17.BÖLÜM. Çemberin Analitik İncelenmesi ÖZEL ÇEMBERL ER 1. MERKEZİL ÇEMBER 2. EKSENLERE TEĞET OLAN ÇEMBER. 3. ox EKSENİNE TEĞET OLAN ÇEMBER

(1)

Tanım: Düzlemde, sabit M(a, b) noktasından sabit bir r uzaklığında bulunan noktaların geometrik yerine çember denir.

Burada M merkez, r yarıçaptır.

Çember üzerinde, değişken P(x, y) noktasını alalım.



x a



²



y b



²

r

PM    

Bu durumda, merkezi M(a, b) yarıçapı r olan çemberin denklemi.

(x – a)² + (y – b)² = r² olur.

M(a, b)

P(x, y) r

Merkezi M(2, –3), yarıçapı 5 olan çemberin denkle- mini bulunuz.

ÇÖZÜM

(x –2)² + (y–(–3))² = 5²

 (x – 2)² + (y + 3)² = 25

Merkezi M(4, 1) ve 3x + 4y –1 = 0 doğrusuna teğet olan çemberin denklemin bulunuz.

ÇÖZÜM

Burada çemberin yarıça- pı, M(4, 1) noktasının 3x + 4y – 1 = 0 doğrusuna uzaklığıdır.

r M(4, 1) 3x + 4y –1 = 0

T

2

2 4

3 1 1 4 4 r 3 MT









 



5 3 15 



M(4, 1), r = 3 olduğundan istenen denklem (x – 4)² + (y – 1)² = 9

ÖZEL ÇEMBERLER 1. MERKEZİL ÇEMBER

Merkezi orijin yarıçapı r olan çemberdir.

Denklemi x² + y² = r²

O r

–r r

r

r = 1 ise bu çembere birim çember denir.

x² + y² = 1

2. EKSENLERE TEĞET OLAN ÇEMBER

Şekil incelenirse M(r, r) oldu- ğu görülür.

Denklemi

(x – r)² + (y – r)² = r² r r M(r, r)

x y

3. ox EKSENİNE TEĞET OLAN ÇEMBER

Merkezi M(a, b)

ve b = r olduğundan denklemi

(x – a)² + (y – r)² = r²

r = b M

x y

a b

4. oy EKSENİNE TEĞET OLAN ÇEMBER

M(a, b) ve a = r oldu- ğundan, denklemi (x – r)² + (y – b)² = r²

r = a

a M

x y

b

Çemberin Analitik İncelenmesi

17.BÖLÜM

ÖRNEK

(2)

7 1 7

YARIM ÇEMBERLER

(x – a)² + (y – b)² = r² denkleminde y yi yalnız bırakırsak (y – b)² = r² – (x – a)²

(y – b) = ^ ^r²^



^x^^a



²

y=b ^r²



^x^a



² veya ^y^b ^r²



^x^a



² bulunur.

Bu denklemler çemberin sırasıyla y = b doğrusunun üzerinde ve altında kalan parçalarını verir.

y = b

 

²

2 x a

r b

y   

 

²

2 x a

r b

y   

M(a,b)

a

y = ⁴ ⁴



^x¹



² eğrisinin grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM

y = ⁴ ⁴



^x¹



²

 y – 4 = 4



x1



²

 (y – 4)² = 4 – (x – 1)²

 (y – 4)² + (x – 1)² = 2²

buna göre, verilen denklem merkezi M(1, 4) yarıçapı r = 2 olan çemberin y = 4 doğrusu üzerindeki kısmını verir. İstenen grafik

y = 4



x 1



²

4 4

y   

M(1, 4) 4

1

ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ

Merkezi M(a, b), yarıçapı r olan çemberin denklemin açık halini yazıp düzenlersek

(x – a)² + (y – b)² = r²

x² – 2a x + a² + y² –2b y + b² = r²

x² + y² +



2a



x



2b



y a b r 0

F 2 2 2 E D











     



–2a = D, –2b = E, a² + b² – r² = F dersek

2 b E 2

aD  bulunur.

F b a

r ²  ²  F

2 E 2 r D

2 2

 









 











 D E 4F

2

r1 ² ²

çemberin denklemini

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 şekline getirmiş olduk. Bu denkleme genel çember denklemi denir.

