Minkowski 4-uzayında eğriler ve hareketlerin geometrisi

EĞRĐLER

ve

HAREKETLERĐN GEOMETRĐSĐ

Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı

Hatice TOZAK 081441006

Yrd. Doç. Dr. CANSEL AYCAN

Temmuz 2010 DENĐZLĐ

TEŞEKKÜR

Yükseklisans danışmanlığımı üstlenip, bilgi ve tecrübesiyle destek veren, çalışmamın her safhasında yardımını esirgemeyen sayın hocam Yrd. Doç. Dr. Cansel AYCAN’a şükran ve saygılarımı sunarım.

Tez çalışmam sırasında bana yardımcı olan sayın hocam Yrd. Doç. Dr. Şevket CĐVELEK’e de teşekkürü borç bilirim.

Desteğini her zaman yanımda hissettiğim sevgili ailem Ayşe TOZAK ve Süleyman TOZAK’a çok teşekkür ederim.

ÖZET

MĐNKOWSKĐ 4-UZAYINDA EĞRĐLER ve

HAREKETLERĐN GEOMETRĐSĐ TOZAK Hatice

Yüksek Lisans Tezi, Matematik Anabilim Dalı Tez yöneticisi:Yrd. Doç. Dr. CANSEL AYCAN

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır.

1.Bölümde Yarı Riemann uzayı, Lorentz Uzayı , E Minkowki uzayında iç ₁4

çarpım ve özellikleri, vektörel çarpım, vektör yapıları, vektörler arasındaki açı kavramı ve hiperdüzlemler gibi Minkowski uzay zaman eğrileri ve hareketlerin geometrisi için temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.

2 . Bölümde ise eğrisel yapılardaki Riemann manifoldları üzerindeki uzunluk ve uzaklık, jeodezikler ve bunları da admissible aileler, minimalize eğrilerin durumu ve lokal minimalize durumları incelendi.

3. Bölümde konneksiyonlar, Üstel dönüşümler ve Normal komşuluklar ve normal koordinatlardan bahsedildi.

4. Bölümde E Minkowski uzayında eğriler için Serret-Frenet formüllerinden ₁4

yararlanarak yapı denklemleri oluşturuldu. Đnvolüt ve Bertrand eğrileri incelendi. En son bölümde ise; yaptığımız çalışmalar için uygulamalara yer verildi. Çalışmalarımızın bazı geometrik uygulamalarına da değinildi.

Anahtar Kelimeler: metrik fonksiyonu, Lorentz-Minkowski uzayı, Hiperbolik uzay, koordinat ve konneksiyonlar, jeodezik, üstel dönüşüm, Frenet çatısı

ABSTRACT

CURVES ON THE MĐNKOWSKĐ 4-SPACE and

GEOMETRY OF MOTIONS TOZAK Hatice

M. Sc. Thesis in Mathematic

Supervisor: Yrd. Doç. Dr. CANSEL AYCAN

This work consist of five chapters.

The first chapter is about the basic definitions and theorems related to Semi-Riemann space, inner product and properties, metric function, angle between two given vectors, vector product, hyperplanes curves on the 4-dimensional Minkowski space and geometry of motion.

The second chapter includes length and distance on the Riemann manifolds, Riemann geodesics, admissible families, case of minimizing curves and locally minimizing.

In the third chapter, exponential map definition and basic properties,Normal Neighbourhoods and Normal Coordinates are introduced.

The fourth chapter is composed of the involute curves in the E Minkowski space, ₁4

the geodesics of the Model space, the formulas of Serret-Frenet, Bertrand curve couple in the 4

1

E Minkowski space.

In the final chapter, the applications for the study we have done were given, besides, some geometric applications of the study are mentioned.

Key words: metric function, Lorentz-Minkowski space, Hyperbolic space, neighbourhoods and connections ,geodesics , exponential map, Frenet frame

ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa

ONAY SAYFASI ...i

TEŞEKKÜR...ii

BĐLĐMSEL ETĐK SAYFASI ... iii

ÖZET ...iv

ABSTRACT ...v

ĐÇĐNDEKĐLER...vi

SĐMGELER VE KISALTMALAR DĐZĐNĐ... viii

ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ ...ix

GĐRĐŞ...x

-BÖLÜM 1 -

LORENTZ-MĐNKOWSKĐ UZAYI

1.1 Temel Yapılar...1

1.2 E Minkowski Uzayında Açı ve Hareket Kavramı ...7 14 1.3 E Minkowski Uzayında Yay Uzunluğu ...29 14

-BÖLÜM 2 -

EĞRĐSEL YAPILAR

2.1 Riemann Manifoldları Üzerinde Uzunluklar ve Uzaklıklar...34

2.2 Jeodezik ...39

2.2.1 Admissible Aileler...39

2.2.2Minimalize Eğriler ...41

2.2.3 Lokal Minimalize Eğriler ...46

-BÖLÜM 3-

KONNEKSĐYON ve KOORDĐNATLAR

3.1 Riemann Konneksiyonu ...52

3.2 Üstel Dönüşüm ...58

-BÖLÜM 4-

EĞRĐSEL YAPI FORMÜLLERĐ

4.1 Model Uzayların Jeodeziği ...67

4.2 Serret-Frenet Formüller ...70

4.3 4 1 E Minkowski Uzayındaki Eğrinin Đnvolüt ...72

4.4 4 1 E Minkowski Uzayında Bertrand Eğri Çifti...78

-BÖLÜM 5-

BAZI EĞRĐSEL UYGULAMALAR

5.1 Problem 1 ...82

5.1 Problem 2 ...86

KAYNAKLAR

...88

SĐMGELER ve KISALTMALAR DĐZĐNĐ

n

E₁ : n-boyutlu Minkowski uzayı 4

1

E : 4-boyutlu Minkowski uzayı n

IR : n-boyutlu Öklid uzayı n H : Hiperbolik uzay ) , ( 2 1 m r S : Yarı-Riemann küresi ) , ( 2 0 m r

H : Yarı-Riemann hiperbolik uzayı )

(u

C : Yarı-Riemann timelike konisi

α

: Diferansiyellenebilir eğri λ : Diferansiyellenebilir fonksiyon µ : Diferansiyellenebilir fonksiyon

T : Eğrinin teğet vektör alanı

N : Eğrinin normal vektör alanı

B : Eğrinin binormal vektör alanı

E : Eğrinin trinormal vektör alanı

g : Lorentz metriği

H

d : Hiperbolik metrik

u : u nun normu 1

k : Eğrinin birinci eğriliği 2

k : Eğrinin ikinci eğriliği 3

ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ

Şekil 2.1 Admissible aileler

Şekil 2.2 Ivme vektörünün

γ

deforme edilmesi Şekil 2.3. Köşenin yuvarlanması

Şekil 2.4. Gauss Lemmanın ispatı

Şekil 3.1. Riemann normal koordinatları Şekil 3.2. Düzgün normal komşuluğu Şekil 4.1. Simetrik 2

S üzerinde jeodeziklerin özdeşlemesi

Sekil 4.2 Yuvarın jeodeziği Şekil 4.3 Yarı uzayın jeodeziği Şekil 5.1.a Yarım küre

Şekil 5.1.b Đki meridyenin şekli

GĐRĐŞ

Çalıştığım konu olan Lorentz uzayını inceleyerek, Minkowski 4-uzayındaki temel yapılar kuruldu. Öklid uzayı ve hiperbolik uzayla karşılaştırmalarda bulunuldu. Öncelikle, kurulmasında önemli olan metrik yapıları irdelendi. Daha sonra vektör yapılarını kurarak açı kavramı belirtildi. Yay uzunluklarının hiperbolik uzayı ile Lorentz arasındaki yay uzunluklarını ele aldım. Uzunluk ve uzaklık kavramlarını belirleyerek jeodeziklerimi kurmuş oldum. Dönüşümlerle minimalize ve lokalliğini gördüm. Koordinat yapılarını hem cebirsel ifade olarak hem de topolojik boyutunu inceledim. Kaynak taraması

