldu÷u açık- tır. Böylece f t( ) ³Dt olmak üzere T₂ koúulu sa÷lanır.

Yine her u!0 için

( , 0, 0, , , 0) 3 0

T u u u u !

olur. Yani T₃ koúulu da sa÷lanır. Sonuç olarak TT dir.

Benzerúekilde TT olacak úekilde pek çok fonksiyon bulunabilir.

Bu kısımdaki orijinal teoremlerimizi vermeden önce teoremlerde kullanaca÷ımız bazı kısaltmaları verelim.

( ,X dc) bir tam metrik uzay ve d de X üzerinde bir baúka metrik, için

0 ve 0

x X r!

0 0

( , ) { : ( , ) }

B x rd xX d x x r

olsun. Ayrıca B x r_d( , )₀ ^dc ile B x r yuvarının d c metri÷ine göre kapanıúını göste-_d( , )₀ relim. d vedc bir X kümesi üzerinde iki metrik olmak üzere e÷er her x y, X için

( , ) ( , )

d x yc td x y oluyorsa bu durumu dc t ile gösterece÷iz. Aksi durumu ise d d ct d ile gösterece÷iz. Örne÷in X [0,1] ve üzerindeki iki metrik, her x y, X için

( , )

d x y xy

ve

( , ) 1 , 0 ,

x y d x y

x y

­ z

c ®

¯

olsun. Bu durumda dc td oldu÷u açıktır. E÷er X [0, 2] ve yukarıdaki gibi tanımlanırsa

ile d dc d ct d ve dt dc olur. E÷er en az bir x y, X için oluyorsa bu durumu ile gösterece÷iz. Açıktır ki d

( , ) ( , ) d x yc zd x y

dc zd c t d ise dir. Fakat

oldu÷unda

dc zd

dc zd ^{d c}t d veya dt dc olmayabilir. Örne÷in X [0,1] ve d iledc yukarıdaki gibi tanımlanırsa dc z olup dd c t dir.d

ùimdi bu kısımdaki ilk teoremimizi ifade ve ispat edelim.

3.1. Teorem

( ,X dc) bir tam metrik uzay, d X, üzerinde bir baúka metrik, x₀X r, 0! ve

'

: _d( , )0 ^d

F B x r oX bir dönüúüm olsun. dönüúümünün aúa÷ıdaki koúulları sa÷la- dı÷ını kabul edelim.

F

a) Her x y, B x r_d( ,₀ )^dc için

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )) 0 T d Fx Fy d x y d x Fx d y Fy d x Fy d y Fx d

olacakúekilde TT var,

b) f fonksiyonu T₂ koúulundaki fonksiyon olmak üzere

0 0 0 0

1

( , ) 0 ve ⁿ( ( , ))

n

r d x Fx J f d x Fx J

f

 !

¦

^,

c) dt dc iken F: (B x r d_d( , ), )₀ o( ,X dc) düzgün sürekli,

d) d zdc iken F: (B x r_d( , ) ,0 ^dc dc)o( ,X dc) sürekli.

Bu durumda F B x r, ( , )_{d 0} ^dc içinde bir sabit noktaya sahiptir. Yani, olacak úekilde bir

Fx x

( , )0 ^d

xB x rd ^c vardır.

øspat

1 0

x Fx olsun. d x x( , )_{0 1} r oldu÷undan x₁B x r_d( , )₀ dir. ùimdi n{2, 3,"} için

n n 1

x Fx_ diyelim. Aúa÷ıdaki ifadenin do÷ru oldu÷unu iddia ediyoruz.

{1, 2, }

n " için x_nB x r_d( , )₀ ve { }x_n dizisi d metri÷ine göre bir Cauchy dizisidir.

