Öteleme Yüzeylerin Diferensiyel Geometrisi

T.C.

UŞAK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÖTELEME YÜZEYLERİNİN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MUHAMMED ÇETİN

HAZİRAN 2010 UŞAK

T.C.

UŞAK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÖTELEME YÜZEYLERİNİN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MUHAMMED ÇETİN

ÖTELEME YÜZEYLERİNİN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ (Yüksek Lisans Tezi)

Muhammed ÇETİN

UŞAK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Haziran 2010

ÖZET

Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır.

Tezin birinci bölümünde konuyla ilgili temel tanım ve teoremler verildi.

İkinci bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında öteleme yüzeylerinin diferensiyel geometrik özelikleri incelendi. Bu doğrultuda, yüzeyin üreteç eğrileri boyunca şekil operatörü matrisi, Gauss eğriliği, ortalama eğriliği, yüzeyin üreteç eğrileri boyunca yüzey eğrilikleri, yüzeyin temel formları, asli doğrultuları ve asli eğrilik çizgileri, asli eğrilikleri, umbilik noktaları, asimptotik çizgileri ve geodezikleri bulundu.

Üçüncü bölümde minimal öteleme yüzeyleri ve diferensiyel geometrik özelikleri incelendi.

Dördüncü bölümde ise sabit eğrilik ve burulmaya sahip üreteç eğrilerinin oluşturduğu öteleme yüzeylerine paralel olan yüzeylerin diferensiyel geometrik özelikleri incelendi.

Bilim Kodu : 53A05, 53A10

Anahtar Kelimeler : Öteleme yüzeyleri, minimal yüzeyler, paralel yüzeyler, Scherk yüzeyi

Sayfa Adedi : 69

DIFFERENTIAL GEOMETRY OF TRANSLATION SURFACES (M. Sc. Thesis)

Muhammed ÇETİN

UŞAK UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY June 2010

ABSTRACT

This thesis consists of four chapters.

In the first chapter, the basic definitions and theorems are given related to this subject.

In the second chapter, differential geometric properties of translation surfaces in 3-dimensional Euclidean space are given. Hence, shape operator matrix along generator curves of surface, Gaussian curvature, mean curvature, curvatures along generator curves of surface, fundemantel forms of surface, principal lines and lines of principal curvature, umbilic points, asimptotic lines and geodesics are given.

In the third chapter, minimal translation surfaces and differential geometric properties are given.

In the fourth chapter, differential geometric properties of surfaces that are parallel to translation surfaces in 3-dimensional Euclidean space which are constructed by generator curves with constant curvatures and torsions are given.

Science Code : 53A05, 53A10

Key Words : Translation surfaces, minimal surfaces, parallel surfaces, Scherk Surface

Page Number : 69

TEŞEKKÜR

Öncelikle, bu tezin hazırlanması esnasında büyük yardımlarını gördüğüm ve her an her konuda manevi desteğini benden esirgemeyen değerli danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Yılmaz TUNÇER’e teşekkürlerimi ve şükranlarımı sunarım.

Çalışmamdaki eksiklerimi tamamlayan, yol gösteren Sayın Prof. Dr. Yusuf YAYLI’ya (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) ve Sayın Yrd. Doç. Dr. Murat Kemal KARACAN’a (Uşak Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca, çalışmalarım sırasında bana anlayış gösteren, destek olan, duydukları ve hissettirdikleri sonsuz güven için sevgili eşime, anneme ve babama teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER

ÖZET ...i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

İÇİNDEKİLER ...iv

SİMGELERİN LİSTESİ ...vi

1. BÖLÜM...1

GİRİŞ...1

1.1 Temel Tanım ve Teoremler ...2

2. BÖLÜM...12

2. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA ÖTELEME YÜZEYLERİ ...12

2.1. Öteleme Yüzeylerinin Üreteç Eğrileri Boyunca Şekil Operatörü Matrisi...12

2.2. Öteleme Yüzeylerinin Gauss Eğriliği ve Ortalama Eğriliği...15

2.2.1. Gauss eğriliği...15

2.2.2. Ortalama eğrilik...16

2.3. Öteleme Yüzeylerinin Üreteç Eğrileri Boyunca Yüzey Eğrilikleri...17

2.3.1. M öteleme yüzeyinin a eğrisi boyunca yüzey eğrilikleri...17

2.3.2. M öteleme yüzeyinin b eğrisi boyunca yüzey eğrilikleri...19

2.4. Öteleme Yüzeylerinin Temel Formları, Asli Doğrultuları ve Asli Eğrilik Çizgileri, Asli Eğrilikleri, Umbilik Noktaları, Asimptotik Çizgileri ve Geodezikleri ...21

2.4.1. Öteleme yüzeylerinin temel formları...21

2.4.2. Öteleme yüzeylerinin asli doğrultuları ve asli eğrilik çizgileri ...22

2.4.5. Öteleme yüzeylerinin asimptotik çizgileri...25

2.4.6. Öteleme yüzeylerinin geodezikleri...26

3. BÖLÜM...34

3. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA MİNİMAL ÖTELEME YÜZEYLERİ ...34

3.1. Minimal Öteleme Yüzeylerinin Üreteç Eğrileri Boyunca Şekil Operatörü Matrisi ...35

3.2. Minimal Öteleme Yüzeylerinin Gauss Eğriliği ...36

3.3. Minimal Öteleme Yüzeylerinin Üreteç Eğrileri Boyunca Yüzey Eğrilikleri ...37

3.4. Minimal Öteleme Yüzeylerinin Temel Formları, Asli Doğrultuları ve Asli Eğrilik Çizgileri, Asli Eğrilikleri, Asimptotik Çizgileri ...37

3.4.1. Minimal öteleme yüzeylerinin temel formları...37

3.4.2. Minimal öteleme yüzeylerinin asli doğrultuları ve asli eğrilik çizgileri 38 3.4.3. Minimal öteleme yüzeylerinin asli eğrilikleri ...39

3.4.4. Minimal öteleme yüzeylerinin asimptotik çizgileri...40

4. BÖLÜM...53

4. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA ÖTELEME YÜZEYLERİNE PARALEL OLAN YÜZEYLER...53

4.1. Öteleme Yüzeylerine Paralel Olan Yüzeylerin Temel Formları ...53

4.2. Öteleme Yüzeylerine Paralel Olan Yüzeylerin Şekil Operatörü Matrisi ...65

4.3. Öteleme Yüzeylerine Paralel Olan Yüzeylerin Gauss Eğriliği ve Ortalama Eğriliği ...66

4.3.1. Gauss eğriliği...66

4.3.2. Ortalama eğrilik...66

4.4. Öteleme Yüzeylerine Paralel Olan Yüzeylerin Asli Eğrilikleri ...67

KAYNAKLAR...68

SİMGELERİN LİSTESİ

Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklama

, Norm

Ù Vektörel çarpım

, İç çarpım

M Öteleme yüzeyi

z Öteleme yüzeyinin birim normali

I Öteleme yüzeyinin birinci temel formu

II Öteleme yüzeyinin ikinci temel formu

G F

E, , Öteleme yüzeyinin birinci temel formunun katsayıları

n m

l, , Öteleme yüzeyinin ikinci temel formunun katsayıları

S Öteleme yüzeyinin şekil operatörü matrisi

K Öteleme yüzeyinin Gauss eğriliği

H Öteleme yüzeyinin ortalama eğriliği

b

a, Öteleme yüzeyinin üreteç eğrileri 2

1, k

k Öteleme yüzeyinin asli eğrilikleri

a

T a eğrisinin teğet vektörü

a

N a eğrisinin asli normal vektörü

a

B a eğrisinin binormal vektörü

b

T b eğrisinin teğet vektörü

b

N b eğrisinin asli normal vektörü

b

B b eğrisinin binormal vektörü

a

q a eğrisinin asli normali ile öteleme yüzeyinin birim normali arasındaki açı

b

q b eğrisinin asli normali ile öteleme yüzeyinin birim normali arasındaki açı

j a ve b eğrilerinin teğet vektörleri arasındaki açı a 1 k a eğrisinin eğriliği a 2 k a eğrisinin burulması b 1 k b eğrisinin eğriliği b 2 k b eğrisinin burulması a