Lorentz geometrisi, 1873 ‘Uber die soganannte Nicht-Euklidische Geometrie’ makalesinde ortaya çıkmıştır. 1885 ‘Nicht-Euklidischen Rumformen’ teziyle Killing tarafından geliştirildi. Lorentz 4-boyutlu uzayını Poincaré 1906 da ‘Sur la Dynamique de l’electron’ makalesinde spacetime için bir model olarak tanıtıldı. Lorentz 4- uzayına Minkowski’ nin 1907 deki ‘Das Relativitätsprinzip’ konusunda Özel Rölativite teorisindeki space time için model olarak alındı. Yorumunu 1977 de yayınlanan Hermann Minkowski ve Einstein’ ın Özel Rölativite teorisinde görülür. 1908 yılında Minkowski tarafından çıkarılan makalelerle geliştirildi. Lorentz 4-uzayına, Minkowski uzay-zaman da denir. Lorentz dönüşümlerini ilk olarak Killing tarafından değerlendirilip ortaya kondu. Fakat dönüşümler, Lorentz tarafından 1904 yılında ‘Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity lrss than that of light’ makalesinde tanımlandı. Rölativite teorisinde Lorentz geometrisinin yer almasıyla ilgili tartışmalar sonucunda 1978 yılında Penrose’ nin ‘The geometry of universe’ konusunda ve G. Naber’ in ‘The geometry of Minkowski spacetime’ tek konulu çalışmasında ele alındı.

Hiperbolik uzayda hiperboloid model 1878 de Killing’ in ‘Ueber zwei Raumformen mit constanter psitiver Krümmung’ adlı makalesinde ortaya çıkmıştır. Timelike ve spacelike

açıları Klein’ ın 1871 yılındaki ‘Uber die sogenannte Nicht-Eucklidische geometrie’ makalesinde tanımlandı. Hiperbolik yay uzunluğu elemanları Killing’ in 1880 yılındaki ‘Die rechnung in den Nicht-Eucklidische Raumformen’ makalesinde görüldü. Hiperbolik doğru parçasının Lorentz uzunluğu, Yaglom tarafından ‘A simple Non-Euclidean geometry and physical basis’ çalışmasıyla tanımlandı.

2- boyutlu hiperbolik koordinatlar Labachevski’ nin ‘On the principles of geometry’ makalesinde ortaya çıktı. Cox ise koordinatları, ‘Homogeneous coordinates in imaginary geometry’ makalesinde tanımladı.

Saccheri 1733 yılında hiperbolik üçgenin açılarının toplamının iki dik açıdan daha fazla olduğunu ispatladı. Kosinüs ve sinüs ile ilgili kurallarına benzer formüller, Lobachevski tarafından çıkarıldı. Hiperbolik ve Küresel trigonometriler arasındaki dualliği olarak Lambert tarafından geliştirildi. Daha sonraki yıllarda iki komşu açılı dörtgenler,küresel trigonometrik formüller, dik açılı hiperbolik altıgenler için formüller çalışılmıştır.

1.2. Materyal Yöntem

RATCLIFFE, J. G., ‘Foundations of Hyperbolic Manifolds’, Department Of Mathematics, Vanderbilt University, 1994 ve LEE, J. M. , ‘Riemann Manifolds An Introduction to Curvature’, Department of Mathematics, University of Washington Seattle, 1991 kitaplarını temel alarak diğer makale ve tezlerden yararlanarak oluşturuldu.

BÖLÜM 1

LORENTZ-MINKOWSKI UZAYI 1.1. Temel Yapılar

Bu bölümde, öncelikle Lorentz-Minkowski uzayının metrik yapısı tanımlanarak, üzerindeki vektörel yapılardan bahsedilecektir.

Tanım 1.1.1. (simetrik bi-lineer form) V sonlu boyutlu reel vektör uzayı olsun.

, :V × V → IR bi-lineer fonksiyonu ∀ v,w∈V için

→ → w v, = → → v w, özelliğini saglayan , ye V üzerinde bir simetrik bi-lineer form denir.[17]

Tanım 1.1.2. V,vektör uzayı üzerinde bir simetrik bi-lineer form , olsun. Bu takdirde i) ∀ → v ∈V, → v ≠ 0 için → → v

v, > 0 ise , bi-lineer formu pozitif tanımlı,

ii) ∀ → v ∈V, → v ≠ 0 için → → v

v, < 0 ise , bi-lineer formu negatif tanımlı,

iii) ∀ → v ∈V, → v ≠ 0 için → → v

v, ≥ 0 ise , bi-lineer formu yarı-pozitif tanımlı,

iv) ∀ → v ∈V, → v ≠ 0 için → → v

v, ≤ 0 ise , bi-lineer formu yarı-negatif tanımlı,

v) ∀ → v ∈V, → → v v, = 0 için → v= 0 →

oluyorsa , bi-lineer formuna non-dejenere,aksi halde dejenere denir. [17]

Tanım 1.1.3. (bi-lineer formun indeksi)

, , V üzerinde simetrik bi-lineer form ve W da V nin bir altuzayı olsun. , nin W üzerinde kısıtlanışı W , olmak üzere W , : W × W → IR

negatif tanımlı olacak şekilde en büyük boyutlu W altuzayının boyutuna , simetrik bi-lineer formun indeksi denir. Eger , nin indeksi v ise 0 ≤ v ≤ boy V dir. [17]

Tanım 1.1.4.(metrik tensör)

M, türevlenebilir (C sınıfından) manifold ve ∞

, : χ(M)× χ(M)→C (M,IR) ∞ ( → x , → y )֏ → → y x,

şeklinde tanımlanan simetrik, bi-lineer ve non-dejenere metrik fonksiyonuna M üzerinde bir metrik tensör denir. Bu metrik tensörün indeksi M manifoldunun indeksi olarak ifade edilir.

M bir C sınıfından manifold olmak üzere, ∞ χ(M) de tanımlı , iç çarpım fonksiyonu, M nin her bir tanjant uzayına bir iç çarpım indirger, öyleki

→ X , → Y ∈χ(M) ve p∈M için X→_p, → p Y ∈T_M(p) dir. Böylece p , : T_M(p) × T_M(p)→IR

simetrik bi-lineer, non-dejenere dönüşüm tanımlayan

p

, fonksiyonuna T_M(p) üzerinde bir metrik tensör denir.

Tanım 1.1.5. M bir C sınıfından manifold ve ∞ , de M üzerinde sabit indeksli bir metrik tensör olmak üzere (M, , ) ikilisine bir yarı-Riemann manifoldu denir.

M nin indeksi v olmak üzere 0 ≤ v ≤ n=boy M için, v=0 ise M ye bir Riemann manifoldu, v=1 ve n ≥ 2 durumunda ise M ye Lorentz manifoldu denir.

Tanım 1.1.6. IR , 4 boyutlu standart reel vektör uzayı üzerinde 4 ∀ p∈IR ve 4 p V ,W_p∈T (_{p IR ) olmak üzere} 4 p p W V , = -v₁w₁+v₂w₂+v₃w₃+v₄w₄

eşitliğiyle verilen v-indeksli metrik tensörle elde edilen uzaya yarı-Öklidyen uzay denir ve IR ile gösterilir. Burada sırasıyla _v4 v ve _i w ler _i V ve _p W tanjant vektörlerinin _p

bileşenleridir.

Özel olarak v=1 ve n=4 durumunda ise E 4-boyutlu Minkowski uzayı adını alır. ₁4

Metrik tensör ise Lorentz metriği olarak adlandırılır.