ølk olarak n{1, 2,"} için x_nB x r_d( , )₀ oldu÷unu görelim. Bunu göstermek için tümevarım yöntemini kullanaca÷ız. x x₀, ₁B x r_d( ₀, ) oldu÷unu biliyoruz. O halde (a) koúulunu kullanabiliriz. Böylece

0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )) 0 T d Fx Fx d x x d x Fx d x Fx d x Fx d x Fx d

ve buradan

1 2 0 1 0 1 1 2 0 2

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), 0) 0 T d x x d x x d x x d x x d x x d

olur. T₁ veT₂ koúulları kullanılırsa \ dan _ \ ya sürekli, azalmayan,_

(0) 0, 0 için ( )

f t! f t  t

koúullarına uygun öyle fonksiyonu vardır kif

1 2 0 1

( , ) ( ( , )) d x x d f d x x

olur. O halde (b) koúulundan

0 2 0 1 1 2

0 1 0 1

0 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , )) ( , )

d x x d x x d x x d x x f d x x d x x

r

J

d 

d 

d 

elde edilir ki bu da x₂B x r_d( , )₀ oldu÷unu gösterir. ùimdi m{1, 2,", }k için ( , )0

m d

x B x r olacak úekilde k{2, 3,"} var olsun. x_k1B x r_d( , )₀ oldu÷unu gös- terelim. m{1, 2,", }k için x_m1,x_mB x r_d( ₀, ) oldu÷undan (a) koúulu kullanılırsa,

1 1 1 1 1 1

( ( _m , _m), ( _m , _m), ( _m , _m ), ( _m, _m), ( _m , _m), ( _m, _m )) 0 T d Fx _ Fx d x _ x d x _ Fx _ d x Fx d x _ Fx d x Fx _ d

ve buradan da

1 1 1 1 1 1

( ( _m, _m ), ( _m , _m), ( _m , _m), ( _m, _m ), ( _m , _m ), 0) 0 T d x Fx _ d x _ x d x _ x d x x _ d x _ x _ d

elde edilir. Yine T₂ kullanılırsa m{1, 2,", }k için

1 1

( _m, _m ) ( ( _m , _m)) d x x _ d f d x _ x

olur. Yani m{1, 2,", }k için

1 0

( _m, _m ) ^m( ( , )) d x x _ d f d x x₁

m

bulunur. Di÷er taraftan k{1, 2,"} için

0 1 0 1 1

1

( , ) ( , ) ( , )

k

k m

m

d x x _ dd x x 

¦

d x x _

oldu÷undan (b) koúulu da kullanılırsa

0 1 0 1 0 1

1

0 1 0 1

1

0 1

( , ) ( , ) ( ( , ))

( , ) ( ( , ))

( , )

k m k

m

m m

d x x d x x f d x x

d x x f d x x d x x

r

J



f

d 

d 

d 

¦

¦

bulunur. Böylece x_k1B x r_d( , )₀ olur. Sonuç olarak n{1, 2,"} için x_nB x r_d( , )₀ olur. Aynı zamanda n{1, 2,"} için

1 0

( _n, _n ) ⁿ( ( , )) d x x_ d f d x x1

oldu÷una da dikkat edilmelidir.

ùimdi de { }x_n dizisinin metri÷ine göre bir Cauchy dizisi oldu÷unu gösterelim.

Bunun do÷ru olmadı÷ını kabul edelim. O halde d

{1, 2, } k " için

( ) ( )

( , )

k n k m k

r d x x tG

olacakúekilde tam sayıların{m k( )}, { ( )},n k m k( )!n k( )tk dizileri ve G ! sayısı0 bulunabilir. Aynı zamanda n k( ) dan büyük en küçük m k( ) için

( ) 1 ( )

( _{m k} , _{n k} ) d x _ x G

oldu÷unu kabul edebiliriz. Böylece

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )

( ) 1

0 1

( , ) ( ,

( ( , ))

k m k m k m k n

m k

r d x x d x x

f d x x

k ) G

G

 



d d 

d 

ve böylece de

lim _k

n r G

of

olur. Aynı zamanda

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

( , ) ( , ) ( ,

k n k n k m k m k n k m k

r d x x d x x d x x )

G d d _  _  _{ }

k m k

, ) oldu÷undan

( ) ( )

0 1 0 1 ( ) ( )

( ( , )) ( ( , ) ( , )

n k m k

k n

r f d x x f d x x d Fx Fx

G d d   (3.1)

bulunur. Di÷er taraftan x_{n k( )},x_{m k( )}B x r_d( ₀ oldu÷undan (a) koúulunu kullanabiliriz.

