Çatlak Bulunan İzotropik Bir Çelik Levhada Gerilme Analizinin İncelenmesi
Bahattin İŞCAN1, Hamit ADİN2 ve Aydın TURGUT3
1Batman Üniversitesi Batman Meslek Yüksekokulu, 72060, Batman
2Dicle Üniversitesi Şırnak Meslek Yüksek Okulu, 73000, Şırnak
3Fırat Üniversitesi Müh. Fak. Makine Mühendisliği Bölümü, 23119, Elazığ bahattini@yahoo.com
(Geliş/Received: 08.02.2008; Kabul/Accepted: 18.03.2008)
ÖÖzzeett: Bu çalışmada, eksenel yüke maruz ve içinde yüke dik çatlak bulunan izotropik bir levhada gerilme analizi yapılmıştır. Çalışmada sonlu elemanlar metodu kullanılarak sayısal çözüm yapılmıştır. Çözümde SAP2000 programı kullanılmıştır. Çalışmada gerilme dağılımlarının hassasiyeti açısından levhanın boyutları küçük alınmıştır. Bu küçük levha sonlu küçük parçalara bölünüp uygulanan yük iki ayrı şiddette, tekil ve düzgün yayılı olarak uygulanmıştır. Uygulanan yükün dışında çatlak genişliği de değişken olarak alınmıştır. Levhanın malzemesi çelik olarak ele alınırken diğer parametreler değiştirilerek program çalıştırılmaktadır. Bu analizler sonucunda program, levhadaki gerilme dağılımlarını diyagram halinde vermektedir. Diyagramlardan çatlağın uç kısımlarında büyük gerilme yığılmaları olduğu görülmüştür.
Anahtar Kelimeler: Çatlak analizi, Gerilme analizi, İzotrop malzeme, Sonlu elemanlar metodu.
Stress Analysis of Izotropic Steel Plate Which Has a Crackt
Abstract: In this study,an examination of stress analysis was done on isotropic plate that has a crack in its middle. Stress analysis was doing with finite element method for numerical solution. In the solution, SAP2000 that is a packet program was used. In this study, for sensitiveness of stress distributions, small dimensions were taken for plate. This small plate was divided into finite small pieces. The applying tension load on the plate was taken as point load and disturbed load in different magnitudes with different materials like steel and cast iron with respect to different crack size. The program was running with respect to this parameter. Finally, the program was giving stress distribution on plate as a diagram. In this diagram, it was seen clearly that there was a big stress distribution at the end of crack.
Key Words : Finite element method, Isotropic material, Fracture analysis, Stress analysis.
1.Giriş
Makine ve yapı elemanları çalıştıkları ortam ve göreve uygunluk açısından farklı biçimlerde üretilirler. Özellikle şekillendirme esnasında birçok malzeme elasto-plastik davranış göstermektedir. Plastik şekil değiştirme nedeniyle makine parçalarında artık gerilmelerin ortaya çıktığı bilinmekle birlikte; artık gerilmeler, genellikle elemanın mukavemetini artırıcı yönde önemli rol oynamaktadır [1].
Bilindiği üzere, makine parçalarına yapılan yüklemenin belirli bir değerin üzerine çıkması halinde oluşan gerilmeler, malzemenin akma gerilmesi değeri üzerine çıkması halinde, plastik deformasyon başlamaktadır. Oluşan bu artık gerilmeler doğrultusunda daha uygun makine parçalarının üretimi gerçekleştirilebilir.
Mühendislik açısından büyük önem taşıyan çatlak problemleri için birçok çözüm yöntemi geliştirilmiş ve çok sayıda çözüm verilmiştir.
Birçok mühendislik probleminin elemanter mukavemette verilen formüller ile çözümü yeteri kadar istenilen hassasiyet ve doğrulukta olmayabilir veya bazen imkânsız olabilir [2].
Teorik olarak (elastisite teorisi) çözümü çok zor veya bazen mümkün olmayan problemler sayısal yöntemlerle çok kolay bir şekilde çözülebilir.
Son yıllarda karmaşık mühendislik problemleri sayısal yöntemlerin en çok aranan ve beğenilen tipi olan Sonlu Elemanlar Metodu (Finite Element Method ) ile çözülebilmektedir.
Malzeme üzerinde istenilmeden oluşan veya istenilerek yaratılan delik, çatlak, çentik gibi gerilmelerde süreksizlik gösteren bölgeler civarında gerilmelerin yüklemin tipine, şiddetine ve geometrisine bağlı olarak değiştiği ve çok
küçük bölgelerde çok büyük değerlere ulaştığı bilinmektedir [3]. Gerilme yığılması olarak tanımlanan bu yüksek gerilmeler böyle süreksiz bölgeler içeren konstrüksiyonlarda tehlikeli durumlar meydana getirebilir ve yapıyı tehlikeli duruma sokabilir. Yapının dışa karşı gösterdiği davranışlarından sorumlu olan bu yüksek gerilmelerin tanzim edilmesi ve dolayısıyla konstrüksiyonun boyutlandırılması gerekmektedir. Geometrik süreksizlik içeren bu tip yapılarda oluşan gerilmelerin ve gerilme yığılma katsayılarının elemanter mukavemet formülleri ile doğru ve sağlıklı olarak hesaplanması mümkün olmamaktadır. Bu tip problemler analitik ( teorik elastisite ) veya daha çok tercih edilen sayısal metotlarla daha kolay ve istenilen hassasiyetle çözülebilir [4].