Minkowski 4-uzayında iç çarpım özelliklerini sağlatalım: , : E₁4×E ₁4 → IR (u , v) ֏ →u,→v = -u₁v₁+ u₂v₂+ u₃v₃ + u₄v₄ i) → → v u, = → → u v, = → → ⋅ v u (simetrik özelliği) → → v u, = -u₁v₁+ u₂v₂+ u₃v₃ + u₄v₄ carpmayagöre değişme = -v u + _{1 1} v u + _{2 2} v u + _{3 3} v u _{4 4} tan içcarpım ımından = →v,→u ii) a, b∈IR ve → → v u, , → w ∈ 4 1 E a u b v w, → → → + = a → → w u, + b → → w v, → → → +bv w u a , = -(au₁+bv₁)w₁ +(au₂+bv₂)w₂ +(au₃+bv₃)w +(₃ au₄ +bv₄)w₄ = a(-u₁v₁+ u₂v₂+ u₃v₃ + u₄v₄)+ b (-v u + _{1 1} v u + _{2 2} v u + _{3 3} v u ) _{4 4} = a → → w u, + b → → w v,

Tanım 1.1.7. → X = (x₁,…,x₄)∈ 4 1 E olsun. Eğer i) → → X X , < 0 ise → X timelike vektör, ii) → → X X , > 0 veya → X = 0 → ise → X spacelike vektör, iii) → → X X , = 0 ve → X ≠ 0 → ise → X null vektör

olarak ifade edilir. [17]

Tanım 1.1.8. E Minkowski 4-uzayında ₁4 ∀

→ X , → Y ∈ 4 1 E için → → Y X , = 0 ise → X ve →

Y vektörleri Lorentz anlamında diktir (ortogonaldir) denir.

TEOREM 1.1.1. x,y ∈E sıfır olmayan Lorentz ortogonal vektörler olsun. x timelike ₁4

vektör ise y spaceliketır.

ĐSPAT: x timelike ⇒ x = -2 x,x x, y∈E Lorentz ortogonal₁4 ⇔ x,y =0 2 , y x = x +22 x,y + y =0 2 - x,x + 0 + y =0 2 2 y = x,x

dir. Bu durumda y spacelike vektördür.

Tanım 1.1.9. E Minkowski 4-uzayının bütün timelike vektörlerin kümesi ₁4

τ

olsun. Böylece ∀ u∈

τ

için

C( → u )=      →_∈ → → _< 0 , : u x x

τ

=      →_{∈ − − <} 0 ) , ( : 4 1 g x u x u E x biçiminde tanımlanan C( →

Şekil 1.1: Minkowski uzayının tanımlanış özelliği Tanım 1.1.10. → X = (x₁,…,x₄)∈E için ₁4 → X vektörünün normu → X = → → X X , ile tanımlanır. [17] TEOREM 1.1.2. → X = (x₁,…,x₄)≠0 ve → X ∈E olsun. Bu taktirde ₁4 i) → X > 0 dır. ii) → X = 0 ⇔ →

X bir null vektördür.

iii) →

X bir timelike vektör ⇒

2 → X = -→ → X X , dir. iv) →

X bir spacelike vektör ⇒

2 → X = → → X X , dir. ĐSPAT: i) → X = → → X X , ⇒ → → X X , ≥ 0 ve → X ≠0 olduğundan → X >0 dır. ii) → X =0 ⇔ → → X X , =0 ⇔ → → X X , = 0 ⇔ → → X X , =0 ⇔ → → X X , =0 ∧ → X ≠0 iii ım1.1.7 tan ⇔ X null vektördür. →

τ

x y Time-like z Space-like Light-like C ışık konisi

iii) 2 → X = → → X X , timelike X → = -→ → X X , iv) 2 → X = → → X X , spacelike X → = X ,→ X→ dir.

Tanım1.1.11. (V, , ) Minkowski uzayı olsun. W⊂ V altuzayı göz önüne alınırsa i)

W

, : W × W → IR pozitif ise W ya spacelike altuzayı ii)

W

, : W × W → IR negatif ise W ya timelike alt uzayı iii)

W

, : W × W → IR dejenere ise W ya lightlike altuzayı denir. [17]

TEOREM 1.1.3. E Minkowski 4-uzayında ₁4

→

X ve

→

Y iki timelike vektörü olsun. Bu

durumda → → Y X , ≥ → X → Y

eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlikte eşitlik durumunun sağlanması için gerek ve yeter şart →

X ve

→

Y vektörlerinin lineer bağımlı olmasıdır. [10]

ĐSPAT: Y= aX + → Y , → Y∈ X , Y timelike vektör ⊥ Y Y, = a2 → → X X , + → → Y Y , < 0 dır. Bu durumda 2 ,Y X =a2 2 , X X → → =       ₋ → → Y Y Y Y, , → → X X , ≥ Y,Y X,X = 2 → X 2 → Y Böylece → → Y X , ≥ → X → Y olur.

→ → Y Y , ≥ 0 ve → → X

X , < 0 olduğundan bu teoremin eşitliği sadece ve sadece →

→

Y

Y , =0 ⇒

→

Y =0 yani Y= aX olur. Bu durumda X ve Y vektörleri lineer bağımlıdır.

1.2. E Minkowski 4-uzayında Açı ve Hareket Kavramı ₁4

Şimdi, vektörler arasındaki açı kavramını ele alacağız. Önceki bölümde bahsedilen timelike,spacelik ve lightlike vektörler için ayrı ayrı açısal durumu inceleyeceğiz. Bununla ilişkili olarak Lorentz dönüşümünü inceleyip açıca uzayın baz yapısını oluşturacağız. Bunun için öncelikle aşağıdaki teoremi verelim.

TEOREM 1.2.1. E Minkowski 4-uzayında ₁4

→

x ve

→

y timelike vektörleri aynı

timekonisinin elemanı ise

θ cosh , → → → → − = x y y x

olacak şekilde bir tek θ ≥ 0 reel sayısı vardır. [10]

ĐSPAT: x ve y lineer bağımsız time-like vektörleri düşünülürse, X =<x,y> time-like bir

düzlem olur. x ve y iki lineer bağımsız light-like vektörlerse, x+ veya y x− time-y

like vektördür çünkü; y x y x y

x± , ± =∓2 , dir ve her iki vektörün time-like olmasına bağlı olarak 0

,y ≠

x olduğuna göre a ve b üzerindeki eşitlik şu şekildedir: 0 , 2 , , , _{+ =} 2 ₊ 2 _{+ =} +by ax by a x x b y y ab x y ax 0 ≠ a olur. =λ a b _denirse 0 , , 2 ,x + x y + 2 y y = x

λ

λ

elde edilir

Bu λ değişkenine göre bir denklemdir ve çözümü vardır. Dolayısıyla denklemin diskriminantı pozitif olmalıdır. O halde,

y y x x y x, 2 > , ,

dir. Bu, x ve y lineer bağımsız olduğu durumda eşitsizliği gösterir. Bunun yanı sıra; eğer orantılılarsa, o zaman eşitlik yakalanmış olur. Böylece,

1 ) , )( , ( , 2 ≥ > < − > < − > < y y x x y x (1.1) elde edilir. x ve y aynı time-like koni içindelerse, x,y <0 olur ve (1.1) ifadesi şunu gösterir: 1 , , , ≥ > < − > < − > < − y y x x y x

Hiperbolik kosinüs fonksiyonu cosh:

[

0,∞

)

→

[

1,∞

)

birebir olduğundan burada unik bir sayı oluşur ki > < − > < − > < − = y y x x y x , , , cosh

θ

olur.

TANIM 1.2.1. Yukarıdaki verilen θ reel sayısına →

x ve →

y timelike vektörleri arasındaki Lorentz timelike açı denir. [10]

TEOREM 1.2.2. x ve y, E₁4 aynı uzayda sıfır ve spacelike olmayan vektörler olsun. Bu durumda x,y ≤ 0 olur ve eşitlik durumu ancak ve ancak x ve y lineer bağımlı lightlike

vektörleri için sağlanır

ĐSPAT: . x ve y orantılıysa, bu ortogonal olduklarını gösterir. Farzedelim ki x, y ortogonal olsun. E₁4 =<E₄ >⊥ ⊕<E₄ > ayrışımında; x=w+u, y=w+v yazılabilir.

0 ,y =

x olduğundan ve her iki vektör de light-like olduğundan dolayı,

0 , , , ,v + w w + u w + v w = u 0 , 2 , ,u + w w + u w = u 0 , 2 , ,v + w w + v w = v

olur. Bu üç eşitlik birleştirilirse; |u|2 +|v|2 −2 u,v =0 eşitliği elde edilir, yani, 0

|

|u− v 2= . Böylece; u =v olur, çünkü u −v bir space-like vektördür (u−v∈<w>⊥). Buradan x= sonucu çıkar. y

Eğer iki vektörde time-like ise, x,y ≠0 olup; < y>⊥ space-like bir altuzay olduğundan E₁4 =<y>⊥ ⊕<y> eşitliğini kullanarak, y =u+λy yazılır. Bundan dolayı; x,y = y,u +

λ

y,y =

λ

y,y dir. u,v =0 olursa, λ= 0 ve x=u

vektörü space-like olurdu. Bu bir çelişkidir. Bundan dolayı; her iki vektör de light-like olmalıdır.

⊥ ∩

∈X X

y

x, ise; x,y =0 olur. Buradan x ve y lineer bağımlıdırlar. Bu da; 1

)

dim(X ∩X⊥ ≤ olduğunu kanıtlar. Boyut tam olarak, 0 ise; E₁4 = X⊥⊕X ve bundan dolayı E₁4 ün herhangi bir vektörü light-like olacaktır.

TEOREM 1.2.3. x , y∈E₁4 sıfır ve spacelike olmayan vektörler ve t > 0 ise, bu durumda

i) tx vektörleri x gibi aynı boyut ve benzerliğe sahiptir.

ii) x+y, x ve y ye aynı boyutta spacelike olmayan vektörlerdir, ayrıca x+y lightlike vektörlerdir ⇔ x ve y lineer bağımlı lightlike vektörlerdir.

ĐSPAT: (i) tx = t x ve (tx)₁=tx₁ dikkate aldığımızda tx ve x aynı benzerlik ve boyuta sahiptir.

(ii) x+y 2= x 2+2 x,y + y 2 ≤ 0

Bunun eşitlik durumu ancak ve ancak x =0, y =0 ve x,y =0 olduğunda sağlanır. Böylece x+y lightlike ⇔ x ve y lineer bağımlı lightlike vektörlerdir.

SONUÇ 1.2.1. Bütün pozitif (negatif) timelike vektörlerin kümesi IRn in konveks altkümesidir.

ĐSPAT: x, y∈IRn pozitif (negatif) timelike vektörler ve 0≤ t ≤ 1 ise bu durumda

(1-t)x+ty pozitif (negatif) timelike olduğu görülür. Bu durumda IRn de konveks altkümedir.

TANIM 1.2.2. ∀ x, y∈IRn için

φ:IRn →IRn fonksiyonu Lorentz dönüşümdür ⇔

φ

(x),

φ

(y) = x,y dir.

n

IR in

{

V₁,V₂,...,V_n

}

bazına Lorentz ortonormal denir ⇔ V₁,V₁ =-1 ∧ V_i,V_j =δ_ij dir.

n

TEOREM 1.2.4. φ:_IRn _→IRn _{fonksiyonu lorentz dönüşümdür⇔}φ _fonksiyonu

lineer ve

{

φ(e₁),φ(e₂),...,φ(e_n)

}

, IRn in Lorentz ortonormal bazıdır. [10] ĐSPAT: φ, IRn in Lorentz dönüşümü olsun. Bu durumda

) ( ), (e₁

φ

e₁

φ

= e₁, e₁ = -1 ve ) ( ), (e_i φ e_j φ =δ_ij

dir. Bu açıkça φ(e₁),φ(e₂),...,φ(e_n) in lineer bağımsız olduğunu gösterir. Dolayısıyla,

{

φ(e₁),φ(e₂),...,φ(e_n)

}

IRn in Lorentz dönüşümüdür. x∈ n

IR olsun. Bu durumda c₁,c₂,...,c_n∈IRn katsayılarıdır. Öyleki ) (x φ =

∑

= n i i i e c 1 ) ( φ

olur.

{

φ(e₁),φ(e₂),...,φ(e_n)

}

bir Lorentz ortonormal baz olduğunda -c₁=

φ

(x),

φ

(e₁) = x, e₁ = -x₁ ve ∀ j > 1 için j c = φ(x),φ(e_j) = x,e_j = -x_j olur. Bu durumda      

∑

= n i i ie x 1 φ =

∑

= n i i i e x 1 ) ( φ olduğundan dolayı φ lineerdir.

Diğer taraftan φ lineer ve

{

φ(e₁),φ(e₂),...,φ(e_n)

}

, _IRn _{in Lorentz ortonormal bazı}

olduğunu kabul edelim. O halde, ) ( ), (x

φ

y

φ

= _           

∑

∑

= = n j j j n i i ie y e x 1 1 ,φ φ =

∑

∑

= = n j j j n i i i e y e x 1 1 ) ( ), (

φ

φ

=

∑

∑

= = n j j j i i n i e y e x 1 1 ) ( ), (

φ

φ

=-x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+…+x_ny_n = x,y

olduğundan dolayı φ, Lorentz dönüşümdür.

TANIM 1.2.3 . A, n × n tipinde reel matrise Lorentz denir ⇔ A: _IRn _{→IR birleşmeli,lineer dönüşüm Lorentzdir.} n

x ֏A(x)=Ax

Bütün n × n tipindeki Lorentz matrislerin çarpımlarıyla oluşan küme, O(1,n-1) grubunu oluşturur ve buna n × n matrisinin Lorentz grubu denir. [10]

TEOREM 1.2.5. A, n × n tipinde reel matris ve J=diag(-1,1,1,…,1) şeklinde tanımlanan n×n tipinde köşegen matris olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir:

(1) A matrisi Lorentzdir.

(2) A formunun sütunları _{IR in Lorentz ortonormal bazıdır.} n

(3) A matrisi A JA=J eşitliğini sağlar. t

(4) A matrisi AJA =J eşitliğini sağlar. t

(5) A formunun satırları _{IR in Lorentz ortonormal bazıdır. [10]} n

A, Lorentz matrisi olsun. A JA=J iken t (det A =1 olur. Böylece det A= ± 1 dir. )2

SO(1,n-1), O(1,n-1) deki iki indeksin altgrubudur. SO(1,n-1) grubuna özel Lorentz grubu denir. IR deki bütün timelike vektörler kümesi, pozitif ve negatif timelike n

vektörler olarak iki bağlantılı bileşene sahiptir. A Lorentz matrisi pozitif(negatif) olarak ifade edilir ⇔ A, pozitif(negatif) timelike vektörleri pozitif(negatif) timelike vektörlere dönüştürür. Mesela J matrisi negatiftir. Lorentz matrisi ya pozitiftir ya da negatiftir. PO(1,n-1), O(1,n-1) de bütün pozitif matrislerin kümesi olsun. Bu durumda

PO(1,n-1), O(1,n-1) deki iki indeksin altgrubudur. PO(1,n-1), pozitif matrisin grubuna, Lorentz pozitif grup denir. Aynı şekilde PSO(1,n-1), SO(1,n-1) deki pozitif matrislerin

kümesi olsun. Bu durumda PSO(1,n-1), SO(1,n-1) deki iki indeksin altgrubudur.

PSO(1,n-1) grubuna pozitif özel Lorentz grup denir.[10]

TEOREM 1.2.6. M nin her boyutu için, IR in m boyutlu timelike altvektör uzayının n

kümesinde PO(1,n-1) in doğal hareketi geçişlidir. [10]

ĐSPAT: V; IR in m boyutlu timelike altvektör uzayı olsun. n

{

e₁,e₂,...,e_m

}

vektörleri tarafından gerilen IR in altuzayı n IR i belirleyelim. Bu, PO(1,n-1) deki A yı yani m

A(IR )=V olduğunu göstermek, ispat için yeterlidir. m IR in n

{

u₁,u₂,...,u_n

}

bazı var öyleki u , V deki pozitif timelike vektörü ve ₁

{

u₁,u₂,...,u_m

}

, V için bir baz seçelim.

