• Sonuç bulunamadı

Kartografik Tasarım Üretim Seminer 1.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Kartografik Tasarım Üretim Seminer 1."

Copied!
66
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Prof.Dr. İ.Öztuğ BİLDİRİCİ

Selçuk Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Bölümü

Kartografya Anabilim Dalı Başkanı KONYA

iobildirici@yahoo.com

Kartografik Tasarım Üretim Seminer 1

www.iobildirici.com

ANALOG HARİTALARDAN MEKANSAL VERİ KAZANIMI: DATUM,

PROJEKSİYON, KOORDİNAT

SİSTEMLERİ, SAYISALLAŞTIRMA

(2)

Yeryüzünün şekli

Küre?

− Pisagor felsefi olarak (MÖ 6.YY),

− Aristo gözlemlere dayanarak (MÖ 4.YY) yerin küresel olduğu sonucuna varmışlardır.

− Eratoshenes yerin çevresini ilk kez hesaplamıştır (MÖ 250)

Elipsoit?

− Newton (1643-1727) yerin dönmesinden kaynaklanan merkezkaç kuvvetinin kutuplarda basıklığa Ekvatorda şişkinliğe yol açması gerektiğini öne sürmüştür.

− Fransız Bilimler Akademisi Ekvator ve kuzey kutbu civarında

meridyen ölçmeleri yaparak Newton’un haklı olduğunu belirlemiştir.

Küre? Elipsoit?

− Yeryüzü, 1:1 Milyon ve daha küçük ölçeklerde küre, daha büyük ölçeklerde dönel elipsoit kabul edilir.

(3)
(4)

R e fe ra n s E li p so it le ri

Elipsoit Büyük eksen (m) Basıklık

Airy 1830 6 377 563.396 299.3249646

Modified Airy 6 377 340.189 299.3249646

Australian National 6 378 160 298.25

Bessel 1841 (Namibia) 6 377 483.865 299.1528128 Bessel 1841 6 377 397.155 299.1528128

Clarke 1866 6 378 206.4 294.9786982

Clarke 1880 6 378 249.145 293.465

Everest (India 1830)" 6 377 276.345 300.8017 Everest (Sabah Sarawak) 6 377 298.556 300.8017 Everest (India 1956) 6 377 301.243 300.8017 Everest (Malaysia 1969) 6 377 295.664 300.8017 Everest (Malay. & Sing) 6 377 304.063 300.8017 Everest (Pakistan) 6 377 309.613 300.8017 Modified Fischer 1960 6 378 155 298.3

Helmert 1906 6 378 200 298.3

Hough 1960 6 378 270 297

Indonesian 1974 6 378 160 298.247

International 1924 6 378 388 297

Krassovsky 1940 6 378 245 298.3

GRS 80 6 378 137 298.257222101

South American 1969 6 378 160 298.25

WGS 72 6 378 135 298.26

WGS 84 6 378 137 298.257223563

(5)

Datum?

• Kullanılan referans elipsoitinin uzaydaki konumu datum olarak tanımlanır.

• Aynı elipsoit, farklı ülkelerde farklı datumlarda kullanılabilir.

• ED50, Avrupa için yerel olarak

tanımlanmış International 1924

elipsoitini ifade eder.

(6)

Yerel Datum? Global Datum

• Bir referans elipsoiti yeryüzünde bir noktada geoid yüzeyine çakışık alınırsa, yerel datum tanımlanmış olur. Örnek: ED50

• Yeryüzünün tamamına en iyi uymak üzere

tanımlanmış; ancak herhangi bir noktada geoid ile çakışık olmayan datum ise global datumdur.

Örnek: WGS84, GRS80

(7)

Fiziksel Yer üy zü Jeoit

Elipsoit

Çekül Doğrultusu

Elipsoit Normali

(8)

Jeoit?

• Durgun deniz yüzeyinin karaların altında da devam ettiği varsayılarak oluşturulan kapalı yüzey.

• Yeryüzünde her noktada çekül doğrultusuna dik sonsuz sayıda nivo yüzeyi vardır ki bunlardan deniz seviyesi ile çakışık olanı geoit olarak adlandırılır.

• Jeoit kelimesi ilk kez Listing tarafından kullanılmıştır.

