• Sonuç bulunamadı

ÖRNEK. y = fonksiyonunun grafiğini çizelim. ÇÖZÜM. a R + ve a 1 olmak üzere f:r R +, y = f(x) = a x. f : R + R, y = Buna göre,

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "ÖRNEK. y = fonksiyonunun grafiğini çizelim. ÇÖZÜM. a R + ve a 1 olmak üzere f:r R +, y = f(x) = a x. f : R + R, y = Buna göre,"

Copied!
11
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

4 0 7

1. ÜSTEL FONKSİYON

a  R+ ve a  1 olmak üzere f: R  R+, f(x) = ax biçi- minde tanımlı fonksiyona üstel fonksiyon denir.

f(x) = 2x

olduğuna göre f(–2) yi bulunuz?

ÇÖZÜM

f(x) = 2x  f(–2) = 22

 f(–2) = 1 4 tür.

ÜSTEL FONKSİYONUN GRAFİĞİ

1) a > 1 için

x –2

y = ax 0

2 1 a

+

– –1 0 1 2

1 a

1 a a2 +

x y

1 a

y = ax

(a > 1)

0 1

2) 0 < a < 1 için

x –1

y = ax

+

– 0

1 a

 +

+ 1

1

x y

1 a

y = ax

(0 < a < 1)

a 1

y = 3-x+ 1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

ÇÖZÜM

2 4 3

1

y3x1

2. LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = ax şeklinde tanımlanan f:R  R+ tanımlı üstel fonksiyon bire bir ve örtendir. Buna göre f: RRşeklinde ters fonksiyonu vardır. Bu ters fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.

aR+ ve a  1 olmak üzere f:R  R+, y = f(x) = ax  x = logay

f1: R+  R, y = f (x)1 log xa dir.

Buna göre,

y = loga x  x =ay

y = logax fonksiyonunda yR sayısına xR+ sayısının a tabanına göre logaritması denir.

log216 = y  2y = 16  y = 4 log3x = 2  32 = x

 x = 9 loga125 =3  a3 = 125

 a = 5 tir.

Logaritma

5. BÖLÜM

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

(2)

log7(3x-8) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz?

ÇÖZÜM

Negatif sayıların ve sıfırın logaritması olmadığı için 3x – 8 > 0  8

x3

log5(2x – 1) + log3 (7 – x)

fonksiyonunun en geniş tanım aralığının bulunuz?

ÇÖZÜM 2x 1 0 x 1

   2 7x0x7

1 x 7

2 

y = logaf(x) fonksiyonu için 1) f(x)>0

2) a > 0 ve a  1 3) loga a = 1 4) loga 1= 0

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

y = logax in grafiği, y = ax in grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir.

a > 1 için y

1 a 1

0 < a < 1 için

1 1

3. BAYAĞI (ONLUK) LOGARİTMA FONKSİYONU

Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna bayağı logarit- ma fonksiyonu denir.

10 tabanına göre logaritmada, genellikle taban yazıl- maz.

y = log10x = logx tir.

4. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

1 1 1 1

e 1

1! 2! 3! 4!

        Sayısının yaklaşık değeri

e2,71828182845 tir.

Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir.

y= logex = lnx tir.

5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

1. loga1 = 0

2. logaa = 1

3. loga(b.c) = logab + logac (b, cR)

Çarpımın logaritması çarpanların logaritmaları top lamına eşittir.

4. a b a a

log = log b - log c c

 

 

 

Bölümün logaritması pay ve paydanın logaritmaları farkına eşittir.

5. log b = n.log ba n a

6. alog ba = b

7. Taban değiştirme Kuralı:

a  1, b  1 ve a, b, cR+ olmak üzere,

b a a

log c log c =

log b dir.

ÖRNEK

ÖRNEK

(3)

4 0 9

8. a

b

log b = 1

log a

dir.

