0.1 Katı Cismin Üç Boyutlu Hareketinin Kinetiği

S¸ekil 1:

S¸ekil 2:

0.1 Katı Cismin ¨ U¸c Boyutlu Hareketinin Kineti˘ gi

UYARI :D¨uzlemsel hareketin kineti˘ginin iyi ¸calı¸sılması ¨onemlidir.. Zira, aynı kavramlar ve ba˘gıntıların benzerleri ile kar¸sıla¸sırız.

0.1.1 A¸cısal Momentum

Maddesel sistem rijid olsun veya olmasın NEWTON‘un hareket denklemle- rinin genelle¸stirilmi¸s ifadesi B¨ol¨um 4 de:

XF = m¨r_G = ma_G

ve _X

F = ˙G

¸seklinde elde etmi¸stik.

Bu sonu¸clar aynen katı cismin ¨u¸c boyutlu hareketine de uygulanır. Katı cismin ¨u¸c boyutlu hareketinde A¸cısal Momentum kolayca yazılamaz ¸c¨unk¨u a¸cısal momentin d¨uzlemsel harekette g¨or¨ulmeyen bile¸senleri ortaya ¸cıkar.

S¸ekil 1‘de ω, katı cismin XYZ‘e g¨ore a¸cısal vekt¨or¨u, aynı zamanda xyz‘in de a¸cısal hız vekt¨or¨ud¨ur.

H_G=^Pρ_i× m_iv_i ifadesini 4. b¨ol¨umde mutlak hareket momenti olarak elde

etmi¸stik. v_i hızı m_i noktasının XYZ‘e g¨ore uygulanan hızı idi (mutlak hız).

Katı cisimde hızlar alanını v_i i¸cin yazarsak vi = vG+ w × ρi

Burada, ω × ρi ise mi noktasının G k¨utle merkezine g¨ore ba˘gıl hızı idi. yerine yazarsak;

H_G =^Xρ_i× m_i(v_G+ ω × ρ_i) H_G=^Xρ_im_i × v_G+^X[ρ_i× m_i(ω × ρ_i)]

H_G= −v_G×^Xρ_im_i +^X[ρ_i× m_i(w × ρ_i) (1)]

NOT: ^Pρ_im_i = mρ_G idi eksenler G den ge¸ciyor , ρ_G = 0 olur.

Toplamı integral formunda yazarsak, G etrafında d¨onen katı cismin G‘ye g¨ore hareket momenti:

H_G=

Z

ρ × (ω × ρ)dm

Bu ba˘gıntıyı ¸sekil 2 deki gibi sabit bir O noktasında yazalım. +. b¨ol¨umde H_O =^Pr_i× m_iv_i ba˘gıntısı elde edilmi¸sti. v_i hızı O ekseni etrafında d¨onen katı cismin hızı olup v_i = w × r_i dir. r_i → r ve m_i → dm ile temsil edilerek integral formunda

H_O =

Z

r × (ω × r)dm (2) elde edilir.

S¸ekil 1 ve 2 den r_i ve ρ_i, xyz eksenlerinde yazılır (xi + yj + zk gibi).

Dolayısı ile HG ve HO g¨or¨un¨um olarak aynıdır. HG ve HO yu temsilen H sembol¨un¨u kullanarak:

H =

Z

[(xi + yj + zk) × (w_xi + w_yj + w_zk) × (xi + yj + zk)]dm H =

Z

[(y²+ z²)w_x− xyw_y− xzw_z]dmi +

Z

[−yxw_x+ (z² + x²)w_y− yzw_z]dmj +

Z

[−zxwx− zywy + (x²+ y²)wz]dmk elde edilir.

Atalet momentleri tanımları ile I_xx =

Z

(y²+ z²)dm , I_xy =

Z

xydm

I_yy =

Z

(z²+ x²)dm , I_xz =

Z

xzdm Izz =

Z

(x²+ y²)dm , Iyz =

Z

yzdm (3) H ifadesini yeniden yazarsak:

H = (I_xxw_x− I_xyw_y − I_xzw_z)i +(−Iyxwx+ Iyywy− Iyzwz)j +(−I_zxw_x− I_zyw_y+ I_zzw_z)k (4) elde edilir. B¨oylece

H = H_xi + H_yj + H_zk ve H_x = I_xxw_x− I_xyw_y − I_xzw_z

H_y = −I_yxw_x+ I_yyw_y− I_yzw_z Hz = −Izxwx− Izywy+ Izzwz





 (5) bulunur.

Not: ˙Integraller alınırken; w_x,w_y ve w_z integralin dı¸sına alındı. C¸ ¨unk¨u ω nin koordinatları cismin ¨uzerinde alınan integrallerde de˘gi¸smez. olur. ve dı¸sarı

¸cıkar.

Not: (4) Denklemi, k¨utle merkezi G veya herhangi bir O noktası etrafında d¨onen katı cismin hareket momentinin genel ifadesidir. Her iki halde de xyz eksen takımı G veya O‘ya tespit edilmi¸stir. Bu sabitleme, (4) de yer alan ata- let momenti integrallerini, atalet ¸carpanlarını zamana g¨ore de˘gi¸smez yapar.

E˘ger, xyz eksen takımı katı cisme g¨ore d¨onseydi bu integraller zamana ba˘glı olacaklardı. ˙Istenmeyen zorluklar ortaya ¸cıkacaktı.

