ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SZASZ OPERATÖRLERİ VE BİR GENELLEŞMESİNİN YAKLAŞIM VE DİFERENSİYEL ÖZELLİKLERİ Murat YILMAZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2004 Her hakkı saklıdır

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

SZASZ OPERATÖRLERİ VE BİR GENELLEŞMESİNİN YAKLAŞIM VE DİFERENSİYEL ÖZELLİKLERİ

Murat YILMAZ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2004

Her hakkı saklıdır

ÖZET Yüksek Lisans Tezi

SZASZ OPERATÖRLERİ VE BİR GENELLEŞMESİNİN YAKLAŞIM VE DİFERENSİYEL ÖZELLİKLERİ

Murat YILMAZ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ogün DOĞRU

Bu çalışmada Szasz operatörlerinin yaklaşım ve türev özellikleri incelenmiştir.

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, lineer pozitif operatörler dizisinin tanımı verilmiş ve temel özellikleri elde edilmiştir. Ayrıca Korovkin teoremi ispatıyla birlikte verilmiştir.

İkinci bölümde, Korovkin teoremi yardımıyla Szasz operatörleri ve genelleşmesinin yaklaşım özellikleri elde edilmiştir. Szasz operatörleri için Voronowskaja teoremi tipinde bir teorem de ispat edilmiştir.

Üçüncü bölümde, süreklilik modülü ve Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla Szasz operatörleri ve genelleşmesinin f fonksiyonuna yaklaşım hızının tahmini yer almaktadır.

Ayrıca bu hesaplama Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar için de elde edilmiştir.

Son olarak dördüncü bölümde, Szasz operatörlerinin türevleri, bölünmüş farklar yardımıyla elde edilmiştir.

2004, 46 sayfa

ANAHTAR KELİMELER: Lineer pozitif operatörler dizisi, Bernstein polinomu, Szasz operatörleri, Korovkin teoremi, Voronowskaja teoremi, süreklilik modülü, Peetre-K fonksiyoneli, Lipschitz sınıfı, bölünmüş farklar.

ABSTRACT Master Thesis

APPROXIMATION AND DIFFERENTIABLE PROPERTIES OF SZASZ OPERATORS AND ITS GENERALIZATION

Murat YILMAZ Ankara University Graduate School of Natural

and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Asst. Prof. Dr. Ogün DOĞRU

In this study, the approximation and derivative properties of Szasz operators are investigated.

This thesis consists of four chapters.

In the first chapter, definition of sequence of linear positive operators is given and its fundamental properties are obtained. Also, the Korovkin theorem is given jointly with its proof.

In the second part, approximation properties of the Szasz operators and its generalization are obtained with the help of Korovkin theorem. Morever a Voronowskaja type theorem is also proven for Szasz operators.

In the third chapter is devoted to the estimation of speed of approximation of the Szasz operators and its generalization to the function f with the help of modulus of continuity and K functional of Peetre. In addition to this the estimation is also obtained for the function in the Lipschitz class.

Finally in the fourth chapter, the derivatives of the Szasz operators are obtained via the divided differences.

2004, 46 pages

Key Words: Sequences of linear positive operators, Bernstein polinomials, Szasz operators, the Korovkin theorem, the Voronowskaja theorem, modulus of continuity, Peetre's K-functionals, Lipschitz class, divided

differences.

TEŞEKKÜR

Bu çalışmamın ortaya çıkış sürecinde beni yönlendiren danışmanım Yrd. Doç. Dr. Ogün DOĞRU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya, her aşamada desteğini gördüğüm sevgili eşim Ebru YILMAZ’a ve aileme teşekkürlerimi sunarım.

