B ¨ol ¨um 1
Ders 01
Do˘grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler
1.1 Çözümler:Alı¸stırmalar 01
Prof.Dr.Haydar E¸s Prof.Dr.Timur Karaçay
1. Soru 1-1 A¸sa˘gıdaki ilk iki denklem sistemini grafik yöntemi ile, sonraki ikisini yerine koyma ve di˘ger ikisini de yok etme yöntemi ile çözünüz.
1.a)
x + y = 5
x − y = 1 Çözüm: x = 3, y = 2 1.b)
3x − y = 2
x + 2y = 101 Çözüm: x = 2, y = 4 1.c)
x − y = 4
x + 3y = 12 Çözüm: x = 6, y = 2
1
¸Sekil 1.1: Soru1-1b
¸Sekil 1.2: Soru1-1c
1.ç)
¸Sekil 1.3: Soru1-1cc
2x + y = 6
x − y = −3 Çözüm: x = 1, y = 4 1.d)
¸Sekil 1.4: Soru1-1d
3u − 2v = 4
4u + 4v = 12 Çözüm: u = 2, v = 1 1.e)
2x + 3y = 1
3x − y = 7 Çözüm: x = 2, y = −1 2. Soru 2
¸Sekil 1.5: Soru1-1e
A¸sa˘gıdaki denklem sistemlerini yerine koyma veya yok etme yöntemi ile çözünüz.
2.a)
¸Sekil 1.6: Soru1-2a
2x + 5y = −23
11x + 2y = 1 Çözüm: x = 1, y = −5 2.b)
3x − 6y = −9
−2x + 4y = 12 Çözüm: Yok. Do˘gruar paralel 2.c)
0.8x − y = 0
0.4x + y = 0.72 Çözüm: x =3
5= 0.6, y =12 25= 0.48 2.ç)
0.2x − 0.5y = 0.07
0.6x + 0.2y = 0.72 Çözüm: x =11
10= 1.1, y = 3 10= 0.3
¸Sekil 1.7: Soru2-2b
¸Sekil 1.8: Soru 1-2c
¸Sekil 1.9: Soru 1-2cc
¸Sekil 1.10: Soru 1-2d
2.d) 5 2x −25
6 y = −5 2
5x +4
3y = 6 Çözüm: x = 3.667, y = 3.4 2.e)
¸Sekil 1.11: Soru1-2e
x + y = 1
0.3x − 0.4y = 0 Çözüm: x =4
7= 0.57143, y =3
7= 0.42857 3. Soru 3
x - 2y= -6, 2x + y= 8, x + 2y=-2, ve x - y= -5 denklemleri ile verilen do˘g- ruları aynı koordinat düzleminde çiziniz ve bu do˘grulardan iki veya daha fazlasının kesi¸sti˘gi noktaların koordinatlarını bulunuz.
Çözüm: ¸Sekil 1.12’den görüldü˘gü gibi üç do˘gru ortak bir noktda kesi¸s- miyor. Öyleyse üç denklem tutarlı de˘gildir; yani istemin çözümü yoktur.
Ama do˘grular iki¸ser iki¸ser kesi¸sir. Kesi¸sim noktaları ¸sekilden görülüyor.
4. Soru 4
Bir tatil beldesinde satı¸sa sunulan mayolar için, tanesi p TL den x tane mayonun satı¸sa sunulması durumunda, haftalık fiyat-arz denklemi p=
0.1x + 3 ve fiyat-talep denklemi p=-2x + 87 TL olarak veriliyor. Pazar denge fiyatını ve denge satı¸s miktarını bulunuz.
Çözüm:
0.1x + 3 = −2x + 87 =⇒ 2.1x = 84 =⇒ x = 40
bulunur. Bu de˘ger p = 0.1x + 3 e¸sitli˘ginde kullanılırsa p = 7 bulunur.
¸Sekil 1.12: Soru 1-3
5. Soru 5
30000 adet dinleyici kapasiteli konser salonuna, fiyatları 4 TL ve 8 TL olan biletler satılmaktadır. Tüm biletlerin alıcı bulaca˘gı varsayıldı˘gına göre, bi- let satı¸sından;
a) 220000 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir?