Karmaşık geometriye ve karışık malzeme yapısına sahip olan delik, çatlak, çentik içeren mühendislik yapılarına ait problemleri teorik elastisite ile çözmek hem çok zor hem de zaman alıcı olabilir. Bu tip problemlerin çözümü için yaklaşık çözüm teknikleri adı verilen sayısal çözüm metotları ( Sonlu Elemanlar, Sonlu Farklar, Kuvvet Serileri vs. ) kullanılabilir [5].
Sonuçların deneysel çözüm metotları ile ( Straingauge, Fotoelastisite, Mohr Metodu, Elektriksel Analoji vs. ) kontrol edilmesi mümkündür.
Sayısal çözüm yöntemi olarak son yıllarda oldukça geniş uygulama alanı bulan özellikle güçlü bilgisayarların bilimsel çalışmalara girmesiyle problemlerin çözülmesinde büyük kolaylıklar sağlayan Sonlu Elemanlar Metodu(Finite Element Method) metodu kullanılmaktadır [6]. Sonlu Farklar Metodu daha eski ve güvenilir olduğu halde, Sonlu Elemanlar Metodunun tercih edilmesinin sebepleri aşağıdaki şekilde sıralanabilir;
1 – Sonlu elemanlar, boyutları ve şekillerinin esnekliği nedeniyle verilen bir cismi temsil edebilirler, hatta karmaşık şekilli bir cisim daha güvenilir olabilir.
2 – Çok bağıntılı bölgeler veya köşeleri olan bölgeler kolaylıkla incelenebilir.
3 – Değişik malzeme veya geometrik özellikler bulunan problemler ek bir zorluk göstermez.
4 – Sebep – sonuç bağıntılarına ait problemler tümel direngenlik matrisi ile birbirine bağlanan genelleştirilmiş ‘’ kuvvetler ‘’ ve ‘’ yer değiştirmeler ‘’ cinsinden formüle edilebilir [7].
İçinde delik, çatlak, çentik gibi gerilmelerde süreksizlikler meydana getiren boşluk ve kusurlar bulunan mühendislik yapılarının yük altındaki davranışlarının bilinmesi önemlidir.
Kullanıldıkları yere göre yapının boyutlandırılmasının ve malzemenin özelliklerinin belirlenmesi için süreksiz bölgeler civarında meydana gelen gerilmelerin ve gerilme yığılma katsayısının analizinin yapılması gerekli olmaktadır. Problemin teorik olarak elastisite teorisi ile çözülebilmesi mümkündür. Fakat bilgisayar kapasitesinin ve işlem hızının çok yüksek olması nedeniyle teorik olarak çözümlenmesi çok zor olan bu tip problemlerin sayısal yöntemlerle çözülmesi ve sonuçların deneysel metotlarla kontrol edilmesi mümkün olmaktadır.
2. Kırılma Mekaniği
İnsanın kırılma kavramıyla tarihin başlangıcından beri yakından ilgili olduğu bilinmektedir. Gerçekten, kırma tekniğinin ilkel araçların yapımında kullanılması uygarlığın gelişmesinde önemli bir başlangıç noktası olarak bilinir. Daha sonraları sanatçılar çanak-çömlek ve mozaik yapımında çatlaklardan süsleme unsuru olarak yararlanmışlardır. Ancak, kırılmanın mühendislik açısından önem kazanması uzun zaman almakla birlikte, hemen tüm malzemelerin kritik bir düzeyin üzerinde yüklenince kırılmaya eğilimli oldukları gerçeği mukavemet bilim dalının ilk araştırmacıları tarafından fark edilmiş ve kırılma mukavemetinin bir malzeme özelliği olması gerektiği onlara son derece mantıklı görünmüştür. Böylece ilk kırılma teorilerine temel olan kritik gerilme kavramı ortaya çıkmıştır. Bu fikir özellikle mühendisler için çok çekici görünmüştür. Bir yapı elemanında yüklemeden doğacak gerilme, kullanılan malzeme için saptanmış olan kritik gerilme sınırını geçmeyecek biçimde yapılan boyutlandırma yeterli olacaktır. Ancak, zamanla çok sayıda köprü, uçak, gemi gibi mühendislik yapısının, hesaplarında hata olmamasına karşın, yıkılıp parçalanması kritik gerilme kriterinin geçerliliği konusunda ciddi kuşkulara yol açmıştır. Malzemelerin kırılma mukavemetinin sabit olmayıp bazı durumlarda çok büyük farklılıklar gösterdiği araştırmalar sonucu
anlaşılmıştır. Sıcaklık, kimyasal çevre, yükleme hızı gibi koşulların malzemelerin mukavemetinde sistemli değişimlere yol açtığı gözlenmiştir. Bundan başka, farklı tip malzemeler tümüyle farklı biçimlerde kırılmaya uğradılar. Örneğin, çekme uygulanan cam kritik bir noktaya kadar elastik davranış gösterip aniden koparken, bir çok metallerde yırtılmadan önce büyük ölçüde plastik akma gözlenmiştir.
