Almost alpha-cosymplectic manifolds endowed with a quarter-symmetric connection

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÇEYREK SİMETRİK METRİK KONNEKSİYONLU

HEMEN HEMEN



-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR

YÜKSEK LİSANS

NURULLAH KACIR

ŞUBAT 2016 DÜZCE

KABUL VE ONAY BELGESİ

Nurullah KACIR tarafından hazırlanan Çeyrek-simetrik Metrik Koneksiyonlu Hemen Hemen Kosimplektik Manifoldlar isimli lisansüstü tez çalışması, Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun ... tarih ve ...sayılı kararı ile oluşturulan jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans / Doktora Tezi olarak kabul edilmiştir.

Üye (Tez Danışmanı) Prof.Dr.Nesip AKTAN Necmettin Erbakan Üniversitesi

Üye

Doç. Dr. M. Zeki SARIKAYA Düzce Üniversitesi

Üye

Doç. Dr. Erdal ÖZÜSAĞLAM Aksaray Üniversitesi

Tezin Savunulduğu Tarih : 18.02.2016

ONAY

Bu tez ile Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Nurullah KACIR’ın Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans derecesini almasını onamıştır.

Prof. Dr. Haldun MÜDERRİSOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

18 Şubat 2016

i

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimim ve bu tezin hazırlanmasında süresince gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Prof. Dr. Nesip AKTAN’a en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen aileme ,çalışma arkadaşlarıma ve özellikle can yoldaşım sevgili eşim Dilek KACIR‘ a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

ii

İÇİNDEKİLER

Sayfa

TEŞEKKÜR SAYFASI ………..………..……..i

İÇİNDEKİLER ……….…….ii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ ………iii

ÖZET ………...…....1

ABSTRACT ……….……...2

EXTENDED ABSTRACT ……...……….……….……..…..3

1. GİRİŞ ………...5

2. TEMEL KAVRAMLAR... ...7

2.1. RİEMANN MANİFOLDU………....

7

2.2 ALTMANİFOLDLAR .………..……...

15

2.3 HEMEN HEMEN DEĞME MANİFOLDLAR ………..

17

3. BULGULAR VE TARTIŞMA...23

3.1 ÇEYREK SİMETRİK METRİK KONNEKSİYONLU HEMEN HEMEN KOSİMPLEKTİKMANİFOLDLAR………...

23

4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ...34

5. KAYNAKLAR ...35

iii

SİMGELER DİZİNİ

M

~

Manifold M Alt Manifold

(C)

M

~

Uzay Formu g Metrik Tensörü

[, ] Lie Parantez Operatörü

TpM Tanjant Uzay

(M) Vektör Alanları Uzayı



Levi-Civita Koneksiyonu



~

Altmanifoldun Levi-Civita Koneksiyonu



Çeyrek-simetrik Metrik Koneksiyon



 Van der Waerden Bortolotti Koneksiyonu

  Normal Koneksiyon



Laplace Dönüşümü

h

2. Temel Form

h



3. Temel Form



A

Şekil Operatörü

h

2.Temel Formun Boyu

H

Ortalama Eğrilik

H

~

Hiperyüzeylerin 2. Temel Tensörü

R

~

Riemann-Christoffel Eğrilik Tensörü

iv 

R Çeyrek-simetrik Metrik Koneksiyonun Riemann Christoffel Eğrilik tensörü

S

Ricci Tensörü



S Çeyrek-simetrik Metrik Koneksiyonun Ricci Tensörü

r Skaler Eğrilik



r Çeyrek-simetrik Metrik Koneksiyonun Skaler Eğriliği

 Tensör Alanı

 Birim Vektör Alanı



 1-Form

BxF

Çarpım Manifoldu

B

x

_f

F

Katlı Çarpım Manifoldu





A Endomorfizm

1 ÖZET

ÇEYREK SİMETRİK METRİK KONNEKSİYONLU

HEMEN HEMEN



-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR

Nurullah KACIR Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Prof. Dr. Nesip AKTAN Şubat 2016, 45 sayfa

Bu çalışmada, çeyrek-simetrik metrik konneksiyona sahip hemen hemen  -kosimplektik manifoldların temel geometrik özellikleri incelenmiştir.

Anahtar sözcükler: Hemen hemen kosimplektik manifold, çeyrek-simetrik metrik

2 ABSTRACT

ALMOST 

-

COSYMPLECTIC MANIFOLDS ENDOWED WITH A QUARTER-SYMMETRIC METRIC CONNECTION

Nurullah KACIR Duzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Departmant of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Prof. Dr. Nesip AKTAN Fabruary 2016, 45 pages

In this study, we investigate basic geometric structure of almost -cosymplektic manifolds with quarter-symmetric metric connection

Keywords: Almost 

-

cosymplectik manifolds, Quarter –symmetric metrik connection, locally symmetric manifold, generalized recurrent manifold.