Not: ¨Onemli bir hal, katı cismin bir simetri ekseninin etrafında d¨onmesinde ortaya ¸cıkar. Bu durumda katı cismin d¨onme eksenine g¨ore a¸cısal konumu ata- let integrallerini etkilemez. Koordinat eksenlerinden birini katı cismin simetri ekseni ile ¸cakı¸sık se¸cmek ve bu ekse etrafında d¨ond¨urmek kolaylık sa˘glar.

Not: Katı cismin sabit XYZ eksenine g¨ore a¸cısal hızı Ω ve katı cismin xyz ye g¨ore ba˘gıl d¨onmesindeki a¸cısal hız vekt¨or¨u ω ise ; katı cismin d¨onme ekseni do˘grultusundaki a¸cısal momentinin bile¸seni a¸cısal momentuma ilave olarak ortaya ¸cıkar.

(5) Denklemindeki atalet momentlerinin ve atalet ¸carpanlarının





I_xx I_xy I_xz I_yx I_yy I_yz I_zx I_zy I_zz





¸seklinde d¨uzenlenmesine ATALET MATR˙IS˙I veya ATALET TANS ¨OR ¨U de- nir. Eksenlerin katı cisme g¨ore do˘grultularının de˘gi¸stirilmesi sonunda atalet momentlerinin ve atalet ¸carpanlarının de˘gerleri de˘gi¸sir.

˙Ispat edilir ki, bir orijin i¸cin x,y,z eksenlerinin ¨oyle bir tek y¨onlendirilmesi (orientation) vardır ki Atalet ¸carpanları 0 olur ve I_xx,I_yy,I_zz atalet momentleri de˘gi¸smez. B¨oylece Atalet matrisi





I_xx 0 0 0 I_yy 0 0 0 I_zz





¸seklini alır. B¨oyle bir matrise k¨o¸segen matris denir.// Atalet matrisinin bir k¨o¸segen matris oldu˘gu eksen takımı xyz‘e asal atalet eksenleri ve I_xx,I_yy,I_zz atalet momentlerine de asal atalet momentleri denir.

E˘ger se¸cilen koordinat eksenleri asal atalet eksenleri iseler (5) deki hareket momenti (k¨utle merkezine veya sabit bir noktaya g¨ore)

H = Ixxwxi + Iyywyj + Izzwzk (6)

¸seklini alır.

Not: Rijid cismin asal atalet eksenlerini, H hareket momentinin (6) daki gibi olacek ¸sekilde se¸cebiliriz.

Not: Cismin asal atalet eksenlerinin birbirinin etrafında d¨ond¨u˘g¨u veya I_xx = Iyy = Izz oldu˘gu hali hari¸c tutarsak; H ile w vekt¨orlerimim do˘grultuları farklıdır.

Not: Katı cismin momentum ¨ozellikleri k¨utle merkezine uygulanan toplam hareket miktarı G = mvG= m¯v vekt¨or¨u ve katı cismin G etrafında d¨onme- sinin ifadesi olan H_G ile ¸sekildeki (¸sekil 3) gibi temsil edilir.

Not:HG serbest vekt¨or ¨ozelli˘gindedir. Kolaylık ve anla¸sma gere˘gi G ye tatbik edilmi¸s olarak alırız. Not:mv_G = m¯v vekt¨or¨u sistemin R = ^PF vekt¨or¨un¨un rol¨un¨u oynar. H_G=K¨utle merkezine g¨ore toplam moment rol¨un¨u oy- nar.

Statikteki moment alanı ba˘gıntısı:

M_Q = M_G+ QG × R ifadesine benzer olarak

H_Q= H_G+ QG × mv_G

elde edilir. Hareket momenti alanı adını alır. Q noktasının orijin olma zorun- lulu˘gu yoktur¸c Katı cismin herhangi bir O noktası veya katı cismi geni¸sletilmi¸s olarak d¨u¸s¨un¨ulerek uzayın herhangi bir noktası olabilir.

S¸ekil 3:

S¸ekil 4:

0.2 Kinetik Enerji

Rijid olsun veya olmasın, maddesel cisimler sistemi i¸cin 4/3 de kinetik enerji T = (1/2)mv_G²+^P(1/2)m_i˙ρ_i² idi.

(1/2)mv_G²: Sistemin ¨oteleme kinetik enerjisi

P(1/2)m_i˙ρ²: m_inin G k¨utle merkezine g¨ore enerjisi (1/2)mv_G²de˘gi¸sik formda (1/2)mv_G² = (1/2)m˙r_G.˙r_G= (1/2)G.v_G

yazılır. G cismin lineer momentidir(G = m˙r_G)

Katı cisim i¸cin ^P(1/2)m_i ˙ρ_i² terimi, k¨utle merkezinin G nin etrafında katı cismin d¨onmesinden orataya ¸cıkan kinetik enerjidir. ˙ρi = ω × ρi idi (Katı cisimde). Yerine yazılırsa:

X(1/2)m_i ˙ρ_i² =^X(1/2)m_i(ω × ρ_i).(ω × ρ_i)

Not: P × Q.R = P.Q × R de ω → P;ρi → Q;(ω × ρi) → R dersek

X(1/2)m_i˙ρ_i² = (1/2)ω(^Xρ_i) × m_i(ω × ρ_i) = (1/2)ω.H_G

Sonu¸c: v_G k¨utle merkezi hızı ile hareket eden ve d¨onme vekt¨or¨u ω olan katı cismin kinetik enerjisi

