BÖLÜM V SİNÜZOİDAL KARARLI DURUM GÜÇ HESAPLARI

BÖLÜM V

SİNÜZOİDAL KARARLI DURUM GÜÇ HESAPLARI

Bir önceki bölümde, sinüzoidal kaynakla beslenen elektrik devrelerindeki kararlı durum voltajlarını ve akımlarını hesapladık. Bu bölümde ise amacımız, bir kararlı durum (steady-state (SS)) sinüzoidal işlem için güç hesabı yapmaktır (Örneğin, gönderilen veya çekilen ortalama güç hesabı gibi). Bu sayede bir elektrikli aletin (jeneratör, motor, fırın vs.), gerilim ve akım değerleri dikkate alınarak ne kadar bir güçle çalışabileceğini belirleyeceğiz.

v

Şekil 5.1: Güç hesabının kullanıldığı bir devreye ait kapalı kutu

Şekil 5.1’de gerilimi ve akım, SS sinüzoidal sinyallerdir. Böylece zamanın her hangi bir anında güç ifadesi;

p vi . (5.1)

İlk olarak gerilim ve akım ifadelerini yazacak olursak;

cos( )

m v

v V wt  (5.2)

cos( )

m i

i I wt  . (5.3)

Sinüzoidal durumda çalıştığımızdan, t = 0 referansı oluşturmak işlem kolaylığı sağlar. Bu yüzden gerilim ve akım işaretlerini _i kadar öteleyecek olursak gerilim, akım ve anlık güç ifadeleri sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilir.

cos( )

m v i

v V wt    (5.4)

cos( )

i I m wt (5.5)

cos( )cos( )

m m v i

p V I wt    wt (5.6)

Denklem (5.6)’da yer alan güç ifadesinde

1 1

cos cos cos( ) cos( )

2 2

        trigonometrik fonksiyon kullanılarak (  wt   _{v i},   wt) aşağıdaki güç ifadesi elde edilir.

cos( ) cos(2 )

2 2

m m m m

v i v i

V I V I

p     wt    (5.7)

Denklem (5.7)’de ise cos(  ) cos cos   sin sin  trigonometrik ifadesi kullanılarak anlık güç ifadesi:

cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )

2 2 2

m m m m m m

v i v i v i

V I V I V I

p     wt    wt   (5.8)

5.1 Ortalama ve Reaktif Güç

Denklem (5.8), aşağıdaki gibi yazılacak olur ise;

cos(2 ) sin(2 )

p P P  wt Q wt (5.9)

burada cos( )

2

m m

v i

P  V I   ortalama gücü ve sin( ) 2

m m

v i

Q  V I   ise reaktif gücü temsil eder.

Ortalama güç (Reel güç);

1 ^o

o

t T

P t pdt

T





burada T, sinüzoidal fonksiyonun periyodu.

 cos(2 )wt ve sin(2 )wt ifadelerinin bir periyottaki ortalaması sıfır olacağından. Ortalama güç (reel güç) (Denklem (5.10)’dan);

cos( )

2

m m

v i

P  V I   olur.

 Anlık gücün frekansı, voltaj veya akım frekansının iki katı olur. Anlık güç 2 tur (cycle) yaparken, voltaj veya akım 1 tur yapar. Anlık güç her bir turda bir kısmı negatif olabilir (devre pasif olsa bile). Tam pasif devrelerde negatif güç, indüktör veya kapasitörde depolanan enerjinin (gücün negatif olduğu sürece) çekildiği (harcandığı) anlamına gelir. Devrenin SS işleminde anlık güç zamanla değiştiğinden bazı motorla sürülen aletlerin (buzdolabı) titrememesi için sabit monte edilmeleri gerekir.

 Eğer terminaller arasındaki devre saf rezistif ise voltaj ve akım aynı fazdadır yani _v _i’dir.

