{ } ( ) ( ) 3. β = (x,y) : y - x = 1, x,y R bağıntısı Aşağıdaki sayılardan hangisi asal alabilir?

(1)

1.

Aşağıdaki sayılardan hangisi asal alabilir?

A) 5!+7! B) 2 -1 C) 54321 D) ⁷ 3 -1 E⁷ ) 12357 Çözüm:

A seçeneği:

( )

5! + 7! = 5! 1+ 6.7 = 5!.43

5!.43 sayısı 5! ile bölünür.O halde asal değildir.

B seçeneği:

2 -1= 128-1= 1277

127 kendisi hariç hiçbir sayıya bölünmez.

Asaldır.

C seçeneği:

54321 sayısının rakamları toplamı 15 tir.15 sayısı 3 ile bölünür. O halde asal değildir.

D seçeneği:

3 -1= 2187-1= 21867

2186 sayısı 2 ile bölünür.Asal değildir.

E seçeneği:

12357 sayısının rakamları toplamı 18 dir.18 sayısı 3 ile bölünür.O halde asal değildir.

Yanıt:B

2.

xoy=x+y+xy, x, y R işlemi için aşağıdaki ö-∈ nermelerden hangisi doğrudur?

A) Değişmeli değildir.

B) R kümesi işleme göre kapalı değildir.

C) Her elemanın tersi vardır.

D) Birim (etkisiz) eleman vardır.

E) Birleşme özelliği yoktur.

Çözüm:

e etkisiz eleman olduğuna göre,xoe=x olmalı- dır.

xoe=x+e+xe→ x=x+e+ex

e(1+x)=0→ 0 →

e = e = 0

1+ x

Đşlemin etkisiz(birim) elemanı vardır.

Yanıt:D

3. β = (x, y) : y - x = 1 , x, y R bağıntısı...

{

^∈

}

A) Simetriktir

B) Geçişkendir C) Yansıyandır

D) Ters simetriktir E) Fonksiyon değildir Çözüm:

y - x = 1 ifadesi x=0 için y= ±1 dir. Tanım kümesin- deki bir eleman,değer kümesinde iki farklı ele- mana gidemeyeceğin- den bağıntı bir fonksiyon değildir.

Yanıt:E

4.

Bir A cümlesinin 3 ten az elemanlı alt cümleleri- nin sayısının 29 olması için, A kaç elemanlı ol- malıdır?

A) 10 B) 8 C) 7 D) 12 E) 15 Çözüm:

s(A)=n olsun. A kümesinin 3 ten az elemanlı alt kümesinin sayısı;

     

     

     

n n n

C + C + C = 29

0 1 2

n! n! n!

+ + = 29

(n- 0)!.0! (n-1)!.1! (n- 2)!.2!

n!

(n-1)!

.1+

.n (n-1)!

(n- 2)!

.1+

.(n-1).n (n- 2)!

→ ²

.1.2 = 29 (n-1)n

1+ n+ = 29 n + n- 56 = 0 2

n = 7

Yanıt:C

5.

(

^{3a 03}

) (

₄= 140a olabilmesi için a ne olmalıdır.

)

₅

( 4 ve 5 taban gösterir.) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

(2)

Çözüm:

→

3 2 1 0 3 2 1 0

3.4 + 4 .a + 0.4 + 3.4 = 1.5 + 4.5 + 0.5 + 5 .a 15a = 30 a = 2

Yanıt:B

6.

2 2 2 2

y = ax + bx + c ve y = ax + dx + e kesişirlerse, aralarında kalan düzlemsel S bölgesi aşağıdaki özelliklerden hangisini taşır?

A) Konvekstir.

B) Konveks değildir.

C)

( )

 

 

 

 

 

2 2

(x, y) : y - x + bx + c > 0 S =

y - ax + dx + e < 0

D)

( )

 

 

 

 

 

2 2

(x, y) : y - x + bx + c > 0 S =

y - ax + dx + e > 0 E) S = (x, y) : (b- d)x + c - e < 0

{

² ²

}

Çözüm:

a=2,b=8,c=1,d=1 ve e = 2 2 o- larak alınmasıyla parabol denklemleri,

y = 2x + 8x + 1 ve2 y = 2x + x + 8² halini alır.

Parabollerin kesim noktası A olsun. Ortak çözümden A(1,11) olarak bulunur.

Đki parabol tek noktada kesişti- ğinden,

“…. kesişirlerse, aralarında kalan düzlemsel S bölgesi aşağı- daki özelliklerden hangisini ta- şır?” şeklinde bir ifade bahis mevzuu olamaz.Soru hatalıdır.

Yanıt:Yok

7.

3 3 3

2 a a a... - a a a... = 6 , a R ∈ ⁺ ise a nin değeri nedir?

A) 4 B) 8 C) 3 D) 12 E) 2 Çözüm:

3 3 3

2 a a a... - a a a... = 6 2 a a a... - a a a... = 6

→

→ →

3-1 2-1

2

1 2

2 a - a = 6 2a- a = 6

2a- 6 = a 4a - 24a + 36 = a a = 4,a =9 4 Yanıt:A

8.

A=

{

x : 1< x + 2

( )

²^≤9 cümlesinde A nın ...

}

A) Çözüm cümlesi

{

x + 2 > 3^∪x + 2 < 1 dir.

}

B) Çözüm cümlesi

{

x + 2 < -3^∩x + 2 < -1 dir.

}

C) En küçük elemanı yoktur.