Çember denkleminde;

1. x² ve y² li terimlerin katsayıları eşit olmalı- dır.

2. x.y li terim bulunmamalıdır.

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 Denkleminde,

1. D = D² + E² – 4F > 0 ise, bu denklem

merkezi _







  2 , E 2 M D

yarıçapı D E 4F

2

r 1 ² ²

olan çemberi gösterir.

2. D = D² + E² – 4F = 0 ise bu denklem







  2 , E 2

M D noktasının gösterir.

3. D = D² + E² – 4F < 0 ise bu denklem bir geometrik şekle karşılık gelmez.

(m – 3) x² + (5 – m)y² + 2m x – 6y + 24 = 0

denklemi bir çember belirttiğine göre, bu çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

ÇÖZÜM

Denklemin çember belirtmesi için m – 3 = 5 – m  m = 4 olması gerekir.

m = 4 değerini yerine yazarsak, denklem x² + y² + 8x – 6y + 24 = 0 Bu durumda D = 8 E = –6 F = 24

Merkezi, _







 











 

2 , 6 2 8 2 , E 2

M D = (–4,3)

Yarıçapı D E 4F

2

r1 ² ²

2 1 4 2 24 6 2 8

1 ₂ ₂











aradığımız çember, merkezi M(–4, 3) yarıçapı r = 1 olan çemberdir.

ÖRNEK

(3)

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLER

Yarıçapı r ve merkezi M(a, b) olan çembere P(x0, y0) nokta- sında çizilen teğetin denklemini bulmak için

M(a, b) Normal

Teğet

1. Çemberin denklemini kapalı fonksiyon olarak düşü- nüp, kapalı fonksiyon türevi alırız.

2. Bulduğumuz türev değeri, fonksiyonun o noktadaki teğetinin eğimini verdiğinden, bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini yazabilir.

x² + (y – 3)² = 25 denklemine üzerindeki P(4, 0) nok- tasından çizilen teğet ve normalin denklemlerini yazınız.

ÇÖZÜM

Çember denklemini F(x,y)=x²+(y–3)²–25=0 Haline getirirsek y¹

6 y 2

x 2 F F

y x

 



3 4 6 0 2

4

m_T 2 





 



mT.mN= –1  m_N 3

4 = –1

M(a, b) Normal

Teğet T(4, 0)

 4

m_N 3



Bu durumda teğet denklemi y – 0

3

 4(x – 4)  3y – 4x + 16 = 0

Normalin denklemi y – 0 =

4

3(x –4)  4y + 3x – 12 = 0

BİR DOĞRU VE BİR ÇEMBERİN BİRBİRLERİNE GÖRE DURUMLARI

Çemberin yarıçapı r ve çemberin merkezinin doğruya uzaklığı d olsun.

1.d < r ise doğru çemberi iki noktada keser.

Bu durumda

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (Çember denklemi) y = mx + n (Doğru denklemi)

M r d

denklemlerinin ortak çözümü yapılarak kesim noktaları bulunmalıdır.

2. d = r ise doğru ile çember teğettir.

Değme noktasını bulmak için doğru ve çember denklemlerinin ortak çözümü yapılır. Elde edilen denklemin çakışık iki kökü vardır.

M

d=r

T

3. d > r ise doğru ve çemberin ortak

noktası yoktur. M

r d

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 denkleminde y = mx + n yazıldığında

ax² + bx + c = 0 şeklinde bir denkle elde edilir.

Bu denklem için  = b² – 4ac olsun.

1.  > 0 ise doğru ve çember iki noktada kesi- şir.

2.  = 0 ise doğru ve çember tek noktada kesişir.

3x – 4y + m = 0 doğrusunun

x² + y² – 6x – 8y = 0 çemberini iki noktada kesmesi için m nin en geniş aralığını bulunuz.

