4 0 7
1. ÜSTEL FONKSİYON
a R+ ve a 1 olmak üzere f: R R+, f(x) = ax biçi- minde tanımlı fonksiyona üstel fonksiyon denir.
f(x) = 2x
olduğuna göre f(–2) yi bulunuz?
ÇÖZÜM
f(x) = 2x f(–2) = 22
f(–2) = 1 4 tür.
ÜSTEL FONKSİYONUN GRAFİĞİ
1) a > 1 için
x –2
y = ax 0
2 1 a
+
– –1 0 1 2
1 a
1 a a2 +
x y
1 a
y = ax
(a > 1)
0 1
2) 0 < a < 1 için
x –1
y = ax
+
– 0
1 a
+
+ 1
1
x y
1 a
y = ax
(0 < a < 1)
a 1
y = 3-x+ 1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
ÇÖZÜM
2 4 3
1
y3x1
2. LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) = ax şeklinde tanımlanan f:R R+ tanımlı üstel fonksiyon bire bir ve örtendir. Buna göre f: RRşeklinde ters fonksiyonu vardır. Bu ters fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.
aR+ ve a 1 olmak üzere f:R R+, y = f(x) = ax x = logay
f1: R+ R, y = f (x)1 log xa dir.
Buna göre,
y = loga x x =ay
y = logax fonksiyonunda yR sayısına xR+ sayısının a tabanına göre logaritması denir.
log216 = y 2y = 16 y = 4 log3x = 2 32 = x
x = 9 loga125 =3 a3 = 125
a = 5 tir.
Logaritma
5. BÖLÜM
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
log7(3x-8) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz?
ÇÖZÜM
Negatif sayıların ve sıfırın logaritması olmadığı için 3x – 8 > 0 8
x3
log5(2x – 1) + log3 (7 – x)
fonksiyonunun en geniş tanım aralığının bulunuz?
ÇÖZÜM 2x 1 0 x 1
2 7x0x7
1 x 7
2
y = logaf(x) fonksiyonu için 1) f(x)>0
2) a > 0 ve a 1 3) loga a = 1 4) loga 1= 0
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
y = logax in grafiği, y = ax in grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir.
a > 1 için y
1 a 1
0 < a < 1 için
1 1
3. BAYAĞI (ONLUK) LOGARİTMA FONKSİYONU
Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna bayağı logarit- ma fonksiyonu denir.
10 tabanına göre logaritmada, genellikle taban yazıl- maz.
y = log10x = logx tir.
4. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
1 1 1 1
e 1
1! 2! 3! 4!
Sayısının yaklaşık değeri
e2,71828182845 tir.
Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir.
y= logex = lnx tir.
5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
1. loga1 = 0
2. logaa = 1
3. loga(b.c) = logab + logac (b, cR)
Çarpımın logaritması çarpanların logaritmaları top lamına eşittir.
4. a b a a
log = log b - log c c
Bölümün logaritması pay ve paydanın logaritmaları farkına eşittir.
5. log b = n.log ba n a
6. alog ba = b
7. Taban değiştirme Kuralı:
a 1, b 1 ve a, b, cR+ olmak üzere,
b a a
log c log c =
log b dir.
ÖRNEK
ÖRNEK
4 0 9
8. a
b
log b = 1
log a
dir.
9. n m
a a
log b =mlog b n
Örnekler:
a) lne + in5 = In(e.5) = In(5e) b) log 100 =log 1010 2=2log 1010 =2 c) log 0,001 = log10103= 3 d) log69+log64 =log6(9.4)
= log636= log662 = 2 e) log28=log223 =3 f) 2loga – 3logb + 5logc
= loga2 + logc5 – logb3
=
2 5 3
a c
log b
g) 5log57= 7
h) 4 10
10
log 5 log5 log 5
log 4 log4
ı) 3 7 3 3
3
log 9 log 7 log 9 log 7
log 7
2
log 33 2
j) 5
12
log 12 1
log 5
k) log23 . log37. log78 = log27. log78
= log28 =log223=3
logab . logb.c= logac
6. LOGARİTMALI VE ÜSLÜ DENKLEMLER
aR+ ve a 1, f(x) >0, g(x) > 0 olmak üzere
a a
log f(x) = log g(x) f(x) = g(x) tir.