D) En büyük elemanı vardır.

E) Çözüm kümesi boş kümedir.

Çözüm:

( )

²^{≤ →} ^≤

1< x + 2 9 1< x + 2 3

I.

{ }

( ) ( )

∪

→ →

∧ ∪

x + 2 > 3 x + 2 < 1 x + 2 > 0 ise x + 2 = x + 2

x + 2 > 3 x > 1 x + 2 < 1 x < -1 x + 2 < 0 ise x + 2 = -(x + 2)

-(x + 2) > 3 -5 > x - (x + 2) < 1 -3 < x -5 > x x > 1 -3 < x < -1

Yukarıda bulunan bağıntı sınırları içinde kalan x değerleri 1< x + 2≤3 eşitsizliğini sağlamaz.

II.

{ }

( ) ( )

∩

→ →

∧ ∩

x + 2 < -3 x + 2 < -1 x + 2 > 0 ise x + 2 = x + 2

x + 2 < -3 x < -5 x + 2 < -1 x < -3 x + 2 < 0 ise x + 2 = -(x + 2)

-(x + 2) < -3 1< x -(x + 2) < -1 -1< x x < -5 -1< x -3 < x < -1

Yukarıda bulunan bağıntı sınırları içinde kalan x değerleri 1< x + 2≤3 eşitsizliğini sağlamaz.

III.

( ) ( )

≤

→ ≤ → ≤

∧ ∧ ≤ ≤

1< x + 2 3

x + 2 > 0 ise x + 2 = x + 2

1< x + 2 -1< x x + 2 3 x 1 x + 2 < 0 ise x + 2 = -(x + 2)

1< -(x + 2) x < -3 - (x + 2) 3 -5 x -1< x x < -3 -5 x 1

Yukarıda bulunan bağıntı sınırları içinde kalan x

(3)

değerlerinden -5,-4, 0 ve 1 olanlar

≤

1< x + 2 3 eşitsizliğini sağlar.

A seçeneği:

I. şıktan dolayı çözüm cümlesi

{

x + 2 > 3^∪x + 2 < 1 ifadesi olamaz.

}

B seçeneği:

II. şıktan dolayı çözüm cümlesi

{

x + 2 < -3^∩ x + 2 < -1 ifadesi olamaz.

}

C seçeneği:

En küçük elemanı -5 tir.

D seçeneği:

En büyük elemanı 1 dir.

E seçeneği:

III. şıktan dolayı çözüm kümesi boş küme değil- dir.

Yanıt:D

9.

[ ]

p f(x) = xf(x + 1) ve f(x) = lnx ise,

p p(lnx) aşağıdakilerden hangisine eşit olur?

A) ln(x + 1).ln(x + 2) B) x.ln(x + 2) C) (x + 1).ln(x + 2) D) ^{x.ln x + 2}

( )

^x+1

E) (x + 2).ln(x + l)^x Çözüm:

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] ( )

→

x+1

p f(x) = xf(x + 1) p(lnx) = xln(x + 1) p p(lnx) = p xln(x + 1)

p p(lnx) = p xf(x + 1)

p xf(x + 1) = p x(x + 1)f(x + 2) p xln(x + 1) = x(x + 1)ln(x + 2) p xln(x + 1) = xln x + 2 p p(lnx) = xln x + 2

Yanıt:D

10.

Aşağıdakilerden hangisi A(2,-3) ve B(-1,3) nok- tasından geçen doğrunun denklemi değildir?

A) x + 1 y - 3

1 2 = 0 B)

x y 1

2 -3 1 = 0 -1 3 1 C) x - 2 y + 3

-3 6 = 0 D) y=-2x+1

E) y + 3 x - 2 6 = -3

Çözüm:

A(2,-3) ve B(-1,3) noktalarından geçen doğru denklemi;

→

A A

A B A B

x - x y - y x - 2 y - (-3)

= =

x - x y - y 2- (-1) -3- 3 y = -2x + 1

A seçeneği:

x + 1 y - 3 1 2 = 0

2(x + 1)-1(y - 3) = 0 y = 2x + 5

B seçeneği:

x y 1

2 -3 1 = 0 -1 3 1

-3x + 6- y - (3 + 3x + 2y) = 0 y = -2x + 1

C seçeneği:

x - 2 y + 3 -3 6 = 0

6(x - 2)- (-3)(y + 3) = 0 y = -2x + 1

D seçeneği:

y=-2x+1 E seçeneği:

y + 3 x - 2 6 = -3 6(x-2)=-3(y+3) y=-2x+1

Yanıt:A

(4)

11.

Şekle göre, A(2,3),B(1,-3), C(3,4),BD = 2 DA ve

DE = EC olursa, E nokta- sının ordinatı ne olur?

A) 0 B) 5

2 C) 3

2 D) 7

2 E) 3 Çözüm:

BK = KD = DA alınırsa;











A K

D

K D

D

D B

K

D K

y + y

y = 2

3 + y

y = 2 y = 1

y + y

y = 2

y + (-3)

y = 2

→ →

D C

E E E

y + y 1+ 4 5

y = y = y =

2 2 2

Yanıt:B

12.

x

2

-x

AF = e FB =2

e BD = lna DC = e EC = e AE = lna

ABC üçgeninde

[ ] [ ]

AD , BE ve CF kesişen doğ-

[ ]

rulardır. Üçgenin kenar uzunlukları şekilde belir- tilenler kadar olduğuna göre x in değeri aşağı- dakilerden hangisine eşittir?

