Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

(1)

Fonksiyonun Limiti

x in 2 sayısına yakın de˘gerleri i¸cin f (x) = x²− x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranı¸sını inceleyelim. A¸sa˘gıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı de˘gerleri i¸cin f (x) de˘gerlerini vermektedir.

O˘¨gr.G¨or.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 1/ 182

Fonksiyonun Limiti

Tablodaki de˘gerlerin ve f nin S¸ekilde verilen grafi˘ginden (bir parabol), x de˘geri 2 ye yakın oldu˘gunda (her iki yönden de), f (x) in de˘gerini 4 e istedi˘gimiz kadar yakın yapabilmi¸siz gibi görünmektedir.

Fonksiyonun Limiti

Bunu ”x, 2 ye yakla¸sırken, f (x) = x²− x + 2 fonksiyonunun limiti 4 e e¸sittir” diyerek ifade ederiz. Bu ifadenin g¨osterimi

x→2lim(x²− x + 2) = 4

¸seklindedir.

Fonksiyonun Limiti

Genelde a¸sa˘gıdaki g¨osterimi kullanırız.

Tanım 1: x de˘gerlerini a sayısına yeteri kadar yakın (her iki y¨onden de) ancak a dan farklı alarak, f (x) de˘gerini L sayısına istedi˘gimiz kadar yakla¸stırabiliyorsak, “x de˘gi¸skeni a sayısına yakla¸sırken, f (x) in limiti L dir” der ve

x→alimf (x) = L yazarız.

Kabaca bu, x de˘gi¸skeni, a sayısına x 6= a olacak ¸sekilde (her iki y¨onden) yakla¸sırken, f (x) de˘gerinin giderek L sayısına daha yakın de˘gerler alması anlamına gelir.

(2)

Fonksiyonun Limiti

x→alimf (x) = L limiti i¸cin di˘ger bir g¨osterim ¸sekli

x → a iken f(x) → L

dir ve “x de˘gi¸skeni a sayısına yakla¸sırken, f (x) de˘gerleri L ye yakla¸sır” ¸seklinde okunur.

Fonksiyonun Limiti

Limit tanımındaki “x 6= a” ifadesine dikkat ediniz.

Bu, x de˘gi¸skeni a sayısına yakla¸sırken f (x) in limitini bulmak i¸cin, x = a de˘gerini hi¸c d¨u¸s¨unmedi˘gimiz anlamına gelir.

Aslında f (x) fonksiyonu, x = a noktasında tanımlı bile olmayabilir.

Onemli olan, yalnızca f (x) fonksiyonunun a nın yakınında nasıl¨ tanımlandı˘gıdır.

Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti

(3)

Fonksiyonun Limiti

S¸ekil 3:

Fonksiyonun Limiti

S¸ekillerde ¨u¸c fonksiyonun grafi˘gi verilmi¸stir. (3) de f (a) tanımlı de˘gildir ve (2) de f (a) 6= L dir. Ancak t¨um durumlarda, a da ne oldu˘gundan ba˘gımsız olarak lim

x→af (x) = L dir.

Ornek ¨

Ornek:¨ lim

x→0

sin x

x limitini bulunuz.

Ç özüm: Yine f (x) = sin x/x fonksiyonu x = 0 noktasında tanımlı de˘gildir.

Bir hesap makinesi kullanarak (ve x ∈ R i¸cin sin x in radyan öl¸cümü x olan a¸cının sinüsü oldu˘gunu anımsayarak), virgülden sonra sekizinci basama˘ga kadar do˘gru olan de˘gerlerle yandaki tabloyu olu¸stururuz.

Ornek... ¨

S¸ekil 4:

Tablodan ve S¸ekil 4 daki grafikten

x→0lim sin x

x = 1

oldu˘gunu tahmin ederiz. Bu tahmin ger¸cekten de do˘grudur ve bunu ileride geometrik bir akıl y¨ur¨utmeyle kanıtlayaca˘gız.

(4)

Ornek ¨

Ornek:¨ lim

x→0sinπ

x limitini bulunuz.

Ç özüm: Burada da f (x) = sin(^π_x) fonksiyonu sıfır noktasında tanımlı de˘gildir.Bazı kü¸cük x de˘gerleri i¸cin fonksiyonun de˘gerlerini hesaplarsak

f (1) = sin π = 0 f (¹₂) = sin 2π = 0 f (¹₃) = sin 3π = 0 f (¹₄) = sin 4π = 0 f (0.1) = sin 10π = 0 f (0.01) = sin 100π = 0

(1)

elde ederiz. Benzer bi¸cimde f (0.001) = f (0.0001) = 0 olur.

Ornek... ¨

Bu bilgiler ı¸sı˘gında

x→0limsinπ x = 0

tahminini yapmak ¸cekici gelsede, bu kez tahmin do˘gru de˘gildir.

Her n tamsayısı i¸cin f (1/n) = sin nπ = 0 olmasına ra˘gmen, x in sıfıra yakla¸san sonsuz tane de˘geri i¸cin f (x) = 1 oldu˘gu da do˘grudur.

[Aslında,

π x = π

2 + 2nπ

oldu˘gu zaman, sin(π/x) = 1 dir ve buradan x i ¸c¨ozerek x = 2/(4n + 1) buluruz.]

Ornek... ¨

f nin grafi˘gi ¸sekil 5 de verilmi¸stir.

S¸ekil 5:

Ornek... ¨

x sıfıra yakla¸sırken f (x) de˘gerleri belli bir sayıya yakla¸smadı˘gından

x→0limsinπ x limiti yoktur.

(5)

Ornek ¨

Ornek:¨ lim

x→0

1

x² limitini (varsa) bulunuz.

Ç özüm: x de˘gi¸skeni 0 a yakın oldu˘gunda, x² de 0 a yakın olur, ve 1/x² ¸cok büyük olur.

Ornek... ¨

S¸ekil 6:

Aslında, S¸ekil 6 de gösterilen f (x) = 1/x² fonksiyonunun grafi˘ginden, x de˘gerleri 0 a yeteri kadar yakın alınarak, f (x) in de˘gerlerinin istenildi˘gi kadar büyük yapılabilece˘gi görülmektedir.

Bu nedenle f (x) in de˘gerleri herhangi bir sayıya yakla¸smaz ve dolayısıyla lim

x→0

1

x² limiti yoktur.

Ornek ¨

Ornek:¨ Heaviside fonksiyonu H, H(t) =

0, t < 0 1, t ≥ 0

olarak tanımlanır. [Bu fonksiyon adını elektrik m¨uhendisi Oliver Heaviside(1850-1925) den almı¸stır ve t = 0 anında ¸salteri indirilen devredeki elektrik akımını ifade etmek i¸cin kullanılabilir.] Grafi˘gi S¸ekil 7 de verilmi¸stir.

S¸ekil 7:

Ornek... ¨

t de˘gi¸skeni 0 a soldan sa˘gdan yakla¸stı˘gında H(t), 0 a yakla¸sır.

t, 0’a sa˘gdan yakla¸stı˘gında, H(t) bu kez 1 e yakla¸sır. Bu nedenle t sıfıra yakla¸sırken, H(t) nin yakla¸stı˘gı tek bir de˘ger olmadı˘gından

x→0limH(t) yoktur.

(6)

Tek Y¨onl¨u Limitler

Bir önceki örnekte H(t) de˘gerinin, t, 0 a sa˘gdan yakla¸sırken 0 a, t nin 0 a soldan yakla¸sması durumunda 1 e yakla¸stı˘gını gözledik.

Bunu simgesel olarak

t→0lim⁻H(t) = 0 ve lim

t→0⁺H(t) = 1 ile gösteririz. t → 0⁻ sembolü t nin yalnızca 0 dan kü¸cük de˘gerlerini dü¸sündü˘gümüzü gösterir. Aynı ¸sekilde t → 0⁺, t nin yalnızca 0 dan büyük de˘gerlerini dü¸sündü˘gümüzü gösterir.