9. n m

a a

log b =mlog b n

Örnekler:

a) lne + in5 = In(e.5) = In(5e) b) log 100 =log 1010 2=2log 1010 =2 c) log 0,001 = log10103= 3 d) log69+log64 =log6(9.4)

= log636= log662 = 2 e) log28=log223 =3 f) 2loga – 3logb + 5logc

= loga2 + logc5 – logb3

=

2 5 3

a c

log b

  

 

 

 

g) 5log57= 7

h) 4 10

10

log 5 log5 log 5

log 4 log4

 

ı) 3 7 3 3

3

log 9 log 7 log 9 log 7

log 7

  

2

log 33 2

 

j) 5

12

log 12 1

log 5

k) log23 . log37. log78 = log27. log78

= log28 =log223=3

logab . logb.c= logac

6. LOGARİTMALI VE ÜSLÜ DENKLEMLER

aR+ ve a  1, f(x) >0, g(x) > 0 olmak üzere

a a

log f(x) = log g(x) f(x) = g(x) tir.

log3(3 –x) = 2log3(x –1)

denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {–1, 2} B) {–1} C) {2}

D) {3} E) {2, 3}

ÇÖZÜM

log3(3 – x) = 2log3(x – 1)

 log3(3 –x) = log (x3 

 3 – x = x2 – 2x + 1

 x2 – x – 2 = 0

 x = 2, x = –1

x = – 1 için x –1< 0 olduğundan Ç = {2} dir.

Cevap C’dir.

4x – 3.2x+2 + 35 = 0

denkleminin köklerini bulunuz?

ÇÖZÜM

4x – 3.2x+2 + 35 = 0 (2x)2 – 12 . 2x + 35 = 0

 (2x – 5) . (2x – 7) = 0

 2x = 5 veya 2x = 7 dir.

Eşitsizliklerin her iki tarafının 2 tabanında logaritması alınır.

x

2 2 1 2

x

2 2 2 2

log 2 log 5 x log 5

log 2 log 7 x log 7

  

  

2 6

log x 4 log x

 

denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {2, 4} B) 1

16,4

 

 

 

C) 1 10,100

 

 

 

D) 1

10,100

 

 

  E) 1

,1000 10

 

 

 

ÇÖZÜM

logx2 – 4 = 6 logx

 2logX – 6

- 4 = 0 logx

 2logx2 – 4logx – 6 = 0

 logx2 – 2logx – 3 = 0

 (logx – 3) . (logx + 1) = 0

 logx = 3 veya logx = –1

X = 103 veya x =10-1 Ç =

{

101 ,1000

}

Cevap E’dir.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

(4)

7. ONLUK LOGARİTMA

Bir sayının 10 tabanına göre logaritması ondalık bir sayıdır. Bu sayının tam kısmına karakteristik ondalık kısmına mantis denir.

log10x = log (10k. m) = k + logm

Burada k sayısına logx in karakteristiği, logm ye de mantisi denir.

Örnek:

log2000 sayısının karakteristiğini ve mantisini bulalım.

log2000 = log(2.103 )= 3 + log2

= 3 + 0,30103

İse log2000 sayısının karakteristiği 2 mantisi 0,30103 tür.

1 den büyük bir sayının logaritmasının karakte- ristiği bu sayının tam kısmındaki basamak sayısının 1 eksiğidir.

Örnek:

5 basamak

log( 54993 ,052) sayısının karakteristiği, 5 – 1 = 4 tür.

log(0,025) sayısının karakteristiği ve mantisini bulu- nuz?

ÇÖZÜM

log(0,025) = log(25.10–-3)

= –3 + log(25)

= –3 + 1,39794

= –3 + 1 + 0,39794

= –2 + 0,39794

= 2,39794

0 ile 1 arasındaki bir sayının karakteristiği sayının ondalık olarak yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın sol tarafında kalan bütün sıfırların sayısının negatif işaretlisidir.

