 0Im   0Im  0Im N C C

(1)

1.4. Basit Bağlantılı Bir Bölge İçin N-Değer Dirichlet Problemi

D basit bağlantılı bir bölge, C D nin sınırı olan basit kapalı çevre ve z₁,z₂ ,,z_N C üzerinde bulunan ve pozitif yönde sıralanmış N tane nokta olsun. k 1,2,,N1 için C nin

k

z ve zk_₁ noktaları arasındaki parçasını C ile ve k z ile N z1 arasındaki parçasını C ile N gösterelim. Son olarak, a1,a2 ,,aN reel sabitler olsun. "D de harmonik ve

N C C

C

D ₁ ₂  üzerinde sürekli bir



 

x,y fonksiyonu bulmak istiyoruz öyle ki

 

x,y a1, zxiyC1



 

x,y a2 , zxiyC2





 

x,y aN, zxiyCN



sınır koşulları sağlanır." Şekil 6

 yi bulmak için bir yöntem D yi Imw0 üst yarı-düzlemine dönüştüren bir

) , ( ) , ( ) (z u x y iv x y f

w   konform dönüşümü bulmaktır öyle ki bu dönüşüm ile N tane N

z z

z₁, ₂ ,, noktaları w-düzleminde u-ekseni boyunca k 1,2,,N1 için u_k  f(z_k) noktalarına ve z de _N u_N  üzerine dönüşür.

Laplace denkleminin değişmezliği teoremini kullanırsak w f(z) konform dönüşümü

ile Imw0 üst yarı-düzleminde yeni bir N-değer Dirichlet problemi elde edilir. Eğer a₀ a_N denirse bu durumda D deki Dirichlet probleminin yukarıda verilen sınır koşullarını sağlayan çözümü

 















                1 1 1 1 1 1 1 1 ) , ( ) , ( tan 1 ) ( 1 , N k k k k N N k k k k N u y x u y x v Arc a a a u z f Arg a a a y x   

dir. Bu yöntem, D yi Imw0 üst yarı-düzlemine dönüştüren bir konform dönüşümün

(2)

Örnek 1.4.1. z 1 birim diskinde harmonik olan ve















  2 , , 1 ) , ( 0 , , 0 ) , (             i i e iy x z y x e iy x z y x

sınır koşullarını sağlayan bir ( yx, ) fonksiyonu bulunuz.

Çözüm. Örnek 0.2.10 da gösterildiği gibi

2 2 2 2 2 2 ₍ ₁₎ 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( y x y x i y x y z z i iv u w              (1.2)

fonksiyonu z 1 birim diskini Imw0 üst yarı-düzlemine dönüştüren bir bire-bir konform

dönüşümdür. (1.2) denklemine göre _0, 1_ 2 _ 2 _0

y x

y üst yarım çemberi üzerinde bulunan

iy x

z  noktaları pozitif ekseni üzerine dönüşür. Benzer şekilde alt yarı çember negatif

u-ekseni üzerine dönüşür. Ayrıca, w f(z) konform dönüşümü ile yeni bir Dirichlet problemi ortaya çıkar: " Imw0 üst yarı-düzleminde harmonik olan ve

0 , 1 ) 0 , ( 0 , 0 ) 0 , (       u u u u

sınır koşullarını sağlayan bir ( vu, ) fonksiyonu bulunuz".

Şekil 7

Örnek 1.3.1 deki sonucu ve (1.2) denklemini kullanırsak

y y x Arc y x u y x v Arc y x 2 1 tan 1 ) , ( ) , ( tan 1 ) , ( 2 2 _       elde ederiz.

(3)

1 1 , 1 ) 0 , ( 0 , , 0 ) , (           x x e iy x z y x i     

sınır koşullarını sağlayan bir  fonksiyonu bulunuz.

Çözüm. z z i iv u w      1 ) 1 (

dönüşümü Hyarı-diskini Q:u0, v0 birinci bölgesi üzerine dönüştürür. y0, 1x1 doğru parçası üzerinde bulunan zxiy noktaları da pozitif

v-ekseni üzerine dönüşür. Şimdi Q daki yeni Dirichlet problemi "Q da harmonik olan ve

0 , 1 ) , 0 ( 0 , 0 ) 0 , (       v v u u

sınır koşullarını sağlayan bir ( vu, ) fonksiyonu bulunuz" şeklindedir. Bu durumda önceki kesimdeki Örnek 1.2.2 deki ( vu, ) fonksiyonunun bulunması yöntemi ile

u v Arc w Arg w Arg v u 2 2 tan 2 0 1 0 ) , (          elde edilir. Şekil 8

H daki Dirichlet probleminin çözümü, (1.2) den

y y x Arc y x u y x v Arc y x 2 1 tan 2 ) , ( ) , ( tan 2 ) , ( 2 2 _       olur.

Örnek 1.4.3. G:x0, y0, z 1 çeyrek diskinde harmonik olan ve

(4)

sınır koşullarını sağlayan bir ( yx, ) fonksiyonu bulunuz.

Çözüm. wuiv z2 x2 y2 i2xy fonksiyonu çeyrekdiski H :v0 , w 1

üst yarı diskinin üzerine dönüştürür. H daki yeni Dirichlet problemi Şekil 9 da gösterilmiştir.

Şekil 9 Örnek 1.4.2 deki sonuçtan H daki 

 

u,v çözümü

 

v v u Arc v u 2 1 tan 2 , 2 2 _     dir. 2 z

w den u2 v2 



x2 y2



2 ve 2v4xy dir, buradan G deki  çözümü

 





xy y x Arc y x 4 1 tan 2 , 2 2 2 _  





bulunur. Problemler.

1.



z: z 1



birim diskinde harmonik olan öyle bir



( yx, ) fonksiyonu bulunuz ki















  2 , , 4 ) , ( 0 , , 8 ) , (             i i e z iy x y x e z iy x y x sınır koşulları sağlansın.

2.



z: z 1, y0



üst yarım diskinde harmonik olan öyle bir ( yx, ) fonksiyonu

(5)

3.



z: Imz0 ve z 1



(yani üst yarı düzlemin birim çemberin dışında kalan kısmı)

bölgesinde harmonik olan öyle bir ( yx, ) fonksiyonu bulunuz ki