3

EXTENDED ABSTRACT

ALMOST 

-

COSYMPLECTIC MANIFOLDS ENDOWED WITH A QUARTER-SYMMETRİC METRIC CONNECTION

Nurullah KACIR Duzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Departmant of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Prof. Dr. Nesip AKTAN Fabruary 2016, 45 pages

1. INTRODUCTION:

The class of almost contact metric manifolds which are called almost Kenmotsu manifolds was firstly introduced by Kenmotsu. These manifolds appeared fort he first time in [23], where they were locally classified. Kenmotsu defined a structure closely related to the warped product which was characterized by tensor equations.

The notion of an almost cosymplectic manifold was introduced by Goldberg and Yano in 1969, [22]. In [18], Kim and Pak combined almost –Kenmotsu and almost cosymplectic manifold into a new class which is called almost–cosymplektik manifolds, where is a scalar.

Aktan at al. consider a wide subclass for almost contact metrik manifolds which is called almost -cosymplectic manifold. Firstly, the authors give the concept of almost

-cosymplectic manifolds and state general curvature properties and derive several important formulas on almost -cosymplectic manifolds. Finally , they give two extensive examples on almost -cosymplectic manifolds.

4

In 1924, Friedman and Schouten [24] introduced the notion of semi-symmetric linear connections. In 1975 , S.Golap defined and studied quarter-symmetric linear connections in differentiable manifolds

2. MATERIAL AND METHODS:

In this study by using the basis of studies mentioned above, we introduce some fundamental concept of manifold theory. In the first subsection we give some basic properties of Riemannian manifolds.

3. RESULTS AND DISCUSSIONS:

In this section, we introduce properties of almost  -cosymplectic manifolds endowed with aquarter-symmetric metric connection. Then we rewiew basic formulas and definitions for almost -cosymplectic manifolds and quarter-symmetric metric connection. We obtain some basic results for almost -cosymplectic manifolds endowed with a quarter-symmetric metric connection.

4. CONCLUSION AND OUTLOOK:

In this study we have some basic results for almost -cosymplectic manifolds endowed with a quarter-symmetric metric connection. Almost -cosymplectic manifolds endowed with a quarter-symmetric metric connection.are open problems, so very important results can be obtained.

Keywords: Almost 

-

cosymplectik manifolds, Quarter –symmetric metrik connection, locally symmetric manifold, generalized recurrent manifold.

5 1. GİRİŞ

Manifold teorisinde hemen hemen değme manifoldları çok önemli bir yere sahiptir. İlk olarak, 1959 yılında J.Gray tek boyutlu manifoldlar üzerinde yaptığı çalışmada U(n)x1 yapısal grubunun bir indirgenmesiyle hemen hemen değme yapıları tanımlamıştır. Buna göre, (2n1)-boyutlu bir hemen hemen değme yapısı

          I 2 1 ) (

denklemlerini sağlayan (1,1)-tipinde bir tensör alanı, bir  vektör alanı ve bir ile oluşturulan (,,)üçlüsüyle ifade edilir. 1960 yılında Sasaki (,,)hemen hemen değme yapısı üzerinde

) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( Y X Y X g Y X g X g X         

ifadeleriyle verilen uygun bir g metriği tanımlamış ve yapıyı tam olarak ifade etmiştir. 1961 yılında Sasaki ve Hatakeyama hemen hemen değme manifoldlar için normallik şartının J kompleks yapısının integrallenebilmesi olduğunu göstermiştir.

Hemen hemen değme yapıya bağlı kalarak Goldberg ve Yano 1969 yılında kosimplektik manifoldu tanımlamışlardır. İleriki yıllarda ise özellikle Olszak kosimplektik manifoldlar üzerinebir çok çalışma yapmıştır[20-21].

1969 yılında Goldber ve Yano hemen hemen kosimplektik manifoldlar üzerinde çalışmalar yapmıştır.[22]

[18] de Kim ve Pak hemen hemen



-Kenmotsu ve hemen hemen kosimplektik manifoldları kombin ederek yeni bir manifold sınıfı oluşturmuş bu sınıfa da hemen hemen



-kosimplektik manifold adını vermiştir.

6

Bu tez çalışması 3 ana bölümden oluşmustur.

Birinci bölüm olan giriş bölümünde konuyla ilgili literatür bilgisi verilmiştir.

İkinci bölümde temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Bu bölümün alt bölümlerinde sırasıyla Riemann manifoldları, hemen hemen değme metrik manifoldları,alt manifoldlar,hemen hemen –kosimplektik manifold ve çeyrek-simetrik metrik konneksiyon ile ilgili temel bilgiler verilmiştir.

Üçüncü bölümde ise hemen hemen –kosimplektik manifoldların lineer konneksiyonlu bilinen bazı eşitliklerinin, çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu eşitlikleri bulunup yazılmıştır.

7 2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanımlar ve kavramlar verilecektir.