 Bu durumda anlık reel güç;

cos(2 )

p P P  wt (5.11)

 Reel güç terimi, gücün elektrikten elektrik olmayan başka bir forma dönüştürüldüğünü açıklamak için kullanılır.

 Saf rezistif devrelerde elektrik enerjisi termal enerjiye dönüşür.

 Denklem (5.11)’den, anlık reel gücün her zaman pozitif olduğunda görülür. Buda saf rezistif devrelerden güç çekilemeyeceği anlamına gelir.

 Eğer uçlar arasındaki devre saf indüktif ise, voltaj ve akım 90^ ile farklı fazlardadır. Özelde, akım voltajı 90^ geriden takip eder.  _i  _v 90^’dır ve

v i 90

   ^’olur.

 Bu durumda anlık güç;

sin(2 ) 2

V Im m

p   wt olur.

 Saf indüktif devrelerde ortalama güç 0’dır. Bu sebeple, saf indüktif devrelerde elektrikten, elektrik olmayan forma bir dönüşüm gerçekleşmez. Saf indüktif devrelerde uçlardaki anlık güç, devre ile devreyi süren kaynak arasında salınır. p  0 ise, indüktif elemana ilişkin manyetik alanda enerji depolanır. p  0 ise; indüktif elemanın manyetik alanından enerji çekilir.

 Eğer devre saf kapasitif ise;  _v   _i 90 sin(2 )

2 V Im m

p  wt olur.

 Ortalama güç sıfır (0) olur. Elektrikten, elektrik olmayan forma dönüşüm olmaz. Saf kapasitif devrede, güç devreyi süren kaynak ile kapasitif elemana ilişkin elektrik alan arasında salınır.

 Saf indüktif ve kapasitif devrelere ilişkin güce Reaktif güç denir.

indüktör ve kapasitörlere reaktif elemanlar denir, çünkü SS analizde C ve L’nin empedansı reaktanslar ile ifade edilir.

 Anlık gücün genel tanımında; sin(2 )wt ’nin katsayısı (Denklem (5.9)) reaktif güç olarak tanımlanır ve;

 Reaktif güç;

sin( ) 2

m m

i

Q  V I v

cos(2 ) sin(2 ) p P P  wt Q wt

 Reaktif gücü diğer güçlerden ayırt etmek için “var (volt amps reactive)”

birimi kullanılır. Çünkü pve Q birim boyutundadır.

v i

   Güç faktörü açısı cos( _v  _i)  Güç faktörü sin( _v  _i)  Reaktif faktör.

Örnek 5.1:

V

Şekil 5.2: Örnek 5.1’e ait devre

Şekildeki devrede, V 100cos(wt  15 ) V ve i  4sin(wt  15 ) A olduğuna göre;

a) Şekildeki devrede ortalama gücü ve reaktif gücü hesaplayınız.

b) Kutu içindeki devre (network) ortalama gücü alıyor mu (absorbing), gönderiyor mu (delivering)?

c) Kutu içindeki devre, reaktif (magnetizing VARs) gücü alıyor mu, gönderiyor mu?

Cevap:

a) i  4cos(wt 105 ) A

1 (100)(4)cos[15 ( 105)] 100

P  2     W

1 (100)(4)sin[15 ( 105)] 173.21

Q  2    VAR

b) P  100W  olduğundan kutu içindeki devre uçlara güç gönderiyor. 0

c) Q 173.21 0 olduğundan, kutu içindeki devre uçlarındaki reaktif gücü alıyor.

5.2 RMS Değeri ve Güç Hesapları

cos( ) R

m v

V wt q +

Şekil 5.3: Direnç terminallerine sinüzoidal gerilim kaynağı uygulanması Şekil 5.3’den görüldüğü gibi R’ye sinüzoidal bir voltaj uygulanırsa R’ye

gönderilen gücü RMS değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.