A) 0 B) lne C) 1

lne D) lna E) 1 lna

Çözüm:

→ _-x² ^x

BD EC AF lna e e

. . = 1 . . = 1

DC AE FB e lna 2

e

2 lna ^x e

.e .lna →

→ →

x

e .e 2x+2

. = 1 e = 1

2

(2x + 2)lne = ln1 2x + 2 = 0 x = -1 Đhtar:

→

1 -1 1

ln = lne = -1lne ln = -1

e e

O halde 1

x = ln e dir.

Yanıt:C

13.

z = 3 3 - 3i karmaşık (kompleks) sayısı için z nedir? 6

A) 36 B) ³ -36³ C) 36 .i ³ ³ D) -36 .i ³ ³ E) 0

Çözüm:

( )

z = z cosθ + isinθ

kutupsal biçimde verilen karmaşık sayının n’inci kuvveti aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır.

( ) ( )

( )

 

 

→

→ →

n n

2 2

z = z cos nθ + isin nθ z = a+ bi z = a + b

z = 3 3 + 3i z = 3 3 + 3 z = 6

( ) ( )

[ ]

→ →

 

 

 

 

 

 

 

 

→ →

0

n n

6 6 0 0

6 6 6 6 6 3

b 3 3

tgθ = = - tgθ = - θ = 330

a 3 3 3

z = z cos nθ + isin nθ z = z cos 6.330 + isin 6.330 z = 6 cos1980 + isin1980 z = 6 cos180 + isin180

z = 6 -1- 0.i z = -6 z = -36

Yanıt:B

14.

A = (x, 2, 0) , r r

B = (1, y, 0) , r

C = (-2, 0, x + y) vektörleri doğrusal bağımlı ise, x ile y arasındaki bağıntı ne olur?

A) (x+y)(xy+2)=0 B) (x-y)(xy+2)=0 C) (x+y)(xy-2)=0 D) (x-y)(xy-2)=0 E) x - y = 0 ² ²

(5)

Çözüm:

→

1 1 1

2 2 2

3 3 3

A B C x 2 0

A B C = 0 1 y 0 = 0

A B C -2 0 x + y

( )

[ ]

1 2 3 2 3 1 3 1 2

3 2 1 1 3 2 2 1 3

A * B * C + A * B * C + A * B * C

- A * B * C + A * B * C + A * B * C = 0 xy(x + y) + 0 + 0 - 0 + 0 + 2(x + y) = 0

(x + y)(xy - 2) = 0

Yanıt:C

15.

Bir genel çokgen ancak 15 elemanla tek olarak belirtilebildiğine göre, kenar sayısı en az kaçtır?

A) 12 B) 11 C) 6 D) 7 E) 9 Çözüm:

n kenarlı bir konveks çokgenin çizilebilmesi için en az (2n-3) elemanı verilmelidir.Buna göre;

2n-3=15→ n=9

Yanıt:E

16.

 

 

 

f(x) = tg πcosx

2 ise,  

′   f π

3 ün değeri ne olur?

A) π- 3 B) π 3

- 2 C) π 3 2 D) π 3 E) π2 3

Çözüm:

 

 

 

f(x) = tg πcosx 2

    

     

 

   

     

   

     

       

  

 

   

  

 

     

       

 

   →  

     

     

π π

π π π π π

π π π

π

2

f '(x) = 1+ tg cosx (-sinx)

2 2

f ' = 1+ tg cos -sin

3 2 3 2 3

1 3

f ' = 1+ tg . -

3 2 2 2 2

3 3

f ' = 2 - f ' = -

3 4 3 2

Yanıt:B

17.

Şekilde verilen ABC üçgeninde,

[ ] [ ]

AD , DE ve

[ ]

^{DF açı}

ortaylar olduğuna göre aşağıdakiler- den hangisi DE

DF nin değerini verir?

A)

0

sin10

sin20 B)

0

sin70

sin50 C)

0

cos70 cos50 D)

0 0

cos10 cos20 E)

0 0

sin70 cos50 Çözüm:

Problem verilerinden faydalanarak yarıdaki açı değer- leri elde edilebilir.

AFD ve AED üçgen- lerinde sinüs teo- reminin uygulan- masıyla;

( )







0 0 0

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

DF AD

= DE sin100

sin30 sin100

DF =sin110

DE AD

sin30 =sin110 sin100 = sin 90 + 10

sin 90 + 10 = sin90 cos10 + sin10 cos90 sin100 = cos10

( )

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

sin110 = sin 90 + 20

sin 90 + 20 = sin90 cos20 + sin20 cos90 sin110 = cos20

0

DE cos10 DF =cos20

Yanıt:D

(6)

18.

Şekilde, AD doğrusu merkezi O ve yarıçapı a olan çembere A nokta- sında teğettir.

AB = AD = x ise, x in değeri ne olmalıdır?

A) a B) a 2 C) 3a

2 D) a 3 E)

(

^{5 -1}

)

^a₂

Çözüm:

Teğet değme nok- tasında çapa dik- tir.

( )

⁰

m OA D = 90 OB = OA oldu- ğundan BOA üçgeni ikizkenar üçgendir. BAD üçgeni de ikizkenar üçgen olduğundan bu üç- gen için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.

→

0 0 0

3θ + 90 = 180 θ = 30

O halde OAD üçgeni bir açısı 30 olan dik üç-⁰ gen olup,OD = 2a dır.