Murat YILMAZ Ankara, Ocak 2004

İÇİNDEKİLER

ÖZET ……… i

ABSTRACT ………. ii

TEŞEKKÜR ………. iii

SİMGELER DİZİNİ ……… v

1. TEMEL KAVRAMLAR ……… 1

1.1. Giriş……… 1

1.2. Lineer Pozitif Operatör Dizisi ……….. 1

1.2.1. Lineer pozitif operatörlerin özellikleri……… 2

1.2.2. Lineer pozitif operatörlerin önemi ………. 4

1.3. Korovkin Teoremi ……… 10

2. SZSAZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ……… 14

2.1. Szasz Operatörlerinin Düzgün Yakınsaklığı ……… 14

2.2. Voronowskaja Teoremi ……… 18

3. SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM HIZI ……….. 28

3.1. Süreklilik Modülü .……… 28

3.1.1. Süreklilik Modülünün Özellikleri ………..… 29

3.2. Szasz Operatörlerinin Süreklilik Modülüyle Yaklaşım Hızı ………. 31

3.3. Szasz Operatörlerinin Peetre - K Fonksiyoneli ile Yaklaşım Hızı ……… 35

3.4. Szasz Operatörlerinin Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlarla Yaklaşım Hızı……… 37

4. SZASZ OPERATÖRLERİNİN TÜREV ÖZELLİKLERİ ……… 41

4.1. Bölünmüş Farklar ……….. 41

4.2. Türevlerin Bölünmüş Farklarla İfadesi ………. 43

KAYNAKLAR ……….. 45

ÖZGEÇMİŞ ………... 46

SİMGELER DİZİNİ

)

; (f x

A_n n∈INolmak üzere bir operatör dizisi.

)

; (f x

B_n Bernstein Polinomları.

C Kompleks sayılar cümlesi.

] , [ ba

C Bir [a,b] aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel değerli fonksiyonların uzayı.

] ,

2[ b a

C f,f′ f, ′′∈ C[a,b] olan fonksiyon uzayı.

) (x

f_n n∈INolmak üzere bir fonksiyon dizisi.

) ( ) (x f x

f_n →→ {f_n} fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması.

IN IN={1,2,3,…} doğal sayılar cümlesi.

)

; (f δ

K f fonksiyonunun Peetre’s K fonksiyoneli.

) (α

LipM Lipschitz sınıfı fonksiyonları.

)

; (f x

S_n Szasz Operatörleri.

)

;

*( x f

S_n Genelleştirilmiş Szasz Operatörü.

]

; ,..., ,

[x₀ x₁ x_p f f fonksiyonunun x₀,x₁,...,x_p noktalarındaki p-yinci bölünmüş farkı

)

,_k(x

ϕn k-yıncı merkezi moment.

)

; ( δ

ω f f fonksiyonun süreklilik modülü.

] ,

. _C[_ab C[a,b] uzayındaki . _{[ ,]} .

b x b a a

C maks

≤

= ≤ ile tanımlı olan norm.

] ,

2[

. _{C ab} f C2_[a_,b_]= f _C[a,b]+ f′ _C[a,b]+ f ′′_C[a,b] ile tanımlı olan norm.

KAYNAKLAR

Bleimann, G., Butzer, P.L. ,Hahn, L. 1980 A Bernstein-type operator approximating continuous functions on the semi axis. Proc. Netherl. Acad. Sci. A83 Indag.

Math., 42; 255-262.

Butzer, P.L. and Berens, H. 1967. Semi-Groups of Operators and Approximation, Springer.

Davis, J.P. 1963. Interpolation and Approximation. Blaisdell Publ. Co. Ginn and Co.

New York-Toronto- London.

Doğru, O.1997 On a Certain Family Linear Positive Operators. Tr. J. of. Math. 21; 173- 181.

Doğru, O. 2002. Weighted Approximation Properties of Szasz-type Operators. Intern.

Math. Journal, 2 (9); 889-895.

Hacısalihoğlu, H. and Hacıyev, A. 1995. Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yakınsaklığı. 1-94 Ankara.

Korovkin, P.P.1960.Linear Operators and Approximation Theory. Delhi.

Lorentz, G.G. 1953. Bernstein Polynomials. Toronto.

Popoviciu, T.1935. Sur l’appoximation des functions convexes d’ordre superieur, Mathematica (Cluj) 10; 49-54

Szasz, O. 1950. Generalization of S. Bernstein’s Polynomials to the infinite interval.

Journ. of Resarch of the Nat. Bureau of Stand. 45; 239-245

ÖZGEÇMİŞ

1978 yılında Ankara’da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Ankara’da tamamladı. 1996 yılında girdiği Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü’nden 2001 yılında Matematikçi ünvanıyla mezun oldu. Eylül 2001 den beri Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans öğrenimine devam etmektedir.

Halen T.C. Milli Eğitim Bakanlığı’nın, Ankara Kızılcahamam Lisesinde Matematik Öğretmeni olarak görev yapmaktadır.

1. TEMEL KAVRAMLAR

1.1. Giriş

Bu bölümde öncelikle lineer pozitif operatörler tanıtılacak ve sağladığı temel özellikler incelenecektir. Ayrıca daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar verilecek ve lineer pozitif operatörlerin önemine değinilecektir. Bernstein’ın Weierstrass problemi için verdiği teorem ve Korovkin teoremi ifade ve ispat edilecektir.

