Kenar uzunluğu  olan kare şeklinde bir çerçeveden geçen akımın çerçeveden çok çok uzakta oluşturduğu manyetik indüksiyon alanı bulabiliriz. Çerçevenin p

Rafet Kamer, Fizik öğretmeni – Beyhan Rıfat Cıkılıoglu, Anadolu Lisesi, Eskişehir

Manyetik dipolün manyetik alanı

Fizikte maddenin içyapısını izah etmek için dipol etkileşmeleri çok önemlidir. Zira atom ve moleküllerin yüklerin ya da hareketli yüklerden oluşan sistemlerde süperpozisyon sonucu kuvvetin karesi ile ters orantılı kuvvetlerin dışında kuvvetler etki edip daha yüksek mertebeden etkiler oluşturmaktadır. Elektrik dipolün elektrik alanının bulunması genelde daha kolaydır.

Manyetik dipolün oluşturduğu manyetik alanını bulmak ise genelde vektör potansiyel kavramı bilmeyi gerektirir. Buna rağmen manyetik dipolün manyetik alanının temel fizik yasaları ve kavramları kullanılarak bulunması mümkündür. Burada kullanılan yöntem ve teknikler fizik olimpiyatı çalışmalarında tatbik edilmiştir.

Kenar uzunluğu  olan kare şeklinde bir çerçeveden geçen akımın çerçeveden çok çok uzakta oluşturduğu manyetik indüksiyon alanı bulabiliriz. Çerçevenin p

_m



manyetik dipol momenti z ekseni boyunca olsun.

Bunun için çerçevenin O merkezinden geçen ve çerçevenin düzlemine dik olan z ekseni ile  açısı yapan ve r uzaklıkta bulunan bir M noktası ele alalım.

M noktasından geçen ve çerçevenin düzlemine geçirilen izdüşümü çerçevenin düzleminde bulunan ve kenarların ortasından geçen kenara dik olan y ekseni üzerindedir. Kare şeklindeki çerçevenin M noktasındaki radyal ve teğetsel bileşenleri bulmak için manyetik indüksiyon alanının vektörel şekli ile çalışmalıyız. r>> uzaklıkları için çerçevenin şekli artık önemli değildir. p 

_m

manyetik dipol momenti z ekseni boyunca olup

p 

m

=S k ^ =

²

k ^

şeklindedir. Burada k ^ , z ekseni boyunca olan birim vektörüdür.  akım teli üzerinde seçilen küçük d uzunluğundaki bir tel parçasının r uzaklıktaki d B 

manyetik indüksiyon alanı Biot- Savart- yasası ile

d B 

= ^{ }



 

0



3

d xr 4 r

şeklinde verilmektedir. Çerçevenin kenarları vektör olarak yazılabilir- ^ 

1

, ^ 

2

, ^ 

3

, ^ 

4

. Bu vektörler için _



1

= - ^ 

3

; ^ 

2

= - ^ 

4

oluşturdukları alan için



S =S k ^ = ^ 

1

x ^ 

2

= ^ 

2

x ^ 

3

= ^ 

3

x ^ 

4

= ^ 

4

x ^ 

1

=

²

k ^

yazabiliriz. Çerçevenin kenarların orta noktalarından M noktasına doğru geçirilen uzaklıklar için ^ r

1

, ^ r

2

, ^ r

3

ve _ ^ r

4

olsun. Bu vektörler arasındaki bağlantı için



1

+ ^ r

2

= ^ r

4

; ^ 

3

+ ^ r

4

= ^ r

2

 

2

+ ^ r

3

= ^ r

1

; ^ 

4

+ ^ r

1

= ^ r

3



r

1

+ ^ r

3

2 ^ r ; ^ r

2

+ ^ r

4

2 ^ r

yazabiliriz. Şekilde,  ^

1

, ^ 

2

, ^ 

3

, ^ 

4

, ^ r

2

ve ^ r

4

vektörleri gösterilmiştir. Çerçevedeki tüm kenarların orta noktalarından M noktasına doğru geçirilen uzaklıklar için