ÇÖZÜM

D = –6 E = –8 F = 0

 



 



 

 

 2

, 8 2

M 6 = M(3, 4)

 

⁶

 

⁸ ⁰

2 F 1 4 E 2 D

r1 ² ²   ² ²

= 5

d < 5

 3.3 – 4.4+m < 5

 5

5 m

7 



 –25 < –7 + m< 25

 –18 < m < 32

M(3, 4) 5 d

3x–4y+m=0

ÖRNEK

(4)

7 1 9 x = 3 doğrusunun x² + y² –2y + 4 – 3m = 0 çemberine teğet olması için, m kaç olmalıdır?

ÇÖZÜM

Çember denkleminde x = 3 yazarsak 9 + y² – 2y + 4 – 3m = 0

y²–2y + 13 – m = 0 denklemi elde edilir.

Bu denklemin tek çözümü olduğundan

 = 0 olmalıdır.

 = (–2)² – 4.1 (13–m) = 0

 –48 + 4 m = 0

 m = 12

İKİ ÇEMBERİN ARA KESİT NOKTALARI

x² + y² + D1x + E1y + F1 = 0 çemberi ile

x² + y² + D2x + E2y + F2 = 0 çemberinin ara kesit nokta- ları bu denklemlerinin oluşturduğu sisteminin çözüm kümesidir. Buna göre,

1. Sistemin çözümü yoksa çemberler kesişmez.

2. Çözüm kümesi tek noktaysa çemberler teğettir.

3. Çözüm kümesi iki noktaysa, çemberler iki noktada kesişir.

1 2 3

x² + y² = 16 çemberi ile, x² + y² –4x –4y = 0

çemberinin kesim noktalarını bulunuz.

ÇÖZÜM

x² + y² = 16 –1/x² + y² –4x –4y = 0

4x + 4y = 16  x + y = 4 x+y = 4

x² + y² = 16

Sisteminin çözümü aradığımız A ve B noktalarını verir.

B A

x + y = 4 x² + y² = 16 x² + y² – 4x – 4y = 0

x + y = 4  y = 4 – x x²+ y² = 16  x² + (4–x)² = 16

 x² + x² –8x + 16 = 16

 2x² – 8x = 0

 x = 0 veya x = 4

Bu değerler x + y = 4 te yerine yazılırsa x = 0 için y = 4 veya x = 4 için y = 0 A (0, 4), B (4, 0)

arakesit noktalarıdır.

ÇEMBERDE KUVVET

Bir P(x0, y0) noktasının çembere göre kuvveti, çember denkleminde x yerine x0, y yerine y0 konularak elde edilir.

P(x0, y0) noktasının

1. x² + y² + Dx + Ey + F = 0 çemberine göre kuvveti k = x02

+ y02

+ D.x0 + E.y0 + F

2. (x–a)² + (y–b)² = r² çemberine göre kuvveti k = (x0 – a)² + (y0 – b)² – r²

P(6, 2) noktasının (x–3)² + (y–1)² = 5 çemberine göre kuvveti kaçtır?

ÇÖZÜM

(x–3)² + (y–1) – 5 = 0 denkleminde x = 6 ve y = 2 yazarsak

k = (6–3)² + (2–1)² – 5

= 9 + 1 – 5

= 5 bulunur.

İKİ ÇEMBERİN KUVVET EKSENİ

Farklı iki çembere göre kuvvetleri eşit olan noktaların kümesine, bu çemberlerin kuvvet ekseni denir.

Kuvvet ekseni çemberlerin merkezlerinden geçen doğ- ruya dik bir doğrudur. Çemberlerin denklemlerinin taraf tarafa çıkarılmasıyla kuvvet ekseninin bulunabilir.

kuvvet ekseni

M1 M2 M1 M2

x² + y² –2x – 4y = 0 x² + y² – 6x – 8y + 5 = 0

denklemlerinin kuvvet eksenini bulunuz.

ÇÖZÜM

x² + y² –2x – 4y = 0 x² + y² – 6x – 8y + 5 = 0 4x + 4y – 5 = 0 kuvvet eksenidir.

ÖRNEK

(5)

ÇEMBERİN PARAMETRİK DENKLEMİ

 x

y

y r

x P(x, y)

p={(x, y): x = r.cos, y = r.sin, rIR⁺, 0    2}

kümesi bir çember belirtir.