T = (1/2)v_G.G + (1/2)ω.H_G (I)

elde edilir. Daha ¨once (5) denklemi ile verdi˘gimiz H a¸cısal momentumu G k¨utle merkezi i¸cin yazıp burada kulanırsak:

T = (1/2)mv_G²+(1/2)ω[(I_xxw_x−I_xyw_y−I_xzw_z)i+(−I_yxw_x+I_yyw_y−I_yzw_z)j

+(−I_zxw_x− I_zyw_y+ I_zzw_z)k]

ω = w_xi + w_yj + w_zk olmak ¨uzere

T = (1/2)mv_G²+ (1/2)(I_xxw_x²+ I_yyw_y²+ I_zzw²_z)−

(I_xyw_xw_y+ I_xzw_xw_z+ I_yzw_yw_z) (II) E˘ger, asal atalet eksenleri kullanılırsa atalet ¸carpanları 0 olur.

T = (1/2)mv_G²+ (1/2)(I_xxw²_x+ I_yyw_y²+ I_zzw²_z) (III)

Not: E˘ger cisim bir O noktası etrafında d¨on˘gyorsa veya bir anlık bile olsa hızı sıfır bir O noktası varsa ( ki bu durumda G nin ¨oteleme hızıvG sıfırdır).

T =^X(1/2)m_i˙r_i.˙r_i =^X(1/2)m_i˙r²_i veya (I) den

T = (1/2)ω.H_O (IV )

elde edilir. Not:H_O,O‘ya g¨ore hareket momentidir. ve yer vekt¨or¨u de ρ_i ye- rine ri dir. Bu O dan itibaren mi k¨utlesinin yer vekt¨or¨ud¨ur.

Ornek Problem 7/6: ¸sekildeki b¨uk¨ul¨u A ve B levhası m=70kg/m¨ ² k¨utlesine sahiptir.Levha z ekseni etrafında w=30rad/s a¸cısal hız ile d¨onmek- tedir. a)Levhanon H a¸cısal momentumunu O noktasına g¨ore elde ediniz. b) Levhanın T kinetik enerjisini bulunuz. Levhanın kalınlı˘gını ve d¨onme ekse- ninin k¨utlesini ihmal ediniz.

C¸ ¨oz¨um 7/6: Atalet momentleri ve atalet ¸carpanları k¨utle merkezinden ge¸cen eksenlere paralel eksenlere g¨ore

I = ¯I + md² ve

S¸ekil 5:

S¸ekil 6:

I_xy = ¯I_xy + mdxdy Ixz = ¯Ixz+ mdxdz I_yz = ¯I_yz+ mdydz olarak verildi.

A ve B levhalarının k¨utleleri

m_A = (0.1)(0.125)(0.7) = 0.875kg m_B = (0.075)(0.150)(70) = 0.788kg bulunur.

H_O= (I_xxw_x− I_xyw_y − I_xzw_z)i +(−I_yxw_x+ I_yyw_y− I_yzw_z)j +(−I_zxw_x− I_zyw_y+ I_zzw_z)k ve kinetik enerji T = (1/2)ω.H_O kullanarak,

A kısmı(levhası):

Ixx = ¯Ixx+ md² ⇒ Ixx = (0.875/12)[(0.1)²+ (0.125)²] + 0.875[0.05²+ 0.0625²]

⇒ I_xx = 0.00747kgm²

I_yy = (1/3)ml² ⇒ I_yy = (0.875/3)0.100² = 0.00292kgm² I_zz = (1/3)ml² ⇒ I_zz = (0.875/3)0.125² = 0.00456kgm²

Ixy =

Z

xydm; Ixz =

Z

xzdm ⇒ Ixy = 0, Ixz = 0 I_yz = ¯I_yz+ mdydz ⇒ I_yz = 0 + 0.875(0.0625)(0.05)

⇒ I_yz = 0.00273kgm² B kısmı:

I_xx = ¯I_xx+ md² ⇒ I_xx = (0.788/12)(0.15)²+ 0.788[0.125²+ 0.075²]

⇒ Ixx = 0.01821kgm²

Iyy = ¯Iyy+md² ⇒ Iyy = (0.788/12)[(0.075)²+(0.150)²]+0.788[0.0375²+0.075²]

⇒ Iyy = 0.00738kgm²

Izz = ¯Izz+ md² ⇒ Izz = (0.788/12)(0.075)²+ 0.788[0.125²+ 0.0375²]

⇒ I_zz = 0.01378kgm²

Ixy = ¯Ixy+ mdxdy ⇒ Ixy = 0 + 0.788(0.0375)(0.125) ⇒ Ixy = 0.00369kgm² I_xz = ¯I_xz+ mdxdz ⇒ I_xz = 0 + 0.788(0.0375)(0.075) ⇒ I_xz = 0.00221kgm² I_yz = ¯I_yz+ mdydz ⇒ I_yz = 0 + 0.788(0.125)(0.075) ⇒ I_yz = 0.00738kgm² ilgili terimleri toplayarak iki par¸calı cismin atalet terimleri

Ixx = 0.0257kgm²; Ixy = 0.00369kgm² I_yy = 0.01030kgm²; I_xz = 0.0022kgm² I_zz = 0.01834kgm²; I_yz = 0.01012kgm² elde edilir.

a-) ω = wk = 30k ⇒ w_x = 0; w_y = 0; w_z = 30

HO = 30(−0.00221i − 0.01012j + 0.01834k)N.m.s b-)

