TARIM BILIMLERI DERGISI 2002, 8 (3) 238-241
Varyanslar
ı
n Heterojen Olmas
ı
Durumunda K-
İ
statisti
ğ
i (KANOVA)
ile ANOVA F Testinin Gerçekle
ş
en 1.Tip Hata Olas
ı
l
ı
klar
ı
Bak
ı
m
ı
ndan Kar
şı
la
ş
t
ı
r
ı
lmas
ı
Mehmet MENDEŞ1
Geli ş Tarihi : .07.01.2002
Özet: Bu çalışmada K-istatistiği ile ANOVA F testinin 50000 simülasyon denemesi sonunda gerçekleşen 1.Tip hata olasılıkları bakımından karşılaştırılması yapılmıştır. Yapılan karşılaştırmalar sonunda, K-istatistiğinin, özellikle
örneklerde 10 ve daha fazla gözlemin bulunması durumlarında ANOVA F testine göre bir çok deneme koşulunda daha iyi sonuçlar verdiği gözlenmiştir. Ancak bu testin.küçük gözlem kombinasyonlarından oldukça olumsuz yönde etkilendiği ve bu olumsuz etkinin ise özellikle grup sayısı ve varyansların heterojenliğinin artmasına paralel olarak daha da belirginleştiği görülmüştür.
Anahtar Kelimeler: varyansların heterojenliği, 1.Tip hata olasılığı, KANOVA, varyans analizi
The Comparison of K-Statistic (KANOVA) with ANOVA F Test in Terms of
Actual Type I Error Rate When Variances are Heterogeneous
Abstract: In this study, K statistic was compared with ANOVA F test in terms of realized type I error rate at the end of 50000 simulation trials. At the end of these comparisons-under various experimental conditions it was observed that K statistic is better than ANOVA F test particularly when each groups have ten or more observations. However, K statistic was affected negatively by small observation combinations. This negative effect was more evident particularly when number of groups and heterogeneity of variance were increased
Key Words: heterogeneity of variance , Type I error rate, KANOVA, analysis of variance
Giriş
Bilindiği üzere varyans analizi tekniği, başta biyoloji ve davranış bilimlerinde olmak üzere bir çok alanda bağımsız iki ve daha fazla grup ortalamaları arasındaki farkın irdelenmesinde en yaygın olarak kullanılan istatistik tekniğidir (Glass ve ark. 1972, Edgington 1974). Ancak üzerinde durulan özellik bakımından ele alınan grup ortalamaları arasındaki farkın irdelenmesinde bu•tekniğin kullanılabilmesi için elde edilen verilerde özellikle hata varyanslarının homojen olması gerekir (Brown-Forsythe 1974, Sokal ve Rholf 1995). Zira bu ön şart sağlanamadığı durumlarda bilinmeyen populasyon varyansının en iyi tahmini olan toplanmış varyansın (pooled variance) yani hata kareler ortalamasının hesaplanması doğru olmaz. Bu durumda da elde edilen sonuçların yorumlanmasında yanılgılara düşülür. Çünkü bu ön şartın yerine gelmemesi, deneme başında kararlaştırılan 1.Tip hata olasılığının deneme sonunda korunamamasına neden olmaktadır (Welch 1951, Zar 1999).
Uygulamalarda çoğu zaman üzerinde durulan özellik bakımından elde edilen verilerde varyansların homojenliği ön şartının sağlanamadığı durumlarla sık karşılaşı l-maktadır (Ghost ve Kim 2001). Bu gibi durumlar söz konusu olduğu zaman genellikle ya veriler uygun bir transformasyona tabii tutulur ya da varyans analizinin parametrik olmayan karşılığı olan Kruskal-Walis testi kullanılır. Ancak varyansların heterojen olması durumunda bu çözüm yollarına gitmek de her zaman iyi sonuçlar
' Ankara Üniv. Çankırı Orman Fak.-Çankırı
vermemektedir. Zira bilindiği gibi özellikle parametrik olmayan testlerin varyansların heterojen olması durumlarından olumsuz yönde etkilenmesi bir sakınca teşkil ederken, verilerin uygun bir transformasyona tabii tutulduktan sonra varyans analizi tekniğine başvurulması durumunda da elde edilecek sonuçların yorumlanmasında bazı sakıncalar ortaya çıkmaktadır. Çünkü elde edilen sonuçların yorumlanması gerçek veriler üzerinden değil de transformasyon sonucu elde edilen veriler üzerinden yapılmaktadır.