Tek Y¨onl¨u Limitler

Tanım 2: x de˘gi¸skeni a dan k¨u¸c¨uk olacak ¸sekildea ya yeterince yakın yakın alınarak, f (x) de˘gerleri L sayısına istenildi˘gi kadar yakın yapılabiliyorsa, x de˘gi¸skeni a ya yakla¸sırken f (x) in soldan limiti[veya x de˘gi¸skeni a ya soldan yakla¸sırken f (x) in limiti] L dir deriz ve

x→alim⁻f (x) = L yazarız.

Tek Y¨onl¨u Limitler

Tanım 2 nin Tanım 1 den tek farkının, x de˘gi¸skeninin a dan k¨u¸c¨uk olması ko¸sulu oldu˘guna dikkat ediniz.

Benzer bi¸cimde, x de˘gi¸skeninin a dan b¨uy¨uk olması ko¸sulunu getirirsek, x de˘gi¸skeni a ya yakla¸sırken f (x) in sa˘gdan limiti L dir denir ve

x→alim⁺f (x) = L

yazarız. Dolayısıyla, x → a⁺ sembolü, yalnızca x > a de˘gerlerini dü¸sündü˘gümüz anlamına gelir. Bu tanımlar S¸ekil 8 da

¨

orneklenmi¸stir.

Tek Y¨onl¨u Limitler

S¸ekil 8:

(7)

Tek Y¨onl¨u Limitler

Tanım 1 ile tek yönlü limitlerin tanımlarını kar¸sıla¸stırırsak, a¸sa˘gıdakinin do˘gru oldu˘gunu görürüz.

x→alimf (x) = L olması i¸cin yeterli ve gerekli ko¸sul

x→alim⁺f (x) = L ve lim

x→a⁻f (x) = L dir.

Ornek ¨

Ornek:¨ Bir g fonksiyonunun grafi˘gi S¸ekil 9 da verilmi¸stir. Bunu kullanarak (e˘ger varsa) a¸sa˘gıdaki limitlerin de˘gerini bulunuz.

S¸ekil 9:

a) lim

x→2⁻g(x) b) lim

x→2⁺g(x) c) lim

x→2g(x) d) lim

x→5⁻g(x) e) lim

x→5⁺g(x) f ) lim

x→5g(x)

Ornek... ¨

Ç özüm:

Grafikten x de˘gi¸skeni 2 ye soldan yakla¸sırken, g(x) in 3 e

yakla¸stı˘gını, buna kar¸sılık x de˘gi¸skeni 2 ye sa˘gdan yakla¸sırken g(x) in 1 e yakla¸stı˘gını görürüz. Dolayısıyla

a) lim

x→2⁻g(x) = 3 ve b) lim

x→2⁺g(x) = 1 olur.

Ornek... ¨

c) Sa˘g ve sol limitler farklı oldu˘gu i¸cin, lim

x→2g(x) olmadı˘gı sonucuna varırız.

Grafikten ayrıca d) lim

x→5⁻g(x) = 2 ve e) lim

x→5⁺g(x) = 2 oldu˘gu g¨or¨ulmektedir.

(8)

Ornek... ¨

f) Bu kez sa˘g ve sol limitler aynıdır ve dolayısıyla,

x→2limg(x) = 2 elde ederiz. Buna ra˘gmen g(5) 6= 2 dir.

Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak

Limit Kuralları: c sabit bir sayı ve

x→alimf (x) ve lim

x→ag(x) limitleri varsa,

1. lim

x→a[f (x) + g(x)] = lim

x→af (x) + lim

x→ag(x) 2. lim

x→a[f (x) − g(x)] = lim_x→af (x) − lim_x→ag(x) 3. lim

x→a[c.f (x)] = c. lim

x→af (x) 4. lim

x→a[f (x).g(x)] = lim

x→af (x). lim

x→ag(x) 5. E˘ger; lim

x→ag(x) 6= 0 ise lim_x→af (x) g(x) =

x→alimf (x)

x→alimg(x) dir.

Ornek ¨

Ornek:¨ Limit kurallarını ve f ile g nin S¸ekil 10 de verilen grafiklerini kullanarak (varsa) a¸sa˘gıdaki limitleri bulunuz.

a) lim

x→−2[f (x) + 5g(x)]

b) lim

x→1[f (x)g(x)]

c) lim

x→2

f (x) g(x)

Ornek... ¨

Ç özüm:

a) f ve g nin grafiklerinden

lim f (x) = 1 ve lim g(x) = −1

(9)

Ornek... ¨

Dolayısıyla

x→−2lim [f (x) + 5g(x)] = lim

x→−2f (x) + lim

x→−2[5g(x)] Kural 1 ile

= lim

x→−2f (x) + 5 lim

x→−2g(x) Kural 3 ile

= 1 + 5(−1) = −4 d¨ur.

Ornek... ¨

b) lim

x→1f (x) = 2 oldu˘gunu g¨or¨uyoruz. Ancak lim

x→1g(x) limiti yoktur

¸c¨unk¨u sa˘g ve sol limitler farklıdır:

x→1lim⁻g(x) = −2 lim

x→1⁺g(x) = −1

Dolayısıyla Kural 4 ¨u kullanamayız. Sol limit sa˘g limite e¸sit olmadı˘gı i¸cin, verilen limit yoktur.

Ornek... ¨

c) Grafik yardımı ile

x→2limf (x) ≈ 1.4 ve lim

x→2g(x) = 0 buluruz. Ancak b¨olenin limiti 0 oldu˘gundan, Kural 5 i

kullanamayız. Pay sıfırdan farklı bir sayıya yakla¸sırken, payda 0 a yakla¸stı˘gından limiti yoktur.

Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak

6. n pozitif tamsayı oldu˘gunda lim

x→a[f (x)]ⁿ= [ lim

x→af (x)]ⁿ dir.

7. lim

x→ac = c 8. lim

x→ax = a

9. n pozitif tamsayı olmak ¨uzere lim

x→axⁿ= aⁿ dir.

10. n pozitif tamsayı olmak ¨uzere lim

x→a

√n

x = √ⁿ a dır.

(n ¸cift ise, a > 0 varsayarız.)

(10)

Ornek ¨

Ornek:¨ Her adımı a¸cıklayarak, a¸sa˘gıdaki limiti bulunuz.

x→5lim(2x²− 3x + 4) Ç özüm:

x→5lim(2x²− 3x + 4) = lim_x→5(2x²) − lim_x→5(3x) + lim

x→54 (kural 1 ve 2)

= 2 lim

x→5x²− 3 lim

x→5x + lim

x→54 (kural 3)

= 2(5²) − 3(5) + 4 (kural 7, 8 ve 9)

= 39

Ornek ¨

Ancak a¸sa˘gıdaki örneklerin sergiledi˘gi gibi, do˘grudan yerine koyma yöntemi ile tüm limit de˘gerleri bulunamaz.

Ornek:¨ lim

x→1

x²− 1

x − 1 limitini bulunuz.

Ç özüm: f (x) = (x²− 1)/(x − 1) olsun. f(1) de˘geri tanımlı olmadı˘gı i¸cin limiti x = 1 koyarak bulamayız. Paydanın limiti 0 oldu˘gu i¸cin Bölüm kuralını da kullanamayız. Bunun yerine cebir bilgimizi kullanmalıyız.