O halde

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),

( , ), ( , )) 0

n k m k n k m k n k n k m k m k

n k m k m k n k

T d Fx Fx d x x d x Fx d x Fx

d x Fx d x Fx d

ve böylece

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0 1 0 1 0 1

( )

0 1

( ( , ), , ( ( , )), ( ( , )), ( ( , )),

( ( , ))) 0

n k m k m k

n k m k k k

n k k

T d Fx Fx r f d x x f d x x r f d x x r f d x x



 d

bulunur. fonksiyonunun sürekli oldu÷u göz önüne alınarak bu son eúitsizlikte için limit alınırsa

T ko f

( ) ( )

(lim ( _{n k} , _{m k} ), , 0, 0, , ) 0 T k d Fx Fx G G G

of d

elde edilir. T₂ koúulundan ise

( ) ( )

lim ( _{n k} , _{m k} ) ( )

k d Fx Fx f G

of d

bulunur. Böylece Eú.3.1 eúitsizli÷inde k o f için limit alınırsa G d f( )G bulunur ki bu ise t!0 için ^{f t( )t} olması ile çeliúir. Bundan dolayı { }x_n dizisi metri÷ine göre bir Cauchy dizisidir.

d

ùimdi { }x_n dizisinin metri÷ine göre bir Cauchy dizisi oldu÷unu gösterelim. E÷er ise bu durum açıktır.

d c

dtdc dt dc olsun ve H ! verilsin. O halde (c) koúulu0

, _d( ,0 ) x y B x r

  ve d x y( , )G iken d Fx Fyc( , )H

olacak úekilde G ! sayısının varlı÷ını garanti eder. { }0 x_n dizisi d metri÷ine göre bir Cauchy dizisi oldu÷undan en az bir n₀{1, 2, }" vardır ki n m, tn₀ iken

( ,_{n m}) d x x G

olur. Böylece n m, tn₀ iken

1 1

( _n , _m ) ( _n, _m) d xc _ x _ d Fx Fxc H

bulunur ki bu da { }x_n dizisinin d c metri÷ine göre bir Cauchy dizisi oldu÷unu göste- rir. Böylece ( ,X dc) tam metrik uzay oldu÷undan için olacak úekilde

no f d x xc( , )_n o0 ( , )0 ^d

xB x rd ^c vardır.

Bulunan bu xB x r_d( , )₀ ^dc noktası için Fx oldu÷unu gösterelim.x

ølk olarak d zdc durumunu göz önüne alalım. Bu durumda

1

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

n n

n n

d x Fx d x x d x Fx d x x d Fx_ Fx

c d c  c

c c

d 

olup (d) koúulu kullanılır ve no f için limit alınırsa d x Fxc( , ) 0 bulunur ki bu da oldu÷unu gösterir.

Fx x

økinci olarak d dc olsun. x_n1,xB x r_d( ,₀ )^dc oldu÷undan (a) koúulunu kullanabili- riz. Böylece

1 1 1 1 1 1

( ( _n , ), ( _n , ), ( _n , _n ), ( , ), ( _n , ), ( , _n )) 0 T d Fx_ Fx d x _ x d x _ Fx _ d x Fx d x _ Fx d x Fx_ d

olup no f için limit alınırsa

( ( , ), 0, 0, ( , ), ( , ), 0) 0 T d x Fx d x Fx d x Fx d

elde edilir ki burada da T₃ koúulu kullanılırsa d x Fx( , ) 0 bulunur. Bu da ispatı ta- mamlar.

Bu kısımdaki ikinci orijinal teoremimizi vermeden önce bu teoremde kullanaca÷ımız kapalı ba÷ıntıyı kısaca verelim.

T kümesic \⁶_ dan ye tanımlı, ve koúulları ile birlikte aúa÷ıdaki koúulu sa÷layan bütün sürekli fonksiyonların kümesini göstersin:

\ T1 T₃

T c2 : T u v v u u( , , , , v, 0)d0

veya

( , , , , , ) 0 T u v v v v v d

iken \_ dan \_ ya tanımlı, sürekli, azalmayan, f(0) 0, 0 için ( )t! f t t koúulla- rına uygun öyle f fonksiyonu vardır ki ud f v( ) dir.

