Gamma ve Ki-kare Dağılımları

(1)

Gamma ve Ki-kare Dağılımları

Gamma Fonksiyonu:

1

0

( )α x^α e dx^x , α

∞

Γ =

∫

− − ∈^R

fonksiyonuna Gamma fonksiyonu denir. Bu fonksiyon için,

1 1 2

0

0 0

( ) ^x ( ^x) ( 1) ^x

u dv x

x^α e dx x^α e x^α e dx

α α

∞ ∞

− − − − ∞ − −

Γ =

∫

= − = + −

∫

²

0

(α 1) x^α e dx^x

∞

− −

= −

∫

=(α− Γ − 1) (α 1)

0

(1) e dx^x 1

∞

Γ =

∫

− =

( )α (α 1)! , α ⁺

Γ = − ∈ Z

ve

1 2

0

( )1 2

x e dxx π

∞ − −

Γ =

∫

= (matematik derslerinde göreceksiniz) dır. Örneğin,

2 1

0 0

(2) (2 1)! 1

x x

xe dx x e dx

∞ ∞

− = − − = Γ = − =

∫ ∫

5 6 1

0 0

(6) (6 1)! 5! 120

x x

x e dx x e dx

∞ ∞

− = − − = Γ = − = =

∫ ∫

5 7

2 2 1

0 0

7 5 5 5 3 3 5 3 1 1 5 3 1 15

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8

x x

x e dx x e dx π

π

∞ ∞

− = − − = Γ = Γ = × Γ = × × Γ = × × × =

∫ ∫

dır.

Matlab’da gamma fonksiyonu:

>> gamma(2) ans =

1

>> gamma(6) ans =

120

>> gamma(7/2) ans =

3.3234 |

(2)

>> gamma(1/2) ans =

1.7725

>> sqrt(pi) ans = 1.7725

>> gamma(2.2) ans =

1.1018

>> gamma(-2.2) ans =

-2.205 dır.

>> alfa=-5:0.1:5;

>> plot(alfa,gamma(alfa)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Ayrıca β∈(0,∞ için, )

1 / 1

0 0

x u ( )

x^α e ^βdx β^α u^α e dx β^α α

∞ ∞

− − = − − = Γ

∫ ∫

1 /

0

( ) 1 x e x

dx

α β

βα α

∞ − −

Γ =

∫

dır.

Tanım 1 Bir X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1 /

, 0

( ) ( )

0 , .

x e x

f x x

d y

α β

βα α

 − − >

= Γ

 , 1

, (0, )

α θ β

= β ∈ ∞

biçiminde olduğunda, X ‘e Gamma Dağılımına sahiptir denir ve X ∼Γ( , )α β biçiminde gösterilir.

(3)

(α 1, )β

Γ = dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,

/

, 0

( )

0 , .

e x

f x x

d y

β

 − >

= 



olmak üzere, bu β parametreli üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur. (Γ =α 1, )β dağılımı β parametreli üstel dağılımdır.

>> x=0:0.1:15;

>> plot(x,gampdf(x,1,2))

0 5 10 15

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Gamma dağılımının parametreleri ,α β∈(0,∞ olmak üzere, bu parametrelere bağlı ) olarak olasılık yoğunluk fonksiyonu değişik biçimler almaktadır. Örneğin,

>> plot(x,gampdf(x,.5,2))

0 5 10 15

0 0.5 1 1.5

>> plot(x,gampdf(x,1.5,2))

0 5 10 15

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

(4)

0 5 10 15

0 0.05 0.1 0.15 0.2

>> plot(x,gampdf(x,3,.5))

0 5 10 15

0 0.2 0.4 0.6 0.8

>> plot(x,gampdf(x,10,0.5))

0 5 10 15

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0 5 10 15

0 0.05 0.1 0.15 0.2

(5)

>> hold on

>> plot(x,gampdf(x,2,.5),'r')

>> hold on

>> plot(x,gampdf(x,0.5,3),'g')

>> hold on

>> plot(x,gampdf(x,2,2),'r')

>> hold on

>> plot(x,gampdf(x,0.5,10),'g')

>> plot(x,gampdf(x,10,0.5),'k')

0 5 10 15

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

>> figure

>> plot(x,gamcdf(x,5,1))

0 5 10 15

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0 5 10 15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(6)

Gamma dağılımına sahip bir X ∼Γ( , )α β rasgele değişkeni için,

( ) ( )

¹ ¹ ^, ⁰

0 ,

x

x e x

f x

dy

α β

α βα

− −

 >

Γ

=



( ) ( )

^tX

MX t =E e

( )

¹

0

1 1

,

x

etx _α x^α e ^βdx t

α β β

∞ −

= − <

∫

Γ

( )

0 ¹

1 1 ^{t x}

x^α e dx

α

β

α β

 

∞ − − − 

=Γ

∫

... 1 1

1 , 1

t x y x y dx dy

t t

β β β

 

  

 − = ⇒ = = 

  

 

 − − 

 

 

( )

1

1 0

1 1

1 1 y y

e dy

t t

α α α

α β β β

∞ −

−

= −

Γ  −   − 

∫

( )

¹ 0 ¹

1 1

1

y e dyy

t

α α

α βα

β

∞ − −

= −

Γ  

 − 

 

∫

( )

¹

(

¹

) (

¹

)

1 1 1

t

t t t

α

α α α

α

α β

α β β β β β Γ −

= = = = −

−

    

Γ  −    − 

    

( ) (

¹

)

^, ¹

MX t βt ^α t

β

= − − <

( )

^dM^X

( )

^t ^t ⁰

(

¹

)

⁽ ¹⁾

( )

^t ⁰

E X t

dt

α β ^{− −}α β αβ

= =

= = − − − =

( )

² ^{d M}² ^X²

^{( )}

^t ^t ⁰

⁽

^{1 1}

⁾⁽ ^{) ( )}

² ² ^t ⁰

(

²

)

²

E X t

dt

α α β ^{− −}α β α α β

= =

= = − − + − − = −

( ) ( )

²

⁽ ^{( )} ⁾

²

(

²

)

²

^{( )}

² ²

Var X =E X − E X = α α β− − αβ =αβ dır.