Ornek... ¨

x²− 1

x − 1 = (x − 1)(x + 1) x − 1

olarak ¸carpanlara ayıralım. Buradan x − 1 in pay ve paydanın ortak

¸carpanı oldu˘gunu görürüz. x de˘gi¸skeni 1 e giderken limit alındı˘gında x 6= 1 oldu˘gundan x − 1 6= 0 dır. Dolayısı ile sadele¸stirme yapabiliriz. Böylece limiti

x→1lim x²− 1

x − 1 = lim

x→1

(x − 1)(x + 1) x − 1

= lim

x→1(x + 1)

= 1 + 1 = 2

Ornek ¨

Ornek:¨ lim

h→0

(3 + h)²− 9

h limitini bulunuz.

Ç özüm: F (h) = (3 + h)²− 9

h olarak tanımlayalım. F (0) tanımlı olmadı˘gından, lim

h→0F (h) limitini h = 0 de˘gerini yerine koyarak hesaplayamayız. Fakat F (h) yi cebirsel olarak sadele¸stirirsek,

F (h) = (h²+ 6h + 9) − 9

h = h²+ 6h

h = 6 + h buluruz. (h de˘gi¸skeni 0 a yakla¸sırken, yalnızca h 6= 0 de˘gerlerini dü¸sündü˘gümüzü hatırlayınız.) Dolayısıyla

h→0lim

(3 + h)²− 9

h = lim

h→0(6 + h) = 6

(11)

Ornek ¨

Ornek:¨ lim

t→0

√t²+ 9 − 3

t² limitini bulunuz.

Ç özüm: Paydanın limiti 0 oldu˘gundan Bölüm kuralını do˘grudan kullanamayız. Buradaki cebirsel i¸slem, paydadaki kare kökten kurtulmaktır:

t→0lim

√t²+ 9 − 3

t² = lim

t→0

√t²+ 9 − 3

t² .

√t²+ 9 + 3

= lim

t→0

(t²+ 9) − 9 t²(√

t²+ 9 + 3) = lim

t→0

t² t²(√

t²+ 9 + 3)

= lim

t→0

√ 1

t²+ 9 + 3 = 1 qlim

t→0(t²+ 9) + 3

= 1

3 + 3 = 1 6

Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak

Bazı limitleri almak i¸cin en iyi y¨ontem ¨once sa˘g ve sol limitleri almaktır. A¸sa˘gıdaki teorem limitin varlı˘gı i¸cin yeterli ve gerek ko¸sulun sa˘g ve sol limitlerin varlı˘gı ve e¸sitli˘gi oldu˘gunu ifade etmektedir.

Teorem: lim

x→af (x) = L i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul

x→alim⁺f (x) = L = lim

x→a⁻f (x) dir.

Tek yönlü (sa˘g ve sol) limitleri alırken Limit Kurallarının bu tür limitler i¸cin de ge¸cerli oldu˘gu ger¸ce˘gini kullanırız.

Ornek ¨

Ornek:¨ lim

x→0|x| = 0 oldu˘gunu g¨osteriniz.

Ç özüm: Mutlak de˘ger fonksiyonunun

|x| =

x, x ≥ 0

−x, x < 0

olarak tanımlandı˘gını hatırlayınız. 0 < x i¸cin |x| = x oldu˘gundan,

x→0lim⁺|x| = lim

x→0⁺x = 0 elde ederiz.

Ornek ¨

x < 0 i¸cin |x| = −x dir ve dolayısıyla

x→0lim⁻|x| = lim

x→0⁻(−x) = 0 dir. Teorem gere˘gince

x→0lim|x| = 0

(12)

Ornek ¨

Ornek:¨ lim

x→0

|x|

x limitinin olmadı˘gını kanıtlayınız.

Ç özüm:

x→0lim⁺

|x|

x = lim

x→0⁺

x

x = lim

x→0⁺1 = 1

x→0lim⁻

|x|

x = lim

x→0⁻

−x

x = lim

x→0⁻(−1) = −1

Sa˘g ve sol limitler farklı olduklarından, Teorem gere˘gince aranılan limit yoktur. f (x) = |x|/x fonksiyonunun grafi˘gi S¸ekil 4 de verilmi¸stir ve yanıtımızı desteklemektedir.

Ornek... ¨

Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak

Teorem : x in a ya yakın (x = a dı¸sında) de˘gerleri i¸cin f (x) ≤ g(x) ise

ve x de˘gi¸skeni, a ya yakla¸sırken f (x) ve g(x) in limitleri varsa

x→alimf (x) ≤ lim

x→ag(x) olur.

Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak

Sıkı¸stırma Teoremi : x in a ya yakın (x = a dı¸sında) de˘gerleri i¸cin f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

ve

x→alimf (x) = lim

x→ah(x) = L ise

x→alimg(x) = L dir.

(13)

Sıkı¸stırma Teoremi

Kimi zaman Sandvi¸c Teoremi olarak da anılan Sıkı¸stırma Teoreminin anlamı S¸ekil 11 da a¸cıklanmı¸stır.

S¸ekil 11:

Bu teorem, g(x) fonksiyonu a yakınında f (x) ve h(x) arasında sıkı¸smı¸ssa, ve a sayısında f ve h fonksiyonlarının limitleri var ve L ye e¸sitse, zorunlu olarak g fonksiyonunun da a daki limitinin L oldu˘gunu s¨oyler.

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→0x²sin1 x =?

Ç özüm : Önce, lim

x→0sin1

x limiti olmadı˘gından,

x→0limx²sin1 x = lim

x→0x²· lim_x→0sin1 x e¸sitli˘gini kullanamayaca˘gımızadikkat edin.

Ornek... ¨

Bununla birlikte,

−1 ≤ sin1 x ≤ 1 oldu˘gundan, S¸ekil 12 de g¨osterildi˘gi gibi

−x² ≤ x²sin1 x ≤ x² elde ederiz.

S¸ekil 12:

Ornek... ¨

x→0limx² = 0 ve lim

x→0(−x²) = 0 oldu˘gunu biliyoruz.

Sıkı¸stırma teoreminde

f (x) = −x², g(x) = x²sin1

x ve h(x) = x² alarak

x→0limx²sin1 x = 0 buluruz.

(14)

S¨ureklilik

Bazı ¨orneklerde x de˘gi¸skeni a ya yakla¸sırken f fonksiyonunun limitinin fonksiyonun a noktasındaki de˘geri olarak

hesaplanabildi˘gini fark etmi¸stik.

Bu ¨ozelli˘ge sahip fonksiyonlara a noktasında s¨ureklidir denir.

Süreklili˘gin matematiksel tanımının, bu kelimenin günlük anlamına olduk¸ca yakın oldu˘gunu ileride görece˘giz. (Sürekli bir olay,

kesintiye ve ani de˘gi¸sikli˘ge u˘gramadan devam eder.)

S¨ureklilik

Tanım: f fonksiyonun a sayısındaki s¨urekli˘gi˘gi

x→alimf (x) = f (a) e¸sitli˘gini sa˘glamasıdır.

S¨ureklilik

a noktasında s¨urekli olmayan bir f fonksiyonuna a noktasında s¨ureksizdir denir.

Tanıma göre, a¸cık¸ca belirtilmemi¸s olsa da, bir fonksiyonun a noktasındaki süreklili˘gi ü¸c ko¸sulun sa˘glanmasını gerektirmektedir:

1. f (a) tanımlıdır (a sayısı f nin tanım k¨umesindedir).

2. lim

x→af (x) limiti vardır.

3. lim

x→af (x) = f (a) dır.

S¨ureklilik

Tanım, f nin a noktasına yakla¸sırken, f (x) in f (a) de˘gerine yakla¸sması olarak ifade eder.

Dolayısıyla sürekli fonksiyonların, de˘gi¸sken x deki kü¸cük bir de˘gi¸sikli˘gin, f (x) de de kü¸cük bir de˘gi¸sikli˘gi gerekli kılma özelli˘gi vardır.

Aslında x deki de˘gi¸sikli˘gi yeterince kü¸cük tutarak, f (x) deki de˘gi¸sim istenildi˘gi kadar kü¸cük tutulabilir.