( )

2 2 2→ 2 2 2

AD = OD - OA x = 2a - a x = a 3 br

Yanıt:D

19.

Verilen şekil için NF 2 NL =3 ve FK = 5 ise, N noktasının geometrik yeri olan koniğin yarı asal ekseninin uzunluğu ne o- lur?

A) 30

13 B) 27

10 C) 6 D) 4 E) 27 26 Çözüm:

Bir düzlemde sabit bir noktaya uzaklı- ğının, sabit bir doğ- ruya uzaklığına oranı sabit bir pozitif gerçel sayıya eşit tüm N noktala- rının oluşturduğu kümeye konik denir.Koniklerde dışmerkezlik

e =NF

NL olup;

e<1 ise konik bir hiperbol e=1 ise konik bir parabol e<1 ise konik bir elips olma zorunluluğu vardır.

Problemde NF 2

NL =3 olup e < 1dir. O halde N noktasının geometrik yeri bir elipstir. Şekilde;

→ →

OA = a, OF = c dir.

c 2 c 2

e = e = =

a 3 a 3

FK = 5 idi.A noktası elips üzerinde olduğundan

AF → AF 2

= e =

AK AK 3şartını sağlar.

AF 2→ AF 2

= =

AK 3 KF - AF 3

→





AF 2

= AF = 2

5- AF 3

AF = OA - OF = a- c a- c = 2

a = 6

c 2

a=3

Yanıt:C

20.

Aşağıdakilerden hangisi ^ln3

∫

^x

1

xe dx eşittir?

A) 3ln3 B) 3+ln27 C) -3+ln27 D) ¹

(

^{3ln3- e}²

)

2 E) ¹^_^{3 ln3}

( )

²^{- e}^_

2 Çözüm:

∫

ln3 x

1

xe dx

Kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak;

→

x x

e dx = du e = u x = v dx = dv

{

∫

^x

∫

^x ^x ^x ^x

x ln3 ln3 1 ln3 ln3

1

ln3 3

3

vu- udv = xe - e dx = xe - e = e (x -1) e (x -1) = e (ln3 -1)- e (1-1) = ln3e - e - 0

= e (ln3-1) = 3ln3- 3 = ln3 - 3 = -3 + ln27

Yanıt:C

(7)

21.

Aşağıdakilerden hangisi x=2 de sürekli değildir?

A)







x2 , x < 2 y = 2x , x = 2 4 , x > 2

B) 

 ²

x + 1 , x > 2

y = x -1 , x < 2

C) 

 ≤

 ²

2x -1 , x > 2

y = x -1 , x 2 D)  

 

 

y = sin 2x -π

2

E)  

 

 

y = cos 2x -π 2 Çözüm:



 ²

x + 1 , x > 2 y = x - 1 , x < 2

fonksiyonu, x=2 için tanımlı olmadığından sü- rekli değildir.

Yanıt:B

22.

Şekilde verilen eğri, aşağı- daki fonksiyonlardan han- gisinin grafiği olabilir?

A) y = x - x - x + 2 B) ² ² y = x - x - 2 ²

C)







x2 , x < 1 y = 1 , x = 1 x - 2 , x > 1

D)  ≤



x2 , x 1 y = x + 2 , x > 1

E)



 

   



 π

2

x , x < 1 y = sin x , x = 1

2

x , x > 1

Çözüm:

1.yol:

Problem kıstaslarına uygun biçimde,x’e çeşitli değerler verilerek elde edilen y değerleri ile x ve y nin bu değerleri dikkate alınarak çizilen A,B,C,D, E seçeneklerine ait grafikler aşağıda- dır. C seçeneğine ait grafiğin, problemde verilen grafik ile birebir eşleştiği görülür.

2.yol:

Grafik üzerinde seçilen x değerleri ile x’in bu değerleri dikkate alınarak seçeneklerdeki fonk- siyonlar vasıtasıyla hesaplanan y değerlerini gösteren tablolar aşağıdadır.

A seçeneği

x y Yorum

0 -2 Grafikle uyumsuz 1 -1 Grafikle uyumsuz

2 0 Grafikle uyumlu

B seçeneği

x y Yorum

0 -2 Grafikle uyumsuz

1 0 Grafikle uyumsuz

C seçeneği

x y Yorum

0 0 Grafikle uyumlu

1 1 Grafikle uyumlu

2 0 Grafikle uyumlu

D seçeneği

x y Yorum

0 0 Grafikle uyumlu

1 1 Grafikle uyumlu

(8)

E seçeneği

x y Yorum

0 0 Grafikle uyumlu

1 1 Grafikle uyumlu

Yanıt:C

23.

Bir torbada, üzerlerinde 1 den 12 ye kadar sayı- lar yazılı 12 tane kırmızı ve 12 tane beyaz top vardır. Beyaz ye kırmızı birer top çekince üzerle- rindeki sayıların toplamının 10 olma ihtimali nedir?

A) 1

16 B) 6

23 C) 1

2 D) 18

2 E) 3 92 Çözüm:

12.12=144 değişik durum söz konusudur.Bu de- ğişik durumlar içinde toplamları 10 eden du- rumların sayısı;

(1+9),(2+8),(3+7),(4+6),(5+5),(6+4),(7+3),(8+2), (9+1) olmak üzere 9 adettir.

9 1

144=16

Yanıt:A

24.

Terimleri birer matris olan geometrik bir dizinin ilk terimi  

 

 

1

-2 3

a = 3 -4 ve ortak çarpan matris

 

 

 

3 1

r = 0 2 ise, r a aşağıdakilerden hangisine ³ ₁ eşittir?