2 cos (2 ) 1 ^o

o

t T m v

t

V wt

P dt

T R



 





R T^{ }  ^

 



Böylece;

2

VRMS

P  R (5.13)

Eğer akım ifadesi I , sinüzoidal verilmiş ise;

2

P I RMSR

RMS değer, ayrıca sinüzoidal voltaj kaynağının etkin (effective) değeri olarak da isimlendirilir.

Böylece ortalama ve reaktif güç RMS veya efektif değer kullanılarak aşağıdaki gibi ifade edilir.

Ortalama güç:

cos( )

2

m m

v i

P  V I   cos( )

2 2

m m

v i

V I  

 

V I_{eff eff} cos( _v  _i) (5.14)

Reaktif güç:

sin( )

eff eff v i

Q V I   (5.15)

5.3 Kompleks Güç

Komplek güç, ortalama ve reaktif gücün toplamıdır.

S  P jQ (5.16)

burada S, kompleks güç ve birimi volt-amps (VA) P, ortalama güç ve birimi watt (W).

Q ise reaktif güç ve birimi volt amper reaktif (VAR).

Kompleks gücün genliği yani S , görünür güç (apparent power) olarak bilinir.

P S Q

v i

q - q

Şekil 5.4: Güç üçgeni

Şekil 5.4’de yer alan güç üçgeni kullanılarak kompleks güç Denklem (5.17)’deki gibi elde edilir.

cos( ) sin( )

2 2

m m m m

v i v i

V I V I

S     j  





2

m m

v i v i

S  V I    j  

( )

2

v i

m m j

S  V I e ^{ }

2

m m

v i

S  V I    

eff eff v i

S V I     (5.17)

V

Şekil 5.5: Fazör akım ve gerilimin terminallere uygulanması

Şekil 5.5’den görüldüğü gibi fazör domeninde akım ve gerilimin terminallere uygulanması durumunda, kompleks güç ifadesi fazör domeninde aşağıdaki gibi ifade edilir.

1 *

S  2 VI  P jQ (5.18)

* eff eff

S  V I  P jQ (5.19)

Örnek 5.2: V 100 15 V  ve I   4 105 A olduğuna göre kompleks güç;

Cevap:

* 1

(100 15 )(4 105 )

eff eff 2

S  V I     

200 120

  

100 j173.21VA

   olarak bulunur.

Örnek 5.3:

a) Maksimumu 625 V olan sinüzoidal voltaj kaynağı 50’luk bir direncin uçlarına uygulanırsa R’ye gönderilen ortalama gücü bulunuz.

b) a’yı akımı bularak tekrarlayınız.

Cevap:

a) ⁶²⁵ 441.94

eff 2

V   V

2 441.94

3906.25 50

Veff

P W

 R  

b) 625 50 12.5

Im   , ^12.5 8,84

rms 2

I   A, P  (I_eff )²R  (8.84) 50 3906.25²  W

Örnek 5.4:

250 0 V_rms

1W j W4

39W 26 j W VL I_L

Kaynak Hat Yük

Şekil 5.6: Örnek 5.4’e ait devre a) I V_L, _L  ?

b) Ortalama ve reaktif gücü (yüke gönderilen) hesaplayınız.

c) Ortalama ve reaktif gücü (hatta gönderilen) hesaplayınız.

d) Kaynaktan sağlanan ortalama ve reaktif gücü hesaplayınız.

Cevap:

a) 250 0

4 3 5 36.87 ( ).

40 30

IL j A rms

j

      



 

(39 26) 234 13 234.36 3.18 ( )

L L

V   j I   j    V rms b) S V I _{L L}^*  (234 j13)(4 j3) 975  j650VA

c) P  (5) (1) 25²  W (5) (4) 1002

Q   VAR

d) S_s  25 j100 975  j650 1000  j750VA (Yük+hat)

Örnek 5.5: Elektrik yükü 240 V (rms)’de işlem görüyor. Yük 8 kW ortalama güç alıyor ve güç faktörü = 0.8’dir. (lagging)

a) Yükün kompleks gücünü hesaplayınız.

b) Yükün empedansını hesaplayınız.