Bu durumda oldu÷u açıktır. Örnek 3.1, Örnek 3.2, Örnek 3.3 ve Örnek 3.5 içinde tanımlanan T fonksiyonlarının

Tc ŽT

T kümesine ait oldukları kolayca gösterilebi-c lir. Ancak Örnek 3.4 de tanımlanan fonksiyon

koúulu altında kümesine aittir.

0, , , 0 ve 1

a! b c d t a  b c d Tc

3.2. Teorem

( ,X dc) bir tam metrik uzay, d X, üzerinde bir baúka metrik, x₀X r, 0! ve

'

: _d( , )0 ^d

F B x r oX bir dönüúüm olsun. F dönüúümünün FT olmak üzere (a), c (c) ve (d) koúullarının yanı sıra

b )c d x Fx( ,_{0 0}) r f r( )

koúulunu da sa÷ladı÷ını kabul edelim.

Bu durumda F B x r, ( , )_{d 0} ^dc içinde bir sabit noktaya sahiptir. Yani, olacak úekilde bir

Fx x

( , )0 ^d

xB x rd ^c vardır.

øspat

1 0

x Fx olsun. d x x( , )_{0 1} r oldu÷undan x₁B x r_d( , )₀ olur. ùimdi n{2, 3,"} için

n n 1

x Fx_ diyelim. Aúa÷ıdaki ifadenin do÷ru oldu÷unu iddia ediyoruz.

{1, 2, }

n " için x_nB x r_d( , )₀ ve { }x_n dizisi d metri÷ine göre bir Cauchy dizisidir.

ølk olarak n{1, 2,"} için x_nB x r_d( , )₀ oldu÷unu gösterelim. Bunu göstermek için tümevarım yöntemini kullanaca÷ız. x x₀, ₁B x r_d( ₀, ) oldu÷unu biliyoruz. O halde (a) koúulunu kullanabiliriz. Böylece

0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )) 0 T d Fx Fx d x x d x Fx d x Fx d x Fx d x Fx d

ve buradan da

1 2 0 1 0 1 1 2 0 2

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), 0) 0 T d x x d x x d x x d x x d x x d

elde edilir. T₁ veT c₂ koúulları kullanılırsa \ dan _ \ ya tanımlı, sürekli, azalmayan,_

(0) 0, 0 için ( )

f t! f t  t

koúullarına uygun öyle fonksiyonu vardır kif

1 2 0 1

( , ) ( ( , )) d x x d f d x x

olur. O halde (b )c koúulundan

0 2 0 1 1 2

0 1 0 1

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( ( , ))

[ ( )] ( )

d x x d x x d x x d x x f d x x

r f r f r r

d 

d 

  

olur ki bu da x₂B x r_d( , )₀ oldu÷unu gösterir. ùimdi m{1, 2,", }k için ( , )0

m d

x B x r olacak úekilde k{2, 3,"} var olsun. x_k1B x r_d( , )₀ oldu÷unu gös- termeliyiz. m{1, 2,", }k için x_m1,x_mB x r_d( ₀, ) oldu÷undan (a) koúulunu kullana- biliriz. O halde

1 1 1 1 1 1

( ( _m , _m), ( _m , _m), ( _m , _m ), ( _m, _m), ( _m , _m), ( _m, _m )) 0 T d Fx _ Fx d x _ x d x _ Fx _ d x Fx d x _ Fx d x Fx _ d

ve buradan da

1 1 1 1 1 1

( ( _m, _m ), ( _m , _m), ( _m , _m), ( _m, _m ), ( _m , _m ), 0) 0 T d x Fx _ d x _ x d x _ x d x x _ d x _ x _ d

elde edilir. Yine T c₂ kullanılırsa m{1, 2,", }k için

1 1

( _m, _m ) ( ( _m , _m)) d x x _ d f d x _ x

olur. Yani m{1, 2,", }k için

1 0

( _m, _m ) ^m( ( , )) d x x _ d f d x x₁

, ) bulunur.ùimdi

( ,1 _k) ( ) d x x d f r

oldu÷unu gösterelim.

E÷er k 2 ise, d x x( ,_{1 2})d f d x x( ( , ))_{0 1} d f r( ) olur.