T = (1/2)ω.H_O

T = (1/2)(30k)(30)(−0.00221i − 0.01012j + 0.01834k) T = 8.25J

0.3 Moment ve Enerji Denklemleri

a- Momentum Denklemleri:

Maddesel nokta sistemleri b¨ol¨um¨unde, genel lineer momentum ve a¸cısal mo- mentum denklemleri

XF = ˙G

XM = ˙H

¸seklinde elde edildi. Mad. nok. sistemlerinde moment denklemi^PM_G= ˙H_G ve ^PMO = ˙HO idi. Burada ikisini temsilen ^PM = ˙H alındı. ˙H t¨urevi mutlak eksenlerde idi. E˘ger H xyz hareketli eksenlerde yazılmı¸s ise hareketli eksen takımının sabit eksen takımına g¨ore a¸cısal d¨onme vekt¨or¨u Ω ise H = Hxi + Hyj + Hzk ve Ω = Ωxi + Ωyj + Ωzk alınarak

XM = dH_xyz dt

¯¯

¯XY Z =

ÃdH_xyz dt

!

xyz

+ Ω × H

yazılır. _X

M = ( ˙H_xi + ˙H_yj + ˙H_zk) + Ω × H

elde edilir. parantez i¸cerisi, ˙HXY Zt¨urevinin, Hxyzvekt¨or¨un¨un xyz deki koordi- natlerının de˘gi¸simini ve vekt¨orel ¸carpım ise H nin bile¸senlerinin do˘grultularındaki de˘gi¸simi temsil eder. A¸cık olarak (koordinatlar cinsinden)

XM = ( ˙H_x− H_yΩ_z+ H_zΩ_y)i

+( ˙H_y− H_zΩ_x+ H_xΩ_z)j +( ˙H_z− H_xΩ_y+ H_yΩ_x)k (A)

yazılır. Bu ba˘gıntı bir O noktasına g¨ore veya k˘gtle merkezi G ye g¨ore yazılan momentin genel ifadesidir.

Ω lar d¨onen referans sistemlerinin a¸cısal hız bile¸senleridir. H bile¸senleri ise katı cisim i¸cin daha ¨once ifade edilen (5) denklemi ile

H_x = I_xxw_x− I_xyw_y− I_xzw_z H_y = −I_yxw_x+ I_yyw_y − I_yzw_z Hz = −Izxwx− Izywy+ Izzwz





 (A⁰)

¸seklinde verildi. Burada ω lar katı cismin a¸cısal d¨onme koordinatlarıdır(K¨utle merkezine veya bir O noktasına g¨ore).

Not: (A) denklemini, hareketli eksen takımının katı cisme tespit edildi˘gi

halde yazarsak; ki bu durumda, xyz eksen takımında yazılan ATALET MO- MENTLER˙I ve ATALET C¸ ARPANLARI zamana g¨ore invaryant(de˘gi¸smez) olurlar. Ve Ω = ω olur. B¨oylece katı cisme de˘gi¸smez olarak ba˘glı xyz eksen takımı i¸cin (A) denkleminin izd¨u¸s¨umleri Ω = ω alınarak

XM_x = ( ˙H_x− H_yw_z+ H_zw_y)

XM_y = ( ˙H_y− H_zw_x+ H_xw_z)

XMz = ( ˙Hz− Hxwy+ Hywx) (B)

¸seklini alır. xyz, katı cisme ba˘glı. Genel moment denklemi sabit bir O nok- tasından veya G k¨utle merkezinden ge¸cen eksenlere g¨ore ge¸cerlidir.

Not: E˘ger katı cismin bir O noktasından veya G k¨utle merkezinden ge¸cen ve katı cisme tespit edilen eksen takımı (xyz), ASAL atalet eksenleri ile ¸cakı¸sık ise I_xy,I_xz,I_yz atalet ¸carpanları SIFIR olur ve (A’) denklem setinden

Hx= Ixxwx Hy = Iyywy Hz = Izzwz

H˙x= Ixxw˙x H˙y = Iyyw˙y H˙z = Izzw˙z

)

yazılır. Bunları (B) de yazarsak

PM_x = (I_xxw˙_x− (I_yyw_y)w_z+ (I_zzw_z)w_y) = (I_xxw˙_x(I_yy− I_zz)w_yw_z

PM_y = (I_yyw˙_y − (I_zzw_z)w_x+ (I_xxw_x)w_z) = (I_yyw˙_y(I_zz− I_xx)w_zw_x

PM_z = (I_zzw˙_z− (I_xxw_x)w_y+ (I_yyw_y)w_x) = (I_zzw˙_z(I_xx− I_yy)w_yw_z

(C)

Bu denklemler EULER denklemleri olarak bilinir. Katı cisim hareketinde

¨onemlidir.

b- Enerji Denklemleri:

Katı cisme etkiyen t¨um dı¸s kuvvetlerin olu¸sturdu˘gu kuvvet sistemini katı cismin G k¨utle merkezine indirgeyebiliriz.

PF = R ve ^PMG vekt¨orlerini G k¨utle merkezine uygulamak yeterlidir.