1.2. Lineer Pozitif Operatör Dizisi

Bilindiği gibi fonksiyonu fonksiyona dönüştüren bağıntılara “operatör” denir.

Lineer operatör:

X ve Y fonksiyon uzayları olmak üzere;

A : X→Y

şeklindeki A operatörünü göz önüne alalım. Eğer her f,g∈X ve her α, ∈ Rβ I için:

) ( ) ( )

( f g A f A g

Aα +β =α +β

koşulu sağlanıyor ise o takdirde A operatörüne lineer operatör denir.

Operatörün pozitifliği:

Eğer bir A operatörü pozitif değerli fonksiyonu yine pozitif değerli bir fonksiyona dönüştürüyor ise, yani;

f bir fonksiyon ve A bir operatör olmak üzere

≥0

f iken 0A(f;x)≥

oluyorsa A operatörüne pozitif operatör denir.

Hem lineerlik hem de pozitiflik şartlarını sağlayan operatörlere lineer pozitif operatörler denir.

1.2.1. Lineer pozitif operatörlerin özellikleri

Lemma 1.2.1. Lineer pozitif operatörler monoton artandır. Yani;

) ( ) (f L g L

g

f ≤ ⇒ ≤

eşitsizliği sağlanır.

İspat: Kabul edelim ki f ≤ olsun. Bu durumda g g− f ≥0 olacağından ve L operatörü pozitif olduğundan;

0 ) (g − f ≥

L (1.2.1)

yazabiliriz. Diğer taraftan L operatörü lineer olduğundan;

) ( ) ( )

(g f L g L f

L − = −

olup bunun (1.2.1) de kullanılmasıyla ispat tamamlanır.

Lemma 1.2.2. L bir lineer pozitif operatör ise o taktirde:

( )

f L f L( ) ≤ eşitsizliği sağlanır.

İspat: Her hangi bir f fonksiyonu için f

f f ≤ ≤

− (1.2.2)

dir. L operatörü lineer olduğundan Lemma 1.2.1’den dolayı monoton artandır. O halde (1.2.2)’den;

) ( ) ( )

( f L f L f

L − ≤ ≤ (1.2.3)

yazabiliriz. L lineer olduğundan;

) ( )

( f L f

L − =−

dir. Bu son eşitliğin, (1.2.3)’de kullanılmasıyla;

) ( ) ( )

( f L f L f

L ≤ ≤

−

elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.

Şimdi daha sonraki bölümlerde kullanılacak temel tanımları verelim.

Tanım 1.2.1. n∈INolmak üzere f_n(x)’e bir “fonksiyon dizisi” denir ve (f ile _n) gösterilir.

Tanım 1.2.2. n∈INolmak üzere A_n(f;x)’e bir “operatör dizisi” denir ve (A ile _n) gösterilir.

Tanım 1.2.3. Kapalı bir [a,b] aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel değerli fonksiyonlardan oluşan kümeye “C[ ba, ] fonksiyon uzayı” denir. Bu uzaydaki norm:

) ( )

(x _{[ , ]} maks f x f Cab =a≤x≤b

şeklinde tanımlanır.

Gerçekten;

1. Her f,g∈C[a,b] için f +g∈C[a,b] 2. f,g∈C[a,b] için f +g= g+ f

3. f,g,h∈C[a,b] için (f +g)+h= f +(g+h)

4. Her f ∈C[a,b] için en az bir θ vardır ki f +θ =θ + f = f 5. Her f ∈C[a,b] için en az bir f vardır ki ' f + f '= f '+f =θ 6. Her f ∈C[a,b] ve λ C için ∈ λf ∈C

7. Her f ∈C[a,b] ve λ,μ∈C için (λμ)f =λ(μf) 8. Her f ∈C[a,b] için 1f = f

9. Her f ∈C[a,b] ve λ,μ∈C için (λ+ )μ f =λf +μf 10. f,g∈C[a,b] ve λ C için ∈ λ(f + )g =λf +λg 11. Her f ∈C[a,b] için f ≥0

12. Her ]f ∈C[ ba, için f =0⇔ f =0

13. Her f ∈C[a,b] ve her λ C için ∈ λf = λ f 14. Her ]f,g∈C[a,b için f +g ≤ f + g

koşulları sağlandığından C[ ba, ] Lineer Normlu Uzay dır.