Varyansların homojenliği ön şartının sağlanamadığı durumlarda yukarıda bahsedilen iki çözüm yolu yerine, ANOVA F testinin yerine kullanılabilecek pek çok alternatif yaklaşım testi mevcuttur (Dijkstra ve Werter 1981). Bu testlerden birisi de özellikle muamele gruplarında 10 ve daha fazla gözlemin bulunması durumunda ANOVA F testine göre daha iyi sonuçlar veren K testi (KANOVA) dir. (Krutchkoff, 1988). Bu çalışmada K testinin değişik deneme koşullarında gerçekleşen 1.Tip hata olasılıkları bakımından ANOVA F testi ile karşılaştırılması yapılmıştır.
Materyal ve Yöntem
Bu çalışmanın materyalini Microsoft Fortran Developer Studio'nun IMSL kütüphanesinden üretilen tesadüf sayıları teşkil etmektedir (Anonymous 1994).
MENDEŞ, M. 'Varyansların heterojen olması durumunda K-istatistiği (KANOVA) ile ANOVA F testinin gerçekleşen 1. Tip hata
olasılıkları bakımından karşılaştırılması" 239
Çalışmada normal dağılım gösteren populasyonlardan tesadüfen alınan ve muhtelif gözlem kombinasyonları içeren 2,3 ve 4 grubun (örneğin) bulunması durumları dikkate alınmıştır. Çalışmada ele alınan grupların alınmış oldukları populasyonların varyans oranları, 2 grubun bulunması durumunda 1:2, 1:4 ve 1:9 şeklinde, 3 grubun bulunması durumunda 1:2:5, 1:3:9 ve 1:8:20 şeklinde ve 4 grubun bulunması durumunda ise, 1:2:3:4, 1:4:8:12 ve 1:8:16:24 şeklinde olduğu durumlar göz önünde tutulmuştur. Bu şekilde oluşturulan her deneme kombinasyonu 50000 defa tekrarlanmıştır. Bu çalışmada deneme başında kararlaştırılan 1.Tip hata olasılığı 0.05'dir.Gerekli olan hesaplamalar için FORTRAN programları yazılmıştır.
Yukarıda belirlenen populasyonlarda gözlem değerleri olarak kabul edilen tesadüf sayıları önce standardize edilmiştir. Böylece ele alınan populasyonların
dağılım şekilleri değiştirilmeden ortalamaları O, standart
sapmaları ise 1 olan dağılımlara dönüştürülmüştür. Bu populasyonların varyansları arasında bir heterojenliğin
sağlanabilmesi amacıyla üretilen tesadüf sayıları amaca
bağlı olarak belirli sabit sayılar ile çarpılmıştır. Böylece ele alınan populasyonların değişik varyans oranlarına sahip olması sağlanmıştır. Söz konusu testlerin gerçekleşen 1.Tip hata olasılıkları ise; 50000 simülasyon denemesi sonunda ret edilen Ho hipotezlerinin sayılıp %'ye çevrilmesi sonucu elde edilmiştir.
Varyansların homojenliği ön şartının sağlanamadığı durumlar için önerilen testlerden biri olan K-testi için test istatistiği aşağıdaki şekilde elde edilmiştir.
Her bir grubun ortalaması; - Z X..
XJ = (1)
şeklinde tarif edilir. Bu şekilde elde edilen grup
ortalamalarından yararlanılarak genel ortalama ise ; k 5< ini - i=1 -2 X= k ni i=1a. şeklindedir. Burada; K: grup sayısını
X ij : i. gruptaki j. gözlem değerini ni : i.gruptaki gözlem adetini
ı o.? o.nin ? 'nin tahminini göstermektedir. '
Bunlardan yararlanılarak bağımsız grup
ortalama-larını karşılaştırmak amacıyla kullanılabilecek K isfatistiği;
L
- /â1
K - (3)
(k -1)
şeklinde elde edilir ve bu istatistik yaklaşık olarak F(GASD ,
GISD) dağılıma sahiptir (Krutchkoff 1988). Burada GASD
gruplar arası serbestlik derecesini, GİSD ise gruplar içi serbestlik derecesini göstermektedir.