Cevap:

a) Güç faktörü (lagging) geriden gelen yük olduğundan yük indüktiftir ve reaktif gücün işareti pozitiftir.

cos P  S 

sin Q  S 

cos  0.8 ve sin  0.6 olur.

8 10

cos 0.8

P kW

S kVA

   

10sin 6

Q    kVAR ve

8 6

L

P Q

S   j kVA

b)

2 2

* 240

4.608 3.456 5.76 36.87 8000 6000

Z V j

P jQ j

      

 

 

4.608 3.456 5.76 36.87

Z   j     ^

Örnek 5.6: 3 paralel yükün bulunduğu devre şöyle açıklanmaktadır. Yük 1, 8 kW ortalama güç çekiyor (absorbing) ve geriden gelen (lagging) güç faktörü 0.8. Yük 2, 20 kVA çekiyor ve ileri giden (leading) güç faktörü 0.6’dır. Yük 3 ise; Z₃  2.5 j5.0’luk bir empedans. Kaynak frekansı 60 Hz ise V t_s( ) için SS denklemini çıkarınız.

250 0 V_rms L₁ L₂ L₃ 0.05W j0.5W

VS I₁ I₂ I₃

Şekil 5.7: Örnek 5.6’e ait devre

Cevap:

Yük 1 için;

8000 10000

cos 0.8

S P

   

S  P jQ 250I₁^*  8000 j6000

*

1 32 24 ( )

I   j A rms

1 32 24 ( )

I   j A rms Yük 2 için;

20000 S 

cos 20000 0.6 12000

P  S   x 

sin 20000 0.8 16000

Q  S   x 

*

250I2 12000  j16000

*

2 48 64 ( )

I   j A rms

2 48 64 ( )

I   j A rms Yük 3 için;

3

250 20 40 ( ) 2.5 5

I j A rms

 j  



KCL kullanılarak kaynaktan çekilen akım ise;

1 2 3 100 0 ( )

IS    I I I  j A rms

KVL kullanılarak kaynak gerilimi ise;

250 (0.05 0.5)100 255 50 259 11.09 ( )

VS    j   j   ^V rms

( ) 2(259.86)cos(2 60 11.09 ) 367.49cos(377 11.09 )

V tS   t  ^  t  ^ V  

Örnek 5.7:

V_S

1W j W2

12W 16 -j W

V2 I_x 39I_x

I1 I₂

1W j W3

V1 V₃

Şekil 5.8: Örnek 5.7’e ait devre 150 0

s   V

V ^ , V₁  (78 j104)V , V₂  (72  j104)V , V₃  (150 j130)V ,

1   ( 26 j52) A

I , I₂   ( 24 j58) A, I_x   ( 2 j A6) .

a) Şekildeki devrede her bir empedansa gönderilen ortalama ve reaktif gücü hesaplayınız.

b) Devrede kaynaklara ilişkin ortalama ve reaktif gücü hesaplayınız.

c) Ortalama gönderilen gücün ortalama absorbe edilen güce ve gönderilen reaktif gücün absorbe edilen reaktif güce eşit olduğunu gösteriniz.

Cevap:

a) ₁ 1 _{1 1}^* _{1 1} S  2 V I  P jQ

1 (78 104)( 26 52) 1690 3380

2 j j j VA

     

*

2 2 2 2

1

2 ^x

S  V I  P  jQ

1

(72 104)( 2 6) 240 320

2 j j j VA

     

*

3 3 2 3 3

1

S  2 V I  P jQ

1(150 130)( 24 58) 1970 5910

2 j j j VA

     

b) 1 ₁^*

s 2 s s s

S   V I  P jQ (S_s, V_s ile ilişkin güç) 1 (150)( 26 52) 1950 3900

2 j j VA

     

* 2

1(39

x 2 x x x

S   I )I  P  jQ

1( 78 234)( 24 58) 5850 5070

2 j j j VA

       

Bağımlı kaynak hem P_x’i hem de Q_x’i gönderiyor. Çünkü P_x  0 ve Q_x  0.

