• Sonuç bulunamadı

İŞLEM. Buna göre a 5 ve b 2 için, Örnek: Çözüm: Örnek: şeklinde işlemi işleminin sonucu kaçtır? 4 > 3 olduğu için bulunur.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "İŞLEM. Buna göre a 5 ve b 2 için, Örnek: Çözüm: Örnek: şeklinde işlemi işleminin sonucu kaçtır? 4 > 3 olduğu için bulunur."

Copied!
13
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

İŞLEM

Bir A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

A boş olmayan bir küme ve AB olsun.

Her f:AAB fonksiyonuna A üzerinde ikili işlem veya kısaca işlem denir.

İşlem için genellikle ,,,,, sembolleri kullanılır. ,

Örnek:

11 6 5 ...

11 )

6 , 5

(

 

  

24 4 . 6 . ...

24 )

4 , 6

(

 

 

c b a ...

c ) b , a

(

 

  

z y x ...

z )

y , x

(

 

  

Örnek:

Tamsayılar kümesinde xy2x5y şeklinde  işlemi tanımlanmıştır. Buna göre 5(1) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

y 5 x 2 y

x   ise,

5 5 10 ) 1 .(

5 5 . 2 ) 1 (

5        olur.

Örnek:

Sıfırdan ve birbirinden farklı reel sayılar kümesinde  işlemi

a 1 b 1 b a

3  

 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, 52 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Verilen işlemi düzenleyerek 52 işleminin sonucunu bulalım.

b a

ab b 3 ab a

b a b a

3 a 1 b 1 b a

3

 

 

 

  dir.

Buna göre a5 ve b2 için,

3 10 30 2 5

2 . 5 . 2 3

5  

 

 bulunur.

Örnek:

Tam sayılar kümesi üzerinde ab2ab işlemi tanımlanmıştır. k7513 olduğuna göre k nın değerini bulalım.

Çözüm:

b a 2 b

a   olduğuna göre,

7 13 10 k 2 13 10 7 k 2 13 5 7

k          

2k4k2 bulunur.

Örnek:

Tam sayılar kümesi üzerinde

 

 

 2x-y, x y y x , y y x

x işlemi

tanımlanmıştır. Buna göre 2(43) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

Önce parantez içini sonuçlandıralım:

4 > 3 olduğu için 43437 bulunur.

2 > 7 olduğu için 272.273 bulunur.

O halde 2(43)273 tür.

Örnek:

Rasyonel sayılarda ab a2b2 olduğuna göre, 12

) 4 3

(   işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

b2 a2 b

a   olduğuna göre,

3

a ve b4 için, 34 3242  25 5 tir.

(2)

5

a ve b12 için, 512 52122  169 13 Buna göre (34)1251213 bulunur.

Örnek:

Tam sayılar kümesi üzerinde ) olmayanı küçük nin b ve a ( b

a  işlemi tanımlanıyor.

Buna göre (2)(35) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

“ a ve b nin küçük olmayanı” ifadesi “a ve b nin büyük veya eşit olanı” ifadesine denktir. Buna göre önce parantez içini sonuçlandıralım.

5 ) olmayanı küçük in 5 ve 3 ( 5

3   olur.

5 ) olmayanı küçük in 5 ve 2 ( 5 ) 2

(     olduğundan,

5 5 ) 2 ( ) 5 3 ( ) 2

(       bulunur.

Örnek:

Reel sayılar kümesindeki her x, y için, y

x . 3 y ) 1 x

(     işlemi tanımlanmıştır. Buna göre 8

) 6 5

(   işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

y x . 3 y ) 1 x

(     olduğuna göre, 6 6 12 6 5 6 4 . 3 6 ) 1 4

(          dır.

7 8 15 8 6 8 5 . 3 8 ) 1 5

(          dir.

Buna göre,

7 8 6 8 ) 6 5

(      bulunur.

Örnek:

Reel sayılar kümesi üzerinde (a1)(b1)2.a.b2 işlemi tanımlanmıştır. Buna göre ab işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

1

a ifadesinin ters ifadesi a1 dir.

