Çelik Çapraz Elemanlarda Narinlik Enerji Yutma İlişkisi

(1)

ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ  FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

ÇELĠK ÇAPRAZ ELEMANLARDA NARĠNLĠK ENERJĠ YUTMA ĠLĠġKĠSĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Suat Emrah DÜLGER

ġUBAT 2010

Anabilim Dalı : ĠNġAAT MÜHENDĠSLĠĞĠ Programı : YAPI MÜHENDĠSLĠĞĠ

(2)

(3)

ġUBAT 2010

ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ  FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Suat Emrah DÜLGER

(501071107)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 25 Aralık 2009 Tezin Savunulduğu Tarih : 10 ġubat 2010

Tez DanıĢmanı : Prof. Dr. Erdoğan UZGĠDFER (ĠTÜ) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Erdal ġAFAK (BÜ)

Yrd. Doç. Dr. B.Özden Çağlayan (ĠTÜ)

ÇELĠK ÇAPRAZ ELEMANLARDA NARĠNLĠK ENERJĠ YUTMA ĠLĠġKĠSĠ

(4)

(5)

i

ÖNSÖZ

Yüksek lisans tezi olarak sunulan bu çalışmada, çelik çapraz elemanların çevrimsel yükler altında yuttuğu enerji ile elemanın narinliği arasındaki ilişki, yapılan sonlu elemanlar modelleri ile sayısal olarak incelenmiştir. Öğrenim yaşamım boyunca bana sürekli destek olan aileme, yüksek lisans öğrenimim ve tez çalışmam sırasında deneyimlerinden yararlandığım, danışmanım Sayın Prof.Dr.Erdoğan UZGİDER‟e, akademik yaşamım boyunca tecrübelerini benimle paylaşan, dostluklarını, güler yüzlerini ve yardımlarını hiçbir zaman benden esirgemeyen değerli mesai arkadaşlarım Araş.Gör.Dr.Kadir ÖZAKGÜL‟e ve Araş.Gör.Övünç TEZER‟e, bilgi ve birikimlerinden yararlandığım, dostluğunu her zaman yanımda hissettiğim Murat Tanfer KOÇAK‟a ve üniversite eğitimim boyunca sürekli yanımda olan, uzun yıllarda pek çok paylaştığımız dönem arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Şubat 2010 Suat Emrah DÜLGER

(6)

iii ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖNSÖZ...i KISALTMALAR……… v ÇĠZELGE LĠSTESĠ………..vii ġEKĠL LĠSTESĠ………. ix SEMBOL LĠSTESĠ……… xi ÖZET……….xiii SUMMARY……….. xv 1. GĠRĠġ………... 1 1.1 Konu……….. 1 1.2 Çalışmanın Amacı…..………...…. 2

1.3 Çalışmada İzlenen Yöntem……… 3

2. ÇELĠK ÇAPRAZ ELEMANLARIN DAVRANIġI……… 5

2.1 Eksenel Çekme Yükleri Altında Davranış…..……… 5

2.2 Eksenel Basınç Yükleri Altında Davranış……….………. 6

2.2.1 Elastik burkulma………..……… 6

2.2.2 Elastik olmayan burkulma………..………. 9

2.3 Çevrimsel Yükler Altında Davranış……….……… 11

3. SONLU ELEMANLAR ANALĠZĠ……….. 15

3.1 Sonlu Eleman Analiz Adımları………..………... 15

3.2 Lineer Olmayan Sonlu Eleman Analizi………..……….. 17

3.3 Lineer Olmayan Sonlu Eleman Çözüm Tekniği………..………. 19

3.4 Akma Koşulu………..……….. 20

3.5. Oluşturulan Sonlu Elemanlar Modelleri Hakkında Genel Bilgiler………….. 21

3.5.1 Eleman seçimi……..……….. 21 4. MODEL DOĞRULAMASI……… 25 4.1 Analiz Yöntemi………..………... 25 4.2 Malzeme Modeli………..…………. 26 4.3 Model - 1………..………. 28 4.3.1 Yükleme protokolü………..……….. 29 4.3.2 Çevrimsel davranış………..……….. 29 4.4 Model - ………. 31 4.4.1 Yükleme protokolü………..……….. 31 4.4.2 Çevrimsel davranış………...………...………...31 4.5 Model - 3………..………. 33 4.5.1 Yükleme protokolü………...…… 33 4.5.2 Çevrimsel davranış………...33 4.6 Model - 4………..…………. 35 4.6.1 Yükleme protokolü……….. 37 4.6.2 Çevrimsel davranış………...35 4.7 Model - 5………. 37 4.7.1 Yükleme protokolü……….. 37

(7)

iv 4.7.2 Çevrimsel davranış………...………..37 4.8 Model - 6………... 39 4.8.1 Yükleme protokolü………...……. 39 4.8.2 Çevrimsel davranış………..……….. 39 4.9 Model - 7………..…………. 41 4.9.1 Yükleme protokolü………..……….. 41 4.9.2 Çevrimsel davranış………..……….. 41

4.10 Model Doğrulamasına Ait Genel Sonuçlar………..……... 43

5. PARAMETRĠK ÇALIġMA………. 45 5.1 Malzeme Modeli……….………….. 45 5.2 Yükleme Protokolü……….………….. 46 5.3 Model – H - 40………..……… 48 5.3.1 Çevrimsel davranış………...………..48 5.4 Model – H - 60………...………... 50 5.4.1 Çevrimsel davranış………...………..50 5.5 Model – H - 80………..……… 52 5.5.1 Çevrimsel davranış………..……….. 52 5.6 Model – H - 100………..……….. 54 5.6.1 Çevrimsel davranış………..……….. 54 5.7 Model – H - 120………..……….. 56 5.7.1 Çevrimsel davranış………..……….. 56 5.8 Model – H - 140………..………….. 58 5.8.1 Çevrimsel davranış………..……….. 58 5.9 Model – H - 160………..……….. 60 5.9.1 Çevrimsel davranış………..……….. 60 5.10 Model – H - 180………..……….. 62 5.10.1 Çevrimsel davranış………..………... 62 5.11 Model – H - 200………..……… 64 5.11.1 Çevrimsel davranış………..……… 64 5.12 Model – H - 220………..……… 66 5.12.1 Çevrimsel davranış………..……… 66

5.13 Analiz Sonuçlarının Toplu Gösterimi………..………... 68

5.14 Narinlik ve Enerji Yutma Kapasitesi Arasındaki İlişkisi……….... 71

6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER………. 75

KAYNAKLAR……….. 81

(8)

v

KISALTMALAR

(9)

(10)

(11)

vii

ÇĠZELGE LĠSTESĠ

Sayfa

Çizelge 5.1: Akma deplasmanlarının katları olarak yükleme protokolü. ... 47 Çizelge 5.2: Her bir modelin faklı çevrim sayıları için analiz sonuçları ... 68 Çizelge 5.3: Her bir çevrim sayısı için faklı modellerin analiz sonuçları. ... 69

(12)

(13)

ix

ġEKĠL LĠSTESĠ

Sayfa

ġekil 2.1: Gerilme – Şekil değiştirme ... 5

ġekil 2.2: Eksenel yük – Eksenel deplasman... 6

ġekil 2.3: İki ucu mafsallı basınç elemanı ... 7

ġekil 2.4: Efektif burkulma boyu katsayıları ... 8

ġekil 2.5: Narinlik - Gerilme ... 11

ġekil 2.6: Elastik burkulma gözlenen tipik bir çevrim ... 12

ġekil 2.7: Elastik olmayan burkulmalı tipik bir çevrim ... 13

ġekil 2.8: Tipik bir çevrimde harcanan enerji ... 14

ġekil 3.1: Sonlu elemanlar analiz süreci akış şeması ... 17

ġekil 3.2: Gerilme-Şekil Değiştirme eğrisi ... 18

ġekil 3.3: Newton - Raphson çözüm yönteminin şematik gösterimi ... 19

ġekil 3.4: Von Mises şekil değiştirme şeması ... 21

ġekil 3.5: Elemanın düğüm noktası serbestliği ... 22

ġekil 3.6: S4 elemanı ... 22

ġekil 3.7: S4 için kuvvet, moment ve gerilme yön kabulü ... 23

ġekil 4.1: Çevrimsel kupon testi ... 26

ġekil 4.2: Kupon testinin, Ramberg – Osgood modeli parametrelerini belirlemek üzere kullanılan kısmı ... 27

ġekil 4.3: Ramberg – Osgood bağıntısı ile kupon testinin karşılaştırılması ... 27