Çünkü, şekle göre x = r.cos

y = r.sin

 x² + y² = r² cos² + r²sin²

= r²



__{ }__ _{ }__



1 2

2 sin

cos   = r²

(x – a)² + (y – b)² = r² denkleminin parametrik denklemi ise

x – a = r.cos 

y – b = r.sin  ^y ^b ^r ^sinα cosα r a x













kIR olmak üzere, parametrik denklemi x = 5 + 3.cosk

y = –1 + 3.sink

olan eğrinin bir çember olduğunu gösteriniz.

ÇÖZÜM

x = 5 + 3.cosk 

3 5

x  = cosk 

 

9 5 x ²

= cos²k

y = –1 + 3sink  3

1

y  = sink 

 

9 1 y ²

= sin²k

+

   

9 1 y 9

5

x ²  ²

 

=1

 (x – 5)² + (y + 1)² = 9

ÇEMBERİN DÜZLEMİ AYIRDIĞI BÖLGELER

Bir çember analitik düzlemi, çemberin iç bölgesi, çember ve çemberin dış bölgesi olmak üzere üç bölgeye ayırır.

Bir P(x, y) noktası için

1. (x–a)² + (y–b)² < r² ise iç bölgedir.

2. (x–a)² + (y–b)² = r² çemberin üzerindedir.

3. (x–a)² + (y–b)² > r² ise dış bölgededir.

M(a, b) İç bölge

Dış bölge çember

(x – 3)² + y² < 9 y  x – 3

eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini analitik düz- lemde gösteriniz.

ÇÖZÜM

y = x – 3

(3, 0)

İstenilen bölge çemberin iç bölgesinde ve doğrunun üstünde kalan bölgedir. Fakat çemberin üzerindeki noktalar istenen bölgeye dahil değildir bu yüzden kesikli çizgilerle gösteririz.

x² + y²  9 x² + y²  4

eşitsizlik sınırlanan bölgenin alanı kaç birim kare- dir?

ÇÖZÜM

İstenen bölge x² + y² = 9 çemberinin iç bölgesinde ve x² + y² = 4 çemberinin dış bölgesinde kalan halkadır.

Taralı alan = 3² – 2²

= 5

–3

3 y

O x –2

2

–2 –3

2 3

ÖRNEK

(6)

7 2 1

1.

Merkezi M(–3,1) olan ve P(2,2) noktasından

geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – 3)² + (y + 1)² = 25 B) (x – 3)² + (y + 1)² = 26 C) (x + 3)² + (y – 1)² = 26 D) (x + 3)² + (y – 1)² = 41 E) (x – 2)² + (y – 2)² = 14

2.

x = 1 ve x = 5 doğrularına teğet olan ve merkezi y = 2x – 1 doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – 4)² + (y – 3)² = 1 B) (x – 3)² + (y – 4)² = 4 C) (x – 1)² + (y – 1)² = 9 D) (x – 3)² + (y – 5)² = 1 E) (x – 3)² + (y – 5)² = 4

3.

y = x doğrusunun x² + y² – 6x – 8y + 24 = 0 çemberiyle kesiştiği noktalar A ve B olduğuna göre, [AB] kirişinin uzunluğu kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 5

4.

x² + y² = 9 çemberine dışındaki P(4, 2 ) nokta- sından çizilen teğetlerin arasında kalan açı kaç derecedir?

A) 30 B) 65 C) 75 D) 90 E) 120

5.

x² + y² = 49 doğrusuna dıştan teğet olan ve merkezi M(–8,6) olan çemberin denklemi aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) (x + 8) + (y – 6)² = 4 B) (x + 8)² + (y – 6)² = 6 C) (x + 8)² (y – 6)² = 9 D) (x + 8)² + (y – 6)² = 25 E) (x + 8)² + (y – 6)² = 36

6.

(x – 3)² + (y + 5)² = 25

çemberi ile P(–5,1) noktası arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

7.

Denklemleri,

x² + y² – 4y – 5 = 0 x² + y² = 9

olan çemberler veriliyor.

P(2,t) noktasının bu çemberlerin kuvvet ekseni üzerinde olduğu bilindiğine göre, P(2,t) nokta- sının M(t –3, –2) noktasına uzaklığı kaç birim- dir?

A) 4 B) 2 5 C) 5 D) 30 E) 6

8.