A)  

 

 

-54 54

0 -32 B)  

 

 

-27 27

0 -16 C) 

 

 

3 5

24 -32

D)  

 

 

3 -5

24 32 E)  

 

 

27 -27 0 16 Çözüm:

     

     

     

a b e f ae + bg af + bh c d g h = ce + dg cf + dh

     

     

     

     

     

     

     

     

     

2

3

3 1

3 1 3 1 9 5

r = =

0 2 0 2 0 4

9 5 3 1 27 19

r = =

0 4 0 2 0 8

27 19 -2 3 3 5

r .a = =

0 8 3 -4 24 -32

Yanıt:C

25.

Aşağıdakilerden hangisi

2 3 n

2 2 2 2

1+ + + + ...+

1! 2! 3! n!

toplamına eşittir?

A) e B) e C) ² 2 e D) ⁿ

∑

∞ ^k k =n+1

e- 12

k!

E)

∑

∞

2 k

k =n+1

e - 12

k!

Çözüm:

Taylor serisinde e üstel fonksiyonu ,aşağıdaki ^x biçimde tariflenmiştir;

2 3 n

x

2 3 n

2

x x x x

e = 1+ + + + ...+

1! 2! 3! n!

Bu bağıntı x = 2 için;

2 2 2 2

e = 1+ + + + ...+

1! 2! 3! n!

şeklini alır.

Yanıt:B

26.

 

→   →

π 1

f : x sin x g : x

2 x + 1, (-1 x≤ ≤1) ise

(

f og (1) aşağıdakilerden hangisine eşittir? ^-1

)

A) 3 B) 1

3 C) 1

2 D) 2 E) 1 2 Çözüm:

Ters fonksiyonu bulmak için y yerine x,x yerine f (x) yazılmalıdır. -1

(9)

( ) ( )

 →  

   

   

→

π π

π

π π

-1

-1 -1

0

-1 -1

0

y = sin x x = sin f (x)

2 2

2arcsinx arcsinx = f (x) f (x) =

2

1 1

2arcsin 2arcsin

x + 1 2

f og (x) = f og (1) =

60 1

f og (1) = f og (1) = 3 180

Yanıt:B

27.

38 in hangi tabandaki karşılığı 123 tür?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Çözüm:

A seçeneği

(

123

)

5= 1.5 + 2.5 + 3.5 = 25 + 10 + 3 = 38 ² ¹ ⁰ B seçeneği

(

¹²³

)

₄= 1.4 + 2.4 + 3.4 = 16 + 8 + 3 = 27 ² ¹ ⁰ C seçeneği

(

123

)

3= 1.3 + 2.3 + 3.3 = 9 + 6 + 3 = 18² ¹ ⁰ D seçeneği

(

123

)

2= 1.2 + 2.2 + 3.2 = 4 + 4 + 3 = 11 ² ¹ ⁰ E seçeneği

(

123 = 1.1 + 2.1 + 3.1 = 1+ 2 + 3 = 6

)

1 ² ¹ ⁰

Yanıt:A

28.

2- 1 = a

2- 1 2- 1

2- 1 2- ...

şeklinde gösterilen sonsuz kesrinin değeri nedir?

A) 5

4 B) 4

3 C) 1 D) 3

2 E) -3

Çözüm:

→ ² →

2-1= a a - 2a+ 1= 0 a = 1 a

Yanıt:C

29.

2 2

y = x - x - x in

[

0, 3 aralığındaki en küçük

]

değeri nedir?

A) 0 B) -1 C) 1

-4 D) 1

-8 E) -3

Çözüm:

Yandaki şekilde

2 2

y = x - x - x fonksiyonuna ait grafiğin

[

^{0,3 ara-}

]

lığındaki bölümü görülmektedir.

Grafiğin ^{x = 0,1}

[ ]

aralığındaki bö- lümü, kolları yuka- rı doğru olan bir parabol belirtir.

Problemde aranan, parabolün tepe noktası o- lan T nin ordinatıdır.

Kolları yukarıya doğru olan parabolün denklemi y = ax + bx + c şeklindedir. x’e 2

[ ]

0,1 aralığında çeşitli değerler verilerek y değerleri, x ve y nin bu değerlerinden yararlanarakta a,b,c değerle- ri bulunabilir.

( )







2

y = ax + bx + c 0 = a.0 + b.0 + c

0 = a. 0, 5 + b.0, 5 + c a = 2,b = -1,c = 0 1= a.1 + b.1+ c

O halde parabol denklemi,y = 2x - x dir. ² Tepe noktasının ordinatı ise;

x 0 0,5 1

y 0 0 1

(10)

→ →

2 2

4ac-b 4.2.0 - (-1)1 1

k = k = k = -

4a 4.2 8

Yanıt:D

30.

∫

²

lnx t

1

f(x) = e dt ise f '(e) nin değeri ne olur?

A) e B) 1

3 C) e+1 D) -1 E) 1 Çözüm:

[ ] [ ]

∫

g(x)

h(x)

f(x) = f(t)dt ise f '(x) =f g(x) g'(x)- f h(x) h'(x) Problemde;

g(x)=lnx→ 1

g'(x) =

x , h(x)=1→ h'(x) = 0

t2

f(t) = e dir.