Tanım 1.2.4. Bir (f ) fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna _n C[ ba, ] normunda düzgün yakınsak olması her x∈[ ba, ] için

0 )

( ) (

lim − _{[ ,]} =

∞

→ n Cab

n f x f x

yada daha açık olarak:

0 ) ( ) (

lim − =

≤

≤

∞

→ maks f_n x f x

b x a n

eşitliğinin sağlanmasıdır.

Düzgün yakınsama:

) ( )

(x f x f_n →→ şeklinde gösterilir.

1.2.2. Lineer pozitif operatörlerin önemi

Alman Matematikçi Weierstrasse 1895 yılında sonlu aralıkta sürekli olan her fonksiyona bu aralıkta yakınsayan bir polinomun varlığını ispatlamıştır. 1912 yılında ise Rus Matematikçi S.N. Bernstein bu polinomun, x∈[0,1] için:

k n n k

k

n x x

k n n f k x

f

B ⁻

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

=

∑

⎛ ^{(1 )}

)

; (

0

(1.2.4)

şeklinde olduğunu ispatlamıştır, (Lorentz 1953).

Bernstein’ın bu ispatını vermeden önce kullanacağımız bazı ifadeleri ve ispatlarını verelim.

Lemma 1.2.3. (1.2.4)’te tanımlanan Bernstein operatörleri için;

1 )

; 1 ( x =

B_n (1.2.5)

x x t

B_n( ; )= (1.2.6)

n x x x

x t

B_n (1 )

)

;

( ² = ² + − (1.2.7)

dır.

İspat: Binom açılımından;

∑

=

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

+ ⁿ

k

k n k

n x x

k b n

a

0

) 1 ( )

(

olup, a=x ve b= 1−x seçimiyle 1

)

; 1 ( x =

B_n

bulunur.

İkinci olarak;

k n n k

k

n x x

k n n x k

t

B ⁻

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=

∑

⎛ ^{(1 )}

)

; (

0

k n n k

k

x k x

k n

n n

k ₋

=

− −

=

∑

₍ ^!_{)! !} ^{(1 )}

0

k n n k

k

x k x

k n

n n

k ₋

=

− −

=

∑

₍ ^!_{)! !} ^{(1 )}

1

k n n k

k

x k x

k n

n −

=

− −

−

=

∑

₍ ⁽ _)!−₍^1)! _1)! ^{(1 )}

1

, (k→ k+1)

1 1 0

) 1

! ( )!

1 (

)!

1

( _{− −}

−

=

− −

−

=

∑

ⁿ − ^{k n k}

k

x k x

k n x n

1 1 0

) 1

1 ( _{− −}

−

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=

∑

ⁿ ⎛ − ^{k n k}

k

x k x

x n

olup, Binom açılımından;

x x t B_n( ; )= bulunur.

Son olarak

k n n k

k

n x x

k n n x k

t

B ⁻

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=

∑

⎛ ^{(1 )}

)

; (

0 2 2 2

^{n k n k}

k

x k x

k n

n n

k ₋

=

− −

=

∑

₍ ^!_{)! !} ^{(1 )}

0 2 2

k n n k

k

x k x

k n

n n

k ₋

=

− −

=

∑

₍ ^!_{)! !} ^{(1 )}

1 2 2

k n n k

k

x k x

k n

n n

k ₋

=

− −

−

=

∑

₍ ⁽ _)!−₍^1)! _1)! ^{(1 )}

1

elde ederiz.

n n k n

k = −1 +1 olduğundan son eşitliği:

k n n k

k

n x x

k k n

n n

n x k

t

B ⁻

=

− −

−

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

∑

^{1 1} ₍ ⁽ _)!(^1)! _1)! ^{(1 )}

)

; (

1 2

şeklinde yazabiliriz. Böylece

k n n k

k k n n k

k

n x x

k k n

n x n

k x k n

n n

x k t

B ⁻

=

−

=

− −

− + −

− −

−

−

=

∑

−¹₍ ⁽ _)!(^1)! _1)! ^{(1 )}

∑

¹₍ ⁽ _)!(^1)! _1)! ^{(1 )}

)

; (

1 1

2

k n n k

k k n n k

k

x k x

k n

n x n

k x k n

n n

k ₋

=

−

=

− −

− + −

− −

−

−

=

∑

−¹₍ ⁽ _)!(^1)! _1)! ^{(1 )}

∑

¹₍ ⁽ _)!(^1)! _1)! ^{(1 )}

1 2

) 1 (

1 ) 1

2 (

2 2

2

) 1 )! ( 1 ( )!