Bu şekilde hesaplanan K-istatistiğinde her bir â
yerine toplanmış varyans tahmini kullanıldığı zaman K-testi, F testine benzer. Yani âi yerine ortak bir hata varyansı kullanıldığı zaman K testi ile ANOVA F testi aynı olur. Bu durumda F testi ile K testi aynı sonucu vereceklerinden K testinde her bir
6i
için toplanmış varyans tahminleri değil de her bir grubun kendi varyansları kullanılmıştır.Bulgular ve Tartışma
ANOVA F ve K testinin göz önüne alınan deneme koşullarına bağlı olarak 50000 simülasyon deneme sonucunda gerçekleşen 1.Tip hata olasılıkları Çizelge 1, Çizelge 2 ve Çizelge 3'te topluca verilmiştir.
Çizelge 1 incelendiği zaman varyans oranları ne olursa olsun gruplarda eşit sayıda gözlemin bulunması durumunda her iki testin de gerçekleşen 1.Tip hata olasılıklarının eşit olduğu dikkati çekmektedir. Ancak gruplardaki gözlem sayıları farklılaştıkça bu iki testin birbirinden oldukça farklılaştıkları görülmektedir. Özellikle ele alınan gruplardaki gözlem sayıları ile bu grupların alınmış oldukları populasyonların varyansları arasında doğru eşleştirmenin (direct pairing) olması durumunda KANOVA'nın ele alınan bütün gözlem kombinasyonlarında kararlaştırılan 1.Tip hatayı %5 seviyesinde koruduğu görülmektedir. Buna karşın ANOVA F testi, doğru eşleştirmenin yapılması durumunda genel olarak %5`den küçük 1.Tip hata olasılıkları gerçekleştirmektedir. Gruplardaki gözlem sayıları ile populasyon varyansları arasında ters bir eşleştirmenin (inverse pairing) yapılması Çizelge 1. Iki normal populasyon için gerçekleşen 1.Tip hata
olasılıkları (a)
Varyans oran.;1:2 Varyans oran.;1:4 Varyans oran.;1:9 Gözlemler Anova F Kanova Anova F Kanova Anova F Kanova
2:2 0.0517 0.0517 0.0604 0.0604 0.0754 0.0754 3:3 0.0552 0.0552 0.0613 0.0613 0.0739 0.0739
4:4
0.0508 0.0508 0.0578 0.0578 0.0707 0.0707 5:5 0.0536 0.0536 0.0598 0.0598 0.0655 0.0655 10:10 0.0517 0.0517 0.0526 0.0526 0.0590 0.0590 15:15 0.0527 0.0527 0.0532 0.0532 0.0537 0.0537 20:20 0.0503 0.0503 0.0529 0.0529 0.0565 0.0565 25:25 0.0521 0.0521 0.0510 0.0510 0.0524 0.0524 30:30 0.0508 0.0508 0.0507 0.0507 0.0529 0.0529 2:4 0.0353 0.0581 0.0276 0.0523 0.0235 0.0493 3:5 0.0379 0.0523 0.0318 0.0490 0.0293 0.0541 5:10 0.0309 0.0523 0.0213 0.0502 0.0158 0.0503 5:15 0.0225 0.0590 0.0104 0.0525 0.0053 0.0508 10:15 0.0383 0.0507 0.0309 0.0505 0.0264 0.0540 10:30 0.0216 0.0568 0.0090 0.0506 0.0040 0.0501 20:30 0.0371 0.0502 0.0289 0.0509 0.0984 0.0556 4:2 0.0768 0.0957 0.1182 0.1235 0.1781 0.1558 5:3 0.0718 0.0734 0.1032 0.0906 0.1392 0.1045 10:5 0.0803 0.0692 0.1190 0.0795 0.1559 0.0864 15:5 0.0981 0.0812 0.1578 0.0904 0.2254 0.0974 15:10 0.0658 0.0541 0.0868 0.0594 0.1063 0.0661 30:10 0.0960 0.0635 0.1563 0.0688 0.2111 0.0702 30:20 0.0636 0.0493 0.0851 0.0549 0.0984 0.0556 ni (2)240 TARIM BILIMLERI DERGISI 2002, Cilt 8, Sayı 3