2.1. Riemann Manifoldları

Tanım 2.1.1. M , n-boyutlu, diferensiyellenebilir (C) bir manifold olsun. M üzerindeki C vektör alanlarının uzayı



(M)ve M den  ye C fonksiyonların uzayı C(M,)

olmak üzere, M üzerinde;

C vektör alanlarının uzayı (M) olmak üzere; C(M,)

) ( ) ( ) ( : M x M  M   ) ( ) ( : M x M g   C(M,)

şeklinde tanımlanan pozitif, simetrik ve 2-lineer Riemann metriği g ile birlikte

M ye bir Riemann manifoldu adı verilir ve (M,g) şeklinde gösterilir [11]. M manifoldunun herhangi iki p ve q noktası için; M

üzerinde bu noktaları

birleştiren bir eğri bulunabilirse M ye bağlantılı manifold adı verilir [10].

Tanım 2.1.2. M n-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve M üzerindeki

Y Y X Y X M M M X        ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( :   dönüşümü ; (i)_X(YZ)_XY_XZ; X,Y,Z



(M) (ii)_fXgYZ  f_XZ g_YZ; X,Y,Z



(M)ve f ,gC _(M,)

8

(iii)_X(fY) f_XYX(f)Y; X,Y



(M)ve f C(M,)

özelliklerini sağlıyor ise  ya M üzerinde bir Afin Koneksiyon adı verilir [7]

Tanım 2.1.3. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu ve  da M üzerinde tanımlanan bir afin koneksiyonu olmak üzere;

(i)_XY_YX [X,Y]; X,Y



(M)

(ii)Xg(Y,Z)g(XY,Z)g(Y,XZ); X,Y,Z



(M)

şartlarını sağladığında  ya M üzerinde sıfır torsiyonlu Riemann Koneksiyon veya

M ’ nin Levi-Civita Koneksiyonu adı verilir [7].

Tanım 2.1.4. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu ve  da M üzerinde tanımlanan Levi-Civita koneksiyonu olmak üzere X,Y,Z



(M)için; 2g(XY,Z)Xg(Y,Z)Yg(Z,X)Zg(X,Y)

g(X,[Y,Z])g(Y,[X,Z]g(Z,[X,Y])

ile tanımlanan ifadeye Kozsul formülü adı verilir [13].

Tanım 2.1.5. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu,  da M üzerindeki Levi-Civita koneksiyonu olsun.

) ( ) ( ) ( : M M M R











Z Z Z Y X R( , ) _X_Y _Y_X _[X,Y] X,Y,Z



(M) (2. 1) ile tanımlanan R fonksiyonu M üzerinde (l, 3)-tipinde bir tensör alanıdır ve M ’nin

Riemann eğrilik tensörü olarak adlandırılır

Ayrıca ) , ) , ( ( ) , , , (X Y Z W g R X Y Z W R 

tensörüne M ’ nin Riemann-Christoffel eğrilik tensörü adı verilir [10]. Ayrıca, X,Y,Z,W



(M)için Riemann eğrilik tensörü R ;

9 (i) R(X,Y)Z R(Y,X)Z_, (ii) R(X,Y)Z R(Y,X)Z R(Z,X)Y 0_, (iii) g(R(X,Y)V,W)g(R(X,Y)W,V), (iv) g(R(X,Y)V,W)g(R(V,W)X,Y), özelliklerine sahiptir [10].

Tanım 2.1.6. M , n-boyutlu, diferensiyellenebilir bir manifold ve M üzerinde

) ,

( sr -tipinde simetrik bir tensör A olsun. Bu durumda, 1  a  b  s reel sayıları ve keyfi bir r değeri için;

)

(

)

(

:



_s

M





_s2

M

C

_abr

A

g

r s r s i i j q p j q p q p i i j j ... ... ... ... , , ... ... 1_{1 2} 1 2 1 





 b.bileşen a.bileşen

A)

(C

_ab

biçiminde tanımlanan C operatörüne _ab a.ve _{b bileşenlere göre A tensörünün} .

metrik kontraksiyonu adı verilir. Böylece kontraksiyon operatörü, ( sr, )-tipindeki bir tensörü (r1,s1)-tipinde bir tensöre dönüştürür [13].

Tanım 2.1.7. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu ve



e1,,e2,...,en



lokal

ortonormal vektör alanları



(M)'nin bir bazı olmak üzere;

S:



(M)x



(M) C _(M,)   ( , ) ) , (X Y S X Y



 n i i i

e

Y

X

e

R

g

1

)

,

)

,

(

(

; X,Y



(M) (2. 2) şeklinde tanımlı (0, 2)-tipindeki S tensör alanına, M üzerinde Ricci eğrilik tensörü adı verilir. Ayrıca Q Ricci operatörü

g(QX,Y)S(X,Y)

10

Tanım2.1.8. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu olsun.pM

noktasındaki MT_P tanjant uzayının 2-boyutlu alt uzayı  olmak üzere; V ,W

tanjant vektörleri üzerine kurulan paralelkenarın alanı;

0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , (V W g V V g W W g V W 2  Q olmak üzere; Q(V,W) V) W)W, g(R(V, ) , (V W  K

ifadesine  ‘nin kesitsel eğriliği denir ve K()ile gösterilir [10].

