Exponential Distribution. diger. Probability Distributions. Sürekli Şans Değişkenleri. 0 diger. SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI

(1)

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dokuz Eylül Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi

Ekonometri Bölümü Yöneylem Araştırması Anabilim Dalı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve

OLASILIK DAĞILIMLARI

www.mehmetaksarayli.com www.mehmetaksarayli.com

Probability Distributions

Continuous Probability Distributions

Binomial

Poisson

Probability Distributions Discrete

Probability Distributions

Sürekli Uniform

Normal Gamma

Üstel

2

www.mehmetaksarayli.com

Sürekli Şans Değişkenleri

Sürekli bir aralıktaki tüm değerleri alabilen değişkenlerdir.

Bir yolun uzunluğu 25m < x < 50m olabilir.

x, D

_x

tanım aralığına sahip sürekli bir şans değişkeni olsun. f(x)’in x’e ait bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) olabilmesi için;

Her x için olmalıdır.

 = E(x) = V(x) = E[ (X

i



^





Dx

dx x f x

. ( ).

1 ).

( 



Dx

dx x f

 

²

2

) ( )

( X E X

E 

3 www.mehmetaksarayli.com

ÜSTEL (EXPONENTIAL) DAĞILIM

t (zaman)

Zaman ekseninde belirli bir zaman aralığındaki olay sayısı Poisson, iki olay arasında geçen süre ise ÜSTEL dağılış gösterir.

Bir(ilk) olayın (r = 1 ) meydana gelmesine kadar geçen zamanın olasılığı ile ilgili dağılış üslü dağılıştır.

 

 



^

diger x x e

f

x

0 0 ) .

(



2

) 1 1 ( )

(

^X

^ 

^V ^X

^ 

E

: birim zamandaki olay sayısı

x

x x

x

e x X P

e dx e x X P













 

) (

1 . ) (

0

4

Exponential Distribution



Shape of the exponential distribution

f(x)

x

 = 1.0 (mean = 1.0)

= 0.5 (mean = 2.0)

 = 3.0 (mean = .333)

ÖRNEK

A marka televizyonun ömrü yıl olarak X şans değişkeni ile gösterilsin. X’in oyf:



 

 



^

diger x x e

f

x

0 0 6 .

1 )

(

⁶

1

 

¹¹₆ ³⁶

) 1 (

6 16

1 ) 1 (

2

2  





X V

yil X

E

Televizyonun ömrünün en az 6 yıl olması olasılığı nedir?

367 . 0 6 .

) 1

(

⁶^.⁶ ¹

1 6

6 1



 ^x

^

 ^e

^

^dx ^e

^

^e

^

X

P

^x

6

(2)

Example

Example:Customers arrive at the claims counter at the rate of 15 per hour (Poisson distributed). What is the probability that the arrival time between consecutive customers is less than five minutes?

 Time between arrivals is exponentially distributed with mean time between arrivals of 4 minutes (15 per 60 minutes, on average)

 1/ = 4.0, so  = .25

 P(x < 5)= 1 - e^-x= 1 – e^-(.25)(5)= .7135

Normal Dağılım

 Özellikleri:

 1.‘Çan-Şekilli’ ve simetrik

 2. Ortalaması, modu ve medyanı eşit

 3.’Orta yayılımı’= 1.33 

 4. Şans değişkeni sonsuz aralığa sahip

Ortalama Mod Medyan

X f(X)

Normal Dağılımın Önemi

1. Çoğu rassal süreçleri ve sürekli olayları tanımlar.

2. İstatistiksel yorumlamanın temelidir.

8

• Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım Normal dağılımdır.

• Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte yerini almıştır.

Normal dağılımın ilk uygulamaları doğada gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum göstermiştir.

Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk adının Normal Dağılım olması sonucunu doğurmuştur.

İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak karşımıza çıkmaktadır.

Normal dağılış kullanımının en önemli nedenlerinden biride bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli ve sürekli bir çok şans değişkeninin dağılımının normal dağılışa yaklaşım göstermesidir.

10

Olasılıkları Elde Etmek;

a b x

f(x)

P (

a

 x 

b

)

Olasılık eğrinin altındaki alan ile belirlenir.

f(x)

μ x

Probability as Area Under the Curve

0.5 0.5

The total area under the curve is 1.0, and the curve is symmetric, so half is above the mean, half is below

1.0 ) x P(     

0.5 ) x P(μ   0.5

μ) x P(  

(3)

Empirical Rules

μ ± 1σ verilerin yaklaşık 68% içerir f(x)

μ μσ x μσ

What can we say about the distribution of values around the mean? There are some general rules:

σ σ

68.26%

The Empirical Rule

 μ ±2σverilerin yaklaşık 95% içerir

 μ ±3σverilerin yaklaşık 99.7% içerir

x μ

2σ 2σ

x μ

3σ 3σ

95.44% 99.72%

14

Normal Dağılım

Olasılık Yoğunluk fonksiyonu

f(X) = X şans değişkeninin frekansı

 = 3.14159; e = 2.71828

 = populasyonun standart sapması

X

= Şans değişkeninin değeri (- < X < )

 = populasyon ortalaması ) 2 2 ( 1

2 1 )

(

^^





























 



  ^ ^





X

e X

f

Parametrelerin Değişikliğinin Etkileri ( & )

X f(X)

C A

B

C

C

16

Normal Olasılık Dağılımı

Olasılık, eğrinin altında kalan

alana eşittir!

c d X

f(X)

P c

( 

X



d

)  

^d

?

c

dx x f ( )

Normal Dağılım Tablolarının Sonsuz Sayısı

Normal dağılımlar, ortalama ve standart sapma açısından

farklılık gösterirler.