Çizelge 2. Üç normal populasyon için gerçekleşen 1.Tip hata olasılıkları (a)
Varyans oranları 1:2:5 Varyans oranları; 1:3:9 Varyans oranları; 1:8:20 Gözlemler Anova F Kanova Anova F Kanova Anova F Kanova
2:2:2 0.0625 0.1470 0.0738 0.1585 0.0820 0.1826 3:3:3 0.0644 0.1119 0.0756 0.1203 0.0790 0.1355 4:4:4 0.0640 0.0940 0.0719 0.0987 0.0754 0.1138 5:5:5 0.0640 0.0848 0.0708 0.0896 0.0724 0.0988 10:10:10 0.608 0.0867 0.0655 0.0667 0.0693 0.0736 15:15:15 0.0595 0.0610 0.0651 0.0616 0.0663 0.0652 20:20:20 0.0590 0.0584 0.0631 0.0570 0.0654 0.0606 25:25:25 0.0569 0.0543 0.0626 0.0562 0.0642 0.0577 30:30:30 0.0573 0.0534 0.0645 0.0560 0.0637 0.0560 2:3:4 0.0346 0.1058 0.0345 0.1047 0.0352 0.1095 3:5:8 0.0240 0.0847 0.0233 0.0831 0.0233 0.0818 5:10:15 0.0225 0.0681 0.0206 0.0647 0.0198 0.0652 5:10:25 0.0100 0.0738 0.0068 0.0693 0.0086• 0.0646 5:20:30 0.0157 0.0757 0.0134 0.0725 0.0133 0.0624 10:15:30 0.0165 0.0573 0.0136 0.0569 0.0154 0.0576 10:20:30 0.0206 0.0596 0.0191 0.0574 0.0193 0.0571 4:3:2 0.1147 0.1786 0.1462 0.1976 0.1689 0.2269 8:5:3 0.1372 0.1352 0.1739 0.1465 0.1963 0.1599 15:10:5 0.1448 0.0952 0.1789 0.1019 0.1917 0.1062 25:10:5 0.1919 0.1055 0.2465 0.1115 0.2886 0.1152 30:20:5 0.1937 0.1027 0.2477 0.1073 0.2632 0.1085 30:15:10 0.1419 0.0717 0.1707 0.0742 0.1973 0.0780 30:20:10 0.1402 0.0706 0.1766 0.0733 0.1823 0.0762
Çizelge 3. Dört normal populasyon için gerçekleşen 1.Tip hata olasılıkları (a)
Varyans oranları;1:2:3:4 Varyans oranları;1:4:8:12 Varyans oranları;1:8:16:24 Gözlemler Anova F Kanova Anova F Kanova Anova F Kanova 2:2:2:2 0.0591 0.2473 0.0725 0.2699 0.0791 0.2980 3:3:3:3 0.0589 0.1620 0.0728 0.1780 0.0781 0.2006 4:4:4:4 0.0578 0.1265 0.0696 0.1433 0.0721 0.1528 5:5:5:5 0.0576 0.1088 0.0705 0.1178 0.0726 0.1260 10:10:10:10 0.0574 0.0754 0.0662 0.0822 0.0696 0.0861 15:15:15:15 0.0583 0.0676 0.0674 0.0698 0.0671 0.0719 20:20:20:20 0.0597 0.0642 0.0659 0.0648 0.0670 0.0664 25:25:25:25 0.0580 0.0597 0.0671 0.0604 0.0662 0.0642 30:30:30:30 0.0572 0.0583 0.0631 0.0584 0.0644 0.0613 2:3:4:5 0.0330 0.1612 0.0306 0.1494 0.0313 0.1538 4:6:8:10 0.0331 0.0942 0.0292 0.0904 0.0299 0.0916 5:10:15:20 0.0246 0.0803 0.0221 0.0762 0.0213. 0.0741 5:15:25:30 0.0215 0.0835 0.0195 0.0726 0.0191 0.0693 10:15:20:25 0.0350 0.0604 0.0301 0.0650 0.0297 0.0653 15:20:25:30 0.0350 0.0604 0.0344 0.0618 0.0343 0.0593 5:4:3:2 0.1043 0.2293 0.1567 0.2708 0.1725 0.2833 10:8:6:4 0.1010 0.1224 0.1423 0.1291 0.1543 0.1408 20:15:10:5 0.1233 0.1015 0.1813 0.1091 0.1979 0.1129 30:25:15:5 0.1366 0.1053 0.2077 0.1083 0.2197 0.1089 25:20:15:10 0.0994 0.0740 0.1369 0.0757 0.1426 0.0788 30:25:20:15 0.0858 0.0645 0.1154 0.0680 0.1202 0.0678
durumunda ise her iki testin de genel olarak %5'ten daha büyük 1.Tip hata olasılıkları gerçekleştirdikleri, ancak KANOVA'nın kararlaştırılan 1.Tip hata olasılığını nispeten daha iyi koruduğu gözlenmektedir.
