İŞLEM
Bir A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
A boş olmayan bir küme ve AB olsun.
Her f:AAB fonksiyonuna A üzerinde ikili işlem veya kısaca işlem denir.
İşlem için genellikle ,,,,, sembolleri kullanılır. ,
Örnek:
11 6 5 ...
11 )
6 , 5
(
24 4 . 6 . ...
24 )
4 , 6
(
c b a ...
c ) b , a
(
z y x ...
z )
y , x
(
Örnek:
Tamsayılar kümesinde xy2x5y şeklinde işlemi tanımlanmıştır. Buna göre 5(1) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
y 5 x 2 y
x ise,
5 5 10 ) 1 .(
5 5 . 2 ) 1 (
5 olur.
Örnek:
Sıfırdan ve birbirinden farklı reel sayılar kümesinde işlemi
a 1 b 1 b a
3
şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, 52 işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Verilen işlemi düzenleyerek 52 işleminin sonucunu bulalım.
b a
ab b 3 ab a
b a b a
3 a 1 b 1 b a
3
dir.
Buna göre a5 ve b2 için,
3 10 30 2 5
2 . 5 . 2 3
5
bulunur.
Örnek:
Tam sayılar kümesi üzerinde ab2ab işlemi tanımlanmıştır. k7513 olduğuna göre k nın değerini bulalım.
Çözüm:
b a 2 b
a olduğuna göre,
7 13 10 k 2 13 10 7 k 2 13 5 7
k
2k4k2 bulunur.
Örnek:
Tam sayılar kümesi üzerinde
2x-y, x y y x , y y x
x işlemi
tanımlanmıştır. Buna göre 2(43) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Önce parantez içini sonuçlandıralım:
4 > 3 olduğu için 43437 bulunur.
2 > 7 olduğu için 272.273 bulunur.
O halde 2(43)273 tür.
Örnek:
Rasyonel sayılarda ab a2b2 olduğuna göre, 12
) 4 3
( işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
b2 a2 b
a olduğuna göre,
3
a ve b4 için, 34 3242 25 5 tir.
5
a ve b12 için, 512 52122 169 13 Buna göre (34)1251213 bulunur.
Örnek:
Tam sayılar kümesi üzerinde ) olmayanı küçük nin b ve a ( b
a işlemi tanımlanıyor.
Buna göre (2)(35) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
“ a ve b nin küçük olmayanı” ifadesi “a ve b nin büyük veya eşit olanı” ifadesine denktir. Buna göre önce parantez içini sonuçlandıralım.
5 ) olmayanı küçük in 5 ve 3 ( 5
3 olur.
5 ) olmayanı küçük in 5 ve 2 ( 5 ) 2
( olduğundan,
5 5 ) 2 ( ) 5 3 ( ) 2
( bulunur.
Örnek:
Reel sayılar kümesindeki her x, y için, y
x . 3 y ) 1 x
( işlemi tanımlanmıştır. Buna göre 8
) 6 5
( işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
y x . 3 y ) 1 x
( olduğuna göre, 6 6 12 6 5 6 4 . 3 6 ) 1 4
( dır.
7 8 15 8 6 8 5 . 3 8 ) 1 5
( dir.
Buna göre,
7 8 6 8 ) 6 5
( bulunur.
Örnek:
Reel sayılar kümesi üzerinde (a1)(b1)2.a.b2 işlemi tanımlanmıştır. Buna göre ab işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
1
a ifadesinin ters ifadesi a1 dir.
1
b ifadesinin ters ifadesi b1 dir.
Buna göre (a1)(b1)2.a.b2 işleminde a yerine 1
a ve b yerine b1 yazılırsa, 2 ) 1 b ).(
1 a .(
2 ) 1 1 b ( ) 1 1 a
(
2 ) 1 b a ab .(
2 b
a
b 2 a 2 ab . 2 b
a olur.
Örnek:
Dik koordinat düzleminin noktaları üzerinde bir işlemi )
d . b , c a ( ) d , c ( ) b , a
( şeklinde tanımlanıyor.
) 21 , 1 ( ) m n , 4 ( ) 3 , m
( olduğuna göre mn farkı kaçtır?
Çözüm:
) d . b , c a ( ) d , c ( ) b , a
( olduğuna göre,
) 21 , 1 ( ) m 3 n 3 , 4 m ( ) 21 , 1 ( ) m n , 4 ( ) 3 , m
(
Bu durumda,
3 4 1 m 1 4
m ve
4 n 21 ) 3 .(
3 n 3 21 m 3 n
3
olur.
O halde mn3(4)1 bulunur.
Örnek:
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ve işlemleri, y
2 x y
x ve xyx3y şeklinde tanımlanmıştır.
Buna göre (20062007)2005 işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
y 2 x y
x olduğundan,
6020 4014 2006 2007 . 2 2006 2007
2006 dir
y 3 x y
x olduğundan,
5 6015 6020 2005 . 3 6020 2005
6020 tir.
O halde, (20062007)2005602020055 olur.
Örnek:
Reel sayılar kümesi üzerindeki her x,y için, )
x y .(
2 y x 2 y
x işlemleri tanımlanmıştır. Buna göre 64 işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
) x y .(
2 y x 2 y
x olduğuna göre, 6
x ve y4 için, 6482.(46) dır…(1) 4
x ve y6 için, 4622.(64) tür…(2) (2) eşitliğindeki ifade (1) eşitliğinde yerine yazılırsa,
)) 4 6 .(
2 2 .(
2 8 ) 6 4 .(
2 8 4
6
12 ) 4 6 .(
3 )) 4 6 .(
2 2 .(
2 8 ) 6 4 .(
2 8 4
6
4 4
6 bulunur.
Örnek:
n pozitif bir tamsayı olmak üzere,
n x1.x3.x5...x2n 1x
n x2.x4.x6...x2nx şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre,
252 225
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
25 21.23.25...249 21 3 5 ... 49 2(252)2
25 22.24.26...250 22 4 6 ... 50 225.262
22525 1 650 2 2625 2650 2625 26 . 225
2) 25 2(
225 225
Örnek:
} L ,İ , Ç , E , S {
A kümesi üzerinde
işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor. Buna göre S(ÇL) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Tabloya göre ÇLÇ ve SÇİdir.
O halde,
İ Ç S ) L Ç (
S bulunur.
Örnek:
} e , d , c , b , a {
A kümesi üzerinde
işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor. Tabloya göre
x b ) d a (
c eşitliğini sağlayan x in eşitini bulalım.
Çözüm:
x b ) d a (
c ise cbbxbbx tir.
c b
b olduğundan xc dir.
İşlemin Özellikleri
1. Değişme Özelliği
A boş olmayan bir küme ve işlemi A da tanımlı bir işlem olsun.
Eğer a, bA için, abba oluyorsa işleminin değişme özelliği vardır denir.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde tanımlanan xyxy2x y işleminin değişme özelliği olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
Verilen işlemin değişme özelliğine sahip olması için x
y y
x olmalıdır.
x y 2 y x y
x ve
x y 2 y x yx 2 x y x
y
olduğundan xyyx dir.
O halde verilen işlem değişme özelliğine sahiptir.
Örnek:
Tam sayılar kümesinde tanımlanan xyxy10 işleminin değişme özelliği olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
Verilen işlemin değişme özelliğine sahip olması için x
y y
x olmalıdır.
10 y x y
x ve 10 y x 10 x y x
y
olduğundan xyyx dir.
O halde verilen işlem değişme özelliğine sahip değildir.
Örnek:
} e , d , c , b , a {
K kümesi üzerinde
işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor.
Tabloyla tanımlanan işlemi değişmelidir. Çünkü tablonun taralı kısmındaki elemanların
hepsi işlemi gören köşegene göre simetriktir.
2. Birleşme Özelliği
A boş olmayan bir küme ve işlemi A da tanımlı bir işlem olsun.
Eğer a, b, cA için, a(bc)(ab)c oluyorsa
işleminin birleşme özelliği vardır denir.
Örnek:
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan abab3 işleminin birleşme özelliğinin olup olmadığını a2, b3 ve c5 alarak bakalım.
Çözüm:
4 3 5 2 5 2 ) 3 5 3 ( 2 ) 5 3 (
2
4 3 5 2 5 2 5 ) 3 3 2 ( 5 ) 3 2
(
5 ) 3 2 ( ) 5 3 (
2 olduğundan işleminin birleşme özelliği vardır.
3. Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği
A boş olmayan bir küme ve işlemi A da tanımlı bir işlem olsun.
Eğer aA için, aeeaa oluyorsa e ye işleminin birim(etkisiz) elemanı denir.
Bir işlemde etkisiz eleman varsa bir tanedir. Birden fazla etkisiz eleman bulunuyorsa, işlemin etkisiz elemanı yoktur.
Örnek:
Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanan xyxy2 işleminin etkisiz(birim) elemanını bulalım.
Çözüm:
işleminin değişme özelliği olduğu için xex eşitliğini sağlayan e sayısını bulmalıyız.
2 e 0 2 e x 2 e x x e
x dir.
Örnek:
Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanan xy2xy3 işleminin etkisiz(birim) elemanını bulalım.
Çözüm:
3 x e e 3 x x 3 e x 2 x e
x tür.
e elemanı x in değişen değerlerine göre farklı değerler alacağından işleminin etkisiz(birim) elemanı yoktur.
Verilen işlemin değişme özelliği olmadığı için yukarıdaki işlem yapılmadan etkisiz elemanın olmayacağı söylenebilirdi.
Örnek:
} d , c , b , a {
A kümesi üzerinde işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor.
işleminin etkisiz(birim) elemanını bulalım.
Çözüm:
işleminin bulunduğu satırın aynen ortaya çıktığı satırı ve işleminin bulunduğu sütunun aynen ortaya çıktığı sütunu yandaki gibi tarayalım.
Taradığımız satırın ve taradığımız sütunun kesişiminde bulunan eleman birim elemandır.
Buna göre, işleminin etkisiz(birim) elemanı c dir.
Tabloya dikkat edilirse, a a c c
a b b c c
b c c c c
c d d c c
d
eşitliklerinin doğru olduğu görülür.
4. Ters Eleman Özelliği
A boş olmayan bir küme ve işlemi A da tanımlı bir işlem olsun. e elemanı işleminin birim(etkisiz) elemanı olmak üzere,
A a için,
e a x x
a oluyorsa x elemanına işlemine göre a nın tersi denir ve xa1 şeklinde gösterilir.
e 1 a 1 a a
a dir.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde tanımlanan xyxy6 işlemine göre 3 ün tersini bulalım.
Çözüm:
Bir elemanın tersinin bulunabilmesi için ilk olarak verilen işlemin birim elemanı bulunmalıdır.
işleminde değişme özelliği olduğu için xex eşitliğinden e yi bulmamız yeterlidir.
6 e 0 6 e x 6 e x x e
x bulunur.
O halde işleminin etkisiz(birim) elemanı e6 dır.
3 ün işlemine göre tersi 31 ise, 3 ile 31 işleme girdiğinde sonuç birim eleman yani 6 olmalıdır.
6 1 3 3 6 1 6 3 3 1 6
3
3
319 olur.
Uyarı
Bir işlemin etkisiz elemanı yoksa ters elemanı da yoktur.
Bir elemanın tersinin tersi kendisidir.
Bir elemanın tersi varsa bir tanedir.
Birim elemanın tersi kendisidir. Fakat tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman değildir.
Örnek:
} d , c , b , a {
A kümesi üzerinde işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor.
işlemine göre her elemanın tersini bulalım.
Çözüm:
işleminin etkisiz(birim) elemanı c dir.
1 a a 1 c
a
a dır.
Buna göre a nın tersi a dır.
1 d b 1 c
b
b dır. Buna göre b nin tersi d dir.
1 c c 1 c
c
c dır. Buna göre c nin tersi c dir.
1 b d 1 c
d
d dır. Buna göre d nin tersi d dir.
Örnek:
} e , d , c , b , a {
A kümesi üzerinde
işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor.
Her xA için,
defa n
x ...
x x n x
x olduğuna göre,
2006
d- ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
Tabloda görüldüğü gibi işlemin etkisiz(birim) elemanı b dir.
Etkisiz eleman b olduğundan, 1 e
d 1 b
d-
d olur.
Tabloya göre,
1 e e ,
c e 2 e
e ,
a c 2 e 1 e 3 e
e ,
d a 3 e 1 e 4 e
e ,
b d 4 e 1 e 5 e
e ,
e2005 e1 e2006 )2006 d 1 2006 (
d-
401 e b e
b 401 e 5) e (
e
2006 e
d- dir.
Örnek:
4} { 1
R kümesi üzerinde işlemi x y
4 y x y
x şeklinde tanımlanıyor. Buna göre 3 reel sayısının işlemine göre tersini bulunuz.
Çözüm:
Bir elemanın tersinin bulunabilmesi için ilk olarak verilen işlemin birim elemanı bulunmalıdır.
işleminde değişme özelliği olduğu için aea eşitliğinden e yi bulmamız yeterlidir.
0 ) a 4 1 .(
e a ae 4 e a a e
a olur.
Bu son eşitlikte 4
a1 olduğundan e0 bulunur.
O halde işleminin etkisiz(birim) elemanı e 0 dır.
3 ün işlemine göre tersi 31 ise, 3 ile 31 işleme girdiğinde sonuç birim eleman yani 0 olmalıdır.
1 0 3 . 3 . 1 4 3 3 1 0 3
3
3112.313
13.313
13
1 3 3
Örnek:
} 2 {
R kümesi üzerinde işlemi 2
x y y 2 x 2 y
x şeklinde tanımlanıyor. Buna göre tersi kendisine eşit olan elemanların toplamını bulunuz.
Çözüm:
İlk olarak işleminin etkisiz(birim) elemanı varsa bulalım.
Etkisiz eleman e olsun. işlemi değişmeli olduğu için, e elemanını aea eşitliğinden bulabiliriz.
a 2 ae e 2 a 2 a e
a
0 ae e 2 2
a
0 ) 2 a .(
e ) 2 a
(
0 ) 2 a ).(
1 e
(
Bu son eşitlikte a2 olduğundan e1 bulunur.
O halde işleminin etkisiz(birim) elemanı e1 dır.
Tersi kendisine eşit olan eleman m olsun.
Buna göre mm1 olur.
2 x y y 2 x 2 y
x olduğundan,
1 2 m . 1 m m . 2 m . 1 2 m
m
2 2 m m 4 1 2 . m m . 2 m . 2
e
0 ) 1 m ).(
3 m ( 0 3 m 2 4
m
-1 m veya 3
m dir.
Buna göre tersi kendisine eşit olan elemanların toplamı, 4
) 1 ( 3
bulunur.
Örnek:
2} { 3
R kümesi üzerinde işlemi
3 x y 2 y 3 x 3 y
x şeklinde tanımlanıyor. Bu işleme göre B elemanının tersi C olduğuna göre BC ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Etkisiz eleman e olsun. işlemi değişmeli olduğu için, e elemanını aea eşitliğinden bulabiliriz.
a 3 ae 2 e 3 a 3 a e
a
0 3 ae 2 e 3 a
2
(2a3).(e1)0 1
e
bulunur.
işlemine göre B elemanının tersi C olduğundan,
1 C B 1 1
B
B bulunur.
5. Yutan Eleman
A kümesi boş kümeden farklı bir küme ve , A da tanımlı bir işlem olsun.
Her xA için, xyyxy ise yA elemanına işleminin yutan elemanı denir.
Örnek:
Reel sayılar kümesi üzerinde xyxy2x y işlemi tanımlanıyor. Buna göre işleminin yutan elemanını bulalım.
Çözüm:
işleminin yutan elemanı y olsun. işlemi değişmeli olduğu için, y elemanını ayy eşitliğinden bulabiliriz.
y ay 2 y a y a y y
a
0 ay 2
a
2 y 1 a ay
2
bulunur.
Uyarı
Bazı işlemlerin yutan elemanı yoktur.
Bir işlemin yutan elemanı varsa bir tanedir.
Yutan eleman sabit bir sayıdır.
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.
Örnek:
Yandaki tabloda, P{2,4,6,8} kümesi üzerinde işlemi gösterilmiştir.
Buna göre P kümesinde tanımlı işlemini inceleyelim.
Çözüm:
işlemi değişmelidir.
Örneğin 2442, 6886,… dır.