(9)

Coğrafi Koordinatlar

Ekvator B laşangıç M

eridiyeni

Kuzey Kutbu

Paralel Daire

GüneyKutbu

λ

λ:Boylam

ϕ

ϕ:Enlem P

M

Meridyen Yerin Dönme Ekseni

(10)

Ekvator B laþangýç

Meridiyeni

Kuzey Kutbu

Paralel Daire

GüneyKutbu

λ

λ:Boylam h: Yükseklik

ϕ

ϕ:Enlem P'

h P

M

Meridyen Yerin Dönme Ekseni

(11)

Kartezyen Koordinatlar

( )

( )

( )

( )

ϕ

λ ϕ

λ ϕ

sin 1

sin cos

cos cos

2 N h

e Z

h N

Y

h N

X

+

=

+

=

+

=

2ϕ

2 sin 1 e

N a

=





+

= +

2 2

2 sin

arctan

Y X

N e

Z ϕ

ϕ

X arctan Y λ =

X N

h = −

λ ϕ cos cos

Ekvator Z

X

Y

B

langýç Meridiyeni

P

Yp Xp

Zp

2 2 2

2

a b e a

=

(12)

Projeksiyon Koordinatları

• İki boyutlu harita projeksiyon

düzlemindeki koordinatlar

(13)

Projeksiyon

• Küre ya da elipsoit kapalı yüzeylerdir, düzleme

deformasyonsuz açılamazlar. Haritalar ise düzlem üzerinde hazırlanırlar.

• Yeryüzünün tamamını ya da bir kısmını belli özellikler korunarak düzleme aktarma genel anlamda bir

yüzeyden bir başka yüzeye dönüşümdür ve projeksiyon olarak adlandırılır.

• Düzlem üzerinde çalışmanın kolaylıkları açısından projeksiyonların kullanımı zorunludur.

(14)

Projeksiyon yüzeyleri

(15)

• Projeksiyonlarda üç tür bozulma söz konusudur:

− Alan deformasyonu

− Uzunluk deformasyonu

− Açı Deformasyonu

(16)

Açı Koruma? Uzunluk Koruma?

• Açı koruma diferansiyel anlamda mümkündür!

• Konform olma...

• Yalnızca bir yönde uzunluklar korunabilir!

• Meridyen yönünde uzunluk koruma...

(17)

Hangi Projeksiyon?

• Literatürde tanımlanmış çok sayıda projeksiyon türü vardır.(400 den fazla!)

• Standart topografik harita takımları için ise, belli

projeksiyon sistemleri standart olarak kabul edilmiştir.

• BÖHHBÜY Md.10:

Bu YBu Yöönetmelik kapsamnetmelik kapsamıında hesaplanacak koordinatlar, en son nda hesaplanacak koordinatlar, en son güncellenmincellenmişş TUTGA’TUTGA’yaya babağğlı, GRS80 elipsoidi ve , GRS80 elipsoidi ve TransversalTransversal Mercator

Mercator (TM) izd(TM) izdüüşüşümünde nde üçüç derecelik dilim esasderecelik dilim esasıına gna gööre re belirlenir.

belirlenir.

(18)

• Topografik harita üretiminde açı koruyan (konform) projeksiyonlar tercih edilir.

• Ölçek küçüldükçe, büyük kara parçaları arasındaki alansal oranların bozulmaması için alan koruyan projeksiyonlar tercih edilmeye başlanır.

(19)

UTM

84º

UPS 80º

UPS

(20)

Universal Polar Streografik

• Kutup bölgelerinde kullanılır.

• Açı koruyan, kutup noktasında teğet,

azimutal (düzlem) projeksiyondur.

(21)

UTM/Gauss-Krüger Projeksiyonu

• Açı Koruyan transversal silindirik projeksiyondur.

• Yerküre dilimlere ayrılmıştır.

− Uluslararası standart: dilim genişliği 6°

• 1:25 000 ve daha küçük ölçekli topoğrafik haritalarda kullanılır.

• UTM olarak adlandırılır.

− Ulusal standart: dilim genişliği 3°

BÖHHBHHBÜÜYY kapsamında yapılan 1:5000 ve daha büyük ölçekli çalışmalarda kullanılır

• Gauss-Krüger, Transverse Mercator (TM) olarak adlandırılır.