3x – 4y + 15 = 0

doğrusunun x² + y² = r² doğrusuna teğet oldu- ğu bilindiğine göre, r kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9.

Merkezinin koordinatları M(3,5) olan ve y ekse- nine teğet olan çemberin denklemi aşağıdaki- lerden hangisidir?

10.

(m – 4)x² + (11 – 2m)y² – 8x + (m – 3)y + 1 = 0 denklemi analitik düzlemde bir çember belirtti- ğine göre, yarıçapı kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Ç Ö Z Ü M L Ü T ^{E S T}

(7)

11.

x² + y² = r² çemberi (x – 5)² + (y + 12)² = 256 çemberine içten teğet olduğuna göre, r kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12.

(2a – 3)x² + (7 – 4b)y² + (c – 5)xy – 10 = 0 denklemi analitik düzlemde bir çember belirtti- ğine göre, a + 2b + c kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

13.

{(x, y): (x – 3)² + y²  9, (x – 3)² + y²  4 bölgesinin alanı kaç birim karedir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

14.

(x – 3)² + y² = 25

çemberine üzerindeki P(7, –3) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden han- gisidir?

A) 3y + 4x = 19 B) 3x + 4y = 9 C) 2x + 3y = 5 D) 3x + 2y = 15 E) 4x – 3y = 37

15.

  IR olmak üzere, x = 2.cos – 1 y = 2.sin + 3

şartıyla verilen (x, y) noktalarının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – 2)² + (y – 2)² = 9 B) (x – 3)² + (y – 2)² = 1 C) (x + 1)² + (y – 3)² = 4 D) (x + 2)² + (y – 1)² = 25 E) (x + 1)² + (y – 3)² = 4

16.

x² + y²  16 x + y  4

eşitsizlikleriyle sınırlanan bölgenin alanı kaç birim karedir? ( = 3)

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

1.

Burada

MP = r yarıçap uzunluğudur.

r

P(2,2)

M(–3,1)

r = MP =



²⁽³⁾



²⁽²¹⁾

= 5 ² 1² = 26 birim Bu durumda çemberin denklemi (x + 3)² + (y – 1)² = 26

Cevap C’dir.

2.

M

1 3

r r

5 x

y

Çember x = 1 ve x = 5 doğrusuna teğet olduğun- dan

2r = 5 – 1 = 4  r = 2

M nin apsisi 1 + 2 = 3 olduğundan M(3,k) şeklinde bir noktadır.

M(3,k) y = 2x – 1 doğrusunun üzerinde olduğunda k = 2.3 – 1  k = 5

Bu durumda M(3,5) olur.

İstenen denklem: (x – 3)² + (y – 5)² = 4

Cevap E’dir.

3.

Çember ile doğrunun ortak çözümünü ya- parsak A ve B noktala- rını buluruz. Ortak çö- züm yapmak için çem- ber denkleminde y = x i yerine yazarız.

y = x

A

B

x² + x² – 6x – 8x + 24 = 0

 2x² – 14x + 24 = 0

 x² – 7x + 12 = 0

 (x – 4) (x – 3) = 0

Buradan x1 = 4 için y1 = 4  A(4,4) x2 = 3 için y2 = 3  B(3,3)

AB = (43)²(43)²

2 2 1

 1   2 birim

Cevap B’dir.

Ç Ö Z Ü M L E R

(8)

7 2 3

4.

O(0,0)

45

T2

T1

3

P(4, 2)

r² = 9  r = 3

AO = (40)²( 2)² 2

3 birim T1PO üçgeninde

OT1 = 3 cm

ve PO = 3 2 olduğundan m(OPT1) = 45

m(T1PT2) = 2.45 = 90

Cevap D’dir.

5.

x² + y² = 49 denkleminde

O(0,0) merkez

ve R = 7 birimdir. ^O(0,0) ^M(–8,6) r 7

Bu çemberler dıştan teğet olduklarına göre,

OM = 7 + r =



0(8)



²(06)²

2 2 ( 6) 8  

 = 10

 r = 3

istenen denklem (x + 8)² + (y – 6)² = 9

Cevap C’dir.

6.

çemberinde r = 5 ve merkez M(3, –5) noktasıdır.