1 w = 1 1 u u

olsun. bu durumda w₁, w₁ = -1 dir. v =₂ u +₂ u₂, w₁ w₁dir. Bu durumda

1

u ,u₂ lineer bağımsız olduğundan u₂sıfır değildir. Dahası, 2

, v

w = w,u₂ + u₂, w₁ w₁, w₁ =0

olur. Bu yüzden lorentz ortogonal vektörler ve u timelike vektör olduğundan v₂

spaceliketır(teorem 1.1.1.). Bu şekilde devam edersek; 2 w = 2 2 v v 3 v =u + ₃ u₃, w₁ w -₁ u₃, w₂ w₂ ⋮ n v =u +_n u₃, w₁ w -₁ u₃, w₂ w₂-…- u_n,w_n−1 w_n−1 n w = n n v v

olsun. Bu durumda

{

w₁,w₂,...,w_n

}

, IR uzayının Lorentz ortonormal bazını ve n

{

w1,w2,...,wn

}

, V nin bazını elde ederiz. A; w1,w2,...,wn sütunları olan n × n tipinde

matris olsun. Bu durumda A matrisi, Teorem 1.2.5 kullanarak Lorentz’dir ve

A(IR )=V; dahası A pozitiftir çünkü Am e₁=w₁ pozitif timeliketır.

TEOREM 1.2.7. x, y∈E₁4 pozitif(negatif) timelike vektörler olsun. bu durumda

y x y

x, ≤ eşitliğiyle ⇔ x ve y lineer bağımlıdır. [10]

ĐSPAT: PO(1,n-1) de bir A alalım yani Ax=te₁ olur. A, Lorentz iç çarpımını korumasıyla x ve y yi Ax ve Ay yerine koyabiliriz. Bu durumda

2 2

y

x = - x₁2(−y₁2+ y2)=x₁2y₁2 −x₁2 y2 ≤x₁2y₁2 = x, y 2

eşitliğiyle ⇔ y =0, yani y=y₁e₁ dir. x,y ≤−x₁y₁<0 iken x,y ≤ x y eşitliğiyle ⇔ x ve y lineer bağımlıdır.

TEOREM 1.2.8. x, y∈E₁4 pozitif(negatif) timelike vektörler olsun. Bu durumda

θ

cosh ,y x y

x =

TANIM 1.2.4. Yukarıdaki teoremde verilen θ reel sayısına x,y timelike vektörleri arasındaki Lorentz timelike açı denir. [10]

TANIM 1.2.5. x, y∈E₁4 vektörleri ve x,y arasındaki Lorentz timelike açısı θ olsun. Bu durumda θ = ) , ( 4 1 y x d E (x,y)

reel sayısına x ve y arasındaki uzaklık denir. [10]

TANIM 1.2.6. x, y, z∈E₁4 vektörleri ve            − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 J olsun. Bu durumda ) , , (x y z J z y x∧ ∧ =

olarak ifade edilen çarpıma Lorentz vektörel çarpım denir. 0 ) ( ) ( , ,x∧y∧z = x J x∧y∧z =x⋅ x∧ y∧z = x 0 ) ( ) ( , ,x∧ y∧z = y J x∧ y∧z =y⋅ x∧y∧z = y 0 ) ( ) ( , ,x∧y∧z = z J x∧y∧z =z⋅ x∧y∧z = z

olur. Böylece x∧y∧z, hem x hem y hem de z ye Lorentz ortogonaldir.

TEOREM 1.2.9. x, y, z, w∈E₁4 vektörleri ise bu durumda i) (x∧ )y ∧z= -z∧(x∧y) ii) (x∧y∧z),w =−det(x,y,z,w) ĐSPAT: i) 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 ) ( z z z z y y y y x x x x e e e e z y x − − = ∧ ∧ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 4 4 2 1 4 2 1 4 2 1 3 4 3 1 4 3 1 4 3 1 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 z z z y y y x x x e z z z y y y x x x e z z z y y y x x x e z z z y y y x x x e + − + = =

(

z₂(x₄y₃−x₃y₄)−z₃(x₂ y₄ −x₄y₂)+z₄(x₂y₃−x₃y₂)

)

e₁

+

(

z₁(x₃y₄−x₄y₃)−z₃(x₁y₄ −x₄y₁)+z₄(x₁y₃−x₃y₁)

)

e₂ -

(

z₁(x₂y₄ −x₄y₂)−z₂(x₁y₄ −x₄y₁)+z₄(x₁y₂ −x₂y₁)

)

e₃ +

(

z₁(x₂y₃−x₃y₂)−z₂(x₁y₃ −x₃y₁)+z₃(x₁y₂−x₂y₁)

)

e₄ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 4 4 2 1 4 2 1 4 2 1 3 4 3 1 4 3 1 4 3 1 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 y y y x x x z z z e y y y x x x z z z e y y y x x x z z z e y y y x x x z z z e − + − − = ) ( 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 y x z y y y y x x x x z z z z e e e e ∧ ∧ − = − = ii) , det( , , , ) ? w z y x w z y x∧ ∧ =− w z y x∧ ∧ , =

[

]

[

]

[

]

[

]

             − + − − − + − + − − − − − + − − − + − + − − − − ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 3 3 1 3 1 2 3 2 3 2 1 4 2 1 2 1 4 4 1 4 1 2 4 2 4 2 1 3 3 1 3 1 4 1 2 4 1 3 4 3 4 3 1 2 3 2 3 2 4 4 2 4 2 3 4 3 4 3 2 1 y z z y x y z z y x y z z y x w y z z y x y z z y x y z z y x w y z z y x y z z y x y z z y x w y z z y x y z z y x y z z y x w 3 2 1 3 2 1 3 2 1 4 4 2 1 4 2 1 4 2 1 3 4 3 1 4 3 1 4 3 1 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 z z z y y y x x x w z z z y y y x x x w z z z y y y x x x w z z z y y y x x x w + − + − = =−det(x,y,z,w)

SONUÇ 1.2.2. x, y∈E₁4 lineer bağımsız, pozitif (negatif) timelike vektörleri ise bu durumda x ∧y spacelike vektördür ve

θ

sinh y x y x∧ =− dır.

ĐSPAT: x∧ y2 = x,y 2 − x2 y 2 = x 2 y 2cosh2θ− x 2 y 2 = x 2 y 2(cosh2θ−1) = _x 2 _y 2_sinh2θ y x y x, ) , (

cosh

θ

=− olduğundan x∧y =− x y sinh

θ

olur.

SONUÇ 1.2.3. x, y∈E₁4 spacelike vektörler ise bu durumda i) x,y < x y ⇔ x∧ y timelike

ii) x,y = x y ⇔ x∧y lightlike iii) x,y > x y ⇔ x∧y spacelike olur.

ĐSPAT: x∧y 2 = x,y 2− x 2 y 2 ifadesinden açık olarak görülür.

TEOREM 1.2.10. 4 1

E

d uzaklık fonksiyonu, E üzerinde metriktir. [10] ₁4

ĐSPAT: 4 1

E

d fonksiyonu negatif olmayan,simetrik ve nondejeneredir. 1

+

n

IR in pozitif Lorentz dönüşümü H hiperbolik uzayı üzerinde uzaklığı korur. x, y, z n

vektörleri en çok 3 boyuttaki IRn+1 altvektör uzayını gerer. x, y, z yi e₁,e₂,e₃ tarafından gerilen IRn+1 in altuzayı içindedir. Diğer bir deyişle n=2 olarak kabul edelim.

) , ( sinh x y y x∧ =

θ

ve y∧z =sinh

θ

(y,z)

olduğunda y, hem x ∧y hem de y ∧ ye Lorentz ortogonalken y ve z (x∧y)∧(y∧z) vektörleri lineer bağımlıdır. Böylece ya sıfır ya da timeliketır. Bu durumda

z y y x z y y x∧ ),( ∧ ) ≤ ∧ ∧ (

eşitsizliğini elde ederiz. Elde edilenleri düzenlediğimizde

cosh(θ(x,y)+θ(y,z))=cosh θ(x,y)coshθ(y,z)+sinh θ(x,y)sinhθ(y,z) = x,y y,z + x∧y y∧z z y y x z y y x + ∧ ∧ ≥ , , , = x,y y,z +( x,z y,y − x,y y,z )

= - x,z

= cosh θ(x,z) elde ederiz. Bu yüzden

) , ( ) , ( ) , (x z θ x y θ y z θ ≤ + olur.