(22)

Kuzey Kutbu

Güney Kutbu Ekvator

Yerin dönme ekseni

Haritası yapılan bölge (dilim) Orta meridyen

°

=

λ 6

Transversal silindir (projeksiyon yüzeyi)

(23)

y (sağa) x (yukarı) λ0=27°

Parametreler Parametreler

•Dik koordinat sisteminin orijini

•Koordinatlara toplanacak sabit değerler

•Ölçek Faktörü

(24)
(25)

Ekvator 3°lik dilimler

6°lik dilimler

Dilim 35 Dilim 36 Dilim 37 Dilim 38

27° 33° 39° 45°

24° 27° 30° 33° 36° 39° 42° 45°

(26)

Dilim Orta Meridyeni

Altı derecelik dilim sisteminde (UTM):

UTM dilim numarası:

Üç derecelik sistemde dilim orta meridyeni:

6 3 int

0 6  +

 

=  λ

λ

6 31 int  +

 

=  λ DN



 

 +

= 3

5 . int 1

0 3 λ λ

Açı birimi derecedir

(27)

UTM/TM Koordinatları

2 2 2

b b

e a

′ =



 

 ′ − ′

=



 

 ′ − ′ + ′

=



 

 ′ − ′ + ′ − ′

=



 

 − ′ + ′ − ′ + ′

=

8 6

2

8 6

4 2

8 6

4 2

2

8 6

4 2

2

2048 215 512

35 6

4096 2205 526

105 64

15 4

2048 2205 512

525 16

15 4

3 2

16384 11025 256

175 64

45 4

1 3

e b e

a

e e

b e a

e e

e b e

a

e e

e b e

a

δ γ

β α

( )

ϕ γ

( )

ϕ δ

( )

ϕ

β

αϕ + sin 2 + sin 4 + sin 6

= B

İkinci eksantrisite

Meridyen yay uzunluğu

A

çıı birimi radyan!birimi radyan!

(28)

( )

(

2 2

)

3 5

(

2 4

)

5

3

4 2

2 4

2 2

tan tan

18 5

120cos tan

1 6 cos

cos

9 tan

5 tan 24cos

tan 2 cos

λ ϕ ϕ

ϕ λ

η ϕ ϕ

λ ϕ

λ η

ϕ ϕ

ϕ λ

ϕ ϕ

+

+

+

+

=

+

+

+

=

N N N

y

N B N

x

g g

ϕ η

2 = e′2 cos2

2 2

1+η

= b N a

λ0

λ λ = −

g

drc x

X 3 =

m y

Y3drc = g + 500000

0

6 x * m

X drc = g

m m

y

Y6drc = g * 0 + 500000 9996

.

0 = 0 m

(29)

UTM >> Coğrafi Koordinatlar

drc

g X

x = 3

m Y

yg = 3drc − 500000

0

6 / m

X xg = drc

0 6 500000 ) /

(Y m m

yg = drc

(

f

) (

f

) (

f

)

f

xg =αϕ + β sin 2ϕ + γ sin 4ϕ + δ sin 6ϕ

( ) ( ) ( ) ( )

( )

f

(

f

) (

f

) (

f

)

g f

f f

f f

f

x f

ϕ δ

ϕ γ

ϕ β

α ϕ

ϕ δ

ϕ γ

ϕ β

αϕ ϕ

6 cos 6

4 cos 4

2 cos 2

0 6

sin 4

sin 2

sin

+ +

+

′ =

=

− +

+ +

=

( ) ( )

ii

i i

f f f

f f

f ϕ ϕ ϕ

ϕ = − ′

+1

(30)

( )

3 3

2 2

4 2

2 2

2 4

2 2

2

cos 6

tan 2 1 cos

1

tan 6

6 tan

3 24 5

) tan 1

2 ( tan

g f

f

f f

g f f

g f f

f f

f f g

f f

f f

N y N y

N y N y

ϕ η ϕ

λ ϕ

ϕ η

η ϕ ϕ

ϕ η ϕ

ϕ

+

− +

=

− +

+ +

+

=

(31)

Lambert Projeksiyonu

• HGK’ca yapılan 1:500 000, 1:1 000 000, 1:1 800 000 gibi ölçeklerdeki üretimlerde kullanılır.

• Konik, konform, kesen projeksiyondur.

• Dilim uygulaması yoktur, tüm ülke tek projeksiyon düzlemindedir.

• Orta meridyen 34º D, standart paraleller 40º

40’K ve 43º 20’ K alınarak uygulanmaktadır.