ġekil 4.4: Model – 1‟in görünümü ... 28

ġekil 4.5: Model – 1‟e ait yükleme protokolü ... 29

ġekil 4.6: Model – 1‟in analiz ve deney sonucu ... 30

ġekil 4.7: Model – 2‟nin görünümü ... 31

ġekil 4.8: Model – 2‟ye ait yükleme protokolü ... 31

ġekil 4.9: Model – 2‟nin analiz ve deney sonucu ... 32

ġekil 4.10: Model – 3‟ün görünümü ... 33

ġekil 4.12: Model – 3‟ün analiz ve deney sonucu ... 34

ġekil 4.15: Model – 4‟ün analiz ve deney sonucu ... 36

ġekil 4.18: Model – 5‟in analiz ve deney sonucu ... 38

ġekil 4.20: Model – 6‟ya ait yükleme protokolü ... 39

ġekil 4.21: Model – 6‟nın analiz ve deney sonucu ... 40

ġekil 4.23: Model – 7‟ye ait yükleme protokolü ... 41

ġekil 4.24: Model – 7‟nin analiz ve deney sonucu ... 42

(14)

x

ġekil 5.2: Parametrik çalışmada kullanılan yükleme protokolü ... 47

ġekil 5.3: Model – H – 40‟ ın görünümü ... 48

ġekil 5.4: Model – H – 40‟ ın analiz sonucu ... 49

ġekil 5.7: Model – H – 80‟ in görünümü ... 52

ġekil 5.8: Model – H – 80‟ in analiz sonucu ... 53

ġekil 5.9: Model – H – 100‟ ün görünümü ... 54

ġekil 5.10: Model – H – 100‟ ün analiz sonucu ... 55

ġekil 5.19: Model – H – 200‟ ün görünümü ... 64

ġekil 5.20: Model – H – 200‟ ün analiz sonucu ... 65

ġekil 5.21: Model – H – 220‟ nin görünümü ... 66

ġekil 5.22: Model – H – 220‟ nin analiz sonucu ... 67

ġekil 5.23: Analiz sonuçlarının grafik gösterimi ... 70

ġekil 5.24: Analiz sonuçlarının ve regresyon sonuçlarının grafik gösterim ... 73

ġekil 6.1: Analiz sonuçlarının normalize edilmiş narinlik değerinin 1‟den büyük olduğu durumlarda gösterimi ... 77

ġekil 6.2: Analiz sonuçlarının normalize edilmiş narinlik değerinin 1‟den küçük olduğu durumlarda gösterimi ... 78

(15)

xi

SEMBOL LĠSTESĠ

A : En kesit alanı

Cb : Elemanın tamladığı çevirim sayısı

E : Elastisite modlülü

EN : Parametrik çalışmada analiz sonucu olarak bulunan harcanan enerji

ENanaliz : Analiz sonucu olarak bulunan harcanan enerji

ENn : Normalize edilmiş enerji

ENtest : Deneysel çalışma sonucu bulunan harcanan enerji

ENy : Elemanı eksenel çekme kuvvetleri altında akmaya ulaştıracak enerji

I : Atalet moment

K : Efektif burkulma boyu katsayısı L : Elemanın uzunluğu

M : mesnetten x kadar uzaklıktaki moment değeri

m : Enerji ile narinlik arasındaki bağıntıyı tanımlamakta kullanılan

katsayı

n : Ramberg – Osgood bağıntısı üssel ifadesi

P : Eksenel kuvvet

Py : Elemanı akmaya ulaştıran eksenel çekme kuvveti

r : Enerji ile narinlik arasındaki bağıntıyı tanımlamakta kullanılan

katsayı alanı

s : Enerji ile narinlik arasındaki bağıntıyı tanımlamakta kullanılan

katsayı

α : Ramberg – Osgood bağıntısı katsayısı Δ : Elemanın orta noktasının deplasmanı δ : Eksenel deplasman

δy : Akma anında eksenel deplasman ε : Birim şekil değiştirme

λ : Narinlik

λcr : Kritik narinlik

λn : Normalize edilmiş narinlik

ν : Yatay deplasman

σ : Gerilme

σcr : Kritik gerilme

σy : Akma gerilmesi

σ0 : Ramberg – Osgood ifadesi için akma gerilmesi

σ1 : 1 asal ekseni doğrultusunda gerileme

σ2 : 2 asal ekseni doğrultusunda gerileme

σ3 : 3 asal ekseni doğrultusunda gerileme d : Şekil değiştirme matrisi

F : Yük matrisi K : Rijitlik matrisi

(16)

(17)

xiii

ÇELĠK ÇAPRAZ ELEMANLARDA NARĠNLĠK ENERJĠ YUTMA ĠLĠġKĠSĠ

ÖZET

Sismik bölgelerde bina edilen yapılarda, yapıya düşey yükler ile birlikte sismik kaynaklı yatay yükler de etki etmektedir. Günümüz modern çelik yapılarına, çeliğin sünek davranışı göz önüne alınarak, yapıya etkiyen bu yatay yükleri yapı elemanlarında elastik ötesi davranış ile karşılamayı hedefleyen bir tasarım felsefesi ile yaklaşılmaktadır. Sismik hareketler sonucu ortaya çıkan sismik enerjinin bir kısmı, yapıda öngörülen bölgelerde meydana gelecek elastik ötesi davranış ile yapı üzerinde tüketilmektedir. Elastik ötesi davranışın meydana geleceği öngörülen yapı elemanlarından bir grubu da çelik çapraz elemanlardır.

Bu çalışmanın amacı, sismik yükler gibi tekrar eden karaktere sahip yükler altında çelik çapraz elemanların davranışının incelenmesi ve çapraz elemanın narinliği ile çevrimsel yükler altında yuttuğu enerji arasında bir ilişki kurabilmektir. Bu doğrultuda izlenen yol, deneysel olarak yapılmış çalışmaların sonlu eleman modelleri yapılarak sonlu eleman modellerinin doğrulanması, modelleme tekniğinin ve yönteminin doğruluğundan yola çıkarak araştırma kapsamında parametrelerin belirlenmesi, parametrik çalışma yapmak üzere yeni modellerin üretilmesi, üretilen modellerin analize tabi tutulup çıkan sonuçların parametrelere göre incelenmesi ve yapılan incelemelere göre araştırma amacına yönelik sonuçlara varılıp önerilerde bulunması şeklindedir.

Çelik çapraz elemanların çevrimsel davranışını gözlemlemek için ABAQUS sonlu elemanlar analiz programı kullanılmıştır. Deneysel çalışmalar arasında seçim yapılırken, kullanılan kesitler, malzeme ve yükleme tipi deneysel çalışmada ve model doğrulaması için oluşturulan modellerde birebir ötüşecek biçimde, literatürde mevcut bulunan deneysel çalışmalar arasından uygun ve yeterli veriye sahip olanlarının seçilmesine özen gösterilmiştir. Seçilen çalışmaların modelleri hazırlanırken, basınç yükleri altında burkulmanın gözlemlenebilmesi için yapılan tüm modellere çelik çapraz eleman boyunun 1/1000‟i kadar ön kusur tanıtılmıştır. Uygulanan yükleme protokolleri modellere sınır koşulu olarak tanıtılmış ve analiz sonuçları deney sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Sonlu eleman modellerinden elde edilen sonuçlar ile deney sonuçlarının bu araştırma kapsamında yeterli yaklaşıklıkta olduğu gözlemlenmiştir. Aynı analiz ve modelleme yöntemi kullanılarak parametrik çalışma yapmak üzere yeni modeller üretilmiştir. Araştırmanın amacına uygun olarak, 10 adet farklı narinlikte HE200B kesitine sahip çelik çapraz eleman modeli, akma deplasmanın katlarından oluşan yükleme protokolü ile yüklenmiştir. Analizler, sonucunda, çelik çapraz elemanın narinliği, yaptığı çevrim sayısı ve yuttuğu enerji düzeyi ile ilgili matematiksel bir ifade üretilmiştir. Üretilen ifadeden ve parametrik çalışmadan elde edilen verilerden yararlanılarak çalışmanın amacı doğrultusunda sonuçlara varılmış ve önerilerde bulunulmuştur.

(18)

(19)

xv

SLENDERNESS AND ENERGY DISSIPATION RELATION FOR STEEL BRACES

SUMMARY

Structures which are built in the seismic regions are subjected to horizontal loads in addition to vertical loads. Contemporary steel structures are designed in a philosophy that considers the ductility of steel and inelastic behavior of structural elements due to the horizontal loads. Seismic energy that is produced by seismic activities is dissipated on the structure by the inelastic behavior of the elements which are foreseen to perform an inelastic behavior during seismic activities. Steel braces are the one of these elements which are foreseen to perform an inelastic behavior.

The purpose of this research is to investigate the behavior of steel braces under the cycling and repeating loads such as seismic loads and to define the relation between the slenderness of element and energy dissipation of the element. For this goal, finite element models of steel braces those have been investigated by experimental studies have been produced to verify the finite element models. After verifying that finite element models are simulating the behavior of brace well enough, parameters of research is defined to study parametric investigation of steel braces. By considering the parameters of the research, new finite element models are produced. Results of the analysis of the finite element models are studied and due to parametric study, conclusions and suggestions are made in the purpose of the research.