TOPLAM DIS¸ KUVVET˙IN VE TOPLAM MOMENT˙IN ˙IS¸˙I:

Genel i¸s tanımı ge¸cerlidir. ˙I¸s: I =^PF.v_G ve I_θ =^PM_G.ω biliniyor.

vG=v=Katı cismin ¨oteleme hızı, w=katı cismin a¸cısal hızı

Bu ifadelerden sonlu yerde˘gi¸stirmedeki 1 konumundan 2 konumuna gidilmesi i¸cin t1 < t < t2 zaman aralı˘gında yazarsak

I₁₂=

Z _t2

t1

XF.v_Gdt =

Z _t2

t1

G.v˙ _Gdt

I₁₂=

Z _t2

t1

dG

dt .v_Gdt =

Z ₂

1 v_G.dG =

Z ₂

1 v_G.d(mv_G)

S¸ekil 7:

Toplam dı¸s kuvvetin i¸si:

I₁₂ =

Z ₂

1 (1/2)d(mv_G²) = (1/2)mv_G^2¯¯¯²

1

Toplam moment i¸si:I_θ =^PM_G.ω I_θ12 =

Z _t2

t1

XM_G.ωdt =

Z _t2

t1

XH˙_G.ωdt

I_θ12 =

Z _t2

t1

dHG

dt .ωdt =

Z ₂

1 ω.dH_G yazılır. w=sabit i¸cin:

Iθ12 =

Z ₂

1 d(ω.HG2) = (1/2)ω.HG2

Sonu¸c olarak, bu iki sonu¸c ¨oteleme kinetik enerjisindeki de˘gi¸simin ve d¨onme kinetik enerjisinin de˘gi¸simini ifade eder. t₁ < t < t₂ zaman aralı˘gında toplam kinetik enerji

4T =

Z _t2

t1

XF.v_Gdt +

Z _t2

t1

XM_G.ωdt = I₁₂+ I_θ12

Genel bir maddesel nokta sisteminde U₁₋₂⁰ = 4T + 4V_g + 4V_e idi. Katı cismin d¨uzlemsel hareketi i¸cin de kullandı˘gımız bu ba˘gıntı katı cismin ¨u¸c boyutlu hareketi i¸cinde ge¸cerlidir.

0.4 Parallel D¨ uzlem Hareketi

Bir katı cismin t¨um noktaları, sabit bir d¨uzleme paralel olan d¨uzlemler i¸cerisinde kalıyorsa (cismin hareketi esnasında) katı cismin bu hareketi d¨uzlemsel hare- kettir. D¨uzlemsel hareket yapan katı cismin i¸cerisindeki ve sabit d¨uzleme dik olan her do˘grultu hareket boyunca kendisine paralel kalır.

S¸ekil 8:

K¨utle merkezi G yi hareketli eksenin merkezi olarak alalım. Katı cismin a¸cısal hız vekt¨or¨u (ve aynı zamanda xyz eksen takımının) n¨un bile¸senleri w_x = w_y = 0, w_z 6= 0 dır. B¨oylece (5) denklemindeki a¸cısal momentum bile¸senleri

H_x = −I_xzw_z H_y = −I_yzw_z H_z = −I_zzw_z

¸seklini alırlar. B¨oylece (B) denklemlerindeki moment ifadeleri

PM_x = −I_xzw˙_z+ I_yzw²_z

PM_y = −I_yzw˙_z− I_xzw_z²

PM_z = I_zzw˙_z

(D)

Not: Bu ba˘gıntının ¨u¸c¨unc¨us¨u yani ^PMz = Izzw˙z bile¸seni katı cismin genel d¨uzlemsel hareketinde elde etti˘gimiz M_G = ¯Iα denklemine e¸sittir.

(D) denklem seti, k¨utle merkezini orijin alan bir eksen takımında veya katı cismin d¨onme ekseni ¨uzerindeki sabit bir noktayı orijin alan eksen takımında ge¸cerlidir. S¸¨uphesiz ^PF_x = m¯a_x, ^PF_y = m¯a_y, ^PF_z = m¯a_z denklemleri ge¸cerlidir.

(D) denklemi, d¨onen ¸saftlarda (millerde) ve yuvarlanan cisimlerde dina- mik dengesizli˘gin etkisinin incelenmesinde yararlıdır.

S¸ekil 9:

S¸ekil 10:

Ornek Problem 7/7: K¨utleleri m¨ ₁ olan iki dairesel disk e˘grileri ¸ceyrek daire olan e˘gri bir ¸cubuk ile kaynak yapılarak birbirlerine ba˘glanmı¸stır. Ba˘glantı

¸cubu˘gunun k¨utlesi m₂ dir. Sistemin toplam k¨utlesi m = m₁+m₂ dir. Diskler, disk merkezinin v=sbt hızı ile yatay bir d¨uzlemde kaymadan yuvarlanıyor.

E˘gri ba˘glantı ¸cubu˘gunun yatay konumu i¸cin her disk altındaki s¨urt¨unme kuv- vetini hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um: _P

M_x = (−I_xzw˙_z+ I_yzw²_z)

PMy = (−Iyzw˙z− Ixzw²_z)

PM_z = I_zzw˙_z

(D)

D¨uzlemsel hareket denklemleri kullanılacak. Sistemin t¨um par¸calarının hare- keti yatay d¨uzleme paralel oldu˘gu i¸cin sistemin hareketi d¨uzlemsel harekettir.