Örnek;

log(0,001305) sayısının karakteristiğini bulalım.

0, 00 1305

{

3 tane

Sayının karakteristiği –3 tür.

8. KOLOGARİTMA

xR+ olmak üzere 1

x sayısının logaritmasına x in kologaritması denir ve cologx şeklinde gösterilir.

Cologx= 1

log = -log tir.x x

Logx = 2, 17609 ise cologx i hesaplayalım.

ÇÖZÜM

Cologx = –logx = –(2,17609)

= –(–2 + 0,17609)

= (2 – 0,17609)

Mantis negatif olmaz. Bu yüzden ifadeye 1 ekleyip 1 çıkarırız.

= 2 – 0,17609 + 1 – 1

= 1 + 0,82391 = 1,82391

9. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

1) a > 1 ve f(x) > 1 ise logaf(x) > 0 2) a > 1 ve 0 < f(x) < 1 ise logaf(x) < 0 3) 0 < a < 1 ve f(x) > 1 ise logaf(x) < 0 4) 0 < a < 1 ve 0 < f(x) < 1 ise logaf(x) > 0

olur.

log2 (3x – 4) < 1

 log2(3x – 4) < log22

 0 < 3x – 4 < 2  4 1 3x2

1 3

log (2x + 5) < –2

eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz?

ÇÖZÜM

 log31(2x 5)   2

 –log3 (2x+5) < –2

 log3 (2x+5) > 2  2x + 5 > 32

 2x+5 > 9  x >2 olur.

 Ç = {xI x > 2 , xR}

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

(5)

4 1 1

10. k

y= x EĞRİSİ ALTINDAKİ ALANIN HESABI

X1 X2

A

y k(k 0)

x

2 2

a

1 1

x x

A k.ln log

x x

   

    

   

Buradaki a tabanı k ya bağlıdır.

1

ae2  dir. 1

A

3 9

y =3 x

Şekildeki taralı alanın ölçüsünü bulunuz?

ÇÖZÜM

A = k.In 2

1

x x

 

 

 

 A = 3.In 9 3

 

 

 

 A = 3In3 = In27 birim karedir.

Yandaki şekilde verilen taralı bölge- nin alanı kaç birim karedir?

A 6 4

y 8 x

A) 4 + 6In6 B) In6 C) 6 + 4In

D) 8 + 8 In3 E) 8 + 4In3

ÇÖZÜM

A1

6

4 8

yx

A2

2

4 8 x 2

x  dir.

A = A1 + A2 = 2.4 + 8. In 6 2

 

 

 

= 8 + 8 In3

Cevap D’dir.

10 = a log 2

10 = b log 3

olduğuna göre log 72 nin a ve b türünden değeri 10 aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2b – 3a B) 3a – b C) 3a – 2b

D) 3a + 2b E) 2a + 3b

ÇÖZÜM

10 = a

log 2 ve 72 = 23 . 32

10 = b log 3

 log1072=log10(233 )2 =log1023log1032

= 3log102 2log 103= 3a + 2b

Cevap D’dir.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

(6)

1.

log318 – log36 + log93

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 B) 2 C) 2

3 D) 1 E)

2

1

2.

log3[log2(log5x)] = 0

olduğuna göre, x in değeri kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 5 D) 25 E) 125

3.

log

b a = 3 loga2b = 0

olduğuna göre a nın değeri kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 10 D) 100 E) 500

4.

log y . log z . log x

y z x

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4

1 B)

2

1 C) 4 D) 2 E) 1

5.

loga + 3logb – 5logc

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) log 5c

3b .

a B) log

5 3

c b .

a C) log

c b . a

D) 15log c

b .

a E)

3 5 log

5 2

a b . c

6.

log5(24!) = a

olduğuna göre, log5(25!) kaçtır?

A) 25a B) a + 25 C) a + 2

D) 2a E) a

7.

ln(eSinx) = 2 1

denklemini sağlayan x değeri nedir?

