BÖLÜM 7 BORULARDA GERÇEK AKIM Açık kanal Boru (serbest yüzeyli akım) Boru

BÖLÜM 7

• BORULARDA GERÇEK AKIM

•Enkesitin tamamen dolu olarak aktığı akımlara “basınçlı akım” denir.

•Basınç altında sıvı nakleden kapalı akış yollarına “boru” adı verilmektedir.

•Borular çeşitli enkesitlere sahip olabilirler, dairesel enkesit.

•Yapım kolaylığı

•Gerilmelere karşı dayanıklı olması

•Aynı alanlı geometrik şekiller arasında minimum çevreye sahip olmaları.

Sürtünmeden kaynaklanan enerji kaybı minimum.

Serbest su yüzeyi

Boru Açık kanal

Boru

(serbest yüzeyli akım)

•Borulardaki gerçek akımlarda viskozite ve türbülans gerilmeleri, ayrıca sınır tabakasının ayrılması nedeniyle bir kısım enerji, sürtünmeler yoluyla (ısıya çevrilerek ) kaybolur. Bu kayıplar

• Sürtünme Kayıpları

• Yerel Kayıplar.

•Borulardaki gerçek akım hesaplarında Bernoulli denklemi yazılırken bu iki kayıp göz önüne alınmalıdır..

g 2 / V₁²

g 2 / V₂²

Referans düzlemi z₁

P₁/γ

1

V₁

h_s1 h_y E.Ç P.Ç

V₂

h_k h_s2

P₂/γ

z₂ 2

1-2 noktaları arasındaki Bernoulli denklemi:

2 s y 1 s 2 2 2 2 1 1 2

1 P z h h h

g 2 z V P g 2

V + + + +

+ γ

= γ + +

k 2 s y 1

s h h h

h + + = h_k =

∑

Re=VD/υ≤2000 akım laminer Re>4000 akım türbülanslı

Reynolds değişik boyutlarda kurşun borularda yaptığı deneylerde sürtünme kayıplarını incelemiş, deneyler sonucu belirlenen kayıpların akımın ortalama hızı arasındaki ilişkiyi şekil deki gibi belirlemiştir.

Geçiş bölgesi

Türbülanslı akım (h_s∝ V²) Laminer akım (h_s∝ V) 45°

LogV Logh_s

•Laminer akım: h_s-V ilişkisi 45° lik doğru, τ₀ά V olmaktadır.

•Türbülanslı akım: eğim ~ 1.83 hs sürtünme kayıplarının hızın karesi V² orantılı olmaktadır.

•Türbülanslı akımda sürtünme kayıpları laminer akıma göre çok daha büyük olmaktadır.

Laminer Akım

Hagen (1839) ve Poiseuille (1841) ayrı ayrı yaptıkları çalışmalarda laminer boru akımlarını incelemişlerdir.

Hız dağılımı

Borular içinde laminer akışta, eksene doğru sıvı partikülleri arasındaki viskoz tesirler gittikçe azaldığından, maksimum hız, eksende meydana gelmektedir ve hız dağılımı parabolik bir görünüme sahiptir.

u_mak V

u

D

pπr² r

τ2πr∆L (p+∆p)πr²

τ₀

τ

Kayma gerilmesi

dağılımı ∆L Hız dağılımı

Akımda r yarı çaplı ve ∆L uzunluklu silindirik bir akım parçasına gelen kuvvetler için denge denklemini yazalım:

(

)

2 r L P

∆

= ∆ τ

Newton’un kayma gerilmesi ifadesi :

dy µ du

−

= τ

2 r L P dy du

∆

= ∆ µ

− dr

2 r L du P

µ

∆

= ∆

İntegre edilirse; C

4 r L u P

2

µ+

∆

−∆

=

r=D/2 de u=0 sınır şartı kullanılarak integrasyon sabiti elde edilir. C Yukarda yerine konularak;

) 16 / D ( ) L / P (

C= ∆ ∆ ² µ











 µ −

∆

= ∆ ²

2

4 r D 4

1 L u P

Laminer akımda parabolik hız dağılımı elde edilir.