[ ] [ ]

( )^lnx² ¹ → (^lne)² ¹

f '(x) = f g(x) g'(x)- f h(x) h'(x) = f(lnx).1- f(1).0 x

1 1 1

= e . - e .0 f '(e) = e . - e .0 = e. - 0 = 1

x x e

Yanıt:E

31.

a pozitif terimli yakınsak bir dizinin genel terimi n

ve a a - 4 = 3a ise, _n _4n _2n a nin limiti nedir? _n

A) 1

2 B) 1

4 C) 2 D) 4 E) -1 Çözüm:

( )

an yakınsak dizinin limiti a gerçel sayısı ise, dizinin tüm

( )

akn alt dizileride yakınsak ve limiti a olur. Yani;

→∞ →∞ →∞

→

4n 2n n

n n n

n 4n 2n

2

1 2

lima = lima = lima = a a a - 4 = 3a a.a- 4 = 3a a - 3a- 4 = 0 a = -1,a = 4

Yakınsak bir dizide a≥0 olacağından a=4 Yanıt:D

32.

∑∑

⁴ ³

j=1 i=0

(3i- 2j + 1) toplamının değeri nedir?

A) -1 B) 5 C) 10 D) 11 E) 8

Çözüm:

( )

[ ] [ ]

∑

∑ ∑ ∑

4

j=1

4 4 4

j=1 j=1 j=1

(3.0 - 2j + 1) + (3.1- 2j + 1) + (3.2 - 2j + 1) + (3.3 - 2j + 1)

= -8j + 22 = -8 j + 22

4 + (4 + 1) 4 + (4 + 1)

= -8. + 4.22 = -8. + 4.22

2 2

= -80 + 88 = 8

Yanıt:E

33.

→

 

 

 

π

2 2

2 x 2

sin x - 2x

lim cos x nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) -2 B) 2 C) -1 D) 1 E) Limiti yoktur Çözüm:

→

 

 

  →

π

π belirsizliği vardır.

2 2

2 x 2

sin x - 2x lim 0

0 cos x

L’Hospital kuralının (Pay ve paydanın türevi) uygulanmasıyla;

→ →

 

 

 

π π

2 2

x x

2 2

2x 8x

sin x - - sin2x

lim = lim

sin2x cos x

→π π

4- 0

x için fonksiyon şeklini alır.

2 0

Problemin çözümü için sağdan ve soldan limit- lere bakmak faydalı olabilir.

−

  −

→  

    

     ∞

  

 

π

π π π

- π

- 2 2

-

x 2

8. 2

8x- sin2x - sin2. 4- 0

lim = 2 = = -

sin2x 0

sin2.

2

+

  +

→  

    

   

  ∞

  

 

π

π π π

+ π

+ 2 2

+

x 2

8 2

8x- sin2x - sin2 4- 0

lim = 2 = = +

sin2x 0

sin2 2

(11)

Sağdan ve soldan limit değerleri farklı olduğun-

dan

→

 

 

 

π

2 2

2 x 2

sin x - 2x

lim cos x ifadesinin limiti yoktur.

Yanıt:E

34.

Aşağıdakilerden hangisi 1₂ 1 1

+ + = 0

3x 6

8x denk-

leminin büyük köküdür?

A) 3

-2 B) 1

-2 C) -1 D) 1

2 E) 1 Çözüm:

→

2

2 2

1 1 1 3 + 8x + 4x

+ + = 0 = 0

3x 6

8x 24x

→

2

1 2

1 3

4x + 8x + 3 = 0 x = - , x = -

2 2

1 3

x = - > x = -

2 2

Yanıt:B

35.

x -1= 0 denkleminin köklerinden biri 3 a( 1) ol-≠ duğuna göre, a - 3a + 2a- 4 ifadesinin değeri ³ ² ne olur?

A) 0 B) 5a-8 C) 5a+8 D) -5a E) 5a Çözüm:

( )

^→ ^→

→ →

3 2 3 3

2 2 2

3 2

x -1= (x -1) x + x + 1 a -1= 0 a = 1 a + a+ 1= 0 a = -a-1 -3a = 3a+ 3 a - 3a + 2a- 4 = 1+ 3a+ 3 + 2a- 4 = 5a

Yanıt:E

36.

Gerçel olan her a değeri için x + ax + 9x -1= 0 ³ ² denklemi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) Köklerden en az biri pozitiftir.

B) Köklerden yalnız biri negatiftir.

C) Bir tane karmaşık kök vardır.

D) Gerçel bir kök yoktur.

E) Kökler birbirine eşittir.

Çözüm:

→ →

3 2

1 2 3

3 2

1 2 3 1 2 3

Ax + Bx + Cx +D = 0 x .x .x = -D

A

x + ax + 9x -1= 0 x .x .x = 1 x .x .x > 0 1>0 olduğundan eşitliğin sağlanabilmesi için;

I. Köklerden her üçüde pozitif olmalıdır II. Köklerden ikisi negatif, biri pozitif olmalıdır.

Yanıt:A

37.

Şekle göre, yarıçapı r olan dörtte bir çember ile d ve ₁ d doğrusuna ₂ teğet olan çemberin R yarıçapı ne olur?

A)

(

2 -1 r B) 2r C)

) (

2 + 1 r D) 2 2r E

)

) 2r Çözüm:

Problem verilerinden faydalanarak yandaki şekil oluşturulabilir.

OAM dik üçgeninde;

( )

2 2 2

2 2

OM = OA + MA r +R = R +R R - 2rR - r = 0 R = r 2 + 1 br

Yanıt:C

38.