(D) denklemini uygulayabiliriz. I_yz = 0 ve ˙w_z = 0 dır.

y eksenine g¨ore moment denklemi Ixznin hesabını gerektirir. E˘gri ¸cubu˘gun geometrisinden ρ ¸cubu˘gun birim k¨utlesi olmak ¨uzere

I_xz =

Z

xzdm =

Z ^π

2

0 (rsinθ)(−r +rcosθ)ρrdθ +

Z ^π

2

0 (−rsinθ)(−r −rcosθ)ρrdθ

S¸ekil 11:

integrallerinin hesabından I_xz = −ρr³/2 − ρr³/2 = −ρr³ m₂ = 2(πr/2)ρ yazılır ve ρ = ^m_πr² konularak

Ixz = −m2

πrr³ = −m2

π r²

bulunur. D nin ikinci denkleminden w_z = v/r ve ˙w = 0 konularak

XM_y = −I_xzw_z² ⇒ F_Ar + F_Br = −(−m₂ π r²)v²

r² F_A+ F_B = m₂v²

πr yazılır. Ayrıca, ¯v = v = sbt ⇒ ¯a_x = 0

XF = 0 ⇒ F_A− F_B = 0 ⇒ F_A = F_B

olur. B¨oylece, F_A= F_B = ^m_2πr^2v2 bulunur.

Not: Verilen konumda Iyz = 0, ˙wz = 0, x eksenine g¨ore moment (D) den

−N_Ar + N_Br =^XM_x = 0 ⇒ N_A= N_B = mg 2

Ornek Problem 7/8 (2005 sorusu): S¸ekildeki AB ¸saftına 10¨ ⁰ lik a¸cıyla e˘gik olarak monte edilmi¸s di¸slinin k¨utlesi 10 kg dir. Kendi ekseni etrafında w = 30rad/s sabit a¸cısal hızla d¨onen ¸saftın k¨utlesi ihmal ediliyor. Di¸slinin kendi simetri eksenleri olan xyz ye g¨ore atalet momentleri Izz = 0.1kgm² ve I_xx = I_yy = 0.05kgm² dir. (G_xyz ye g¨ore atalet ¸carpanları sıfır) ¸sekildeki ko- numda A ve B deki reaksiyon bile¸senlerini bulunuz. (Not: Z y¨on¨unde bile¸sen yoktur. Reaksiyon kuvvetleri hem statik hem de dinamik y¨uklerin toplamı i¸cin hesaplanacak)

S¸ekil 12:

S¸ekil 13:

S¸ekil 14:

˙Ilk adım:

xyz in merkezi G di¸sli k¨utle merkezi ile ¸cakı¸sık G sabit bir noktadır. Eksenler Ω = w oldu˘gu halde sabitlendi.

˙Ikinci adım:

S¸ekil (c) de g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi ω (diskin a¸cısal hız vekt¨or¨u) b¨uy¨ukl¨ukce sabit ve daima AB ¸saftı do˘grultusunda XYZ den herhangi bir x,y,z konumu i¸cin ω, x,y,z cinsinden

ω = (−30sin10⁰j + 30cos10⁰k)rad/s (1)

w_x = 0, w_y = −30sin10⁰, w_z = 30cos10⁰ bulunur. ω XYZ deki g¨ozlemciye g¨ore sabit oldu˘gundan ˙w_{XY Z} = 0 olur. B¨oylece Ω = w dan ˙ω_{XY Z} = 0 elde edilir. Buradan ˙w_z = ˙w_y = ˙w_x = 0 yazılır. G sabit nokta: (a_x)_G = (a_y)_G = (a_z)_G = 0

U¸c¨unc¨u adım:¨

PM_x = (I_xxw˙_x− (I_yyw_y)w_z+ (I_zzw_z)w_y) = (I_xxw˙_x(I_yy− I_zz)w_yw_z

PM_y = (I_yyw˙_y− (I_zzw_z)w_x+ (I_xxw_x)w_z) = I_yyw˙_y(I_zz − I_xx)w_zw_x

PM_z = (I_zzw˙_z− (I_xxw_x)w_y + (I_yyw_y)w_x) = I_zzw˙_z(I_xx− I_yy)w_yw_z





⇒ M_x = I_xw˙_x− (I_yy − I_zz)w_yw_z ⇒ G ye g¨ore:

−0.2A_y + 0.25B_y = 0 − (0.05 − 1)(−30sin10⁰)(30cos10⁰) ⇒

−0.2A_y+ 0.25B_y = −7.70 (2)

XMy = Iyyw˙y(Izz− Ixx)wzwx ⇒^XMy = 0 ⇒ A_x(0.2)cos10⁰− B_x(0.25)cos10⁰ = 0 ⇒ A_x = 1.25B_x (3)

XMz = Izzw˙z(Ixx− Iyy)wywz ⇒^XMz = 0 ⇒ A_x(0.2)sin10⁰ − B_x(0.25)sin10⁰ = 0 ⇒ A_x = 1.25B_x Newton hareket denklemleri

PF_x = m(a_G)_x

PF_y = m(a_G)_y

PFz = m(aG)z





⇒

A_x+ B_x = 0 (4)

A_Y + B_Y − 98.1 = 0 (5) 0 = 0

(2) → (5) denkleminin ¸c¨oz¨um¨unden

A_X = B_X = 0 A_Y = 71.6N

B_Y = 26.4N

Vekt¨orel C¸ ¨oz¨um: x,y,z d¨onen di¸sliye tespit edildi˘ginden bu problem (A)

( M_O= ( ˙H_O)_xyz+ ω × H_O MG= ( ˙HG)xyz+ ω × HG

ile ¸c¨oz¨ulebilir.

xyz eksenlerinde w nın ve H_G nin bile¸senlerini hesaplamalıyız.