B

1

= ^{ }



  

1 1 0

3 1

xr

4 r ; B ^

2

= ^{ }



  

2 2 0

3 2

xr

4 r ; B ^

3

= ^{ }



  

3 3 0

3 3

xr

4 r ; B ^

4

= ^{ }



  

4 4 0

3 4

xr

4 r

z

1

2

M



 r

4

r



 4

3

 

1

 r

2

 p

m



 

2

 

3

 

4

 O

 e

r

e





 





y

x

Rafet Kamer, Fizik öğretmeni – Beyhan Rıfat Cıkılıoglu, Anadolu Lisesi, Eskişehir

yazabiliriz. Çerçevenin geometrik O merkezi ile M noktası arasındaki uzaklık r olsun.

Çerçevenin 1. ve 3. No’lu kenarlarından M noktasına doğru geçirilen doğrularda  açısına bir bağlılık yoktur. Dolayısıyla bu kenarlar için

r

1

r

3

r

alınılabilir. Bu iki kenarın M noktasında oluşturdukları manyetik indüksiyon alanların toplamı



B

13

= B ^

1

+ B ^

3

= ^{ }



  

1 1 0

3 1

xr 4 r + ^{ }



  

3 3 0

3 3

xr 4 r  ^{ }



  

1 1 0

3

xr 4 r - ^{ }



  

1 3 0

3

xr

4 r =

=    ^ 



  



1 1 3 0

3

x r r

4 r = ^{ }



   

1 2 0

3

x

4 r = ^{ }



   

1 2 0

3

x

4 r = ^{ }





²



0 3

k 4 r = ^





0 m 3

p 4 r

olur. Bu iki manyetik indüksiyon alanının toplamı z ekseni boyuncadır. Çerçevenin 2. ve 4.

No’lu kenarlardan M noktasına kadar olan uzaklıklarda  açısına bağlı farklılıklar meydana gelir. Bu uzaklıklar için

r

2

r- ^{ cos }

2 =r- ^{ sin }

2 ; r

4

r+ ^{ cos }

2 =r+ ^{ sin }

2

yazabiliriz. Bu iki kenarın oluşturdukları manyetik indüksiyon alanlarının toplamı



B

24

= B ^

2

+ B ^

4

= ^{ }



  

2 2 0

3 2

xr 4 r + ^{ }



  

4 4 0

3 4

xr 4 r  ^{ }

   

  

 

  



2 2 0

3

xr

4 sin

r 2

- ^{ }

   

  

 

  



2 4 0

3

xr

4 sin

r 2



 ^{ }



  

  

 

  



2 2 0

3

xr 3 sin 4 r 1

2r

- ^{ }



  

  

 

  



2 4 0

3

xr 3 sin 4 r 1

2r



 ^{  }   ^{ } 

  

 



2 2



0 3

xr 3 sin

4 r 1 2r - ^{  }   ^{ } 

  

 



2 4



0 3

xr 3 sin

4 r 1 2r =

=    ^ 



  



2 2 4 0

3

x r r

4 r +    ^    

  

  

  



^{2 2 4}



0

3

x r r 3 sin

4 r 1 r  ^{ }



 

 

2 3 0

3

x

4 r + ^{  }



 



2



0 3

x2r 3 sin

4 r 2r =

= ^{ }





²



0 3

k

4 r + ^{  }  



  

0



4 2

3 sin xr

4 r = ^



0 m



3

p k

4 r + ^{  }  



  

0



4 2

3 sin xr

4 r =

= ^



0 m



3

p k

4 r +



  



 

0



4

3 sin

4 r re = ^



0 m



3

p k

4 r +



  





²



0 3

3 sin

e

4 r = ^





0 m 3

p

4 r +



 



0 m



3

3 p sin 4 r e

olur. Toplam bileşke manyetik indüksiyon alanı

B 

= B ^

13

+ B ^

24

=2 ^





0 m 3

p

4 r +



 