M(3,–5) T

P(–5,1)

5 10

MP = (3(5)²(51)²

= 8²(6)²

= 10 birim

İstenilen en kısa uzaklık TP dir.

MP = MT + TP

10 = 5 + TP

 TP = 5 birim

Cevap A’dır.

7.

Kuvvet ekseninin denklemini bulmak için ortak çözüm

yapmalıyız. _P

y = 1 x² + y² – 4y – 5 = 0

x² + y² – 9 = 0 –4y + 4 = 0

 y = 1 kuvvet ekseninin denklemidir.

P(2,t), y = 1 in üzerinde olduğundan t = 1 dir.

P(2,1) ve M(–2,–2) arasındaki uzaklık

PM =



⁽²⁽²⁾



²



⁽¹⁽²⁾



²

2 2 3 4 

 = 5 birim

Cevap C’dir.

8.

x² + y² = r² Denkleminde merkezi M(0,0) ve yarıçapı r dir.

M(0,0) r T

3x – 4y + 15 = 0

5 3 15 4

3

| 15 0 4 0 3

| | MT

| r

2

2  







 



Cevap C’dir.

9.

Şekilde görüleceği üzere r = 3 birimdir.

İstenen denklem

(x – 3)² + (y – 5)² = 9 5 ^{r = 3} _M(3,5)

3

Cevap C’dir.

10.

Denklem çember belirttiğine göre, x² ve y² li terimlerin katsayıları eşittir.

m – 4 = 11 – 2m  3m = 15

 m = 5

Yerine yazarsak denklem x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0 D = –8 E = 2 F = 1

2 1 . 4 2 ) 8 ( 2

F 4 E r D

2 2 2

2   

 

 

2 4 64 

 birim

Cevap D’dir.

(x – 3)² + (y + 5)² = 25

(9)

11.

M1(5,–12) M2(0,0)

(x – 5)² + (y + 12)² = 256 denkleminde merkez M1(5, – 12)

R² = 256  R = 16 x² + y² = r²

denkleminde merkez M2(0,0) yarıçap r olur.

M1M2 = R – r

r 16 ) 0 12 ( ) 0 5

(  ²   ²  

 5²12² 16r

 13 = 16 – r

 r = 3

Cevap C’dir.

12.

Bu denklemin çember denklemi olabilmesi için i) x² ve y² nin katsayıları eşit olmalı

2a – 3 = 7 – 4b

 2a + 4b = 10

 a + 2b = 5

ii) xy li terim bulunmamalı

 c – 5 = 0

 c = 5

a + 2b + c = 5 + 5 = 10

Cevap E’dir.

13.

M(3,0)

İstenen bölge (x – 3)² + y² = 9 çemberinin içinde (x – 3)² + y² = 4 çemberinin dışında kalan bölgedir.

Bu halkanın alanı

R² – r² = 3² – .2² = 5

Cevap C’dir.

14.

Teğetin eğimi denklemin o noktadaki türevinin değerine eşittir.

(x – 3)² + y² – 25 = 0

y 2

6 x 2 F m F

y T x

 







) 3 .(

2 6 7 . 2



 

 =

3 4

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi y – (–3) = (x 7)

3

4 

 4x – 3y = 37

Cevap E’dir.

15.

x = 2cos – 1     2 cos

1 x

x = 2sin + 3     2 sin

3 y

Eşitliklerin karesini alıp taraf tarafa toplarsak 4 cos

) 1 x

( ²

 



2 2

4 sin ) 3 y

(  







 



 2 2 2 2

sin 4 cos

) 3 y ( ) 1 x (

(x + 1)² + (y – 3)² = 4

Cevap C’dir.

16.

O 4

x + y = 4 4

–4

x

İstenen bölge x² + y² = 16 çemberinin iç bölgesin- de ve x + y = 4 doğrusunun üst kısmında kalan bölgelerin kesişimidir.

Taralı alan =

2 4 . 4 4 4 . ²

 

= 8

4 16 .

3 

= 4

Cevap C’dir.

1

(10)

7 2 5

1.