Commercial finite element software ABAQUS is used for the observation of cyclic response of steel braces. While choosing the experimental studies that have been used for the verification of models, extra effort is performed to select the suitable experimental researches those have enough datum to simulate the experiment with finite element software, ABAQUS. To obtain buckling under axial compression loads, both in verification models and parametric investigation, all the models have been modeled with an initial imperfection that is the 1/1000 of the original length of the brace. Loading protocols have been introduced to models as boundary conditions. The results that been gained form analysis of finite element models and experimental researches have been compared. It has been concluded that finite element models simulate the behavior of the steel brace well enough in the purpose of that research. By using same modeling technique and methodology, new models are produced to study parametric investigation of steel braces. For the purpose of the research, 10 different steel brace models which have different slenderness and have a HEB 200 cross-seciton have been loaded with a unique loading protocol that is expressed in the terms of yielding displacement. A function is developed that defines the relation of energy dissipation, slenderness and cycles that brace completed. Conclusions and suggestions are made in the light of the results of parametric investigation and the function produced.

(20)

(21)

1

1. GĠRĠġ

1.1 Konu

Çelik yapı tasarımında önemli bir yer kaplayan sismik tasarım konusu, ardımızda bıraktığımız son 25 yıl boyunca yoğun biçimde irdelenmiştir. Özellikle “Northridge” depreminden sonra, yapıların deprem etkisi altındaki davranışları konusuna önem verilmiş ve yapıya etki eden sismik yüklerin yapıda göçme olmadan yapı üzerinde enerji tüketecek şekilde tasarlanabilmesi konusu üzerinde yoğun araştırmalar yapılmıştır. Çelik yapılar üzerinde yapılan araştırmalarda, çelik malzemenin kendisinin de sünekliğinden yararlanılarak sünek taşıyıcı sistemlerin tasarımı konusunda bilgiler üretilmiştir. Bu bilgiler, sismik yüklere maruz kalan yapılarda, yatay yükleri karşılamak için kullanılan taşıyıcı sistem tipleri, bunların birleşim detayları ve bu yapıların deprem etkisi altındaki davranışlarını içeren alt başlıklardan oluşmaktadırlar.

Merkezi çelik çaprazlı taşıyıcı sistemler, sismik bölgelerde yapılan çelik yapılarda, düşey yüklerin yanında yapıya etki eden yatay yüklerinin karşılanmasında sıklıkla kullanılan taşıyıcı sistem tiplerindendir. Bu tip taşıyıcı sistemlerin tasarım felsefeleri; yapıya etki eden yatay yükler, merkezi çelik çaprazlar ile karşılanacak ve deprem enerjisi çapraz elemanlarda gözlenecek olan elastik ötesi davranış ile çelik çapraz elemanlar üzerinde tüketilecektir, ilkesini benimser. Çelik çapraz elemanlarda elastik ötesi davranış gözlenirken, taşıyıcı sistemin diğer elemanlarının elastik davranış sergilemesi istenir. Çelik çapraz elemanlar deprem hareketi altında tekrarlı çevrimsel yükler etkisinde inelastik davranış ile deprem enerjisini üzerlerinde harcarken, elastik davranış sergileyen taşıyıcı sistemin diğer elemanlarının, taşıyıcı sistemin üzerinde bulundurduğu düşey yükleri ve çapraz elemanların elastik ötesi davranışından kaynaklanan yükleri taşıyacak kapasiteye ve stabiliteye sahip olması hedeflenir. Çelik çapraz elemanların davranışları 1970‟li yılların sonundan günümüze kadar araştırma konusu olmuştur. Bilim adamları çapraz elemanların davranışını kavrayabilmek ve davranışa etki eden etmenleri ayırt edebilmek için teorik ve deneysel çalışmalar yapmışlardır. Çapraz eleman davranışını gözlemlemek üzere

(22)

2

yapılan deneysel çalışmalar; Jain‟in tek korniyer ve ince cidarlı kutu kesitler üzerinde 1978 yılında yapmış olduğu çalışmalar, Black‟in 1980 yılında geniş başlıklı I kesitler, çift korniyerler, çift U kesitler, ince cidarlı kutu ve boru kesitler üzerinde yapmış olduğu araştırmalar, Zayas‟ın 1980‟de ince cidarlı boru kesitler üzerinde yapmış olduğu çalışmalar, Astaneh‟in 1982‟de çift korniyerden oluşan kesitler üzerinde yapmış olduğu çalışmalar, Archambault‟un 1995‟de ince cidarlı kutu kesitler üzerinde yapmış olduğu çalışmalar, Leowardi ve Walpole‟un 1996‟da geniş başlıklı I kesitler üzerinde yapmış olduğu araştırmalar, Tremblay‟in 2002‟de ince cidarlı kutu kesitler, Geniş başlıklı I kesitler, çift korniyerden oluşan kesitler ve ince cidarlı boru kesitler üzerinde yapmış olduğu çalışmalar, Gogginsa‟nın 2006‟de soğukta şekil verilmiş kutu kesitler üzerinde yapmış olduğu çalışmalar ve Fell‟in 2009 yılında, ince cidarlı kutu ve boru kesitler, geniş başlıklı I kesitler üzerinde yapmış olduğu araştırmalar olarak özetlenebilir. Bununla birlikte, deneysel çalışmaların sonuçlarından faydalanarak çapraz elemanların davranışını modellemek üzere birçok analatik ve teorik çalışma yapılmıştır. Bunlardan bazıları; Ikeda‟nın 1984 de yaptığı çalışmalar, Hassan‟nın 1991 yılında yaptığı çalışmalar, Jain‟in 2003 yılında yapmış olduğu çalışmalar, Dicleli‟nin 2006‟da yapmış olduğu çalışmalar olarak tanımlanabilirler.

Çelik çapraz elemanların tekrarlı yükler altında enerji yutma kapasitesine etkiyen çeşitli etmenlerin olduğu yukarda da bir kısmı verilen araştırmalarla saptanmıştır. Yapılan araştırmalar sonucunda enerji yutma kapasitesine etki eden en önemli etmenlerden bazıları; çelik çapraz elemanın kesit narinliği, elemanın global narinliği, soğukta şekil verme ve düşük çevrimli yorulma olarak tanımlanabilir. Bu etmenlerden elemanının global narinliği tezin konusunu oluşturmaktadır. Kesit narinliğinin, düşük tekrarlı yorulmanın ve soğukta şekil verme gibi diğer etmenlerin enerji yutma kapasitesine olan etkileri tezin konusu dışında tutulmaktadır.

1.2 ÇalıĢmanın Amacı

Bu çalışmanın genel amacı, yapılmış deneysel, teorik ve analatik çalışmalarla açıklanan çelik çapraz elemanın tekrarlı yükler altındaki davranışını, bilgisayar programı yardımıyla sonlu eleman analizleri yaparak incelemek ve çelik çaprazın narinliği ile çevrimsel davranış sonucu yuttuğu enerji arasında ilişki kurabilmektir. Çalışmanın amaçları kapsamında şunlar yer alır:

(23)

3

i. Doğrusal olmayan sonlu eleman analizleri yapmak üzere çelik çapraz elamanların sonlu eleman modellerinin bilgisayar ortamında oluşturulması.

ii. Oluşturulan sonlu eleman modeller yardımıyla çelik çapraz elemanların çevrimsel ve tekrarlı yükleme altındaki davranışlarının incelenmesi. Yük taşıma kapasiteleri belirlenerek, yükleme-şekil değiştirme eğrilerinin incelenmesi ve bu eğriler yardımı ile yutulan enerji hakkında bilgi sahibi olunması.

iii. Çelik çapraz elemanlara ait sonu eleman modellerinin analizlerinden elde edilen verilerin deneysel çalışmalarda elde edilen verilerle kıyaslanarak, modellemenin doğrulu ve yaklaşıklığıyla ilgili yorum yapılması.

iv. Parametrik çalışma yapmak üzere farklı narinlik seviyelerinde çelik çapraz elemanların seçilmesi ve bunlara ait modellerin analize tabi tutularak yük yer değiştirme eğrilerinin elde edilmesi. Elde edilen eğrilerden, çelik çapraz elemanın narinliği ile yuttuğu enerji arasında bir ilişki kurulması.