0 m



3

3 p sin e 4 r

olarak bulunur. k ^ birim vektör ve e ^

r

ile



e  birim vektörleri için



k =cos. e ^

r

-sin.



e  ; sin.



e  =cos. e ^

r

- k ^

yazabiliriz. Buradan

B

 = ^  ^{  }

^





 

0 m r

3

2 p cos .e sin .e

4 r +  





0 m



3

3 p sin

4 r e = ^{ }



0 m



3 r

2 p cos

4 r e +  





0 m



3

p sin 4 r e

ya da

B 

=2 ^





0 m 3

p

4 r + ^  ^{ } 



 

0 m3 r

3 p

cos .e k

4 r = ^





0 m 3

2 p

4 r + ^  ^{ } 



 

0 m3 r

3 p

cos .e k

4 r =

= ^





0 m 3

2 p 4 r - ^





0 m 3

3 p

4 r + ^{ }



0 m



4 r

3 p r cos

4 r e = ^  



  

0 m r 4

3 p .r e

4 r - ^





0 m 3

p

4 r = ^  



  

0 m 5

3 p .r r 4 r - ^





0 m 3

p 4 r =

= ^  



  

0 m 5

3 p .r r

4 r - ^  



  

0 m 5

p r.r

4 r = ^{ } _   ^   ^ _



     

0 m m

5

3 p .r r p r.r

4 r

Rafet Kamer, Fizik öğretmeni – Beyhan Rıfat Cıkılıoglu, Anadolu Lisesi, Eskişehir

olarak bulunur.

Bulunan bileşenlerin ifadelerini süperiletkenlerde gözlenen ve süperiletken maddelerin dış manyetik indüksiyon alanında belli değere kadar manyetik indüksiyon alanını maddenin dışına itilme olayını açıklayabiliriz. Manyetik indüksiyon alanı belli kritik değeri aştığında ise bu süperiletken maddeler süperilet-ken özelliğini kaybetmektedir. Süperiletken madde içinde uygulanan dış manyetik indüksiyon alanın girememesi süper-iletken maddenin yüzeyinde akan akımlar ile modellenilebilir. Bu akımlar ise bir manyetik dipol oluşturmaktadır. Akan akımlar bir manyetik dipol oluşturursa manyetik dipolün manyetik indüksiyon alanı uygulanan dış manyetik indüksiyon alanın süperiletken küreden dışarıya itmektedir. Manyetik dipol momentinin oluşturduğu manyetik indüksiyon alanı

B

d

=

^{0 m}

3

p

2

1 3cos 4 r

  



olarak verilir. Radyal ve teğetsel yönde bileşenleri küre üzerindeki bir nokta için B

dr

=

^{0 m}

3

2 p cos 4 r

 



; B

dr

=

^{0 m}

3

p sin 4 r

 



olarak yazılabilir. Dışarıdaki manyetik indüksiyon alanın bileşenleri B

r

=Bcos; B

r

=Bsin

olur. Süperiletken topun özelliği manyetik indüksiyon alanın yüzeye normal bileşenin sıfır olduğundan oluşan manyetik dipolün manyetik dipol momenti

B

r

=B

dr

,

^{0 m}

3

2 p cos 4 r

 



=Bcos; B=

^{0 m}

3

2 p 4 r





; p

m

=

³

0

2 r B 



olarak bulunur.

Bir manyetik dipol manyetik alana belli hız ile atılırsa manyetik alandan yansıyabilir.