H üzerinde n d_H metriğine hiperbolik metrik denir. d_H tarafından belirlenen H in n

metrik topolojisi, d_E(x,y) = x −y Öklid metriğiyle tanımlanan metrik topolojisiyle _H n

üzerinde tanımlanan metrik topolojisi aynıdır. Bu uzaya hiperbolik n-uzay denir. H n

den kendisine olan izometriye hiperbolik izometri denir.

TEOREM 1.2.11. IRn+1 uzayının her pozitif Lorentz dönüşümü, H uzayının bir n

izometrisine kısıtlanır ve _{H uzayının her izometrisi,} n _IRn+1 _{uzayının bir tek pozitif} Lorentz transformasyonuna genişler. [10]

ĐSPAT: φ:H →n Hn dönüşümü izometriktir ⇔ Dönüşüm, H üzerinde Lorentz iç n

çarpımını korur.

Böylece IRn+1 uzayının pozitif bir Lorentz dönüşümünü, H uzayının izometrisine n

kısıtlar.

Diğer taraftan φ:H →n Hn izometri olduğunu varsayalım. φ, e₁ i sabitlediğini düşünelim. φ nin bileşenleri φ₁,φ₂,...,φ_n+1 olsun. Bu durumda

1

φ

(x) = -φ(x) e₁ = -

φ

(x),

φ

(e₁) = - x,e₁ = x₁ olur. Bu yüzden φ(x) = (x₁,φ₂(x),...,φ_n+1(x)) dir.

p: H →n IRn, x=(x₂,...,x_n+1) olan p(x) = x ile tanımlansın. Bu durumda p, bijeksiyondur.

φ:IR →n IRn, φ(u)=(φ₂(p−1(u)),...,φ_n(p−1(u)))şeklinde tanımlasın. Bu durumda

n H x ∈

-x₁ y₁+φ(x) φ( y ) = -x₁ y₁+x y

olur.

Böylece φ(x) φ( y ) = x y dir. Bundan dolayı φ, bir ortoğonal dönüşümdür. n × n tipinde ortoğonal A matrisi vadır yani ∀u ∈IRn için Au = φ(u) olur.

            = 1 0 0 0 ... 0 1 ˆ A A

⋮ matris olsun. Bu durumda Aˆ , pozitif Lorentzdir ve

n H x ∈

∀ için

Aˆ = φ(x) dir.

φ, H uzayının keyfi bir izometrisi olduğunu farzedelim. B ∈PO(1,n) yani n Bφ(e₁) = e₁ olduğundan Bφ, IRn+1 uzayının pozitif dönüşümüne genişletirken bu durum φ için de doğrudur. C,D ∈PO(1,n) ve φ yi genişleteceğimizi farz edelim. Bu durumda D−1C, H uzayının her noktasını sabitler. n H uzayı, n IRn+1 uzayının herhangi bir altvektör uzayını içermezken D−1C, IRn+1 uzayının hepsini sabitlediğinden içerir. Böylece D=C olur. Bu da φ yi IRn+1 uzayının pozitif Lorentz dönüşümüne genişletir.

SONUÇ 1.2.4. Ι (_Hn) _{hiperbolik izometrilerinin grubu, PO(1,n) pozitif Lorentz} grubuna izomorfiktir. [10]

TANIM 1.2.7. H uzayının hiperbolik doğrusu, n IRn+1 uzayının 2-boyutlu timelike altvektör uzayıyla H uzayının kesişimidir. n

x ve y, H uzayının ayrık noktaları olsun. Bu durumda x ve y, n _IRn+1 _uzayının 2-boyutlu timelike altuzayını gerer ve böylece

L(x,y) = Hn∩V(x,y)

hem x hem de y yi içeren H uzayının tek hiperbolik doğrusudur. [10] n

TANIM 1.2.8. x, y∈IRn+1 vektörleri Lorentz ortonormaldir ⇔ 1 0 , , 1 2 2 = = − = x y ve y x dir. [10]

TEOREM 1.2.12 α :

[ ]

a,b →Hn eğrisi olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir: i)

α

eğrisi jeodezik yaydır.

α

(t) = (cosh (t-a) x+ sinh (t-a) y )

dir.

iii)

α

eğrisi, α′′−α =0 diferansiyel denklemini gösterir. [10]

ĐSPAT: A , IRn+1 uzayının bir Lorentz dönüşümü olsun. O halde (A )α ′ A= α′ dür. Bu durumda

α

, (iii) denkliğini ancak Aα olduğunda gösterir. Dolayısıyla Lorentz dönüşümünü kullanarak gösteririz.

α

nın jeodezik yay olduğunu farz edelim. t,

[ ]

a,b

aralığında olsun. Bu durumda

)) ( ), ( ( )) ( ), ( ( ) ( ) ( )) ( ), ( ( b t t a t b a t a b b a

α

α

θ

α

α

θ

α

α

θ

+ = − + − = − =

olur. Böylece

α

(a),

α

(b),

α

(t) hiperbolik kolineerdir. Dolayısıyla

α

nın görüntüsü

n

H uzayının L hiperbolik doğrusundadır.

Bu yüzden n=1 olduğunu kabul edebiliriz. O halde,       s s s s cosh sinh sinh cosh

formunu Lorentz dönüşümüne uygulayarak

α

(a) yı e₁ bazına dönüştürebiliriz. O halde,

1

e .

α

(t)= -

α

(a)

α

(t) = cosh

θ

(

α

(a),

α

(t)) =cosh (t-a)

olur. Böylece e₂

α

(t)=±sinh(t−a) dır.

α

sürekliyken ∀ t için “+” veya “-” işareti elde edilir. Bundan dolayı

) (t

α

= (cosh (t-a)) e₁ + (sinh (t-a)) (∓e₂) olur. O halde (i) ⇒ (ii) olduğunu göstermiş oluruz.

x, y _∈IRn+1 _{Lorentz ortonormal vektörler olsun . Bu durumda} )

(t

α

= (cosh (t-a)) x + (sinh (t-a)) y

dir. a≤s≤t≤b olacak şekilde

cosh

θ

(

α

(s),

α

(t))= -

α

(s),

α

(t)

= cosh (s−a)cosh(t−a)- sinh (s−a)sinh(t−a) = cosh(t-s)

elde ederiz.

Böylece

θ

(

α

(s),

α

(t))= t-s dir. O halde

α

, jeodezik yaydır. Dolayısıyla (ii) ⇒ (i) olduğunu ifade etmiş oluruz.

x,y _∈IRn+1 _{Lorentz ortonormal vektörler olsun . Bu durumda} )

(t

α

= (cosh (t-a)) x + (sinh (t-a)) y

dir. α′′ (t) = (cosh (t-a)) x + (sinh (t-a)) y olduğundan α′′−α =0 olur. Dolayısıyla (ii) ⇒ (iii) olur.

(iii) nin varlığını kabul edelim. Bu durumda )

(t

α

= (cosh (t-a))

α

(a) + (sinh (t-a))

α

′(a) dır.

α

(t),

α

(t) = -1 denkleminin diferansiyellenmesinde ) ( ), (t

α

t

α

′ +

α

(t),

α

′(t) = 0 ⇒ 2

α

(t),

α

′(t) = 0 ⇒

α

(t),

α

′(t) = 0

olduğu görülür. Böylece

α

(a),

α

′(a) = 0 olur. 2

) (t

α

= (-cosh2(t-a)+sinh2(t-a))

α

′(a)2

olduğundan

α

(t) 2= 1 ise

α

′(a) 2= 1 elde ederiz. Böylece

α

(a),

α

′(a) Lorentz ortonormaldir. Dolayısıyla (iii) ⇒ (ii) olur.