Kayma gerilmesi dağılımı

Maksimum hız dağılımı kanal ekseninde, r=0, oluşur yani;

µ

∆

= ∆ 16

D L u P

2 mak

Parabolik hız dağılımında ortalama hız;

µ

∆

= ∆

= 32

D L P 2

V U

mak 2

Buradan;

2

32 D

V L

P

µ

∆ =

∆

∆P / ∆L kayma gerilmesi ifadesinde yerine konursa dağılım:

D2

Vr 16 2 r L

P µ

∆ =

= ∆ τ

şeklinde elde edilir ki bu ifade r=0 için boru ekseninden geçen doğru denklemini göstermektedir.

Sürtünme Kaybı

Kayma gerilmesi ifadesinden yük kaybı aşağıdaki gibi elde edilebilir;

Enerji kaybı : U_ort= V denirse V = U_mak/ 2 ( paraboloid özelliğinden )

L D

V h 32

P

s 2 ∆

γ

= µ γ =

∆

veya L uzunluğundaki boru akımında yük kaybı;

s 2

gD VL h 32υ

=

HAGEN – POİSEUİLLE Denklemi olarak bilinen ifade elde edilir.

Görüldüğü gibi laminer akımda enerji kaybı sınır yüzeyinin pürüzlülüğünden etkilenmez.

Türbülanslı Akım Hız Dağılımı :

Türbülanslı akımda sıvı partiküllerinin düzgün olmayan yörüngeler izleyerek hareket etmelerine ve yine maksimum hızın eksende meydana gelmesine karşın hız dağılımı laminer akıma göre daha basık ve üniform bir görüntüye sahip olmamaktadır. Türbülanslı akımda hız dağılımı daha önce verildiği gibi

C y 1 Ln u

u

*

χ +

=

olarak bulunmuştu. y =D/2 boru ekseninde u = u_mak, sınır şartı kullanılarak integrasyon sabiti;

2 LnD 1 u C u

* mak

−χ

=

elde edilir. Bu sabit yukarıdaki hız dağılım ifadesinde yerine konulursa;

y 2 Ln D 1 u

u u

* mak

−χ

−

Bu ifade cilalı ve pürüzlü borulardaki türbülanslı akım için “Velocity Defect dağılımı” olarak isimlendirilen hızın genel denklemidir.

Nikuradse 5.10³ < Re < 3.10⁶ aralığında cilalı ve pürüzlü borularda yaptığı deneyler için χ=0.4 değeri alınarak hız ifadesinin iyi sonuçlar verdiğini belirlemiştir. Bu değer yukarda yerine konularak ifade aşağıdaki gibi yazılabilir.

mak

*

u u D

2.5 Ln

u 2y

− =

mak

*

u u D

5.75 Log

u 2y

− =

u_mak

y u D/2

Boru ekseni

u_mak-u

I)Boru ekseninde du/dy sıfır etmesi gerektiği halde bu ifade sonlu bir değer vermektedir.

D u 5 y

u 5 . 2 y 2

D D u 2 5 . dy 2

du _{* *}

* = =

=

yani hız profili boru ekseninde sivrilmektedir. Ancak sivrilme bölgesi küçük olduğundan sonucu pek etkilememektedir.

II) Bu hız dağılımına göre hız y=0 da yani katı sınırda -∞ olmaktadır.

u=0 değeri sınırdan belli bir uzaklıkta oluşmaktadır. Ancak yu=0 =y1 değeri laminer alt tabakanın içinde kaldığından bu da önemli bir dezavantaj değildir. Çünkü laminer alt tabakada zaten bu ifade geçersizdir.

Bu hız ifadesi iki bakımdan gerçekle bağdaşmamaktadır.

Cilalı Borularda Hız Dağılımı :

Viskoz alt tabaka y

u_v-t

Türbülanslı bölge

Geçiş bölgesi δ_v

Viskoz Alt Tabakada ; Newton’un viskozite ifadesi, bu bölgedeki hız dağılımını belirlemede kullanılabilir

dy µdu

=

τ , y=δ_viçin

y u

0 =ρυ τ

y u u y

u ₂

*

0 =υ ⇒ =υ

ρ τ

viskoz alt tabakada doğrusal hız dağılımı olduğu görülür. Boyutsuz hız dağılımı aşağıdaki gibi elde edilir.