(

)!

1 ) (

1 )! (

2 ( )!

(

)!

2 ( )

1 (

+

→

−

− + =

→

−

−

=

− −

− + −

− −

−

−

= −

∑ ∑

k k

k n n k

k k k

k n n k

k

x k x

k n

n n

x x k x

k n

n n

n x

1 1 0 2 2

0 2

) 1 1 ( )

1 2 ( )

1

( ⁻ _{− −}

=

−

− −

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛ −

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= −

∑ ∑

^{n k n k}

k k

n n k

k

x k x

n n x x

k x n n

n x

olup, Binom açılımından;

n x x x

x t

B_n (1 )

)

;

( ^{2 2} −

+

= bulunur.

Tanım 1.2.5.

(

^{t x x}

)

L

x _n ^s

s

n_, ( ) = ( − ) ;

ϕ , {s=0,1,2,...} (1.2.8)

ile tanımlanan ifadelere (L operatör dizisinin s-yinci merkezi momentleri denir. _n)

Weierstrasse teoremi için Bernstein’ın ispatında sıfırıncı, birinci ve ikinci merkezi momentler kullanılacaktır, (Lorentz 1953). Bu nedenle önce bunları hesaplayalım.

0-ıncı merkezi moment:

( )

x B x n x

B_n k ; _n 1;

0

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

olduğundan, (1.2.5)’ten;

1 )

0(

, x =

ϕn (1.2.9)

bulunur.

1-inci merkezi moment:

k n n k

k

n x x

k x n n x k

n x

B k ⁻

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − ^;

∑

^{(1 )}

0 1

^{n k n k}

k k n n k

k

x k x

x n x

k x n n

k −

=

−

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=

∑

⎛ ^{(1 )}

∑

^{(1 )}

0 0

olduğundan (1.2.6) ve (1.2.5) ten;

0 )

1(

, x =

ϕn (1.2.10)

bulunur.

2-nci merkezi moment:

k n n k

k

n x x

k x n n x k

n x

B k ⁻

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − ^;

∑

^{(1 )}

0

2 2

k n n k

k

x k x

x n n xk n

k ₋

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

∑

^{2 (1 )}

0

2 2

2

k n n k

k k n n k

k k n n k

k

x k x

x n x

k x n n x k x

k x n n

k −

=

−

=

−

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=

∑

⎛ ^{(1 ) 2}

∑

^{(1 )}

∑

^{(1 )}

0 2 0

0 2 2

olduğundan (1.2.7), (1.2.6) ve (1.2.5) ten;

2 2 2

2

) 2 1

; ( x x

n x n

n x x

n x

B_n k ⎟⎟= − + − +

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

^{2 2} 2x² x² n

x n

x −x + − +

=

n

x n x− ²

= dir. O halde;

n x n x x

n

2 2

, ( )= −

ϕ (1.2.11)

bulunur.

Teorem. 1.2.1. (S.N. Bernstein 1912) (1.2.4) ile tanımlı Bernstein operatörleri [0,1] aralığında sürekli olan f fonksiyonuna aynı aralıkta düzgün yakınsar.

İspat: (1.2.4), (1.2.5) ve (1.2.6) dan;

) ( )

;

(f x f x

B_n −

∑ ∑

=

−

=

− ⎟⎟⎠ −

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ⁿ

k

k n n k

k

k n

k x x

k x n f x

k x n n f k

0 0

) 1 ( )

( )

1 (

∑ ∑

=

−

=

− ⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ⁿ

k

k n n k

k

k n

k x x

k x n f x

k x n n f k

0 0

) 1 ( )

( )

1 (

∑

=

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⁿ ⎛

k

k n

k x

k x x n n f

f k

0

) 1 ( )

(

bulunur. x∈[0,1] olduğundan 0⎟⎟ ≥

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ _k

k x

n ve (1−x)^n−k ≥0 dır. Üçgen eşitsizliğinden;

) ( )

;

(f x f x

B_n − ^{n k n k}

k

x k x

x n n f

f k ⁻

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

≤

∑

⎛ ^{( ) (1 )}

0

∑

≤

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

≤ ⎛

δ n x k

k n

k x

k x x n n f

f k ( ) (1 ) +

∑

>

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

δ n x k

k n

k x

k x x n n f

f k ( ) (1 )

yazılabilir. f fonksiyonu sürekli olduğundan;

δ

≤ n− x

k iken ⎟− <ε

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ f(x) n

f k

dur. Öyleyse;

) ( )

;