kg Öteleme yüzeyinin a eğrisi boyunca geodesic eğriliği a

tg Öteleme yüzeyinin a eğrisi boyunca geodesic burulması a

kn Öteleme yüzeyinin a eğrisi boyunca normal eğriliği b

kg Öteleme yüzeyinin b eğrisi boyunca geodesic eğriliği b

tg Öteleme yüzeyinin b eğrisi boyunca geodesic burulması b

k_n Öteleme yüzeyinin b eğrisi boyunca normal eğriliği

M Öteleme yüzeyine paralel olan yüzey

z Öteleme yüzeyine olan paralel yüzeyin birim normali

I Öteleme yüzeyine paralel olan yüzeyin birinci temel formu

II Öteleme yüzeyine paralel olan yüzeyin ikinci temel formu

G F

E, , Öteleme yüzeyine paralel olan yüzeyin birinci temel formunun katsayıları

n m

l, , Öteleme yüzeyine paralel olan yüzeyin ikinci temel formunun katsayıları

S Öteleme yüzeyine paralel olan yüzeyin şekil operatörü matrisi

K Öteleme yüzeyine paralel olan yüzeyin Gauss eğriliği H Öteleme yüzeyine paralel olan yüzeyin ortalama eğriliği

2 1, k

1. BÖLÜM

GİRİŞ

Öteleme yüzeyleriyle ilgili bugüne kadar birtakım çalışmalar yapılmıştır. 1992 yılında L. Verstraelen, J. Walrave ve S. Yaprak n-boyutlu Öklid uzaylarında minimal öteleme yüzeylerini inceledi. 1999 yılında H. Liu 3-boyutlu uzaylarda öteleme yüzeylerinin Gauss eğriliğini ve ortalama eğriliğini inceledi. 2002 yılında D. W. Yoon “3-boyutlu Minkowski Uzayında Öteleme Yüzeylerinin Gauss Dönüşümü Üzerine” adlı çalışmasında, Gauss dönüşümüne Laplasiyen operatörünü uygulayarak öteleme yüzeylerinin diferensiyel geometrik özeliklerini inceledi. 2008 yılında M. I. Munteanu ve A. I. Nistor 3-boyutlu Öklid uzayında öteleme yüzeylerinin ikinci temel formunu, ikinci Gauss eğriliğini ve ikinci ortalama eğriliğini inceledi. Bugüne kadar yapılan bu çalışmalar gözden geçirildiğinde, öteleme yüzeylerinin düzlemsel eğrilerin toplamı şeklinde ifade edildiği görülür.

Bu çalışmada ise, uzaysal iki eğrinin toplamı şeklinde elde edilen 3-boyutlu Öklid uzayında öteleme yüzeyleri ele alındı. Buna göre, 3

E ’te öteleme yüzeylerinin iç ve dış

geometri özelikleri incelendi. Bu doğrultuda, yüzeyin üreteç eğrileri boyunca şekil operatörü matrisi, Gauss eğriliği, ortalama eğriliği, yüzeyin üreteç eğrileri boyunca yüzey eğrilikleri, temel formları, asli doğrultuları ve asli eğrilik çizgileri, asli eğrilikleri, umbilik noktaları, asimptotik çizgileri ve geodezikleri bulundu. Ayrıca, minimal öteleme yüzeyleri ve E3’te üreteç eğrileri boyunca teğet vektörleri arasında sabit açı

bulunan, sabit eğrilik ve burulmaya sahip üreteç eğrilerinin oluşturduğu öteleme yüzeylerine paralel olan yüzeylerin diferensiyel geometrik özelikleri incelendi. Buna göre, öteleme yüzeylerine paralel olan yüzeylerin temel formları, şekil operatörü matrisi, Gauss eğriliği, ortalama eğriliği ve asli eğrilikleri hesaplandı.

1.1 Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1.1 Boş olmayan bir cümle A ve bir K cismi üstünde bir vektör uzayı V

olsun. Aşağıdaki önermeleri doğrulayan bir f :A´A®V fonksiyonu varsa, A’ya V

ile birleştirilmiş bir afin uzay denir.

(A1) : "P,Q,RÎA için f

(

P,Q

) (

+ f Q,R

)

= f

(

P,R

)

.

(A2) : "PÎA ve "aÎV için f

(

P,Q

)

=a olacak biçimde bir tek QÎA noktası

vardır [1]. Tanım 1.1.2

( )

( )

_å

(

)

= ® -= = ® ® ´ n i i i n n x y xy y x d y x IR E E d 1 2 , , :

olarak tanımlanan d fonksiyonuna n

E Öklid uzayında uzaklık fonksiyonu ve d

( )

x,y

reel sayısına da n E y

x, Î noktaları arasındaki uzaklık denir [1].

Tanım 1.1.3

( )

®

( )

= ® ® ´ xy y x d y x IR E E d n n , , :

biçiminde tanımlanan d fonksiyonuna En’de Öklid metriği denir [1].

Tanım 1.1.4 Bir reel afin uzay A ve A ile birleşen vektör uzayı da V olsun. V ‘de

( )

, , : , 1

å

= = ® ® ´ n i i iy x y x y x IR V V

₍

₎

(

)

÷÷ ø ö çç è æ î í ì = = n n y y y y x x ,..., , ,..., , x x 2 1 2 1

şeklinde bir iç çarpım tanımlanırsa, A afin uzayına Öklid uzayı denir ve En ile gösterilir [1].

Tanım 1.1.5

(

a b

)

®a´b =y

(

a Ùb

)

® ´ ´ , :IR3 IR3 IR3

şeklinde tanımlı “´” iç işlemine vektörel çarpım işlemi denir ve a´b vektörüne de a ile b nın vektörel çarpımı denir [1].

Teorem 1.1.1 a,bÎIR3 olmak üzere

(

)

_i

i i e e

å

= = Ù 3 1 , , det a b b a şeklindedir [1].

Tanım 1.1.6 V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde aşağıdaki aksiyomları ile tanımlanan dönüşüme iç çarpım denir [3].

IR V

V´ ®

:

, olmak üzere

(i) Simetri aksiyomu

V v u u v v u, = , " , Î (ii) Bilineerlik aksiyomu

V v u IR c cv u v u c v cu, = , = , " Î , " , Î V v u u v u v u v u u₁+ ₂, = ₁, + ₂, " ₁, ₂, Î V v v u v u v u v v u, 1+ 2 = , 1 + + 2 " , 1, 2 Î (iii) Pozitif tanımlılık aksiyomu

V u u u, ³ 0 " Î ® = =0 0 ,u u u

Teorem 1.1.2 IR2 reel vektör uzayı olmak üzere, , :IR2´IR2 ®IR dönüşümü,

2

,v IR

u Î

" için u,v = u v cosq , 0£q £p şeklinde tanımlanırsa bu dönüşüme 2

IR

Tanım 1.1.7 V bir iç çarpım uzayı ve xÎV olsun. x vektörünün normu x olmak

üzere x vektörünün x

1 skaları ile çarpılmışına x ’in normlanmışı denir ve

x x x₀ =

ile gösterilir [3].

Lemma 1.1.1 v,wÎIR3 olmak üzere vÙ , v ve w ’ya ortogonal olup w

2 2 , , ,v w w v w v w vÙ = - şeklindedir [5]. Tanım 1.1.8 n E

M Ì eğrisi

( )

I,a koordinat komşuluğu ile verilsin.