A) ,3 6

 B)

,3 4

 C)

6 ,5 6

D) , 2 E) 0, 2

8.

log(logxm) – log(logxn)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) log n log

m

log B) log m . log n C) log n m

D) log m .n E) n m

9.

3log3 (log4(2x5) = 2 olduğuna göre, x kaçtır?

A) 2

7 B)

2

9 C)

2

11 D)

2 13 E)

2 15

10.

2log(x21) . 5log(x21) = 3

olduğuna göre, bu denklemi sağlayan x lerin toplamı kaçtır?

A) –3 B) –1 C) 0 D) 2 E) 4

Ç Ö Z Ü M L Ü T E S T

(7)

4 1 3

11.

log(2x + 1) – log(3) < log 5

eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

A) x < 7 B) x < 5

C) x < 4 D) 1

x 7

2  E) 1

x 4

2 

12.

(log3x)2 – log3x – 6 = 0

denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1

9 B) 1

3 C) 1 D) 3 E) 9

13.

log34 = x

olduğuna göre, log2 9 nedir?

A) 1

x B) 2

x C) 4

x D) x E) 2x

14.

log34.log56.log45 = log3(3x + 1) eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 5

3 B) 4

3 C) 1 D) 2

3 E) 1

3

15.

log x = 3,01

olduğuna göre, log x ifadesinin eşiti aşağı-5 3 dakilerden hangisidir?

A) 2,23 B) 2,22 C) 1,22

D) 1,33 E) 2,34

16.

log4(4x).logx4 = 3 ise x değeri kaçtır?

A) 1

3 B) 1

2 C) 0 D) 1 E) 2

17.

log45 = m ise log20 4 ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1

1 m B) 1

1 m C) 1 – m

D) 1 + m E) 2m

18.

4 4

16 y

x f(x) = logax

Yandaki grafik f(x) fonksiyonuna ait olduğuna göre, f(64) ün değeri kaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 1

2 E) 1

4

19.

x y

1 e3

y = 3 x

Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç birim kare- dir?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

20.

x y

x1 x2 S1 S2

y = k x y = 2

x

Şekildeki S2 alanı 8 birim kare ise S1 alanı kaç birim karedir?

A) 4(k + 1) B) k + 4

C) 4k – 1 D) 4(k – 1)

E) 4(k  2)

(8)

1.

log318 – log36 + log93 = log 3 6

log 18 32

 

= log33 + 2 1log33

= 1 + 2 1 =

2

3 bulunur.

Cevap C’dir.

2.

log3[log2(log5x)] = 0  log2(log5x) = 30 = 1

 log5x = 21  x = 52 = 25 bulunur.

Cevap D’dir.

3.

log b

a = 3  103 b

a ve loga2b = 0  a2 . b = 100

 a2 . b = 1

 b = 1

10 a a 10

a

3 2

3     a3 = 103  a = 10 Cevap C’dir.

4.

log xy . logy z . log zx = log x log12x

xx

= log x 2 2

1 1

x

Cevap D’dir.

5.

loga + 3logb – 5logc = loga + logb3 – logc5

= 5

3

c b .

loga bulunur.

Cevap B’dir.

6.

log5(24!) = a  log5(25!) = log5(25 . 24!)

 log525 + log524!  log5(25!) = log552 + a = 2 + a

bulunur.

Cevap C’dir.

7.

ln(eSinx) =

x 6 2 Sinx 1 2 e 1 ln . 2 Sinx 1

1



veya x = 6 5 olur.

Cevap C’dir.

8.

log(logxm) – log(logxn)

= mn log

logx xm

x log

x

log log  n



=

 

 n

log m bulunur.

Cevap C’dir.

9.

3log3 (log4(2x5) = 2  log4(2x + 5) = 2

 2x + 5 = 42 = 16  2x = 11  x = 2 11 bulu- nur.

