V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005
İKİ ÖLÇÜTLÜ BEKLEMESİZ AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM
GECİKME
Tamer EREN
Kırıkkale Üniversitesi
Ertan GÜNER
Gazi Üniversitesi
Özet
Çizelgeleme problemlerinin önemli bir sınıfı beklemesiz kısıtı ile karakterize edilir. Yani işler ardışık makineler arasında veya üzerinde beklemeksizin sürekli olarak işlenmek zorundadır. Beklemesiz akış tipi çizelgeleme problemine ilişkin uygulamalara çelik, kimya, gıda ve ilaç endüstrilerinde rastlanmaktadır. Bu çalışmada iki ölçütlü akış tipi çizelgeleme problemi beklemesiz durumda ele alınacaktır. Ele alınan ölçütler çizelgeleme probleminde en çok kullanılan toplam tamamlanma zamanı ve maksimum gecikmedir. NP-zor yapıda olan bu problemin (F2/no−wait/α∑C+βTmax) çözümü için, tamsayılı programlama modeli sunulmuştur. Ayrıca probleme uyarlanan NEH yöntemi ile EDD, tabu arama ve rassal arama ile problemin büyük boyutlu çözümleri gerçekleştirilmiştir. Eniyi çözümleri tabu arama yöntemi vermekle birlikte, uyarlanan NEH ve EDD yöntemlerinin basit yapısıyla bu tip problemlerde kullanılabileceği gösterilmiştir. Bu çalışma ile, beklemesiz akış tipi çizelgelemede, toplam tamamlanma zamanı ve maksimum gecikme ölçütleri aynı anda ilk defa ele alınmıştır.
Anahtar kelimeler: Beklemesiz Akış Tipi Çizelgeleme Problemi, İki Ölçüt, Toplam Tamamlanma Zamanı, Maksimum Gecikme, Tamsayılı Programlama Modeli, Sezgisel Yöntemler.
1. GİRİŞ
Bir üretim sisteminde genel amaç olarak,
işi zamanında teslim etmek,
ara stokları mümkün olduğunca azaltmak,
işin sistemdeki kalış süresini azaltmak,
makine ve işçiyi verimli kullanmak (makine ve işçi boş zamanını azaltmak),
işi istenilen kalitede yapmak,
makine hazırlık zamanlarını azaltmak,
üretimde işçi maliyetlerini azaltmak
olarak sıralanabilir. Bu amaçların gerçekleşmesinde çizelgeleme faaliyeti oldukça önemli bir role sahiptir.
Çizelgeleme, bir iş kümesini bir zaman süreci içinde yapmak için işlere kaynakların atanması faaliyeti olarak tanımlanabilir. Üretim sistemlerindeki bu amaçlar çizelgelemede ölçüt olarak tanımlanır. Karar vericiler üretim sisteminde aynı anda birden fazla amacı optimize etmek isteyebilir. Bu çalışmalar literatürde çok ölçütlü çizelgeleme problemleri olarak tanımlanır. Bu çalışmalarda, ölçütler genellikle çelişen amaçlar olduğundan dolayı çözümü tek ölçütlülere göre daha zordur (Eren 2004). Bu çalışmada da iki ölçütlü akış tipi çizelgeleme problemi beklemesiz durumda ele alınacaktır.
Atölyede yapılacak işler aynı rotaya sahip ise, yani tüm işler aynı makineleri aynı sırada takip ediyorlar ise, bu ortam akış tipi olarak adlandırılır. Akış tipi problemlerinin önemli bir sınıfı beklemesiz kısıtı ile karakterize edilir. Yani işler ardışık makineler arasında veya üzerinde beklemeksizin sürekli olarak işlem görmek zorundadır. Bu kısıt işlem teknolojisinin kendisine özgü bir özelliğidir. Beklemesiz akış sisteminde kesintisiz işlem zorunluluğu dolayısı ile gerektiğinde bir işin işleme başlaması, bir işleminin verilen bir makinede
T. Eren, E. Güner
tamamlanması ile takip eden işlemin diğer makinede hemen başlamasını sağlayacak şekilde geciktirilebilir.