Çözüm:
x + y = 30000 4x + 8y = 220000
denklem sisteminin x ≥ 0, y ≥ 0 ko¸sulunu sa˘glayan çözümünü arı- yoruz. Bu sistemi çözersek x = 5000, y = 25000 olur.
b) 200000 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir?
Çözüm:
Yukarıdaki denklemde 220000 TL yerine 200000 TL koymak yeterli- dir. Öyleyse;
x + y = 30000 4x + 8y = 200000
denklem sisteminin x ≥ 0, y ≥ 0 ko¸sulunu sa˘glayan çözümünü arı- yoruz. Bu sistemi çözersek x = 10000, y = 20000 olur.
c) 150000 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir?
Çözüm:
Yukarıdaki denklemde 200000 TL yerine 150000 TL koymak yeterli- dir. Öyleyse;
x + y = 30000 4x + 8y = 150000
denklem sisteminin x ≥ 0, y ≥ 0 ko¸sulunu sa˘glayan çözümünü arı- yoruz. Bu sistemi çözersek x = 22500, y = 2500 olur.
ç) 250000 TL gelir elde etmek mümkün müdür? 100000 TL gelir elde et- mek mümkün müdür?
Çözüm: Yukarıdaki denklemde 150000 TL yerine 250000 TL koymak yeterlidir. Öyleyse;
x + y = 30000 4x + 8y = 250000
denklem sisteminin x ≥ 0, y ≥ 0 ko¸sulunu sa˘glayan çözümünü arı- yoruz. Bu sistemi çözersek x = −2500, y = 32500 olur. Bu çözüm x ≥ 0 ko¸sulunu sa˘glamaz. Dolayısıyla(ç) ¸sıkkının 250000 TL getiren çözümü yoktur. 250000 TL gelir elde etmek mümkün de˘gildir.
Benzer biçimde, sistem 100000 TL için çözülürse x = 35000, y =
−5000 olur. Bu çözüm y ≥ 0 ko¸sulunu sa˘glamaz. Dolayısıyla (ç) ¸sık- kının 100000 TL gelir getiren çözümü yoktur.
6. Soru 6
Beslenme rejimi uygulayan bir ki¸si, günlük diyetindeki kalsiyum ve pro- tein miktarını artırmak için beyaz peynir ve yo˘gurt kullanıyor. Kullandı˘gı ölçe˘ge göre, bir ölçek beyaz peynirde 6 gram kalsiyunı ve 30 miligram protein; bir ölçek yo˘gurtta da 1 gram kalsiyum ve 41 miligram protein bu- lunmaktadır. Bu diyetten günde 63 gram kalsiyum ve 747 miligram pro- tein kazanabilmesi için bu ki¸si günde kaç ölçek beyaz peynir ve kaç ölçek yo˘gurt tüketmelidir?
Çözüm:
6x + y = 63 30x + 41y = 747
B, 600 gr Seylan ve 400 gr Rize çayı karı¸stırılarak elde ediliyor. Firmanın elinde, her birinin a˘gırlı˘gı 60 kg olan 40 çuval Seylan çayı ve 50 çuval. Rize çayı bulunmaktadır. ¸Sirketin elindeki çayın tamamını piyasaya sürebil- mesi için kaç kg Buruk A ve kaç kg Buruk B marka çay üretmesi gerekir?
Çözüm:
300x + 700y = 2400 600x + 400y = 3000 6x + 14y = 48
6x + 4y = 30
10y = 18 → y = 1.8kg x = 3.8kg
x = 3.8 kg ve y = 1.8 kg de˘gerleri kullanılırsa, buruk A = 300x + 700y = 2400 kg ve buruk B = 700x + 400y = 3000 kg üretmetilmelidir.
8. Soru 8
Türkiye genelinde da˘gıtım yapan bir kargo ¸sirketi, yirmi dört saat içinde adresine teslim edilmek üzere paket kabul etmekte; her paketin 500 grama kadar olan [500 gram dahil] a˘gırlı˘gı için sabit bir ücret alıyor ve ilk 500 gramdan sonraki her 500 gram için de ba¸ska bir sabit ücret uyguluyor. 4.5 kg lık bir paket gönderen bir mü¸steri 15 TL, 12.5 kg lık paket gönderen bir mü¸steri de 39 TL ödedi˘gine göre, ilk 500 gram için ve ondan somaki her 500 gram için uygulanan ücreti belirleyiniz.