log3(3 –x) = 2log3(x –1)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) {–1, 2} B) {–1} C) {2}
D) {3} E) {2, 3}
ÇÖZÜM
log3(3 – x) = 2log3(x – 1)
log3(3 –x) = log (x3
3 – x = x2 – 2x + 1
x2 – x – 2 = 0
x = 2, x = –1
x = – 1 için x –1< 0 olduğundan Ç = {2} dir.
Cevap C’dir.
4x – 3.2x+2 + 35 = 0
denkleminin köklerini bulunuz?
ÇÖZÜM
4x – 3.2x+2 + 35 = 0 (2x)2 – 12 . 2x + 35 = 0
(2x – 5) . (2x – 7) = 0
2x = 5 veya 2x = 7 dir.
Eşitsizliklerin her iki tarafının 2 tabanında logaritması alınır.
x
2 2 1 2
x
2 2 2 2
log 2 log 5 x log 5
log 2 log 7 x log 7
2 6
log x 4 log x
denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) {2, 4} B) 1
16,4
C) 1 10,100
D) 1
10,100
E) 1
,1000 10
ÇÖZÜM
logx2 – 4 = 6 logx
2logX – 6
- 4 = 0 logx
2logx2 – 4logx – 6 = 0
logx2 – 2logx – 3 = 0
(logx – 3) . (logx + 1) = 0
logx = 3 veya logx = –1
X = 103 veya x =10-1 Ç =
{
101 ,1000}
Cevap E’dir.
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
7. ONLUK LOGARİTMA
Bir sayının 10 tabanına göre logaritması ondalık bir sayıdır. Bu sayının tam kısmına karakteristik ondalık kısmına mantis denir.
log10x = log (10k. m) = k + logm
Burada k sayısına logx in karakteristiği, logm ye de mantisi denir.
Örnek:
log2000 sayısının karakteristiğini ve mantisini bulalım.
log2000 = log(2.103 )= 3 + log2
= 3 + 0,30103
İse log2000 sayısının karakteristiği 2 mantisi 0,30103 tür.
1 den büyük bir sayının logaritmasının karakte- ristiği bu sayının tam kısmındaki basamak sayısının 1 eksiğidir.
Örnek:
5 basamak
log( 54993 ,052) sayısının karakteristiği, 5 – 1 = 4 tür.
log(0,025) sayısının karakteristiği ve mantisini bulu- nuz?
ÇÖZÜM
log(0,025) = log(25.10–-3)
= –3 + log(25)
= –3 + 1,39794
= –3 + 1 + 0,39794
= –2 + 0,39794
= 2,39794
0 ile 1 arasındaki bir sayının karakteristiği sayının ondalık olarak yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın sol tarafında kalan bütün sıfırların sayısının negatif işaretlisidir.
Örnek;
log(0,001305) sayısının karakteristiğini bulalım.
0, 00 1305
{
3 tane
Sayının karakteristiği –3 tür.
8. KOLOGARİTMA
xR+ olmak üzere 1
x sayısının logaritmasına x in kologaritması denir ve cologx şeklinde gösterilir.
Cologx= 1
log = -log tir.x x
Logx = 2, 17609 ise cologx i hesaplayalım.
ÇÖZÜM
Cologx = –logx = –(2,17609)
= –(–2 + 0,17609)
= (2 – 0,17609)
Mantis negatif olmaz. Bu yüzden ifadeye 1 ekleyip 1 çıkarırız.
= 2 – 0,17609 + 1 – 1
= 1 + 0,82391 = 1,82391
9. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
1) a > 1 ve f(x) > 1 ise logaf(x) > 0 2) a > 1 ve 0 < f(x) < 1 ise logaf(x) < 0 3) 0 < a < 1 ve f(x) > 1 ise logaf(x) < 0 4) 0 < a < 1 ve 0 < f(x) < 1 ise logaf(x) > 0
olur.
log2 (3x – 4) < 1
log2(3x – 4) < log22
0 < 3x – 4 < 2 4 1 3x2
1 3
log (2x + 5) < –2
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz?
