GAP (Grup, Algoritma ve Programlama)

GAP (Grup, Algoritma ve Programlama)

Erkan Murat TÜRKAN

Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara

Grup/Temsil Kuramından Kesitler Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul

08 Şubat 2010

GAP ne için kullanılır?

Yapılacak ispatların doğruluğunu bazı gruplar üzerinde denemek

Gruplar Kuramı eğitiminde önemli görülen tanımların GAP ile somutlaştırılması

Grupların merak edilebilecek bazı özelliklerini incelemek

GAP’ta grup nasıl tanımlanır?

Üreteçlerle grup tanımlama gapi g:=Group((1,2,3,4,5),(1,2));

i Group([(1,2,3,4,5),(1,2)])

gapi h:=Group([[1,2,3],[1,2,1],[1,1,-1]]);;

Serbest Grup tanımlama ve bu serbest gruptan, üreteç ve bağıntılarla grup tanımlama

gapi g:=FreeGroup(2);

h free group on the generators [f1,f2] i gapi h := g /[g .1⁷, g .2², g .2 ∗ g .1 ∗ g .2 ∗ g .1];

h fp group on the generators [f1,f2] i AllSmallGroups(Mertebe,Aranan Kriter);

Listeler ve Kümeler

Liste tanımlama a:=[];

b:=["elma",2,true,5,false];

Listeye nesne ekleme

Add(liste adı ,eklenecek nesne);

Listeye liste ekleme

Append(liste adı ,eklenecek liste);

Listeyi kümeye çevirmek Set(liste adı );

Kümeye eleman eklemek

AddSet(küme adı , eklenecek eleman);

Koşullu İfadeler

gapi if . . . koşul . . . then . . . yapılması istenen şeyler

i elif . . . başka bir koşul . . . then . . . yapılması istenen şeyler i else . . . yapılması istenen şeyler

i fi;

Döngüler

for döngüsü

gapi for . . . değişken . . . in . . . liste . . . do i yapılması istenen şey

i od;

while döngüsü

gapi while . . . koşul . . . do i yapılması istenen şey i od;

Örnek

gapi g:=SymmetricGroup(7);

Sym([1..7]) gapi a:=(1,2,3,5)(4,6);

(1,2,3,5)(4,6) gapi b:=[];

[]

gapi for x in g do

i if a ∗ x = x ∗ a then i AddSet(b,x);

i fi;

i od;

Vektörler ve Matrisler

gapi v:=[2,1,3,4/5];;

gapi u:=[1,2,4,5];;

gapi 2*v;

[4,2,6,8/5]

gapi v*u;

20

gapi m:=[[1,1,-1],[2,0,4],[1,2,5]];;

gapi v*m;

[7,8,17]

gapi m*u;

[-1,18,25]

gapi m[1][3];

-1

Fonksiyonlar

gapi fonksiyona verilecek isim:=function(değişkenler) i local . . . fonksiyonda kullanılacak diğer değişkenler;

i değişkenlerle yapılacak işlemler

i return . . . fonsiyonun vermesi istenen sonuç;

i end;

function( değişkenler ) . . . end

Örnek

gapi cent:=function(g,x) i local i,a;

i a:=[];

i for i in g do i if x ∗ i = i ∗ x then i AddSet(a,i);

i fi;

i od;

i return a;

i end;

function( g,x ) . . . end

gapi cent(SymmetricGroup(5),(1,2));

Group([(1,2),(3,5),(4,5)])

Bazı ön tanımlı Fonksiyonlar

Center IsSolvable IsNilpotent IsSimple IsSubgroup Order

ConjugacyClasses RightTransversal

Aranan bir fonksiyonun GAP’ta tanımlı olup olmadığına

?Aranan fonksiyonun adı şeklinde bakılabilir

Yapı Dönüşümleri

GroupHomomorphismByImages(Tanım Grubu, Görüntü Grubu, Tanım Grubunun üreteçleri, üreteçlerin görüntüleri);

Image(yapı dönüşümünün adı , görüntüsü aranan eleman);

Kernel(yapı dönüşümünün adı);

PreImage(yapı dönüşümünün adı, ters görüntüsü aranan eleman);

PreImageRepresentative(yapı dönüşümünün adı, ters görüntüsü aranan eleman);

IsomorphismGroups(grup 1, grup 2);

Karakter Tablosu

Display(CharacterTable(Grup));

gapi comm:=function(x) i local a,i,j;

i a:=[];

i for i in x do i for j in x do

i AddSet(a,iˆ-1*jˆ-1*i*j);

i od;

i od;

i return Group(a);

i end;

comm(x) . . . end

gapi IsSolv:=function(x) i local a,b,i;

i a:=x;

i b:=comm(x);

i i:=0;

i while not (Size(a)=Size(b)) do i a:=b;

i b:=comm(a);

i i:=i+1;

i od;

i if Size(a)=1 then

i Print(x," is solvable with solvability length ",i,"\ n");

i else

i Print(x," is not solvable\ n") i fi;

i end;

gapi ct2:=CharacterTable("A5");

CharacterTable( "A5" ) gapi Display(ct2);

A5

2 2 2 . . .

3 1 . 1 . .

5 1 . . 1 1

1a 2a 3a 5a 5b

2P 1a 1a 3a 5b 5a

3P 1a 2a 1a 5b 5a

5P 1a 2a 3a 1a 1a

X .1 1 1 1 1 1

X .2 3 −1 . A ∗A

X .3 3 −1 . ∗A A

X .4 4 . 1 −1 −1

X .5 5 1 −1 . .

A = -E(5)-E(5)ˆ4 = (1-ER(5))/2 = -b5

gapi c:=CharacterTable("M11");;

gapi Maxes(c);

[ ”A6.2₃”, ”L2(11)”, ”3²: Q8.2”, ”A5.2”, ”2.S 4” ]