= uυy u

u _*

*

Türbülanslı İç Bölge : Türbülanslı iç bölgedeki hız dağılımında C integrasyon sabiti y =δv için hem türbülanslı bölgedeki hız ifadesini, hem de viskoz alt tabakadaki hız dağılımını kullanarak hesaplanabilir. y =δv de u = u_vtifadesi viskoz alt tabakanın sınırında her iki bölge için yazılırsa;

υ

= ^*δ^v

*

vt u

u

u 1 Ln C

u u

v

*

vt δ +

= χ

Birinci ifadeden δ_v çekilerek; , ikinci ifadede yerine konularak C integrasyon sabiti çekilirse;

2 vt *

v = u υ /u

δ

2

* vt

* vt

u Lnu 1 u

C u υ

−χ

=

elde edilir. C integrasyon sabiti türbülanslı bölgedeki hız dağılım ifadesinde yerine konulursa;

* vt vt 2

* 2

* vt

* vt

* u

u u

y Lnu 1 u Lnu 1 u y u 1Ln u

u +

υ

=χ υ

−χ χ +

=

* vt

* vt

*

* u

Lnu 1 u u y Ln u 1 u

u

−χ υ +

=χ

* vt

* vt

u Lnu 1 u B u

−χ

=

olarak gösterilirse;

y B Ln u 1 u

u _*

*

υ +

=χ

Law of the wall (duvar kanunu) olarak bilinen dağılım elde edilir.

Pürüzsüz borularda Nikuradse’nin deneysel çalışmalarından χ=0.4 ve B= 5.5 olarak elde edilmiştir. Böylece dağılım aşağıdaki gibi yazılabilir.

Prandtl katı sınıra çok yakın bölgeler hariç olmak üzere cilalı borulardaki türbülanslı akım için aşağıdaki üstel hız dağılımını vermiştir:

n / 1

mak D/2

y u

u 



 



=

burada n deney ile belirlenmesi gereken bir büyüklük olup Reynolds sayısı ile aşağıdaki gibi değişmektedir.

Re 4 10³ 1.1 10⁵ ≥ 2 10⁶

n 6 7 10

Pürüzlü Borular İçin Hız Dağılımı

Türbülanslı akım hız ifadesinde (1/χ)Ln(2k) değerini bir toplayıp bir çıkaralım:

k) (2 1Ln - k) (2 1Ln + u +u 2 D/

Ln y

=1 u

u

* k ma

* χ χ χ

Burada k pürüzlülüklerin ortalama yüksekliğidir.

veya

u +u 2 D/

Ln k + 1 k Ln y

=1 u

u

* k ma

* 







 χ

χ +B

k Ln y A u =

u

*

Nikuradse'nin k çaplı kum taneleri yapıştırarak elde ettiği üniform pürüzlü boru deneylerinde χ=0.4 ve B=8.5 bulunmuştur. Buna göre pürüzlü borulardaki hız dağılımı:

8.5 k + Ln y 2.5

= u

u

*

Sürtünme Kaybı ─ Darcy-Weisbach Formülü

Darcy, Weisbach (1850) yaptıkları deneylere dayanarak türbülanslı boru akımı için sürtünme enerji kaybını veren bir formül geliştirmişlerdir. Bu formül, akımın silindirik bir parçasına dinamik denge denkleminin uygulanması ile elde edilebilmektedir

0

= L D 4 -

p D 4 - p) D +

(p ₀

2 2

∆ τ π π

∆ π

L D 4 =

p D ₀

2

∆ τ π

∆ π (p+∆p)

4 D² π

p 4 D² π τ₀πD∆L

∆L D

D g

L

=4

= h

p ₀

s ρ

τ ∆ γ ∆

∆

Deney bulgularına göre τ₀=cV²değeri yerine konursa:

g 2 V D

L c

=8 h

2 s

∆

∆ ρ

8c/ρ=λ kullanılarak denklem bir L uzunluğu için integre edilirse türbülanslı boru akımında sürtünmeden doğan enerji kaybı yüksekliği

g 2 V D

= L h

2

s λ

λ boyutsuz bir değer olup sürtünme faktörü olarak adlandırılmaktadır. Yapılan deneylerde λ nın basit bir katsayı olmayıp, çeşitli değişkenlere bağlı olduğu görülmüştür.

Borunun birim uzunluğu için sürtünme kaybı yüksekliği:

V

hs ²

Darcy-Weisbach formülü

λ için Nikuradse Diyagramı

Nikuradse’nin 1930 yıllarında, yapay olarak pürüzlendirilmiş borular üzerinde yaptığı deneylerde λ nın değişiminin Şekil 7.8 deki gibi olduğu görülmüştür. Gözlenen bu farklı değişimler aşağıda ayrı ayrı açıklanmıştır.

(a) Laminer Akımda (Re≤≤≤≤2000): Laminer akım bölgesinde λ sürtünme faktörü boru pürüzlülüğünden etkilenmemekte ve sadece Re sayısına göre değişmektedir: λ=λ(Re). Laminer akım için λ değeri Hagen-Poiseuille ve Darcy-Weisbach formüllerinin eşitlenmesi ile bulunabilir:

g 2 V D

= L gD

L V

=32 h

2

s ν 2 λ

Re

= 64 D V

= 64ν λ

Şekil 7.8 Nikuradse diyagramı

1/30

1/61

1/120 1/252 1/504 1/1014 0,10

0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04

0,03

0,02

0,01

10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶

λ λ λ λ

Laminer

Akım Türbülanslı Akım

Re=VD/υ

D k

(b) Türbülanslı Akımda (Re≥≥≥≥4000) : Türbülanslı akımda λ aynı pürüzlülük şartları için üç farklı davranış sergilemektedir. Bunlar:

1. Hidrolik bakımdan cilalı boru durumu : λ=λ(Re)

2. Hidrolik bakımdan cilalı-pürüzlü geçiş durumu : λ=λ(Re, k/D) 3. Hidrolik bakımdan pürüzlü boru durumu : λ=λ(k/D)

•k/D rölatif pürüzlülük değerini göstermektedir.

•Şekil 7.8 de görüldüğü gibi S şeklindeki λ(Re,k/D) geçiş durumu eğrileri, λ(Re) cilalı durum eğrisine ve λ(k/D) pürüzlü durum doğrularına asimtotik biçimde yaklaşmaktadır.

•Rölatif pürüzlülük büyüdükçe geçiş eğrilerinin daha küçük Re sayılarında cilalı durumdan ayrıldığı görülmektedir.

Viskoz alt tabaka kalınlığı δv ile pürüzlülük yüksekliği k nın rölatif büyüklüğü türbülanslı boru akımındaki farklı sürtünme koşullarının açıklanmasında bir ölçüt olarak kullanılabilir. Viskoz alt tabaka kalınlığı, viskoz alt bölge ve türbülanslı bölgedeki hız dağılımlarında y=δv için eşitlenerek bulunabilir:

u

u δ δ

R*≤5 : Viskoz sürtünme

5<R*<70 : Viskoz-türbülanslı sürtünme 70≤R* : Türbülanslı sürtünme

λ için yukarıda belirlenen farklı değişimler boru akımındaki üç farklı sürtünme koşulunu temsil etmektedir. Yapılan deneylerden elde edilen bulgulara göre bu koşullar Reynolds pürüzlülük sayısı R*=u*k/υ değerine göre aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

Bu denklemin çözümü ile δv için aşağıdaki bağıntı elde edilir:

6 . u_{* v} 11

υ = δ

α orantı sabitini göstermek üzere yukarıdaki denklemde δv=kα yazılırsa:

11.6 k =

*

υ u α

11.6

= R

α

•R*≤5 için α≥11.6/5≈2.3 veya k≤0.43δv , bu durumda λ=λ(Re) ve boru hidrolik bakımdan cilalı olmaktadır (Şekil 7.9a).

•R*≥70 için α≤11.6/70≈0.17 veya k≥6δv , bu durumda λ=λ(k/D) ve boru hidrolik bakımdan pürüzlü olmaktadır (Şekil 7.9b).