(7)

Tanım 2 Bir X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1 / 2

2

, 0

( ) 2 ( )

2

0 , .

r x r

x e r x f x

d y

 − −

 >

=  Γ



, ^r∈

{

^{1, 2,3,...}

}

biçiminde olduğunda, X ‘e Ki-kare Dağılımına sahiptir denir ve X ∼χ_{( )}²_r biçiminde gösterilir. Dağılım parametresi olan r sayısına serbestlik derecesi denir.

2 ( )r

χ dağılımı esasında ( , 2)

2 α r β

Γ = = dağılımıdır. Serbestlik derecesi r olan Ki-kare Dağılımı, parametreleri

2

α= , r β= olan Gamma Dağılımıdır. 2 χ₍₂₎² dağılımı θ= olan 2 üstel dağılımdır.

2 ( )r

χ dağılımına sahip bir X rasgele değişkeni için,

( ) (

^{1 2}

)

² ^, ¹

2

r

MX t = − t ⁻ t<

( )

E X =r

( )

²

Var X = r dır.

Bir X rasgele değişkeni 4 serbestlik dereceli Ki-kare Dağılımına sahip olsun. X ‘in olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunun grafikleri,

>> x = 0:0.1:20;

y = chi2pdf(x,4);

plot(x,y)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.05 0.1 0.15 0.2

>> x = 0:0.1:20;

y = chi2cdf(x,4);

plot(x,y)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dır.

(8)

Örnek 1 Bir X rasgele değişkeni 10 serbestlik dereceli Ki-kare Dağılımına sahip olsun.

4 / 2

, 0

( ) 768

0 , .

x e x

f x x

d y

 − >

= 



( ) (

^{1 2}

)

⁵ ^, ¹

X 2

M t = − t ⁻ t<

( )

¹⁰

E X =

( )

²⁰

Var X =

>> x = 0:0.1:30;

y = chi2pdf(x,10);

plot(x,y)

0 5 10 15 20 25 30

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

10 4 / 2

0

(0 10) int('x^4*exp(-x/2)/768', 0,10) = 0.55951 768

x e x

P X dx

−

< < =

∫

=

>> x = 0:0.1:30;

y = chi2cdf(x,10);

plot(x,y)

0 5 10 15 20 25 30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(0 10) ( 10) (10)

P < <X =P X ≤ =F = chi2cdf(10,10) = 0.55951

(9)

Bu dağılımın ortancası nedir?

( ) ( ) 0.50

P X ≤m =P X ≥m =

olacak şekilde m sayısı nedir? Başka bir ifade ile,

4 / 2

0

768 0.50

m x

x e dx

−

∫

=

( ) 0.50 F m =

olacak şekilde m sayısı nedir? F dağılım fonksiyonu, destek kümesi olan (0,∞ aralığı ) üzerinde bire-bir olduğundan,

1(0.50)

m=F⁻ = chi2inv(0.50,10) = 9.3418 dır.

Gösterim: Bir X rasgele değişkeninin dağılımında x_α ile gösterilen değer, P X( ≤x_α)= α olacak şekildeki değer olsun. Buna göre dağılımın ortancası m=x_0.50 dır. Birinci çeyreklik

x0.25, ikinci çeyreklik x_0.50 = ve üçüncü çeyreklik m x0.75 dır.

2

χ(10) dağılımının çeyreklikleri,

>>chi2inv(0.25,10) ans =

6.7372

>> chi2inv(0.50,10) ans =

9.3418

>> chi2inv(0.75,10) ans =

12.549 olmak üzere,

0.25 0.75

( ) (6.7372 12.549) 0.50

P x < <X x =P < <X =

( 0.50) ( 9.3418) 0.50

P X ≤x =P X > =

( 0.75) ( 12.549) 0.25

P X >x =P X > = dır.

( 0.95) 0.95 P X ≤x =

ifadesindeki x_0.95 değeri, yani dağılımın %95. yüzdeliği (kantili, quantile)

>> chi2inv(0.95,10) ans =

18.307

dır. %95. yüzdelik için

( 18.307) 0.95

P X ≤ =

( 18.307) 0.05

P X > =

dır.

Gösterim: χ_{( )}²_r dağılımında x_α ile gösterilen değer ²

( ; ) 2 ( , ) r chi inv r

χα = α ^{ile de}

gösterilmektedir. X ∼χ_{( )}²_r için (P X ≤x_α)= , α P X( ≤χ_{( ; )}²_α_r )= dır. Matlab’da α χ_{( ; )}²_α _r değeri chi inv2 ( , )α r fonksiyonu ile hesaplanmaktadır

(10)

2

χ(10) dağılımında,

>> chi2inv(0.05,10) ans =

3.9403

>> chi2inv(0.95,10) ans =

2

(0.05;10) 3.9403

χ ₌

2

(0.95;10) 18.307

χ ₌

ve

>> chi2inv(0.01,10) ans =

2.5582

>> chi2inv(0.99,10) ans =

2

(0.01;10) 2.5582

χ ₌

2

(0.99;10) 23.209

χ ₌

dır.

Gamma ve Ki-kare Dağılımları