(15)

S¨ureklilik

Geometrik olarak, bir aralıktaki her noktada sürekli olan bir fonksiyonu, grafi˘gi kesintisiz bir fonksiyon olarak dü¸sünebilirsiniz.

Bu, kalemle grafi˘gi takip etti˘ginizde, kalemi kaldırmadan grafi˘gi izleyebilmeniz demektir.

Ornek ¨

Ornek :¨ Grafi˘gi S¸ekil ?? de verilen fonksiyonun s¨urekli olmadı˘gı noktaları bularak, nedenlerini a¸cıklayınız.

S¸ekil 13:

Ornek... ¨

Ç özüm : a = 1 noktasında fonksiyonun grafi˘ginde bir kesinti oldu˘gundan, fonksiyon bu noktada süreksiz görünmektedir. Bunu matematiksel olarak, f (1) de˘geri tanımsız oldu˘gundan fonksiyonun 1 noktasında süreksiz oldu˘gu ¸seklinde a¸cıklarız.

Ornek... ¨

Grafik a = 3 noktasında da kesintiye u˘gramaktadır. Ancak, buradaki s¨ureksizli˘gin nedeni farklıdır. Burada f (3) tanımlıdır.

Ancak, sa˘g ve sol limitler farklı olduklarından lim

x→3f (x) limiti yoktur ve bundan dolayı f , 3 noktasında s¨urekli de˘gildir.

(16)

Ornek... ¨

a = 5 noktası fonksiyon i¸cin nasıl bir noktadır? Bu noktada f (5) tanımlıdır ve lim

x→5f (x) limiti vardır (sa˘g ve sol limitler e¸sittir).

Ancak

x→5limf (x) 6= f(5)

oldu˘gundan, f fonksiyonu 5 noktasında s¨urekli de˘gildir.

Ornek ¨

Ornek :¨ A¸sa˘gıdaki fonksiyonların s¨urekli olmadı˘gı noktaları bulunuz.

(a) f (x) = x²− x − 2

x − 2 (b) f (x) =





 1

x², x 6= 0 1, x = 0

(c) f (x) =











x²− x − 2

x − 2 , x 6= 2

1, x = 2

(d) f (x) = [|x|]

Ornek... ¨

Ç özüm :

(a) f (x) = x²− x − 2 x − 2

f (2) tanımlı olmadı˘gından, f fonksiyonu 2 noktasında s¨urekli de˘gildir.

Ornek... ¨

(b) f (x) =





 1

x², x 6= 0 1, x = 0

Burada f (0) = 1 tanımlıdır. Ancak

x→0limf (x) = lim

x→0

1 x²

limit yoktur. Bu nedenle, f fonksiyonu 0 noktasında s¨urekili de˘gildir.

(17)

Ornek... ¨

(c) f (x) =











x²− x − 2

x − 2 , x 6= 2

1, x = 2

Bu ¨ornekte f (2) = 1 tanımlıdır ve

x→2limf (x) = lim

x→2

x²− x − 2 x − 2 = lim

x→2

(x − 2)(x + 1)

x − 2 = lim

x→2(x+1) = 3 vardır.

x→2limf (x) 6= f(2)

oldu˘gundan, f fonksiyonu 2 noktasında s¨urekli de˘gildir.

Ornek... ¨

(d) Tam de˘ger fonksiyonu f (x) = [|x|] tam sayılarda s¨ureksizdir

¸c¨unk¨u n bir tam sayı ise, lim

x→n[|x|] limiti yoktur.

Ornek... ¨ Ornek... ¨

(18)

S¨ureksizlik C ¸e¸sitleri

S¸ekillerde, ¨ornekte ¸calı¸sılan fonksiyonların grafiklerini vermektedir.

Orneklerin t¨¨ um¨unde grafik bir kalem ile izlenirse, var olan bir delik veya kesinti veya atlama nedeniyle kalem kaldırılmadan grafi˘gin

¸cizilmesi olası de˘gildir.

(a) ve (c) örneklerindeki süreksizliklere giderilebilir süreksizlikler denir. Ç ünkü yalnız 2 noktasında f fonksiyonunu yeniden

tanımlayarak s¨ureksizli˘gi giderebiliriz. [g(x) = x + 1 fonksiyonu s¨ureklidir.]

(b) deki süreksizlik türüne sonsuz süreksizlik denir.

(d) deki süreksizlik türüne ise, fonksiyon bir de˘gerden di˘gerine sı¸cradı˘gından, sı¸crama tipi süreksizlikadı verilir.

Sa˘gdan/Soldan S¨ureklilik

f fonksiyonunun a da sa˘gdan s¨urekli olması lim

x→a⁺f (x) = f (a)

e¸sitli˘gini sa˘glaması; a da soldan s¨urekli olmasıise

x→alim⁻f (x) = f (a) e¸sitli˘gini sa˘glaması olarak tanımlanır.

Bir aralı˘gın tüm noktalarında sürekli olan fonksiyona o aralıkta süreklidir denir. (Fonksiyon, aralı˘gın u¸c noktalarının yalnızca bir tarafında tanımlanmı¸s ise bu noktalarda süreklilik, sa˘gdan veya soldan süreklilik anlamındadır.)

S¨ureklilik

Teorem : c bir sabit, f ve g fonksiyonları a sayısında s¨urekli fonksiyonlarsa, a¸sa˘gıdaki fonksiyonlar da a noktasında s¨ureklidir:

1. f + g 2. f − g 3. cf

4. f g 5. f

g, g(a) 6= 0 ise

S¨ureklilik

Teorem :

(a) Her polinom ger¸cel sayıların tümünde, R = (−∞, ∞) da süreklidir.

(b) Her rasyonel (kesirli) fonksiyon tanım k¨umesinde s¨ureklidir.

(19)

S¨ureklilik

Bu teoremin bir uygulaması olarak, bir k¨urenin hacminin,

yarı¸capına göre sürekli bir bi¸cimde de˘gi¸sti˘gini söyleyebiliriz. Bunun nedeni V (r) = ⁴₃πr³ ün yarı¸cap r nin bir polinomu olmasıdır.

Benzer bi¸cimde, dik olarak 50 ft/sn hızla havaya fırlatılan bir topun t saniye sonraki yüksekli˘gini veren h = 50t − 16t² fonksiyonu da, polinom oldu˘gundan, süreklidir. Dolayısıyla topun yüksekli˘gi zamana göre sürekli bir bi¸cimde de˘gi¸sir.

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→−2

x³+ 2x²− 1

5 − 3x limitini bulunuz..

Ç özüm : f (x) = x³+ 2x²− 1

5 − 3x fonksiyonu rasyonel bir fonksiyondur ve teorem gere˘gince, tanım kümesi olan {x ∈ R|x 6= ⁵₃} kümesinde süreklidir. Bu nedenle

x→−2lim

x³+ 2x²− 1

5 − 3x = lim

x→−2f (x) = f (−2)

= (−2)³+ 2(−2)²− 1 5 − 3(−2) = − 1

11 dir.

S¨ureklilik

f⁻¹ fonksiyonunun grafi˘gi f nin grafi˘ginin y = x do˘grusuna göre yansıması oldu˘gundan, f sürekli bir fonksiyonsa, f⁻¹ fonksiyonu da süreklidir. (f fonksiyonunun grafi˘ginde kesinti yoksa, y = x

do˘grusuna g¨ore yansımasında da kesinti yoktur.)

Teorem : A¸sa˘gıdaki fonksiyonlar tanım k¨umelerinde s¨urekli fonksiyonlardır:

Polinomlar Rasyonel fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonlar Ters trigonometrik fonksiyonlar Ustel fonksiyonlar¨ Logaritmik fonksiyonlar

K¨ok fonksiyonları

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→π

sin x

2 + cos x limitini bulunuz.