Çizelge 2 incelendiğinde, varyans oranları 1:2:5 ve gruplarda eşit sayıda gözlemin bulunması durumunda ANOVA F testinin genel olarak %5.69-6.44 arasında, KANOVA'nın ise %5.34-14.7 arasında 1.Tip hata olasılıkları gerçekleştirdikleri görülmektedir. Gözlem sayılarının 15-30 arasında olması durumunda ise her iki testinde %5 civarında 1.Tip hata olasılığı
gerçekleştirdikleri dikkati çekmektedir. Doğru eşleştirmenin yapılması durumunda ANOVA F testi, %5 ten düşük, KANOVA ise %5'ten büyük, ters eşleştirmenin yapılması durumunda ise her iki testinde %5'den büyük 1.Tip hata olasılığı gerçekleştirdikleri gözlenmektedir. Populasyon varyanslarının 1:3:9 olması durumunda, ANOVA F testi bakımından gerçekleşen 1.Tip hata olasılıklarının giderek %5'den farklılaşma eğilimine girdiği, buna karşın KANOVA bakımından gerçekleşen 1.Tip hata olasılıklarının ise örneklerde oldukça küçük sayılabilecek gözlem kombinasyonları hariç, genel olarak 1:2:5 varyans kombinasyonuna yakın sonuçlar gerçekleştiği görülmektedir. Dolayısıyla varyans oranlarının 1.2:5'den 1:3:9'a çıkartılmasının KANOVA testini gerçekleşen 1.Tip hata olasılıkları bakımından küçük gözlem kombinasyonları hariç, pek etkilemediği söylenebilir. Populasyon varyanslarının 1:8:20 şeklinde daha da heterojenleştirilmesi durumunda ise; özellikle küçük gözlem kombinasyonları bakımından KANOVA'nın oldukça olumsuz yönde etkilendiği, buna karşın bu koşullarda ANOVA F testinin daha iyi sonuçlar verdiği gözlenmektedir. Diğer yandan örnek genişlikleri arttıkça KANOVA'nın giderek daha iyi sonuçlar verme eğilimine girdiği dikkati çekmektedir.
Çizelge 3 incelendiğinde, populasyon varyansları 1:2:3:4 iken, ANOVA F testinin, gruplarda eşit sayıda gözlemin bulunması durumunda bu heterojenlikten hiç etkilenmediği görülmektedir. Buna karşın KANOVA'nın ise kararlaştırılan 1.Tip hata olasılığını %5 seviyesinde koruyabilmesi için gruplarda 25 ve daha fazla gözlemin bulunması gerektiği ileri sürülebilir. Doğru eşleştirmenin yapılması durumunda, ANOVA F testi %5'den küçük, KANOVA'nın ise %5'den büyük 1.Tip hata olasılığı gerçek-leştirmektedirler. Ters eşleştirmenin yapılması durumunda ise her iki testin de olumsuz yönde etkilendikleri görülmektedir. Populasyon varyanslarının 1:4:8:12 olması durumunda, gruplarda eşit sayıda gözlem var iken ANOVA F testinin genel olarak %6.31-7.28 arasında, KANOVA ise %5.84-26.99 arasında 1.Tip hata olasılıkları gerçekleştirdikleri görülmektedir. Doğru eşleştirmenin yapılması durumunda ANOVA F testinin %5'den düşük, KANOVA'nın ise %5'den büyük, ters eşleştirmenin yapılması durumunda ise her iki testin de %5'den büyük 1.Tip hata olasılıkları gerçekleştirdikleri dikkati çekmektedir. Populasyon varyanslarının 1:8:16:24 olması durumunda ise, ANOVA F testinin genel olarak °/01.91- 21.97 arasında, KANOVA'nın ise %5.93-29.80 arasında 1.Tip hata olasılıkları gerçekleştirdiği görülmektedir.