Her dağılım için bir tablo gerekir.

Bu da sonsuz sayıda tablo anlamına gelir!

X f(X)

18

(4)



_Z

= 0



_z

= 1

Z

Standart Normal Dağılım

Artık tek tablo yeterli!!!

Normal

Dağılım Standart Normal

Dağılım

 X



 

 X Z



_Z

= 0 Z



_Z

= 1

.12

Standartlaştırma Örneği

Normal Dağılım

Standart Normal Dağılım

 = 5 X

 = 10

6.2 12 . 10 0

5 2 . 6  

 

 

 Z X

20



_Z

= 0 Z



_Z

= 1

0.12

Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080 .0398 .0438 0.2 .0793 .0832 .0871 0.3 .1179 .1217 .1255

Olasılığın Elde Edilmesi

0.0478 .02

0.1

.0478

Standart Normal Olasılık Tablosu (Kısmen)

Olasılıklar



_Z

= 0 Z



_Z

= 1

-0.12

Örnek; P(3.8  X  5) = ?

0.0478

Standart Normal

Dağılım

 = 5 X

 = 10

3.8 12 . 10 0

5 8 .

3   

 

 

 Z X

22

0 

_Z

= 1

-.21 .21 Z

Örnek

P(2.9  X  7.1) = ?

.1664

.0832 .0832

5  = 10

2.9 7.1 X

Z X Z X

 











2 9 5

10 21

7 1 5

10 21

. .



_Z

= 0 Z



_Z

= 1

.30

P(X  8) = ?

.1179 .5000

.3821

Z X

 

 



8 5 10 .30

 = 5 X

 = 10

8

Örnek

(5)



_z

= 0



_Z

= 1

.30

Z

.21

Örnek

P(7.1  X  8) = ?

.0832 .1179

.0347

Standart Normal

Dağılım Z X

Z X

 



 











7 1 5

10 21

8 5

10 30

. .

.

 = 5

 = 10

8 7.1

X

Normal Dağılım Alıştırması

General Electric için Kalite Kontrol uzmanı olarak çalışıyorsunuz. Bir ampulün ömrü = 2000 saat, = 200 saat olan Normal dağılım göstermektedir. Bir ampulün

A. 2000 & 2400 saat arası dayanma

B. 1470 saatten az dayanma olasılığı nedir?

26

_Z= 0

Z

_Z= 1

2.0

Çözüm

A) P(2000  X  2400) = ?

.4772

Standart Normal

Dağılım Z X

 

 



2400 2000 200 2 0.

 = 2000

X

 = 200

2400

_Z= 0

Z

_Z= 1

-2.65

Çözüm

B) P(X  1470) = ?

.4960

.0040

.5000

Standart Normal Dağılım Z X

 

  



1470 2000 200 2 65.

 = 2000

X

 = 200

1470

28

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080 0.1 .0398 .0438 .0478 0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255



_Z

= 0 Z



_Z

= 1

.31

Bilinen Olasılıklar İçin Z Değerlerinin Bulunması

.1217 .01

0.3

.1217

Standart Normal olasılık Tablosu (Kısmen) P(Z) = 0.1217 ise Z

nedir?



_Z

= 0 Z



_Z

= 1

X .31

 = 5

 = 10

?

Bilinen Olasılıklar İçin X Değerlerinin Bulunması

Normal Dağılım Standart Normal Dağılım

.1217 .1217

1 . 8 10 ) 31 . 0 (

5   







  Z  X

30

(6)

Normallik Varsayımı

 1. Verilerin karakteristiklerini Normal dağılımın

özellikleriyle karşılaştırın

 2. Normal Olasılık Plot’unu değerlendirin

Bilgisayarla çizin yada

Verileri standartlaştırılmış kantil değerlerine karşı işaretleyin.

Normal Dağılım İçin NormalOlasılık Plot’u

Düz bir çizgi Olmalı!!!

30 60 90

-2 -1 0 1 2 Z X

Normal Olasılık Plot’ları

Sola çarpık Sağa çarpık

Dikdörtgensel U-Şekilli

30 60 90

-2 -1 0 1 2 Z X

30 60 90

-2 -1 0 1 2 Z X

30 60 90

-2 -1 0 1 2 Z X

30 60 90

-2 -1 0 1 2 Z X

32

Exponential Distribution. diger. Probability Distributions. Sürekli Şans Değişkenleri. 0 diger. SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI

Probability Distributions

Sürekli Şans Değişkenleri

x, D

tanım aralığına sahip sürekli bir şans değişkeni olsun. f(x)’in x’e ait bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) olabilmesi için;

Her x için olmalıdır.

 = E(x) = V(x) = E[ (X







. ( ).

1 ).

( 



 

) ( )

( X E X

E 

ÜSTEL (EXPONENTIAL) DAĞILIM

 

 



diger x x e

f

0

0 ) .

(



) 1 1 ( )

(

 

 

e x X P

e dx e x X P













 

) (

1 . ) (