Ç özüm : y = sin x fonksiyonu, teoremden dolayı süreklidir.

Paydadaki y = 2 + cos x fonksiyonu, iki sürekli fonksiyonun toplamı oldu˘gundan, süreklidir. Bu fonksiyon hi¸c bir zaman 0 de˘gildir ¸cünkü her x i¸cin cos x ≥ −1 oldu˘gundan, her yerde 2 + cos x > 0 dır. Böylece,

f (x) = sin x 2 + cos x

fonksiyonu her yerde s¨ureklidir. Dolayısıyla, s¨urekli fonksiyonun tanımından,

x→πlim

sin x

2 + cos x = lim

x→πf (x) = f (π) = sin π

2 + cos π = 0 2 − 1 = 0 olur.

(20)

S¨ureklilik

Teorem : f fonksiyonu b de s¨urekli ve lim

x→ag(x) = b ise,

x→alimf (g(x)) = f (b) dir. Ba¸ska bir deyi¸sle,

x→alimf (g(x)) = f

x→alimg(x) dir.

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→1arcsin 1 −√x 1 − x

limitini bulunuz.

Ç özüm : arcsin sürekli bir fonksiyon oldu˘gundan, teoremi uygulayabiliriz:

x→1limarcsin 1 −√ x 1 − x

= arcsin

x→1lim 1 −√

x 1 − x

= arcsin

x→1lim

1 −√ x (1 −√

x)(1 +√ x)

= arcsin

x→1lim 1 1 +√

x

= arcsin1 2 = π

6

S¨ureklilik

Teorem : g fonksiyonu a da, f fonsiyonu da g(a) s¨urekli ise, (f ◦ g)(x) = f(g(x)) olarak verilen f ◦ g bile¸ske fonksiyonu a noktasında s¨ureklidir.

Ornek ¨

Ornek :¨ A¸sa˘gıdaki fonksiyonların s¨urekli oldu˘gu yerleri bulunuz:

(a) h(x) = sin(x²) (b) F (x) = ln(1 + cos x) Ç özüm : (a) g(x) = x² ve f (x) = sin x olmak üzere

h(x) = f (g(x))

dir. Bir polinom oldu˘gu i¸cin, g fonksiyonu R de s¨ureklidir. f fonksiyonu da her yerde s¨ureklidir.

B¨oylece, teoremden, h = f ◦ g fonksiyonu R de s¨ureklidir.

(21)

Ornek... ¨

(b) Teoremden, f (x) = ln x ve (y = 1 ve y = cos x her yerde s¨urekli olduklarından) g(x) = 1 + cos x s¨ureklidir.

Dolayısıyla, teoremden, F (x) = f (g(x)) fonksiyonu tanımlı oldu˘gu her yerde s¨ureklidir.

ln(1 + cos x) fonksiyonunun tanımlı olması i¸cin 1 + cos x > 0 olmalıdır.

Ornek... ¨

Dolayısıyla, cos x = −1 oldu˘gu zaman tanımlı de˘gildir, ve bu durum x = ±π, ±3π, . . . oldu˘gunda ger¸cekle¸sir.

Böylece, F fonksiyonu π nin tek katlarında süreksizdir ve bu de˘gerlerin arasındaki aralıklarda süreklidir.

S¨ureklilik

Ara De˘ger Teoremi : f fonksiyonu kapalı [a, b] aralı˘gında s¨urekli, N sayısı f (a) ile f (b) arasında herhangi bir sayı olsun. (a, b) aralı˘gında, f (c) = N e¸sitli˘gini sa˘glayan bir c sayısı vardır.

S¨ureklilik

S¸ekil 14:

Ara de˘ger teoremi, sürekli bir fonksiyonun f (a) ile f (b) arasındaki her de˘geri aldı˘gını söyler. Bu özellik, S¸ekil 14 de gösterilmi¸stir. N de˘geri [(a) da oldu˘gu gibi] bir kez veya [(b) de oldu˘gu gibi] bir ka¸c kez alınabilir.

(22)

Ornek ¨

Ara de˘ger teoreminin bir uygulaması, a¸sa˘gıdaki ¨ornekte oldu˘gu gibi, denklemlerin k¨oklerinin yerlerinin belirlenmesidir.

Ornek :¨ 4x³− 6x²+ 3x − 2 = 0 denkleminin 1 ile 2 arasında bir kökü oldu˘gunu gösteriniz.

Ç özüm : f (x) = 4x³− 6x²+ 3x − 2 olsun. Verilen denklemin bir

¸cözümünü, di˘ger bir deyi¸sle, 1 ile 2 arasında f (c) = 0 olacak

¸sekilde bir c sayısı arıyoruz. Dolayısıyla, teoremde a = 1, b = 2 ve N = 0 alalım.

Ornek... ¨

f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0 ve

f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0

ve böylelikle f (1) < 0 < f (2) elde ederiz. Bu, N = 0 sayısının f (1) ile f (2) arasında oldu˘gunu verir. f fonksiyonu bir polinom oldu˘gundan her yerde süreklidir. Dolayısıyla, ara de˘ger teoremi ile 1 ve 2 arasındaki bir c sayısı i¸cin f (c) = 0 olmalıdır. Bu da verilen denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü olması demektir.

Sonsuzluk ˙I¸ceren Limitler

Sonsuz Limitler

y = 1/x² fonksiyonunun de˘gerler tablosunu ve ¸sekildeki grafi˘gini inceleyerek

x→0lim 1 x²

limitinin olmadı˘gı, ve x i 0 a yeterince yakın alarak, 1/x²

(23)

Sonsuz Limitler

Dolayısıyla f (x) in de˘gerleri sonlu bir sayıya yakla¸smaz ve

x→0lim(1/x²) limiti yoktur.

Bu t¨ur davranı¸sı betimlemek i¸cin

x→0lim 1 x² = ∞ g¨osterimini kullanırız.

Sonsuz Limitler

Bu ∞ i¸saretini bir sayı olarak dü¸sündü˘gümüz anlamına gelmedi˘gi gibi, limitin var oldu˘gu anlamına da gelmez.

Bu yalnızca limitin olmamasının nedeninin ifadesidir: x de˘gi¸skeni 0 a yeterince yakın alınarak, 1/x² istenildi˘gi kadar büyütülebilir.

Sonsuz Limitler

Genellikle, x de˘gi¸skeni a ya yakla¸sırken f (x) in de˘gerlerinin giderek büyüdü˘günü (veya “sınırsız olarak arttı˘gını”) göstermek i¸cin, simgesel olarak

x→alimf (x) = ∞ yazarız.

Sonsuz Limitler

x→alimf (x) = ∞

gösterimi, x de˘gi¸skeni a ya yeterince yakın (sa˘gından veya solundan) ama a dan farklı alınarak, f (x) de˘gerlerinin istenildi˘gi kadar büyük yapılabilinece˘gi anlamına gelir.

(24)

Sonsuz Limitler

x→alimf (x) = −∞ g¨osterimi “x de˘gi¸skeni a ya yakla¸sırken f(x) in limiti eksi sonsuz” ya da “ x de˘gi¸skeni a ya yakla¸sırken, f (x) sınırsız olarak azalır” olarak okunabilir.

Sonsuz Limitler

Ornek olarak¨

x→0lim

− 1 x²

= −∞

verilebilir.