Bir malzemenin karakteristik bir gerilme düzeyinde kırılması gerektiği tezi fiziksel prensiplere dayanmaktadır. Deney numunesi küçüldükçe kırılma mukavemetinin belirli bir artış göstermesi bunu kanıtlamaktadır.
Kırılma, katı malzemede yeni yüzeyler oluşması anlamına geldiği için bu olayın en temel düzeydeki görünümü, malzeme içindeki atomlar arası bağların kopması biçimindedir.
Atom boyutundaki kusurlar veya boşluklar giderek büyür ve daha büyük boşlukları veya çatlakları oluşturur. Bunların büyümesi sonucunda da çok büyük yapı elemanları ikiye bölünebilmektedir. Yani kırılma, atom düzeyinde başlayıp, yapı elemanı düzeyine kadar giden karmaşık bir olaydır.Yapılan bu çalışmaya paralel olarak, öncelikle gevrek ve sünek malzemelerdeki çatlak oluşumunun incelenmesi faydalı görülmektedir.
3.Gevrek ve Sünek Malzemelerde Çatlak Oluşumu
Çatlak oluşum mekanizmalarının gevrek (brittle), yarı gevrek (quasi – brittle) ve sünek (ductile) malzemeler için farklıklar gösterdiği bilinmektedir. Gevrek malzemelerde dislokasyonlar hareketsizdir; yarı gevrek malzemelerde belirli sayıda kayma düzleminde hareketlidir; sünek malzemelerde ise tümüyle hareketli olabilir.
Gevrek malzemelerdeki kusurların önemli özelliği malzemenin mukavemetini büyük ölçüde etkilemeleridir. Bu kusurlardan önem arz edeni genel olarak malzemenin yüzeye yakın kesiminde görülmesi şeklinde ele alınabilir.
Diğer kusur olarak ele alınacak özellikler ise, gevrek malzemelerin boy ve doğrultu bakımından çok farklılık göstermeleridir. Gevrek malzemelerde en yaygın çatlak oluşum mekanizması cisim yüzeyinin sürtünme ile çizilmesidir. Böylece çizilen kısmın çevresinde
çekme etkisinde olan bir yüzey tabakası oluşur.
Bu, çatlak oluşumu için bir alt yapı hazırlamaktadır. Kritik yükleme sonucu bu bölgede hertz koni çatlağı olarak bilinen çatlaklar oluşur [8].
Yarı gevrek malzemelerde çatlak oluşmasından önce belirli ölçüde plastik akma olmaktadır. Bu tip malzemelerin mukavemeti kusur dağılımına değil, akma özelliklerine bağlıdır. Akma düzlemlerindeki kayma gerilmesi, çatlak düzlemindeki normal gerilmeden daha önemlidir. Çatlak, çekmeyle olduğu kadar basınçla da oluşabilir. Kristaller plastik şekil değiştirmelere uğrayamadıkları için bir rahatlama mekanizması olarak çatlak oluşur.
Bir kristal, akma sınırını geçen bir yükle yüklenince dislokasyon kaynakları çalışmaya başlar ve kayma gerilmesinin büyük olduğu belirli düzlemlerde kaymaya neden olur. Böylece oluşan dislokasyonlar engellerle karşılaşınca gerilme yığılmalarına yol açan dislokasyon kümeleri oluşur. Bu gerilme yığılmaları ya malzemenin plastik akmaya uğraması veya dislokasyon kümelerinin etkileşerek çatlak oluşması sonucunu doğurur.
Sünek malzemeler için plastisite en önemli etkendir. Dislokasyonlar çok sayıda düzlemde kayabildikleri gibi, bir kayma düzleminden bir başkasına da geçebilirler. Tek bir kristal alınıp iki ucuna basit çekme uygulansa, kristal, atom düzlemleri kayıp tamamen ayrılana kadar plastik şekil değiştirmeye uğrar ve hiçbir çatlak oluşmaz [9]. Pratikte bu kayma ve kopma, boyun adı verilen bölgede yoğunluk kazanır. Malzeme içerisinde çok küçük kusur elemanları varsa, yarı gevrek malzemelerde olduğu gibi, büyük gerilme yığılmaları olan kısımlarda boşluklar oluşmaktadır. Ancak, sünek malzemede boşluklardan çatlaklar oluşmaz; boşluklar arasındaki kısımlar çekme altındaki minyatür, plastik elemanlar gibi davranarak uzar ve plastik instabilite sonucu kopar. Böylece kayma ile başlayan kopma, büyük ölçüde enerji kaybına neden olan sünek bir yırtılma olayına dönüşür.