Tanım 2.1.9. (M,g)

n2 boyutlu bir Riemann manifoldu ve S de M ’ nin Ricci tensörü olsun. Böylece, M üzerinde bir : M   fonksiyonu için;

); , ( ) , (X Y g X Y S 



X,Y



(M)

eşitliği sağlanıyorsa M ’ ye bir Einstein manifold adı verilir [2].

M _{üzerinde bir birim tanjant vektör alanı U olmak üzere, A 1-formunu}

) ( ) , (X U A X g 

biçiminde tanımlayalım. Burada U vektör alanına A 1-formunun üreteci adı verilir. Eğer (M,g) n-boyutlu Riemann manifoldunun Ricci tensörü S , X,Y



(M) için;

S(X,Y)ag(X,Y)bA(X)A(Y) a,bC(M,)

koşulunu sağlıyorsa M ’ye yarı-Einstein manifold adı verilir [3]. Eğer b0ise

) ,

(M g manifoldu bir Einstein manifolda dönüşür.

M üzerinde birim tanjant vektör alanları U ve V olmak üzere, A ve B 1-formlarını

11

biçiminde tanımlayalım. Burada U vektör alanı A 1-formunun, V vektör alanı ise B 1-formunun üreteci olup U ile V birbirlerine dik vektör alanlarıdır.

Eğer (M,g) n-boyutlu Riemann manifoldunun Ricci tensörü S , X,Y



(M) _{için ;}

) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , (X Y ag X Y bA X AY cB X B Y S    (2. 3) ) , ( ,bC M 

a koşulunu sağlıyorsa M ‘ye genelleştirilmiş yarı-Einstein manifold adı veilir[9]. Eğer c0 ise (M,g) manifoldu yarı-Einstein manifolda dönüşür.

Tanım 2.1.10. (M,g) n-boyutlu Riemann manifoldu ve



e₁,e₂,...,e_n



_{lokal ortonormal}

vektör alanları



(M) ‘nin bir bazı olmak üzere; ( , ) 1 i i n i e e S r



  (2.4) fonksiyonuna M ’ nin skaler eğrilik fonksiyonu adı verilir [2].

Tanım 2.1.11. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. Eğer, M ’nin kesitsel _{eğrilik fonksiyonu sabit ise M ’ye sabit eğrilikli uzay denir ve} M(c)ile gösterilir [13].

Sonuç 2.1.12. (M,g) n-boyutlu csabit eğrilikli bir Riemann manifoldu olsun.

Bu durumda M ‘nin eğrilik tensörü R , X,Y,Z,W



(M)için;



( , ) ( , ) ( , ) ( , )



) , , , (X Y Z W c g Y Z g X W g X Z g Y W R   biçimindedir [13].

Tanım 2.1.13. Sabit eğrilikli, tam, bağlantılı manifoldlara uzay form adı verilir ve

n-boyutlu bir M uzay formu M(c) ile gösterilir.Eğer; 0

c iseM(c)  En Öklid uzayı,

r

1

c



₂iseM(c)  Sn(r) küresi,

r

1

-c



₂iseM(c)  Hn(r) Hiperbolik Uzay dır [1].

12

Tanım 2.1.14. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde

L ve N tensörlerini sırasıyla X,Y



(M) için;

) Y X, ( r ) 2 .( 2 Y) S(X, 2 1 Y) L(X, g n n n     ve g(NX,Y)L(X,Y)

biçiminde tanımlayalım. Böylece X,Y,Z



(M) _{için Weyl konformal eğrilik}

tensörü ve D tensörü sırasıyla;

NY Z X g NX Z Y g Y Z X L X Z Y L Z Y X R Z Y X C( , )  ( , )  ( , )  ( , )  ( , )  ( , ) ve ) , )( ( ) , )( ( ) , , (X Y Z L Y Z L X Z D  _X  _Y ile tanımlanır [17].

Eğer (M,g) _{manifoldu üzerinde} n3 için C0 ve n3 için D0 oluyorsa M 'ye düzlemsel konformaldir denir[2].

Tanım 2.1.15. M , n2 boyutlu, bağlantılı bir Riemann manifoldu olsun. A , M üzerinde tanımlı (0,2)-tipinde simetrik bir tensör alanı olmak üzere _{A endomorfizmi}

) ( , ,Y Z M X 



 _; _A:



(M)x



(M)x



(M)



(M) (XAY)Z A(Y,Z)g(X,Z)Y (2.5)

biçiminde tanımlanır. Eğer A g _{alınırsa (2.5) denklemi;}

Y Z X g X Z Y g Z Y X g ) ( , ) ( , ) (   

biçiminde indirgenir. Bundan sonra (XgY) yerine kısaca X Y kullanılacaktır [8].