Tablonun sonuç kısmındaki elemanların hepsi işlemi gören köşegene göre simetriktir.
işleminin etkisiz(birim) elemanı 2 dir.
işlemine göre, 2 nin tersi 2 dir.
4 ün tersi yoktur.
6 nın tersi yoktur.
8 in tersi yoktur.
işlemine göre, yutan eleman 8 dir. Çünkü 8 hangi elemanla işleme girerse girsin işlemin sonucu yine 8 olmaktadır.
4 ile 6 nın tersi olmamasına rağmen yutan eleman değildir.
6. Dağılma Özelliği
Boş olmayan bir E kümesinde ve işlemleri tanımlansın.
Her a,b,cE için, a(bc)(ab)(ac) oluyorsa
işleminin işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır.
) a c ( ) a b ( ) c b
( oluyorsa işleminin işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği vardır.
Çözümlü Sorular
1. Tam sayılar kümesi üzerinde, her a,b için, ab
1 b
a işlemi tanımlanmıştır.
) 8 1 (
7 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
0 0 7 1 0 7 ) 1 ( 7 8) 1 1 ( 7 ) 8 1 (
7 dır.
2. Reel sayılar kümesi üzerinde her a,b için, b
3 a 2 b
a işlemi tanımlanmıştır.
8 3 4
k olduğuna göre k kaçtır?
Çözüm:
8 . 3 3 . 2 4 . 3 k 2 8 3 4
k
2k12624
2k18k9 bulunur.
3. Reel sayılar kümesi üzerinde, 1
y x y
x ve abab1 işlemleri veriliyor.
Buna göre, 2(4m)0 olduğuna göre m kaçtır Çözüm:
0 ) 1 m 4 ( 2 0 ) m 4 (
2
2(3m)0
23m10
6m0 m6 bulunur.
4. Reel sayılar kümesi üzerinde sıfırdan farklı her a,b için b
b a 2 a
3 işlemi tanımlanmıştır. 43 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
a 4
3 ve 3 b
2 olmalıdır.
4 a 3 ve
3
b 2 bulunur.
2 1 3 2 4 3 3 3 4 2 4 3
3 2 2
4 3
3 bulunur.
5. Her a,b reel sayısı için,
0 b a 3 ,
b a
0 b a 2 ,
b a b a
işlemi tanımlanmıştır. Buna göre
4
5 4
1 4
3 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
2 0 1 4 1 4
3
olduğundan,4 1 2 2 1
2 4 1 4 3
4 1 4
3
tür.0 4 1
5 4
1
olduğundan,3 1 3
4 5 4 1
4 5 4
1
dir.O halde,
3 1 4 5 4 1 4 5 4
1 4
3
bulunur.6. Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı işlemi değişmelidir.
) x y .(
3 y x y
x olduğuna göre 1026 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
işlemi değişmeli olduğundan xyyx tir.
) y x .(
3 x ) x y .(
3 y x y
x
2 y y x
x y x ) y x .(
2
Buna göre,
2 18 36 2
26 26 10
10
bulunur.
7. Reel sayılarda işlemi
"
olmayanı küçük den y ile x
"
y
x şeklinde
tanımlanıyor. 6(ab)9 ise a en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
9 ) b a (
6 ise ab9 olmalıdır.
9 b
a ise a ile b nin alabileceği en büyük değer 9 olur.
8. Reel sayılarda işlemi,
b-1, ateksayı çiftsayı a , 1 b a
a şeklinde tanımlanıyor.
120 ) a 8 ( ) a 7 ( ) a 6 ( ) a 5
( olduğuna göre
a kaçtır?
Çözüm:
5 tek sayı olduğundan 5aa1 dir.
6 çift sayı olduğundan 6a617 dir.
7 tek sayı olduğundan 7aa1 dir.
8 çift sayı olduğundan 8a819 dur.
120 ) a 8 ( ) a 7 ( ) a 6 ( ) a 5
( olduğuna göre,
120 14 a 2 120 9 1 a 7 1
a
a53 tür.
9. xyxymx y6 işleminin birim(etkisiz) elemanı 3 olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm:
Birim eleman, kendisi ile işleme girdiğinde işlemin sonucu birim elemana eşittir.