Sonsuz Limitler

Benzer tanımlar “x → a⁻” gösteriminin yalnız a dan kü¸cük x de˘gerlerini ve benzer bi¸cimde “x → a⁺” gösteriminin yalnız x > a de˘gerlerini dü¸sündü˘gümüz anlamına geldi˘gi anımsanarak tek yönlü limitler i¸cin de verilebilir.

x→alim⁻f (x) = ∞ lim

x→a⁺f (x) = ∞

x→alim⁻f (x) = −∞ lim

x→a⁺f (x) = −∞

Sonsuz Limitler

(25)

Sonsuz Limitler

D¨u¸sey Asimptot

Tanım :

A¸sa˘gıdakilerin en az birinin do˘gru olması durumunda, x = a do˘grusuna, y = f (x) e˘grisinin d¨u¸sey asimptotu denir.

x→alimf (x) = ∞ lim

x→a⁻f (x) = ∞ lim

x→a⁺f (x) = ∞

x→alimf (x) = −∞ lim

x→a⁻f (x) = −∞ lim

x→a⁺f (x) = −∞

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→3⁺

2x

x − 3 ve lim

x→3⁻

2x

x − 3 limitlerini bulunuz.

Ç özüm : x’in de˘geri, 3’ten büyük ve 3’e yakın ise, payda x − 3 kü¸cük ve pozitif bir sayı ve pay 2x de 6’ya yakın olaca˘gından, 2x/(x − 3) oranı büyük bir pozitif sayı olacaktır. Buradan sezgisel olarak

x→3lim⁺ 2x x − 3 = ∞ oldu˘gunu görürüz.

Ornek... ¨

Benzer bi¸cimde, x’in 3’ten kü¸cük ve 3’e yakın de˘gerleri i¸cin x − 3 negatif ve kü¸cük bir sayıdır, ama 2x yine pozitif bir sayıdır(6’ya yakın). Dolayısıyla 2x/(x − 3) sayısal de˘geri büyük negatif bir sayı olur. Böylece

x→3lim⁻ 2x

x − 3 = −∞

elde ederiz.

y = 2x/(x − 3) e˘grisinin grafi˘gi ¸sekilde verilmi¸stir.

x = 3 d¨u¸sey bir asimptotdur.

(26)

D¨u¸sey Asimptot

Tanıdık y = tan x ve y = ln x fonksiyonlarının grafiklerinde de d¨u¸sey asimptotlar vardır.

Grafi˘ge bakarak

x→0lim⁺ln x = −∞

oldu˘gunu görürüz.

D¨u¸sey Asimptot

S¸ekilden

x→(π/2)lim ⁻tan x = +∞

oldu˘gu görülür. Aslında, n tamsayı olmak üzere x = (2n + 1)π/2 do˘grularının herbiri y = tan x e˘grisinin dü¸sey asimptotudur.

Sonsuzdaki Limitler

f fonksiyonu (0, ∞) aralı˘gında tanımlı olsun.

x→∞lim f (x) = L

ifadesi, x’in de˘geri yeterince b¨uy¨uk se¸cilerek, f (x) de˘gerinin L’ye istenildi˘gi kadar yakın yapılabilece˘gi anlamını ta¸sır.

Sonsuzdaki Limitler

Tanımın geometrik a¸cıklaması

¸sekillerde verilmi¸stir. Bir f fonksiyonunun (yatay asimptot denilen) y = L do˘grusuna yakla¸smasının bir ¸cok yolu oldu˘guna dikkat ediniz.

(27)

Ornek ¨

Ornek :¨ f (x) = x²− 1 x²+ 1

S¸ekil 15:

x→∞lim x²− 1 x²+ 1= 1

Sonsuzdaki Limitler

S¸ekil 15’e dönersek, x’in sayısal olarak büyük negatif de˘gerleri i¸cin f (x) de˘gerlerinin 1’e yakla¸stı˘gını görürüz.

x’i negatif sayılardan sınırsız olarak k¨u¸c¨ulterek, f (x) de˘gerini 1’e istedi˘gimiz kadar yakın yapabiliriz. Bu,

x→−∞lim x²− 1 x²+ 1 = 1 olarak ifade edilir.

Sonsuzdaki Limitler

Genel olarak, S¸ekil 16’da görüldü˘gü gibi,

x→−∞lim f (x) = L

gösterimi, x negatif sayılardan yeteri kadar kü¸cülterek, f (x) de˘gerlerinin L saysına istenildi˘gi kadar yakın yapılabilece˘gini ifade eder.

S¸ekil 16:

Sonsuzdaki Limitler

Burada da −∞ bir sayı de˘gildir, ancak sıklıkla lim_x→−∞f (x) = L ifadesi,

”x eksi sonsuza giderken, f (x)’in limiti L’dir”

olarak okunur.

Tanım : E˘ger lim

x→∞f (x) = L veya lim

x→−∞f (x) = L ise, y = L do˘grusuna y = f (x) e˘grisinin yatay asimptotu denir.

(28)

Sonsuzdaki Limitler

Orne˘¨ gin,

x→−∞lim

x²− 1 x²+ 1= 1

oldu˘gundan y = 1 do˘grusu, S¸ekil 15’deki e˘grinin yatay asimptotudur. ˙Iki yatay asimptotu olan bir e˘gri ¨orne˘gi y = tan⁻¹x’dir.

Ornek ¨

x→−∞lim tan⁻¹x = −π

2 lim

x→∞tan⁻¹x = π

2 (2)

oldu˘gundan, y = −π/2 ve y = π/2 do˘grularının her ikisi de yatay asimptotlardır. (Bu, x = ±π/2 do˘grularının tanjant e˘grisi

grafi˘ginin d¨u¸sey asimptotu olanlarındandır.)

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→∞

1

x ve lim

x→−∞

1

x limitlerini bulunuz.

Ç özüm : x büyükken 1/x’in kü¸cük oldu˘gunu gözlemleyiniz.

Orne˘¨ gin, 1

100 = 0, 01 1

10.000 = 0, 0001 1

1.000.000 = 0, 000001 dir. Ger¸cekten x’i yeterince b¨uy¨uk se¸cerek 1/x’i 0’a istedi˘gimiz kadar yakın yapabiliriz. Tanım gere˘gince

x→∞lim 1 x = 0 elde ederiz.

Ornek... ¨

Benzer ¸sekilde x’in negatif büyük de˘gerleri i¸cin 1/x negatif ve kü¸cük olur. Böylece

x→−∞lim 1 x = 0

buluruz. Buradan, y = 0 do˘grusunun (x-ekseni) y = 1/x e˘grisi i¸cin yatay asimptot oldu˘gu sonucuna ula¸sırız.(E˘gri ¸sekilde verilen hiperbold¨ur.)

(29)

Sonsuzdaki Limitler

Daha ¨once verilen Limit Kuralları’nın ¸co˘gu sonsuzdaki limitlerde de ge¸cerlidir. Verilen Limit Kuralları’nın (Kural 9 ve 10 dı¸sında)

”x → a” yerine ”x → ∞” veya ”x → −∞” kondu˘gunda da ge¸cerli oldu˘gu kanıtlanabilir.

Ozel olarak, n pozitif bir tamsayı olmak ¨¨ uzere

x→−∞lim 1

xⁿ = 0, lim

x→∞

1

xⁿ = 0’dır.

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→∞

3x²− x − 2

5x²+ 4x + 1 limitini bulunuz.

Ç özüm : Kesirli bir fonksiyonun sonsuzdaki limitini bulmak i¸cin

önce pay ve paydayı, paydadaki x’in en büyük kuvvetine böleriz.

(Yalnızca x’in büyük de˘gerleri ile ilgilendi˘gimizden, x 6= 0 varsayabiliriz.) Bu örnekte paydadaki x’in en büyük kuvveti x² oldu˘gundan limit kurallarından

x→∞lim

3x²− x − 2

5x²+ 4x + 1 = lim

x→∞

3x²−x−2 x² 5x²+4x+1

x²

= lim

x→∞

3 −_x¹ −_x²² 5 +_x⁴ +_x¹2

Ornek... ¨

=

x→∞lim(3 −_x¹ −_x²²)

x→∞lim(5 +_x⁴ +_x¹2)

=

x→∞lim 3 − lim_x→∞¹_x − 2 lim_x→∞_x¹²

x→∞lim 5 + 4 limx→∞ 1 x lim

x→∞

1 x²

= 3 − 0 − 0 5 + 0 + 0= 3

5 buluruz. Benzer bir hesaplama x → −∞ iken alınan limitin yine 3/5 oldu˘gunu verir.