1

b ifadesinin ters ifadesi b1 dir.

Buna göre (a1)(b1)2.a.b2 işleminde a yerine 1

a ve b yerine b1 yazılırsa, 2 ) 1 b ).(

1 a .(

2 ) 1 1 b ( ) 1 1 a

(         

2 ) 1 b a ab .(

2 b

a     

b 2 a 2 ab . 2 b

a    olur.

Örnek:

Dik koordinat düzleminin noktaları üzerinde bir  işlemi )

d . b , c a ( ) d , c ( ) b , a

(    şeklinde tanımlanıyor.

) 21 , 1 ( ) m n , 4 ( ) 3 , m

(     olduğuna göre mn farkı kaçtır?

Çözüm:

) d . b , c a ( ) d , c ( ) b , a

(    olduğuna göre,

) 21 , 1 ( ) m 3 n 3 , 4 m ( ) 21 , 1 ( ) m n , 4 ( ) 3 , m

(         

Bu durumda,

3 4 1 m 1 4

m      ve

4 n 21 ) 3 .(

3 n 3 21 m 3 n

3        

 olur.

O halde mn3(4)1 bulunur.

Örnek:

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde  ve  işlemleri, y

2 x y

x   ve xyx3y şeklinde tanımlanmıştır.

Buna göre (20062007)2005 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

y 2 x y

x   olduğundan,

6020 4014 2006 2007 . 2 2006 2007

2006      dir

y 3 x y

x   olduğundan,

(3)

5 6015 6020 2005 . 3 6020 2005

6020      tir.

O halde, (20062007)2005602020055 olur.

Örnek:

Reel sayılar kümesi üzerindeki her x,y için, )

x y .(

2 y x 2 y

x     işlemleri tanımlanmıştır. Buna göre 64 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

) x y .(

2 y x 2 y

x     olduğuna göre, 6

x ve y4 için, 6482.(46) dır…(1) 4

x ve y6 için, 4622.(64) tür…(2) (2) eşitliğindeki ifade (1) eşitliğinde yerine yazılırsa,

)) 4 6 .(

2 2 .(

2 8 ) 6 4 .(

2 8 4

6       

12 ) 4 6 .(

3 )) 4 6 .(

2 2 .(

2 8 ) 6 4 .(

2 8 4

6          

4 4

6  bulunur.

Örnek:

n pozitif bir tamsayı olmak üzere,

 

n x1.x3.x5...x2n 1

x  

 

n x2.x4.x6...x2n

x  şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre,

 

 

25

2 225

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

 

25 21.23.25...249 21 3 5 ... 49 2(252)

2       

 

25 22.24.26...250 22 4 6 ... 50 225.26

2       

 

 

225

25 1 650 2 2625 2650 2625 26 . 225

2) 25 2(

225 225

 

 

Örnek:

} L ,İ , Ç , E , S {

A kümesi üzerinde

 işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor. Buna göre S(ÇL) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

Tabloya göre ÇLÇ ve SÇİdir.

O halde,

İ Ç S ) L Ç (

S     bulunur.

Örnek:

} e , d , c , b , a {

A kümesi üzerinde 

işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor. Tabloya göre

x b ) d a (

c    eşitliğini sağlayan x in eşitini bulalım.

Çözüm:

x b ) d a (

c    ise cbbxbbx tir.

c b

b  olduğundan xc dir.

İşlemin Özellikleri

1. Değişme Özelliği

A boş olmayan bir küme ve  işlemi A da tanımlı bir işlem olsun.

Eğer  a, bA için, abba oluyorsa  işleminin değişme özelliği vardır denir.

Örnek:

Reel sayılar kümesinde tanımlanan xyxy2x y işleminin değişme özelliği olup olmadığına bakalım.

(4)

Çözüm:

Verilen işlemin değişme özelliğine sahip olması için x

y y

x   olmalıdır.

x y 2 y x y

x    ve

x y 2 y x yx 2 x y x

y      

olduğundan xyyx dir.

O halde verilen işlem değişme özelliğine sahiptir.

Örnek:

Tam sayılar kümesinde tanımlanan xyxy10 işleminin değişme özelliği olup olmadığına bakalım.

Çözüm:

Verilen işlemin değişme özelliğine sahip olması için x

y y

x   olmalıdır.

10 y x y

x    ve 10 y x 10 x y x

y      

olduğundan xyyx dir.

O halde verilen işlem değişme özelliğine sahip değildir.

Örnek:

} e , d , c , b , a {

K kümesi üzerinde 

işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor.

Tabloyla tanımlanan  işlemi değişmelidir. Çünkü tablonun taralı kısmındaki elemanların

hepsi işlemi gören köşegene göre simetriktir.

2. Birleşme Özelliği

A boş olmayan bir küme ve  işlemi A da tanımlı bir işlem olsun.

Eğer  a, b, cA için, a(bc)(ab)c oluyorsa

 işleminin birleşme özelliği vardır denir.

Örnek:

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan abab3 işleminin birleşme özelliğinin olup olmadığını a2, b3 ve c5 alarak bakalım.

Çözüm:

4 3 5 2 5 2 ) 3 5 3 ( 2 ) 5 3 (

2           

4 3 5 2 5 2 5 ) 3 3 2 ( 5 ) 3 2

(            

5 ) 3 2 ( ) 5 3 (

2     olduğundan  işleminin birleşme özelliği vardır.

3. Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği

A boş olmayan bir küme ve  işlemi A da tanımlı bir işlem olsun.

Eğer  aA için, aeeaa oluyorsa e ye  işleminin birim(etkisiz) elemanı denir.

Bir işlemde etkisiz eleman varsa bir tanedir. Birden fazla etkisiz eleman bulunuyorsa, işlemin etkisiz elemanı yoktur.

Örnek:

Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanan xyxy2 işleminin etkisiz(birim) elemanını bulalım.

Çözüm:

 işleminin değişme özelliği olduğu için xex eşitliğini sağlayan e sayısını bulmalıyız.

2 e 0 2 e x 2 e x x e

x           dir.

Örnek:

Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanan xy2xy3 işleminin etkisiz(birim) elemanını bulalım.

Çözüm:

3 x e e 3 x x 3 e x 2 x e

x            tür.

e elemanı x in değişen değerlerine göre farklı değerler alacağından  işleminin etkisiz(birim) elemanı yoktur.

Verilen işlemin değişme özelliği olmadığı için yukarıdaki işlem yapılmadan etkisiz elemanın olmayacağı söylenebilirdi.

(5)

Örnek:

} d , c , b , a {

A kümesi üzerinde  işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor.

 işleminin etkisiz(birim) elemanını bulalım.

Çözüm:

 işleminin bulunduğu satırın aynen ortaya çıktığı satırı ve  işleminin bulunduğu sütunun aynen ortaya çıktığı sütunu yandaki gibi tarayalım.

Taradığımız satırın ve taradığımız sütunun kesişiminde bulunan eleman birim elemandır.

Buna göre,  işleminin etkisiz(birim) elemanı c dir.

Tabloya dikkat edilirse, a a c c

a    b b c c

b    c c c c

c    d d c c

d   

eşitliklerinin doğru olduğu görülür.

4. Ters Eleman Özelliği

A boş olmayan bir küme ve  işlemi A da tanımlı bir işlem olsun. e elemanı  işleminin birim(etkisiz) elemanı olmak üzere,

A a için,

e a x x

a    oluyorsa x elemanına  işlemine göre a nın tersi denir ve xa1 şeklinde gösterilir.

e 1 a 1 a a

a      dir.

Örnek:

Reel sayılar kümesinde tanımlanan xyxy6 işlemine göre 3 ün tersini bulalım.

Çözüm:

Bir elemanın tersinin bulunabilmesi için ilk olarak verilen işlemin birim elemanı bulunmalıdır.

 işleminde değişme özelliği olduğu için xex eşitliğinden e yi bulmamız yeterlidir.

6 e 0 6 e x 6 e x x e

x           bulunur.

O halde  işleminin etkisiz(birim) elemanı e6 dır.

3 ün  işlemine göre tersi 31 ise, 3 ile 31 işleme girdiğinde sonuç birim eleman yani 6 olmalıdır.

6 1 3 3 6 1 6 3 3 1 6

3

3           

319 olur.

Uyarı

 Bir işlemin etkisiz elemanı yoksa ters elemanı da yoktur.

 Bir elemanın tersinin tersi kendisidir.

 Bir elemanın tersi varsa bir tanedir.

 Birim elemanın tersi kendisidir. Fakat tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman değildir.

Örnek:

} d , c , b , a {

A kümesi üzerinde  işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor.

 işlemine göre her elemanın tersini bulalım.

Çözüm:

 işleminin etkisiz(birim) elemanı c dir.

1 a a 1 c

a

a      dır.

Buna göre a nın tersi a dır.

1 d b 1 c

b

b      dır. Buna göre b nin tersi d dir.

(6)

1 c c 1 c

c

c      dır. Buna göre c nin tersi c dir.

1 b d 1 c

d

d      dır. Buna göre d nin tersi d dir.

Örnek:

} e , d , c , b , a {

A kümesi üzerinde 

işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor.

Her xA için,

  

defa n

x ...

x x n x

x      olduğuna göre,

2006

d- ifadesinin eşitini bulalım.

Çözüm:

Tabloda görüldüğü gibi işlemin etkisiz(birim) elemanı b dir.

Etkisiz eleman b olduğundan, 1 e

d 1 b

d-

d     olur.

Tabloya göre,

1 e e  ,

c e 2 e

e    ,

a c 2 e 1 e 3 e

e      ,

d a 3 e 1 e 4 e

e      ,

b d 4 e 1 e 5 e

e      ,

e2005 e1 e2006 )2006 d 1 2006 (

d-     

401 e b e

b 401 e 5) e (

e     

2006 e

d-  dir.

Örnek:

4} { 1

R  kümesi üzerinde  işlemi x y

4 y x y

x    şeklinde tanımlanıyor. Buna göre 3 reel sayısının  işlemine göre tersini bulunuz.

Çözüm:

Bir elemanın tersinin bulunabilmesi için ilk olarak verilen işlemin birim elemanı bulunmalıdır.

 işleminde değişme özelliği olduğu için aea eşitliğinden e yi bulmamız yeterlidir.

0 ) a 4 1 .(

e a ae 4 e a a e

a         olur.

Bu son eşitlikte 4

a1 olduğundan e0 bulunur.

O halde  işleminin etkisiz(birim) elemanı e 0 dır.

3 ün  işlemine göre tersi 31 ise, 3 ile 31 işleme girdiğinde sonuç birim eleman yani 0 olmalıdır.

1 0 3 . 3 . 1 4 3 3 1 0 3

3        

3112.313

13.313

13

1 3 3 

Örnek:

} 2 {

R  kümesi üzerinde  işlemi 2

x y y 2 x 2 y

x     şeklinde tanımlanıyor. Buna göre tersi kendisine eşit olan elemanların toplamını bulunuz.

Çözüm:

İlk olarak  işleminin etkisiz(birim) elemanı varsa bulalım.

Etkisiz eleman e olsun.  işlemi değişmeli olduğu için, e elemanını aea eşitliğinden bulabiliriz.

a 2 ae e 2 a 2 a e

a      

0 ae e 2 2

a   

(7)

0 ) 2 a .(

e ) 2 a

(    

0 ) 2 a ).(

1 e

(   

Bu son eşitlikte a2 olduğundan e1 bulunur.

O halde  işleminin etkisiz(birim) elemanı e1 dır.

Tersi kendisine eşit olan eleman m olsun.

Buna göre mm1 olur.

2 x y y 2 x 2 y

x     olduğundan,

1 2 m . 1 m m . 2 m . 1 2 m

m       

2 2 m m 4 1 2 . m m . 2 m . 2

e       

0 ) 1 m ).(

3 m ( 0 3 m 2 4

m       

-1 m veya 3

m  dir.

