liseleri takım yarışması sorularından bazıları ilerleyen sayfalarda verilmiştir.

FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI

Doğuş Üniversitesi Matematik

liseleri takım yarışması sorularından bazıları ilerleyen sayfalarda verilmiştir.

tamamının çözümlerinin yayın hakkı s Umarız faydalı bir çalışma olmuştur.

SBELIAN ∑

FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 2007

SORULARI

Matematik Kulübü tarafından düzenlenen matematik olimpiyatları, fen liseleri takım yarışması sorularından bazıları ilerleyen sayfalarda verilmiştir.

tamamının çözümlerinin yayın hakkı sadece sınavı düzenleyen kurum veya kişilere aittir.

Umarız faydalı bir çalışma olmuştur.

tarafından düzenlenen matematik olimpiyatları, fen

liseleri takım yarışması sorularından bazıları ilerleyen sayfalarda verilmiştir. Soruların

adece sınavı düzenleyen kurum veya kişilere aittir.

www.sbelian.wordpress.com’ a aittir. Sayfa 1 Soru 1. Aşağıdaki matris için I + A + A ² +
+ A ⁿ +
sonsuz toplamını hesaplayınız.

0 1 1 0 0 1 0 0 0 A

 

 

=  

 

 

Çözüm. Önce soruda verilen matrisin karesini ve küpünü alalım. Buna göre, ²

0 0 1 0 0 0 0 0 0 A

 

 

=  

 

 

ve

3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 A

 

 

=  

 

 

olacaktır. Eğer kuvvet almaya devam edersek, n ≥ 3 ^{için tüm} A ⁿ matrisleri birer sıfır

matrisi olacaktır. Buna göre istenilen toplam

2

1 1 1 0 1 1 0 0 1 I A A

 

 

+ + =  

 

 

olacaktır.

SORU 2.

1

0 1

ln ?

e

e dx x + xdx =

∫ ∫

ÇÖZÜM 2. Aslında soruda verilen iki integral altında ki fonksiyonlar birbirlerinin tersi fonksiyonlardır.

Buna göre eğer, ^{f x} ( ) ^{= e x}

olarak alınırsa, soruda verilen integral toplamı

( ) ( )

1

1

0 1

e

f x dx + f ⁻ x dx

∫ ∫

olacaktır. Buna göre istenilen sonuç kenarları uzunluğu e ve 1 olan dikdörtgenin alanı olacaktır. Yani

2

1

0 1

ln

e

e dx x + xdx = e

∫ ∫ olarak bulunur.

SORU 3. P(x) üçüncü dereceden bir polinom olsun.

( ) ( )

( ) ( )

2 1

2 2

29

2 2 43

Q x x k x k

Q x x k x k

= + − −

= + − +

polinomlarının P(x) polinomunun birer çarpanı olduğu bilindiğine göre, k sayısının alabileceği değerler nelerdir?

ÇÖZÜM 3. Q ₁ ve Q ₂ polinomlarının bir tane ortak kökü olmalıdır. Varsayalım bu kök a olsun. Demek

ki a sayısı

www.sbelian.wordpress.com’ a aittir. Sayfa 2

( ) ( ) ^{2 2}

2 2 1 2 2 43 2 2 58 2

Q x − Q x = x + kx − x + k − x − kx + x + k

denklemininde bir kökü olacaktır. Buna göre, x = − k / 5 değeri Q ₁ ’in bir köküdür. Dolayısıyla

( )

2

29 0

25 5

k k

k   k

+ −  −  − =

 

ise

( )( )

2 2 2

5 29 25 5 145 25

k − k − k − k = k − k + k − k

ise k ² − 30 k = 0 ise k = 30 olacaktır.

SORU 4. Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan en büyük gerçel z değeri kaçtır?

5 3 x y z xy yz zx

+ + =

+ + =

ÇÖZÜM 4.

( ) ( )

( ) ( ( ) )

( )( )

2 2

2

2

0 4

5 4 3 5

3 10 13

1 3 13

x y x y xy

z z z

z z

z z

≤ − = + −

= − − − −

= − + +

= − + −

ise ⁰ ≤ − ( z + ^{1 3} )( z − ¹³ ) olacağından 13

1 z 3

− ≤ ≤ olacaktır. Buradan _max 13

Z = 3 olarak bulunur.