Merkezi M(5,–2) olan ve yarıçapı 4 birim olan

çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) (x + 5)² + (y – 2)² = 16 B) (x + 5)² + (y – 2)² = 4 C) (x – 5)² + (y + 2)² = 16 D) (x – 5)² + (y + 2)² = 4 E) (x – 5)² + (y – 2)² = 25

2.

Merkezi M(3,–1) noktası olan çember, A(2,4) ve B(8,k) noktalarından geçtiğine göre, k nın ala- bileceği değerler çarpımı kaçtır?

A) –4 B) –2 C) 0 D) 2 E) 4

3.

x = –2 ve x = 10 doğrularına teğet olan ve mer- kezi y – x + 2 = 0 doğrusu üzerinde yer alan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) (x + 4)² + (y + 6)² = 100 B) (x + 4)² + (y – 2)² = 64 C) (x + 2)² + (y – 4)² = 16 D) (x – 4)² + (y – 2)² = 16 E) (x – 4)² + (y – 2)² = 36

4.

A(4,1) noktası veriliyor. AT doğrusu denklemi (x + 7)² + (y + 2)² = 36

olan çembere T noktasında teğettir.

Buna göre, AT kaç birimdir?

A) 10 B) 94 C) 9

D) 73 E) 2 15

5.

x² + y² – 6x – 2y – 71 = 0

çemberinin A(8,13) noktasına en kısa uzaklığı kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6.

(m + 1)x² + (n – 2)y² + (2m – n + 7)xy + 25 = 0 denklemi bir çember belirttiğine göre, m kaç- tır?

A) –4 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1

7.

A(–3,–1) ve B(7,5), bir çapının uç noktaları olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) (x – 2)² + (y + 6)² = 25 B) (x – 2)² + (y – 2)² = 34 C) (x + 3)² + (y + 1)² = 42 D) (x + 3)² + (y – 2)² = 48 E) (x – 2)² + (y – 5)² = 25

8.

Merkezi M(–2,4) olan ve y eksenine teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) x² + y² + 2x + 4y + 4 = 0 B) x² + y² – 2x + 4y + 16 = 0 C) x² + y² – 4x + 8y + 12 = 0 D) x² + y² + 4x – 8y + 16 = 0 E) x² + y² + 8x – 4y + 4 = 0

K ^{O N U} T E K R A R T ^{E S T}

(11)

9.

x² + y² – 6x – 12y + 25 = 0

çemberi ile merkezi aynı olan ve 3x + 4y = 3 doğrusuna teğet olan çemberin yarıçapı kaç bi- rimdir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

10.

Merkezi 3x + 4y = 28 doğrusu üzerinde yer alan ve 1. bölgede eksenlere teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

11.

A = {(x,y): (x – 2)² + (y – 3)²  49

(x – 2)² + (y – 3)²  9, (x, y)  IR²} ile verilen bölgenin alanı kaç birim karedir?

A) 40 B) 35 C) 29

D) 21 E) 16

12.

(x – 3)² + (y – 4)² = 25

çemberinin, üzerindeki P(7,7) noktasından geçen teğetinin denklemi aşağıdakilerden han- gisidir?

A) 2x + 3y = 35 B) 3x + 4y = 49 C) 3x – 4y = –7 D) 4x – 3y = 7 E) 4x + 3y = 49

13.

O B(–6,4)

A x

y

Şekilde AOB üçgeninin çevrel çemberi verilmiştir.







90 ) ABO (

m , B(–6,4)

verilenlere göre, çemberin merkezinin apsisi kaçtır?

A) –6 B) 3

13 C) –4 D) 3

10 E) –3

14.

Denklemleri,

(x – 3)² + (y – 7)² = 81 (x + 2)² + (y + k)² = 16

olan çemberler dıştan teğet olduğuna göre, k nın pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

15.

x² + y² = 100 çemberine P(–8, –6) noktasından çizilen teğetin y eksenini kestiği noktasının or- dinatı kaçtır?

A) –25 B)

4

75 C)

3

50

D) 8

75 E)

2

25

16.

(x + 2)² + (y – 1)² = 20 çemberinin bir çapı [AB] dir.

A(0,5) olduğuna göre, B aşağıdakilerden han- gisidir?

A) (–1, –4) B) (–3, –1) C) (–3, –2) D) (–4, –1) E) (–4, –3)