M Riemann manifoldu üzerinde ( k0, )-tipinde (k 1) bir T tensör alanı ve (0,2)-tipinde simetrik bir tensör alanı A verildiğinde T nin kovaryant türevi T ;

13 T(X₁,X₂,...,X_k;X)(_XT)(X₁,X₂,...,X_k) ( ( , ,..., )) ( ,..., ,..., ) 1 1 2 1 X i k k i k X T X X X  T X  X X  



 (2.6)

ile R . T ve Q(A,T) _{tensörleri de sırası ile ;}

(R.T)(X₁,X₂,...X_k;X,Y)T(R(X,Y)X₁,X₂,...,X_k)... T(X₁,X₂,...R(X,Y)X_k) (2.7) ve Q(A,T)(X₁,X₂,...X_k;X,Y)T((X _AY)X₁,X₂,...,X_k)... T(X₁,X₂,...,(X _AY)X_k) (2.8) biçiminde tanımlanır [8].

Tanım 2.1.16. (M,g) n-boyutlu Riemann manifoldu üzerinde ( k0, )-tipinden (k 1) bir tensör alanı T 'nin kovaryant türevi T _{olsun. Eğer T tensör alanı,} X,X1,...Xk ve

) (M Y_k  _için; ) ,... ( ) ; ,..., )( ( ) ,... ( ) ; ,... )( (T X₁ X_k X T Y₁ Y_k  T Y₁ Y_k X T X₁ X_k

koşulunu sağlıyorsa T 'ye rekürent tensör alanı adı verilir [34]. Burada , M Riemann manifoldu üzerindeki Levi-Civita koneksiyonudur.

Bu tanıma denk olarak bir pM noktasının bir W komşuluğunda sıfırdan

farklı bir rekürent T tensör alanı için, W kümesi üzerinde



 

T T (2 . 9) eşitliği sağlanır. Burada  1-formu





d(log T)

biçiminde olup T _{, T tensör alanının normunu gösterir ve} T 2 g(T,T) ile hesaplanır [15].

Tanım 2.1.17. (M,g) n-boyutlu Riemann manifoldu üzerinde ( k0, )-tipinden (k 1)

bir tensör alanı T 'nin kovaryant türevi T _{olsun. Eğer T tensör alanı,}

k X X Y X, , ₁,...  _ve Y_k (M) _için;

14 ) ,... ( ) , ; ,..., )( ( ) ,... ( ) , ; ,... )( ( 1 1 2 1 1 2 k k k k X Y T Y Y T Y Y X Y T X X X X T   

koşulunu sağlıyorsa T 'ye 2-rekürent tensör alanı adı verilir [15]. Burada , M Riemann manifoldu üzerindeki Levi-Civita koneksiyonudur.

Bu tanıma denk olarak bir pM _{noktasının bir W komşuluğunda sıfırdan}

farklı bir 2-rekürent T tensör alanı için, W kümesi üzerinde



2T T (2.10) eşitliği sağlanır. Burada  , (0, 2)-tipinde bir tensördür [15].

Eğer T tensör alanı M üzerinde , X,Y,X₁,...X_{k ve} Y_k (M) _için;

) ,... ( )) , ; ,..., )( ( ) , ; ,... )( ( 1 1 1 2 k k k X Y T X X X Y T Y Y X X T     ) ,... ( )) , ; ,..., )( ( ) , ; ,..., )( (( 1 1 1 2 k k k X Y T Y Y X Y T X X Y Y T     

koşulunu sağlıyorsa T 'ye genelleştirilmiş 2-rekürent tensör alanı adı verilir[15]. Bu tanıma denk olarak bir pM _{noktasının bir W komşuluğunda sıfırdan}

farklı bir genişletilmiş bir 2-rekürent T tensör alanı için, W kümesi üzerinde

       2T T T _(2.11)

eşitliği sağlanır. Burada  (0, 2)-tipinde bir tensör ve  bir 1-formdur [15].

Tanım 2.1.18. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M 'nin R eğrilik tensörü

) ( , , ,Y Z W M X 



 _için; 0 ) , )( (_XR Y Z W  (2.12) koşulunu sağlıyorsa M 'ye lokal simetriktir denir [4].

Tanım 2.1.19. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde bir tanjant

U vektör alanını,  0 _{1-formu yardımı ile}

) ( ) , (X U X g 



biçiminde tanımlayalım. M 'nin eğrilik tensörü R , X,Y,Z,W



(M) için ;

W Z Y R X W Z Y R X )( , ) ( ) ( , ) ( 



(2.13)

15

eşitliğini sağlıyorsa M 'ye rekürenttir denir [4].

Tanım 2.1.20. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde U ve V

tanjant vektör alanlarını,



,



0 _{1-formları yardımı ile} ) ( ) , (X U X g 



, g(X,V)



(X)

biçiminde tanımlayalım. M 'nin eğrilik tensörü R , X,Y,Z,W



(M) _{için ;} ] ) , ( ) , ( )[ ( ) , ( ) ( ) , )( (_XR Y Z W 



X R Y Z W



X g Z W Y g Y W Z (2.14) eşitliğini sağlıyorsa M 'ye genelleştirilmiş rekürenttir denir [1].