•5<R*<70 için 0.43δv<k<6δv , bu durumda λ=λ(Re,k/D) ve boru hidrolik bakımdan cilalı-pürüzlü geçiş durumundadır.

δδδ δv

δ δδ δv

Şekil 7.9

Cilalı ve pürüzlü boru kavramları borunun fiziki pürüzlülüğünden ziyade borudaki sürtünme koşullarını yansıtan deyimler olmaktadır.

Bir boru, akım şartları bakımından hem cilalı, hem pürüzlü, hem de geçiş bölgesinde bulunabilir.

Nikuradse’nin λ için Şekil 7.8 de verilen deneysel bulguları kullanılarak türbülanslı boru akımındaki farklı sürtünme koşulları için aşağıdaki ampirik formüller verilmiştir.

Pürüzlü Boru Kanunu : Hidrolik bakımdan pürüzlü koşullar için Karman-Prandtl formülü:

k/D log 3.7 2 1 =

λ

Cilalı Boru Kanunu : Hidrolik bakımdan cilalı koşullarda 4000≤Re≤3x106 için aşağıdaki Karman-Prandtl formülü kullanılabilir:

2.51 logRe 2

1 = λ

λ

Re≤105 için aşağıda verilen Blasius formülü daha pratik olabilir:

Re 0.316

= 0.25

λ

Cilalı-Pürüzlü Geçiş Kanunu : Colebrook ve White, 1937 yılında endüstriyel borular üzerinde yaptıkları deneylerde geçiş bölgesindeki λ eğrilerinin S şeklinde olmayıp, Şekil 7.10 da görüldüğü gibi cilalı ve pürüzlü bölgelere asimtotik bir şekilde tedrici olarak yaklaştığını görmüşlerdir. Bu verilerden hareketle Colebrook ve White (7.18) ve (7.20) denklemlerini uygun bir şekilde birleştirerek aşağıdaki Colebrook-White geçiş formülünü vermişlerdir:













λ

λ Re

+ 2.51 3.7 k/D log 2 - 1 =

λ λ λ

λ İçin Moody Diyagramı

Moody 1944 yılında, Colebrook-White formülünü kullanarak endüstriyel boruların hidrolik hesapları için Şekil 7.10 da görülen ve Nikuradse diyagramından biraz farklı görünümdeki diyagramı vermiştir. Moody diyagramındaki k değeri Nikuradse deneylerinde kullanılan aynı sürtünme etkisine sahip kum tanelerinin çapına eşittir.

k değeri eşdeğer kum pürüzlülüğü dür. Tablo da çeşitli malzemelerden üretilmiş borular için k değerleri verilmiştir.

Boru Malzemesi k (mm)

Cam cilalı

Tunç, bakır 0.0015

Plastik 0.007

Asbestli çimento 0.025

Kaplamasız çelik 0.03

Kaplamalı çelik 0.06

Asfalt kaplamalı font 0.12

Galvanizli demir 0.15

Kaplamasız font 0.26

Beton 0.3-3

Şekil 7.10 Moody diyagramı λ

λ λ

λ _D^k

Re=VD/ νννν Cilalı boru

Pürüzlü boru

R*=70

R*=5 Geçiş bölgesi

Türbülanslı akım

Darcy-Weisbach Formülünün Dairesel Olmayan Borulara Uygulanması

Dairesel olmayan boruları da kapsayacak nitelikte bir sürtünme faktörü λ mevcut değildir. Ancak kesit şeklinin eksenel simetrik durumdan çok fazla uzaklaşmadığı dairesel olmayan borularda D çapı yerine aşağıda tanımlanan hidrolik yarıçap parametresi kullanılarak sürtünme kaybının hesabında Darcy-Weisbach formülünden yararlanılabilir.

Dairesel boruda hidrolik yarıçap:

4

= D D

4 D / P= , çevresi ıslak

Akim

A , alanı kesit

= Akim R

2

π π

buradan elde edilen D=4R değeri Darcy-Weisbach denkleminde kullanılırsa:

R g 8

= V S L = h veya g

2 V R 4

= L h

s 2 2

s λ λ

Dairesel olmayan kesitlerde Re ve k/D değerleri aşağıdaki gibi yazılabilir:

R 4

= k D k R, V

= 4

Re υ

Buna göre, herhangi bir geometriye sahip kesit şekli için D yerine R kullanılacaktır.