Cevap C’dir.

10.

2log(x21) . 5log(x21) = 3  (2.5)log(x21)3

 10log(x21)= 3  x2 – 1 = 3  x2 = 4

 x1 = –2, x2 = +2  x1 + x2 = 0

Cevap C’dir.

11.

log 2x 1 log5 3

  

 

  ve 2x + 1 > 0 2x 1

3

 < 5 2x > –1

2x + 1 < 15 x > 1

2 2x < 14

x < 7 bulunur.

O halde, 1

x 7

2  bulunur.

Cevap D’dir.

Ç Ö Z Ü M L E R

(9)

4 1 5

12.

log3x = a olsun.

(log3x)2 – log3x – 6 = 0

2

3 2

a a 6 0

  

a = 3, a = –2

log3x = 3  x = 33 = 27 log3x = –2  x = 3–2 = 1

9 bulunur.

Cevap A’dır.

13.

log34 = x = log322 = 2.log32  log32 = x 2 log29 = log232 = 2log23 = 2.

3

1 1

2.x log 2

2

= 2 2.x

= 4

x bulunur.

Cevap C’dir.

14.

log34.log56.log45 = log3(3x + 1) log34.log46 = log3(3x + 1) log36 = log3(3x + 1) 6 = 3x + 1

x 5

3 bulunur.

Cevap A’dır.

15.

3

5 3 3

logx log x ( 3 0,05)

5 5

   

= 3 ( 2,95) 5 

= 3 295

5 100

 

 

 

= –1, 77

= –1 – 0,77 + 1 – 1

= –2 + 0, 23

= 2,23 olur.

Cevap A’dır.

16.

log4x log4

.log4 3 logx  log4x

log x 3

logX 4x = 3

4x = x3  x3 – 4x = 0

 x(x2 – 4) = 0

x  0 ve x  2 (logaritmanın tanımından) x = 2 bulunur.

Cevap E’dir.

17.

20

4 4

1 1

log 4

log 20 log (4.5)

 

=

4 4

1 1

log 4 log 51 m

 

Cevap B’dir.

18.

f(x) = logax  f(16) = loga16 = 4

 16 = a4  a = 2 bulunur.

f(64) = log264 = log226 = 6 olur.

Cevap A’dır.

19.

Taralı alan = 3.lne3

= 3.3

= 9 br2

Cevap D’dir.

20.

S2 = 2 ln 2

1

x 8

x

 

 

 

 ln 2

1

x 4

x 

S1 + S2 = k 2

1

Inx x

 

 

 

S1 = (k – 1) In 2

1

x x

 

 

 

= 4(k – 1)

Cevap D’dir.

(10)

1. loga 2 = 1, logab = 8 olduğuna göre logb4

kaçtır?

A) 1

4 B) 1

2 C) 1 D) 2 E) 4

2. 9 3

5 8

log 25log 4 ifadesinin değeri kaçtır?

A) 0 B) 1

3 C) 2

3 D) 1 E) 2

3. 5

49 7

log 7 .log 49 ifadesinin değeri kaçtır?

A) 5

4 B) 4

3 C) 3 D) 5 E) 20

4. x = 9 3 olduğuna göre xlog 43 kaçtır?

A) 27 B) 32 C) 36 D) 54 E) 64

5. loga 30 – loga 6 + loga 2 = 1 olduğuna göre a kaçtır?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 10 E) 12

6. log365

6 x olduğuna göre x kaçtır?

A) 2 B) 4

3 C) 2 D) 5 E) 5

7. log 243 + log27 24327 toplamı kaçtır?

A) 3

5 B) 5

3 C) 34

15 D) 17

15 E) 15

34

8.

a

log ab 7

6 olduğuna göre log b3a ifadesi neye eşittir?

A) 1 B) 3

2 C) 2 D) 3 E) 4

9. log2 3 = a ve log2 5 = b olduğuna göre

log 15 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) a 1 a b

 B) a b b 1

 C) b 1 a b

 D) a b 1 b

 E) a b a 1

10.