Değişken bir yamuğun bütün kenarları sabit bir çembere teğettir. Bu yamuğun yan kenarlarını çap kabul eden çemberler ...

A) kesişmezler.

B) farklı iki noktada kesişirler.

C) teğettirler.

D) diktirler.

E) orta tabanı kuvvet ekseni kabul ederler.

(12)

Çözüm:

ABCD yamuğu teğetler dörtgenidir.Teğetler dört- geninde karşılıklı kenarlar toplamı birbirine eşit- tir.

[ ]

EF doğrusu orta taban olsun;

→

1 2

AB + DC = AD + BC

AB + DC AD + BC AD + BC

EF = = EF =

2 2 2

2r + 2r

EF = EF = r + r

2

O halde cümlenin tamamlanmış hali;

“Değişken bir yamuğun bütün kenarları sabit bir çembere teğettir. Bu yamuğun yan kenarlarını çap kabul eden çemberler teğettir”

şeklinde olmalıdır.

Yanıt:C

39.

Çapı 26 cm olan bir çemberin içine tabanları 24 cm ve 10 cm olan bir yamuk çiziliyor. Merkez yamuğun içinde olduğuna göre yamuğun alanı kaç cm dir? ²

A) 109 B) 130 C) 260 D) 289 E) 320 Çözüm:

Problem verilerinden faydalanarak yandaki şekil elde edilebilir.

ABCD yamuğu ikizkenar yamuk olmak zorundadır.

ALO dik üçge- ninde;

2 2 2→ 2 2 2

AO = AL + OL OL = AO - AL

2 2 2→

OL = 13 -12 OL = 5 cm DKO dik üçgeninde;

→

2 2 2 2 2 2

2 2 2

OD = DK + OK OK = OD - DK OK = 13 - 5 OK = 12 cm

KL = OL + OK = 5 + 12 = 17 cm

(ABCD) → (ABCD)

2 (ABCD)

AB + CD 24 + 10

A = . KL A = .17

2 2

A = 289 cm

Yanıt:D

40.

Aşağıdakilerden hangisi, denklemleri 2x-3y+5=0 ve -6x+9y+24=0 olan iki doğrudan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik ye- rini gösterir?

A) y=x+2 ve y=-x B) 6y-4x+3=0

C) 8x-12y-19=0 D) 3y-3x-6=0 ve y+x+2=0 E) 4x-6y+3=0

Çözüm:

1

2

2x - 3y + 5 = 0

2 5

y = x +

3 3

m =2 3

-6x + 9y + 24 = 0

2 8

y = x -

3 3

m =2 3

1 2

m = m olduğundan doğrular paraleldir.

Geometrik yer bu iki doğruya eşit uzaklıkta olan paralel bir doğru olmalıdır.

-6x+9y+24=0 doğrusu üzerinde A(4,0),

2x-3y+5=0 doğrusu üzerinde B(2,3) noktası alınır orta noktasına da C denirse, C noktasının koor- dinatları;

→

A B

C C

A B

C C

x + x 4 + 2

x = = x = 3

2 2

y + y 0 + 3 3

y = = y =

2 2 2

Geometrik yere ait doğru C noktasından geç- meli, eğimi de 2

m =3 olmalıdır.

( )

^→ ^{ }_{ }

( )

C C  

3 2

y - y = m x - x y - = x - 3

2 3

6y - 4x + 3 = 0

Yanıt:B

(13)

41.

Koordinatları (2,3) olan A noktasının y=x e göre simetriği B noktası ise, B nin x=-3 e göre simetri- ği olan C noktasının koordinatları ne olur?

A) (-9,2) B) (9,-2) C) (-4,-3) D) (-4,3) E) (3,4)

Çözüm:

A(p,q) noktanın y=x doğrusuna göre simetriği B noktası ise B(q,p) olur.A(2, 3)→B(3, 2)

B noktasının y-eksenine göre simetriği olan ve x=-3 doğrusu üzerinde bulunan K noktasının koordinatlarının K(-3,2) olacağı aşikardır. K(-3,2) noktası

[ ]

BC doğrusunun orta noktası olduğuna göre;

→ → 



→ →



C B C

K C

C B C

K C

x + x x + 3

x = -3 = x = -9

2 2 C(-9, 2)

y + y y + 2

y = 2 = y = 2

2 2

Yanıt:A

42.

Verilen şekilde cosθ nın değeri ne olur?

A) 1

a+ 1 B) a a+ 1 C) a

a+ 2 D) 2 -a + 2 E) 1

-a + 1

Çözüm:

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar topla- mı 180 dir. O halde ⁰ m(BAD) = 180 - θ o-0

lur.

DAB üçgeninde kosi- nüs teoremi;

2 2 2

BD = AD + AB - 2 AD AB cosθ

( ) ( )

2 2 2

BD = a + 1 + a + 2 - 2(a+ 1)(a+ 2)cosθ ….1 DCB üçgeninde kosinüs teoremi;

1442443

2 2 2 0

-cosθ

BD = CD + BC - 2 CD BC cos(180 - θ)

( ) ( )

2 2 2

BD = a + 1 + a + 2(a+ 1)(a)cosθ ...2 1 ve 2 eşitliklerinden;

- 4(a + 1) = 4(a+ 1) (a+ 1)cosθ cosθ = - 1

a+ 1

Yanıt:E

43.

Yanda verilen yarı çemberin AB çapının uzunluğu 1 birim ve TK ile TC aynı uzunlukta

[ ]

≠ 0 olduğuna göre sin θθθθ ne olur?