1.3 ÇalıĢmada Ġzlenen Yöntem

Çelik çapraz elemanın tekrarlı yükler altında çevrimsel davranışın anlaşılması, yapılan modeller ile bu davranışın gözlemlenebilmesi, gözlemlerin sonucunda ek parametrik çalışma yapılarak sonuçlar üretilmesi bu çalışmanın en önemli unsurlarıdır. Çalışmaya öncelikle geniş bir literatür araştırması yapılarak başlanmıştır. Literatür çalışması sonucunda, çelik çapraz elemanların çevrimsel yükler altındaki davranışını, bu davranışa nelerin etmen olduğu ve bu davranışın nasıl incelenebileceği konusunda edinilen tecrübelerden faydalanılmasına imkan sağlamıştır.

Çelik çapraz elemanın çevrimsel yükler altındaki davranışının karmaşık yapısından dolayı, analitik yöntemler bu davranışın incelenmesinde yetersiz kalabilmektedir. Hem geometrik hem de malzeme bakımından doğrusal olmayan bir yapı içeren bu davranışın incelenmesinde deneysel çalışmalardan ve sayısal modelleme tekniklerinden yararlanıldığı görülmüştür. Bu çalışmada da sayısal modelleme teknikleri kullanılmış ve bu amaçla ticari bir yazılım olan ABAQUS kullanılmıştır.

(24)

(25)

5

2. ÇELĠK ÇAPRAZ ELEMANLARIN DAVRANIġI

Sismik bölgelerde yapılan yapılara ait, deprem enerjisini üzerlerinde harcamak üzere tasarlanan çelik çapraz elemanlar sismik hareketler etkisinde eksenel çekme yüklerinden ve eksenel basınç yüklerinden oluşan çevrimsel yüklere maruz kalırlar. Bu iki tip yük altında, çelik çapraz elemanlar farklı davranış sergilerler. Çelik çapraz elemanın sismik hareketler sonucu ortaya çıkan davranışının daha iyi anlaşılabilmesi için, davranış eksenel çekme yükleri altında, eksenel basınç yükleri altında ve son olarak bunların ardı sıra etkimesinden oluşan çevrimsel yükler altında ayrı ayrı incelenmiştir.

2.1 Eksenel Çekme Yükleri Altında DavranıĢ

Çelik çapraz eleman sismik yükler altında, eksenel çekme yüklerine maruz kaldığı zaman, bu eksenel yüklerden dolayı oluşan gerilmeler akma sınırına ulaşana kadar çelik çapraz elemanda elastik davranış gözlenir. Gerilmelerin, akma gerilmesini geçmesi durumunda, çapraz elemanın davranışı, malzemenin elastik ötesi davranışına uygun olarak hareket eder ve eleman üzerinde kalıcı şekil değiştirmeler meydana gelir. Tipik bir çekme davranışı Şekil 2.1 ve Şekil 2.2 ile gösterilmiştir.

(26)

6

ġekil 2.2: Eksenel yük – Eksenel deplasman 2.2 Eksenel Basınç Yükleri Altında DavranıĢ

Eksenel basınç yüklerine maruz kalan yapı elemanlarında, ekensel çekme yüklerine maruz kalması durumundan farklı olarak, bir stabilite problemi olan burkulma söz konusu olmaktadır. Yapı elemanında gözlemlenen burkulma, elemanın imal edildiği malzeme kalitesi, uzunluğu ve kesit şekli gibi bir takım karakteristik özelliklerine bağlı olarak faklı şekillerde ortaya çıkabilir. Yapı elemanında burkulma meydana gelirken, yapı üzerindeki gerilmeler lineer elastik gerilme sınırını aşmıyorsa, bu burkulma tipi elastik burkulma ya da “ Euler Burkulması” olarak adlandırılır. Yapı elemanın üzerindeki eksenel yüklerden dolayı yapı üzerinde oluşan gerilmeler lineer elastik sınırı aşıyorsa, bu burkulma tipi elastik olmayan burkulma olarak adlandırılmaktadır.

2.2.1 Elastik burkulma

Elastiktik burkulma, en çok bilinen adıyla “Eluler Burkulması” , lineer elastik malzemeden yapılmış, eksenel yükün merkezi olarak uygulandığı yapı elemanlarında tarif edilebilmektedir ve kritik yükün tanımı aşağıda belirtildiği şekilde yapılmaktadır.

Şekil 2.3‟te görülen basınç elemanı üzerinde moment-eğrilik eşitliği yazılırsa; 2

2 d v

EI M Pv

(27)

7

ġekil 2.3: İki ucu mafsallı basınç elemanı

Denklem (2.1)‟de, “E” elastisite modülünü, “I” burkulma ekseni etrafındaki atalet momentini, “P” eksenel basınç kuvvetini, “M” mesnetten kadar uzaklıktaki momenti ifade etmektedir.

2 P k EI  (2.2) Değişimi yapılırsa; 2 2 2 0 d v k dx   (2.3) İkinci dereceden lineer homojen bir diferansiyel denklem elde edilir. Bu tür bir denklemin genel çözümü;

cos

sin

v



A

kx B



kx

_(2.4)

Denklem (2.4) ‟te, A ve B olarak verilen integrasyon sabitleri, geometrik sınır koşulları uygulanarak bulunabilirler.

0

0 0 ise

sin

x



v

  

A

v



B

kx

_(2.5)

0 sin

0

(28)

8

Denklemin sıfırdan faklı bir çözümünün olması için ;

1, 2,...

kLn n _(2.7)

Denklem (2.2) ‟de ki “k” ‟yı denklem (2.7) ‟de kullanarak ve “P” için çözerek ,

2 2 2 1, 2,... n EI P n L    _(2.8)

Denklem (2.8) ‟ in en küçük değerine kritik burkulma yükü denir ve ; 2 2 cr EI P L   _(2.9)

olarak ifade edilir.

Denklem (2.9) iki ucu mafsallı basınç elemanı için üretilmiş bir ifadedir. Sınır koşulları farklı olan elemanlar için;

2 2 ( ) cr EI P KL   _(2.10)

“KL” eleman üzerinde momentin sıfır olduğu noktalar arası uzaklık olarak tanımlanabilir ve burkulma boyu olarak adlandırılır. “K” ise efektif burkulma boyu katsayısı olarak adlandırılır. Yapılan teorik çalışmalarla, çeşitli sınır koşulları için “K” değerleri Şekil 2.4 ile gösterildiği şekilde bulunmuştur.

(29)

9

2.2.2 Elastik olmayan burkulma

Eksenel basınç yüküne maruz kalan yapı elemanlarında, burkulma meydana gelirken yapı elemanı üzerinde oluşan gerilmeler lineer elastik sınırı aşıyorsa, bu burkulma tipine elastik olmayan burulma denir ve bu durum için “Euler Burkulma” formülleri geçerli değildir. Tarih içinde, lineer elastik ötesi davranışı içeren burkulma davranışı formülüze etmek için birçok teorik çalışma yapılmakla birlikte yaygın olarak deneysel çalışmaların sonuçlarından üretilen formüller kullanılmaktadır.

Yapılan deneysel çalışmalar, kritik burkulma yükü üzerinde, ön kusurlar, istem dışı dış merkezlilik, eleman üzerinde haddeleme ve kaynaklama dolayısıyla meydana gelen artık gerilmeler gibi etmenlerin rol oynadığını göstermiştir. Bu etmenler basınç elemanın ilk burkulma yüküne etki etmekle beraber, bu etkilerin detayları bu tezin kapsamı dışındadır.

Yapı elemanına etki eden eksenel basınç yükleri altında gerilmelerin lineer elastik sınırı aştığı durumlarda burkulmanın elastik burkulma tarifi dışına çıktığı ifade edilmiştir. Eleman üzerinde bulunan ön kusurlar, artık gerilmeler ve dış merkezlilik göz önüne alınarak yapılan çalışmalarla lineer elastik sınırın akma gerilmesinin yarısı olarak alınabileceği saptanmıştır.

1 2

cr y

   _(2.11)

Elemanın üzerindeki gerilmelerin değerini aştığıi durumlarda, belirtiliği üzere, “Euler” formülleri geçerli olmayıp deneysel çalışmalardan üretilen sonuçlar kullanılmaktadır. Denklem (2.10) kullanılarak, bu iki burkulma tipi arasında sınır

teşkil eden bir kritik narinlik değeri bulunabilir.

2 . 2 ( ) cr cr P EI A A KL     _(2.12) 2 I i A  _(2.13)

(30)

10 2 2 2 ( ) cr Ei KL    _(2.14) 2 2 2 (KL) i   _(2.15)

Denklem (2.15) denklem (2.14 )‟te yerine konulursa; 2 2 . cr cr E     _(2.16)

Denklem (2.16) kritik narinlik için çözülürse ;

cr cr E     _(2.17)

denklem (2.11)‟de kritik gerilme değerinin akma gerilmesinin yarısı olarak alınabileceği belirtilmiştir. Dolayısıyla;

0.5 cr y E     _(2.18)

Denklem (2.18)‟de verilen kritik narinlik değerinden daha büyük narinliğe sahip yapı elemanları, eksenel yüke maruz kaldığı durumda elastik burkulma söz konusudur ve “Euler Burkulma” formülleri geçerlidir. Yapı elemanın narinliğinin, denklem (2.18) ile verilen değerden daha küçük olması durumunda elastik olmayan burkulma söz konusudur ve bu burkulma tipi için kritik yük deneysel çalışmalardan üretilen formülasyonlar ile ifade edilir.