( )

t

( )

t t IR I a a a ¢ = ¢ ® ® ¢ :

şeklinde tanımlı a¢ fonksiyonuna, M eğrisinin

( )

I,a koordinat komşuluğuna göre skalar hız fonksiyonu ve a¢

( )

t reel sayısına da M ’nin

( )

I,a koordinat komşuluğuna göre a noktasındaki skalar hızı denir [1].

( )

t

Tanım 1.1.9 M eğrisi

( )

I,a koordinat komşuluğu ile verilmiş olsun. Eğer, "sÎI için

( )

=1 ¢ s

a ise M eğrisi

( )

I,a ’ya göre birim hızlı eğridir denir. Bu durumda, eğrinin

I

sÎ parametresine yay parametresi adı verilir [1].

Tanım 1.1.10 Her noktasındaki hız vektörü sıfırdan farklı olan eğriye regüler eğri denir [1].

Teorem 1.1.3 En’de regüler her eğrinin, birim hızlı olacak şekilde bir koordinat

komşuluğu vardır [1].

Tanım 1.1.11 n E

M Ì eğrisi

( )

I,a koordinat komşuluğu ile verilsin. Bu durumda,

( )

{

a a a r

}

y = ¢, ¢¢,..., sistemi lineer bağımsız ve "a( )k , k>r

için a( )k ÎSp

{ }

y

olmak üzere, y den elde edilen

{

V₁,V₂,...,V_r

}

ortonormal sistemine, M eğrisinin Serret-Frenet r-ayaklı alanı ve mÎM için

{

V₁

( )

m,...,V_r

( )

m

}

ifadesine de mÎM

noktasındaki Serret-Frenet r-ayaklısı denir. Her bir Vi, 1£i£r ye Serret-Frenet

vektörü adı verilir [1].

Teorem 1.1.4 M ÎIR3 eğrisi,

( )

I,a koordinat komşuluğu ile verilsin. tÎI keyfi parametre olmak üzere a noktasındaki Frenet 3-ayaklısı,

( )

t

{

T

( ) ( ) ( )

t ,N t ,B t

}

ise,

( )

( )

_{( ) ( )}

( )

_{( )}

( )

_{( ) ( )}

( ) ( )

ïþ ï ý ü ïî ï í ì Ù = ¢¢ Ù ¢ ¢¢ Ù ¢ = ¢ ¢ = N t B t T t t t t t t B t t t T , , a a a a a a şeklindedir [1].

Teorem 1.1.5 MÎIR3 eğrisi,

( )

I,a koordinat komşuluğu ile verilsin. tÎI yay parametresi olmak üzere a noktasındaki Frenet 3-ayaklısı,

( )

t

{

T

( ) ( ) ( )

t ,N t ,B t

}

ise,

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

ïþ ï ý ü ïî ï í ì Ù = ¢¢ ¢¢ = ¢ = t N t Bt T t N t t T , , a a a şeklindedir [1]. Tanım 1.1.12 3 : ,b I ®E

a tanımlı eğrileri arasında b F=

( )

a şeklinde bir izometri varsa, bu iki eğri birbirine kongrüenttir [5].

Tanım 1.1.13 M bir topolojik n-manifold olsun. M üzerinde Ck sınıfından bir

diferensiyellenebilir yapı tanımlanabilirse M ye Ck sınıfından diferensiyellenebilir manifold denir [1].

Tanım 1.1.14 M bir diferensiyellenebilir manifold ve bir PÎM noktasındaki tanjant

vektörlerin uzayı T_M

( )

P olsun. T_M

( )

P vektör uzayına, M ’nin P noktasındaki tanjant uzayı denir [2].

Tanım 1.1.15 n

E , n-boyutlu Öklid uzayında

(

n-1

)

boyutlu yüzeye hiperyüzey adı verilir [2].

Tanım 1.1.16 n

E , n-boyutlu Öklid uzayında bir M hiperyüzeyi üzerinde diferensiyellenebilir bir birim normal vektör alanına M üzerinde bir yönlendirme denir [2].

Tanım 1.1.17

( )

3

, :

,b a b ®IR

a ’e tanımlı iki uzay eğrisi olmak üzere a eğrisinin, b eğrisi boyunca hareket ettirilmesi ile elde edilen M

( )

u,v =a

( ) ( )

u +b v yüzeyine öteleme yüzeyi adı verilir. Burada a ve b eğrileri, M yüzeyinin üreteç eğrileridir [4].

Tanım 1.1.18 Ortalama eğriliği sıfır

(

H =0

)

olan regüler yüzeylere minimal yüzey adı verilir [4].

Tanım 1.1.19 3

IR

xÌ regüler bir yüzey ve x ’e t (pozitif ya da negatif olabilir) uzaklıktaki paralel yüzeyi x olmak üzere x

( ) ( )

u,v =x u,v +tU

( )

u,v şeklindedir.

Burada v u v u x x x x U Ù Ù = [4]. Tanım 1.1.20 n

E ’in bir hiperyüzeyi M ve M ’nin birim normal vektör alanı N

verilsin. En’de Riemann konneksiyonu D olmak üzere "XÎc

( )

M için S

( )

X =DXN

şeklinde tanımlı, S dönüşümüne M üzerinde şekil operatörü veya M ’nin Weingarten dönüşümü denir [2].

Tanım 1.1.21 3

IR te regüler bir yüzey M olsun. M yüzeyinin Gauss eğriliği K, ortalama eğriliği H ve K,H:M ®IR olmak üzere sırasıyla K

( )

P =det

(

S

( )

P

)

ve

( )

P iz

(

S

( )

P

)

H

2 1

Tanım 1.1.22 n

E ’in bir M hiperyüzeyi üzerinde q. temel formu 1£q£n olmak üzere

( ) ( )

(

)

(

X Y

)

I

(

X Y

)

S

( )

X Y IR M C M M I q q q , , , , : 1 -¥ = ® ® ´c c şeklinde tanımlı q I fonksiyonuna denir [2]. Tanım 1.1.23 n+1

E ’de bir M hiperyüzeyi üzerindeki bir eğrinin her noktasındaki ivme

vektörü M ’ye ortogonal ise bu eğriye geodezik adı verilir. Başka bir ifadeyle 3

IR

M Ì bir yüzey ve a :

( )

a,b ®M bir eğri olsun. a¢¢ ivme vektörünün teğetsel

bileşeni yoksa a eğrisine geodezik denir [2,4].

Lemma 1.1.2 M üzerindeki bir a eğrisinin geodezik olması için gerek ve yeter şart a ’nın sabit hızlı ve geodezik eğriliğinin kga =0 olmasıdır [5].

Tanım 1.1.24 n

E ’de bir hiperyüzey M ve M üzerinde bir eğri a olsun. a ’nın teğet

vektör alanı T ve M ’nin şekil operatörü S olsun. Eğer T vektör alanı a eğrisi

boyunca S’nin karakteristik vektörlerine karşılık geliyorsa a eğrisine M üzerinde bir eğrilik çizgisidir denir [2]. Buna tanıma göre M üzerindeki eğrilik çizgilerinin

diferensiyel denklemi l ¹0 bir skalar olmak üzere, S

( )

T =lT şeklindedir.

Tanım 1.1.25 n

E ’de bir hiperyüzey M ve M ’nin şekil operatörü S olsun. M ’nin bir

P noktasına karşılık gelen S

( )

P nin karakteristik (eigen) değerlerine M ’nin bu noktadaki asli eğrilikleri denir. Asli eğriliklere karşılık gelen ve karakteristik (eigen) vektör denen vektörlerin belirttiği doğrultulara da M ’nin bu P noktasındaki asli eğrilik doğrultuları denir [2].

Lemma 1.1.3 xÌ IR3 regüler bir yüzey olsun. v_p =v₁x_u +v₂x_v tanjant vektörünün asli doğrultu olması için gerek ve yeter şart

0 det 2 1 2 1 2 2 = ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ -n m l G F E v v v v olmasıdır [4]. Tanım 1.1.26 n

E ’in bir hiperyüzeyi M olsun. PÎM noktasında M ’nin şekil

operatörü S olmak üzere;

1) $lÎIR için S =lI_n-1 ise P noktasına M ’nin bir umbilik noktası denir.

2) S =0 şeklinde bir sıfır dönüşümü ise P noktasına M ’nin bir düzlemsel (flat) noktasıdır denir [2].

Tanım 1.1.27 n

E ’in bir hiperyüzeyi M ve PÎM noktasındaki şekil operatörü S

olsun. Eğer, X_P,Y_P ÎT_M

( )

P için S

( )

X_P ,Y_P =0 ise bu iki tanjant vektöre eşleniktirler denir. Bir XP ¹0 tanjant vektörü için, S

( )

XP ,XP =0 ise X P

doğrultusuna, M ’nin P noktasındaki bir asimptotik doğrultusu ve X ’yi, _P "PÎa

noktasında teğet vektörü kabul eden a eğrisine M üzerinde bir asimptotik çizgidir denir (Şu halde M üzerindeki asimptotik çizgilerin diferensiyel denklemi,

( )

T ,T =0

S şeklindedir. Burada T aranan asimptotik çizginin teğet vektör alanıdır) [2].

Lemma 1.1.4 Bir yüzeyin asimptotik çizgilerinin diferensiyel denklemi

0 2 2 2 + + = ndv mdudv ldu şeklindedir [4]. Lemma 1.1.5 3 IR

M Ì regüler yüzeyi üzerinde bir eğri a olsun. a ’nın asimptotik

olması için gerek ve yeter şart her noktasındaki ivmesinin M ’ye daima teğet olmasıdır. Buna göre, a¢¢, U’ya (yüzeyin birim normaline) dik olur [4].

Teorem 1.1.6 a , M Ì IR3 regüler yüzeyi üzerinde bir eğri,

{

T,N,B

}

Frenet çatısı,

( )

a

k a ’nın eğriliği ve U , M yüzeyinin birim normali olsun. a ’nın asimptotik çizgi olması için gerek ve yeter şart k =0 yada N,U =0 olmasıdır [4].

Tanım 1.1.28 3

IR ’te regüler bir yüzey M ve M ’nin herhangi bir P noktasındaki asli

eğrilikleri k1

( )

P ve k2

( )

P olmak üzere k1

( )

P =k2

( )

P ise, P’ye M yüzeyinin bir umbilik noktasıdır denir [4].

Tanım 1.1.29 3

IR

M Ì regüler yüzeyi üzerindeki herhangi bir P noktası için;

* K

( )

P >0 ise P noktası eliptiktir. (Bu durumda k ve ₁ k aynı işaretlidir.) ₂

* K

( )

P <0 ise P noktası hiperboliktir. (Bu durumda k ve ₁ k ters işaretlidir.) ₂

* K

( )

P =0 ama S

( )

P ¹0 ise P noktası paraboliktir. (Bu durumda k ve ₁ k den biri ₂

sıfırdır.)

* K

( )

P =0 ve S

( )

P =0 ise P noktası düzlemseldir. (Bu durumda k₁ =0 ve k₂ =0 dır.) [4].

Lemma 1.1.6 M Ì IR3 regüler bir yüzey olsun. O zaman M ’nin birinci, ikinci ve üçüncü temel formları arasında III-2HII+KI =0 şeklinde bir ilişki vardır. Burada H

ve K sırasıyla yüzeyin ortalama eğriliği ve Gauss eğriliğidir [4].

Tanım 1.1.30

( )

n

IR d

c, ®

:

b ile tanımlı b eğrisi birim hızlı bir eğri olsun.

( )

s b

( )

s

k = ¢¢ eşitliği ile verilen k:

( )

c,d ®IR değerine b ’nın eğriliği adı verilir [4].

Tanım 1.1.31 n

IR U

x: ® ’e bir yüzey ve E,F,G:U ®IR’e tanımlı olmak üzere,

2

u x

E = , F = x_u,x_v ve G = x_v 2 dir. ds2 =Edu2 +2Fdudv+Gdv2’e x yüzeyinin

Riemann metriği ya da birinci temel formu denir. Buradaki E,F,G birinci temel formun katsayılarıdır [4].

Lemma 1.1.7 x , E3’te bir yüzey, U yüzeyin birim normali olsun. Bu durumda,

( )

xu xu U xuu S

l = , = , , m= S

( )

x_u ,x_v = U,x_uv ve n= S

( )

x_v ,x_v = U,x_vv

şeklindedir [5].

Teorem 1.1.7 b:

( )

c,d ®M birim hızlı bir eğri ve M ’nin b eğrisinine göre Darboux çatısı

{

T,JT,U

}

olmak üzere

( )

ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ¢ ¢ ¢ U JT T U JT T g n g g n g . 0 0 0 t k t k k k şeklindedir [4].

Teorem 1.1.8 M ÌIR3 regüler yüzeyinin, K Gauss eğriliği ve H ortalama eğriliği ile

asli eğrilikleri k ve ₁ k arasında ₂ K =k₁k₂ ve

2

2 1 k

k

H = + şeklinde bir ilişki vardır.

Sonuç olarak, k2 -2Hk+K =0 olur. Buradan da k =H + H2 -K

1 ve

K H H

k₂ = - 2 - elde edilir [4].

Lemma 1.1.8 M Ì IR3 regüler bir yüzey ve M yüzeyine l birim uzaklıktaki paralel yüzeyi M olsun. M yüzeyinin şekil operatörü matrisi S ve M yüzeyinin şekil

operatörü matrisi S , asli eğrilikleri k₁ ve k₂, Gauss eğriliği K ve ortalama eğriliği H

olmak üzere aşağıdaki eşitlikler sağlanır [4]. i) S =S

(

I -lS

)

-1 ii) i i i k k k l -= 1 iii) K H K K ₂ 2 1- l +l = iv) K H K H H ₂ 2 1 l l l + -=

Lemma 1.1.9

( )

u,v ®

(

u,v,M

( )

u,v

)

şeklinde verilen bir Monge yüzeyinin minimal

yüzey olabilmesi için gerek ve yeter şart

(

1+M_u2

)

M_vv -2M_uM_vM_uv +

(

1+M_v2

)

M_uu =0 olmasıdır [4].

2. BÖLÜM

Bu bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında öteleme yüzeylerinin üreteç eğrileri boyunca şekil operatörü matrisi bulundu. Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği hesaplandı. Ayrıca, öteleme yüzeylerinin üreteç eğrileri boyunca yüzey eğrilikleri, yüzeyin temel formları, asli doğrultuları ve asli eğrilik çizgileri, asli eğrilikleri, umbilik noktaları, asimptotik çizgileri ve geodezikleri incelendi.

2. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA ÖTELEME YÜZEYLERİ

2.1 Öteleme Yüzeylerinin Üreteç Eğrileri Boyunca Şekil Operatörü Matrisi

IR I_a ®

a ~~: ve b~:I~_b ®IR keyfi parametreli regüler eğriler olsun. Teorem 1.1.3’e

göre a~ ve b~ eğrilerinin birim hızlı olduğu birer koordinat komşulukları vardır. Bu koordinat komşulukları sırasıyla

(

*,a*

)

a

I ve

(

I_b*,b*

)

olsun. a ve * b eğrilerinin yay * parametrelerini sırasıyla u ve v alalım. Bu iki eğriyi, kendilerine kongrüent olan ve orjinden geçen a ve b eğrilerine dönüştüren izomorfizmler bulunabilir. Bu tez çalışmasında öteleme yüzeylerini incelemek için orjinden geçen ve birim hızlı olan

( )

u

a ve b

( )

v eğrileri kullanılacaktır. Buradaki, a~ ve

( )

t b~

( )

s eğrilerine M

( )

u,v

öteleme yüzeyinin üreteç eğrileri adı verilir.

a eğrisinin Frenet vektörleri T_a,N_a,B_a ve eğrilikleri k₁a, k₂a, b eğrisinin Frenet vektörleri T_b,N_b,B_b ve eğrilikleri de k₁b, k₂b ile gösterilsin.

a eğrisinin b eğrisi boyunca hareket ettirilmesi ile elde edilen öteleme yüzeyi

( ) ( ) ( )

u v u v

M , =a +b (2.1) olur. Burada, a =

(

a1,a2,a3

)

ve b =

(

b1,b2,b3

)

olmak üzere

( ) (

u,v = a1+b1,a2+b2,a3+b3

)

M

şeklinde olur. M öteleme yüzeyinin birim normali z ,

( )

u v alınırsa v u v u M M M M z Ù Ù = (2.2) şeklinde olacaktır.

Burada, q ve _a q sırasıyla _b z ile a ve b eğrilerinin asli normal vektörleri arasındaki açıdır. Ayrıca, T_a ve T_b vektörleri arasındaki açı da j ile gösterilsin.

M öteleme yüzeyinin şekil operatörü matrisi bulunabilir. (2.1) eşitliği ile verilen

öteleme yüzeyinin u ve v değişkenlerine göre kısmi türevleri alınırsa

( )

a a T u v u M Mu = ¢= ¶ ¶ = , a T M_u = (2.3)

( )

b b T v v u M Mv = ¢= ¶ ¶ = , b T M_v = (2.4)

( )

a a a k N T u v u M Muu 2 1 2 , = ¢ = ¶ ¶ = a a N k M_uu = ₁ (2.5)

( )

0 , 2 = ¶ ¶ ¶ = v u v u M Muv ve

( )

0 , 2 = ¶ ¶ ¶ = u v v u M Mvu (2.6)

( )

b b b k N T v v u M Mvv 2 1 2 , = ¢ = ¶ ¶ = b b N k M_vv = ₁ (2.7) elde edilir. (2.2) eşitliğinde (2.3) ve (2.4) eşitlikleri yerlerine yazılırsa

Şekil 2.1

( )

v b q z b N b B

( )

u a q z a N a B z a T Tb a T zÙ b T zÙ ( )u j j j -90

b a b a T T T T z Ù Ù = (2.8)

bulunur. M öteleme yüzeyinin I. temel formunun katsayıları olan E,F,G değerleri

aşağıdaki gibidir. 1 , , = = = M M Ta Ta E u u 1 = E (2.9)

( )

j b a, cos , = = = M M T T F _{u v}

( )

j cos = F (2.10) 1 , , = = = M M Tb Tb G _{v v} 1 = G (2.11) elde edilir. Benzer şekilde, M öteleme yüzeyinin II. temel formunun katsayıları olan

n m

l, , değerleri aşağıdaki gibidir.

( )

a a a a a a _q cos , , ,M z k₁ N k₁ z N k₁ z l= _uu = = =

( )

a a _q cos 1 k l = (2.12) 0 0 , , = = = z M z m _uv 0 = m (2.13) b b b b N z k N k z M z n= , _vv = , ₁ = ₁ ,

( )

b b _q cos 1 k n= (2.14) bulunur. Ayrıca, lemma 1.1.1’e göre

( )

j

( )

j b a 2 2 2 2 sin cos 1- = = -= ÙT EG F T (2.15)

olur. Bir yüzeyin şekil operatörünün matrisi

ú û ù ê ë é -= Fm En Fn Gm Fl Em Fm Gl F EG S 1 ₂

olmak üzere, E3’te öteleme yüzeyleri için şekil operatörü matrisi, yukarıda bulunan

eşitlikler yerlerine yazılırsa aşağıdaki gibi olur.

ú û ù ê ë é -= n Fn Fl l F S ₂ 1 1 (2.16)

( )

a _q cos k l Fm Gl- = =

( )

a a _q cos 1 k Fm Gl- = (2.17)

( )

( )

( ) ( )

a a a a _{q j q}

j cos cos cos

cos k1 k1 Fl Fl Em- =- =- =

-( ) -( )

a a _{j cosq} cos 1 k Fl Em- =- (2.18)

( )

j bcos

( )

qb b cos

( )

j cos

( )

qb

cos k₁ k₁ Fn Fn Gm- =- =- =

-( )

( )

b b _{j q} cos cos 1 k Fn Gm- =- (2.19)

( )

b b _q cos 1 k n En Fm En- = = =

( )

b b _q cos 1 k Fm En- = (2.20) elde edilir. Bulunan bu eşitlikler yüzeyin şekil operatörü matrisinde yerlerine yazılırsa

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é -= j q j q j j q j j q b b b b a a a a 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos sin cos cos sin cos cos sin cos k k k k S (2.21) elde edilir.

2.2 Öteleme Yüzeylerinin Gauss Eğriliği ve Ortalama Eğriliği

2.2.1 Gauss eğriliği

M öteleme yüzeyinin Gauss eğriliği, tanım 1.1.21 ve (2.21) eşitliği kullanılarak

( )

( )

( )

j q qa b b a 2 1 1 sin cos cos k k K = (2.22) şeklinde elde edilir. O halde M öteleme yüzeyi için şu teorem verilebilir.

Teorem 2.1 E3’te, üreteç eğrileri doğru olmayan bir öteleme yüzeyinin, Gauss

eğriliğinin sıfır olması için gerek ve yeter şart bu eğrilerden en az birinin, yüzeyin asimptotik çizgisi olmasıdır.

İspat 2.1

( )

Þ 3

E ’te, üreteç eğrileri doğru olmayan bir öteleme yüzeyinin Gauss eğriliği sıfır

olsun. Bu durumda, (2.22) eşitliğine göre k₁ak₁b cos

( )

q_a cos

( )

q_b =0 olmalıdır. Öteleme

yüzeyinin üreteç eğrileri doğru olmadığından, 1 ¹0

a k ve 1 ¹0 b k dır. Buna göre,

( )

cos

( )

0 cos 1 1 a b = b a _{q q} k

k ise cos

( )

qa veya cos

( )

qb değerlerinden en az biri sıfırdır.

( )

0

cosq_a = ise =

(

k+

)

(

kÎZ

)

2 1

2 p

q_a olur. Bu durumda, yüzeyin birim normali ile a eğrisinin binormali lineer bağımlı olur ki bu durumda a asimptotik çizgidir. Benzer şekilde, cos

( )

q_b =0 ise =

(

k+

)

(

kÎZ

)

2 1

2 p

qb olur. Bu durumda, yüzeyin birim

normali ile b eğrisinin binormali lineer bağımlı olur ki bu durumda b asimptotik çizgidir. Sonuç olarak a ve b eğrilerinden en az biri yüzeyin asimptotik çizgisidir.

( )

Ü a veya b eğrilerinden en az biri öteleme yüzeyinin asimptotik çizgisi olsun. Eğer a , yüzeyin asimptotik çizgisi ise, a eğrisinin binormali ile yüzeyin birim normali lineer bağımlı olacağından, =

(

k+

)

(

kÎZ

)

2 1

2 p

qa ve dolayısıyla K =0 olur. Eğer b yüzeyin asimptotik çizgisi ise, b eğrisinin binormali ile yüzeyin birim normali lineer bağımlı olacağından, =

(

k+

)

(

kÎZ

)

2 1

2 p

qb ve dolayısıyla K =0 olur.

Sonuç 2.1 Bir öteleme yüzeyinde K =0 ise yüzey ya bir regle yüzeydir ya da yüzeyin üreteç eğrilerinden en az biri yüzeyin asimptotik çizgisidir.

2.2.2 Ortalama eğrilik

M öteleme yüzeyinin ortalama eğriliği, tanım 1.1.21 ve (2.21) eşitliği kullanılarak

( )

( )

( )

j q q b b a a 2 1 1 sin 2 cos cos k k H = + (2.23) şeklinde elde edilir.

2.3 Öteleme Yüzeylerinin Üreteç Eğrileri Boyunca Yüzey Eğrilikleri

2.3.1 M öteleme yüzeyinin a eğrisi boyunca yüzey eğrilikleri

0 ,T_a =

z . Dolayısıyla zÎSp

{

N_a,B_a

}

ve aynı zamanda

(

zÙT_a

)

ÎSp

{

N_a,B_a

}

. Şekil 2.1’e göre

( )

qa Na

( )

qa Ba

z =cos +sin (2.24) yazılabilir.

(2.24) eşitliğinin u değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

( )

( )

(

)

( )

( )

(

a

)

a a a a a a a a a a a a a q q q q q q N k T k B B k N

z¢=- ¢sin +cos - ₁ + ₂ + ¢cos +sin - ₂

( )

( )

( )

( )

a a

( )

a a a a a a a a a a a q q q q q q q B k N k T k z ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ + ÷ ø ö ç è æ ¢ ₊ -= ¢ cos cos sin sin cos 2 2 1

elde edilir. (2.24) eşitliğinin her iki tarafı T_a ile vektörel çarpılırsa

( )

( )

(

a a a a

)

a a q N q B T T zÙ = cos +sin Ù

( )(

a a a

)

( )(

a a a

)

a q N T q B T T zÙ =cos Ù +sin Ù

( )

a a

( )

a a a q B q N T zÙ =-cos +sin

( )

a a

( )

a a a q N q B T zÙ =sin -cos (2.25) bulunur. Benzer şekilde (2.25) eşitliğinin u değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

a

)

a a a a a a a a a a a a a a q q q q q q N k B B k T k N T z 2 2 1 cos sin sin cos -¢ + + -+ ¢ = ¢ Ù

( )

u v M ,

( )

u a a T a N a B

( )

u v z , z a T zÙ Şekil 2.2

(

)

( )

( )

( )

( )

a a

( )

a a a a a a a a a a a a q q q q q q q B k N k T k T z ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ + ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ + -= ¢ Ù sin sin cos cos sin 2 2 1

bulunur. Dolayısıyla M öteleme yüzeyinin a eğrisi boyunca Darboux çatısı

(

)

{

T_a, zÙT_a ,z

}

olmak üzere

(

)

ú ú ú û ù ê ê ê ë é Ù ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ¢ ¢ Ù ¢ z T z T z T z T g n g g n g a a a a a a a a a a t k t k k k 0 0 0 (2.26)

eşitliği yazılabilir. Burada, kga,

a tg ve

a

kn M yüzeyinin a eğrisi boyunca sırasıyla

geodezik eğriliği, geodezik burulması ve normal eğriliğidir. (2.26) eşitliğinden

(

z T

)

z T g n a a a a¢ =k Ù +k yazılabilir. Eşitliğin her iki tarafı zÙTa ile iç çarpılırsa

a a a kg T zÙT ¢ = , olup, buradan

( )

a a a _q k_g =k₁ sin (2.27) elde edilir. Yine

(

z T

)

z T g n a a a a¢ =k Ù +k eşitliğinin her iki tarafı z ile iç çarpılırsa

z T n , ¢ = a a k olup, buradan

( )

a a a _q k_n =k₁ cos (2.28) elde edilir. Son olarak, (2.26) eşitliğinden

(

z T

)

g T g z a a a a ¢ =-k +t Ù

yazılabilir. Eşitliğin her iki yanı z ile iç çarpılırsa

¢ + = a _a

a _q

elde edilir.

2.3.2 M öteleme yüzeyinin b eğrisi boyunca yüzey eğrilikleri

0 ,Tb =

z . Dolayısıyla zÎSp

{

Nb,Bb

}

ve aynı zamanda

(

zÙTb

)

ÎSp

{

Nb,Bb

}

. Şekil 2.1’e göre

( )

qb Nb

( )

qb Bb

z=cos +sin (2.30) yazılabilir.

(2.30) eşitliğinin v değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

( )

( )

(

)

( )

( )

(

b

)

b b b b b b b b b b b b b q q q q q q N k T k B B k N

z sin cos 1 2 cos +sin - 2

¢ + + -+ ¢ -= ¢

( )

( )

( )

( )

b b

( )

b b b b b b b b b b b q q q q q q q B k N k T k z ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ + ÷ ø ö ç è æ ¢ ₊ -= ¢ cos cos sin sin cos 2 2 1

elde edilir. (2.30) eşitliğinin her iki tarafı Tb ile vektörel çarpılırsa

( )

( )

(

b b b b

)

b b q N q B T T zÙ = cos +sin Ù

( )(

b b b

)

( )(

b b b

)

b q N T q B T T zÙ =cos Ù +sin Ù

( )

b b

( )

b b b q B q N T zÙ =-cos +sin

( )

b b

( )

b b b q N q B T zÙ =sin -cos (2.31) bulunur. Benzer şekilde (2.31) eşitliğinin v değişkenine göre kısmi türevi alınırsa

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

b

)

b b b b b b b b b q q q q q q N k T k B T z cos sin _{1 2} -¢ + + -+ ¢ = ¢ Ù

( )

u v M ,

( )

v b b T b N b B

( )

u v z , z b T zÙ Şekil 2.3

(

)

( )

( )

( )

( )

b b

( )

b b b b b b b b b b b b q q q q q q q B k N k T k T z ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ + ÷ ø ö ç è æ ₊ ¢ + -= ¢ Ù sin sin cos cos sin 2 2 1

bulunur. Dolayısıyla M öteleme yüzeyinin b eğrisi boyunca Darboux çatısı

(

)

{

T_b, zÙT_b ,z

}

olmak üzere

(

)

ú ú ú û ù ê ê ê ë é Ù ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ¢ ¢ Ù ¢ z T z T z T z T g n g g n g b b b b b b b b b b t k t k k k 0 0 0 (2.32)

eşitliği yazılabilir. Burada, kgb,

b tg ve

b

kn M yüzeyinin b eğrisi boyunca sırasıyla

geodezik eğriliği, geodezik burulması ve normal eğriliğidir. (2.32) eşitliğinden

(

z T

)

z

T_b¢ =k_gb Ù _b +k_nb

yazılabilir. Eşitliğin her iki tarafı zÙT_b ile iç çarpılırsa

b b b kg T zÙT ¢ = , olup, buradan

( )

b b b _q k_g =k₁ sin (2.33) elde edilir. Yine

(

z T

)

z T g n b b b b¢ =k Ù +k eşitliğinin her iki tarafı z ile iç çarpılırsa

z T n , ¢ = b b k olup, buradan

( )

b b b _q k_n =k₁ cos (2.34) elde edilir. Son olarak, (2.32) eşitliğinden

(

zÙT_b

)

¢ =-k_gbT_b +t_gbz

yazılabilir. Eşitliğin her iki yanı z ile iç çarpılırsa

¢ + = b _b

b _q

elde edilir.

2.4 Öteleme Yüzeylerinin Temel Formları, Asli Doğrultuları ve Asli Eğrilik Çizgileri, Asli Eğrilikleri, Umbilik Noktaları, Asimptotik Çizgileri ve Geodezikleri

2.4.1 Öteleme yüzeylerinin temel formları

.

I temel formun diferensiyel denklemi I =Edu2 +2Fdudv+Gdv2olmak üzere, öteleme yüzeyleri için, (2.9), (2.10) ve (2.11) eşitlikleriyle verilen E,F,G değerleri yerlerine

yazılırsa

( )

2 2 cos 2 dudv dv du I = + j + (2.36) elde edilir. .