ÇÖZÜM
log31(2x 5) 2
–log3 (2x+5) < –2
log3 (2x+5) > 2 2x + 5 > 32
2x+5 > 9 x >2 olur.
Ç = {xI x > 2 , xR}
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
4 1 1
10. k
y= x EĞRİSİ ALTINDAKİ ALANIN HESABI
X1 X2
A
y k(k 0)
x
2 2
a
1 1
x x
A k.ln log
x x
Buradaki a tabanı k ya bağlıdır.
1
ae2 dir. 1
A
3 9
y =3 x
Şekildeki taralı alanın ölçüsünü bulunuz?
ÇÖZÜM
A = k.In 2
1
x x
A = 3.In 9 3
A = 3In3 = In27 birim karedir.
Yandaki şekilde verilen taralı bölge- nin alanı kaç birim karedir?
A 6 4
y 8 x
A) 4 + 6In6 B) In6 C) 6 + 4In
D) 8 + 8 In3 E) 8 + 4In3
ÇÖZÜM
A1
6
4 8
yx
A2
2
4 8 x 2
x dir.
A = A1 + A2 = 2.4 + 8. In 6 2
= 8 + 8 In3
Cevap D’dir.
10 = a log 2
10 = b log 3
olduğuna göre log 72 nin a ve b türünden değeri 10 aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2b – 3a B) 3a – b C) 3a – 2b
D) 3a + 2b E) 2a + 3b
ÇÖZÜM
10 = a
log 2 ve 72 = 23 . 32
10 = b log 3
log1072=log10(233 )2 =log1023log1032
= 3log102 2log 103= 3a + 2b
Cevap D’dir.
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
1.
log318 – log36 + log93ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 B) 2 C) 2
3 D) 1 E)
2
1
2.
log3[log2(log5x)] = 0olduğuna göre, x in değeri kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 5 D) 25 E) 125
3.
logb a = 3 loga2b = 0
olduğuna göre a nın değeri kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 10 D) 100 E) 500
4.
log y . log z . log xy z x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
1 B)
2
1 C) 4 D) 2 E) 1
5.
loga + 3logb – 5logcifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) log 5c
3b .
a B) log
5 3
c b .
a C) log
c b . a
D) 15log c
b .
a E)
3 5 log
5 2
a b . c
6.
log5(24!) = aolduğuna göre, log5(25!) kaçtır?
A) 25a B) a + 25 C) a + 2
D) 2a E) a
7.
ln(eSinx) = 2 1denklemini sağlayan x değeri nedir?
A) ,3 6
B)
,3 4
C)
6 ,5 6
D) , 2 E) 0, 2
8.
log(logxm) – log(logxn)ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi- dir?
A) log n log
m
log B) log m . log n C) log n m
D) log m .n E) n m
9.
3log3 (log4(2x5) = 2 olduğuna göre, x kaçtır?A) 2
7 B)
2
9 C)
2
11 D)
2 13 E)
2 15
10.
2log(x21) . 5log(x21) = 3olduğuna göre, bu denklemi sağlayan x lerin toplamı kaçtır?
A) –3 B) –1 C) 0 D) 2 E) 4
Ç Ö Z Ü M L Ü T E S T
4 1 3
11.
log(2x + 1) – log(3) < log 5eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) x < 7 B) x < 5
C) x < 4 D) 1
x 7
2 E) 1
x 4
2
12.
(log3x)2 – log3x – 6 = 0denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
9 B) 1
3 C) 1 D) 3 E) 9
13.
log34 = xolduğuna göre, log2 9 nedir?
A) 1
x B) 2
x C) 4
x D) x E) 2x
14.
log34.log56.log45 = log3(3x + 1) eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?A) 5
3 B) 4
3 C) 1 D) 2
3 E) 1
3
15.
log x = 3,01olduğuna göre, log x ifadesinin eşiti aşağı-5 3 dakilerden hangisidir?