SORU 5. k pozitif tamsayı olmak üzere 36 k + , 300 k + , 596 k + sayıları aritmetik dizi oluşturan üç sayının kareleri ise k kaçtır?

ÇÖZÜM 5. Varsayalım aritmetik dizimizin elemanları a a , + d a , + 2 d olsun. Buna göre kareleri a ² ,

2 2

2

a + ad + d , a ² + 4 ad + d ² olacaktır. a ² = 36 + k ve ( ^{a + d} ) ^{2 = 300 + k} ise birbirlerinden çıkarırsak

264 = 2ad + d 2 (1.1)

olacaktır. Benzer biçimde ( ^{a + d} ) ^{2 = 300 + k ve} ( ^{a + 2 d} ) ^{2 = 596 + k ise}

296 = 2 ad + 3 d 2 (1.2)

elde edilir. Eğer (2)-(1) yaparsak, d = 4 ve a = 31 sonuçlarından k = 925 bulunur.

www.sbelian.wordpress.com’ a aittir. Sayfa 3 SORU 5. 3 ^{3 a} + 3 ^{4 b} + 3 ^{5 c} = 3 ^{7 d} eşitliğini sağlayan a b c d , , , pozitif tamsayıları için a + + + b c d

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

ÇÖZÜM 5. Eşitliğin her iki tarafını 3 ^{7 d} ile bölersek,

3 7 4 7 5 7

3 ^{a − d} + 3 ^{b − d} + 3 ^{c − d} = 1 eşitliğinden

7 3 7 4 74 5

1 1 1

3 ^{d − a} + 3 ^{d − b} + 3 ^{− c} = 1

eşitliği elde edilir. Burada

1 1 1 3 + 3 + 3 = 1

olacağı açıktır. Buna göre, 7 d − 3 a = 7 d − 4 b = 7 d − 5 c = 1 ise 7 d = 3 a + = 1 4 b + = 1 5 c + 1 ise 7d sayısı 60 k + 1 formunda olacaktır. Burada k = 5 ise d = 43 olacaktır. Buradan a = 100 , b = 75 ,

60

c = ise a + + + b c d = 278 bulunur.

SORU 6. Basamakları toplamının 4. kuvvetine eşit olan 4 basamaklı sayıyı bulunuz.

ÇÖZÜM 6. abcd dört basamaklı sayı olsun. Burada

( a + + + b c d ) ⁴ = abcd

eşitliğinde a + + + b c d = 10 olursa ( a + + + b c d ) ⁴ beş basamaklı bir sayı olur. Eğer

a + + + b c d = 5 olursa bu seferde sayı 3 basamaklı olacaktır. Buna göre a + + + b c d toplamı 6,7,8,9 olabilir. Buna göre,

6 4 = 1269 olamaz,

7 4 = 2401 olur çünkü 7 = 2 4 0 1 + + + olacaktır, 8 4 = 4096 olamaz,

9 4 = 6561 olamaz. O halde istenilen sayı 2401 olacaktır.

SORU 7. log ₃ x + log ₃ y + log ₃ z = 3 olduğuna göre x + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

ÇÖZÜM 7. Aritmetik ve Geometrik orta eşitsizliklerini kullanırsak,

3 3

x + y + z ≥ xyz (1.3)

www.sbelian.wordpress.com’ a aittir. Sayfa 4 olacaktır. Burada

3 3 3 3

log x + log y + log z = log xyz

olacağına göre, 27 = xyz eşitliği elde edilir. Buna göre, (3) eşitsizliğinden 3 27 3

x + y + z ≥

ve x + y + z ≥ 9 olacaktır.

SORU 8. Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan ( ^{x y ,} ) tamsayı ikililerini bulunuz.

13 5 1

25 45

x y

y

+ =

< <

ÇÖZÜM 8. Eğer verilen denklemi ( ^mod13 ) altında incelersek

( )

5 y ≡ 1 mod13

olacaktır. Ancak y = 0,1, 2, 3,
,12 değerlerinden sadece y = 8 bu denkliği sağlayacaktır. Demek ki 13 8,

y = k + k ∈  formunda olacaktır. Soruda verilen aralığa düşen tek y değeri 34 olacağına göre,

13 ⋅ + ⋅ x 5 34 1 =

eşitliğinden x = − 13 olur. Buna göre istenilen ikili ( ^{x y = − ,} ) ( ^13,34 ) olacaktır.