Yansıma şartını bulmak için gradienti olan manyetik indüksiyon alanlarda manyetik dipollere etki eden kuvvet ve yapılan işi bulmalıyız. Etki eden kuvvet

F=p

m

dx B d

bu kuvvetin dx yolunda yaptığı iş dA=Fdx=p

m

dB tüm iş kinetik enerjiye eşit ise

A== 2 mv

²

=

^{B 3}

0 0

2 r BdB 

  ⁼

^{3 2}

0

 r B



yansıma gerçekleşir. Buradan manyetik dipolün yansıması için şart

v

^{3 2}

0

2 r B m



 =

^{3 2}

3 0

2 r B 4 r

3



 

=

²

0

3B 2  

olarak bulunur.

 p

m



B

dr

B

d

B

0r

B

₀

B

0

Rafet Kamer, Fizik öğretmeni – Beyhan Rıfat Cıkılıoglu, Anadolu Lisesi, Eskişehir

Manyetik dipolün oluşturduğu alan ile çok ilginç bir değerlendirme yapılabilir. Son verilere göre yapılan deneylerde elektronun yükü q

e

ve protonun yükü q

p

arasındaki fark

p e p

q q

q  10

^-21

olarak ölçülmüştür.

Diğer taraftan ise dünyanın manyetik alanın doğası ile ortaya konulan çok net bir model yoktur. Yerin manyetik indüksiyon alanı B3.10

^-5

T deneysel olarak bilinmektedir. Elektronlar ile protonlar arasındaki yüklerin arasında varsayılan yük farkı dünyanın manyetik alanın açıklaması mümkün olup olmadığı irdeleyebiliriz. Bunun için dünyada bulunan atomların atom kütlelerinin proton sayısına oranını A/Z2 kabul edebiliriz. Dünyanın yarıçapı 6378 km, kütlesi m

D

=6.10

²⁴

kg, bir nükleonun kütlesi 1,67.10

^-27

, kg ve yükü e=1,6.10

^-19

C sayısal olarak da değerlendirme için gerekli olan bilgilerdir.

Proton ve elektronun yüklerin muhtemel farklılığından kaynaklanan dünyanın toplam yükü q olsun. Bu yük sadece ve sadece yüklü parçacıkların yük farkından kaynaklanılabilir. Tüm parçacık sayısı

N= ^M

m =

24 27

6.10

1,67.10

^

=3,59.10

⁵¹

proton sayısı

N

p

= ^N

2 =1,796.10

⁵¹

ve teşkil ettikleri yük farkı

q=N

p

q=1,796.10

⁵¹

.10

^-21

.1,6.10

^-19

=2,874.10

¹¹

C

olur. r<R yarıçapında ve dr kalınlıkta küresel bir kabuk seçelim. Bu kabukta yarıçapı rsin bir halka seçelim. Bu halkanın hacmi

dV=2rsin.rd.dr olur. Bu halkanın içindeki yük

dq= V qdV =

V drd sin qr

2 

²

 

olur. Dönme sonucu seçilen halkanın oluşturduğu elektrik akım d= ^dq

T =

V drd sin r

q 

²

 

bu akımın oluşturduğu manyetik dipol momenti dp

m

=dS=

V drd sin r

q 

²

 

(rsin)

²

=

V d dr sin r

q 

^{4 3}

 

olur. Tüm kürenin dipol momenti p

m

=  



  

0

3 R 4

0

V

d dr sin r

q =

5 R q 

²

=

2 qR

2

5T



olarak bulunur. Bu manyetik dipol momentinin oluşturduğu manyetik indüksiyon alanı B= ²

^{0 m}

^p

₃

4 R



 = ⁴

⁰

^q

4 .5RT

 

 =

7 11

3

4.10 .3,14.2,874.10 5.6378.10 .24.3600



=1,3.10

^-7

T

olarak bulunur. Görüldüğü gibi sonuç iki mertebe olarak daha küçüktür. Verilen farkı yerin manyetik indüksiyon alanın kaynağı olarak göstermek mümkün değildir.

Manyetik dipollerle ilgili bir çok uygulama yapılabilir. Gösterilen yöntemler eğitimde öğrencilere belli ölçüde kolaylık ve aynı zamanda model kurma, matematiksel değerlendirme yapmaya yöneliktir. Yine de unutulmaması gereken öğrencilerin mutlaka yüksek matematik bilgisi sahibi olmaları gerçeğidir.

 q



r