II temel formun diferensiyel denklemi II =ldu2 +2mdudv+ndv2 olmak üzere, öteleme yüzeyleri için, (2.12), (2.13) ve (2.14) eşitlikleriyle verilen l,m,n değerleri

yerlerine yazılırsa

( )

( )

2 1 2 1 cos du k cos dv k II = a q_a + b q_b (2.37) elde edilir. (2.12) ve (2.28) eşitliklerinden a kn l= (2.38) ve (2.14) ve (2.34) eşitliklerinden b kn n= (2.39) yazılabilir. (2.21) eşitliğinde, (2.28) ve (2.34) eşitlikleri yerlerine yazılırsa

( )

( )

( )

ú_û ù ê ë é -= _{b b} a a k k j k j k j n _{n n} n S cos cos sin 1 2 (2.40) bulunur. (2.22), (2.28) ve (2.34) eşitliklerinden

( )

j k k a b 2 sin n n K = (2.41) ve (2.23), (2.28) ve (2.34) eşitliklerinden

( )

j k k a b 2 sin 2 n n H = + (2.42)

elde edilir. (2.37) eşitliğinde (2.28) ve (2.34) eşitlikleri yerlerine yazılırsa 2 2 dv du II =k_na +k_nb (2.43) olur. Böylece şu sonucu verebiliriz.

Sonuç 2.2 M öteleme yüzeyinin şekil operatötü S, Gauss eğriliği K, ortalama eğriliği H, ikinci temel formu II, üreteç eğrileri boyunca normal eğrilikleri kna ve

b

kn olmak

üzere bunlar arasında aşağıdaki bağıntılar vardır. 1)

( )

( )

( )

ú_û ù ê ë é -= _{b b} a a k k j k j k j _{n n} n n S cos cos sin 1 2 2)

( )

j k k a b 2 sin n n K = 3)

( )

j k k a b 2 sin 2 n n H = + 4) II =k_nadu2 +k_nbdv2

2.4.2 Öteleme yüzeylerinin asli doğrultuları ve asli eğrilik çizgileri

Bir yüzeyin asli doğrultularının diferensiyel denklemi

0 det 2 2 = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -n m l G F E du dudv dv (2.44)

eşitliğiyle elde edilir. Buna göre

(

-

)

2 +

(

-

)

+

(

-

)

2 =0 dv Gm Fn dudv Gl En du Fl Em (2.45)

olur. (2.45) eşitliğinde, öteleme yüzeyleri için bulunan E,F,G,l,m,n değerleri

yerlerine yazılırsa, asli doğrultularının diferensiyel denklemi

( )

( )

(

( )

( )

)

( )

cos

( )

0 cos cos cos cos cos 2 1 1 1 2 1 = + -+ -dv k dudv k k du k b b a a b b a a q j q q q j (2.46) bulunur. (2.46) eşitliğinde, (2.28) ve (2.34) eşitlikleri yerlerine yazılırsa

( )

(

)

cos

( )

0

cosj k_nadu2 + k_na -k_nb dudv- j k_nbdv2 = (2.47) elde edilir.

Sonuç 2.3 Üreteç eğrileri boyunca normal eğrilikleri k_na ve k_nb olan bir öteleme yüzeyinin asli doğrultularının diferensiyel denklemi

( )

(

)

cos

( )

0

cosj k_nadu2 + k_na -k_nb dudv- j k_nbdv2 =

şeklindedir.

2.4.3 Öteleme yüzeylerinin asli eğrilikleri

M öteleme yüzeyinin asli eğrilikleri k ve ₁ k olsun. Teorem 1.1.8’e göre, bir yüzeyin ₂ K Gauss eğriliği ve H ortalama eğriliği ile asli eğrilikleri k ve ₁ k arasında ₂ K =k₁k₂

ve

2

2 1 k

k

H = + şeklinde bir ilişki vardır. Buna göre, asli eğrilikleri veren ikinci

dereceden denklem 0 2 2 - + = K Hk k (2.48) olur. Bu denklem çözülürse

K H H k1 = + 2 - ve k =H - H -K 2 2 (2.49) elde edilir. (2.49) eşitliğinde (2.22) ve (2.23) eşitlikleriyle verilen H ve K değerleri

yerlerine yazılırsa, öteleme yüzeyinin asli eğrilikleri

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

j

( )

q q j q q j q q a b b a b b a a b b a a 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 sin cos cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos k k k k k k k _÷÷ -ø ö ç ç è æ + + + = (2.50) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( )j

( )

q q j q q j q qa b b a a b b a b a b a 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 sin cos cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos k k k k k k k _÷÷ -ø ö ç ç è æ + -+ = (2.51)

olur. (2.50) ve (2.51) eşitliklerinde (2.28) ile (2.34) eşitlikleri yerlerine yazılırsa

( )

( )

( )

j k k j k k j k k a b a b a b 2 2 2 2 1 sin sin 2 sin 2 n n n n n n k _÷÷ -ø ö ç ç è æ + + + = (2.52)

( )

( )

( )

j k k j k k j k k a b a b a b 2 2 2 2 2 sin sin 2 sin 2 n n n n n n k _÷÷ -ø ö ç ç è æ ₊ -+ = (2.53) elde edilir.

Sonuç 2.4 Üreteç eğrileri boyunca normal eğrilikleri kna ve

b

kn olan bir öteleme

yüzeyinin asli eğrilikleri aşağıdaki gibidir.

1)

( )

( )

( )

j k k j k k j k k a b a b a b 2 2 2 2 1 sin sin 2 sin 2 n n n n n n k _÷÷ -ø ö ç ç è æ + + + = 2)

( )

( )

( )

j k k j k k j k k a b a b a b 2 2 2 2 2 sin sin 2 sin 2 n n n n n n k _÷÷ -ø ö ç ç è æ + -+ =

2.4.4 Öteleme yüzeylerinin umbilik noktaları

Umbilik noktalarda, yüzeyin şekil operatörü matrisi, birim matrisin bir katı şeklinde olmalıdır. Bunun için de esas köşegen üzerindeki elemanlar birbirine eşit, diğerleri sıfır olmalıdır. O halde

( )

( )

( )

j

( )

q j q b b a a 2 1 2 1 sin cos sin cos k k =

( )

( )

b b a a _{q q} cos cos ₁ 1 k k = (2.54) ve

( ) ( )

( )

0 sin cos cos 2 1 = -j q j a a k

( )

cos

( )

0 cosj k₁a q_a = (2.55) ve

( )

( )

( )

0 sin cos cos 2 1 ₌ -j q j _b b k

( )

cos

( )

0 cos 1 b = b _q j k (2.56) olmalıdır.

(2.54), (2.55) ve (2.56) eşitliklerinde, (2.28) ve (2.34) eşitlikleri yerlerine yazılırsa, öteleme yüzeylerinin umbilik noktalarında, kna =knb, cos

( )

=0

a k

j n ve

( )

0

Sonuç 2.5 Bir öteleme yüzeyinin tüm umbilik noktalarında aşağıdaki eşitlikler sağlanır. 1) k_na =k_nb

2) cos

( )

j kna =0 3) cos

( )

j k_nb =0

2.4.5 Öteleme yüzeylerinin asimptotik çizgileri

Bir yüzeyin asimptotik çizgilerinin diferensiyel denklemi

0 = II (2.57) açık olarak 0 2 2 2 + + = ndv mdudv ldu (2.58) şeklindedir. (2.12), (2.13) ve (2.14) eşitlikleriyle verilen l,m,n değerleri (2.58)

eşitliğinde yerlerine yazılırsa, öteleme yüzeyleri için asimptotik çizgileri veren diferensiyel denklem elde edilir. Buna göre

( )

cos

( )

0

cos 1 2

2

1 du +k dv =

ka qa b qb (2.59) olur. Buradan elde edilen eğriler, öteleme yüzeyinin asimptotik çizgileridir. Ayrıca lemma 1.1.5’e göre, öteleme yüzeyi üzerindeki a eğrisinin yüzeyin asimptotik çizgisi olması için z’nin sırasıyla a ve b eğrilerinin yüzeyin B_a ve B_b doğrultularında

olmaları gerektiği söylenebilir. Dolayısıyla (2.28) ve (2.34) eşitlikleri, (2.59) eşitliğinde yerlerine yazılırsa, öteleme yüzeylerinin asimptotik çizgilerini veren diferensiyel denklem, eğrilerin eğrilikleri cinsinden

0 2 2 + = dv du _n n b a _k k (2.60) eşitliği ile verilebilir.