H_x = I_xw_x = 0

Hy = Iywy = 0.05(−30sin30⁰) = −0.260kgm²/s H_z = I_zw_z = 0.1(30cos10⁰) = 2.95kgm²/s

H = (−0.260j+2.95k)kgm²/s bulunur. xyz ile di¸sli aynı a¸cısal hızla d¨ond¨ukle- rinden, bu d¨onen eksendeki g¨ozlemciye g¨ore H_G a¸cısal momentumu sabit kalır. b¨oylece ˙H_G= 0 olur ve (A) nın ikinci denklemi M_G = ω × H_G olarak yazılır.

(B) r_A× F_A+ r_B × F_B = ω × H_G

(−0.2sin10⁰j + 0.2cos10⁰k) × (Axi + Aycos10⁰j + Aysin10⁰k) +(0.25sin10⁰j − 0.25cos10⁰k) × (B_xi + B_ycos10⁰j + B_ysin10⁰k) =

(−30sin30⁰mbf j + 30cos10⁰k) × (−0.260j + 2.95k) (7)

Bu (7) denklemini a¸cmak yorucudur. (B) denklemini X,Y,Z eksenleri boyunca yazmak daha kolaydır. I, J, K; X,Y,Z nin birim vekt¨orleri olmak kaydıyla

ω = (30K)rad/s

HG= Hy(cos10⁰J − sin10⁰K) + Hz(sin10⁰J + cos10⁰K) (B) de yazılırsa

0.2K × (AXI + AYJ) + (−0.25K) × (BXI + BYJ)

= 30K × (−0.260cos10⁰J − sin10⁰K) + 2.95(sin10⁰J + cos10⁰K) (8) (7) veya (8) in a¸cılımından

−0.2A_Y + 0.25B_Y = −7.70 A_X = 1.25B_X

denklemleri elde edilir. Bu denklemler (2) ve (3) ile aynı. Yine ^PF = ma_G den (4) ve (5) skaler denklemleri elde edilir ve ¸c¨oz¨ul¨urse aynı sonu¸cları verir.

S¸ekil 15:

Ornek Problem 7/9: S¸ekildeki ¸cubu˘gun birim boyunun k¨utlesi ρ olup z¨ ekseni etrafında w sabit a¸cısal hızı ile d¨ond¨ur¨ulmektedir. C¸ ubu˘gun a˘gırlı˘gını ihmal ederek, A noktasına gelen momenti elde ediniz.

C¸ ¨oz¨um: w_x = 0, w_y = 0, w_z = w A noktasına g¨ore a¸cısal momentum (4) denkleminden

H = (Ixxwx− Ixywy − Ixzwz)i +(−I_yxw_x+ I_yyw_y− I_yzw_z)j +(−I_zxw_x− I_zyw_y+ I_zzw_z)k

H_x = −I_xzw_z; H_y = −I_yzw_z; H_z = I_zzw_z yazılır. atalet momentleri sabit. A ya gelen moment

(B) ⇒

PM_x = ( ˙H_x− H_yw_z+ H_zw_y)

PM_y = ( ˙H_y− H_zw_x+ H_xw_z)

PM_z = ( ˙H_z − H_xw_y+ H_yw_x)

⇒

M_x = 0 − H_yw + 0 = −H_yw My = 0 − 0 + Hxwz = Hxwz

M_z = 0 − 0 + 0 = 0

(A⁰) ⇒

H_x = I_xxw_x− I_xyw_y − I_xzw_z Hy = −Iyxwx+ Iyywy− Iyzwz

H_z = −I_zxw_x− I_zyw_y + I_zzw_z

⇒

H_x = −I_xw_x Hy = −Iywy

H_z = I_zw_z bulunanlar yerlerine yazılırsa ( ˙H_x = 0, ˙H_y = 0, ˙H_z= 0)

(a) M_x = −(−I_yxw_z)w_z = I_yxw_z²; M_y = (−I_yzw_z)w_z; M_z = 0 I_xz = ¯I_xz+ mdxdz

I_yz = ¯I_yz+ mdydz ; I_xy =^R xydm I_xz =^R xzdm

Burada k¨utle merkezine g¨ore simetrik olmalarından dolayı ¯I_xz = ¯I_yz = 0 yazılır

S¸ekil 16:

I_xz = ¯I_xz+ mdxdz

(1) → I_xz = 0 + (ρb)(b/2).0 = 0 (2) → I_xz = 0 + (ρb)b.0 = 0 (3) → Ixz = 0 + (ρb)b(b/2) = ρ^b₂³ (4) → Ixz = 0 + (ρb)(b + ₂^b)b = ³₂ρb³ I_yz = ¯I_yz+ mdydz

(1) → Iyz = 0 + (ρb)(b/2).0 = 0 (2) → I_yz = 0 + (ρb)b(b/2) = ρ^b₂³ (3) → I_yz = 0 + (ρb)b(b/2) = ρ^b₂³ (4) → I_yz = 0 + (ρb)b.b = ρb³ Bulunanlar toplanarak sistemin ¸carpım atalet momenti

I_xz = ρb³ 2 + 3

2ρb³ = 2ρb³, I_yz = ρb³ 2 + ρb³

2 + ρb³ = 3ρb³

olarak elde edilir. (a) denklemlerinde (w_z = w) kullanılarak yerlerine yazılırsa M_x = −(−I_yxw_z)w_z = I_yxw²_z

M_y = (−I_yzw_z)w_z

)

⇒ M =^qM_x²+ M_y² =√

13ρb³w² Ornek Problem 7/10: A ve B yatakları ile desteklenen bir ¸safta kay-¨ naklanmı¸s iki yarım dairesel diskin herbirinin k¨utlesi 1.2 kg dir. Sistem sabit N=1200 derece/dakika a¸cısal hızı ile d¨on¨uyor. Yatakların ¸safta tatbik ettik- leri reaksiyonları (ba˘g kuvvetlerini) hesaplayınız. Statik dengeye ait kuvvetler ihmal edilecektir.