E÷er k 3 ise, d x x( ,_{1 3}) d Fx Fx( ₀, ₂) olup x x₀, ₂B x r_d( ₀ oldu÷undan (a) koúulu kullanılırsa

0 2 0 2 0 0 2 2 0 2 2 0

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )) 0 T d Fx Fx d x x d x Fx d x Fx d x Fx d x Fx d

elde edilir ki buradan

1 3 0 2 0 1 2 3 0 3 2 1

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )) 0 T d x x d x x d x x d x x d x x d x x d

bulunur. Bu son ifadeden de

2

1 3 0 2 0 1 0 1 0 3 2 1

( ( , ), ( , ), ( , ), ( ( , )), ( , ), ( , )) 0 T d x x d x x d x x f d x x d x x d x x d

ve böylece

2

1 3

( ( , ), , , ( ), , ( )) 0 T d x x r r f r r f r d

bulunur. Di÷er yandan f r( )r oldu÷undan T₁ koúulu kullanılırsa

1 3

( ( , ), , , , , ) 0 T d x x r r r r r d

bulunur. Böylece T c₂ koúulundan

1 3

( , ) ( ) d x x d f r

elde edilir.

E÷er k 4 ise, d x x( ,_{1 4}) d Fx Fx( ₀, ₃) olup x x₀, ₃B x r_d( ₀, ) oldu÷undan (a) koúulu kullanılırsa

0 3 0 3 0 0 3 3 0 3 3 0

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )) 0 T d Fx Fx d x x d x Fx d x Fx d x Fx d x Fx d

elde edilir ki buradan

1 4 0 3 0 1 3 4 0 4 3 1

( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )) 0 T d x x d x x d x x d x x d x x d x x d

bulunur. Bu son eúitsizlikten de

3

1 4 0 3 0 1 0 1 0 4 3 1

( ( , ), ( , ), ( , ), ( ( , )), ( , ), ( , )) 0 T d x x d x x d x x f d x x d x x d x x d

ve böylece

3

1 4

( ( , ), , , ( ), , ( )) 0 T d x x r r f r r f r d

olur. Di÷er taraftan f r( )r oldu÷undan T₁ kullanılırsa

1 4

( ( , ), , , , , ) 0 T d x x r r r r r d

bulunur. Böylece T c₂ koúulundan

1 4

( , ) ( ) d x x d f r

bulunur. Yani k 4 için de iddia do÷rudur.

Buúekilde devam edilerek k{5, 6,"} içinde

( ,1 _k) ( ) d x x d f r

oldu÷u gösterilebilir. ùimdi x_k1B x r_d( , )₀ oldu÷unu görelim. x x₀, _kB x r_d( ₀, ) ol- du÷undan (a) kullanılırsa

0 0 0 0 0 0

( ( , _k), ( , _k), ( , ), ( _k, _k), ( , _k), ( ,_k )) 0 T d Fx Fx d x x d x Fx d x Fx d x Fx d x Fx d

olur ki buradan

1 1 0 0 1 1 0 1 1

( ( , _k ), ( , _k), ( , ), ( ,_{k k} ), ( , _k ), ( , ))_k 0 T d x x_ d x x d x x d x x _ d x x_ d x x d

bulunur. Bu son ifadeden

1 1 0 0 1 0 1 0 1 1

( ( , _k ), ( , _k), ( , ), ^k( ( , )), ( , _k ), ( _k, )) 0 T d x x _ d x x d x x f d x x d x x _ d x x d

ve böylece de

1 1

( ( , _k ), , , ^k( ), , ( )) 0 T d x x _ r r f r r f r d

olur. Ayrıca f r( )r oldu÷undan T₁ kullanılırsa

1 1

( ( , _k ), , , , , ) 0 T d x x _ r r r r r d

bulunur. Böylece T c₂ koúulundan

1 1

( , _k ) ( ) d x x_ d f r

elde edilir. Son olarak

0 1 0 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )

[ ( )] ( )

k k

d x x d x x d x x r f r f r r

 d  

d  

bulunur ki bu da x_k1B x r_d( , )₀ oldu÷unu gösterir. Yani n{1, 2,"} için ( , )0

n d

x B x r olur.

øspatın bundan sonraki kısmı Teorem 3.1 in ispatında oldu÷u gibi devam edilerek tamamlanır.

Yuvar üzerinde verilen yukarıdaki teoremden hareketle daha genel olan aúa÷ıdaki teoremi ifade ve ispat edebiliriz.