Not: Pozitif güç değerleri; absorbing (alıyor). Negatif güç değerleri; delivering (veriyor).

c) P_absorbed  P P_{1 2}  P₃ P_s  5850W

delivered x 5850

P  P  W

1 3 9290

absorbed

Q  Q Q  VAR

2 320 3900 5070 9290

delivered s x

Q  Q Q Q     VAR

5.4 Maksimum Güç Transferi

Bilgi, elektrik işareti olarak iletildiği durumda yüke mümkün olduğunca yüksek güçle gönderilmesi önemlidir.

Zth

ZL

Vth I

a

b

Şekil 5.9: Maksimum güç transferini tanımlayan bir devre

Maksimum ortalama gücün transfer edile için yük empedansının, thevenin eşdeğer empedansının kompleks eşleniğine eşit olması gerekir.

Z  Z* (5.20)

burada Z_th  R_th  jX_th ve Z_L  R_L  jX_L’dir Şekil 5.9’da yük akımının rms değeri;

0

( ) ( )

th

th L th L

I V

R R j X X

 

  



(5.21)

Böylece Z_L’ye gönderilen ortalama güç;

2

P  I RL (5.22)

Denklem (5.21) kullanılarak, Denklem (5.22) aşağıdaki gibi yeniden yazılır.

2

2 2

( ) ( )

th L

th L th L

V R

P  R R X X

   (5.23)

burada V R_th, _th ve X_th sabittir. R_L ve X_L ise bağımsız değişkendir.

Bu nedenle, P’yi yani gücü maksimize edebilmek için R_L ve X_L’değerlerini bulmamız gerekir. Bu yüzden P’nin R_L ve X_L’ye göre kısmi türevleri alınarak sonuçları sıfıra eşitlenir.

2

2 2 2

2 ( )

( ) ( )

th L L th

L th L th L

V R X X

dP

dX R R X X

 

     

(5.24)

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) 2 ( )

( ) ( )

th th L th L L L th

L th L th L

V R R X X R R R

dP

dR R R X X

 

       

     

(5.25)

Sonuç olarak

0 _{L th}

L

dP X X

dX     (5.26)

2 2

0 _{L th} ( _{L th}) _th

L

dP R R X X R

dR       (5.27)

Yani maksimum güç için

*

L th

Z  Z (5.28)

burada Z_L  R_L  jX_L ve Z_th  R_L  jX_L’dır.

Böylece maksimum ortalama güç aşağıdaki gibi elde edilir.

* 2

th th

th th L

V V

I  Z Z  R

 (5.30)

2

max 4

th L

P V

 R (5.31)

 Burada anlatılan maksimum güç transferi Z_L  Z_th^* içindir. Eğer Z_L yeni RL ve X_L sınırlı aralıklarda bir değerde sınırlandırılırsa, R_L’nin

2 ( )2

th L th

R  X  X ’ye yakınlaştırılması, X_L’nin X_th’a yakınlaştırılması gerekir.

 Saf rezistif devrelerde maksimum güç, R_L  R_th’ta olur.

Örnek 5.8:

5W

20 0 V ^ 20W Z_L

a

b

3 j W

6 - Wj

Şekil 5.10: Örnek 5.8’e ait devre

a) Z_L’ye maksimum güç transferi yapılabilmesi için Z_L’yi belirleyiniz.

b) Belirlenen Z_L’ye transfer edilen maksimum gücü bulunuz.

Cevap:

a) ^{16 0} ( 6) 19.2 53.13

4 3 6

Vth j

j j

       

 

11.52 j15.36V (iki defa kaynak dönüşümü yapıldıktan sonra) ( 6)(4 3)

5.76 1.68

4 3 6

th

j j

Z j

j j

 

   

 

Maksimum güç transferinin yapılabilmesi için; Z_L  Z_th^*  5.76 j1.68 Devreden akım ifadesi;

19.2 2

1.1785 2(5.76)

Ieff   A olarak bulunur.