Sonuç 2.6 Üreteç eğrileri boyunca normal eğrilikleri kna ve

b

kn olan bir öteleme

2.4.6 Öteleme yüzeylerinin geodezikleri

Lemma 1.1.2’e göre, a eğrisinin geodezik olması için gerek ve yeter şart a eğrisinin sabit hızlı bir eğri ve geodezik eğriliğinin sıfır (k_ga =0) olmasıdır. Buna göre, (2.27)

eşitliğinden k_ga =k₁asin

( )

q_a =0 yazılır. Burada, k₁asin

( )

q_a =0 ise k₁a =0 ya da

( )

0 0 , 0

sinqa = Þqa = +kp Þ z Ba = olur. Sonuç olarak, M üzerindeki a eğrisinin geodezik olması için

0

1 = a

k veya z,B_a =0 (2.61) olmalıdır.

Benzer şekilde b eğrisinin geodezik olması için gerek ve yeter şart b eğrisinin sabit hızlı bir eğri ve geodezik eğriliğinin sıfır (k_gb =0) olmasıdır. Buna göre, (2.33)

eşitliğinden = 1 sin

( )

b =0

b

b _q

kg k yazılır. Burada, 1 sin

( )

b =0

b _q

k ise 1 =0

b

k ya da

( )

0 0 , 0

sinq_b = Þq_b = +kp Þ z B_b = olur. Sonuç olarak, M üzerindeki b eğrisinin geodezik olması için

0

1 = b

k veya z,B_b =0 (2.62) olmalıdır. O halde, a ve b eğrilerinin geodesic olmaları için

(

=m1

)

=e_aN_a e_a

z ve z =e_bN_b

(

e_b =m1

)

(2.63) olmalıdır.

Örnek 2.1 Üreteç eğrileri

( )

t

(

sin

( ) ( )

t ,cost , 3t

)

~ ₌ a ve

( )

s

(

cos

( ) ( )

s,sin s ,2 2s

)

~ = b

olan öteleme yüzeyini inceleyelim. a~¢ t

( )

¹1 ve b~¢ s

( )

¹1olduğundan, a~ ve

( )

t b~

( )

s

eğrileri birim hızlı olmayan eğrilerdir. a~ eğrisinin birim hızlı olan bir koordinat

( )

t

komşuluğu bulunabilir. Bu eğriye a*

( )

u _{eğrisi denirse,}

( )

(

( )

( )

)

3 , sin , cos ~_{¢ t = t - t} a olmak üzere

( )

( ) ( )

(

( )

( )

)

(

( )

( )

)

( )

sin

( )

3 4 2 cos 3 , sin , cos , 3 , sin , cos ~ , ~ ~ 2 2 + + = = = -= ¢ ¢ = ¢ t t t t t t t t t a a a

( )

2 ~_{¢ t =} a elde edilir.

( )

ò

¢ =t t dt u 0 ~ a olmak üzere, u dt t t t t 2 2 2

|

0 0 = = =

_ò

olur. Buradan t u=2 ya da 2 u t=

yazılabilir. Buna göre

( )

_÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ = 2 3 , 2 cos , 2 sin * u u u u a

birim hızlı eğrisi elde edilir. a*

( )

u eğrisine aşağıda verilen öteleme dönüşümü

uygulanarak orjinden geçmesi sağlanabilir. Elde edilen yeni eğri a

( )

u eğrisi olsun.

( )

( )

( )

( )

( )

u

( )

u u u u u * 3 3 * 2 2 * 1 1 1 a a a a a a = -= = olmak üzere

( )

_÷÷ ø ö çç è æ -÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ = 2 3 , 1 2 cos , 2 sin u u u u a

elde edilir. a

( )

u eğrisi, a~ eğrisine kongruent bir eğri olup, birim hızlıdır ve orjinden

( )

t geçer. Buradan

( )

_÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ = ¢ 2 3 , 2 sin 2 1 , 2 cos 2 1 u u u a

( )

_÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ¢¢ ,0 2 cos 4 1 , 2 sin 4 1 u u u a ve 4 1 0 , 2 cos 4 1 , 2 sin 4 1 , 0 , 2 cos 4 1 , 2 sin 4 1 , _÷÷ = ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ¢¢ ¢¢ = ¢¢ a a u u u u a

bulunur. Buna göre

÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ = ¢ = 2 3 , 2 sin 2 1 , 2 cos 2 1 u u T_a a ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ¢¢ ¢¢ = ,0 2 cos , 2 sin 4 1 0 , 2 cos 4 1 , 2 sin 4 1 u u u u N a a a ÷÷ ø ö çç è æ -÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ = Ù = 2 1 , 2 sin 2 3 , 2 cos 2 3 u u N T B_{a a a} ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ¢ 0 , 2 cos 4 3 , 2 sin 4 3 u u B_a

olur. Benzer şekilde; b~

( )

s eğrisinin birim hızlı bir koordinat komşuluğu bulunabilir. Bu

eğriye b*

( )

v eğrisi denirse, b~¢

( )

s =

(

-sin

( ) ( )

s,cos s,2 2

)

olmak üzere

( )

( ) ( )

(

( ) ( )

)

(

( )

( )

)

( )

cos

( )

8 9 3 sin 2 2 , cos , sin , 2 2 , cos , sin ~ , ~ ~ 2 2 + + = = = -= ¢ ¢ = ¢ s s s s s s s s s b b b

( )

3 ~ = ¢ s b elde edilir.

( )

ò

¢ = s ds s v 0 ~ b olmak üzere, v ds s s s s 3 3 3

|

0 0 = = =

ò

olur. Buradan

s

v=3 ya da

3

v s=

yazılabilir. Buna göre

( )

_÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ = 3 2 2 , 3 sin , 3 cos * v v v v b

birim hızlı eğrisi elde edilir. b*

( )

v eğrisine aşağıda verilen öteleme dönüşümü

uygulanarak orjinden geçmesi sağlanabilir. Elde edilen yeni eğri b

( )

v eğrisi olsun.

( )

( )

( )

( )

( )

v

( )

v v v v v * 3 3 * 2 2 * 1 1 1 b b b b b b = = -= olmak üzere

( )

_÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ = 3 2 2 , 3 sin , 1 3 cos v v v v b

elde edilir. b

( )

v eğrisi, b~

( )

s eğrisine kongruent bir eğri olup, birim hızlıdır ve orjinden

geçer. Buradan

( )

_÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ -= ¢ 3 2 2 , 3 cos 3 1 , 3 sin 3 1 v v v b

( )

_÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ¢¢ ,0 3 sin 9 1 , 3 cos 9 1 v v v b ve 9 1 0 , 3 sin 9 1 , 3 cos 9 1 , 0 , 3 sin 9 1 , 3 cos 9 1 , _÷÷ = ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ¢¢ ¢¢ = ¢¢ b b v v v v b

bulunur. Buna göre

÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ -= ¢ = 3 2 2 , 3 cos 3 1 , 3 sin 3 1 v v T_b b ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ¢¢ ¢¢ = ,0 3 sin , 3 cos 9 1 0 , 3 sin 9 1 , 3 cos 9 1 v v v v N b b b ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ = Ù = 3 1 , 3 cos 3 2 2 , 3 sin 3 2 2 v v N T Bb b b