Beklemesiz akış sistemine ilişkin uygulamalara çelik, kimya, gıda, ilaç endüstrileri gibi bir çok endüstride rastlanmaktadır (Eren ve Güner, 2005).
Çizelgeleme problemlerinde en çok ilgilenilen ölçüler olarak toplam tamamlanma zamanı ile maksimum gecikme ölçütleri gösterilebilir. Toplam tamamlanma zamanı ile sipariş çevrim hızı artmakta ve yeni siparişlerin daha erken alınması sağlandığı gibi yarı ürün stoklarında da azalma görülmektedir. Firmalar müşterilerin ihtiyaçlarını zamanında karşılamak veya en az gecikme ile müşterilerin isteklerine cevap vermek isteyebilir. Bu da maksimum gecikme ölçütü ile tanımlanır (Eren, 2004). Bu çalışmada ele alınan iki ölçütlü beklemesiz akış tipi çizelgeleme probleminin amaç fonksiyonu, toplam tamamlanma zamanı ve maksimum gecikmenin ağırlıklı toplamının enküçüklemesidir.
Beklemesiz akış tipinde yapılan toplam tamamlanma zamanı ilgili Adiri ve Pohoryles (1982); Rajendran, ve Chauhuri, (1990); Van der Veen ve Van Dal (1991); Gangadharan ve Rajendran, (1993); Aldowaisan ve Allahverdi, (1998, 2004); Bertolissi (1999,2000); Allahverdi ve Aldowaisan (2000); Aldowaisan (2001) ve Shyu ve diğerleri (2004). Maksimum gecikme ölçütü ile ilgili olarak ta Dileepan (2004) ve Wang ve Cheng (2005)’in yaptıkları çalışmalar bulunmaktadır.
Ele alınan iki ölçülü akış tipi çizelgeleme problemi NP-zor yapıdadır. Bu problemi çözmek için tamsayılı programlama modeli geliştirilmiş ve 20 işe problemin çözümleri yapılmıştır. Daha büyük boyutlu problemleri çözmek için NEH yöntemi probleme uyarlanmış ayrıca tabu arama ve rassal arama ile 1000 işe kadar olan problemlerin çözümü yapılmıştır. Bu iki ölçütlü problem incelemelerimize göre beklemesiz akış tipi çizelgelemede ilk kez ele alınan bir problemdir.
Çalışmanın ikinci bölümünde ele alınan beklemesiz iki ölçütlü iki makineli akış tipi çizelgeleme problemi tanımlanacaktır. Üçüncü bölümde ise problemin optimal çözümlerini bulmak için tamsayılı programlama modeli verilecektir. Problem için önerilecek sezgisel yöntemlerden dördüncü bölümde bahsedilecektir. Beşinci bölümde de deneysel sonuçlar sunulacaktır. Son olarak altıncı bölümde ise yapılan çalışmanın sonuçları ve daha sonra yapılabilecek çalışmalar hakkında bilgi verilecektir.
2. PROBLEMİN TANIMLANMASI
Atölyeye gelen n iş sıfırıncı zamanda işlem için hazırdır. Gelen işler ( j=1,2,...,n) önce birinci makine M1’de sonra ise ikinci makine M2’de işlem görmektedir. pji; j işinin i makinesindeki işlem zamanını ve dj ise j işinin teslim tarihini göstermektedir. Cj ve Tj ise j işinin tamamlanma zamanını ve gecikmesini göstermektir.
{
,0}
max j j
j C d
T = − dır. Maksimum gecikme max
{
,0}
max 1 j j
n
j C d
T = −
= olarak ifade edilmektedir. Ele alınan problem, beklemesiz iki-makineli akış tipi çizelgelemede toplam tamamlanma zamanı ve maksimum gecikmenin ağırlıklı toplamını enküçükleme problemi (F2/no−wait/α∑C+βTmax) olarak tanımlanmaktadır. Modelde kullanılan varsayımlar; hazırlık zamanları biliniyor ve işlem zamanına dahil edilmiştir, başlanan bir iş makinada bitiriliyor, makinaların çizelgeleme periyodu süresince bozulmayacağı ve bir makinede aynı anda birden fazla işin yapılamayacağı kabul edilmiştir. Beklemesiz akış tipinde gerektiğinde birinci makinedeki iş kaydırılmakta ve iş biter bitmez ikinci makinede işlem görmektedir.
3. ÖNERİLEN TAMSAYILI PROGRAMLAMA MODELİ
Önerilen tamsayılı programlama modeli n2+7n değişkenli 9n kısıtlıdır (n: iş sayısı).
1. Parametreler
j: İş sayısı j=1,2,...,n
i: Makine sayısı i=1,2
j1
p : Birinci makinede j işinin işlem zamanı j=1,2,...,n
2
pj : İkinci makinede j işinin işlem zamanı j=1,2,...,n
dj: j işinin teslim tarihi j=1,2,...,n
2. Karar değişkenleri
Zjk: Eğer j işi k. sırada işlem görmek için çizelgelenmişse 1, aksi halde 0, n
j=1,2,..., k=1,2,...,n Xk: İkinci makinede (k-1). sıradaki işin bitimi ve k. sıradaki işin başlangıcı
arasındaki boş zaman, k=1,2,...,n
Sk: k. sıradaki işin birinci makinedeki başlama zamanı, k=1,2,...,n
V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005
Tmax: maksimum gecikme max
{
,0}
max 1 j j
n
j C d
T = −
= k=1,2,...,n
3. Yardımcı değişkenler
Ak: Birinci makinede k. sıradaki işin işlem zamanı ∑
=
= k
j jk j
k Z p
A
1 1 k=1,2,...,n (1) Bk: İkinci makinede k. sıradaki işin işlem zamanı ∑
=
= k
j jk j
k Z p
B
1 2 k=1,2,...,n (2) C : k İkinci makinede k. sıradaki işin tamamlanma zamanı
∑
∑
=
=
+
=
k
j j
k
j j
k X B
C
1 1
n
k=1,2,..., (3) veya C1=X1 +B1 ve Ck =Ck−1+Xk +Bk k=2,3,...,n
k*
d : k. sıradaki işin teslim tarihi ∑
=
= n
j jk k
k Z d
d
1
* k=1,2,...,n (4)
4. Tamsayılı programlama modeli Amaç fonksiyonu:
∑
=
+
n
k Ck T
Min
1 β max
α Kısıtlar:
∑
=
=
n j Zjk
1
1 k=1,2,...,n (5)
∑
=
=
n k Zjk
1
1 j=1,2,...,n (6)
1
1 −
− +
≥ k k
k S A
S k=1,2,...,n (7)
1 1
1 S A
X = + Xk =Sk +Ak −Ck−1 k=2,3,...,n (8)
max Ck dk*
T ≥ − k=1,2,...,n (9)
(1)-(4) nolu denklemler 1
0
jk : −
Z ve diğer tüm değişkenler pozitif tamsayı
Kısıt (5), k. pozisyona sadece bir tek işin atanmasını, kısıt (6), her bir işin sadece bir kez çizelgelenmesini ifade etmektedir. Kısıt (7), birinci makinedeki k. sıradaki işin işleme başlama zamanının önceki işlerin bitiş zamanından büyük veya eşit olması gerektiğini göstermektedir. Kısıt (8), ikinci makinedeki (k-1). sıradaki işin tamamlanması ile k. sıradaki işin başlaması arasındaki makinenin boş bekleme zamanını ifade etmektedir. Kısıt (9), k. maksimum gecikmeyi ifade etmektedir.
4. SEZGİSEL YÖNTEMLER
Verilen tamsayılı programlama ile ancak küçük boyutlu problemler çözülebilmektedir. Halbuki uygulamalarda daha büyük boyutlu problemleri çözmek gerekebilir. Bunun için akış tipi çizelgeleme problemlerinde çok kullanılan NEH yöntemi (Nawaz vd. ) probleme modifiye edilmiştir. Ayrıca meta sezgisel yöntemlerden olan tabu arama yöntemi ve rassal arama yöntemi de kullanılmıştır.
İlk olarak Glover (1986) tarafından ortaya atılan tabu arama yöntemi, bu çalışmada ele alınan problemin çözümünde kullanılan sezgisel yöntemlerden biridir. Tabu arama yöntemi, eniyi veya eniyiye yakın çözümleri bulmak için çözüm uzayını araştırır. Tabu arama yöntemi kombinatoryal problemlerde kullanılan sezgisel optimizasyon tekniklerinden biridir. Tabu arama, seçilen herhangi bir başlangıç çözümü ile aramaya başlar.
Mevcut çözümün tanımlanan bir hareket mekanizmasına göre komşuluğu oluşturulur ve bu komşuluk içinden en iyi amaç değerine sahip olan çözüm eğer tabu sınıfına girmiyorsa yeni mevcut çözüm olarak seçilir. Yöntemde tabu sınıflarının belirlenmesi için kısa dönemli hafıza (tabu listesi) kullanılır. Belli bir iterasyon seviyesinde veya iyileşme olmadığında arama durdurulur.
Tabu arama yönteminin probleme uyarlanması şu şekildedir:
Başlangıç çözümü seçimi: En küçük işlem zamanı (SPT), en küçük teslim tarihi (EDD) kuralları ile Johnson (1954) ve probleme uyarlanan NEH yönteminden enküçük değeri veren başlangıç çözümü olarak seçilmiştir.
Komşu arama stratejisi: Komşu arama stratejisi olarak bitişik iş çiftlerinin yer değiştirilmesi (API) kullanılmıştır. API stratejisi ile her iterasyonda (n-1) tane komşu üretilmektedir.
T. Eren, E. Güner
Tabu listesi uzunluğunun belirlenmesi: Tabu listesi uzunluğu iş sayısı n’e göre belirlenmiş ve 2 n’e en yakın tamsayı değer alınmıştır.
Tabu aramanın adımları toplu olarak Tablo 1’de verilmiştir.
Tablo 1. Tabu arama parametreleri
Parametreler DeğerleriBaşlangıç çözümü Min{EDD, SPT, Johnson, NEH}
Tabu listesi uzunluğu 2 n Komşu arama stratejisi API
Durdurma kriteri n iterasyonda iyileşmeme
5. DENEYSEL SONUÇLAR
Yapılan çalışmada bütün deneysel testler Pentium IV/2 GHz 512 RAM kapasiteli kişisel bilgisayar kullanılmıştır. Sezgisel yöntemler C++ Builder ile programlanmıştır. Deneysel tasarım Fisher (1976)’in çalışmasına göre tasarlanmıştır. İşlem zamanları 1 ile 100 arasında düzgün dağılımdan üretilmiştir. Teslim tarihleri P(1-τ-R/2) ve P(1-τ+R/2) aralığında alınmıştır. 1 2 minn1
{ }
j1j n
j pj p
P = =
+
=
∑
olmak üzere, τ=0.25, 0.50, 0.75 ve R=0.25,0.50,0.75,1.00 olarak 12 durumda incelenmiştir. Buradaki τ ve R, teslim tarihi sıklığı ve aralığını göstermektedir. Genel olarak gecikme ile ilgili problemlerde bu değerlerin artması ile problemlerin daha da zorlaştığı görülmektedir. Her problem τ ve R’nin kombinasyonlarında 10 değişik problemle çözülmüştür. Her problemde n=10,12,14,16,18 ve 20 olmak üzere 6 farklı iş grubu için ele alınmıştır. Optimal çözümler için parametreler Tablo 2’de verilmiştir.Tablo 2. Problemin deneysel seti
Parametreler DeğerleriAğırlık değerleri (α,β) (0.25,0.75);(0.50,0.50);(0.75,0.25)
Iş sayısı 10,12,14,16,18,20
τ 0.25,0.50,0.75
R 0.25,0.50,0.75,1.00
Çözülen problem 10
Toplam problem 3×6×3×4×10=2160
Tablo 3’de problemin 20 işe kadar çözüm sonuçları verilmektedir. Tabloda da görüldüğü gibi τ ve R değerleri sırasıyla (0.50,1.00), (0.75,0.75) ve (0.75,1.00) değerlerinde problem daha zor çözülmektedir.
Uyarlanan NEH yöntemi tabu arama, rassal arama ve EDD yöntemlerinin optimal sonuçlar ile karşılaştırıldığında çözüm kalitesi Tablo 4’de gösterilmiştir. Görüldüğü gibi tabu arama başta olmak üzere tüm sezgiseller iyi sonuç vermiştir. Çözüm kalitesi şu formülle hesaplanmıştır.
çözüm Optimal
çözüm Optimal -
çözüm Sezgisel -
1 kalitesi
Çözüm =
Büyük boyutlu problemlerin deneysel seti Tablo 2’deki veriler kullanılmış. Sadece iş sayıları 100,200,…,1000 olmak üzere 10 durumda incelenerek toplam 3600 problem çözülmüştür. Tablo 5’de de eniyi sezgisel çözüm sonucu referans alınarak sezgiseller birbiriyle karşılaştırılmıştır. Tabu arama tüm problemlerde eniyi çözüm vermiştir. Rassal aramanın ise iyi sonuç vermediği görülmüştür. Büyük boyutlu problemlerde çözüm kalitesi şu şekilde bulunmuştur:
sonucu çözüm sezgisel eniyi Bulunan
sonucu çözüm sezgisel eniyi Bulunan -
sonucu çözüm Sezgisel -
1 kalitesi
Çözüm =
V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005
Tablo 3. Tamsayılı programlama çözüm süreleri
(α,β) (α,β) (α,β)
n τ R 0.25-0.75 0.50-0.50 0.75-0.25 n 0.25-0.75 0.50-0.50 0.75-0.25 n 0.25-0.75 0.50-0.50 0.75-0.25 10 0.25 0.25 0.26 0.77 0.21 14 9.88 8.18 12.38 18 101.29 129.85 122.82
0.50 0.70 0.08 0.43 6.52 13.49 28.41 72.87 111.76 109.17
0.75 0.47 0.54 0.36 18.14 5.53 9.75 184.00 204.74 202.19
1.00 4.17 3.40 1.01 54.64 95.55 38.21 487.34 418.05 284.77
0.50 0.25 0.28 1.04 0.33 5.92 3.99 10.86 103.03 168.80 173.93
0.50 1.13 1.03 0.26 29.34 14.15 30.94 251.40 228.34 167.27
0.75 7.57 10.76 3.22 88.52 69.12 51.48 550.84 392.93 413.73
1.00 7.24 9.74 1.31 170.51 105.44 54.91 613.97 1042.90 1002.08
0.75 0.25 1.91 1.63 0.84 39.30 29.89 27.07 435.64 367.40 344.87
0.50 2.32 1.23 0.33 108.02 50.96 30.83 663.48 632.39 516.85
0.75 2.58 1.50 0.93 141.22 78.94 28.76 875.93 839.36 637.57
1.00 2.58 2.03 0.69 76.29 55.27 27.77 924.42 590.72 744.78
12 0.25 0.25 1.68 1.06 1.61 16 40.02 26.04 77.18 20 408.44 473.86 558.41
0.50 1.78 0.84 4.19 25.15 22.88 56.90 410.36 594.76 618.73
0.75 5.46 1.53 5.34 71.16 94.69 71.57 546.87 446.79 572.75
1.00 16.40 14.80 12.24 230.61 171.50 81.26 1324.90 1174.03 1201.18
0.50 0.25 1.33 1.38 4.01 33.48 54.57 87.84 500.61 693.14 564.57
0.50 9.55 11.87 8.62 90.90 76.38 95.89 959.93 704.61 946.91
0.75 20.65 18.77 9.72 152.62 205.72 131.55 1370.26 1054.68 1030.76 1.00 31.04 29.73 13.70 367.26 276.61 210.12 1732.98 1486.73 1879.52 0.75 0.25 10.53 14.17 12.48 87.11 65.08 51.06 1032.36 860.43 1091.76 0.50 15.10 13.16 14.09 248.50 228.80 240.73 1666.71 1251.47 1541.25 0.75 36.98 38.57 25.65 348.58 296.03 329.72 1501.30 1975.78 2010.66 1.00 19.23 14.62 10.16 240.57 213.40 242.40 1739.66 1898.06 1458.24
Tablo 4. Sezgisellerin çözüm kaliteleri
(α,β)
(0.25;0.75) (0.50;0.50) (0.75;0.25)
n NEH Tabu Rassal EDD NEH Tabu Rassal EDD NEH Tabu Rassal EDD
10 0.9827 0.9836 0.9472 0.9343 0.9652 0.9892 0.9451 0.8018 0.9752 0.9904 0.8620 0.9098 12 0.9573 0.9890 0.9546 0.8179 0.9692 0.9906 0.9365 0.9280 0.9553 0.9811 0.8332 0.8901 14 0.9565 0.9977 0.9399 0.8016 0.9892 0.9932 0.9392 0.8708 0.9862 0.9917 0.8367 0.8012 16 0.9690 0.9955 0.9484 0.9083 0.9718 0.9895 0.9144 0.8318 0.9337 0.9796 0.8378 0.8593 18 0.9604 0.9891 0.9195 0.8378 0.9664 0.9966 0.9152 0.8838 0.9353 0.9905 0.8250 0.8876 20 0.9690 0.9931 0.9071 0.8315 0.9700 0.9881 0.9010 0.9415 0.9465 0.9986 0.8210 0.9471 Ort. 0.9658 0.9914 0.9361 0.8552 0.9720 0.9912 0.9252 0.8763 0.9554 0.9886 0.8360 0.8825
6. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu çalışmada beklemesiz iki ölçütlü akış tipi çizelgeleme problemi ele alınmıştır. İncelenen ölçütler toplam tamamlanma zamanı ve maksimum gecikmedir. Bu problem için tamsayılı programlama modeli geliştirilmiş ve 20 işe kadar optimal sonuçlar bulunmuştur. Ayrıca NEH yöntemi probleme uyarlanmış, EDD yöntemi ile geliştirilen tabu arama ve rassal arama yöntemiyle 1000 işe kadar olana problemlerin çözümü gerçekleştirilmiştir. Bundan sonraki çalışmalarda diğer performans ölçütleri kullanılarak, beklemesiz akış tipi çizelgeleme problemleri incelebilir.
T. Eren, E. Güner
Tablo 5. Büyük boyutlu problemlerin çözüm sonuçları ve süreleri
Çözüm kalitesi CPU zamanları (sn)
n NEH Tabu Rassal EDD NEH Tabu Rassal EDD
100 0.8648 1.0000 0.5235 0.7578 0.40 0.34 0.10 <0.1 200 0.6754 1.0000 0.4558 0.7832 20.83 11.16 9.19 <0.1 300 0.7075 1.0000 0.4409 0.8278 51.89 36.92 120.60 <0.1 400 0.7426 1.0000 0.4252 0.7780 88.65 43.48 191.38 <0.1 500 0.7681 1.0000 0.5609 0.8734 132.68 123.53 469.15 <0.1 600 0.7196 1.0000 0.4417 0.7319 203.29 298.64 781.74 <0.1 700 0.8196 1.0000 0.5050 0.8822 340.43 907.95 1637.89 <0.1 800 0.7246 1.0000 0.5182 0.9292 467.78 1908.11 2105.20 <0.1 900 0.7385 1.0000 0.4746 0.8541 757.09 3156.91 2559.36 <0.1 1000 0.6915 1.0000 0.5657 0.9194 876.68 4022.65 3566.55 <0.1
7. KAYNAKÇA
ADIRI, I., POHORYLES, D., 1982, “Flowshop/No-Idle or No-Wait Scheduling to Minimize the Sum of Completion Times”, Naval Res. Logistic Quart., 29 495-504.