Böylece transfer edilen maksimum güç; P I _eff² (5.76) 8 W

Örnek 5.9:

10 0 V_rms

3000W j4000W

RL

jXC

-

Şekil 5.11: Örnek 5.9’a ait devre

a) Maksimum güç transferi için yük empedansı Z_L’yi bulunuz. Bu durumda maksimum gücü hesaplayınız.

b) R_L, 0 ile 4000 arasında değişebiliyor. X_C ise 0 ile 2000 arasında değişebiliyor. Maksimum güç transferi için R_L ve X_L ne olmalıdır.

Cevap:

a) R_L  3000, X_C  4000

* 3000 4000

L th

Z  Z   j 

1 102

4 4 3000 8.33

th L

P V mW

 R   .

b) X_L’yi 4000’e en yakın değere kurarız, O da X_L  2000’dur.

2 ( )2 (3000)2 ( 2000 4000)2

L th L th

R  R  X  X    

3605,55

RL   olarak bulunur. Bulunan bu değer, verilen sınırlar içinde olduğundan doğrudan kullanılabilir.

Bu durumda Z_L  3605.55 j2000 olur ve böylece maksimum güç;

10 0 1.4489 16.85 6605.55 2000

eff mA

j

    

I 

 

2 3 2

( _eff ) _L (1.4489 10 ) (3605.55) 7.567

P  I R  x ^  mW olarak bulunur.

Dikkat: b’de bulunan güç değeri, a’da bulunandan küçük ama yakın bir değerdir.

Örnek 5.10: Bir önceki örnekteki devrede yük empedansının 36.87 ’ye sabitlenmiş bir faz açısı vardır. Z_L’nin genliği verilen (fazda) sınırlarda maksimum enerjiye göre değişiyor.

a) Z_L’yi dikdörtgen formda belirleyiniz.

b) Z_L’ye gönderilen ortalama gücü bulunuz.

Cevap:

a) Z_L  Z_th  3000 j4000 5000  5000 36.87 4000 3000 ZL       j 

b) ¹⁰ 1.4142 8.13

7000 1000

eff mA

 j    

I 

(1.4142 10 ) 4000 83 2

P  x ^  mW

 Anlık güç;

P   , (Pozitif işaret, akımın referans yönü voltajın pozitif değerinden Vi negatif referans polaritesine doğru olduğunda kullanılır.)

 Ortalama veya gerçek güç, bir periyottaki ortalama güçtür. Bu güç elektrik formdan, elektrik olmayan forma dönüşen güçtür (veya tam tersi). Bu sebeple ortalama güce, reel (gerçek) güç denir.

1 cos( )

2 ^{m m v i}

P  V I  

cos( )

eff eff v i

V I  

 

 Reaktif güç, bir indüktörün manyetik alanı ile kapasitörün elektrik alanı arasında salınan elektrik gücüdür. Reaktif güç asla elektrik formadan elektrik olmayan forma dönüşmez.

1 sin( )

2 ^{m m v i}

Q  V I  

sin( )

eff eff v i

V I  

 

 Güç faktörü (pf) voltaj ve akım arasındaki faz açısının kosinüsüdür.

cos( _{v i}) pf   

Akım gerilimden önde ise (leading) “önde pf”, geride ise (lagging) “geride pf” denir.

 Reaktif faktör (rf);

sin( _{v i}) rf   

 Kompleks güç;

S  P jQ

1 ^{* *}

2 ^{eff eff}

 VI  V I

2 2

* eff eff

I Z V

  Z

 Görünen (Apparent) güç;

2 2

S  P Q

 Anlık ve reel gücün birimi Watt’dır. Reaktif gücün birimi VAR (voltamp reaktif), kompleks ve görünen gücün birimi VA (volt amp)’dir.

Kaynak

J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall.