G 2 YAPISINA SAHİP. Sercan BALÇIN Yüksek Lisans Tezi. Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

G2 YAPISINA SAH˙IP MAN˙IFOLDLAR

Sercan BALC¸ IN Y¨uksek Lisans Tezi

Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Matematik Anabilim Dalı

A˘gustos – 2007

J ¨UR˙I VE ENST˙IT ¨U ONAYI

Sercan Bal¸cın’ın “ G₂ Yapısına Sahip Manifoldlar” ba¸slıklı Mate- matik Anabilim Dalındaki, Y¨uksek Lisans Tezi 17.08.2007 tarihinde, a¸sa˘gı- daki j¨uri tarafından Anadolu ¨Universitesi Lisans¨ust¨u E˘gitim- ¨O˘gretim ve Sınav Y¨onetmeli˘ginin ilgili maddeleri uyarınca de˘gerlendirilerek kabul edilmi¸stir.

Adı Soyadı ˙Imza

Uye (Tez Danı¸smanı)¨ : Yard. Do¸c. Dr. N ¨UL˙IFER ¨OZDEM˙IR . . . .

Uye¨ : Prof. Dr. H ¨USEY˙IN AZCAN . . . .

Uye¨ : Yard. Do¸c. Dr. ˙I.˙ILKER AKC¸ A . . . .

Anadolu ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Y¨onetim Kurulu’nun . . . tarih ve . . . sayılı kararıyla onaylanmı¸stır.

Enstit¨u M¨ud¨ur¨u

OZET¨

Y¨uksek Lisans Tezi

G₂ YAPISINA SAH˙IP MAN˙IFOLDLAR

Sercan BALC¸ IN

Anadolu ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Matematik Anabilim Dalı

Danı¸sman: Yard. Do¸c. Dr. N¨ulifer ¨OZDEM˙IR 2007, 94 sayfa

Bu ¸calı¸smada yapı grubu G2 olan 7-boyutlu Riemannian Manifoldlar ince- lenmi¸stir. Bu ama¸cla be¸s b¨ol¨umden olu¸san bu ¸calı¸smanın ilk b¨ol¨um¨unde, G2

grubu tanıtılarak, sa˘gladı˘gı temel ¨ozellikler sunulmu¸stur.

˙Ikinci b¨ol¨umde genel olarak vekt¨or uzayları ¨uzerinde 2-katlı vekt¨or ¸carpımı tanımlanmı¸s ve ¨ozellikleri incelenmi¸stir. ¨U¸c¨unc¨u b¨ol¨umde G2 grubunun bazı d¨u¸s¨uk boyutlu indirgenemez temsilleri verilmi¸stir. D¨ord¨unc¨u b¨ol¨umde temel 3-formun kovaryant t¨urevlerinin uzayı ¸calı¸sılmı¸stır.

Son b¨ol¨umde ise G2 grubunun 1,7,14 ve 27 boyutlu indirgenemez temsilleri ve manifold ¨uzerindeki kovaryant t¨urev kullanılarak yapı grubu G2 olan 7- boyutlu Riemannian manifoldlar sınıflandırılmı¸stır.

Anahtar Kelimeler : Riemannian Manifoldlar, Kovaryant T¨urev, k-form,

˙Indirgenemez Temsil

ABSTRACT Master of Science Thesis

MAN˙IFOLDS WITH THE STRUCTURE GROUP G₂

Sercan BALC¸ IN

Anadolu University Graduate School of Sciences

Mathematics Program

Supervisor: Assist. Prof. Dr. N¨ulifer ¨OZDEM˙IR 2007, 94 pages

In this thesis 7-dimensional Riemannian manifolds with structure group G₂ are studied. The thesis consists of five chapters. In first chapter, the exceptional Lie group G₂ together with the properties it satisfies is introduced.

In second chapter 2-fold vector cross product is defined and its properties are studied. In third chapter some low dimensional irreducible representations of G₂ are given.

In fourth chapter, the space of covariant derivative of the fundamental 3-form is studied. In last chapter 7-dimensional Riemannian manifolds hav- ing the structure group G₂ are classified by using 1,7,14 and 27 dimensional irreducible representations of G₂.

Keywords : Riemannian Manifolds, Covariant Derivative, k-form, Irre- ducible Representation

TES¸EKK ¨UR

Bu ¸calı¸smanın ba¸slangıcından bitimine kadar her a¸samada ¸calı¸smayı y¨onlendiren, ¨ozverili yardımlarını esirgemeyen Hocam Yard. Do¸c. Dr. N¨ulifer Ozdemir’e, tezin hazırlanmasında de˘gerli katkılarını aldı˘gım b¨ut¨un hocalarıma¨ ve arkada¸slarıma te¸sekk¨ur¨u bir bor¸c bilirim. Beni her zaman destekleyen aileme ve ¸calı¸smamın her anında maddi ve manevi deste˘giyle yanımda olan Hakan Emek’e en i¸cten te¸sekk¨urlerimi sunarım.

Sercan BALC¸ IN A˘gustos 2007

˙IC¸ ˙INDEK˙ILER

Sayfa

OZET . . . .¨ i

ABSTRACT. . . ii

TES¸EKK ¨UR. . . iii

˙IC¸ ˙INDEK˙ILER. . . iv

S¸EK˙ILLER D˙IZ˙IN˙I. . . v

S˙IMGELER VE KISALTMALAR D˙IZ˙IN˙I . . . vi

1. NORMLU CEB˙IRLER VE G₂ GRUBU . . . 1

1.1. Normlu Cebirler . . . 1

1.2. Cayley-Dickson Metodu . . . 7

1.3. Oktonyonlarda 2-Katlı Vekt¨or C¸ arpım . . . 12

1.4. Φ Temel 3- Formu . . . 17

1.5. G2 Lie Grubu . . . 21

2. VEKT ¨OR UZAYLARINDA 2-KATLI VEKT ¨OR C¸ ARPIMI . 41 3. G2’N˙IN BAZI K ¨UC¸ ¨UK BOYUTLU TEMS˙ILLER˙I . . . 61

4. Φ TEMEL 3-FORMUNUN KOVARYANT T ¨UREVLER˙IN˙IN UZAYI . . . 68

5. YAPI GRUBU G₂ OLAN RIEMANNIAN MAN˙IFOLDLARIN SINIFLANDIRILMASI . . . 83

6. EK: C¸ ALIS¸MADA KULLANILAN TEMEL TANIM VE TEOREMLER . . . 90

KAYNAKLAR . . . 93

S¸EK˙ILLER D˙IZ˙IN˙I

1.1 : Cayley-Dickson metoduna g¨ore taban elemanlarının ¸carpım tablosu . . . 24 2.1 : Cayley tabanına g¨ore oktonyonların verilen taban elemanla-

rının 2-katlı vekt¨or ¸carpımı . . . 46 5.1 : Yapı grubu G₂ olan 7-boyutlu Riemannian manifoldların sı-

nıfları . . . 89

S˙IMGELER VE KISALTMALAR D˙IZ˙IN˙I V^∗ : V vekt¨or uzayının dual uzayı

boy_F(V ) : F cismi ¨uzerinde V vekt¨or uzayının boyutu V_k

V : V vekt¨or uzayı ¨uzerinde k-vekt¨orlerin uzayı V_k

V^∗ : V vekt¨or uzayı ¨uzerinde k-formların uzayı

Skew(V ) : V vekt¨or uzayı ¨uzerindeki anti-simetrik matrisler uzayı End(V ) : V ’den V ’ye lineer d¨on¨u¸s¨umlerin uzayı

GL(V ) : V vekt¨or uzayının genel lineer grubu

Aut(V ) : V ’den V ’ye terslenebilir lineer d¨on¨u¸s¨umlerin uzayı C¸ ekT : T d¨on¨u¸s¨um¨un¨un ¸cekirdek uzayı

A ⊕ B : A ve B uzaylarının direkt toplamı A ⊗ B : A ve B uzaylarının tens¨or ¸carpımı

S²(V^∗) : V vekt¨or uzayı ¨uzerindeki simetrik bilineer 2-formlar uzayı A^∗ : A matrisinin e¸slenik transpozu

A^t : A matrisinin transpozu izA : A matrisinin izi

|G| : G grubunun eleman sayısı

? : Hodge-star operat¨or¨u

TmM : M manifoldunun m ∈ M noktasındaki tanjant uzayı y : Kontraksiyon i¸slemi

∇Φ : Φ formunun kovaryant t¨urevi dΦ : Φ formunun exterior t¨urevi δΦ : Φ formunun kot¨urevi

S_xyz : xyz ¨uzerinden devirli toplam

C^∞(M, R) : M’den R’ye her mertebeden s¨urekli, t¨urevlenebilir d¨on¨u¸s¨umlerin uzayı

1 NORMLU CEB˙IRLER VE G

GRUBU

Bu b¨ol¨umde G₂ grubunun tanımlanmasında kullanılacak olan normlu ce- birler ¨uzerinde durulmu¸s, G₂ grubu tanımlanmı¸s ve sa˘gladı˘gı ¨ozellikler ifade edilmi¸stir.

1.1 Normlu Cebirler

V sonlu boyutlu bir vekt¨or uzayı, h., .i’da V ¨uzerinde non-dejenere bir i¸c

¸carpım olsun. V vekt¨or uzayında bir v ∈ V vekt¨or¨un¨un kare normu; kvk :=

hv, vi ¸seklinde alınsın.

Tanım 1.1.1. V , reel sayılar cismi ¨uzerinde sonlu boyutlu, birimli bir cebir ve h., .i, V ¨uzerinde bir i¸c ¸carpım olsun. Bu i¸c ¸carpıma kar¸sılık gelen kare norm,

∀x, y ∈ V i¸cin,

kx.yk = kxk.kyk (1.1)

¸sartını sa˘glıyorsa, V cebrine normlu cebir denir.

x, y, z ∈ V olmak ¨uzere, kzk = hz, zi normunda, z yerine x + y alınırsa;

kx + yk = hx + y, x + yi

= hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi

= kxk + 2 hx, yi + kyk olur. Buradan,

hx, yi = 1

2(kx + yk − kxk − kyk) bulunur.

Yardımcı Teorem 1.1.2. A¸sa˘gıdaki ifadeler birbirine denktir:

kx.yk = kxk.kyk

hxw, ywi = hx, yi kwk (1.2)

hwx, wyi = kwk hx, yi (1.3)

hxz, ywi + hyz, xwi = 2 hx, yi hz, wi (1.4)

Kanıt. ((1.1) ⇒ (1.2))

(1.1) e¸sitli˘ginde x yerine x + y, y yerine w yazılırsa, k(x + y).wk = kx + ykkwk h(x + y)w, (x + y)wi = hx + y, x + yi kwk

hxw + yw, xw + ywi = (hx, xi + 2 hx, yi + hy, yi)kwk hxw, xwi + 2 hxw, ywi + hyw, ywi = (kxk + 2 hx, yi + kyk)kwk

kxwk + 2 hxw, ywi + kywk = kxkkwk + 2 hx, yi kwk + kykkwk kxkkwk + 2 hxw, ywi + kykkwk = kxkkwk + 2 hx, yi kwk + kykkw

hxw, ywi = hx, yi kwk olur.

((1.2) ⇒ (1.1))

(1.2) e¸sitli˘ginde y yerine x alınırsa,

hxw, xwi = hx, xi w kxwk = kxkkwk oldu˘gu i¸cin, (1.1) e¸sitli˘gine ula¸sılır.

((1.1) ⇒ (1.3))

(1.1) e¸sitli˘ginde x yerine w, y yerine x + y alındı˘gında, kw.(x + y)k = kwk.kx + yk

hw(x + y), w(x + y)i = kwk(hx, xi + 2 hx, yi + hy, yi) hwx + wy, wx + wyi = kwk(kxk + 2 hx, yi + kyk)

hwx, wxi + 2 hwx, wyi + hwy, wyi = kwkkxk + 2 hx, yi kwk + kwkkyk kwxk + 2 hwx, wyi + kwyk = kwkkxk + 2 hx, yi kwk + kwkkyk kwkkxk + 2 hwx, wyi + kwkkyk = kwkkxk + 2 hx, yi kwk + kwkkyk

hwx, wyi = hx, yi kwk oldu˘gundan, (1.3) e¸sitli˘gi bulunur.

((1.3) ⇒ (1.1))

(1.3) e¸sitli˘ginde y yerine x yazıldı˘gında,

hwx, wxi = kwk hx, xi kwxk = kwkkxk

olur. Dolayısıyla, (1.1) ve (1.3) e¸sitlikleri de e¸sde˘gerdir.

((1.2) ⇒ (1.4))

(1.2) e¸sitli˘ginde w yerine z + w yazılırsa,

hx(z + w), y(z + w)i = hx, yi kz + wk

hxz + xw, yz + ywi = hx, yi (kzk + 2 hz, wi + kwk) hxz, yzi + hxz, ywi + hxw, yzi + hxw, ywi = hx, yi (kzk + 2 hz, wi + kwk) hx, yi kzk + hxz, ywi + hxw, yzi + hx, yi kwk = hx, yi (kzk + 2 hz, wi + kwk)

hxz, ywi + hyz, xwi = 2 hx, yi hz, wi oldu˘gundan, (1.4) e¸sitli˘gine ula¸sılır.

((1.4) ⇒ (1.2))

(1.4) e¸sitli˘ginde de z yerine w alınırsa,

hxw, ywi + hyw, xwi = 2 hx, yi hw, wi 2 hxw, ywi = 2 hx, yi kwk

hxw, ywi = hx, yi kwk

oldu˘gundan, (1.2)) ve (1.4) e¸sitliklerinin de ¨ozde¸s oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.

Bir V cebri ¨uzerinde, w ∈ V olmak ¨uzere, w elemanı ile sa˘gdan ve soldan

¸carpma Rw ve Lw d¨on¨u¸s¨umleri

R_w : V −→ V L_w : V −→ V

v 7−→ R_w(v) := v.w v 7−→ L_w(v) := w.v

¸seklindedir. R_w ve L_w d¨on¨u¸s¨umlerinin iyi tanımlı ve lineer oldukları kolayca g¨or¨ulebilir. Ayrıca; bu d¨on¨u¸s¨umler w’ye g¨ore de R-lineerdirler.

V normlu bir cebir olmak ¨uzere; 1_V birim elemanının ¨uretti˘gi alt uzay ReV ile g¨osterilsin. Yani; ReV = span{1_V} = {α.1_V|α ∈ R} olsun. ∀x ∈ V i¸cin kxk = kx.1_Vk = kxkk1_Vk olaca˘gı i¸cin; V ’nin birim elemanının normu 0 olamaz.

ImV ile ReV ’nin dik t¨umleyeni olan uzay g¨osterilsin. Bu durumda; V ’nin her elemanı tek t¨url¨u belirli bir ayrı¸sıma sahiptir. Yani; ∀x ∈ V i¸cin, x₁ ∈ ReV ve x₂ ∈ ImV olmak ¨uzere; x = x₁+x₂olacak ¸sekilde tek t¨url¨u belirli x₁, x₂ ∈ V vardır. ∀x ∈ V i¸cin; Rex = x₁ ve Imx = x₂’dir.

x₁ ∈ ReV ve x₂ ∈ ImV olmak ¨uzere; x = x₁ + x₂ ∈ V i¸cin, x’in e¸sleni˘gi

¯

x = x₁− x₂ olarak tanımlıdır. Buradan;

x1 = Rex = ¹₂(x + ¯x) x₂ = Imx = ¹₂(x − ¯x)

e¸sitliklerine ula¸sılır.

R_w ve L_w lineer d¨on¨u¸s¨umlerinin adjoint d¨on¨u¸s¨umlerinin sırasıyla, R_w¯ ve L_w¯ oldu˘gu da kolayca g¨or¨ulebilir.

Yardımcı Teorem 1.1.3. V normlu bir cebir olmak ¨uzere, ∀x, y ∈ V i¸cin, a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler do˘grudur.

¯¯x = x (1.5)

h¯x, ¯yi = hx, yi (1.6)

hx, yi = Rex¯y = Re¯xy (1.7)

xy = ¯x¯y (1.8)

x¯x = ¯xx = kxk (1.9)

Kanıt. 1. x₁ ∈ ReV ve x₂ ∈ ImV olmak ¨uzere x = x₁ + x₂ olsun. ¯x = x₁− x₂ oldu˘gundan, ¯¯x = x₁+ x₂ = x olur.

2. x1, y1 ∈ ReV ve x2, y2 ∈ ImV olmak ¨uzere, x = x1+ x2 ve y = y1 + y2

olsun. Bu durumda; ¯x = x1− x2 ve ¯y = y1− y2 olur.

h¯x, ¯yi = hx₁− x₂, y₁− y₂i

= hx₁, y₁i − hx₁, y₂i − hx₂, y₁i + hx₂, y₂i

= hx₁, y₁i + hx₂, y₂i Di˘ger taraftan;

hx, yi = hx1+ x2, y1+ y2i

= hx1, y1i + hx1, y2i + hx2, y1i + hx2, y2i

= hx1, y1i + hx2, y2i oldu˘gundan, (1.6) e¸sitli˘gi elde edilir.

3. ∀x, y ∈ V i¸cin, x = 1_Vx ve y = 1_Vy’dir. O halde;

hx, yi = hy, xi = h1_Vy, xi

= hR_y1_V, xi = h1_V, R_y¯xi = h1_V, x¯yi

= h1_V, Rex¯y + Imx¯yi

= h1_V, Rex¯yi + h1_V, Imx¯yi

= Rex¯y

Di˘ger taraftan;

hx, yi = h¯x, ¯yi = h¯y, ¯xi = h1_Vy, ¯¯ xi

= hR_y¯1_V, ¯xi = h1_V, R_yxi = h1¯ _V, ¯xyi

= h1_V, Re¯xy + Im¯xyi

= h1_V, Re¯xyi + h1_V, Im¯xyi

= Re¯xy

olur. Buradan; hx, yi = Rex¯y = Re¯xy e¸sitli˘gi g¨or¨ul¨ur.

4. ∀z ∈ V i¸cin;

hxy, zi = ­ xy, ¯z®

= hxy, ¯zi

= hL_xy, ¯zi = hy, L_¯xzi = hy, ¯¯ x¯zi

= hy, R_¯zxi = hR¯ _zy, ¯xi = hyz, ¯xi

= hL_yz, ¯xi = hz, L_y¯xi = hz, ¯¯ y¯xi

= h¯y¯x, zi

e¸sitli˘ginden ve i¸c ¸carpım non-dejenere oldu˘gu i¸cin, xy = ¯x¯y e¸sitli˘gi g¨or¨ul¨ur.

5. x₁ ∈ ReV ve x₂ ∈ ImV olmak ¨uzere, x = x₁+ x₂ olsun. x’in e¸sleni˘gi,

¯

x = x₁− x₂ oldu˘gundan,

x¯x = (x₁+ x₂)(x₁− x₂) = x₁x₁− x₁x₂+ x₂x₁− x₂x₂ = x²₁− x²₂

¯

xx = (x₁− x₂)(x₁+ x₂) = x₁x₁+ x₁x₂− x₂x₁− x₂x₂ = x²₁− x²₂ e¸sitliklerinden, x¯x = ¯xx bulunur.

Rex¯x = 1

2(x¯x + x¯x) = 1

2(x¯x + x¯x) = x¯x

oldu˘gundan, Rex¯x = x¯x bulunur. Ayrıca; hx, yi = Rex¯y = Re¯xy e¸sitli˘ginden hx, xi = Rex¯x = x¯x gelir. hx, xi = kxk normundan; kxk = x¯x olur. x¯x = ¯xx = kxk e¸sitli˘gine ula¸sılır.

Tanım 1.1.4. V bir normlu cebir olmak ¨uzere, ∀x, y, z ∈ V i¸cin, [x, y, z] := (xy)z − x(yz)

olarak tanımlı i¸slem, V ’nin assossiyetırı olarak adlandırılır.

Yardımcı Teorem 1.1.5. V normlu cebir olmak ¨uzere x, y, z elemanlarından herhangi ikisi e¸sit ise, [x, y, z] = 0’dır.

Kanıt. E˘ger assossiyetırın de˘gi¸skenlerinden birisi ReV ’nin elemanı assossiyetır ise sıfırlanır. Ger¸cekten; x ∈ ReV olsun. x₀ ∈ R olmak ¨uzere x = 1_Vx₀ oldu˘gundan,

[x, y, z] = (xy)z − x(yz)

= ((1_Vx₀)y)z − (1_Vx₀)(yz)

= x₀(1_Vy)z − x₀1_V(yz)

= x₀(yz) − x₀(yz) = 0 olur.

De˘gi¸skenlerden ikisi birbirine e¸sit ve ImV ’nin elemanı ise assossiyetır sıfır- lanır. w ∈ ImV ve y = z = w olsun. [x, y, z] = 0 oldu˘gu g¨osterilsin. ¨Oncelikle,

∀z ∈ V i¸cin,

h(xw)w, zi = hR_wxw, zi = hxw, R_w¯zi

= hxw, z ¯wi = − hxw, zwi

= −kwk hx, zi = h−kwkx, zi

oldu˘gundan ve i¸c ¸carpım non-dejenere oldu˘gu i¸cin, (xw)w + kwkx = 0 elde edilir. Dolayısıyla;

[x, y, z] = [x, w, w] = (xw)w − x(ww)

= (xw)w + x(w ¯w)

= (xw)w + kwkx = 0 olur.

Son olarak, x, y, z ∈ V i¸cin, y = z iken [x, y, z] = 0 oldu˘gu g¨osterilsin.

x₁, y₁ ∈ ReV ve x₂, y₂ ∈ ImV olmak ¨uzere, x = x₁ + x₂ ve y = z = y₁+ y₂ olsun.

[x, y, z] = [x, y, y]

= [x₁+ x₂, y₁ + y₂, y₁+ y₂]

= ((x₁+ x₂)(y₁+ y₂))(y₁ + y₂)

−(x₁+ x₂)((y₁+ y₂)(y₁+ y₂))

= (x₁(y₁+ y₂) + x₂(y₁+ y₂))(y₁+ y₂)

−x₁((y₁+ y₂)(y₁+ y₂)) − x₂((y₁ + y₂)(y₁+ y₂))

= (x₁(y₁+ y₂))(y₁+ y₂) − x₁((y₁+ y₂)(y₁+ y₂)) +(x₂(y₁+ y₂))(y₁+ y₂) − x₂((y₁+ y₂)(y₁+ y₂))

= [x₁, y₁+ y₂, y₁+ y₂] + (x₂(y₁+ y₂))(y₁+ y₂)

−x₂((y₁+ y₂)(y₁+ y₂))

= (x₂(y₁+ y₂))(y₁+ y₂) − x₂((y₁+ y₂)(y₁+ y₂))

= (x₂y₁+ x₂y₂)(y₁+ y₂)

−x₂(y₁y₁+ y₁y₂+ y₂y₁+ y₂y₂)

= (x₂y₁)y₁+ (x₂y₁)y₂+ (x₂y₂)y₁+ (x₂y₂)y₂

−x₂(y₁y₁) − x₂(y₁y₂) − x₂(y₂y₁) − x₂(y₂y₂)

= [x₂, y₁, y₁] + [x₂, y₁, y₂] + [x₂, y₂, y₁] + [x₂, y₂, y₂]

= 0

oldu˘gundan, [x, y, y] = 0 e¸sitli˘gine ula¸sılır.

Benzer ¸sekilde; [x, x, z] = 0 ve [x, y, x] = 0 oldu˘gu kolayca g¨or¨ulebilir.

[x, y, z]’nin alterne oldu˘gu ¸su ¸sekilde g¨or¨ul¨ur: Bunun i¸cin; [x, y, z] = −[y, x, z], [x, y, z] = −[x, z, y] ve [x, y, z] = −[z, y, x] oldu˘gu g¨or¨ulmelidir. Bir ¨onceki yardımcı teorem’den dolayı; ∀x, y, z ∈ V i¸cin, [x + y, x + y, z] = 0’dır.

0 = [x + y, x + y, z]

= ((x + y)(x + y))z − (x + y)((x + y)z)

= (xx)z − x(xz) + (xy)z − x(yz) + (yx)z − y(xz) + (yy)z − y(yz)

= [x, x, z] + [x, y, z] + [y, x, z] + [y, y, z]

= [x, y, z] + [y, x, z]

e¸sitli˘ginden [x, y, z] = −[y, x, z] oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Di˘ger iki e¸sitlikte benzer

¸sekilde kolayca g¨or¨ulebilir.

Tanım 1.1.6. Assossiyetırı alterne olan bir cebir alternatif cebir olarak adlandırılır.

Sonu¸c 1.1.7. Normlu cebirler alternatiftir.

1.2 Cayley-Dickson Metodu

Yardımcı Teorem 1.2.1. V normlu bir cebir iken, ∀x, y, w ∈ V i¸cin, a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler do˘grudur.

x(¯yw) + y(¯xw) = 2 hx, yi w (1.10) (w¯y)x + (w¯x)y = 2 hx, yi w (1.11) Kanıt. ∀z ∈ V i¸cin; hx(¯yw) + y(¯xw), zi = h2 hx, yi w, zi oldu˘gu g¨osterilirse i¸c

¸carpımın non-dejenere olmasından (1.10) e¸sitli˘gi elde edilir.

hx(¯yw) + y(¯xw), zi = hx(¯yw), zi + hy(¯xw), zi

= hLxyw, zi + hL¯ yxw, zi¯

= h¯yw, Lx¯zi + h¯xw, Ly¯zi

= h¯yw, ¯xzi + h¯xw, ¯yzi

= h¯xz, ¯ywi + h¯yz, ¯xwi

= 2 h¯x, ¯yi hz, wi = 2 hx, yi hz, wi e¸sitli˘ginden ve

h2 hx, yi w, zi = 2 hx, yi hz, wi oldu˘gu i¸cin,

hx(¯yw) + y(¯xw), zi = h2 hx, yi w, zi e¸sitli˘gi elde edilir.

∀z ∈ V i¸cin; h(w¯y)x + (w¯x)y, zi = h2 hx, yi w, zi oldu˘gu benzer ¸sekilde g¨osterilir:

h(w¯y)x + (w¯x)y, zi = h(w¯y)x, zi + h(w¯x)y, zi

= hR_xw¯y, zi + hR_yw¯x, zi

= hw¯y, R_¯xzi + hw¯x, R_y¯zi

= hw¯y, z ¯xi + hw¯x, z ¯yi

= hz¯x, w¯yi + hw¯x, z ¯yi

= 2 h¯x, ¯yi hz, wi

= 2 hx, yi hz, wi oldu˘gundan ve

h2 hx, yi w, zi = 2 hx, yi hz, wi e¸sitli˘ginden

h(w¯y)x + (w¯x)y, zi = h2 hx, yi w, zi

sonucuna ula¸sılır. ˙I¸c ¸carpımın non-dejenere olmasından, (1.11) e¸sitli˘gi elde edilir.

Sonu¸c 1.2.2. V normlu bir cebir olmak ¨uzere, x, y, w ∈ V i¸cin x⊥y ise, a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler ger¸ceklenir.

x¯y = −y¯x (1.12)

x(¯yw) = −y(¯xw) (1.13)

(w¯y)x = −(w¯x)y (1.14)

Kanıt. x, y ∈ V i¸cin, x⊥y olsun. Bu durumda; hx, yi = 0’dır. (1.10) e¸sitli˘ginde, w yerine 1_V alınırsa, x(¯y1_V) + y(¯x1_V) = 0 olur ki; buradan, x¯y + y¯x = 0 bu- lunur.

hx, yi = 0 oldu˘gundan, (1.10) ve (1.11) e¸sitliklerinde bu ifade kullanılırsa, x(¯yw)+y(¯xw) = 0 ve (w¯y)x+(w¯x)y = 0 olaca˘gı i¸cin; (1.13) ve (1.14) e¸sitlikleri elde edilir.

Yardımcı Teorem 1.2.3. B, birimi 1_B olan normlu bir cebir, A, B’nin bir alt cebiri ve 1_B ∈ A olsun. ², A’ya dik bir birim vekt¨or, yani, ² ∈ A^⊥ olarak alınsın. Bu durumda; a¸sa˘gıdaki ifadeler ger¸ceklenir.

1. A², A’ya diktir.

2. ²² = +1 ⇐⇒ k²k = +1

3. ∀a, b, c, d ∈ A i¸cin, k²k = +1 iken − ¯db, k²k = −1 iken + ¯db olmak ¨uzere, (a + b²)(c + d²) = (ac+ ¯db) + (da + b¯c)² (1.15) olur.

Kanıt. ¨Oncelikle, x ∈ A ⇐⇒ ¯x ∈ A ifadesi ispatlanmalıdır: x1 ∈ ReA ve x2 ∈ ImA olmak ¨uzere, x = x1 + x2 ∈ A’dır. Rex = ¹₂(x + ¯x) oldu˘gundan,

¯

x = 2Rex − x olur. Rex ∈ ReB oldu˘gundan, Rex = 1Bx0 olacak ¸sekilde x0 ∈ R vardır. 1B ∈ A, x0 ∈ R ve A alt cebir oldu˘gu i¸cin; 1Bx0 ∈ A’dır.

Dolayısıyla, Rex ∈ A’dır. x ∈ A oldu˘gu i¸cin, 2Rex − x = ¯x ∈ A olur. Di˘ger taraftan, ¯x ∈ A ise ¯¯x ∈ A ve ¯¯x = x oldu˘gundan x ∈ A olur. S¸imdi sırasıyla, di˘ger ifadeler ispatlanacaktır.

1. ∀a, b ∈ A i¸cin, ha, b²i = 0 oldu˘gu g¨or¨ulmelidir:

ha, b²i = ha, Lb²i = hL_¯ba, ²i =­

¯ba, ²®

b ∈ A oldu˘gundan ¯b ∈ A’dır ve A alt cebir oldu˘gu i¸cin ¯ba ∈ A olur.

² ∈ A^⊥ oldu˘gu i¸cin, ­

¯ba, ²®

= 0, dolayısıyla ha, b²i = 0 yada A²⊥A sonucuna ula¸sılır.

2. ² ∈ A^⊥ ve 1_B ∈ A oldu˘gundan ²⊥1_B ve ² ∈ (ReB)^⊥ = ImB’dir. Bundan dolayı, ¯² = −²’dir. k²k = ²¯² oldu˘gundan k²k = −²² sonucuna ula¸sılır.

3. (1.15) e¸sitli˘ginin sol tarafındaki ¸carpım yapılırsa,

(a + b²)(c + d²) = ac + a(d²) + (b²)c + (b²)(d²)

oldu˘gundan toplamdaki terimlere kar¸sılık gelen ifadeler hesaplanırsa;

a(d²) = a(d²) = a(¯²¯d) = a( ¯¯d¯¯²)

= −a( ¯¯d¯²) = −a(d¯²) = a(² ¯d)

= −¯²(¯a ¯d) = ²(¯a ¯d) = ²(da)

= −(da)¯² = (da)² (b²)c = −(b¯c)¯² = (b¯c)²

(b²)(d²) = − ¯d((b²)²) = − ¯d((¯²¯b)²) = ¯d(−(¯²¯b)²)

= d((¯²¯²)b)¯ = ¯d((−²¯²)b) = − ¯d((²¯²)b)

= − ¯d(k²kb) = −k²k ¯db e¸sitliklerinden, k²k = +1 oldu˘gundan,

a(d²) = (da)², (b²)c = (b¯c)², (b²)(d²) = −k²k ¯db = + ¯db bulunur. Bu e¸sitlikler yerine yazıldı˘gında,

(a + b²)(c + d²) = ac + (da)² + (b¯c)²+ ¯db = (ac+ ¯db) + (da + b¯c)² ifadesine ula¸sılır.

Teorem 1.2.4. (Cayley-Dickson) A normlu bir cebir olsun. Bir ¨onceki teo- remdeki y¨ontem kullanılarak, A(+) ve A(−) cebirleri a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanım- lanır:

Vekt¨or uzayı olarak her ikiside A(+) = A ⊕ A olsun. (a, b), (c, d) ∈ A ⊕ A olmak ¨uzere, A(+) ¨uzerindeki ¸carpma,

(a, b)(c, d) = (ac − ¯db, da + b¯c) olarak, A(−) ¨uzerindeki ¸carpma,

(a, b)(c, d) = (ac + ¯db, da + b¯c) olarak tanımlansın.

• A(+) uzaylarında, tanımlanan bu ¸carpma i¸slemlerine g¨ore, birimleri (1, 0) olan cebirler oldu˘gu ve A cebirinin bu cebirlerin alt cebiri oldu˘gu kolayca g¨or¨ulebilir.

• A alt cebirindeki bir a elemanı A(+) cebirlerinde (a, 0) olarak alınabilir.

• ² = (0, 1) olsun. Bu durumda, A(+) i¸cin ²² = −1 ve A(−) i¸cin ²² = 1 olarak alınırsa, ∀(a, b) ∈ A(+) i¸cin,

(a, b) = a + b² olarak yazılabilir.

• ∀x = a + b², y = c + d² ∈ A(+) i¸cin, i¸c ¸carpım hx, yi = ha, ci + hb, di

¸seklindedir.

• A(+) cebirlerinin ¨uzerinde do˘gal olarak tanımlı bir kare norm vardır. Bu norm, ∀(a, b) = a + b² ∈ A(+) i¸cin,

k(a, b)k = kak+kbk

olarak tanımlanır. Ayrıca, A(+) i¸cin k²k = 1 ve A(−) i¸cin k²k = −1 olur.

• ∀x = a+b² ∈ A(+) i¸cin x elemanının e¸sleni˘gi, a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımlanır:

(a, b) = (¯a, −b) veya

a + b² = ¯a − b² .

Yardımcı Teorem 1.2.5. A bir normlu cebir ve A(+) Cayley-Dickson Metodu ile yukarıda tanımlanan cebirler olsunlar. ∀x = a + α², y = b + β²,

z = c + γ² ∈ A(+) olmak ¨uzere, a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler ger¸ceklenir.

xy = ¯y¯x (1.16)

x¯x = ¯xx = kxk (1.17)

1

2(x¯y + y¯x) = Rex¯y = hx, yi (1.18) 1

2[x, y] = 1

2[a, b]+Im¯αβ + (βIma − αImb)² (1.19) Ayrıca, A birle¸smeli bir cebir ise,

[x, y, z] = +[a, ¯γβ]+[b, ¯αγ]+[c, ¯βα] + α[¯b, ¯c]² + β[a, ¯c]² + γ[a, b]²+(α ¯βγ − γ ¯βα) [x, ¯x, y] = +[α, ¯β, α] + [α, ¯b, a]²

kxkkyk − kxyk = 2+­

α, [ ¯β, α, ¯b]® e¸sitlikleri de sa˘glanır.

Cayley-Dickson Metodu ile tanımlanan cebirler a¸sa˘gıda verilmi¸stir:

C = R(+) Karma¸sık Sayılar H = C(+) Quaterniyonlar O = H(+) Oktonyonlar L = R(−) Lorentz Sayıları

M₂(R) = C(−) 2 × 2’lik Reel Matrisler O˜ = H(−) Split Oktonyonlar

Teorem 1.2.6. (Hurwitz) Reel sayılar cebri ¨uzerinde tanımlanan normlu ce- birler ¸sunlardır [19]:

R , C , L , H , M₂(R) , O , ˜O

1.3 Oktonyonlarda 2-Katlı Vekt¨ or C ¸ arpım

Tanım 1.3.1. ∀x, y ∈ O i¸cin, x × y = 1

2(¯yx − ¯xy) = Im(¯yx) (1.20) i¸slemi x ve y oktonyonlarının 2-katlı vekt¨or ¸carpımı olarak adlandırılır.

Yardımcı Teorem 1.3.2. ∀x, y ∈ O i¸cin, 1. x × y = −y × x,

2. kx × yk = kx ∧ yk.

Kanıt. 1. ¨Oncelikle, ∀x, y ∈ O i¸cin,

x × y = −y × x ⇐⇒ x × x = 0

oldu˘gu g¨osterilmelidir. x × y = −y × x olsun. Bu e¸sitlikte, y yerine x alınırsa, x × x = −x × x olur. Dolayısıyla, x × x = 0 bulunur. Di˘ger taraftan; x × x = 0 olsun. Bu e¸sitlikte, x yerine x + y alınırsa,

0 = (x + y) × (x + y)

= ¹₂((x + y)(x + y) − (x + y)(x + y))

= ¹₂(¯x + ¯y)(x + y) − ¹₂(¯x + ¯y)(x + y)

= ¹₂(¯xx + ¯xy + ¯yx + ¯yy) − ¹₂(¯xx + ¯xy + ¯yx + ¯yy)

= ¹₂(kxk + kyk) − ¹₂(kxk + kyk) + ¹₂(¯xy − ¯yx) +¹₂(¯yx − ¯xy)

= ¹₂(¯xy − ¯yx) +¹₂(¯yx − ¯xy)

= (y × x) + (x × y)

olur. Buradan, x × y = −y × x e¸sitli˘gine ula¸sılır.

∀x, y ∈ O i¸cin, x × y = −y × x ⇐⇒ x × x = 0 oldu˘gundan ve x × x =

1

2(¯xx − ¯xx) = 0 e¸sitli˘ginden, x × y = −y × x elde edilir.

2.

kx ∧ yk = hx ∧ y, x ∧ yi

= hx, xi hy, yi − hx, yi hy, xi

= kxkkyk − (¹₂(x¯y + y¯x).(y¯x + x¯y))

= kxkkyk −¹₄(kxkkyk + (x¯y)(x¯y) + (y¯x)(y¯x) + kxkkyk)

= ¹₂kxkkyk − ¹₄((x¯y)²+ (y¯x)²) Di˘ger taraftan,

kx × yk = hx × y, x × yi

= ­₁

2(¯yx − ¯xy),¹₂(¯yx − ¯xy)®

= ¹₄h¯yx, ¯yxi − ¹₄h¯yx, ¯xyi − ¹₄h¯yx, ¯xyi + ¹₄h¯xy, ¯xyi

= ¹₄kyxk +¹₄kxyk −¹₂ h¯yx, ¯xyi

= ¹₂kxkkyk − ¹₂(¹₂(¯yx)(¯xy) + (¯xy)(¯yx))

= ¹₂kxkkyk − ¹₄((¯yx)² + (¯xy)²)

oldu˘gundan, son iki e¸sitlikten, kx × yk = kx ∧ yk oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.

Ayrıca, ∀x, y ∈ O i¸cin, Re(x × y) = 0’dir:

Re(x × y) = Re(¹₂(¯yx − ¯xy))

= ¹₂Re(¯yx) − ¹₂Re(¯xy)

= ¹₂.¹₂(¯yx + ¯xy) − ¹₂.¹₂(¯xy + ¯yx)

= ¹₄(¯yx + ¯xy) − ¹₄(¯xy + ¯yx) = 0

Yardımcı Teorem 1.3.3. ∀x, y ∈ ImO i¸cin, [x, y] = xy − yx olarak tanımlı olmak ¨uzere a¸sa˘gıdaki e¸sitlik do˘grudur.

x × y = 1

2[x, y] = xy + hx, yi (1.21) Kanıt.

x × y = 1

2(¯yx − ¯xy) = 1

2(−yx + xy) = 1 2[x, y]

ve 1

2[x, y] = ¹₂(xy − yx) = xy − ¹₂xy − ¹₂yx

= xy −¹₂(xy + yx) = xy +¹₂(x¯y + y¯x)

= xy + hx, yi

oldu˘gundan,

x × y = 1

2[x, y] = xy + hx, yi e¸sitli˘gi ger¸ceklenir.

Yardımcı Teorem 1.3.4. ∀x, y ∈ ImO i¸cin, x × y ∈ ImO elemanı, x ve y’nin ¨uretti˘gi alt uzaya diktir ve

x × (x × y) = −kxky + hx, yi x (1.22) e¸sitli˘gi sa˘glanır.

Kanıt. x × y’nin x ve y’ye dik oldu˘gunun g¨osterilmesi yeterlidir.

hx × y, xi = ­₁

2[x, y], x®

= ¹₂hxy − yx, xi

= ¹₂hxy, xi −¹₂ hyx, xi

= ¹₂kxk hy, 1i −¹₂hy, 1i kxk

= 0

oldu˘gundan, (x×y)⊥x’dir. Benzer ¸sekilde, (x×y)⊥y oldu˘gu kolayca g¨or¨ulebilir.

x × (x × y) = x × (xy + hx, yi)

= ¹₂((xy + hx, yi)x − ¯x(xy + hx, yi))

= ¹₂((¯y¯x + hx, yi)x + x(xy + hx, yi))

= ¹₂((yx)x + hx, yi x + x(xy) + hx, yi x)

= ¹₂((yx)x + x(xy) + 2 hx, yi x)

= ¹₂(yx)x + ¹₂x(xy) + hx, yi x (1.10) ve (1.11) e¸sitliklerinde y yerine ¯x, w yerine y yazılırsa,

x(xy) + ¯x(¯xy) = 2 hx, ¯xi y ve (yx)x + (y¯x)¯x = 2 hx, ¯xi y e¸sitlikleri elde edilir. Buradan, ¯x = −x ve ¯y = −y oldu˘gundan x(xy) = −kxky ve (yx)x = −kxky olur. Bu e¸sitliklerden

x × (x × y) = ¹₂(−kxky) + ¹₂(−kxky) + hx, yi x

= −kxky + hx, yi x bulunur.

Tanım 1.3.5. ∀x, y, z ∈ O i¸cin, x, y, z’nin ¨u¸cl¨u ¸carpımı x × y × z = 1

2[x(¯yz) − z(¯yx)] (1.23) olarak tanımlıdır.

Yardımcı Teorem 1.3.6. ∀x, y, z ∈ O i¸cin,

1. x×y×z ¸carpımında herhangi iki elemanın yeri de˘gi¸stirildi˘ginde ¸carpımın i¸sareti de˘gi¸sir.

2. kx ∧ y ∧ zk = kx × y × zk’dir.

Kanıt. 1. ¨Oncelikle a¸sa˘gıdaki ifadeler ispatlanacaktır:

x × y × z = −y × x × z ⇐⇒ x × x × z = 0 x × y × z = −x × z × y ⇐⇒ x × y × y = 0 x × y × z = −z × y × x ⇐⇒ x × y × x = 0

x×y×z = −y×x×z olsun. Bu ifadede y yerine x alınırsa, 2(x×x×z) = 0 olur. Buradan, x × x × z = 0 olur. Di˘ger taraftan, x × x × z = 0 oldu˘gu kabul edilsin. Bu e¸sitlikte, x yerine x + y alırsak, (x + y) × (x + y) × z = 0 elde edilir.

(x + y) × (x + y) × z = ¹₂[(x + y)((x + y)z) − z((x + y)(x + y))]

= ¹₂[x(¯xz) + x(¯yz) + y(¯xz) + y(¯yz)

−z(¯xx) − z(¯xy) − z(¯yx) − z(¯yy)]

= ¹₂[x(¯xz) − z(¯xx) + x(¯yz) − z(¯yx) +y(¯xz) − z(¯xy) + y(¯yz) − z(¯yy)]

= (x × x × z) + (x × y × z) + (y × x × z) (y × y × z)

= (x × y × z) + (y × x × z)

oldu˘gundan, x × y × z = −y × x × z elde edilir. Di˘ger iki ifade de benzer

¸sekilde g¨osterilebilir.

Bu e¸sitliklerden dolayı, x × y × z’nin alterne oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin, x × x × z = 0, x × y × y = 0 ve x × y × x = 0 oldu˘gunun g¨osterilmesi yetecektir.

x × x × z = ¹₂[x(¯xz) − z(¯xx)]

= ¹₂[x(¯xz) − zkxk]

(1.10) e¸sitli˘ginde, y yerine x, w yerine z yazılırsa;

x(¯xz) + x(¯xz) = 2 hx, xi z yani, x(¯xz) = kxkz olur. Bu durumda, x × x × z = ¹₂[kxkz − kxkz] = 0

elde edilir.

x × y × y = ¹₂[x(¯yy) − y(¯yx)]

= ¹₂[xkyk − y(¯yx)]

(1.10) e¸sitli˘ginde, x yerine y, w yerine x yazılırsa;

y(¯yx) + y(¯yx) = 2 hy, yi x yani, y(¯yx) = kykx elde edilir. Buradan, x × y × y = ¹₂[xkyk − kykx] = 0

olur. Son olarak tanımdan,

x × y × x = ¹₂[x(¯yx) − x(¯yx)] = 0 e¸sitli˘gi elde edilir.

2.

kx ∧ y ∧ zk = kxkkykkzk + 2 hx, yi hy, zi hx, zi

−kxk hy, zi²− kykhx, zi²− kzkhx, yi² olur. Di˘ger taraftan,

kx × y × zk = hx × y × z, x × y × zi

= ¹₄[hx(¯yz), x(¯yz)i − hx(¯yz), z(¯yx)i

− hz(¯yx), x(¯yz)i + hz(¯yx), z(¯yx)i]

= ¹₄[kx(¯yz)k − 2 hx(¯yz), z(¯yx)i + kz(¯yx)k]

= ¹₄[kxkkykkzk − 2 hx(¯yz), z(¯yx)i + kxkkykkzk]

= ¹₂kxkkykkzk − ¹₂hx(¯yz), z(¯yx)i

olur. S¸imdi, hx(¯yz), z(¯yx)i ifadesinin e¸siti bulunmalıdır. (1.10) e¸sitli˘ginde, w yerine z alınırsa, x(¯yz) + y(¯xz) = 2 hx, yi z e¸sitli˘gi, x yerine z, w yerine x alınırsa z(¯yx) + y(¯zx) = 2 hz, yi x elde edilir. Buradan,

x(¯yz) = 2 hx, yi z − y(¯xz) ve z(¯yx) = 2 hz, yi x − y(¯zx) e¸sitlikleri elde edilir. O halde,

hx(¯yz), z(¯yx)i = h2 hx, yi z − y(¯xz), 2 hz, yi x − y(¯zx)i

= 4 hx, yi hy, zi hx, zi − 2 hx, yi h¯yz, ¯zxi

−2 hy, zi h¯xz, ¯yxi + hy(¯xz), y(¯zx)i

olur. (1.4) e¸sitli˘ginde, x yerine ¯y, y yerine ¯z ve w yerine x alınırsa, h¯yz, ¯zxi + h¯zz, ¯yxi = 2 h¯y, ¯zi hz, xi e¸sitli˘gi, x yerine ¯x, y yerine ¯y ve w

yerine x alınırsa, h¯xz, ¯yxi + h¯yz, ¯xxi = 2 h¯x, ¯yi hz, xi e¸sitli˘gi elde edilir.

Buradan,

h¯yz, ¯zxi = 2 hy, zi hx, zi − kzkRe¯yx h¯xz, ¯yxi = 2 hx, yi hx, zi − kxkRe¯yz olur. Re¯xy = Rex¯y = hx, yi oldu˘gundan,

h¯yz, ¯zxi = 2 hy, zi hx, zi − kzk hx, yi h¯xz, ¯yxi = 2 hx, yi hx, zi − kxk hy, zi elde edilir. Ayrıca, (1.3) e¸sitli˘ginden,

hy(¯xz), y(¯zx)i = kyk h¯xz, ¯zxi

= kyk(2hx, zi²− kzkkxk)

= 2kykhx, zi²− kxkkykkzk olur. Bu durumda;

hx(¯yz), z(¯yx)i = 4 hx, yi hy, zi hx, zi

−2 hx, yi (2 hy, zi hx, zi − kzk hx, yi)

−2 hy, zi (2 hx, yi hx, zi − kxk hy, zi) +2kykhx, zi²− kxkkykkzk

= −kxkkykkzk − 4 hx, yi hy, zi hx, zi + 2kxkhy, zi² +2kykhx, zi²+ 2kzkhx, yi²

olur. O halde;

kx × y × zk = ¹₂kxkkykkzk +¹₂kxkkykkzk + 2 hx, yi hy, zi hx, zi

−kxkhy, zi²− kykhx, zi²− kzkhx, yi²

= kxkkykkzk + 2 hx, yi hy, zi hx, zi

−kxkhy, zi²− kykhx, zi²− kzkhx, yi² olarak bulunur. Dolayısıyla;

kx ∧ y ∧ zk = kx × y × zk olur.

1.4 Φ Temel 3- Formu

Tanım 1.4.1. Φ : (ImO)³ −→ R fonksiyonu ∀x, y, z ∈ ImO i¸cin,

Φ(x, y, z) = hx, yzi (1.24)

olarak tanımlansın. Bu form ImO i¸cin temel 3-form olarak adlandırılır.

Φ’ye girilen herhengi iki de˘ger e¸sitse, Φ temel 3-formu sıfırlanır. Yani,

∀x, y, z ∈ ImO i¸cin, Φ(x, x, z) = 0, Φ(x, y, y) = 0, Φ(x, y, x) = 0’ dır.

Φ(x, x, z) = hx, xzi = ¹₂(x(xz) + (xz)¯x)

= ¹₂(x(¯z ¯x) + (xz)¯x) = ¹₂(x(zx) − (xz)x)

= −¹₂((xz)x − x(zx)) = −¹₂[x, z, x] = 0 Φ(x, y, y) = hx, yyi = ¹₂(x(yy) + (yy)¯x)

= ¹₂(x(¯y¯y) + (yy)¯x) = ¹₂(x(yy) − (yy)x) (1.10) ve (1.11) e¸sitliklerinde, y yerine ¯y, w yerine y yazılırsa,

x(yy) + ¯y(¯xy) = 2 hx, ¯yi y (yy)x + (y¯x)¯y = 2 hx, ¯yi y e¸sitlikleri elde edilir. Bu e¸sitliklerden,

x(yy) + y(xy) = −2 hx, yi y (yy)x + (yx)y = = −2 hx, yi y oldu˘gu i¸cin,

x(yy) = −2 hx, yi y − y(xy) (yy)x = −2 hx, yi y − (yx)y e¸sitliklerine ula¸sılır. Buradan,

Φ(x, y, y) = ¹₂(x(yy) − (yy)x)

= ¹₂(−2 hx, yi y − y(xy) + 2 hx, yi y + (yx)y)

= ¹₂((yx)y − y(xy)) = ¹₂[y, x, y] = 0 bulunur.