A) 2,23 B) 2,22 C) 1,22
D) 1,33 E) 2,34
16.
log4(4x).logx4 = 3 ise x değeri kaçtır?A) 1
3 B) 1
2 C) 0 D) 1 E) 2
17.
log45 = m ise log20 4 ifadesinin değeri kaçtır?A) 1
1 m B) 1
1 m C) 1 – m
D) 1 + m E) 2m
18.
4 4
16 y
x f(x) = logax
Yandaki grafik f(x) fonksiyonuna ait olduğuna göre, f(64) ün değeri kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 1
2 E) 1
4
19.
x y
1 e3
y = 3 x
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç birim kare- dir?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
20.
x y
x1 x2 S1 S2
y = k x y = 2
x
Şekildeki S2 alanı 8 birim kare ise S1 alanı kaç birim karedir?
A) 4(k + 1) B) k + 4
C) 4k – 1 D) 4(k – 1)
E) 4(k 2)
1.
log318 – log36 + log93 = log 3 6log 18 32
= log33 + 2 1log33
= 1 + 2 1 =
2
3 bulunur.
Cevap C’dir.
2.
log3[log2(log5x)] = 0 log2(log5x) = 30 = 1 log5x = 21 x = 52 = 25 bulunur.
Cevap D’dir.
3.
log ba = 3 103 b
a ve loga2b = 0 a2 . b = 100
a2 . b = 1
b = 1
10 a a 10
a
3 2
3 a3 = 103 a = 10 Cevap C’dir.
4.
log xy . logy z . log zx = log x log12xx x
= log x 2 2
1 1
x
Cevap D’dir.
5.
loga + 3logb – 5logc = loga + logb3 – logc5= 5
3
c b .
loga bulunur.
Cevap B’dir.
6.
log5(24!) = a log5(25!) = log5(25 . 24!) log525 + log524! log5(25!) = log552 + a = 2 + a
bulunur.
Cevap C’dir.
7.
ln(eSinx) = x 6 2 Sinx 1 2 e 1 ln . 2 Sinx 1
1
veya x = 6 5 olur.
Cevap C’dir.
8.
log(logxm) – log(logxn)= mn log
logx xm
x log
x
log log n
=
n
log m bulunur.
Cevap C’dir.
9.
3log3 (log4(2x5) = 2 log4(2x + 5) = 2 2x + 5 = 42 = 16 2x = 11 x = 2 11 bulu- nur.
Cevap C’dir.
10.
2log(x21) . 5log(x21) = 3 (2.5)log(x21)3 10log(x21)= 3 x2 – 1 = 3 x2 = 4
x1 = –2, x2 = +2 x1 + x2 = 0
Cevap C’dir.
11.
log 2x 1 log5 3
ve 2x + 1 > 0 2x 1
3
< 5 2x > –1
2x + 1 < 15 x > 1
2 2x < 14
x < 7 bulunur.
O halde, 1
x 7
2 bulunur.
Cevap D’dir.
Ç Ö Z Ü M L E R
4 1 5
12.
log3x = a olsun.(log3x)2 – log3x – 6 = 0
2
3 2
a a 6 0
a = 3, a = –2
log3x = 3 x = 33 = 27 log3x = –2 x = 3–2 = 1
9 bulunur.
Cevap A’dır.
13.
log34 = x = log322 = 2.log32 log32 = x 2 log29 = log232 = 2log23 = 2.3
1 1
2.x log 2
2
= 2 2.x
= 4
x bulunur.
Cevap C’dir.
14.
log34.log56.log45 = log3(3x + 1) log34.log46 = log3(3x + 1) log36 = log3(3x + 1) 6 = 3x + 1x 5
3 bulunur.
Cevap A’dır.
15.
3
5 3 3
logx log x ( 3 0,05)
5 5
= 3 ( 2,95) 5
= 3 295
5 100
= –1, 77
= –1 – 0,77 + 1 – 1
= –2 + 0, 23
= 2,23 olur.
Cevap A’dır.