Malzemelerin sünek ve gevrek olarak sınıflandırılmaları çatlak oluşum mekanizmalarına bağlı olarak kopmadan önce önemli ölçüde plastik şekil değiştirme yapıp yapmamalarına göre olmaktadır. Pratikte basit çekme deneyinde, kopma sırasında uzama oranı
%5 den fazla olan malzeme sünek, az olanda
gevrek olarak adlandırılır [10]. Mühendislik yapılarında sünek halden gevrek hale geçiş çatlak oluşma enerjisinde azalmayla birlikte ani kopmaya yol açar. Bunun en önemli nedeni sıcaklık azalmasıdır. Dislokasyonların hareketliliği sıcaklılığa karşı çok duyarlıdır ve sıcaklılığın azalması kayma serbestliliğini büyük ölçüde azaltmaktadır. Bu nedenle çoğu katı maddeler erime noktasının hemen altına sünek olmalarına karşın, düşük sıcaklıklarda gevrek davranış gösterirler. Metallerin gevrek kırılması ise atomik bağların kopması sonucu kristal yapı düzlemlerinde doğrudan doğruya ayrılma yoluyla olur.
4. Griffith Enerji Kriteri
Malzeme bilimindeki yeni gelişmeler kırılma olayının aşamaları haklındaki bilgimizin son derece hızlı bir biçimde artmasını sağlamıştır. Bununla birlikte temel prensiplere dayanan gerçek bir bilimsel disiplin olarak, kırılma teorisinin ortaya çıkışı şaşırtıcı bir biçimde yavaş olmaktadır. Problemlerin pratik çözümlerinin çok ivedi olarak bulunması gereği araştırmacıları dar çerçevelere sokmuş, yalnızca kendi problemlerine çözüm aramış ve çoğu başka problemlere uygulanamaz, çok sayıda ampirik kırılma teorileri ortaya atılmasına neden olmuştur. Bunlar malzeme tipine ve kırılma modeli düzeyine bağlı olarak kendi doğrultularında a ilerlemişlerdir. Bu karışıklık içinde temel düzeyde bir bağ kurulmuş bulunmaktadır. Bu bağ Griffith’in 1920 yılında yayınlanan klasik makalesinde ortaya attığı, kırılmada enerji dengesi prensibidir. Griffith’in fikri son derece basittir: Bir çatlak sisteminde küçük bir değişim sırasında değişen tüm enerji terimleri hesaba katılarak çatlak uzaması için gerilme koşulları tanımlayan bir temel başlangıç denklemi yazılmaktadır [11]. Prensip, mekanik ve termodinamiğin enerji korunumu prensibinden farklı değildir. Bu doğal olarak çatlak sistemlerinin dengede veya dinamik, karalı veya karasız gibi sınıflandırılmalarını sağlar.
Griffith, gerilme uygulanan lineer elastik ve izotrop bir malzeme içindeki bir çatlağı ele alıp, klasik mekanik ve termodinamiğin temel enerji teoremlerini kullanarak çatlağın uzaması için bir kriter elde etmiştir. Griffith’in başlangıç noktası
Inglısh’in üniform çekme uygulanan bir levhada bulunan eliptik bir delik için yaptığı gerilme analizidir. İçinde eksenleri 2a ve 2b uzunluğunda (a>b) eliptik bir delikte bulunan bir levhaya elipsin uzun eksenine dik yönde üniform birσ0çekme gerilmesi uygulanmaktadır. Bu durumda gerilme, en büyük değerini,
( )
[
1 2 a/b]
0 +
=σ
σ (1)
olarak elipsin tepesinde alır. b<<a olan bir elips düşünülürse
(
a/b)
2 /σ0 =
σ (2)
olarak elde edilir. Delik inceldikçe büyüyen bu oran elastik gerilme yığılım katsayısı olarak bilinmektedir. Bu analiz keskin bir çentik veya köşede oluşan yerel gerilmelerin, uygulanan gerilmelerin birkaç katı yüksekliğinde düzeylere kadar çıkabileceğini göstermiştir. Böylece malzeme içindeki çok küçük kusurların bile malzemenin mukavemetini büyük ölçüde etkileyeceği açıkça görülebilmektedir. Ancak, gerilme yığılımı deliğin büyüklüğüne değil, biçimine bağlı olarak değişmektedir. Bu çatlaklar için geçerli değildir: Pratikte büyük çatlaklar küçüklerden daha kolay ilerler.
İçinde 2a boyunda denge durumunda bir çatlak bulunan ve dış yüzüne yükler uygulanan bir elastik cisim olsun. Bu statik çatlak sistemi için toplam enerji,
U =
(
−wL +UE)
+US (3) olarak yazılabilir. Burada WL dış yüklerin yaptığı işi, UE şekil değiştirme enerjisini US serbest yüzey enerjisini göstermektedir. Parantez içindeki terimler sistemin mekanik enerjisidir.Çatlak iki ucundan da δa kadar uzasın.