(f x f x

B_n −

∑

≤

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≤ ⎛

δ

ε

n x k

k n

k x

k x

n (1 ) +

∑

>

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

δ n x k

k n

k x

k x x n n f

f k ( ) (1 )

elde edilir. f sınırlı olduğundan her x∈[0,1] için öyle bir M >0 vardır ki;

M x

f( ) <

dir. O halde;

n M f k x n f

f k x

f( ) ( ) ⎟<2

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ <

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⇒

yazılabilir. Böylece ) ( )

;

(f x f x

B_n −

∑

≤

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≤ ⎛

δ

ε

n x k

k n

k x

k x

n (1 ) +

∑

>

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

δ n x k

k n

k x

k x

M n (1 )

2

∑

=

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≤ ⁿ ⎛

k

k n

k x

k x n

0

) 1

ε ( +

∑

>

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

δ n x k

k n

k x

k x

M n (1 )

2

bulunur. (1.2.5)’ten ) ( )

;

(f x f x

B_n −

∑

>

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

≤

δ

ε

n x k

k n

k x

k x

M n (1 )

2 (1.2.12)

dır. Diğer taraftan

δ

>

n − x

k ise ₂ 1

2

≥

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − δ n x k

(1.2.13)

olup (1.2.13)’ü (1.2.12)’de kullanırsak;

) ( )

;

(f x f x

B_n −

∑

>

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − +

≤

δ δ

ε

n x k

k n

k x

k x x n n k

M (1 )

2 ₂

2

∑

>

−

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − +

=

δ δ

ε

n x k

k n

k x

k x x n n k

M (1 )

2 ²

2

∑

=

− −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − +

≤ ⁿ

k

k n

k x

k x x n n k M

0

2

2 (1 )

2 ε δ

yazabiliriz. Dolayısıyla (1.2.11) den,

) ( )

;

(f x f x

B_n − ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − +

≤ n

x n x

M ²

2

2 ε δ

² ₂

[

^{x x2}

]

n

M −

+

≤ε δ

elde edilir. x∈[0,1] olduğundan;

maks

{

^{x− x2}

}

⁼ ₄¹

dür. O halde;

] ,

) [

( )

;

( _Cab

n f x f x

B − ₂

2 1 ε ^Mδ

+n

≤ yazılabilir. Bu ise;

] ,

) [

( )

;

( _Cab

n f x f x

B − →0 , (n→∞)

olması demektir ki bu da ispatı tamamlar.

1953 yılında P.P. Korovkin sürekli fonksiyonların sonlu aralıkta lineer pozitif operatörlerin yardımıyla yaklaştırılmasına ilişkin aşağıdaki teoremi vermiştir. Teorem bu konudaki çalışmalara büyük katkı sağlamıştır, (Korovkin 1960).

1.3. P. P. Korovkin Teoremi (1953)

] , [ ba C

f ∈ ve tüm reel eksende

f(x) <M_f (1.3.1)

olsun. Eğer L_n (f;x) lineer pozitif operatör dizisi her x∈[ ba, ] için:

i. L_n (1;x) →→ 1 ii. L_n (t;x) →→ x iii. L_n (t²;x) →→ x²

koşullarını sağlıyorsa bu durumda [ a,b ] de L_n ( f;x )→→ f(x )dir.

İspat: Kabul edelim ki f ∈ C[a,b] olsun. Sürekli fonksiyonların tanımından dolayı her pozitif ε sayısına karşılık öyle bir δ bulabiliriz ki:

δ

≤ t - x olduğunda;

ε ) ( )

(t − f x <

f

kalır. t - x > δ olduğunda ise (1.3.1) den ve üçgen eşitsizliğinden dolayı:

Mf

x f t f x f t

f( )− ( ) ≤ ( ) + ( ) ≤2 (1.3.2)

yazabiliriz. Diğer taraftan eğer;

δ >

t-x ise >1 δ

t-x olacağından;

) 1 (

2 2 >

δ

t-x (1.3.3)

sağlanır.

(1.3.2) ve (1.3.3) den:

) 2 (

2 ) ( )

( ₂²

δ M t-x M

x f t

f − ≤ _f ≤ _f

yazabiliriz. O halde;

δ

≤

t-x için f(t)- f(x) <ε δ

>

t-x için ₂

)2

2 ( ) ( -

(t) δ

M t-x x

f

f < _f

elde ettik. Dolayısıyla her t∈IRve her x∈[ ba, ]için:

2

)2

2 ( )

( )

(t f x ε M ^t-xδ

f − < + _f (1.3.4)

dir. Eğer i, ii, iii koşullarını sağlayan (L_n) operatör dizisinin, 0

) ( ) ) ( (

lim _C[a,b]

n =

∞

→ L_n f t ;x -f x

eşitliğini sağladığını gösterirsek ispat tamamlanır. Şimdi bunu gösterelim.