1 3

a log 1

 2 b = log3 2 c = log2 3

sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) c < a < b B) a < b < c C) a = c < b D) a = b < c E) b < a = c

K O N U T E K R A R T E S T İ

(11)

4 1 7

11. 3

log8 =

a olduğuna göre,

log 0,25 ifadesinin a türünden değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) 1

a B) 2

a C) a

4 D) 2

a E) 1

a

12. 1 2

log 32 ifadesinin değeri kaçtır?

A) –5 B) –3 C) 1 D) 2 E) 5

13. log 3 = x olduğuna göre,

log 300 değerinin x türünden değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) x3 B) x2 +2 C) x2 D) 2 + x E) 2 – x

14. log4 64b = 8 olduğuna göre b kaçtır?

A) 3

8 B) 3

7 C) 3 D) 5 E) 8

3

15. log 3 = m log 21 = n olduğuna göre,

log 49 değerinin m ve n türünden değeri aşağı- dakilerden hangisidir?

A) 2n

m B) 2(n – m) C) 2n – m

D) n + m E) 2m – n

16. log 8 = a olduğuna göre,

log 125 ifadesinin a türünden değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) 3 B) 3a C) a D) 3 + a E) 3 – a

17. f(x) = logk (3x – 5) fonksiyonu veriliyor.

f(3) = 2 eşitliğine göre k değeri kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

18. log43 = x olduğuna göre,

log4 48 değerinin x türünden değeri aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) x B) x + 1 C) x + 2 D) x – 1 E) x – 2

19. x – y = 8 olduğuna göre,

log2 (x2 – y2) – log2 (x + y) ifadesinin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 8

20. x = log 2 olduğuna göre, log 1

5 değerinin x türünden değeri aşağıdakiler- den hangisidir?

A) x B) x + 1 C) 1 – x D) x – 1 E) 2x + 1

Referanslar

Benzer Belgeler

Bankamızın bağlı ortaklıklarından Halk Sigorta A.Ş., Halk Hayat ve Emeklilik A.Ş., Halk Yatırım Menkul Değerler A.Ş., Halk Banka A.D., Skopje, Halk Gayrimenkul Yatırım

Ticari kredi kullandırımında verimlilik odaklı olarak faaliyetlerimize devam edeceğimiz bu dönemde, iç talebi canlandırmaya yönelik bireysel

Cari açık 2016 yılı ortalamasının üzerinde seyreden petrol fiyatları ve turizm gelirlerinde devam eden azalışa bağlı olarak son dönemde yükselişe geçmiştir. Petrol

Şirket, 31 Aralık 2017 tarihi itibariyle bilançosunu, 31 Aralık 2016 tarihi itibariyle hazırlanmış bilançosu ile; 1 Ocak - 31 Aralık 2017 hesap dönemine ait kar veya zarar ve

- TFRS 10 “Konsolide Finansal Tablolar”; 1 Ocak 2013 tarihinde veya sonrasında başlayan yıllık raporlama dönemleri için geçerlidir.. Standart bir kontrol modeli oluşturmuş

6102 sayılı Türk Ticaret Kanunu Uyarınca, Ege Gübre Sanayii Anonim Şirketi’nin (“Şirket”) 31 Aralık 2015 tarihi itibariyle hazırlanan yıllık faaliyet raporu içinde yer

Şirket’in doğrudan ve dolaylı olarak toplam oy haklarının %20’nin altında olduğu veya %20’nin üzerinde olmakla birlikte önemli bir etkiye sahip olmadığı veya

Ödül alan fotoğraflar sergi dışında çeşitli yöntemlerle çoğaltılmış olarak yarışma sergisinde ve sergi duyurusunda, ayrıca Nuh Naci Yazgan Üniversitesi düzenleyeceği