A) 3 -1

2 B) 1+ 5

2 C) 1- 5

2 D) 1- 3 2 E) -1+ 5

2 Çözüm:

Problem verilerinden faydalanarak yandaki şekil oluşturulabilir.

TK = TC = x TB = y olsun.

TCB dik üçgeninde;

TC → x

cosθ = cosθ =

TB y

BTK dik üçgeninde;

TK → x

tgθ = tgθ =

TB y

(14)

→ →

→

2

2 2

cosθ = tgθ cosθ = sinθ cos θ = sinθ cosθ

1- sin θ = sinθ sin θ + sinθ-1= 0 -1± 5

sinθ = 2

Yanıt:E

44.

( )

→ x 2

3- a- x

lim (x - 2) nin var olabilmesi için a değeri ne olmalıdır?

A) 12 B) 11 C) 5 D) 3 E) 2 Çözüm:

0

0belirsizliği, limitin varolabilmesi için yeterli ko- şuldur.Payda x=2 için sıfır olmaktadır.Payında x=2 için sıfır olabilmesi için;

→ →

→

3- a- x = 0 a- x = 3 a- x = 9 a- 2 = 9 a = 11

Yanıt:B

45.





3

x = t + 3t

y = t - 3t olursa, t=1 için

2 2

d y

dx nin değeri ne olur?

A) -1 B) 0 C) 1

6 D) 1 E) 6 Çözüm:

 

 →    

   

     

 

 

   

 

 

2

2 2

2

2 2

2

dy

dy= dt = 3t - 3 dx dx 3t + 3

dt

d y d dy d dy d 3t - 3

= =

dx dx dx dx dx

dx 3t + 3

d 3t - 3 dt 3t + 3 d 3t - 3

= dx

dx 3t + 3

dt

 

 

 

2 2 2

2

d 3t - 3 6t(3t + 3)- 6t(3t - 3) dt 3t + 3 (3t + 3)

dx = 3t + 3

dt

18t3

=

+ 18t - 18t3

2 3 2 3

+ 18t 36t (3t + 3) =(3t + 3) t=1 için;

2 3 2 3

36t 36.1 1

= =

6 (3t + 3) (3.1 + 3)

Yanıt:C

46.

y = x + ax + 3 eğrisinin x=2 ve x=0 noktaların-2

daki teğetleri arasında kalan açının tanjantının 4 olabilmesi için, a nın değeri ne olmalıdır?

A) -4 B) 3 C) -3 D) 4 E) 6 Çözüm:

→

2

1 1

2 2

y = x + ax + 3 y' = 2x + a

x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi;

m = 2x + a m = 4 + a

x = 0 noktasındaki teğetinin eğimi;

m = 2x + a m = a

Đki doğru arasındaki açının tanjantı;

→

1 2

m -m (4 + a)- a

tgα = 4 =

1+ m m 1+ (4 + a)a a(a+ 4) = 0 a = -4,a = 0

Yanıt:A

47.

R yarıçaplı sabit bir çember veriliyor. Değişken bir P noktasının bu çemberin merkezine ve çemberin P ye en yakın olan noktasına uzaklık- ları oranı (≠≠≠≠0) sabittir. P nin geometrik yeri nedir?

A) Elips B) Hiperbol C) Parabol D) Çember E) Doğru

Çözüm:

Probleme göre OP

= sabit PK

bağıntısı vardır. O halde P noktasının geometrik yeri O merkezli

[ ]

^OP çaplı çem- berdir.

Yanıt:D

(15)

48.

Aşağıdakilerden hangisi

3 2 3 2

x y - 5xy + 8x - 4y + 24 = 0 eğrisinin (2,2) nok- tasındaki teğetinin denklemidir?

A) 10

y - 2 = (x - 2)

23 B) 10 y = (x + 2)

23 C) 23y=10(x-2) D) x+y=4 E) x-y=4

Çözüm:

3 2 3 2

x y - 5xy + 8x - 4y + 24 = 0 fonksiyonunun tü- revi;

2 2 3 3 2

3x y + 2x yy' - 5y -15xy y' + 16x - 4y' = 0 Türevin A(2,2) noktasındaki değeri, fonksiyonun o noktadaki teğetinin eğimine eşittir.

2 2 3 3 2

3.2 .2 + 2.2 .2y' - 5.2 -15.2.2 y' + 16.2- 4y' = 0

10→ 10

y' = m =

23 23

Eğimi 10 m =23 olan ve (2,2) noktasından geçen doğru denklemi;

y - 2 =10(x - 2) 23

Yanıt:A

49.

Aralarında uzaklıkları u olan d ve d′′′′ paralel doğruları veriliyor. Bu doğrudan uzaklıkları farkı u olan P noktalarının geometrik yeri nedir?

A) Elips B) Hiperbol C) Parabol

D) d ve d′′′′ arasında kalan düzlem parçası (d ve d′′′′ dahil)

E) d ve d′′′′ arasında kalan bölgenin dışındaki düzlem parçası (d ve d′′′′ dahil)

Çözüm:

1 1

2 2

3 3

PE - PF = u P C - P B = u P A - P B = u

Aralarında uzaklıkları u olan d ve d′′′′ paralel doğrularından uzaklıkları farkı u olan P noktala- rının geometrik yeri, d ve d′′′′ arasında kalan böl- genin dışındaki (Q) düzlem parçasıdır.(d ve d′′′′

dahil)

Yanıt:E