Sonuç
1. ANOVA F testinin, gruplardaki gözlem sayılarının eşit olması durumunda, varyanslardaki küçük heterojenliklerden etkilenmediği, ancak varyans oranları birbirinin 4 katını geçtiği durumlarda özellikle küçük gözlem kombinasyonları bakımından gerçekleşen 1.Tip hata olasılıklarının giderek %5'ten sapma eğilimine girdiği,
2. ANOVA F testinin, varyansların heterojenlik derecelerine bağlı olarak gözlem kombinasyonlarındaki dengesizlikten olumsuz yönde etkilendiği,
MENDEŞ, M. "Varyansların heterojen olması durumunda K-istatistiği (KANOVA) ile ANOVA F testinin gerçekleşen 1. Tip hata olasılıkları bakımından karşılaştırılması" 241
3. Deneme koşulları ne olursa olsun, doğru eşleştirmenin yapılması durumunda ANOVA F testi bakımından gerçekleşen 1.Tip hata olasılıklarının %5'den küçük, ters eşleştirmenin yapılması durumunda ise %5'den büyük çıkmaktadır. Çünkü, doğru eşleştirmenin yapılması durumunda ele alınan populasyonların ortalamaları birbirine daha yakın olacağından, beklenenden daha az sayıda Ho hipotezi ret edilir. Dolayısıyla bu durumda gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının %5'den daha az olması beklenir. Diğer yandan ters eşleştirmenin yapılması durumunda ise, ele alınan populasyonların ortalamaları birbirlerinden biraz daha uzaklaşacaklarından, beklenenden daha fazla Ho hipotezi ret edilir dolayısıyla da gerçekleşen I.Tip hata olasılıkları %5'den daha fazla olur.
4. KANOVA testinin grup sayısı ve varyansların heterojenlik derecesine bağlı olarak küçük gözlem kombinasyonlarından olumsuz yönde etkilendiği,
5. KANOVA testinin, iki grubun bulunması durumunda ters eşleştirme hariç, ele alınan bütün gözlem kombinasyonlarında kararlaştırılan 1.Tip hatayı seviyesinde koruduğu, dolayısıyla bu deneme koşullarında ANOVA F testinin çok iyi bir alternatifi olduğu, 3 grubun bulunması durumunda küçük gözlem kombinasyonları hariç yine ele alınan bir çok deneme koşulunda ANOVA F testine göre daha iyi sonuçlar verdiği,
6. KANOVA testinin, genel olarak ister doğru eşleştirme, isterse ters eşleştirme yapılsın %5 civarı ya da %5'den büyük 1.Tip hata olasılıkları gerçekleştirdiği görülmüştür.
Bu söylenenlerden hareketle, KANOVA testinin özellikle 2 ve 3 grubun bulunması ve bu gruplarda 10 ve daha fazla gözlemin bulunması durumunda ANOVA F testinin iyi bir alternatifi olabileceği söylenebilir. Diğer
taraftan populasyon varyanslarının heterojenlik derecelerine bağlı olarak 10'dan düşük gözlem kombinasyonlarının bulunması durumunda bu testin iyi bir alternatif olmadığı ileri sürülebilir.
Kaynaklar
Anonymous, 1994. FORTRAN Subroutines for Mathematical Applications. IMSL MATH/LIBRARY. Vol. 1-2. Visual Numerics, Inc., Houston, USA.
Brown, M. B. and A. B. Forsythe, 1974. The small sample behavior of some statistics which test the equality of several means. Technometrics, 16, 129-132.
Dijkstra, J. B. and P. S. Werter, 1981.Testing the equality of several means when the population variances are unequal. communications in Statistics, Simulation and computation, 10, 557-569.
Edgington, E. S. 1974. A new tabulation of statistical procedures used in APA journals. American Psychologist, 29, 25-26. Ghost, M. and Y. S. Kim, 2001. The Behrens-Fisher problem
revisited: A Bayes -frequentist synthesis. The Canadian Journal of Statistics, 29, No:1 .
Glass, G. V., P. D. Peckman and J. R. Sanders, 1972. Consequences of failure to meet assumptions underlying the fixed effects analyses of variance and covariance. Review of Educational Research, 43, 237-288.
Krutchkoff, R. G. 1988. One-way Fixed Effects Analysis of Variance when the Error Variances May be Unequal.J.Statist.Comput.Simul, 30,259-271.
Sokal, R. R. and F. J. Rohlf, 1995. Biometry. The Principles and Practice of Statistics in Biological Research. Third Ed. W.H. Freeman and Co., 887, New York.
Welch, B. L. 1951. On the comparison of several mean values: An alternative approach. Biometrika, 38, 330-336.
Zar, J. H. 1999.Biostatistical Analysis. Fourth Edition. Simon & Schuster/A Viacom Company, New Jersey. USA. 683 S.