Lineerlikten:

) );

( ( - ) );

( ( ) ( - ) );

( ( ) ( - ) );

(

(f t x f x L f t x f x L f x x L f x x

L_n = _n + _{n n}

) ( - ) );

( ( ) );

( ( - ) );

(

(f t x L f x x L f x x f x

L_{n n} + _n

=

(

(1; )-1

)

) ( ) ));

( ) ( ((

L_n f t − f x x + f x L_n x

=

dir. Burada üçgen eşitsizliğinin kullanılmasıyla

(

(1 )-1

)

) ( ) ));

( ) ( ((

) ( ) );

(

((f t x f x L f t f x x f x L ;x

L_n − ≤ _n − + _n

yazılabilir. Diğer taraftan Lineer pozitif operatörler monoton artan ve )

( ) ( ) ) ( ) (

(f t − f x ≤ f t − f x olduğundan;

)

; ) ( ) ( ( )

);

) ( ) ( (

( f t f x x L f t f x x

L_n − ≤ _n −

olur. Operatör pozitif ve, 0 ) ( )

(t − f x ≥

f

olduğundan;

)

; ) ( ) ( ( )

; ) ( ) (

(f t f x x L f t f x x

L_n − = _n −

dir. O halde;

)

; ) ( ) ( ( ) ( - ) ) (

(f t ;x f x L f t f x x

L_n ≤ _n − + ^f(x)

(

^L_n^(1;x)-1

)

olduğunu göstermiş olduk. (1.3.1)den

)

; ) ( ) ( ( ) ( - ) ) (

(f t ;x f x L f t f x x

L_n ≤ _n − +M_f

(

L_n( ;x1 )-1

)

yazılabilir.(L_n) monoton artan olduğundan (1.3.4) ‘ün kullanılmasıyla;

)

; ) 2 (

( ) ( - ) ) (

( ≤ + M₂ t−x ² x +

L x f

;x t f

L_{n n} ^f

ε δ ^M_f

(

^L_n^{( ;x1 )-1}

)

^(1.3.5)

bulunur. Diğer taraftan;

)

; ) 2 (

( ) ( )

; ) 2 (

( ₂ ² M₂ t-x ² x

L ε;x L x x M t

L_n ^f _{n n} ^f

δ

ε+ δ − = +

) 2

2 ( ) 1

( M₂ L t² - xt x²;x

;x

ε L_n + ^f _n +

= δ

[

^{( ) 2 2 ( ) (1 )}

]

) 2 1

( M₂ L t²;x -x²-x² x² - xL t;x x²L ;x

;x

ε L_n + ^f _n + _n + _n

= δ

[

^{2 2 2 2 2}

]

2 ( ) 2 2 ( ) (1 )-

) 2 1

( M L t ;x -x x - xL t;x x L ;x x

;x

ε L_n + ^f _n + _n + _n

= δ

[

^{( ( ) ) 2 ( ( )) ( (1 )-1)}

]

) 2 1

( M₂ L t²;x -x² x x -L t;x x² L ;x

;x

ε L_n + ^f _n + _n + _n

= δ

yazabiliriz. Son bulduğumuz ifadenin (1.3.5)’de kullanılmasıyla;

[

^{( ( ) ) 2 ( ( ))}

) 2 1 ( )

( ) );

(

( M₂ L t²;x -x² x x-L t;x

;x L ε x f x t f

L_n − ≤ _n + ^f _n + _n

δ

] ⁽

^{(1 )-1}

⁾

1) - ) 1 (

2(L ;x M L ;x

x _n + _{f n}

+ (1.3.6)

elde edilir. (i), (ii) ve (iii) koşullarının (1.3.6) da kullanılmasıyla;

) ( ) );

(

(f t x − f x <ε

L_n

bulunur. O halde;

0 ) ( ) );

( (

lim − =

≤

≤

∞

→ maksL_n f t x f x

b x n a

dır. Bu da ispatı tamamlar.