Birim eleman e olmak üzere, eee olur.
Buna göre, 3 3
3 ise
3 6 m 9 6 3 6 3 . 3 . m 3
3
1 m 9 m 9 3 12 m
9
bulunur.
10. RR kümesinde tanımlı (a,b)(x,y)(a.x,by) işleminin etkisiz(birim) elemanını bulunuz.
Çözüm:
işleminin birim elemanı ) e2 1, e
( olsun.
Buna göre,
) b , a ( 2) e 1, e ( ) b , a
( olur.
2 b e b ve 1 a e . a ) b , a ( 2) e b 1, e . a
( dir.
2 0 e ve 1 1
e bulunur.
O halde işleminin birim elemanı ) (1,0) e2
1, e
( dır.
11. Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
4 x y y 3 x işlemine göre, 6 nın tersi kaçtır?
Çözüm:
İlk olarak işleminin etkisiz(birim) elemanı varsa bulalım.
Etkisiz eleman e olsun. işlemi değişmeli olduğu için, e elemanını xex eşitliğinden bulabiliriz.
3 e 4 x 4 x e 3 4 x
x e x 3
e
x tür.
6 nın işlemine göre tersi 61 ise, 6 ile 61 işleme girdiğinde sonuç birim eleman yani
3
4 olmalıdır.
27 1 8 3 6 4 4
6 1 . 6 . 3 3 1 4 6
6
bulunur
12. Reel sayılar kümesi üzerinde ab2abab işlemi tanımlanıyor. Buna göre 1 5
5 kaçtır.
Çözüm:
işleminin etkisiz(birim) elemanı e olmak üzere,
e 1 5
5 olur.
Buna göre, işlemi değişmeli olduğu için, e elemanını x
e
x eşitliğinden bulabiliriz.
x e x x e 2 x e
x
0 ) 1 x 2 .(
e
0 e
olur.
O halde 5150 dır.
13. Reel sayılar kümesi üzerinde abxy2x y işlemi tanımlanıyor. Buna göre hangi reel sayının bu işleme göre tersi yoktur?
Çözüm:
Tersi olmayan eleman yutan elemandır. Yutan eleman y olsun.
Buna göre, her x reel sayısı için, x x y 2 y x y 2 y x y y
x
2 1 x 2 y x
bulunur.
14. A{1,2,3,4,5} kümesi üzerinde işlemi, her x,yA için, xy"x ile yden büyük olmayanı" şeklinde tanımlanıyor. Buna göre işleminin yutan elemanını bulunuz.
Çözüm:
Tabloda görüldüğü gibi yutan eleman 1 dir.
15. Aşağıdaki tabloda A{M,A,R,T,}I kümesi üzerinde işlemi tanımlanmıştır.
Her xA için,
defa n
x ...
x x n x
x olduğuna
göre, M2(RT) ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
A M 2 M
M ve RTA olduğundan,
T A A ) T R 2 (
M bulunur.
16. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için ba
ab b
a işlemi tanımlanmıştır. Buna göre 1
) 4 2
( işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
32 16 2 16
4 4 2 4
2 dir.
33 1 32 32
1 1 32 1
32 tür.
O halde, (24)132133 tür.
17. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için 2 k
2 b a b
a işlemi tanımlanmıştır.
5 2
1 olduğuna göre k kaçtır?
Çözüm:
0 k 5 k 4 1 5 2 k 2 2 1 5 2
1
bulunur.
18. işlemi
b a 1 b a
3
şeklinde tanımlanmıştır. 51 in değeri kaçtır?
Çözüm:
b a 1 b a
3
ise
1 ab
b b 3 b a
1 ab b a
3
dir.
Buna göre,
2 1 6 3 1 1 . 5
1 . 1 3
5
dir.
19. a,bR için, abx.a2.b3 ve 2313 olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm:
13 3
2 ise 2x2.33132x4x2 dir.
20. ve işlemleri b2 a2 b
a ve ab2a3b şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre 2(31) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
3 3 6 1 . 3 3 . 2 1
3 ve
5 9 2 4 2 3 2 3
2 olduğundan
5 3 2 ) 1 3 (
2 bulunur.
21. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için b
3 a 2 b
a işlemi tanımlanmıştır.