Tanım 2.1.21. (M,g) n3 boyutlu, flat olmayan bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde bir tanjant U vektör alanını,  0 _{1-formu yardımı ile}

) ( ) , (X U X g 



biçiminde tanımlayalım. Eğer M 'nin eğrilik tensörü R , X,Y,Z,W



(M) için ;

W Y X R Z W Z X R Y W Z Y R X W Z Y R X )( , ) 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( 















(W)R(Y,Z)X g(R(Y,Z)W,X)U (2.15)

eşitliğini sağlıyorsa M 'ye Chaki-pseudo simetriktir denir [4].

2.2. Altmanifoldlar

Tanım 2.2.1. M n-boyutlu bir manifold

~

M (nd)-boyutlu manifold olsun pM

noktası için M üzerinde bir ~

~

U , M üzerinde bir U komşuluğu mevcut ve

      _{   }  U:x  ( ) ... x  ( ) 0 ~ 1 ~ ~ m m m U n n d ise M 'ye ~

M 'nin altmanifoldu adı verilir. Burada

      d n ~ 1 ~ x .... x koordinat sistemi ~ U da,



x ....1 xn



de M üzerinde koordinat sistemleridir[13].

Tanım 2.2.2. M ve M~ sırası ile n ve (nd)-boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere M , ~ M nın altmanifoldu ve ve ~  sırası ile M ve . ~

M da kovaryant türevler olsun. Böylece X ve Y , M üzerinde vektör alanları olmak üzere ;

) ( ) ( ) ( : M x M M h









 ) , ( ~ Y X h Y Y _X X    (2.16)

16

biçiminde Gauss eşitliği elde edilir. Burada _XY ve h(X,Y)_, X Y ~

 _{'nin sırasıyla tanjant}

ve normal bileşenleridir. (2.16) ile tanımlanan h 'ya M 'nin ikinci temel formu adı verilir. Eğer h0 ise M 'ye total geodeziktir denir[2].

Tanım 2.2.3. (M,g)

~ ~

Riemann manifoldunun n-boyutlu bir altmanifoldu (M,g) _olsun. ~

M 'nin eğrilik tensörü

~ R , X,Y,Z,W



(M) _için; Z Z Z Z Y X X Y Y X [X,Y] ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) , ( R      ) , ) , ( R ( g ) , , , ( R ~ ~ ~ W Z Y X W Z Y X 

biçiminde tanımlanır. M 'nin eğrilik tensörü R ve M 'nin eğrilik tensörü ~

~ R olmak üzere; )) , ( ), , ( ( g ) , , , ( ) , , , ( R ~ ~ W X h Z Y h W Z Y X R W Z Y X   g( ( , ), ( , )) ~ W Y h Z X h  (2.17) elde edilir. Burada (2.17) ile tanımlanan denkleme Gauss denklemi adı verilir[2].

Gauss denkleminin teğet ve normal bileşenleri sırasıyla

X A Y A Z Y X R Z Y X T _{h(X,Z) h(Y,Z)} ~ ) , ( ) ) , ( (R    (2.18) ve ) , )( ( ) , )( ( ) ) , ( (R ~ Z X h Z Y h Z Y X   X  Y (2.19)

biçiminde olup (2.19) denklemine Codazzi denklemi adı verilir [8]. Burada_,M üzerinde

Van Der Waerden Bortolotti konneksiyonudur.

) , ] , ([ ) , , , ( ) , , , ( R ~ Y X A A g Y X R Y X        _{ } (2.20) biçiminde tanımlanan eşitliğe Ricci denklemi adı verilir[1].

Burada ;

[A,A] AA AA (2.21)

17 2.3. Hemen Hemen Değme Manifoldlar

Bu bölümde hemen hemen değme manifoldlarla ilgili temel kavramlarlar verilmiştir.

Tanım 2.3.1. M , (2n1)-boyutlu bir manifold, ,, da M üzerinde sırasıyla (1,1)-tipinde bir tensör alanı, bir vektör alanı ve 1-form olsunlar. Eğer ,, _{için M üzerinde} herhangi bir vektör alanı X olmak üzere

          I 2 1 ) (

(2.22) eşitlikleri sağlanıyorsa (,,) üçlüsüne M üzerinde bir hemen hemen değme yapı ve bu yapıyla birlikte M 'ye bir hemen hemen değme manifold denir[5].

Teorem 2.3.1. (,,) hemen hemen değme yapısı ile birlikte verilen M manifoldu üzerinde ; n rank( ) 2 0 0        

(2.23) eşitlikleri sağlanır[5].