Buna göre tersi kendisine eşit olan elemanların toplamı, 4

) 1 ( 3  

 bulunur.

Örnek:

2} { 3

R  kümesi üzerinde  işlemi

3 x y 2 y 3 x 3 y

x     şeklinde tanımlanıyor. Bu işleme göre B elemanının tersi C olduğuna göre BC ifadesinin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Etkisiz eleman e olsun.  işlemi değişmeli olduğu için, e elemanını aea eşitliğinden bulabiliriz.

a 3 ae 2 e 3 a 3 a e

a      

0 3 ae 2 e 3 a

2    

(2a3).(e1)0 1

e

 bulunur.

 işlemine göre B elemanının tersi C olduğundan,

1 C B 1 1

B

B      bulunur.

5. Yutan Eleman

A kümesi boş kümeden farklı bir küme ve , A da tanımlı bir işlem olsun.

Her xA için, xyyxy ise yA elemanına  işleminin yutan elemanı denir.

Örnek:

Reel sayılar kümesi üzerinde xyxy2x y işlemi tanımlanıyor. Buna göre  işleminin yutan elemanını bulalım.

Çözüm:

 işleminin yutan elemanı y olsun.  işlemi değişmeli olduğu için, y elemanını ayy eşitliğinden bulabiliriz.

y ay 2 y a y a y y

a       

0 ay 2

a 

2 y 1 a ay

2   

 bulunur.

Uyarı

 Bazı işlemlerin yutan elemanı yoktur.

 Bir işlemin yutan elemanı varsa bir tanedir.

 Yutan eleman sabit bir sayıdır.

 Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

Örnek:

Yandaki tabloda, P{2,4,6,8} kümesi üzerinde  işlemi gösterilmiştir.

Buna göre P kümesinde tanımlı  işlemini inceleyelim.

(8)

Çözüm:

 işlemi değişmelidir.

Örneğin 2442, 6886,… dır.

Tablonun sonuç kısmındaki elemanların hepsi işlemi gören köşegene göre simetriktir.

 işleminin etkisiz(birim) elemanı 2 dir.

 işlemine göre, 2 nin tersi 2 dir.

4 ün tersi yoktur.

6 nın tersi yoktur.

8 in tersi yoktur.

 işlemine göre, yutan eleman 8 dir. Çünkü 8 hangi elemanla işleme girerse girsin işlemin sonucu yine 8 olmaktadır.

4 ile 6 nın tersi olmamasına rağmen yutan eleman değildir.

6. Dağılma Özelliği

Boş olmayan bir E kümesinde  ve  işlemleri tanımlansın.

Her a,b,cE için, a(bc)(ab)(ac) oluyorsa

işleminin  işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır.

) a c ( ) a b ( ) c b

(      oluyorsa  işleminin  işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği vardır.

Çözümlü Sorular

1. Tam sayılar kümesi üzerinde, her a,b için, ab

1 b

a   işlemi tanımlanmıştır.

) 8 1 (

7  işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

0 0 7 1 0 7 ) 1 ( 7 8) 1 1 ( 7 ) 8 1 (

7             dır.

2. Reel sayılar kümesi üzerinde her a,b için, b

3 a 2 b

a   işlemi tanımlanmıştır.

8 3 4

k   olduğuna göre k kaçtır?

Çözüm:

8 . 3 3 . 2 4 . 3 k 2 8 3 4

k      

2k12624

2k18k9 bulunur.

3. Reel sayılar kümesi üzerinde, 1

y x y

x    ve abab1 işlemleri veriliyor.

Buna göre, 2(4m)0 olduğuna göre m kaçtır Çözüm:

0 ) 1 m 4 ( 2 0 ) m 4 (

2       

2(3m)0

23m10

6m0 m6 bulunur.

4. Reel sayılar kümesi üzerinde sıfırdan farklı her a,b için b

b a 2 a

3   işlemi tanımlanmıştır. 43 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

a 4

3  ve 3 b

2  olmalıdır.

4 a 3 ve

3

b 2 bulunur.

2 1 3 2 4 3 3 3 4 2 4 3

3 2 2

4 3

3         bulunur.

(9)

5. Her a,b reel sayısı için,

 

 

 

 

0 b a 3 ,

b a

0 b a 2 ,

b a b a

işlemi tanımlanmıştır. Buna göre

 

 

 

 

 

 

 4

5 4

1 4

3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2 0 1 4 1 4

3 

 

 

olduğundan,

4 1 2 2 1

2 4 1 4 3

4 1 4

3  

 

 

 

 

tür.

0 4 1

5 4

1

  

  

  olduğundan,

3 1 3

4 5 4 1

4 5 4

1 

 

 

 

 

dir.

O halde,

3 1 4 5 4 1 4 5 4

1 4

3   

 

  

  



 

 

 

      

bulunur.

6. Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı  işlemi değişmelidir.

) x y .(

3 y x y

x     olduğuna göre 1026 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

 işlemi değişmeli olduğundan xyyx tir.

) y x .(

3 x ) x y .(

3 y x y

x       

2 y y x

x y x ) y x .(

2 

Buna göre,

2 18 36 2

26 26 10

10   

 bulunur.

7. Reel sayılarda  işlemi

"

olmayanı küçük den y ile x

"

y

x  şeklinde

tanımlanıyor. 6(ab)9 ise a en fazla kaç olabilir?

Çözüm:

9 ) b a (

6   ise ab9 olmalıdır.

9 b

a  ise a ile b nin alabileceği en büyük değer 9 olur.

8. Reel sayılarda  işlemi,

 

 b-1, ateksayı çiftsayı a , 1 b a

a şeklinde tanımlanıyor.

120 ) a 8 ( ) a 7 ( ) a 6 ( ) a 5

(         olduğuna göre

a kaçtır?

Çözüm:

5 tek sayı olduğundan 5aa1 dir.

6 çift sayı olduğundan 6a617 dir.

7 tek sayı olduğundan 7aa1 dir.

8 çift sayı olduğundan 8a819 dur.

120 ) a 8 ( ) a 7 ( ) a 6 ( ) a 5

(         olduğuna göre,

120 14 a 2 120 9 1 a 7 1

a        

a53 tür.

9. xyxymx y6 işleminin birim(etkisiz) elemanı 3 olduğuna göre m kaçtır?

Çözüm:

Birim eleman, kendisi ile işleme girdiğinde işlemin sonucu birim elemana eşittir.

Birim eleman e olmak üzere, eee olur.

Buna göre, 3 3

3  ise

3 6 m 9 6 3 6 3 . 3 . m 3

3       

(10)

1 m 9 m 9 3 12 m

9      

 bulunur.

10. RR kümesinde tanımlı (a,b)(x,y)(a.x,by) işleminin etkisiz(birim) elemanını bulunuz.

Çözüm:

 işleminin birim elemanı ) e2 1, e

( olsun.

Buna göre,

) b , a ( 2) e 1, e ( ) b , a

(   olur.

2 b e b ve 1 a e . a ) b , a ( 2) e b 1, e . a

(       dir.

2 0 e ve 1 1

e   bulunur.

O halde  işleminin birim elemanı ) (1,0) e2

1, e

(  dır.

11. Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

4 x y y 3 x  işlemine göre, 6 nın tersi kaçtır?

Çözüm:

İlk olarak  işleminin etkisiz(birim) elemanı varsa bulalım.

Etkisiz eleman e olsun.  işlemi değişmeli olduğu için, e elemanını xex eşitliğinden bulabiliriz.

3 e 4 x 4 x e 3 4 x

x e x 3

e

x        tür.

6 nın  işlemine göre tersi 61 ise, 6 ile 61 işleme girdiğinde sonuç birim eleman yani

3

4 olmalıdır.

27 1 8 3 6 4 4

6 1 . 6 . 3 3 1 4 6

6     

 

 bulunur

12. Reel sayılar kümesi üzerinde ab2abab işlemi tanımlanıyor. Buna göre 1 5

5  kaçtır.

Çözüm:

 işleminin etkisiz(birim) elemanı e olmak üzere,

e 1 5

5   olur.

Buna göre,  işlemi değişmeli olduğu için, e elemanını x

e

x  eşitliğinden bulabiliriz.

x e x x e 2 x e

x     

0 ) 1 x 2 .(

e  

0 e

olur.

O halde 5150 dır.

13. Reel sayılar kümesi üzerinde abxy2x y işlemi tanımlanıyor. Buna göre hangi reel sayının bu işleme göre tersi yoktur?

Çözüm:

Tersi olmayan eleman yutan elemandır. Yutan eleman y olsun.

Buna göre, her x reel sayısı için, x x y 2 y x y 2 y x y y

x       

2 1 x 2 y x 

 bulunur.

14. A{1,2,3,4,5} kümesi üzerinde  işlemi, her x,yA için, xy"x ile yden büyük olmayanı" şeklinde tanımlanıyor. Buna göre  işleminin yutan elemanını bulunuz.

Çözüm:

Tabloda görüldüğü gibi yutan eleman 1 dir.

(11)

15. Aşağıdaki tabloda A{M,A,R,T,}I kümesi üzerinde  işlemi tanımlanmıştır.

Her xA için,





defa n

x ...

x x n x

x      olduğuna

göre, M2(RT) ifadesinin eşitini bulalım.

Çözüm:

A M 2 M

M    ve RTA olduğundan,

T A A ) T R 2 (

M      bulunur.

16. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için ba

ab b

a   işlemi tanımlanmıştır. Buna göre 1

) 4 2

(   işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

32 16 2 16

4 4 2 4

2      dir.

33 1 32 32

1 1 32 1

32      tür.

O halde, (24)132133 tür.

17. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için 2 k

2 b a b

a    işlemi tanımlanmıştır.

5 2

1  olduğuna göre k kaçtır?

Çözüm:

0 k 5 k 4 1 5 2 k 2 2 1 5 2

1           

bulunur.

18.  işlemi

b a 1 b a

3  

 şeklinde tanımlanmıştır. 51 in değeri kaçtır?

Çözüm:

b a 1 b a

3  

 ise

1 ab

b b 3 b a

1 ab b a

3

 

 

  dir.

Buna göre,

2 1 6 3 1 1 . 5

1 . 1 3

5  

 

 dir.

19. a,bR için, abx.a2.b3 ve 2313 olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

13 3

2  ise 2x2.33132x4x2 dir.

20.  ve  işlemleri b2 a2 b

a   ve ab2a3b şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre 2(31) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

3 3 6 1 . 3 3 . 2 1

3      ve

5 9 2 4 2 3 2 3

2      olduğundan

5 3 2 ) 1 3 (

2     bulunur.

21. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için b

3 a 2 b

a   işlemi tanımlanmıştır.

30 ) m 2 ( ) 1 m

(     olduğuna göre, m kaçtır?

Çözüm:

30 ) m 2 ( ) 1 m

(     ise 2.(m1)3.(2m)30 dur.

2.m263m30

m830

m22 dir

22. Reel sayılar kümesi üzerinde, xy

y x y

x    ve xy2 işlemleri tanımlanıyor.

11 x ) 17 3

(    olduğuna göre x kaçtır?

(12)

Çözüm:

2 y

x  ise 3172 dir.

11 x ) 17 3

(    ise 2x11 olur.

3 x 9 x 3 11 x 2 x 2 11 x

2          tür.

23. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için b

3a b

9a   işlemi tanımlanmıştır. Buna göre 1

) 4 2

(   işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

b 3a b

9a   ise

b 3a ) b a .(

32 b 3a b )a 32

(       

2 b b a a b a ) b a .(

2 

 dir.

Buna göre, 2

2 1 1 3 3 1 2 )

4 (2 1 ) 4 2

(  

 

 dir.

24. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için 1

b a 2 ) b 3 ( ) 5 a

(      işlemi tanımlanmıştır. Buna göre (16)3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

4 a 1 5

a    tür. 3b6b2 dir.

7 6 1 1 2 ) 4 .(

2 ) 2 . 3 ( ) 5 4

(          dir.