(32)
(33)

Orta Meridyen

Ekvator

Standart Paraleller

(34)

y x

Projeksiyon düzleminde dik koordinatlar

(35)

y x

Projeksiyon düzleminde kutupsal koordinatlar m

α α α α

P

(36)

Dik Koordinatlarla ilgili parametreler

• Dik koordinat sisteminin orijini

• Orta meridyen (central merdian)

• Standart paraleller (standard parallels)

• Koordinatlara eklenen sabit değerler (false easting, false nothing)

• Ölçek Faktörü (scale factor)

(37)

Referans y

Referans yüüzeyi kzeyi küürere

( )

n n

n m n

n n









=









=

=

= −

tan 2 tan 2 sin

tan 2 tan 2 sin

tan 2 2 ln

tan ln

sin ln sin

ln

2 2

1 1

0

1 2

1 2

δ δ δ

δ δ δ

λ λ

α

δ δ

δ δ

α α

cos sin

0 m

m x

m y

=

=

: Orijin noktasından geçen Paraleli çizdiren yarıçap

m0

(38)

1 2 2

1

1 1 sin

cos

ϕ ϕ

e k

=

2 2 2

2

2 1 sin

cos

ϕ ϕ

e k

=

2 0

0 0 0

sin 1

sin 1

2 tan 4

e

e e t



 

 +



 

 −

=

ϕ ϕ

ϕ π

2 1

1 1 1

sin 1

sin 1

2 tan 4

e

e e t



 

 +



 

 −

=

ϕ ϕ

ϕ π

2 2

2 2 2

sin 1

sin 1

2 tan 4

e

e e t



 

 +



 

 −

=

ϕ ϕ

ϕ π

2 1

2 1

ln ln

ln ln

t t

k n k

= −

ntn

F k

1

= 1

Referans y

Referans yüüzeyi elipsoitzeyi elipsoit

2 2 2

a b e a

= Birinci eksantrisite

(39)

2

sin 1

sin 1

2 tan 4

e

e e t



 

 +



 

 −

=

ϕ ϕ

ϕ π

aFtn

m =

(

λ λ0

)

α = n

α α

cos sin

0 m

m x

m y

=

= aFtn

m0 = 0

(40)

Pafta Bölümleme

• Ülke pafta bölümleme sistemi coğrafi koordinatları esas almaktadır.

• Farklı datumlarda paftaların yeryüzünde

kapladıkları alanlar da değişir!

(41)
(42)

Uluslararası Grid Sistemi

(43)
(44)

1º30’

1:250000

1: 500000

1: 1000000

34 R

(45)

Pafta Boyutları

1:500 000 2º x 3º

1: 250 000 1º x 1º 30’

1: 100 000 30’ x 30’

1: 50 000 15’ x 15’

1: 25 000 7’ 30” x 7’ 30”

1: 5 000 1’ 30” x 1’ 30”

1: 2 000 45” x 45”

1: 1 000 22.5” x 22.5”

HGK’ca yapılan üretimler

BÖHHBYY uyarınca yapılan üretimler

(46)

Lambert konform konik projeksiyonunda pafta bölümlemesi ve UTM dilimleri

R S

(47)

ÇANAKKALE-H16 ÇANAKKALE

26º30’

26º 40º 40º30’

25º30’

41º

40º

19 14 09 08 07 06 11 16

11 22 23 24 25 20 15 10 05 04 03 02 01

15 16 17 27º

H G

d c

a b

ÇANAKKALE-H16-c

ÇANAKKALE-H16-c

26º30’

26º15’

40º 40º15’

4 3

1 2

ESKİ SİSTEM YENİ SİSTEM

1:50 000 1:100 000

1:250 000

17 12

18 13

26º30’

26º15’

40º 40º15’

1:50 000

ÇANAKKALE-H16-c-01

26º18’

26º15’

40º12’

40º15’

d c

a b

1:10 000

ÇANAKKALE-H16-c-01-a

26º16’30”

26º15’00 40º13’30”

40º15’00”

D C

A B

1:5 000

ÇANAKKALE-H16-c2

26º30’00”

26º22’30”

40º07’30”

40º15’00”

1:25 000 d c

b a

d c b a

d c b a d c

b a

ÇANAKKALE-H16-c2-Ia

26º24’22.5”

26º22’30

40º14’03.75”

40º13’07.5”

40º15’00”

D C

A B

1:5 000

ÇANAKKALE-H16-c2-Ia-A

26º23’26.25”

26º22’30 40º15’00”

1:2500

(48)

Koordinat Dönüşümleri

• Datumlar arasındaki dönüşümler iki şekilde yapılabilir.

− Kartezyen koordinatlarla üç boyutlu dönüşüm

− Projeksiyon düzleminde iki boyutlu

dönüşüm.

(49)

Üç boyutlu dönüşüm

( )

( )

( )

eski

X Y

X Z

Y Z

yeni Z

Y X

S S

S

Z Y X

Z Y X









+

− +

− +

+





=





1 1

1

θ θ

θ θ

θ θ

Helmert Dönüşümü

faktörü Ölçek

:

dönmeler eksenlerde

İlgili :

,

,

r ötelenmele eksenlerde

İlgili :

, ,

S

Z Y

X

Z Y

X θ θ

θ

(50)

Parametreler ED50=>WGS84

X -84.003m

Y -102.319m

Z -129.827m

θX -0″.0183

θY 0″.0003

θZ -0″.4738

S 0.0347ppm

Türkiye için global dönüşüm elemanları (ED50>WGS84)

(51)

Projeksiyon düzleminde

• (x’,y’) eski datumda, (x,y) yeni datumda projeksiyon düzlemi koordinatları olmak üzere;

• Helmert dönüşümü:

• Afin dönüşüm:

• Projektif dönüşüm:

3 0

1

2 1

0

a x

a x

a y

a y

a x

a x

′+

′+

=

′+

′+

=

y a x

a a

y

y a x

a a

x

+ ′ + ′

=

+ ′ + ′

=

5 4

3

2 1

0

9 8

7

6 5

4

9 8

7

3 2

1

a y

a x

a

a y

a x

y a

a y

a x

a

a y

a x

x a

′+

′ +

′+

′+

=

′+

′ +

′ +

′+

=

(52)

• Polinom dönüşümleri

− Bilineer dönüşüm:

− İkinci derece polinom:

• Radyal bazlı fonksiyonlar

− Multikuadrik fonksiyon (MQ)

− Ters multikuadrik fonksiyon (RMQ)

− İnce levha spline fonksiyonu (TPS)

8 7

6 5

4 3

2 1

a y

x a y

a x

a y

a y

x a y

a x

a x

′+ + ′

+ ′

= ′

′ + + ′

+ ′

= ′

12 11

10 2

9 8

2 7

6 5

4 2

3 2

2 1

a y

x a y

a y

a x

a x

a y

a y

x a y

a y

a x

a x

a x

′+ + ′

+ ′ + ′

+ ′

= ′

′+ + ′

+ ′ + ′

+ ′

= ′

(53)

Analog Haritalardan Veri Kazanımı

• Coğrafi Bilgi Sistemlerinde veri toplama önemli aşamalardan biridir.

• CBS sistemlerinin mekansal veri

kaynakları, yersel ölçmeler, analog

haritalar, hava fotoğrafları, uydu

görüntüleri ve diğer kaynaklardır.

(54)

Sayısallaştırma

• Elle sayısallaştırma

− Taranmış görüntülerden

− Sayısallaştırıcı tablet ile

• Vektörizasyon

− Yarı otomatik

− Otomatik

(55)

Koordinat Dönüşümleri

• Kağıt/Görüntü koordinat sisteminden arazi (projeksiyon düzlemi) koordinat sistemine dönüşüm yapılır (register işlemi)

• Kağıt/Görüntü üzerindeki kare ağından ya da projeksiyon düzleminde koordinatları bilinen (Nirengi vb) noktalardan yararlanılır.

• Kare ağı yerine coğrafi pafta ağı çizilmiş ise,

ağın dik koordinatlarına gerek vardır.

(56)

1:25 000

(57)

1:250 000

(58)
(59)
(60)

Yöntemler

• (u,v) görüntü, (x,y) projeksiyon düzlemi koordinatları olmak üzere;

• Helmert dönüşümü:

• Afin dönüşüm:

• Projektif dönüşüm:

3 0

1

2 1

0

a v

a u

a y

a v

a u

a x

+ +

=

+ +

=

v a u

a a

y

v a u

a a

x

5 4

3

2 1

0

+ +

=

+ +

=

9 8

7

6 5

4

9 8

7

3 2

1

a v

a u

a

a v

a u

y a

a v

a u

a

a v

a u

x a

+ +

+

= +

+ +

+

= +

(61)

• Polinom dönüşümleri

− Bilineer dönüşüm:

− İkinci derece polinom:

• Radyal bazlı fonksiyonlar

− Multikuadrik fonksiyon (MQ)

− Ters multikuadrik fonksiyon (RMQ)

− İnce levha spline fonksiyonu (TPS)

8 7

6 5

4 3

2 1

a uv

a v

a u

a y

a uv

a v

a u

a x

+ +

+

=

+ +

+

=

12 11

10 2

9 8

2 7

6 5

4 2

3 2

2 1

a uv

a v

a v

a u

a u

a y

a uv

a v

a v

a u

a u

a x

+ +

+ +

+

=

+ +

+ +

+

=

(62)

• Tabaka/Sınıf tanımlamaları

• Veri standardı

• Doğru tabakada sayısallaştırma

• Topoloji

• Sayısallaştırma hataları (Line cleaning)

(63)

İşlem Temizleme öncesi Temizleme sonrası Çift (çakışık) objelerin

silinmesi

Kısa parçaların kaldırılması

Kesişen objelerin kopartılması, bu şekilde düğüm noktası oluşturulması

Eksiklerin (Undershoot)

tamamlanması suretiyle düğüm noktası oluşturulması

Düğüm noktalarının düzeltilmesi

Pseudo (yalancı-sözde) düğüm noktalarının kaldırılması

Fazlalıkların (overshoot) kaldırılması

Çizgi Temizleme İşlemleri (Linecleaning)

(64)

Sonuç

Coğrafi Bilgi Sistemlerinde veri kazanımı önemli aşamalardan biridir.

CBS sistemlerinin mekansal veri kaynakları, analog haritalar (kağıt vb ortamlarda hazırlanmış haritalar), hava fotoğrafları, uydu

görüntüleri ve diğer kaynaklardır.

Genel olarak bir CBS projesine ya çeşitli kaynaklardan elde edilen hazır verilerle, ya da analog haritaların sayısallaştırılmasıyla

başlanır.

Hem hazır veri kullanma durumunda hem de sayısallaştırmada eldeki verilerin datumu, dayandığı referans yüzeyi, projeksiyonu, koordinat sistemi gibi bilgilere gerek vardır. Bu bilgilerle doğru bir başlangıç yapılamazsa CBS projeleri sağlam bir temel üzerinde başlamaz.

(65)

Başlangıçta yapılan hatalar genellikle başka kaynaklardan gelen verilerin entegrasyonu aşamasında ortaya çıkar ve önemli

derecede emek kaybına sebep olabilir.

Bu çalışmada referans yüzeyleri, datum, projeksiyon, koordinat sistemleri, farklı sistemler arasında dönüşümler, sayısallaştırma, piksel-arazi koordinatları arasındaki koordinat dönüşümü,

sayısallaştırmada uyulması gereken kurallar, sayısallaştırma hatalarının ayıklanması ile ilgili yöntemler tartışılmıştır.

Bu şekilde CBS projelerine doğru başlamak için gereken temel bilgilerin verilmesi amaçlanmıştır.

(66)

iobildirici@yahoo.com

Referanslar

Benzer Belgeler

Çeşitli koordinat sistemlerinde üretilmiş nokta koordinatları arasındaki ilişkiyi tam olarak kurabilmek ve datum birliği sağlamak için koordinat dönüşümü yapılır..

Bu nedenlerle, ekvator sistemini ekvator boyunca uzanan ülkelerde, meridyen sistemini bir meridyen boyunca uzanan ülkelerde, büyük daire sistemi ise genel hal

'Sakla' butonu yardımı ile girilen nokta  değerleri saklanabilir. Saklama işlemi *.DNS 

(Kesi¸sme noktalarından biri (1, √ 3) dir, di˘ gerini b¨ olgenin simetrisinden tahmin edebilir veya hesaplayabilirsiniz) 5.. (Kesi¸sme noktalarından biri

[r]

Gök cisimlerinin Gök küresi üzerindeki konumlarını belirlemek, görünürdeki hareketlerini incelemek, doğma ve batma hesaplarını yapmak, zaman hesabı ve

Bu şekilde tanımlanan koordinat sistemine Kutupsal (Polar) Koordinat Sistemi denir..  Kutupsal koordinat sistemi bazı hareketli cisimlerin konumlarını

 Sistem yaklaşımı işletmelerde ortaya çıkan bir problemi iç ve dış faktörler ve diğer tüm.. unsurları bir bütün olarak ele alarak çözülmesini amaçlayan