Tanım 2.3.2. (2n1)-boyutlu M hemen hemen değme manifoldu üzerinde

) ( ,Y M X   ve (M) için ; ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( Y X Y X g Y X g X g X          (2.24) koşullarını sağlayan bir g metriği varsa (,,,g)dörtlüsüne bir hemen hemen değme

metrik yapı, bu yapı ile birlikte M ’ye de hemen hemen değme metrik manifold adı verilir[5].

Teorem 2.3.2. (2n1)_{-boyutlu M hemen hemen değme manifoldu üzerinde} ) ( ,Y M X   _{için ;} ) ( ) ( ) , ( ) , ( X Y g X Y X Y g      (2.25) olacak şekilde bir g Riemann metriği daima vardır[5].

18

Sonuç 2.3.1. (2n1)-boyutlu M hemen hemen değme manifoldu üzerinde

) ( ,Y M X   için ; ) , ( ) , ( X Y g X Y g    (2.26) dir. Bu da  'nin g 'ye göre anti-simetrik bir tensör alanı olduğunu gösterir[5].

Teorem 2.3.3. (2n1)-boyutlu M hemen hemen değme manifoldu üzerinde bir  kontakt yapısı verildiğinde, X,Y(M) _için;

) , ( ) , (X Y d X Y g   

olacak şekilde bir (,,,g) hemen hemen değme metrik yapısı vardır[5].

Tanım 2.3.3. M üzerinde bir hemen hemen değme metrik yapısı (,,,g) olmak üzere

) ( ,Y M X   için; ( ) , (X Y g  X,Y) (2.27) şeklinde tanımlı  dönüşümüne hemen hemen değme metrik yapısının temel 2-formu denir[5].

Tanım 2.3.4. M diferansiyellenebilir bir manifold olmak üzere, M üzerinde (1,1)-tipinde

bir tensör alanı F olsun. X,Y(M) _için;



X Y

 

FX FY

 

F FX Y

 

F X FY



F Y X

N_F( , ) 2 ,  ,  ,  ,

şeklinde tanımlı N tensör alanına F tensör alanının Nijenhuis torsiyon tensörü adı verilir. _F

J , M üzerindeki bir hemen hemen kompleks yapı olmak üzere F Jolarak alınırsa;



 

 

 





X Y

 

JX JY

 

J JX Y

 

J X JY



JY X J Y JX J JY JX Y X J Y X N_J , , , , , , , , ) , ( 2         

eşitliği elde edilir[26].

Tanım 2.3.5. (M,J) _{bir hemen hemen kompleks manifold olsun. Eğer M üzerinde ise}

0



J

19

Önerme 2.3.1. M2n1 _{üzerindeki bir} (,,)hemen hemen değme yapısının normal olması için gerek ve yeter şart;



 

 

 



 

 



 

2 X,Y  X, Y  X,Y  X, Y 2d (X,Y)

(2.28)

ifadesinin sıfıra eşit olması yani

0 ) , ( 2 ) , (      X Y d X Y N eşitliğinin sağlanmasıdır[5].

Tanım 2.3.6. (M2n1,,,,g) bir hemen hemen değme metrik manifold olsun. d dış türev operatörü olmak üzere bu yapı,

0





d _ve d 0

şartlarını sağlıyorsa M manifolduna hemen hemen kosimplektik manifold denir. Eğer bir

M hemen hemen kosimplektik manifoldu normal ise bu manifolda kosimplektik manifold

denir[6].

Tanım 2.3.7. M hemen hemen değme metrik manifold olsun.



_{bir reel sayı olmak}

üzere;

  2 

d _ve d 0

ise M 'ye hemen hemen



–kosimplektik manifold denir

Teorem 2.3.4. (M2n1,,,,g) bir hemen hemen değme metrik manifold olsun.M2n1

manifoldunun bir kosimplektik manifold olması için gerek ve yeter şart  ve  kovaryant türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır[6].

Önerme 2.3.2. M bir hemen hemen



-kosimplektik manifold olsun. Bu durumda Levi-Civita koneksiyonu her X,Y,Z _{vektör alanı için ;}

) ), , ( ( ) , ) ( ) , ( ( 2 ) , ) ( 2g _X



Y Z 



g g



X Y







Y



X Z g N Y Z



X (2.29) eşitliği ile ifade edilir[16].

Önerme 2.3.3. Bir hemen hemen



-kosimplektik manifoldun D dağılımının integral altmanifoldlarının Kaehler yapıda olması için gerek ve yeter şart her X ,Y _{vektör alanı için}

20



_X



Y g



AX,Y



(Y)AX (2.30) olmasıdır. Burada AX _X ve h

 

L_ 2 1  olarak alınmıştır Bu koşul hX Y Y hX g X Y Y X g Y X ) ( ( , ) ( ) ) ( , ) ( ) (

























_(2.31) şeklinde de yazılabilir[16].