Termodinamik denge, mekanik enerji ve yüzey enerjisi terimlerinin dengelenmesiyle elde edilir.
Çatlak uzamasıyla mekanik enerji azalır. Buna karşılık yüzey enerjisi artar. Yani (3) ifadesinde birinci terim çatlak uzamasına yardım ederken ikinci terim karşı koyar. Bu, Griffith enerji dengesi kriteridir ve denge durumu,
0 da =
dU (4)
olarak verilebilir. (4) denkleminin sol tarafının negatif veya pozitif olmasına göre başlangıçta denge durumunda olan çatlak uzar veya kapanır.
Griffifth, Inglis’in analizinden yararlanabilmek amacıyla üniform çekme
altındaki bir alanda ince, eliptik bir çatlak ele almıştır. Griffifth kopmaya kadar hep Hooke yasasının geçerli olduğu bir malzeme olarak da camı seçmiştir. Ayrıca mekanik enerji terimini hesaplayabilmek için sabit yükleme durumunda geçerli olan,
E
L U
W = 2 (5) (3.5)
bağıntısını kullanılmıştır. Şekil değiştirme enerjisini Inglis’in çözümünden yararlanarak
* 2 0 2
E UE πa σ
= (6) (3.6)
olarak hesaplanmıştır. Burada σ0 çatlak düzlemine dik yönde uygulanan çekme gerilmesi, a yarı çatlak uzunluğu ve E ile ν sırasıyla elastisite modülü ve poisson oranı olmak üzere
( )
( ) ( )
= −
değeğiştir şekil
düzlem E
gerilme düzlem
E* E 2
1
/ ν
(7) biçiminde tanımlanır [12]. Birim alan için serbest yüzey enerjisi γ ile gösterilip yüzey enerjisi
γ a
US =4 (8) (3.8)
olarak yazılırsa, birim çatlak genişliği için toplam enerji
σ γ
π a
E
U a * 4
2 0 2
+
= (9) (3.9)
olarak bulunur [13]. (9) ifadesi (4) Griffith denge koşullunda yerine konursa sabit yükleme durumu için
2 /
* 1 0
2
=
a E π
σ γ (10) (3.10)
elde edilir [14]. 2
2
da U
d negatif olduğu için sistemin enerjisi denge durumunda en büyüktür ve çatlak dengesi karasızdır. Uygulanan gerilme (10) daki kritik düzeyi geçerse, çatlak hiç durmaksızın ilerler.
Griffith’in ele aldığı çatlak sisteminin çok basit ve dengede olmasına karşın, enerji dengesi prensibi, genel olması nedeniyle yaygın olarak kullanılmaktadır. Daha karışık sistemler için toplam enerji ifadesine yeni terimler eklemek veya terimlerin tanımında değişiklik yapmak yeterli olmaktadır. Tüm güvenilebilir
kırılma teorileri ya doğrudan Griffith’in kullandığı prensipten veya onun eşdeğeri olan başka bir noktadan hareket edilerek geliştirilmiştir. Griffith kriterinin genelliğine ilişkin olarak Obreimoff’un deneyi önemli bir kanıttır [15]. Obreimoff yarılmış mikanın arasına bir cam takoz yerleştirerek yaptığı deney sonucunda çatlak dengesinin kararlı olduğunu gözlemiştir. Öte yandan basit kiriş teorisi kullanılarak Greiffith kriterinin uygulaması da aynı sonucu elde etmiştir.
5. Materyal ve Metot
Bu çalışmada materyal olarak, levhanın boyutları 30 mm x 18 mm ve çatlak boyu 8 mm olarak alınmıştır. Çatlağın genişliği ise 0,5 mm olarak alınmıştır. İzotropik malzemenin Elastisite modülü 2100000 N/mm2’dir. Çatlağa dik olarak uygulanan kuvvet 150 ve 600 Newton olarak alınmıştır. Düzgün yayılı yük olarak 5 N/mm ve 20 N/mm’lik yükler çatlağa dik olarak uygulanmıştır. Materyal olarak kullanılan komplians deney numunesi şekil 1’de gösterilmiştir:
Şekil 1. Komplians deney numunesi
Önce levha sonlu elemanlar metodu (the finite elements method) ile sonlu küçük alanlara (mesh) ayrılmıştır. Bütün bu veriler kullanılarak levhanın gerilme analizi, SAP2000 programı ile yapılmıştır.
5.2. Sonlu Elemanlar Metodu
Birçok mühendislik problemi için kapalı matematiksel çözüm elde etmek mümkün olmamaktadır. Böyle bir çözüm, bir sistemde bulunması gereken bilinmeyenlerin değerlerini sistemin herhangi bir noktasında veren
matematiksel bir ifadedir. Ancak, değişik malzeme özellikleri, sınır şartları ve geometrileri içeren karmaşık problemler için yaklaşık fakat yeterli sonuçlar veren sayısal çözümlere başvurmak gerekmektedir. Sayısal yöntemlerin çoğunda çözüm, sistemin “düğüm noktaları”
olarak adlandırılan belirli noktalarında elde edilmektedir.