Ornek... ¨

S¸ekilde verilen kesirli fonksiyonun y = 3/5 yatay asimptotuna yakla¸smasını g¨ostererk bu hesaplamaların sonucunu sergilemektedir.

(30)

Ornek ¨

y = 0 (x-ekseni), y = e^x do˘gal ¨ustel fonksiyonunun grafi˘gi i¸cin yatay bir asimptottur.

x→−∞lim e^x= 0. (3)

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→0⁻e^1/x limitini bulunuz.

Ç özüm : t = 1/x de˘gi¸skeni i¸cin, x → 0⁻ iken t → −∞ oldu˘gunu biliyoruz. Böylece (3)’den

x→0lim⁻e^1/x= lim

t→−∞e^t= 0 olur.

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→∞sin x limitini bulunuz.

Ç özüm : x artarken, sin x de˘gerleri −1 ile 1 arasında sonsuz kez salınır. Bu nedenle lim

x→∞sin x limiti yoktur.

Sonsuzdaki Sonsuz Limitler

x→∞lim = ∞

gösterimi, x büyürken f (x) de˘gerlerinin de büyüdü˘günü ifade eder.

A¸sa˘gıdaki g¨osterimlerin de anlamları benzerdir:

x→−∞lim = ∞ lim

x→∞= −∞ lim

x→−∞= −∞

(31)

Sonsuzdaki Sonsuz Limitler

x→∞lim e^x= ∞ lim

x→∞x³ = ∞ lim

x→−∞x³ = −∞

Sonsuzdaki Sonsuz Limitler

x → ∞ iken y = e^x, y = x³’den ¸cok daha hızlı b¨uy¨umektedir.

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→∞(x²− x) limitini bulunuz.

Ç özüm :

x→∞lim(x²− x) = lim_x→∞x²− lim_x→∞x = ∞ − ∞ yazılamayaca˘gına dikkat ediniz. Limit Kuralları ∞ bir sayı olmadı˘gından sonsuz limitlerde kullanılmazlar. (∞ − ∞ tanımlanamaz.) Ancak hem x hem de x − 1 sınırsız olarak büyüdü˘günden

x→∞lim(x²− x) = lim_x→∞x(x − 1) = ∞ yazabiliriz.

Ornek ¨

Ornek :¨ lim

x→∞

x²+ x

3 − x limitini bulunuz.

Ç özüm : Pay ve paydayı(paydadaki polinomun en yüksek kuvveti olan) x ile bölerek, x → ∞ iken x + 1 → ∞ ve 3/x − 1 → −1 oldu˘gundan,

x→∞lim x²+ x

3 − x = lim

x→∞

x + 1

3

x− 1 = −∞

buluruz.

(32)

Te˘getler, Hızlar ve Di˘ger De˘gi¸sim Hızları

Te˘getler

Bir C e˘grisi, y = f (x) denklemi ile verilmi¸s olsun. C e˘grisinin P (a, f (a)) noktasındaki te˘getini bulmak istersek, P ’nin yakınındaki x 6= a, ko¸sulunu sa˘glayan bir Q(x, f(x)) noktasını alarak P Q kiri¸s do˘grusunun e˘gimini hesaplarız:

m_{P Q}= f (x) − f(a) x − a

Te˘getler

x de˘geri a’ya yakla¸stık¸ca, Q noktası da e˘gri ¨uzerinden P noktasına yakla¸sacaktır. E˘ger m_{P Q} bir m sayısına yakla¸sırsa, t te˘getini P ’den ge¸cen ve e˘gimi m olan do˘gru olarak tanımlarız. (BU, te˘get

do˘grusunun, Q noktası ve P ’ye yakla¸sırken P Q kiri¸s do˘grularının limit durumu oldu˘gunu s¨oylemek demektir.)

Te˘get Do˘grusu

Tanım :

E˘ger a¸sa˘gıdaki limit varsa, y = f (x) e˘grisinin P (a, f (a)) noktasındaki te˘get do˘grusu, P (a, f (a)) noktasından ge¸cen ve e˘gimi

m = lim

x→a

f (x) − f(a) x − a olan do˘grudur.

(33)

Ornek ¨

Ornek :¨ y = x² parabol¨un¨un P (1, 1) noktasındaki te˘get do˘grusunun denklemini bulunuz.

Ç özüm : a = 1 ve f (x) = x² oldu˘gundan, e˘gim

m = lim

x→1

f (x) − f(1) x − 1 = lim

x→1

x²− 1 x − 1

= lim

x→1

(x − 1)(x + 1) x − 1

= lim

x→1(x + 1) = 1 + 1 = 2

dir. Do˘gru denkleminin nokta-e˘gim bi¸cimini kullanarak, (1, 1) noktasındaki te˘get do˘grusunun denkleminin

y − 1 = 2(x − 1) ya da y = 2x − 1 oldu˘gunu buluruz.

Te˘get Do˘grusu

Bir e˘grinin bir noktasındaki te˘getinin e˘gimini, e˘grinin o noktadaki e˘gimiolarak da adlandırırız.

Bunun ardındaki fikir, e˘grinin üzerindeki noktaya yeterince odaklanıldı˘gında e˘grinin adeta bir do˘gru gibi görünmesidir.

Te˘get Do˘grusu Te˘get Do˘grusu

(34)

Te˘get Do˘grusu

S¸ekillerde bu i¸slemi, y = x² e˘grisi i¸cin g¨ostermektedir.

Ne kadar ¸cok odaklanılırsa, parabol o denli bir do˘gruya benzemektedir.

Ba¸ska bir deyi¸sle, e˘gri adeta te˘get do˘grusundan ayırt edilemez hale gelmektedir.

Te˘get Do˘grusu

Te˘get do˘grusunun e˘gimi i¸cin, bazı durumlarda kullanımı daha kolay olan bir ba¸ska ifade vardır.

h = x − a olsun, o zaman

x = a + h olur. Dolayısıyla, P Q kiri¸s do˘grusunun e˘gimi

mP Q= f (a + h) − f(a) h

olur.

Te˘get Do˘grusu

(S¸ekilde, h > 0 durumu g¨ozterilmi¸stir ve Q, P ’nin sa˘gındadır.

h < 0 durumunda Q, P ’nin solunda olmalıdır.)

(35)

Te˘get Do˘grusu

x, a’ya yakla¸stık¸ca, h’nin de 0’a yakla¸stı˘gına dikkat ediniz (¸c¨unk¨u h = x − a’dır). Dolayısıyla, tanımdaki te˘get do˘grusunun e˘giminin ifadesi

m = lim

h→0

f (a + h) − f(a)

h (4)

bi¸cimine dönü¸sür.

Ornek ¨

Ornek :¨ y = 3/x hiprbol¨un¨un (3, 1) noktasındaki te˘get do˘grusunun denklemini bulunuz.

Ç özüm : f (x) = 3/x olsun. O halde (3, 1) noktasındaki te˘getin e˘gimi

m = lim

h→0

f (3 + h) − f(3) h

= lim

h→0 3 3+h− 1

h = lim

h→0

3−(3+h) 3+h

h

= lim

h→0

−h

h(3 + h) = lim

h→0− 1

3 + h = −1 3 olur.

Ornek... ¨

Dolayısıyla, (3, 1) noktasındaki te˘getin bir denklemi y − 1 = −1

3(x − 3) olur ve

x + 3y − 6 = 0 bi¸ciminde sadele¸sir.