TEOREM 1.2.13.

λ

:IR →Hn fonksiyonu bir jeodezik doğrudur ⇔ x,y ∈IRn+1

Lorentz ortonormal vektörleri vardır yani )

(t

λ

= (cosh t) x + (sinh t) y dir. [10]

ĐSPAT: x, y ∈IRn+1 Lorentz ortonormal vektörleri var olduğunu yani )

(t

λ

= (cosh t) x + (sinh t) y olduğunu kabul edelim. Bu durumda λ′′−λ =0 diferansiyel denklemini belirtir. O halde a < şeklindeki herhangi b

[ ]

a,b araliğina λnın kısıtlanışı, jeodezik yaydır. O halde λ, jeodezik doğrudur.

Diğer taraftan λ, jeodezik doğru olduğunu kabul edelim. λ fonksiyonu λ′′−λ =0 diferansiyel denklemini gösterir. Sonuç olarak

) (t

λ

= (cosh t) λ(0) + (sinh t) λ′ (0)

SONUÇ 1.2.5. H uzayında n

α

eğrileri jeodeziktir ⇔ uzayın hiperbolik doğrularıdır[10]

ĐSPAT: H uzayının her jeodeziğinin hiperbolik doğru olduğunu yukarıda ifade n

etmiştik. Diğer tarafını ise; L, H uzayının hiperbolik doğrusu olsun. n =1 olduğunu n

kabul edebiliriz. Bu durumda L = H dir. 1

λ

:IR →Hn

t ֏

λ

(t)= (cosh t) e₁+ (sinh t) e₂

olarak tanımlanır. Bu durumda λ, H uzayı üzerinde jeodezik doğru dönüşümüdür. Bu 1

yüzden L, bir jeodeziktir.

TANIM 1.2.9. H uzayının m-hiperbolik düzlemi, n IRn+1 uzayının (m+1) boyutlu timelike altvektör uzayıyla H uzayının kesişimidir. n

_{H uzayının 1-hiperbolik düzlemi,} n _{H uzayının hiperbolik doğrusudur.} n _H n

uzayının (n-1) hiperbolik düzlemine H uzayının hiperdüzlemi denir. [10] n

x, y_∈IRn+1 _{spacelike vektör olsun. Bu durumda x tarafından gerilen x altvektör} uzayının Lorentz tümleyeni, IRn+1 uzayının n-boyutlu timelike altvektör uzayıdır. Böylece P = x L ∩ _{H ,} n _{H uzayının hiperdüzlemidir. P hiperdüzlemine, x e Lorentz} n

ortogonal _{H uzayının hiperdüzlemidir.} n

TEOREM 1.2.14. x, y∈IRn+1 lineer bağımsız spacelike vektörleri olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir:

(1) x ve y vektörleri x,y ≤ x y denklemini belirtir. (2) x ve y tarafından gerilen V altvektör uzayı spaceliketır.

(3) Sırasıyla x ve y vektörlerine Lorentz ortogonal olan H uzayının P ve Q n

hiperdüzlemleriyle kesişir.[10]

ĐSPAT: (1) denkliğini sağladığını kabul edelim. Bu durumda s ve t sıfır olmayan reel sayılar için, = + 2 ty sx sx 2 +2st x,y + ty 2 > 2 2 , 2st x y ty sx − + =

(

)

2 ty sx − _{≥ 0}

elde ederiz. Böylece V spacelike olur.

Diğer yandan (2) denkliğini ele alırsak bu durumda V üzerinde Lorentz iç çarpımı pozitif tanımlıdır. Dolayısıyla V deki Cauchy eşitsizliğini sağlar ve bu yüzden (1) denkliği elde edilir. Böylece (1) ve (2) denktir.

olduğundan (2) ve (3) denktir.

TANIM 1.2.15. (Space-like Vektörler Arasındaki Space-like Açı) 1

,_y∈_IRn+

x space-like altvektör uzayını geren space-like vektörler olsun. Bu durumda

y x y

x, ≤

eşitliğini elde ederiz ⇔ x ve y lineer bağımlıdır. Dolayısıyla 0 ve

π

arasında bir tek

(x,y) reel sayısı vardır yani

) , ( cos ,y x y x y x =

θ

dir. x ve y arasındaki Lorentz space-like açı θ(x,y) olarak tanımlanır. θ(x,y)=0 ⇔ x

ve y birbirinin pozitif skalar katı olduğu önemlidir. θ(x,y)=

π

/2 ⇔ x ve y Lorentz ortagonaldir ve θ(x,y)=

π

⇔ x ve y birbirlerinin negatif skalar katıdır.

n H IR →

: ,

µ

λ

, λ(0)=µ(0) olan jeodezik doğrular olsun. Bu durumda 1 ), 0 ( ) 0 ( ′ + ′ _ve

µ

_IRn

λ

uzayının bir space-like altvektör uzayını gerer. λ ve µ arasındaki hiperbolik açı,

λ

′(0) ve

µ

′(0) arasındaki Lorentz space-like açı olarak tanımlanır.

P, H uzayının hiperdüzlemi olsun ve n λ:IR→H bir jeodezik doğru olsun yani n

P (0) ∈

λ

olsun. Bu durumda L=λ(IR) hiperbolik doğrusu P ile Lorentz ortagonaldir

denir ⇔ P,

λ

′(0) e Lorentz ortagonal _{H uzayının hiper düzlemidir.} n

TEOREM 1.2.16. x, y∈IRn+1 lineer bağımsız spacelike vektörleri olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir:

(1) x ve y vektörleri x,y ≥ x y eşitsizliğini sağlar. (2) V altvektör uzayı, x ve y time-like vektörleriyle gerilir.

(3) Sırasıyla x ve y vektörlerine Lorentz ortagonal _{H uzayının P ve Q} n

hiperdüzlemleri ayrıktır ve ortak bir Lorentz ortagonal hiperbolik doğrusuna sahiptir. [10]

ĐSPAT: x’in skalar katları için ayrı tutulursa V nin her elemanı, bazı t reel sayıları için

tx+y formunun elemanlarının skalar katıdır.

2 2 2 2 , 2t x y y x t y tx+ = + +

ifadesini, t deki bir quadratik polinom olduğuna dikkat edelim. Bu polinom, negatif değerler alır ⇔ 4

(

x,y

)

2 −4 x 2 y 2 diskriminantı pozitiftir. Böylece (1) ve (2) denktir.

V nin time-like olduğunu farz edelim. Bu durumda V space-liketır. Bu durumda L

VL = x L ∩ y L

olduğundan P ve Q ayrık olduğunu elde ederiz. N = V ∩ H bir hiperbolik doğrusudur n

ve V ∩ x L , IRn+1 uzayının 1-boyutlu altuzayı olduğuna dikkat edelim. Ayrıca

(

tx+y

)

,x =0

denklemi

t=− x,y / x 2

tek çözümüne sahiptir. Üstelik,

0 , 2 2 2 2 < + − = + y x y x y tx

olur. Dolayısıyla V∩ x L time-liketır. Böylece N ∩ P

2 2 2 ) , ( ) ( , y x y x y x x x y x u − + − = ∓

u pozitif time-like olarak seçilen artı ya da eksi işareti olan tekil noktasıdır. Aynı şekilde

N∩ Q , V tekil bir noktasıdır. λ:IR→H jeodezik doğrusu yani n λ(0)=u ve λ(IR)=N

olsun.

λ

′(0) ve x , u ∈V ye ikisi de Lorentz ortagonal olduğunda

λ

′(0), x in bir skalar katı olduğunu elde edilir. Böylece N , P ye Lorentz ortagonaldir. Aynı şekilde N, Q ya ortagonaldir.

Diğer yandan (3) denkliğini sağladığını kabul edelim. N; P ve Q ya ortak Lorentz ortagonal hiperbolik doğrusu olsun. Bu durumda N=W ∩ H olan n IRn+1 uzayının 2-boyutlu bir W time-like altvektör uzayı vardır. N, P ye Lorentz ortagonalken x∈W olduğunu elde ederiz. Aynı şekilde y∈W dır. Dolayısıyla V=W ve bu yüzden V time-liketır.