Görüldüğü gibi (1.2.4)’de verilen Bernstein polinomu lineer pozitif bir operatör olup Korovkin teoreminin koşullarını gerçekler. Dolayısıyla Korovkin teoremi bu konudaki çalışmalara büyük katkı sağlamıştır. Çünkü verilen operatörün sadece 1, t ve t² ifadelerini sırasıyla 1, x ve x²‘ye düzgün yakınsaması, sonlu aralıkta olan tüm sürekli fonksiyonların bu operatör yardımıyla yaklaştırılmasını söylememize yeter.

2. SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

Bu bölümde Szasz operatörleri ve bir genelleşmesi tanıtılarak Korovkin Teoremi yardımıyla yaklaşım özellikleri incelenecektir. Daha sonra Voronowskaja’nın Bernstein polinomları için verdiği teorem ifade edilerek benzer bir teorem Szasz operatörleri için ifade ve ispat edilecektir.

2.1. Szasz Operatörlerinin Düzgün Yakınsaklığı

Tanım 2.1.1. (Szasz Operatörleri) Kabul edelim ki x∈[ A0, ] ve ]f ∈C[ A0, olsun.

! ) ) (

; (

0 k

nx n f k e

x f S

k k

nx

n

∑

^∞

=

− ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ (2.1.1)

şeklinde tanımlı olan lineer pozitif operatörlere Szasz operatörleri denir,[10].

Teorem 2.1.1. (2.1.1) ile verilen Szasz operatörleri A∈ RI ⁺ olmak üzere [0,A] kapalı aralığında sürekli ve tüm pozitif yarı eksende de sınırlı olan f fonksiyonuna bu aralıkta düzgün yakınsar. Yani f ∈C[ A0, ] ise;

) ( )

;

(f x f x

S_n →→ , ]x∈[ A0, dir.

İspat: İspatı Korovkin teoremini kullanarak yapacağız. Bunun için öncelikle )

; (f x

S_n ’in lineer ve pozitif bir operatör olduğunu gösterelim.

Lineerlik:

R I b a ∈

∀ , ve f,g∈C[0,A] için,

( )

! ) ); (

( ) ( (

0 k

nx n bg k n af k e

x t bg t af S

k k

nx

n

∑

^∞

=

− ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

( ) ( )

! ) (

! ) (

0

0 k

nx n bg k k e

nx n af k

e ^k

k k nx k

nx

∑ ∑

^∞

=

∞ −

=

− ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

! ) (

! ) (

0

0 k

nx n g k k be

nx n f k ae

k k

nx k

k

nx

∑ ∑

^∞

=

∞ −

=

− ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

) );

( ( )

);

(

(f t x bS g t x

aS_n + _n

=

olduğundan (S ) lineer bir operatördür. _n

Pozitiflik:

N I n k=0,1,2,..., ∈ ve

] , 0 [ A

x∈ için 0

! ≥

− k k

nx x

k e n

olduğundan 0f ≥ ise 0 )

; (f x ≥ S_n

dır.

Korovkin teoremi gereğince;

i)S_n(1;x)→→1 ii)S_n(t;x)→→x iii)S_n(t²;x)→→x²

olduğunu gösterirsek S_n(f;x)→→ f(x)olduğu ispatlanmış olur. Şimdi bunları gösterelim.

(i) !

) 1( )

; 1 (

0 k

e nx x S

k k

nx

n

∑

^∞

=

= − =e^−nxe^nx Yani,

1 )

; 1 ( x =

S_n (2.1.2)

(ii)

! ) ) (

; (

0 k

nx n e k

x t

S ^k

k nx

n

∑

^∞

=

= −

0 k!

x n n e k

k k k nx

∑

^∞

=

= −

1 k!

x n n e k

k k k nx

∑

^∞

=

= −

) 1 (

)! , 1

1 (

1

1 → +

=

∑

^∞ −

=

−

− − k k

k x x e n

k

k nx k

∑

^∞

=

= −

0 !

k k k nx

k x xe n

nx nxe xe⁻

=

= x Yani;

)

; ( xt

S_n =x (2.1.3)

(iii)

! ) ) (

; (

0 2 2 2

k nx n e k

x t S

k k

nx

n

∑

^∞

=

= −

0 2 !

2

k x n n

e k ^{k k}

k nx

∑

^∞

=

= −

1 2 !

2

k x n n

e k ^{k k}

k nx

∑

^∞

=

= −

∑

^∞

=

−

− −

= −

1

1 1

)!

1

k (

k k nx

k x x n n e k

∑

^∞

=

−

− −

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

1

1 1

)!

1 ( 1 1

k

k nx k

k x x n n n e k