ALDOWAISAN, T., ALLAHVERDİ, A., 1998, “Total Flowtime in No-Wait Flowshops with Separated Setup Times”, Computers & Operations Research, 25, 757–765.
ALDOWAISAN, T., ALLAHVERDİ, A., 2004, “New Heuristics for M-Machine No-Wait Flowshop to Minimize Total Completion Time”, Omega, 32, 345–352.
ALLAHVERDİ, A, ALDOWAISAN, T., 2000, “No-Wait and Separate Setup Three-Machine Flowshop with Total Completion Time Criterion”, International Transactions in Operational Research, 7, 245–264.
ALDOWAISAN, T., 2001, “A New Heuristic and Dominance Relations for No-Wait Flowshops with Setups”, Computers & Operations Research 28, 563-584.
BERTOLISSI, E. A., 1999, “Simple No-Wait Flow-Shop Scheduling Heuristic for the No-Wait Flowshop Problem”, Proceedings of the 15th International Conference on Computer-Aided Production Engineering, CAPE'99, Durham, UK, April 19-21.
BERTOLISSI, E., 2000, “Heuristic Algorithm for Scheduling in the No-Wait Flow-Shop”, Journal of Materials Processing Technology, 107, 459-465.
DILEEPAN, P., 2004, “A Note on Minimizing Maximum Lateness in a Two-Machine No-Wait Flowshop”, Computers & Operations Research 31, 2111–2115.
EREN, T., 2004, “Çok Ölçütlü Akış Tipi Çizelgeleme Problemleri için Çözüm Yaklaşımları”, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi. Ankara.
EREN, T., GÜNER, E., 2005, “Beklemesiz Akış Tipi Çizelgeleme Problemi: Toplam Gecikmenin Enküçüklenmesi”, 4. İstatistik Kongresi, Antalya, 12-15 Mayıs.
FISHER, M. L., 1976, “A Dual Algorithm for the One-Machine Scheduling Problem”, Mathematical Programming, 11, 229–251.
GANGADHARAN, R., RAJENDRAN, C., 1993, “Heuristic Algorithms for Scheduling in the No-Wait Flowshop”, Int. J. Prod. Econ. 32 (3), 285-290.
GLOVER, F., 1986, “Future Paths for Integer Programming and Links to Artificial Intelligence”, Computers and Operations Research, 5. 533-549.
JOHNSON, S. M., 1954, “Optimal Two-and Three-Stage Production Schedules with Setup Times Included”.
Naval Res Logist, 1, 61-68.
NAWAZ, M., ENSCORE, E. E., HAM, I., 1983, “A Heuristic Algorithm for the M-Machine, N-Job Flow- Shop Sequencing Problem”, Omega,11,91–95.
RAJENDRAN, C., CHAUHURI, D., 1990, “Heuristic Algorithms for Continuous Flowshop Problem”, Naval Res. Logistic 37 (5), 695-705.
SHYU, S. J., LIN, B. M. T., YIN, P.Y., 2004, “Application of Ant Colony Optimization for No-Wait Flowshop Scheduling Problem to Minimize the Total Completion Time”, Computers & Industrial Engineering, 47, 181–193.
Van Der VEEN, J. A. A., Van DAL, R., 1991, “Solvable Cases of the No-Wait Flowshop Scheduling Problem”, Journal of the Operational Research Society, 42, 971–980.
WANG, X., CHENG, T. C. E., 2005, “A Heuristic Approach for Two-Machine No-Wait Flowshop Scheduling with Due Dates and Class Setups”, Computers & Operations Research, (Basımda).