C¸ ¨oz¨um: ¯r yarım diskin k¨utle merkezi

S¸ekil 17:

S¸ekil 18:

¯r = 4r

3π = 4(0.1)

3π = 0.042m w = πN

30 = 125.66rad/s

(A⁰) ⇒ H_x = −I_xzw_z; H_y = I_yzw_z; H_z = I_zzw_z

G noktasına gelen momentler i¸cin (B) → denklemlerinde ( ˙H_x = 0, ˙H_y = 0, ˙H_z= 0) konularak

PM_x = ( ˙H_x− H_yw_z + H_zw_y)

PM_y = ( ˙H_y− H_zw_x+ H_xw_z)

PM_z = ( ˙H_z− H_xw_y + H_yw_x)

⇒

M_x= −H_yw = I_yzw²_z My == Hxwz = −Ixzw²_z M_z == 0

yazılır.

Iyz = ¯Iyz+ mdydz ifadesinden C ve D diskleri i¸cin

C : ¯Iyz =^R y¯¯zdm = 0 ⇒ Iyz = 0 + m(0)(−2b) = 0 D : ¯I_yz =^Ry¯¯zdm = 0 ⇒ I_yz = 0 + m(0)(−2b) = 0

sistem i¸cin I_yz = 0 bulunur.

I_xz = ¯I_xz+ mdxdz

C : ¯I_xz =^R x¯¯zdm = 0 ⇒ I_xz = 0 + m(−¯r)(−2b) = 2mb¯r D : ¯I_xz = 0 ⇒ I_xz = 0 + m(¯r)(2b) = 2mb¯r

Sistem i¸cin I_xz = 2mb¯r + 2mb¯r = 4mb¯r

I_xz = 4(1.2)(0.08)(0.042) = 0.0163kgm² bulunur. Bu durumda ^PM_x = −I_yzw²_z = 0w_z² = 0

XM_y = −I_xzw²_z = (−0.0163)(125.66)² = −257.38Nm Fx = m¯ax = m(0) = 0 ⇒ Ax+ Bx = 0 (1) M_y = −A_yb + B_xb ⇒ −257.38 = (A_x− B_x)(0.08) (2)

(1) v3 (2) den

A_x = −1608.6N

B_x = 1608.6N bulunur.

PMx = Byb − Ayb A_y− B_y = 0

PF_y = m¯ay A_y = 0 B_y = 0

Ornek Problem 7/11 8 kg lik AB ¸cubu˘gu A noktasından mafsal-¨ lanmı¸stır. B noktasında ise bir kablo ile dengelenmi¸stir. CD ¸cubu˘gu verilen y¨onde w = 5rad/s sabit a¸cısal hızı ile d¨onmekte. Kablodaki gerilme kuvve- tini ve A mafsalındaki tepki (reaksiyon) kuvvetini bulunuz.

C¸ ¨oz¨um: ω = 5cos40⁰j + 5sin40⁰k w_x = 0, w_y = 3.83, w_z = 3.21

˙

wx = ˙wy = ˙wz = 0

(B) ⇒

PM_x = ( ˙H_x− H_yw_z+ H_zw_y)

PM_y = ( ˙H_y− H_zw_x+ H_xw_z)

PM_z = ( ˙H_z − H_xw_y+ H_yw_x)

XM_x = ˙H_x− H_yw_y+ H_zw_y (1)

(A⁰) ⇒

H_x = I_xxw_x− I_xyw_y− I_xzw_z Hy = −Iyxwx+ Iyywy − Iyzwz

H_z = −I_zxw_x− I_zyw_y + I_zzw_z

S¸ekil 19:

S¸ekil 20:

I_xy = I_yz= I_xz = 0 I_xx = ¹₃ml² = 10.67kgm² I_yy = 0

Izz = ¹₃ml² = 10.67kgm² B¨oylece H koordinatları

H_x = 0 − 0 = 0

Hy = 0 + Iyywy − 0 = Iyywy

H_z = −0 − 0 + I_zzw_z





elde edilir

(1) ⇒^XMx = 0 − (Iyywy)wz+ (Ixxwz]wy

⇒^XM_x = (I_zz − I_yy)w_yw_z

⇒ −mg(1)(sin40⁰) + T (2)cos40⁰ = (10.67 − 0)(3.83)(3.21)

⇒ T = 118.51N Bulunur. Newtonun hareket denklemleri

XF_n= m¯a_n ⇒ −A_y+ T = mrw² ⇒

A_y = 118.51 − 8(1)(sin40⁰)5² A_y = −10.05N

XFt= mat ⇒ −Ax = mr ˙w ⇒ Ax = 0

XF_b = m¯a_b = 0 ⇒ A_z− mg = 0 ⇒ A_z = 78.48N