Φ(x, y, x) = hx, yxi = ¹₂(x(yx) + (yx)¯x)

= ¹₂(x(¯x¯y) + (yx)¯x) = ¹₂(x(xy) − (yx)x) (1.10) ve (1.11) e¸sitliklerinde, y yerine ¯x, w yerine y yazılırsa,

x(xy) + ¯x(¯xy) = 2 hx, ¯xi y (yx)x + (y¯x)¯x = 2 hx, ¯xi y

e¸sitlikleri elde edilir. Buradan,

x(xy) = −kxky (yx)x = −kxky e¸sitliklerine ula¸sılır. Bu durumda,

Φ(x, y, x) = 1

2(−kxky + kxky) = 0 bulunur.

Φ 3-formunun alterne oldu˘gu, yani; ∀x, y, z ∈ ImO i¸cin, Φ(x, y, z) = −Φ(y, x, z)

Φ(x, y, z) = −Φ(x, z, y) Φ(x, y, z) = −Φ(z, y, x) oldu˘gu g¨osterilmelidir.

Φ(x, x, z) = 0 oldu˘gundan; bu e¸sitlikte x yerine x + y yazılırsa, 0 = Φ(x + y, x + y, z) = hx + y, (x + y)zi = hx + y, xz + yzi

= hx, xzi + hx, yzi + hy, xzi + hy, yzi

= Φ(x, x, z) + Φ(x, y, z) + Φ(y, x, z) + Φ(y, y, z)

= Φ(x, y, z) + Φ(y, x, z) oldu˘gu i¸cin; Φ(x, y, z) = −Φ(y, x, z) olur.

Φ(x, y, y) = 0 oldu˘gu i¸cin; bu e¸sitlikte y yerine y + z yazılırsa,

0 = Φ(x, y + z, y + z) = hx, (y + z)(y + z)i = hx, yy + yz + zy + zzi

= hx, yyi + hx, yzi + hx, zyi + hx, zzi

= Φ(x, y, y) + Φ(x, y, z) + Φ(x, z, y) + Φ(x, z, z)

= Φ(x, y, z) + Φ(x, z, y) oldu˘gundan; Φ(x, y, z) = −Φ(x, z, y) olur.

Φ(x, y, x) = 0 oldu˘gundan; bu e¸sitlikte x yerine x + z yazılırsa, 0 = Φ(x + z, y, x + z) = hx + z, y(x + z)i = hx + z, yx + yzi

= hx, yxi + hx, yzi + hz, yxi + hz, yzi

= Φ(x, y, x) + Φ(x, y, z) + Φ(z, y, x) + Φ(z, y, z)

= Φ(x, y, z) + Φ(z, y, x)

oldu˘gu i¸cin; Φ(x, y, z) = −Φ(z, y, x) olur.

Dolayısıyla; Φ alterne oldu˘gu i¸cin; Φ ∈ V₃

(ImO)^∗’dır.

Yardımcı Teorem 1.4.2. ∀x, y, z ∈ ImO i¸cin, a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler do˘grudur.

1. Re(x × y × z) = Φ(x ∧ y ∧ z) 2. Im(x × y × z) = ¹₂[x, y, z]

Kanıt. ¨Oncelikle, e¸sitlik (1.23)’ten ve x, y, z ∈ ImO oldu˘gundan, x × y × z = 1

2(z(yx) − x(yz)) olur.

1. E¸sitlik (1.7)’den ve Φ’nin tanımından dolayı,

Re(z(yx)) = hz, yxi = hz, ¯x¯yi = hz, xyi

= Φ(z ∧ x ∧ y) = −Φ(x ∧ z ∧ y)

= Φ(x ∧ y ∧ z) olur. Di˘ger taraftan,

Re(x(yz)) = hx, yzi = hx, ¯z ¯yi = hx, zyi

= Φ(x ∧ z ∧ y) = −Φ(x ∧ y ∧ z) bulunur. Elde edilen e¸sitlikler kullanıldı˘gında,

Re(x × y × z) = ¹₂Re(z(yx) − x(yz))

= ¹₂Re(z(yx)) − ¹₂Re(x(yz))

= ¹₂Φ(x ∧ y ∧ z) + ¹₂Φ(x ∧ y ∧ z)

= Φ(x ∧ y ∧ z) olur.

2. ∀x ∈ O i¸cin, Imx = ¹₂(x − ¯x) oldu˘gundan, Im(x × y × z) = 1

2((x × y × z) − (x × y × z)) olur. x × y × z = ¹₂(z(yx) − x(yz)) oldu˘gundan,

x × y × z = ¹₂(z(yx) − x(yz)) = ¹₂(z(yx) − x(yz))

= ¹₂((yx)¯z − (yz)¯x) = ¹₂((¯x¯y)¯z − (¯z ¯y)¯x)

= ¹₂((zy)x − (xy)z)

olur. Buradan,

Im(x × y × z) = ¹₂(¹₂(z(yx) − x(yz)) − ¹₂((zy)x − (xy)z))

= ¹₄(z(yx) − x(yz) − (zy)x + (xy)z)

= ¹₄(z(yx) − (zy)x) +¹₄((xy)z − x(yz))

= −¹₄((zy)x − z(yx)) + ¹₄((xy)z − x(yz))

= −¹₄[z, y, x] + ¹₄[x, y, z]

= ¹₄([x, y, z] + [x, y, z])

= ¹₂[x, y, z]

elde edilir.

1.5 G

Lie Grubu

Tanım 1.5.1. G₂ olarak adlandırılan grup, oktonyonların otomorfizmlerinin grubudur. Yani;

G₂ = {A ∈ GL(O) | ∀x, y ∈ O i¸cin A(xy) = A(x)A(y)}

olur.

Yardımcı Teorem 1.5.2. A normlu bir cebir ve ImA’nın ortogonal grubu O(ImA) ise,

Aut(A) ⊂ O(ImA) olur.

Kanıt. g ∈ Aut(A) olsun.

1. 1A, A’nın ¸carpmaya g¨ore birim elemanı olmak ¨uzere, g(1A) = 1A’dır:

∀a ∈ A i¸cin, a.1A = a oldu˘gundan ve g(a) = g(1A.a) = g(1A)g(a) oldu˘gundan, g(1A) A’nın birim elemanıdır. Birim eleman tek oldu˘gu i¸cin; g(1A) = 1A’dir.

2. g otomorfizmi ReA’daki bir elemanı ReA’daki bir elemana, ImA’daki bir elemanı ImA’daki bir elemana g¨ot¨ur¨ur:

a ∈ ReA ise a₀ ∈ R olmak ¨uzere, a = a₀.1_A olarak yazılır. Bu durumda, g(a) = g(a₀.1_A) = a₀.g(1_A) = a₀.1_A= a olur. O halde; g(a) ∈ ReA’dır.

a ∈ ImA olsun. E˘ger g(a) ∈ ReA olsaydı ¨oyle bir a^∗ ∈ R bulunabilirdi ki g(a) = a^∗.1_A olurdu. g⁻¹’de otomorfizma oldu˘gundan;

a = a^∗.g⁻¹(1_A) = a^∗.1_A

olaca˘gından a ∈ ReA olurdu. Bu a ∈ ImA olmasıyla ¸celi¸sir. Dolayısıyla;

g(a) ∈ ImA’dır.

3. x ∈ A i¸cin; ”x² ∈ ReA ⇐⇒ x ∈ ReA veya x ∈ ImA” ifadesi do˘grudur:

Oncelikle; x ∈ A i¸cin; x = Rex + Imx oldu˘gundan,¨ x² = (Rex)²+ (Imx)²+ 2(Rex).(Imx) dir. Ayrıca;

kImxk = Imx.Imx = Imx.(−Imx) = −Imx.Imx = −(Imx)²’dir.

Dolayısıyla, (Imx)² ∈ ReA’dır.

x² ∈ ReA olsun. x² = (Rex)² + (Imx)² + 2(Rex).(Imx) oldu˘gundan, 2Rex.Imx ∈ ReA’dır. Bu durumda; 2Rex.Imx = 0’dır. Buradan;

Rex = 0 veya Imx = 0’dır. Yani; x ∈ ReA veya x ∈ ImA olur.

Tersine, x ∈ ReA ise Imx = 0 yani, x² = (Rex)²’dir. Dolayısıyla, x² ∈ ReA olur. E˘ger, x ∈ ImA ise Rex = 0 yani, x² = (Imx)²’dir.

(Imx)² = −kImxk oldu˘gundan; (Imx)² ∈ ReA’dır. Buradan; x² ∈ ReA olur.