Narinlik ile burkulma anındaki gerilme arasındaki ilişki Şekil 2.5 ile gösterilmiştir. Elastik olmayan burkulma için çeşitli standartlar deneysel sonuçlara dayanarak faklı formülsayonlar vermektedir. Bu formülasyonlar dizayn için kullanılırken, dizaynın yapıldığı standarda göre çeşitli katsayılarla azaltılarak yapı elemanın ilk burkulma yükü elde edilmektedir. Bu tezin konusu, çelik çapraz elemanların çevrimsel davranışı üzerinde yoğunlaştığından dolayı, elemanın ilk burkulma yükü üzerinde durulmamıştır ve daha fazla detaya girilmemiştir.

(31)

11

ġekil 2.5: Narinlik - Gerilme 2.3 Çevrimsel Yükler Altında DavranıĢ

Çelik çapraz elemanın tekrarlı çevrimsel yükler altındaki davranışını kavramak için, çevrimsel davranışı, karakteristik özellikleri olan belli başlı parçalara ayırarak incelemek büyük kolaylık sağlayacaktır. Çelik çapraz elemanların davranışları genellikle “P” eksenel yükü, “δ” eksenel yer değiştirme ve “Δ” orta nokta yer değiştirmesi cinsinden ifade edilmektedir. Şekil 2.6‟da ve Şekil 2.7‟de çelik çapraz elemana ait tipik çevrimler verilmiştir. Şekil 2.6 elastik burkulmanın gözlemlendiği Şekil 2.7 ise elastik olmayan burkulmanın gözlemlendiği çevrimlerdir.

Elastik burkulmanın söz konusu olduğu Sekil 2.6‟da, “0” noktasında yüklemeye başlayarak, eleman “1” noktasına kadar artan basınç yüküne maruz kalmaktadır. Elemanın üzerinde bulunan ön kusurlar sebebiyle ikinci mertebe etkileri ortaya çıkar ve eleman, eksenine dik doğrultuda “Δ” deplasmanlarını yapar. İki ucu mafsallı çelik çapraz elemanlar için “Δ” deplasmanının en büyük değeri elemanın orta noktasında meydana gelir. “Δ” deplasmanın artmasıyla ikinci mertebe etkileri daha da büyür ve yük yer değiştirme eğrisinin eğimi azalır. “1” noktasında elastik burkulma meydana gelir ve yük – yer değiştirme eğrisi yatay asimtot halini alır. Eksenel yükün sabit kalmasına karşın deplasmanlar artmaktadır. “Δ” deplasmanın artması sonucu çelik çapraz orta noktasındaki momentler, çelik çaprazın maruz kaldığı eksenel basınç yükleri altında plastik moment kapasitesine, “2” noktasında ulaşır. Bu noktadan sonra plastik mafsal dönmeleriyle beraber ikinci mertebe etkileri daha da artar ve orta noktanın momenti artarken, kesit plastik taşıma kapasitesine ulaştığından dolayı

λ λc

(32)

12

eksenel basınç kuvveti azalır. “3” noktasında sistem üzerinden yük boşaltılmaktadır. “4” noktasında eleman üzerinde eksenel yük yok iken, elemanın üzerinde şekil değiştirme olduğu gözlemlenmektedir. Bu şekil değiştirme, elemanın üzerinde plastikleşmeden dolayı oluşan kalıcı şekil değiştirmedir. “5” noktasına kadar eleman lineer artan çekme yüklerine maruz kalır ve “5” noktasında kesitin tamamı akma gerilmesine ulaşarak yük yatay asimtota ulaşır. “6” noktasında eleman üzerinden çekme yükleri boşaltılmaya başlanır ve “7” noktasına gelindiğinde eleman üzerinde eksenel yük bulunmaz. “7” noktasına bakıldığında eleman üzerinde büyük miktarda kalıcı şekil değiştirme olduğu gözlemlenmektedir. “7” noktasında bir çevrim tamamlanmakta ve elemanın tekrar basınç yüklerine maruz kalmasıyla diğer çevrim başlamaktadır.

Şekil 2.7‟de eleman artan basınç yüklerine maruz kalırken, ön kusurlar sebebiyle eleman üzerinde ikinci mertebe etkileri ortaya çıkar ve elemanın üzerinde eksenel kuvvet ile birlikte moment birlikte bulunur. Bu iki etkinin bir arda bulunmasından dolayı “Δ” yatay deplasmanları meydana gelir ve yine iki ucu mafsallı eleman için bu deplasmanın en büyük olduğu yer elemanın orta noktasıdır. Artan eksenel kuvvet ile birlikte “Δ” yatay deplasmanı da artar ve bu da elmanın üzerinde bulunan , “PxΔ” momentinin artmasına sebep olur. “Δ” deplasmanın kritik değeri için eleman mevcut eksenel yükler altında plastik moment kapasitesine ulaşır ve “1” noktasında elastik olmayan burkulma gözlemlenir.

ġekil 2.6: Elastik burkulma gözlenen tipik bir çevrim

“2” noktasına kadar plastik dönemlerin oluşmasıyla “Δ” deplasmanı artarken eleman üzerindeki moment değeri artar ve eksenel basınç kuvveti azalır. “2”

(33)

13

noktasında sonra plastik dönmelerin büyümesi ve ikinci mertebe etkilerinin daha da artmasıyla “Δ” deplasmanın hızlı bir şekilde artarak momentin büyümesine eksenel kuvvetin ise azalmasına sebep olur. “3” noktasından itibaren eleman üzerindeki yük boşaltılmaya başlanır ve “4” noktasına gelindiğinde eleman üzerinde eksenel yük bulunmaz. “4” noktası incelendiğin de elemanın üzerinde büyük miktarda kalıcı deplasman olduğu gözlemlenmektedir. “4” noktasından itibaren eleman eksenel çekme yüklerine maruz kalır. Eleman üzerindeki büyük kalıcı şekil değiştirmenin etkisiyle, eksenel yüklerin yanında moment de mevcuttur. “5” noktasına ilerlenirken, çekme kuvvetleri söz konusu olduğundan “Δ” deplasmanı azalır dolayısıyla, moment azalırken eksenel kuvvet artar. “5” noktasında eleman üzerinde bulundurduğu moment altında eksenel çekme kapasitesine ulaşır. “6” noktasına kadar çekme yüklerinin etkisiyle “Δ” deplasmanı azalırken, moment azalır ve eksenel çekme yükü artar. “6” noktasında kesit tamamen eksenel kuvvet etkisiyle akmaya ulaşır. “7” noktasında eleman üzerindeki eksenel çekme kuvvetleri boşaltılmaya başlanır ve “8” noktasında eleman üzerinde hiçbir yük kalmaz. “8” noktasında mevcut olan deplasmana bakıldığında sistem üzerinde büyük miktarda kalıcı şekilde değiştirme gözlemlenir. “8” noktasından sonra eleman tekrar basınç yükleriyle yüklenerek diğer çevrime devam edilir.

ġekil 2.7: Elastik olmayan burkulmalı tipik bir çevrim

Çelik çapraz elemanın çevrimsel yükler altında, eksenel yük – eksenel yer değiştirme eğrisinin bir çevrimde kapattığı alan, çelik çapraz elemanın o çevrimde harcadığı enerji olarak tanımlanır. Elemanın yuttuğu toplam enerji, çevrimsel davranış sonucu

(34)

14

eğrilerin altına kalan toplam alana eşittir. Şekil 2.8‟de tipik bir çevrimde harcanan enerji, eğrinin kapattığı alan taranarak gösterilmiştir.

(35)

15

3. SONLU ELEMANLAR ANALĠZĠ

Bu çalışmanın amacı, çelik çapraz elemanların tekrarlı çevrimsel yükler altında yuttuğu enerji ile elemanın narinliği arasında bir ilişki kurabilmektir. Bu araştırmada, sonlu elemanlar yönteminden, çelik çapraz elemanların sayısal modellerinin oluşturulmasında yararlanılmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi, genel olarak, karmaşık geometri, yükleme ve/veya kesit özelliklerine sahip mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılır. Kullanıcıya, karmaşık problemleri genel ya da kısmi diferansiyel denklemlerin çözümüne gerek olmadan sonuçlandırma olanağı sunar. Sonlu elemanlar analizi, çözümü karmaşık ve neredeyse imkansız olan diferansiyel denklemler yerine, sistematik biçimde, eşzamanlı cebirsel denklemler kurarak çözümü sonuçlandırır. Yöntem, sonlu sayıda düğüm noktasında birleşmiş, sonlu sayıda yapısal eleman ağı oluşturur ve bunları düzenler. Yapılan analizle, orijinal sistem bir, iki ve üç boyutlu yapı elemanlarının kullanıldığı eşdeğer sisteme indirgendiğinden, yapının yaklaşık çözümü elde edilir. Lineer olmayan sonlu eleman analizi yapmak için, bu çalışmada, çok amaçlı ticari sonlu eleman paket yazılım programı, ABAQUS kullanılmıştır.