Yapı mekaniğinde matris yöntemleri düğüm noktalarında birleşen çubuklardan oluşan yapıların çözümlemesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu tür yapılarda düğüm
noktalarının yerlerini seçmek kolaydır. Örneğin, kirişlerin birleşme noktaları ile tekil yüklerin etkidiği noktalar düğüm noktaları olarak kabul edilirler. Fakat sürekli ortamdan oluşan yapılarda (plâk, uçak gövdesi, kabuk vb.), bir çerçeve iskeleti söz konusu olmadığından, kolayca saptanacak düğüm noktaları da bulunmamaktadır. Bu tür yapılarda yapay düğüm noktaları yerleştirilerek yapının belirli sayıda elemandan meydana geldiği kabulü yapılabilir.
Bu sonlu elemanlar iki veya üç boyutlu olabilirlerse de, genellikle iki boyutlu üçgen veya dikdörtgen elemanlar kullanılmaktadır.
Sonuç olarak, tek bir işlemde tüm yapıyı çözmek yerine, çözümler yapıyı meydana getiren her ayrı eleman için formüle edilmekte ve bir araya getirildiğinde tüm yapının davranışı elde edilmektedir. Böylelikle analiz yönteminin oldukça basitleştirilmesine karşın yapılacak işlem sayısı, esas yapıyı oluşturan sonlu eleman sayısına bağlı olarak artmaktadır ve gereken işlemler ancak bilgisayarlar ile gerçekleştirilebilmektedir.
Turner, Clough, Martin ve Topp tarafından 1956’da yazılan makale genellikle sonlu eleman yönteminin başlangıcı olarak kabul edilmektedir.
Sonlu eleman (finite element) adı ise ilk defa Clough tarafından 1960’ta kullanılmıştır.
Bugün birçok mühendislik araştırma organizasyonu ve firma, ADINA, ANSA, NASTRAN, SAP, ASKA ve ELAS gibi genel amaçlı yapı analizi programları kullanmakta ve geliştirmektedir. Bu programların kullanıcılarının herhangi bir bilgisayar programlama dili bilmeleri şart değildir; Sonlu Eleman Metodunu ve bu metodun özelliklerini bilmeleri yeterlidir. Bu makale yukarıda sayılan
hazır Sonlu Elamanlar Bilgisayar programları kullanıcılarına metodu esaslarıyla tanıtmak niyetiyle hazırlanmıştır. Dolayısıyla makale konuya ancak bir kuşbakışı sağlamaktadır ve çok gelişmiş olan sonlu eleman yöntemi hakkında yayınlanmış birçok ders kitabı da bulunmaktadır.
5.1. Metodun genel bir tanımı
Bu metotta Şekil 2’de görüldüğü gibi analizi yapılacak bir cisim, yapı veya sürekli ortam her birine eleman adı verilen sonlu (belirli) sayıda parçalara bölünür. Bu elemanlar birbirine düğüm noktaları olarak adlandırılan sonlu sayıda noktalarla bağlıdırlar. Her elemanın düğüm noktalarında bazı serbestlik dereceleri tanınır.
Eleman davranışı bu bilinmeyen serbestlik derecelerini içeren denklemlerle ifade edilmektedir. Gerek düğüm noktalarında gerekse eleman sınır yüzeylerinde bazı süreklilik şartları sağlandığında cismin veya yapının matematiksel bir modeli elde edilir. Böylece sonsuz serbestlik derecesi olan bir sürekli ortam sonlu serbestlik derecesi olan bir modele dönüştürülmektedir. Bu elde edilen modele yapının sonlu eleman ağı adı verilir.
Yapının sonlu elemanlara bölünmesinde değişik yollar kullanılır ki bu daha ziyade problemin türüne, çözümde istenilen hassasiyet derecesine ve yapılabilecek masraflara bağlıdır.
Yapı az sayıda ve büyük elemanlara bölünecek olursa (coarse mesh) bilgisayar çözümü az zaman alır, fakat sonuçlar yaklaşıktır. Çok sayıda, küçük elemanlar kullanılacak olursa (fine mesh) daha doğru sonuçlar alınır, fakat daha fazla bilgisayar masrafları gerekmektedir.
Sıklıkla kullanılan bir uygulama ise, gerilmelerin büyük olduğu kısımlarda daha küçük aralıklı elemanların diğer kısımlarda daha büyük aralıklı elemanların kullanılmasıdır (graded mesh). Şekil 3’de gerilme konsantrasyonunun fazla olduğu dairesel delik etrafında küçük ve çok sayıda, delikten uzaklaştıkça büyüyen elemanlardan meydana gelen bir ağ gösterilmektedir.