16.
log4x log4.log4 3 logx log4x
log x 3
logX 4x = 3
4x = x3 x3 – 4x = 0
x(x2 – 4) = 0
x 0 ve x 2 (logaritmanın tanımından) x = 2 bulunur.
Cevap E’dir.
17.
204 4
1 1
log 4
log 20 log (4.5)
=
4 4
1 1
log 4 log 51 m
Cevap B’dir.
18.
f(x) = logax f(16) = loga16 = 4 16 = a4 a = 2 bulunur.
f(64) = log264 = log226 = 6 olur.
Cevap A’dır.
19.
Taralı alan = 3.lne3= 3.3
= 9 br2
Cevap D’dir.
20.
S2 = 2 ln 21
x 8
x
ln 2
1
x 4
x
S1 + S2 = k 2
1
Inx x
S1 = (k – 1) In 2
1
x x
= 4(k – 1)
Cevap D’dir.
1. loga 2 = 1, logab = 8 olduğuna göre logb4
kaçtır?
A) 1
4 B) 1
2 C) 1 D) 2 E) 4
2. 9 3
5 8
log 25log 4 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0 B) 1
3 C) 2
3 D) 1 E) 2
3. 5
49 7
log 7 .log 49 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 5
4 B) 4
3 C) 3 D) 5 E) 20
4. x = 9 3 olduğuna göre xlog 43 kaçtır?
A) 27 B) 32 C) 36 D) 54 E) 64
5. loga 30 – loga 6 + loga 2 = 1 olduğuna göre a kaçtır?
A) 3 B) 5 C) 6 D) 10 E) 12
6. log365
6 x olduğuna göre x kaçtır?
A) 2 B) 4
3 C) 2 D) 5 E) 5
7. log 243 + log27 24327 toplamı kaçtır?
A) 3
5 B) 5
3 C) 34
15 D) 17
15 E) 15
34
8.
a
log ab 7
6 olduğuna göre log b3a ifadesi neye eşittir?
A) 1 B) 3
2 C) 2 D) 3 E) 4
9. log2 3 = a ve log2 5 = b olduğuna göre
log 15 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a 1 a b
B) a b b 1
C) b 1 a b
D) a b 1 b
E) a b a 1
10.
1 3
a log 1
2 b = log3 2 c = log2 3
sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) c < a < b B) a < b < c C) a = c < b D) a = b < c E) b < a = c
K O N U T E K R A R T E S T İ
4 1 7
11. 3
log8 =
a olduğuna göre,
log 0,25 ifadesinin a türünden değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?
A) 1
a B) 2
a C) a
4 D) 2
a E) 1
a
12. 1 2
log 32 ifadesinin değeri kaçtır?
A) –5 B) –3 C) 1 D) 2 E) 5
13. log 3 = x olduğuna göre,
log 300 değerinin x türünden değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?
A) x3 B) x2 +2 C) x2 D) 2 + x E) 2 – x
14. log4 64b = 8 olduğuna göre b kaçtır?
A) 3
8 B) 3
7 C) 3 D) 5 E) 8
3
15. log 3 = m log 21 = n olduğuna göre,
log 49 değerinin m ve n türünden değeri aşağı- dakilerden hangisidir?
A) 2n
m B) 2(n – m) C) 2n – m
D) n + m E) 2m – n
16. log 8 = a olduğuna göre,
log 125 ifadesinin a türünden değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?
A) 3 B) 3a C) a D) 3 + a E) 3 – a
17. f(x) = logk (3x – 5) fonksiyonu veriliyor.
f(3) = 2 eşitliğine göre k değeri kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
18. log43 = x olduğuna göre,
log4 48 değerinin x türünden değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?
A) x B) x + 1 C) x + 2 D) x – 1 E) x – 2
19. x – y = 8 olduğuna göre,
log2 (x2 – y2) – log2 (x + y) ifadesinin sonucu kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 8
20. x = log 2 olduğuna göre, log 1
5 değerinin x türünden değeri aşağıdakiler- den hangisidir?
A) x B) x + 1 C) 1 – x D) x – 1 E) 2x + 1