Uyarı: Teorem 1.2.16. nın ispatı, N ortak bir Lorentz ortagonal hiperbolik doğrusu ile

P ve Q, H uzayının ayrık düzlemleri ise bu durumda N tektir; ayrıca x, y∈n IRn+1 P, Q ya sırasıyla Lorentz ortagonal space-like vektörleri ise bu durumda x ve y , N nin tanjant vektörleri olduğunu gösterir.

TANIM 1.2.16. (Space-like Vektörler Arasındaki Time-like Açı)

x, y∈IRn+1 timelike altuzayını geren spacelike vektörler olsun. Teorem 1.2.16. ile x,y ≥ x y olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla,

) , ( cosh ,y x y x y x =

θ

olan bir tek pozitif

θ

(x,y) reel sayısı vardır. x ve y arasındaki Lorentz time-like açısı, )

, (x y

θ

olarak tanımlanır. Aşağıdaki teoremde

θ

(x,y) nin geometrik yorumunu verilir.

TEOREM 1.2.17. x, y∈IRn+1 timelike altvektör uzayını geren spacelike vektörler olsun. P, Q sırasıyla x, y ye Lorentz ortogonal H uzayının hiperdüzlemleri olsun. Bu n

durumda

θ

(x,y), P ve Q ya Lorentz ortogonal N hiperbolik doğru boyunca P den Q ya hiperbolik uzaklığıdır. Ayrıca x,y <0 ⇔ x ve y, N nin tersi yönünde yönlendirilmiş tanjant vektörleridir. [10] ĐSPAT: P ∩N noktası 2 2 2 ) , ( ) ( , y x y x y x x x y x u − + − = ∓ ve Q∩N noktası 2 2 2 ) , ( ) ( , y x y x y y y x x y v − − = ∓ dır. cosh d_H( vu, )= - u,v 2 2 2 3 ) , ( ) )( , ) , ( ( y x y x y x y x y x y x − + − = ∓ 2 2 2 2 2 3 ) , ( ) ( ) , ) , (( y x y x y x y x y x y x − − − = ∓

y x y x ∓ , − = y x y x ∓ , = = cosh

θ

(x,y)

Ayrıca u,v nin hesaplaması, u ve v aynı işarete sahiptir ⇔ x,y < 0 olduğunu gösterir. u ve v, x ve y ya da –x ve –y arasında V nin kuadrantıdır ⇔ u ve v nin - x,y

katsayısı pozitiftir. Böylece x ve y, N nin ters yönlü yönlendirilmiş tanjant vektörleridir ⇔ x,y < 0 dır.

x, y∈IRn+1 spacelike vektörler olsun.P, Q sırasıyla x, y ye Lorentz ortogonal H n

uzayının düzlemleri olsun. Bu durumda P ve Q sonsuzda karşılaşır ⇔ x L∩ y L

lightliketır. P ve Q sonsuzda karşılaşır ise P ve Q ayrıktır, fakat orijinde bakıldığında bunlar x L∩ y L nin 1-boyutlu lightlike altuzayının pozitif ideal son noktasında karşılaştığı görülür.

TEOREM 1.2.18. x, y∈IRn+1 lineer bağımsız spacelike vektörleri olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir:

(1) x ve y vektörleri x,y = x y eşitliğini sağlar. (2) V altvektör uzayı, x ve y lightlike tarafından gerilir.

(3) x ve y ye Lorentz ortogonal H uzayının P ve Q hiperdüzlemleri sırasıyla n

sonsuzda karşılaşırlar. [10]

TEOREM 1.2.20. x, y∈IRn+1 lineer bağımsız spacelike vektör yani x, y lightlike tarafından gerilen V altvektör uzayı olsun. Bu durumda x,y < 0 ⇔ x, y ; V nin 1-boyutlu lightlike altuzayının ters tarafındadır.[10]

ĐSPAT: tx +y = 0 denklemi t=− x,y x 2 tek çözüme sahip 2 2 2 , 2 x y t y x t + + = 0

kuadrik denklemine denktir.

y x x y x + − , ( 2)

lightlike vektörü, x ve y arasında V nin kuadrantıdır ⇔ x,y < 0 dır. Dolayısıyla, x ve

y, V nin 1-boyutlu lightlike altuzayının ters tarafındadır ⇔ x,y < 0 dır.

TEOREM 1.2.21. y, H uzayının bir noktası ve P, n _{H uzayının bir hiperdüzlemi} n

olsun. Bu durumda P ye Lorentz ortogonal y boyunca geçen H uzayının tek N n

hiperbolik doğrusudur. [10]

ĐSPAT: x, P ye Lorentz ortogonal birim spacelike vektör olsun ve V, x ve y tarafından gerilen altuzay olsun. Bu durumda N = _{V ∩ H}n_{, y boyunca geçen bir hiperbolik}

doğrusudur. x y tx ), ( + = 0 denklemi, t= − x,y çözümüdür. Dolayısıyla, 1 ) , ( , 2 ₊ + − = y x y x y x w ∓ ,

P ∩ N nin bir noktasıdır.

λ

:IR →Hn, λ(IR)= N ve λ(0)=w olan bir jeodezik doğru

olsun. w ve x ortonormal vektörler iken ) (t

λ

= (cosh t) w ∓ (sinh t) x

elde ederiz. Dolayısıyla

λ

′ )(0 =∓x dir. Bu yüzden N, P ye Lorentz ortogonaldir.

N, P ye ortogonal ve y boyunca geçen bir hiperbolik doğru olduğunu kabul edelim.

n H IR →

:

λ

, λ(IR)= N ve λ(0) ∈P olacak şekilde bir jeodezik doğru olsun. Bu durumda

λ

′(0), P ye Lorentz ortogonaldir. Dolayısıyla

λ

′ )(0 =∓x olur. W,

N=W ∩ Hn olan 2-boyutlu timelike altuzay olsun. x, y∈W iken W=V olarak elde ederiz. Böylece N, tektir.

TANIM 1.2.16. IRn+1 uzayında x, spacelike vektör ve y bir pozitif timelike vektör olsun. Bu durumda ) , ( sinh ,y x y x y x =

θ

olan bir tek

θ

(x,y) negatif olmayan reel sayı vardır.

θ

(x,y) açısına, x ve y arasındaki

Lorentz timelike açı denir. [10]

TEOREM 1.2.22. x,y∈IRn+1, x bir spacelike vektör ve y bir pozitif timelike vektör olsun. P, x e Lorentz ortogonal _{H uzayının hiperdüzlemi olsun. Bu durumda} n

θ

_(x,y),

y

y boyunca geçen N hiperbolik doğrusu boyunca ölçülen y y den P ye hiperbolik uzaklıktır. Ayrıca x,y < 0 ⇔ x ve y, P ile gerilen IRn+1 uzayının hiperdüzleminin ters tarafındadır. [10]

ĐSPAT: v= y y olsun. P ∩ N noktası

2 2 2 ) , ( ) ( , y x y x y x x x y x u − + − = ∓ olduğundan cosh d_H( vu, )= - u,v y x y x y x, 2− 2 2 = = cosh

θ

(x,y)

elde edilir. Ayrıca - u,v hesaplamasında u nun + işaretli olduğunu gösterir. u, x ve y tarafından gerilen 2-boyutlu V timelike altuzayıdır. U, x ve y arasındaki V nin kuadrantıdır ⇔ u nun - x,y katsayısı pozitiftir. Böylece x ve y, P tarafından gerilen

1 +

n

IR uzayının hiperdüzleminin ters tarafları üzerindedir ⇔ x,y < 0 dır.

ÖRNEK 1.2.1.       = + 4 2 2 2 z y x K konisini alalım. ) 1 , 1 , 1 ( 1

P doğrultmanı orijinden geçen doğru

1 1 1 : 1 z y x d = =