30 ) m 2 ( ) 1 m
( olduğuna göre, m kaçtır?
Çözüm:
30 ) m 2 ( ) 1 m
( ise 2.(m1)3.(2m)30 dur.
2.m263m30
m830
m22 dir
22. Reel sayılar kümesi üzerinde, xy
y x y
x ve xy2 işlemleri tanımlanıyor.
11 x ) 17 3
( olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm:
2 y
x ise 3172 dir.
11 x ) 17 3
( ise 2x11 olur.
3 x 9 x 3 11 x 2 x 2 11 x
2 tür.
23. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için b
3a b
9a işlemi tanımlanmıştır. Buna göre 1
) 4 2
( işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
b 3a b
9a ise
b 3a ) b a .(
32 b 3a b )a 32
(
2 b b a a b a ) b a .(
2
dir.
Buna göre, 2
2 1 1 3 3 1 2 )
4 (2 1 ) 4 2
(
dir.
24. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için 1
b a 2 ) b 3 ( ) 5 a
( işlemi tanımlanmıştır. Buna göre (16)3 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
4 a 1 5
a tür. 3b6b2 dir.
7 6 1 1 2 ) 4 .(
2 ) 2 . 3 ( ) 5 4
( dir.
12 a 7 5
a dir. 3b3b1 dir.
24 3 7 1 1 ) 12 .(
2 ) 1 . 3 ( ) 5 12
( tür.
Buna göre, (16)37324 bulunur.
25. A{4,7,10,12,15} kümesi üzerinde her a,bA için olan"
esit veya büyük den b ile a
"
b
a şeklinde bir
işlemi tanımlanıyor. Buna göre işleminin birim elemanı kaçtır?
Çözüm:
Tabloda görüldüğü gibi birim eleman 4 tür.
26. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için 2
b a b
a işlemi tanımlanmıştır.
1 a
a ve an aan1 olduğuna göre, 1
2 a a
10 eşitliğini sağlayan a tamsayısı kaçtır?
Çözüm:
2 2 a a a 2 a
a olur.
Buna göre,
2 1 a 2 2 10 1 a 2 10 1 2 a a
10
10a1a9 bulunur.
27. Reel sayılar kümesin üzerinde tanımlı, xy
y x y
x işlemine göre, birim eleman hariç tersi kendisine eşit olan sayı kaçtır?
Çözüm:
Önce birim elemanı bulalım.
0 e 0 ) x 1 .(
e x x e e x x e
x dır.
Tersi kendisine eşit olan sayı x olsun. O halde
1 e x
x ise xx0 olur.
2 x veya 0 x 0 x 2 2 x 0 x . x x
x
Buna göre x0 birim eleman olduğu için x2 dir.
28. R{1} kümesi üzerinde xyxyxy ve )
3 y ( x y
x işlemleri tanımlanıyor. Buna göre işleminin birim elemanı kaçtır?
Çözüm:
xy y x y
x ve xyx(y3) ise, )
y 3 3 y ( x ) 3 y ( x y
x
xy33yx.(y33y) xy33yx.y3x3x y
3 x y 4 y 4 x 4 y
x olur. işleminin birim elemanı e olsun.
Buna göre, x e
x ise 4x4e4x e3x olur.
0 3 ) x 1 .(
e 4 x
3
0 ) x 1 .(
e 4 ) 1 x .(
3
0 ) 3 e 4 ).(
1 x
(
4 e3
bulunur.
29. Tam sayılar kümesinde işlemi, 6
y 3 x y x 3 y
x şeklinde tanımlanıyor. Hangi elemanın tersi yoktur?
Çözüm:
Yutan elemanın tersi yoktur.
Buna göre, y y
x eşitliğini sağlayan y değerini bulmamız yeterli olacaktır.
y 6 y 3 x y x 3 y y
x
x.(3y)2.(y3)0
(x2)(3y)0
y3 bulunur.
30. Aşağıdaki tabloda işlemi verilmiştir.
) 1 4 3 (
2 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Tablodan işleminin 1 olduğu görülür.
1 4 3 1 1 3
3 tür.
Buna göre,
3 2 2 ) 4 4 ( 2 ) 1 4 3 (
2 bulunur.
Konu Bitmiştir.