Şekil 2. Bir sürekli ortam ve sonlueleman ağı Her eleman komşusu olan diğer elemanlara gerçekte sonsuz sayıda nokta ile bağlıdır, fakat sonlu elemanlar yönteminde her elemanın sadece düğüm noktaları vasıtası ile komşu elemanlara bağlı olduğu varsayılır. Böylece deplasmanların uygunluğunun sadece bu noktalarda sağlanması yeterli olacaktır. Bununla beraber, sonlu elemanlar metodunda her eleman için bir deplasman modeli seçilir. Bu model, komşu kenarlar boyunca gerekli uygunluk şartlarının, hepsini olmasa bile bir kısmını sağlar.
Şekil 3. Sonlu eleman ağı
Burada amaç matris yöntemi ile çözüme ulaşmak olduğundan, ilk olarak düğüm noktalarındaki kuvvetler ve deplasmanlar bulunacaktır. Bunun için de sisteme etkiyen yükler yerine eşdeğer düğüm noktası yüklerinin konulması gereklidir. Yüklerin çok olduğu kısımlarda elemanlar o şekilde seçilir ki, her yükün etkidiği noktada bir düğüm noktası bulunur. Yayılı yükün bulunması halinde ise, düğüm noktalarında etkidiği kabul edilecek eşdeğer yükler hesaplanır. Bu çalışmada çeşitli kuvvetlerle çatlak eksenine paralel ve dik olan tekil ve yük uygulamalarına ilişkin elde edilen gerilme durumları aşağıdaki şekillerle gösterilebilir:
Şekil 4. Çatlağa dik 150 N’luk tekil yük uygulanması durumunda çatlak
eksenine paralel gerilmelerin grafiksel gösterimi
Şekil 5. Çatlağa dik 150 N’luk tekil yük uygulanması durumunda çatlak eksenine dik gerilmelerin grafiksel gösterimi
Şekil 6. Çatlağa dik 600 N’luk tekil yük uygulanması durumunda çatlak
eksenine paralel gerilmelerin grafiksel gösterimi
Şekil 7. Çatlağa dik 600 N’luk tekil yük uygulanması durumunda çatlak eksenine dik gerilmelerin grafiksel gösterimi
222,5
87,05 56,65
38,67 25,47
15,94 8,99 3,46 0
50 100 150 200 250
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Uzunluk (mm)
Gerilme (N/mm2)
222,5
84,37 67,01
50,37 39,53
28,84 18,82 10,36 0
50 100 150 200 250
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Uzunluk (mm)
Gerilme (N/mm2)
56,27
21,92
14,63 9,72
6,35
4,09 2,27 0,88
0 10 20 30 40 50 60
0 2 4 6 8
Uzunluk (mm)
Gerilme (N/mm2)
56,27
21,15 16,71
12,67 9,88 7,18
4,68 2,57 0
10 20 30 40 50 60
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Uzunluk (mm)
Gerilme (N/mm2)
Şekil 8. Çatlağa dik 5 N/mm’lik yayılı yük uygulanması durumunda çatlak
eksenine paralel gerilmelerin grafiksel gösterimi
Şekil 9. Çatlağa dik 5 N/mm’lik yayılı yük uygulanması durumunda çatlak
eksenine dik gerilmelerin grafiksel gösterimi
Şekil 10. Çatlağa dik 20 N/mm’lik yayılı yük uygulanması durumunda çatlak
eksenine paralel gerilmelerin grafiksel gösterimi
Şekil 11. Çatlağa dik 20 N/mm’lik yayılı yük uygulanması durumunda çatlak
eksenine dik gerilmelerin grafiksel gösterimi
6. Sonuçlar
Bu çalışmada, ortasında çatlak bulunan levhada çatlağa dik yönde tekil ve düzgün yaylı yük uygulanarak gerilme analizi incelenmiştir.
Gerilme analizinde levhanın malzemesi çelik, çatlak genişliği 0,5 mm, çatlak uzunluğu 8 mm olarak alınmıştır. Uygulanan yükler tekil olarak 150 N ve 600 N, düzgün yaylı olarak 5 N/mm ve 20 N/mm olarak alınıp, gerilme analizi yapılmıştır.
150 N’luk yük uygulandığında çatlak eksenine paralel ve dik olan gerilmelerde maksimum gerilmeler çatlak ucunda oluşmakta, hemen sonraki bölgede aşırı düştüğü ve diğer bölgelerde düzgün olarak yayıldığı görülmüştür (Şekil 4-5.). Çatlak eksenine paralel doğrultudaki gerilme dağılımının, çatlak eksenine dik dağılımına göre daha çabuk sıfıra yaklaştığı gözlenmiştir.
600 N’luk yük uygulandığında çatlak ucunda çok yüksek gerilmenin oluştuğu saptanmıştır. Çatlak ucundan hemen sonraki bölgede gerilmenin aşırı düştüğü, diğer bölgelerde düzgün yayıldığı görülmüştür (Şekil 6-7). Bu kuvvet uygulamasında da çatlak eksenine paralel doğrultudaki gerilme dağılımının, çatlak eksenine dik dağılımına göre daha çabuk sıfıra yaklaştığı gözlenmiştir.