ABAQUS kullanılarak gerçekleştirilen sonlu elemanlar analizleri ile çelik çapraz elemanların tekrarlı çevrimsel yükler altındaki davranışı, farklı narinlik değerleri için, deneysel laboratuar çalışması yapmadan incelenebilmiştir. Bu program ile oluşturulan çelik çapraz elamanların modelleri, elemanın lineer olmayan davranışını gözlemleyebilmek amacıyla, malzeme ve geometrik bakımdan lineer olmayacak şekilde modellenmiştir.

Ardışık yük artırımı yöntemi ile lineer olmayan analiz yapılarak çelik çapraz eleman modelinin tekrarlı çevrimsel yükler altındaki davranışı incelenmiştir. Analizlerden elde sonuçlar yapılan deneysel çalışmalarla karşılaştırılmıştır.

3.1 Sonlu Eleman Analiz Adımları

Elemanın modelleme ve belirli yükleme altındaki analiz süreci, düğüm noktalarında kesişen küçük birimler (sonlu elemanlar) halinde eşdeğer sisteme ayrıştırılmasıyla

(36)

16

başlamaktadır. Gerçek yapı davranışına yeterince yaklaşabilmek için, uygun eleman tipinin seçilmesi önemlidir. Modelden iyi sonuçlar elde etmek için, genellikle, eleman ağı yoğunluğunu artıracak şekilde küçük elemanlar kullanılır. Teorik bakımdan, uygun olarak oluşturulmuş elemanların ağ boyutu küçültüldüğünde, analizin sonucu gerçek yapının kesin sonucuna daha da yaklaşır. Analizin doğru yaklaşabilmesi için, elemanların önceki elemanlarla uyumu çok önemlidir. Eğer elemanların uyumu sağlanamamışsa, elemanlar birbirinden bağımsız hareket ederek, modelde boşluklar veya üst üste binmeler oluşturur. Ayrıca, düğüm noktalarında büyük gerilme yığılmaları oluşur. Bu durum, analizin önceden tahmin edildiği gibi yaklaşık sonuçlanmamasına sebep olur.

Sonlu eleman yöntemindeki ikinci adım, eleman özelliklerinin geliştirilmesidir. Bunun için, modele ait kuvvetler ve şekil değiştirmeler birbirleriyle ilişkilendirilmelidir. Düğüm noktalarına etkiyen yüklerin yer değiştirme ile sonuçlanmasının bağıntısı çıkarılarak, eleman karakteristikleri özetlenir. Bu bağıntı ile elemanın rijitlik matrisi oluşturulur. Eleman matrisleri, her eleman için ayrı ayrı oluşturulur. Bu elemanter matrisler, global rijitlik matrisi [K] olarak adlandırılan tek bir rijitlik matrisine dönüştürülür. Global rijitlik matrisinin her satır ve sütunu yapısal elemanın serbestlik derecesini gösterir . Aşağıdaki denklem (3.1)‟de,

 

K , global rijitlik matrisinin kullanıldığı sistemlerde, kuvvetler F ve şekil değiştirmeler d arasındaki ilişkiyi tanımlar.

    

F  K d (3.1)

Son olarak, bilinmelidir ki yapılar yüklere etki noktalarında ya da mesnet noktalarında tepki verirler. Bundan dolayı, mesnetlerde sınır koşullarının belirlenmesi, yapının vereceği tepkiyi tamamıyla etkileyeceğinden, gerçek yapınınkilere uygun olarak özenle belirlenmelidir.

Sonlu eleman analizinin en kritik üç adımı yukarıda anlatılmıştır, tüm analiz süreci ise aşağıdaki akış şeması ile özetlenmiştir.

(37)

17

Düğüm noktalarında birleşen elemanlara ayrıştırılmış sürekli yapının oluşturulması

Eleman özellikleri, geometri ve malzeme özelliklerinden yola çıkarak eleman rijitlik matrisinin

oluşturulması

Tüm eleman rijitlik matrislerinin global rijitlik matrisi olarak birleştirilmesi

Modelin mesnetlerinde sınır koşullarının belirlenmesi

Modele yüklerin uygulanması

Şekil değiştirmeler için denklem matrisinin çözülmesi

 

{ }

}

{F  K d

Elemanda oluşan gerilme ve tepkilerin şekil değiştirme sonuçlarından yararlanılarak hesaplanması

ġekil 3.1: Sonlu elemanlar analiz süreci akış şeması 3.2 Lineer Olmayan Sonlu Eleman Analizi

Lineer elastik özellikteki bir problemin çözümünde, şekil değiştirmeler son derece küçük kabul edildiğinden, yapının analizi lineer olarak gerçekleştirilir. Yapılardaki lineer olmama durumu, malzeme açısından ve geometrik açıdan olmak üzere iki gruba ayrılabilir. Bu lineer olmayan davranış, malzemenin deformasyonu ve rijitlik değişimi ile ilişkilidir.

Malzeme açısından lineer olmayan davranış, gerilme-şekil değiştirme davranışının, lineerliğini kaybetmesiyle ortaya çıkar. Hooke kanunu olarak bilinen denklem (3.2), lineer davranışı karakterize eder.



(38)

18

Hooke kanunun geçerli olduğu sınırdan sonra şekil değiştirmeler yüklemeyle orantılı değişmez. Elastik gerilme sınırının aşılmasından sonra ise lineer olmayan davranışın kontrol edici olduğu plastik bölgeye geçilir. Bu sınırlar, Şekil 3.2‟deki Gerilme-Şekil değiştirme eğrisinde gösterilmiştir.

ζp ζe E 1 ζ ε εe

ġekil 3.2: Gerilme-Şekil değiştirme eğrisi

Geometrik nonlineerlik ise, büyük şekil değiştirmeler gibi, modelin biçimindeki değişim olarak görülür. Model geometrisindeki değişim, yükün hem dağılımını hem de şiddetini etkiler.

Lineer olmayan analiz, yükleme altındaki yapının denge konumunu belirlemek amacıyla tekrarlı olarak yapılır. Lineer olmayan yapıda, sonuca lineer denklem sistemlerinin çözülmesiyle ulaşılamaz. Çözüm yüklemenin adım adım yapılmasıyla elde edilir.

Sonlu elemanlar analiz programı, ABAQUS, iki nonlineerlik tipinin de modellenebilirliğini desteklemektedir. Araştırma dahilinde, programda, çelik çapraz eleman küçük adımlarla tekrarlı olarak yüklenir ve her adımdaki tepkinin lineer olduğu varsayılır. Tekrarlı yüklemenin her adımından sonra, yapının gösterdiği yeni tepki tanımlanır ve yeni lineerleştirilmiş tepki (örn: tanjant rijitlik matrisi) hesaplanır. Her adım dahilinde, lineerleştirilmiş yapısal problem, şekil değiştirmedeki değişim için çözülür. Yeni bulunan yer değiştirme sonuçları, bir önceki adımda bulunanlara eklenir. Yakınsaklaşan her adımdan sonra, yeni yük artırımından önce, yapının iç kuvvetleri ve şekil değiştirmelerinden faydalanarak rijitlik matrisi yeniden elde edilir. Bu rijitlik matrisi şu şekilde gösterilebilir:

(39)

19

   

kT  ko 

 

kp (3.3)

Bu eşitlikte, [ko], eksenel davranışı temsil eden genel lineer rijitlik matrisi, [kp], her

yük artırımı adımına başlarken yüklemeye bağlı olarak bulunan başlangıç rijitlik matrisidir.

3.3 Lineer Olmayan Sonlu Eleman Çözüm Tekniği

Yapılan araştırmada, tekrarlı çözüm süreci modelin nonlineer davranışının belirlenmesi için gereklidir. Kullanılan sonlu eleman analiz programı, ABAQUS, var olan birçok çözüm tekniği içinden, Newton - Raphson teknikleri ve Secant yönteminden birini kullanır. İki yöntem de sistemin lineer olmayan davranışının belirlenmesinde kullanılan etkili araçlardır.