Ornek... ¨

Hiperbol ve te˘geti ¸sekilde g¨osterilmektedir.

(36)

Hızlar

s = f (t), hareket denklemi uyarınca bir do˘gru boyunca hareket eden bir cisim d¨u¸s¨unelim.

Burada s, cismin ba¸slangı¸c noktasından ba¸slayarak (yönü de dikkate alan) yer de˘gi¸stirmesini göstersin.

Hareketi tanımlayan f fonksiyonuna cismin konum fonksiyonu denir.

Hızlar

t = a ile t = a + h arasındaki zaman aralı˘gında konumdaki de˘gi¸sim, f (a + h) − f(a) olur.

Hızlar

Bu zaman aralı˘gındaki ortalama hız ortalama hız = yer de˘gi¸stirme

zaman = f (a + h) − f(a) h

ile ifade edilir ve ¸sekildeki P Q kiri¸s do˘grusunun e˘gimi ile aynıdır.

Hızlar

S¸imdi ortalama hızları, daha da kısa [a, a + h] zaman aralıklarında hesapladı˘gımızı varsayalım. Ba¸ska bir deyi¸sle, h sıfıra yakla¸ssın.

t = a anındaki v(a) hızını (ya da anlık hızı) bu ortalama hızların limiti olarak tanımlarız:

v(a) = lim

h→0

f (a + h) − f(a)

h (5)

Bu, t = a anındaki hızın, P ’deki te˘get do˘grusunun e˘gimine e¸sit oldu˘gu anlamına gelir.

(37)

T¨urevler

Daha ¨once y = f (x) denklemi ile ifade edilen bir e˘grinin x = a noktasındaki te˘getinin e˘gimini

m = lim

h→0

f (a + h) − f(a)

h (6)

olarak tanımladık.

Aynı zamanda konum fonksiyonu s = f (t) ile verilen bir cismin t = a anındaki hızının

v(a) = lim

h→0

f (a + h) − f(a) h

oldu˘gunu g¨ord¨uk.

T¨urevler

Aslında herhangi bir bilim ya da m¨uhendislik dalında ne zaman bir de˘gi¸sim hızı hesaplasak yukarıdaki gibi limitler ortaya ¸cıkar. Bu bi¸cimdeki limitlerle ¸cok yaygın olarak kar¸sıla¸sıldı˘gından, bunlar i¸cin

¨ozel bir isim ve g¨osterim kullanılır.

Tanım :

E˘ger varsa, a¸sa˘gıdaki limite, f fonksiyonunun a sayısındaki t¨urevi denir ve f^′(a) ile g¨osterilir:

f^′(a) = lim

h→0

f (a + h) − f(a) h

T¨urevler

f^′(a) = lim

h→0

f (a + h) − f(a) h

E˘ger x = a + h yazarsak, h = x − a olur ve h’nin 0’a yakla¸sması i¸cin gerekli ve yeter ko¸sul x’in a’ya yakla¸smasıdır. Dolayısıyla, te˘get do˘grularını bulurken gördü˘gümüz gibi, türevin tanımını ifade etmenin e¸sde˘ger bir yolu ¸sudur:

f^′(a) = lim

x→a

f (x) − f(a)

x − a (7)

Ornek ¨

Ornek :¨ f (x) = x²− 8x + 9 fonksiyonunun a noktasındaki t¨urevini bulunuz.

Ç özüm : Tanımdan, f^′(a) = lim

h→0

f (a + h) − f(a) h

= lim

h→0

[(a + h)²− 8(a + h) + 9] − [a²− 8a + 9]

h

= lim

h→0

a²+ 2ah + h²− 8a − 8h + 9 − a²+ 8a − 9 h

= lim

h→0

2ah + h²− 8h

h = lim

h→0(2a + h − 8) = 2a − 8

(38)

Fonksiyon Olarak T¨urev

Onceki b¨¨ ol¨umde bir f fonksiyonunun sabit bir a sayısındaki t¨urevi

¨

uzerinde durduk:

f^′(a) = lim

h→0

f (a + h) − f(a)

h (8)

Burada bakı¸s a¸cımızı de˘gi¸stirelim ve a nın de˘gi¸sken oldu˘gunu varsayalım.

Fonksiyon Olarak T¨urev

Denklem 8 de, a nın yerine bir x de˘gi¸skeni koyarsak, f^′(x) = lim

h→0

f (x + h) − f(x)

h (9)

elde ederiz. Bu limitin var oldu˘gu her x sayısına bir f^′(x) sayısı kar¸sıgelir.

Fonksiyon Olarak T¨urev

Dolayısıyla, f^′ f nin t¨urevi olarak adlandırılan ve denklem 9 ile tanımlanan yeni bir fonksiyon olarak ele alınabilir.

x deki f^′(x) de˘gerinin, geometrik olarak f nin grafi˘ginin (x, f (x)) noktasındaki te˘get do˘grusunun e˘gimi olarak yorumlanabilece˘gini biliyoruz.

f^′ fonksiyonu f nin türevi olarak adlandırılır ¸cünkü f den denklem 9 deki limit i¸slemi ile ”türetilmi¸stir”.

Ornek ¨

Ornek:¨ f (x) = x³− x ise, f^′(x) i¸cin bir form¨ul bulunuz.

Ç özüm: Türevi hesaplamak i¸cin denklem 9 yi kullandı˘gımız zaman, h nin de˘gi¸sken oldu˘gunu ve limit hesabı yapılırken x in sabit olarak de˘gerlendirildi˘gini hatırlamalıyız.

f^′(x) = lim

h→0

f (x + h) − f(x)

h = lim

h→0

[(x + h)³− (x + h)] − [x³− x]

h

= lim

h→0

x³+ 3x²h + 3xh²+ h³− x − h − x³+ x h

= lim

h→0

3x²h + 3xh²+ h³− h h

= lim(3x²+ 3xh + h²− 1) = 3x²− 1

(39)

Ornek ¨

Ornek:¨ f (x) =√

x ise, f^′ türevini bulunuz. f^′ nün tanım kümesini bulunuz.

Ç özüm:

f^′(x) = lim

h→0

f (x + h) − f(x) h

= lim

h→0

√x + h −√ x h

= lim

h→0

√x + h −√ x

h ·

√x + h +√

√ x

x + h +√ x

= lim

h→0

(x + h) − x h(√

x + h +√

x) = 1

√x +√

x = 1 2√

x

Ornek... ¨

f^′(x) = 1 2√ x

x > 0 ise, f^′(x) vardır, bu nedenle f^′ n¨un tanım k¨umesi (0, ∞) olur.

Bu küme, f nin tanım kümesi olan [0, ∞) kümesinden kü¸cüktür.

Di˘ger G¨osterimler

Ba˘gımsız de˘gi¸skenin x, ba˘gımlı de˘gi¸skenin y oldu˘gu geleneksel y = f (x) gösterimini kullanırsak, türev i¸cin kullanılan bazı yaygın gösterimler a¸sa˘gıdaki gibidir.

f^′(x) = y^′= dy dx = df

dx = d

dxf (x) = Df (x)

D ve d/dx sembolleri türev alma i¸slemini ifade etti˘ginden türev alma operatörleri olarak adlandırılır.

Di˘ger G¨osterimler

Leibniz tarafından ortaya konulan dy/dx sembol¨u (¸simdilik) bir oran olarak de˘gerlendirilmemelidir; yalnızca f^′(x) ile e¸sanlamlıdır.

Buna kar¸sın, ¨ozellikle de˘gi¸sim g¨osterimi ile birlikte kullanıldı˘gında

¸cok yararlı ve anlamlı bir g¨osterimdir.

T¨urevin tanımını Leibniz g¨osterimi ile, dy

dx = lim

∆x→0

∆y

∆x

¸seklinde yazabiliriz.