Borularda Su Akımı İçin Ampirik Formüller

Borulardaki su akımı için doğrudan hesap yapılabilecek ve Darcy- Weisbach formülüne göre daha basit ve kullanışlı olabilecek ampirik formüller de geliştirilmiştir. Bu formüller genellikle aşağıdaki formlarda görülür:

y x y

xS veya V=aR S D

a

= V

burada V akım ortalama hızı, a pürüzlülük katsayısı, D boru çapı, R hidrolik yarıçap, S enerji çizgisi eğimi, x ve y deneysel olarak bulunan üslerdir. Bu formüllerin kullanılması sırasında özellikle sürtünme katsayısının doğru tespiti hususunda hatalar yapılabilir.

Hidrolik Cilalı Borular İçin

Hidrolik bakımdan cilalı borularda λ için Blasius formülü kullanılarak Darcy-Weisbach denklemi aşağıdaki forma indirgenir:

Re / 0.316

= ^0.25

λ

D g 2

V D

0.316 V D=

g 2

V Re

0.316 D=

g 2

= V S

0.25 2 2

0.25

2 



 

 λ  υ

Su için υ=1.14 mm²/s değeri kullanılırsa:

V=75 D^5/7S^4/7=75 D^0.71S^0.57 veya V=201 R^5/7S^4/7 burada D=m, R=m ve V=m/s cinsindendir.

Geçiş Bölgesi Boruları İçin

Bu durumda aşağıda verilen Hazen-Williams formülü yaygın olarak kullanılmaktadır:

0.85

= V 354

. 0

=

V CD^0.63S^0.54 veya CR^0.63S^0.54 burada D=m, R=m ve V=m/s cinsindendir. Pürüzlülük katsayısı C için Tablo 7.2 de tipik bazı değerler verilmiştir.

Boru malzemesi C

PVC, AÇB 140

Yeni çelik veya font 130

Beton 120

Yeni kaplamalı çelik 110

Eski font 100

Çok eski ve paslı font 80

Tablo 7.2 C değerleri

Açık kanallarda yaygın olarak kullanılan Manning formülü hidrolik bakımdan pürüzlü borular için de kullanılabilir:

Hidrolik Pürüzlü Borular İçin

S n R

=1 V veya S

n D 0.397

=

V ^{2/3 1/2 2/3 1/2}

burada D=m, R=m ve V=m/s cinsinden olup n pürüzlülük katsayısıdır.

Tablo 7.3 n değerleri

Boru cinsi n

Pirinç ve cam borular 0.009 - 0.011

Asbest çimento borular 0.010 - 0.012 Kaynaklı çelik borular 0.011 - 0.013

Ahşap boru 0.011 - 0.013

Temiz, içi kaplamalı olmayan font boru 0.013 – 0.015 Temiz, içi kaplamalı font boru 0.012 – 0.014

Galvaniz boru 0.015 – 0.017

İyi cilalı beton boru 0.011 – 0.012

Kalıptan çıkmış beton boru 0.012 – 0.014

Künk drenaj borusu 0.012 – 0.014

CHEZY Formülü S R C V=

C: Chezy katsayısıdır ve Darcy denklemi yardımı ile sürtünme faktörü cinsinden;

= 8λg

C m^1/2/s değerine eşittir.

Boru ve kanallardaki su akışına ait olmak üzere çok sayıda deneyler yapılmış ve C’yi veren formüller ortaya konmuştur. Kutter formülü

D m 2

D C 100

= + veya R

m R C 100

= +

Burada m; pürüzlülük katsayısıdır.

Tablo 7.4 m değerleri

Boru cinsi m

Yeni font borular 0.20

Kullanılmış font borular 0.25

Dökme çelik borularda 0.20

Yeni greseramik borular 0.25

Kullanılmış greseramik borular 0.30 – 0.35

Pis su kanalları 0.30 – 0.35

Cilalı sıvalı galeriler 0.20 – 0.25