Bu çalışmada, ABAQUS, sonlu elemanlar analiz programının varsayılan çözüm algoritması olan Newton - Raphson tekniği kullanılmıştır. Bu yaklaşıma göre, uygulanan kuvvet, adım adım artırılarak yüklenir. Newton - Raphson algoritması, her yük seviyesinde lineer tanjant rijitlik matrisini art arda oluşturarak lineer olmayan denge denklemlerini belirler (Şekil 3.3). Tanjant rijitlik matrisi, her yükleme aralığında, iç kuvvetler ve uygulanan yük arasındaki farklara bağlı olarak değişir. Yeterince yaklaşık sonuç elde etmek için gerekli olan tekrar sayısı sistemin lineer olmama derecesine bağlı olarak değişir.

(40)

20

3.4 Akma KoĢulu

Elastik olmayan davranış, çok eksenli gerilmeye maruz elemanın gerilme bileşenlerinin hiçbiri malzemenin sınır gerilme dayanımını aşmasa da ortaya çıkabilir. Söylenmek istenen, çok eksenli gerilme halinde, elastik olmayan davranışın, akma gerilme bileşenlerinden başka değerlerle de kontrol edildiğidir.

Bundan dolayı, gerilme bileşenleri, tek eksenli gerilmelere eşitlenmelidir. Bu eşdeğer gerilme akma gerilmesinden büyükse, akma koşulu sağlanmıştır.

Akma koşulu, herhangi bir gerilme kombinasyonu altında elastik kritik sınırı akma yüzeyi ile tanımlayan hipotezdir. Gerilme ve şekil değiştirme tansörel büyüklükler olduğuna göre, üç ana yönde ifade edilebilir ve ζ1, ζ2ve ζ3 şeklinde gösterilirler.

Akma koşulu, genellikle, akma yüzeyini tanımlayarak şematik olarak ifade edilir. Sonlu eleman analiz programı, ABAQUS, mevcut birçok akma koşulu arasından, Von Mises akma koşulunu kullanılarak akma sınır gerilmesi tanımlanır.

Von Mises akma koşulu, yalnızca en büyük ve en küçük asal gerilme arasındaki farkı değil, üç asal gerilme arasındaki farkı da dikkate alır, Denklem (3.4).



 



2 12 3 2 2 3 1 2 2 1 2 2 2 _      _             (3.4)

Von Mises gerilmesi, akma sınır gerilmesine eşit olduğunda, akma başlar. Eğer



3,

sıfıra eşit kabul edilirse, düzlem gerilme hali için  ve 1 2 ile Von Mises gerilme

koşulu yeniden oluşturulur.

  

  

2 12 2 2 2 1 2 1 2 2 2 _               _y (3.5)

Bu eşitlik genişletilip yeniden düzenlenirse,

 



  

 

2 12 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 __                         y (3.6a)

(41)

21 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1            y y y y _        (3.6b)

şeklinde elde edilen ifade,  -1 2düzlemindeki elipsin denklemini verir. Von Mises

akma yüzeyini oluşturan bu elips, Şekil 3.4 ile şematik olarak gösterilmiştir.

akma oluĢmaz

ġekil 3.4: Von Mises şekil değiştirme şeması

3.5. OluĢturulan Sonlu Elemanlar Modelleri Hakkında Genel Bilgiler

Sonlu eleman analizinde, model, düğüm noktalarında birleşen eşdeğer elemanlar dizisine ayrılmıştır. Malzeme ve eleman özellikleri belirlenerek modelin fiziksel özellikleri tanımlanmış, sınır koşulları ve yükleme durumu oluşturularak modelin maruz kaldığı ortam koşulları açıklanmıştır.

Eleman seçiminden düğüm noktası sayısının belirlenmesine, malzeme özelliklerinin tanımlanmasından sınır koşulların oluşturulmasına tüm etapların analiz sonuçlarının yaklaşıklığını etkileyeceği bilinerek model oluşturulurken dikkatli ve özenli davranılmıştır.

3.5.1 Eleman seçimi

Yapının doğru simülasyonunu gerçekleştirebilmek, eleman seçiminin uygunluğuna bağlıdır. ABAQUS, sonlu elemanlar analiz programında eleman tipi üç, iki ve bir boyutlu olarak seçilebilir.

(42)

22

Bu araştırma kapsamında analiz edilen modeller, iki-boyutlu elemanlardan oluşmaktadır. İki boyutlu elemanlar, kalınlığı diğer iki boyutuna göre daha küçük olan yüzey elemanlarıdır. Bunlar, aynı düzlemdeki düğüm noktalarında birleşir ve iki boyutlu gerilme hali için kullanılır, elemanın kalınlığı ayrıca belirlenir.

Her eleman, dört düğüm noktasında altışar serbestlik derecesine sahiptir. Bunlar, asal doğrultularındaki şekil değiştirme ve dönme bileşenleridir (Şekil 3.5). Her eleman için, düğüm noktalarında simetrik olarak uygulanan 6x6‟lık rijitlik matrisi tanımlanır.

ġekil 3.5: Elemanın düğüm noktası serbestliği

Bu çalışmada, düzlem elemanları modellemek için, söz konusu sonlu eleman programı, ABAQUS arşivinden S4 elemanları kullanılmıştır. Eleman S4, dört düğüm noktasıyla tanımlanan düz plaktır (Şekil 3.6).

(43)

23

Bu elemanın analiz sonuçları, Şekil 3.7‟de gösterilen yön kabullerine göre değerlendirilir.

(44)

(45)

25

4. MODEL DOĞRULAMASI

Bu araştırmanın amacı doğrultusunda çelik çapraz elemanların sonlu eleman modelleri yapılmış ve bu modeller araştırma kapsamında gerekli olan verileri üretmeye yönelik olarak analizlere tabi tutulmuştur. Bu analizlerden elde edinilen sonuçların, tutarlılığının ve doğruluğunun gösterilmesi, sonlu eleman modellerinden elde edilen veriler temel alınarak, çalışmanın kapsamı içinde, yorum yapmak, tavsiyede bulunmak ve sonuca varabilmek için mecburidir. Bu amaçla, laboratuar ortamında deneysel çalışması yapılan numunelerin sonlu elemanlar modeli yapılmıştır. Deneysel çalışmaların ayrıntıları ve sonuçları “Inelastic Buckling Of

Steel Struts Under Cyclic Load Reversals - UCB/EERC – 80/40” raporunda

verilmiştir. Deneysel çalışmalara ve modellere ait detaylar ve sonuçlar tek tek incelenmiş ve irdelenmiştir.

4.1 Analiz Yöntemi

Araştırmanın amacı doğrultusunda yapılmış olan sonlu eleman analizlerinde, modeli yapılan çelik çapraz elemanın çevrimsel davranışının elde edilebilmesi hedeflenmiştir. Tanımlanan bu hedefin gerçekleştirilebilmesi çapraz elemanın, modele sınır koşulları olarak tanımlanan yükleme protokolü kaynaklı çekme yükleri altında akması ve basınç yükleri altında burkulması ile söz konusu olabilmektedir. Modelde çekme yükleri altında akmanın gözlemlenmesi için ayrıca bir modelleme tekniği kullanılmasına gerek duyulmaz iken, basınç yükleri altında burkulmanın gözlemlenebilmesi için burkulmayı tetikleyici bir modelleme ile probleme yaklaşılmalıdır. Çeşitli yöntemler ile burkulmayı tetiklemek mümkün olmakla birlikte bu çalışmada, modeli yapılan çelik çapraz elemanların eksenlerinin orta noktalarına, etrafında burkulma olacak eksene dik doğrultuda eleman boyunun 1/1000‟i büyüklüğünde bir ön kusur tanıtılmıştır. Yapılan çalışmalarda, modele tanıtılan ön kusurun burkulmayı tetiklemek için yeterli olduğuna ve tanımlanan bu ön kusur büyüklüğünün çelik çapraz elemanın ilk burkulma yüküne ufak bir etkisinin olduğu izlenmekle birlikte bu ön kusur büyüklüğünün toplam çevrimsel davranışa bir etkisi olmadığı gözlemlenmiştir.

(46)

26

4.2 Malzeme Modeli

Deneysel çalışması yapılan çelik çapraz elemanların sonlu eleman modellerinin doğru biçimde oluşturulabilmesi için, sonlu elemanlar analizinde kullanılan malzeme modelinin, deneysel çalışmalarda kullanılan malzemenin davranışını uygun olarak temsil edebilmesi önemlidir. Bu amaçla, deneysel çalışmalarda kullanılan malzeme üzerinde yapılan çevrimsel kupon testi sonuçlarından yararlanılmıştır. Kupon testine ait grafik gösterim Şekil 4.1 ile verilmiştir.