12 a 7 5

a    dir. 3b3b1 dir.

24 3 7 1 1 ) 12 .(

2 ) 1 . 3 ( ) 5 12

(          tür.

Buna göre, (16)37324 bulunur.

25. A{4,7,10,12,15} kümesi üzerinde her a,bA için olan"

esit veya büyük den b ile a

"

b

a  şeklinde bir 

işlemi tanımlanıyor. Buna göre  işleminin birim elemanı kaçtır?

Çözüm:

Tabloda görüldüğü gibi birim eleman 4 tür.

26. Tam sayılar kümesi üzerinde her a,b için 2

b a b

a    işlemi tanımlanmıştır.

1 a

a  ve an aan1 olduğuna göre, 1

2 a a

10   eşitliğini sağlayan a tamsayısı kaçtır?

Çözüm:

2 2 a a a 2 a

a       olur.

Buna göre,

2 1 a 2 2 10 1 a 2 10 1 2 a a

10            

10a1a9 bulunur.

27. Reel sayılar kümesin üzerinde tanımlı, xy

y x y

x    işlemine göre, birim eleman hariç tersi kendisine eşit olan sayı kaçtır?

Çözüm:

Önce birim elemanı bulalım.

0 e 0 ) x 1 .(

e x x e e x x e

x           dır.

Tersi kendisine eşit olan sayı x olsun. O halde

1 e x

x   ise xx0 olur.

2 x veya 0 x 0 x 2 2 x 0 x . x x

x        

Buna göre x0 birim eleman olduğu için x2 dir.

28. R{1} kümesi üzerinde xyxyxy ve )

3 y ( x y

x    işlemleri tanımlanıyor. Buna göre  işleminin birim elemanı kaçtır?

(13)

Çözüm:

xy y x y

x    ve xyx(y3) ise, )

y 3 3 y ( x ) 3 y ( x y

x       

xy33yx.(y33y) xy33yx.y3x3x y

3 x y 4 y 4 x 4 y

x     olur.  işleminin birim elemanı e olsun.

Buna göre, x e

x  ise 4x4e4x e3x olur.

0 3 ) x 1 .(

e 4 x

3    

0 ) x 1 .(

e 4 ) 1 x .(

3    

0 ) 3 e 4 ).(

1 x

(   

4 e3

 bulunur.

29. Tam sayılar kümesinde  işlemi, 6

y 3 x y x 3 y

x     şeklinde tanımlanıyor. Hangi elemanın tersi yoktur?

Çözüm:

Yutan elemanın tersi yoktur.

Buna göre, y y

x  eşitliğini sağlayan y değerini bulmamız yeterli olacaktır.

y 6 y 3 x y x 3 y y

x      

x.(3y)2.(y3)0

(x2)(3y)0

y3 bulunur.

30. Aşağıdaki tabloda  işlemi verilmiştir.

) 1 4 3 (

2   işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Tablodan  işleminin 1 olduğu görülür.

1 4 3 1 1 3

3      tür.

Buna göre,

3 2 2 ) 4 4 ( 2 ) 1 4 3 (

2         bulunur.

Konu Bitmiştir.

Referanslar

Benzer Belgeler

• Sadece deneme sınavı satın alan kişi sayısı, soru bankası satın alan toplam kişi sayısının üç katıdır.. Buna göre, hem soru bankası hem de de- neme sınavı

satır ın altın a ya zılarak esas k öşegeni yön ündek i elem anlar ının çarp ım ın ın toplam ları ile yan köşegeni yö nündek i elem anlar ının çarpım ı toplam lar

Köşegenler

ORTALAMA DEĞİŞİM HIZI VE KESENİN EĞİMİ ORTALAMA DEĞİŞİM HIZI VE KESENİN EĞİMİ Bir nesnede birim zamanda meydana gelen değişime ortalama değişim hızı denir.Ya

Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam çiftse, bu sayı 2 ile kalansız (tam) bölünebilir.. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 2 ye bölümünden kalanı

Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi Testi?. İşleminin

[r]

Kareköklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi Testi. işleminin