5 N/mm’lik düzgün yayılı yük uygulandığında maksimum gerilmelerin çatlak ucunda oluştuğu saptanmış olup, hemen sonraki bölgede aşırı düştüğü izlenmiştir (Şekil 8-9).
Çatlak ucunda tekil yüke göre (150 – 600 N) yarısı kadar gerilme olduğu görülmüştür. Şekil 8’de görüldüğü gibi, gerilmenin çatlak ucundan uzaklaştıkça yavaş yavaş sıfıra doğru gittiği tespit edilmiştir.
20 N/mm’lik düzgün yayılı yük uygulamasında ise 5 N/mm’lik uygulamaya benzer şekilde maksimum gerilmelerin çatlak ucunda oluştuğu gözlenmiştir. Bununla birlikte çatlak ucundaki hemen sonraki bölgede de aşırı bir düşüş kaydedilmiştir. Çatlak ucundan uzaklaştıkça gerilme değerinin çok yavaş düşerek sıfıra doğru gittiği saptanmıştır (Şekil 10-11).
Bu çalışmada sonuç olarak, çelik levhada çatlak genişliği sabit tutulup, 150 N’luk tekil yük ve 5 N/mm’lik düzgün yayılı yük uygulanmıştır.
150 N’luk tekil yük uygulandığında çatlak
23,48
10,56 8,53
7,16 6,25 5,56 4,93 4,34
0 5 10 15 20 25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Uzunluk (mm)
Gerilme (N/mm2)
23,48
9,24
7,64 6,41 5,76 5,43 5,23 5,11
0 5 10 15 20 25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Uzunluk (mm)
Gerilme (N/mm2)
94,23
42,73 34,21
28,68 25,02 22,24 19,76 17,42
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Uzunluk (mm)
Gerilme (N/mm2)
94,23
36,59 30,58
25,64 23,09 21,71 20,92 20,45
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Uzunluk (mm)
Gerilme (N/mm2)
ucunda oluşan gerilme, 5 N/mm’lik düzgün yayılı yük uygulandığında çatlak ucunda oluşan gerilmenin yaklaşık olarak 2 katı kadar meydana geldiği görülmüştür. Tekil yük uygulandığında gerilmenin çatlak ucundan uzaklaştıkça, düzgün yayılı yükün uygulandığı durumdan daha fazla azaldığı görülmüştür. Aynı şartlarda uygulanan tekil ve düzgün yayılı yükün etkisi artırıldığında (600 N ve 20 N/mm) aynı sonuç elde edilmiştir.
7. Kaynaklar
1. Zienkiewicz, D.C. (1979). The Finite Element Method. Mc. Graw – Hill Book Company, New York, 54.
2. Turgut, A. (1986). Rijit bir mesnede yapıştırılmış çekmeye maruz sonlu bir şerit problemin çözümü. Doktora tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 11-18s.
3. Rao, S.S., (1982). The Finite Element Method in Engineering. Printed in Great Britain, England, 79.
4. Turgut, A., (1996). Sonlu elemanlar metodunun temelleri. Fırat Ü. Müh. Fak. Makine Müh. Böl.
Yüksek lisans programı ders notları, Elazığ.
5. Geçit, M.R., and Turgut, A. (1988). Extension of a finite strip bonded to a rigitsupport.
Computational Mechanics, 20 (2), 85-96.
6. Tian, Z.S. (1990), A study of stress concentrations in solids with circular holes by
three dimensional special hybrid stress finite elements. Journal of Strain Analysis 12 (3), 45- 59.
7. İşcan, B. (2001). Eksenel Yüke Maruz ve İçinde Yüke Dik Çatlak Bulunan İzotropik Bir Levhada Gerilme Analizinin İncelenmesi. Yüksek Lisans Tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 46.
8. Lawn,B. R., Wilshow,T.R. (1975). Fracture of Brittle Solid. Cambridge University Press, London, 259.
9. Inglis, C.E. (1913). Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Trans. Inst.
Naval Archit., (55), 219.
10. Peterson, R.E. (1974). Stress Concentration Factors. Wiley, New York, 296.
11. Griffith, A.A. (1920). The phenomena of rupture and flow in solids. Phil. Trans. Roy. Soc. London A, (221), 163.
12. Griffith, A.A. (1924). The theory of rupture.
Proc. 1st Int. Cong. Appl. Mech., Delft, 55.
13. Sih, G.C., Liebowitz, H. (1967). On the griffith energy criterion for brittle fracture. Int. J. Solids Structure, (3),1.
14 Sih, G.C., Liebowitz, H. (1968). Mathematical Theroies of Brittle Fracture. Fracture, Vol.2, H.
Liebowitz, ed., Academic Press, New York, 125.
15. Obreimoff, J.W. (1930). The splitting strength of mica. Proc. Roy. Soc. London, Series A, (127), 290.