ġekil 4.1: Çevrimsel kupon testi

Çalışmanın amacı çevrimsel davranışı içerdiğinden malzeme modelini belirlemek için kupon testinin ikinci çevrimdeki pozitif kısmı malzeme modelini belirlemek üzere temel seçilmiştir. Şekil 4.2 ile seçilen kısmın sayısal değerlerine ait grafik gösterim verilmiştir. Malzemenin tekrarlı çevrimler altında gösterdiği davranışı modelleyebilmek amacıyla “Bauschinger Etkisi” „ni de içeren bir malzeme modeli olan “Ramberg – Osgood” malzeme modeli kupon testine adapte edilmiştir.

0 0 ( )n E E         (4.1)

Denklem (4.1) ile verilen “Ramberg – Osgood” bağıntısında “



” birim şekil değiştirmeyi, “



” gerilmeyi, “E” elastisite modülünü, “



0” akma gerilmesini ifade

etmektedir. Bu denklemde bilinmeyen “



” ve “

n

” değerleri A36 çeliğine ait kupon testinin ikinci çevriminden yararlanılarak regresyon analizi ile bulunmuştur.

(47)

27

Regresyon analizi sonucu bulunan “



” ve “

n

” değerleri yerine konularak elde edilen malzeme davranışı ile kupon testinin ikinci çevrimi Şekil 4.3‟te gösterilmiştir.

ġekil 4.2: Kupon testinin, Ramberg – Osgood modeli parametrelerini belirlemek üzere kullanılan kısmı

1.241 ve n 14.434

   (4.2)

ġekil 4.3: Ramberg – Osgood bağıntısı ile kupon testinin karşılaştırılması Regresyon analizi sonucu bulunan “Ramberg – Osgood” denklemi parametreleri kullanılarak elde edilen malzeme modeli, Şekil 4.3‟te de görüldüğü gibi kupon testiyle uyum içindedir. Kupon testi ufak birim şekil değiştirme değerleri için yapılmış olup sonlu eleman modeli oluşturulurken malzeme modelinin büyük birim şekil değiştirme değerleri “Ramberg – Osgood” bağıntısından elde edilmiştir.

(48)

28

4.3 Model - 1

Model - 1, deneysel çalışması yapılmış olan W 8 x 20 geniş başlıklı I kesitine sahip, iki ucu mafsallı olarak mesnetlenmiş, uzunluğu 150 inch olan ve narinliği 120 olan numunenin modelidir. Şekil 4.4 ile model - 1„in sonlu elemanlar ağı görünümü verilmiştir.

(49)

29

4.3.1 Yükleme protokolü

Yapılan analizler deplasman kontrollü olarak yapıldığından, deneyde uygulanan deplasmanlar sınır koşulu olarak sonlu eleman modeline tanıtılmıştır. Yükleme protokolünün grafik gösterimi Şekil 4.5‟de verilmiştir.

ġekil 4.5: Model – 1‟e ait yükleme protokolü 4.3.2 Çevrimsel davranıĢ

Sonlu eleman modeline tanıtılan eksenel deplasmanlar sonucu, numune tekrarlı çevrimsel yüklere maruz kalmıştır. Araştırmanın amacına yönelik olarak, numunenin tanıtlan deplasmanları gerçekleştirebilmesi için harcadığı enerji “Yük – Deplasman” eğrisinin altında kalan alanlar olarak hesaplanmıştır. Deney sonucunda elde edilen çevrimsel eğriler ile analiz sonucunda elde edilen çevrimsel eğriler, sonuçların değerlendirilmesine yönelik olarak aynı grafikte gösterilmiştir. Deney sonucu ve analiz sonucu oranlanarak başarım hesaplanmıştır. Şekil 4.6 ile model - 1‟e ait çevrimsel davranışın grafik gösterimi verilmiştir.

(50)

30

(51)

31 4.4 Model - 2

Model - 2, deneysel çalışması yapılmış olan W 6 x 25 geniş başlıklı I kesitine sahip, iki ucu mafsallı olarak mesnetlenmiş, uzunluğu 62 inch olan ve narinliği 40 olan numunenin modelidir. Şekil 4.7‟de modelin sonlu elemanlar görünümü verilmiştir.

ġekil 4.7: Model – 2‟nin görünümü

4.4.1 Yükleme protokolü

ġekil 4.8: Model – 2‟ye ait yükleme protokolü 4.4.2 Çevrimsel davranıĢ

(52)

32

(53)

33 4.5 Model - 3

Model - 3, deneysel çalışması yapılmış olan W 6 x 20 geniş başlıklı I kesitine sahip, iki ucu mafsallı olarak mesnetlenmiş, uzunluğu 120 inch olan ve narinliği 80 olan numunenin modelidir. Modelin sonlu elemanlar ağı Şekil 4.10 ile verilmiştir.

ġekil 4.10: Model – 3‟ün görünümü 4.5.1 Yükleme protokolü

(54)

34

(55)

35 4.6 Model - 4

Model - 4, çift korniyerden oluşan 2L 6 x 3 – 1/2 x 3/8 kesitine sahip, iki ucu mafsallı olarak mesnetlenmiş, uzunluğu 111 inch olan ve narinliği 80 olan deneysel çalışması yapılmış numunenin modelidir. Modelin sonlu elemanlar ağı Şekil 4.13 ile verilmiştir.

(56)

36

(57)

37 4.7 Model - 5

Model - 5, çift korniyerden oluşan 2L 4 x 3 – 1/2 x 3/8 kesitine sahip, iki ucu mafsallı olarak mesnetlenmiş, uzunluğu 150 inch olan ve narinliği 120 olan deneysel çalışması yapılmış numunenin modelidir. Modelin sonlu elemanlar ağı Şekil 4.16 ile verilmiştir.

(58)

38

(59)

39 4.8 Model - 6

Model - 6, çift U‟dan oluşan 2 C 8 x 11.5 kesitine sahip, iki ucu mafsallı olarak mesnetlenmiş, uzunluğu 118 inch olan ve narinliği 120 olan deneysel çalışması yapılmış numunenin modelidir. Modelin sonlu elemanlar ağı Şekil 4.19 ile verilmiştir.

ġekil 4.20: Model – 6‟ya ait yükleme protokolü 4.8.2 Çevrimsel davranıĢ

(60)

40

(61)

41 4.9 Model - 7

Model - 7, deneysel çalışması yapılmış olan, WT 8 x 22.5 kesitine sahip, iki ucu mafsallı olarak mesnetlenmiş, uzunluğu 126 inch olan ve narinliği 80 olan numunenin modelidir. Modelin sonlu elemanlar ağı Şekil 4.22 ile verilmiştir.

Yapılan analizler deplasman kontrollü olarak yapıldığından, deneyde uygulanan deplasmanlar sınır koşulu olarak sonlu eleman modeline tanıtılmıştır. Yükleme protokolünün grafik gösterimi Şekil 4.23‟te verilmiştir.

ġekil 4.23: Model – 7‟ye ait yükleme protokolü 4.9.2 Çevrimsel davranıĢ

(62)

42

(63)

43 4.10 Model Doğrulamasına Ait Genel Sonuçlar

Bu çalışmanın amacı doğrultusunda yapılmış olan sonlu elemanlar modellerinin yeterli doğruluğa sahip olduğunu gösterebilmek amacıyla faklı kesit tiplerine ve farklı narinliklere sahip olan 7 adet deneysel çalışması yapılmış olan numunenin sonlu elemanlar modeli oluşturulmuştur. Bu modeller deneysel çalışmada uygulanan yükleme protokolleri ile yüklenerek analize tabi tutulmuşlardır. Analizler sonucu elde edilen yük – deplasman eğrileri ve deneysel çalışma sonucu elde edilen yük deplasman eğrileri aynı grafikte gösterilmişlerdir. Analizler sonucu elde edilen eğrilerin altında kalan alan analiz sonucunda numunenin harcadığı enerjiyi, deneysel çalışma sonucu elde edilen eğrilerin altında kalan alan deneysel çalışmada elemanın harcadığı enerjiyi göstermektedir. Hem deneysel çalışma sonucu hem de analiz sonucu harcanan enerji 7 numune için de ayrı ayrı hesaplanmış ve ilgili grafiklerde gösterilmiştir. Deneysel çalışma sonucu ve sonlu elemanlar analizi sonucu harcanan enerjilerin oranları başarım olarak adlandırılmış ve her bir numunenin başarımı yine o numune ile ilgili grafikte gösterilmiştir. Her bir numune ile ilgili başarımlar irdelendiğinde, harcanan enerjilerin benzerliği bakımından ifade edilen başarımın %90 „nın üzerinde olduğu gözlemlenmektedir. Deneysel sonuçlara etki eden bir çok etmen olduğu göz önüne alınarak, elde edile başarımın bu çalışmanın kapsamı içinde yeterli olduğu görülmektedir. Elde edilen başarıma dayanarak, çalışmanın amacı doğrultusunda yapılan sonlu eleman modellerinin çelik çapraz elemanın davranışını yeterli seviyede temsil ettiği söylenebilir.

(64)