Çözüm:
˙Ilk 1 gr x kuru¸s, sonraki y kuru¸s ise 500x + 4000y = 15000 500x + 12000y = 3900
x= 0.6 kr¸s, y= 0.3 kr¸s. ˙Ilk 500 gram için 500 × 0.6 = 300 kr¸s= 3 TL Sonraki her 500 gram için 39 − 3 = 36, 360024 = 150 kr¸s= 1.5 TL olur.
9. Soru 9
˙Ikinci alı¸stırmadaki her denklem sisteminin ilaveli matrisini yazınız.
a)
A =· 2 5 | −23
11 2 | 1
¸
b)
B =· 3 −6 | −9
−2 4 | 12
¸
c)
C =·0.8 −1 | 0 0.4 1 | 0.72
¸
d)
G =·0.2 −0.5 | 0.07 0.6 0.2 | 0.72
¸
d)
D =
·5 2 −25
6 | −5
2 5
4
3 | 6
¸
e)
E =· 1 1 | 1 0.3 −0.4 | 0
¸
10. Soru 10 a)
A =
1 2 | 3
−3 1 | 4
−2 −3 | −7
⇒
x1+ 2x2= 3
−3x1+ x2= 4
−2x1− 3x2= −7 b)
B =
1 2 3 4 | 3
3 −1 2 1 | 4
2 2 −3 5 | 7
⇒
x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4= 3 3x1− x2+ 2x3+ x4= 4 2x1+ 2x2− 3x3+ 5x4= 7 c)
C =·0 2 1 | 4 2 0 1 | 5
¸
⇒ 0x1+ 2x2+ x3= 4 2x1− 0x2+ x3= 5 d)
D =
3 2 1 | 4
2 −1 5 | 4
0 3 6 | 8
⇒
3x1+ 2x2+ x3= 4 2x1− x2+ 5x3= 4 0x1+ 3x2+ 6x3= 8 11. Soru 11
˙Ilaveli matrisi a¸sagıda verilmi¸s olan denklem sistemlerini yazınız ve çö- zün kümelerini bulunuz.
·1 −1 | 1
0 0 | 0
¸
S = {t + 1, t) : t ∈ R}
c)
·1 −1 | 0
0 0 | 1
¸
S = φ
ç)
·1 −2 0 | 3
0 0 1 | −1
¸
S = {2t + 3, t,−1) : t ∈ R}
d)
·1 0 1 | −2
0 1 2 | 1
¸
S = {t,5 + 2t,−2 − t,1) : t ∈ R}
e)
1 0 0 | −3
0 1 0 | 2
0 0 1 | 1
S = {−3,2,1)}
12.
A =
1 2 −2 1
3 2 3 8
−2 4 4 6
matrisi veriliyor.
a) A nın 2-3 girdisi kaçtır? 3-2 girdisi kaçtır? 1-4 girdisi ka çtır?
b) A nın birinci satırındaki girdileri sırasıyla yazınız.
c) A nın ikinci sütunundaki girdileri sırasıyla yazınız.
ç) A nın birinci ve üçüncü satırlarının yerleri de˘gi¸stirilince elde edilen matrisi yazınız.
d) A nın birinci satırı -3 ile çarpılınca elde edilen matrisi yazınız.
e) A nın birinci satırı 2 ile çarpılıp üçüncü satırına top1anınca(birinci sa- tırı de˘gistirmeden) elde edilen matrisi yazınız.
Çözüm:
a) a23= 3, a32= 4, a14= 1 b) {1, 2, −2,1}
c) {2, 2, 4}
ç)
A =
−2 4 4 6
3 2 3 8
1 2 −2 1
d)
A =
−3 −6 6 −3
3 2 3 8
−2 4 4 6
e)
A =
1 2 −2 1
3 2 3 8
0 8 0 8