4. g ∈ GL(ImA)’dır: Bunun i¸cin; x ∈ ImA iken g(x) ∈ ImA oldu˘gu g¨osterilmelidir. x ∈ ImA ise (g(x))² = g(x).g(x) = g(x²) olur. x² ∈ ReA oldu˘gundan g(x²) ∈ ReA, dolayısıyla (g(x))² ∈ ReA’dır. 3. adımdan, g(x) ∈ ReA veya g(x) ∈ ImA’dır. x ∈ ImA oldu˘gundan g(x) ∈ ImA olur. Yani; g : ImA −→ ImA olur. Buradan, g ∈ GL(ImA) sonucuna ula¸sılır. Bu durumda, Aut(A) ⊂ GL(ImA)’dır.

5. x ∈ ImA i¸cin; g(x) = g(¯x)’dir: Ger¸cekten,

g(x) = −g(x) = g(−1A.x) = g(−x) = g(¯x) olur.

6. g ∈ O(ImA)’dır: ¨Oncelikle;

kg(x)k = g(x).g(x) = g(x).g(¯x)

= g(x.¯x) = g(kxk)

= kxk.g(1A) = kxk.1A

= kxk oldu˘gundan, kg(x)k = kxk olur.

˙Ikinci olarak, ∀x ∈ ImA i¸cin,

”kg(x)k = kxk ⇐⇒ hg(x), g(y)i = hx, yi ”

ifadesi do˘grudur:

kg(x)k = kxk e¸sitli˘ginde x yerine x + y yazılırsa, kg(x + y)k = kx + yk olur.

kg(x + y)k = hg(x + y), g(x + y)i

= hg(x) + g(y), g(x) + g(y)i

= hg(x), g(x)i + 2 hg(x), g(y)i + hg(y), g(y)i

= kg(x)k + 2 hg(x), g(y)i + kg(y)k

= kxk + 2 hg(x), g(y)i + kyk Di˘ger taraftan;

kx + yk = hx + y, x + yi

= hx, xi + 2 hx, yi + hy, yi

= kxk + 2 hx, yi + kyk oldu˘gundan,

hg(x), g(y)i = hx, yi olur.

Tersine; hg(x), g(y)i = hx, yi e¸sitli˘ginde y yerine x alırsak;

hg(x), g(x)i = hx, xi kg(x)k = kxk

olur. Bu durumda; ∀x, y ∈ ImA i¸cin, hg(x), g(y)i = hx, yi oldu˘gundan, g ∈ O(ImA) olur ve

Aut(A) ⊂ O(ImA) sonucuna ula¸sılır.

Yardımcı Teorem 1.5.3. g ∈ Aut(O) ise g, O ¨uzerinde tanımlanmı¸s olan Φ temel 3-formu korur.

Kanıt. Φ temel 3−formu; ∀x, y, z ∈ ImO i¸cin, Φ(x, y, z) = hx, yzi olarak tanımlandı˘gından herhangi bir g ∈ Aut(O) ⊂ O(ImO) i¸cin,

Φ(g(x), g(y), g(z)) = hg(x), g(y)g(z)i = hg(x), g(yz)i

= hx, yzi = Φ(x, y, z) bulunur.

Φ temel 3−formunun (ImO)^∗ i¸cin se¸cilen bir taban i¸cin, bu taban eleman- ları cinsinden ifadesi de elde edilebilir: O = HL

H oldu˘gundan; ImO i¸cin, e1 = (i, 0), e2 = (j, 0), e3 = (k, 0), e4 = (0, i), e5 = (0, j), e₆ = (0, k), e₇ = (0, 1)

tabanı se¸cilsin. Burada,

i.j = k, j.k = i, k.i = j, j.i = −k, k.j = −i, i.k = −j, i² = j² = k² = −1

dir. ∀ k, m ∈ {1, 2, ..., 7} i¸cin, ek.em yani, taban elemanlarının birbirleriyle

¸carpımları a¸sa˘gıdaki tablado verilmi¸stir.

. e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

e₁ −1 e₃ −e₂ −e₇ −e₆ e₅ e₄ e₂ −e₃ −1 e₁ e₆ −e₇ −e₄ −e₅ e₃ e₂ −e₁ −1 −e₅ e₄ −e₇ e₆ e₄ e₄ −e₇ e₆ −1 −e₃ e₂ −e₁ e5 e7 e4 −e5 e3 −1 −e1 −e2

e₆ −e₆ e₅ e₄ −e₂ e₁ −1 −e₃ e₇ −e₅ −e₆ −e₇ e₁ e₂ e₃ −1

Tablo 1.1: Cayley-Dickson metoduna g¨ore taban elemanlarının ¸carpım tablosu

S¸imdi; (ImO)^∗’ın taban elemanları, e^∗_i : ImO −→ R, e^∗_i(e_j) := δ_ij ol- mak ¨uzere, {e^∗₁, e^∗₂, ..., e^∗₇} olsun. O halde, Φ temel 3− formunun bu taban elemanları cinsinden tek t¨url¨u belirli bir yazılı¸sı vardır. Kısalık a¸cısından,

∀i, j, k i¸cin e^∗_i ∧ e^∗_j ∧ e^∗_k = e^∗_ijk g¨osterimi kullanıldı˘gında, Φ =P

i<j<kaijke^∗_ie^∗_je^∗_k olarak ifade edilip, a_ijk katsayıları bulunursa, Φ belirlenmi¸s olur. Bunun i¸cin, ImO’nun taban elemanları Φ’ye girilirse, Φ(ei, ej, ek) = aijk oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.

Di˘ger taraftan, Φ(e_i, e_j, e_k) = he_i, e_je_ki oldu˘gu i¸cin, a_ijk = he_i, e_je_ki olur ve aijk katsayısı hesaplanır. Son durumda, Φ temel 3−formu, e^∗₁, e^∗₂, ..., e^∗₇ taban elemanları cinsinden a¸sa˘gıdaki gibi ifade edilir.

Φ = e^∗₁₂₃− e^∗₁₄₇− e^∗₁₅₆+ e^∗₂₄₆− e^∗₂₅₇− e^∗₃₄₅− e^∗₃₆₇ (1.25)

(g^∗Φ)(x, y, z) := Φ(g(x), g(y), g(z))

olmak ¨uzere, g ∈ G₂ i¸cin, bir ¨onceki yardımcı teoremden; g^∗Φ = Φ olur. Bu ifadenin tersi de do˘grudur. Yani, g^∗Φ = Φ ise g ∈ G2’dir. Bu nedenle, G2

grubu a¸sa˘gıdaki teoremdeki gibi de karakterize edilebilir.

Teorem 1.5.4. (Bryant)

G2 = {g ∈ GL(ImO)| g^∗Φ = Φ} (1.26) Kanıt. A = {g ∈ GL(ImO)| g^∗Φ = Φ} olsun. Bir an i¸cin;

”g ∈ GL(ImO) elemanı g^∗Φ = Φ ¨ozelli˘gini sa˘glıyorsa g ∈ O(ImO)”

oldu˘gu varsayılsın ve

B = {g ∈ GL(ImO)|∀x, y, ∈ ImO i¸cin g(x × y) = g(x) × g(y)}

olsun. g ∈ A ise ∀x, y, z ∈ ImO i¸cin,

hg(x), g(y × z)i = hx, y × zi = hx, Im(y.z)i

= hx, yzi = Φ(x ∧ y ∧ z)

= g^∗Φ(x ∧ y ∧ z)

= Φ(g(x) ∧ g(y) ∧ g(z))

= hg(x), g(y) × g(z)i elde edilir. Buradan, i¸c ¸carpım non-dejenere oldu˘gu i¸cin,

∀y, z ∈ ImO i¸cin g(y × z) = g(y) × g(z) olur. Bu durumda, g ∈ B ve A ⊆ B olur.

Ayrıca,

G₂ = {g ∈ GL(O)|∀x, y ∈ O i¸cin g(x.y) = g(x).g(y)}

olarak tanımlıydı. Bu adımda, B = G₂ oldu˘gu g¨osterilecektir. g ∈ B olsun.

g : ImO −→ ImO oldu˘gundan g’nin, g : O −→ O olarak tanımlı olması i¸cin, g ReO’yu da ReO’ya g¨ot¨urecek ¸sekilde geni¸sletilsin. Yani; g(1) = 1 olsun. S¸imdi;

g : O −→ O, g(1) = 1 ve ∀x, y ∈ ImO i¸cin g(x × y) = g(x) × g(y) ¸sartlarını sa˘glayan bir d¨on¨u¸s¨um olarak alınabilir. ∀x, y ∈ O i¸cin g(x.y) = g(x).g(y) oldu˘gunu g¨orelim. x, y ∈ O ise x₁, y₁ ∈ ReO ve x₂, y₂ ∈ ImO olmak ¨uzere,