Önerme 2.3.4. M bir hemen hemen



-kosimplektik manifold olsun. M üzerinde (1,1)-tipli A tensör alanı A şeklinde tanımlanırsa A bir simetrik operatördür ve

(i) A()0

(ii) AA2

(iii) tr(A)2n

(iv) _X 2X hX

ifadeleri sağlanır. [16]

Önerme 2.3.5. M bir hemen hemen



-kosimplektik manifold olsun. M üzerinde (1,1)-tipli h tensör alanı h

 

L_

2 1

 şeklinde tanımlanırsa _{h bir simetrik operatördür ve} (i) h()0

(ii) hh0

(iii) trh0

(iv) tr(h)0

ifadeleri sağlanır. [12]

Önerme 2.3.6. M bir hemen hemen



-kosimplektik manifold olsun. R , Riemann eğrilik tensörü ve S , Ricci tensör alanı olmak üzere M üzerindeki herhangi X ve Y vektör

alanları için;



X Y



Y X X Y X hY R ,  2(( )2 ( )2 )(( )

21



X



X hX h X

 

hX R ,









2



2 



 2 



_ (2.33)



,X



R



, X



2( 2 2X h2X) R         (2.34) S(X, ) 2n (X) (div( h))X 2      (2.35) ) ( 2 ) , ( n 2 tr h2 S      (2.36) eşitlikleri sağlanır. [16]

Önerme 2.3.7. M bir hemen hemen



-kosimplektik manifold ve

~

M , D dağılımının bir integral manifoldu olsun.

  0iken

~

M 'ın total geodezik olması için gerek ve yeter şart h 'nin sıfır olmasıdır.

  0iken

~

M 'ın total umbilik olması için gerek ve yeter şart h 'nin sıfır olmasıdır. [18]

Teorem 2.3.5. M , M₁2n _{Kaehler manifoldu ile M Abelian Lie grubunun yerel çarpımı 2}1

olan kosimplektik manifoldu bir yerel ayrışabilir Riemann manifoldudur. [16]

Tanım 2.3.8. M hemen hemen değme metrik manifold olsun. M üzerindebir lineer konneksiyon ve de Levi-Civita konneksiyon, D, (1.1) tipinde bir tensör olmak üzere

) , (X Y D Y Y _X X    (2.37) M üzerinde  çeyrek simetrik metrik konneksiyonu için



( , ) ( , ) ( , )



2 1 ) , (X Y T X Y T' X Y T' Y X D    (2.38) ve ) ) , ( ( ) ), , ( (T' X Y Z g T Z X Y g  _(2.39) yazılır. (2.39) den [14] Y X Y X g Y X T'( , ) ( ,



)







( )



(2.40)

22 yazılıp (2.40) ve (2.38) den Y X Y X D( , )( )

elde edilir. Böylece hemen hemen



–kosimplektik manifold üzerinde



çeyrek simetrik metrik konneksiyonu için;

Y X Y Y _X X  



( )



 (2.41) eşitliği elde edilir. Y için,





_X

X 

 (2.42) yazılır.

23

3.BULGULAR VE TARTIŞMA

Bu bölümde hemen hemen



–kosimplektik manifoldların çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bazı eşitlikleri ile birlikte lineer konneksiyonlu



–kosimplektik manifoldlar üzerinde tanımlanan bazı teoremlerin çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu eşitlikleri bulunmuştur.

3.1 ÇEYREK SİMETRİK METRİK KONNEKSİYONLU HEMEN HEMEN  -KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR

Önerme 3.1.1. M , (2n1)-boyutlu hemen hemen



-kosimplektik manifold olsun. M üzerinde  bir Levi-Civita konneksiyonu ve de çeyrek simetrik metrik konneksiyon , R,’nin R de ’nin eğrilik tensörü olmak üzere ;

Z Z Z Z Y X R( , ) XY YX [X,Y] yazılır. Buradan da ; Z Y Z X Z Y X R Z Y X R( , )  ( , ) ( )(_Y) ( )(_X) (3.1) elde edilir. İspat 3.1.1. Z Z Z Z Y X R( , ) XY YX [X,Y] de Y X Y Y _X X  



( )





24 ) ) ( ( ) ) ( ( ) , (X Y Z Z Y Z Z X Z R X _Y 





Y _X 





([X,Y]Z([X,Y]Z) yazılır. X Y Y X, ]_X _Y [ ve XY XY



(X)



Y eşitlikleri kullanılarak; R(X,Y)Z X(YZ



(Y)



Z)



(X)



(YZ



(Y)



Z) Y(XZ(X)Z)(Y)(XZ(X)Z) [X,Y]Z(XY)Z(YX)Z Z Y X Z X Z Y Z Z Y X R( , ) XY X(( ) )( )Y ( )( ) YXZY((X)Z)(Y)XZ(Y)(X)Z [X,Y]Z (XY)Z (YX)Z R(X,Y)Z R(X,Y)ZX((Y)Z)(X)YZ Y((X)Z)(Y)XZ (XY)Z(YX)Z yazılır. ) , ( ) (   Y  g Y ve _Xg(Y,)g(_XY,)g(Y,_X) olmak üzere;

25 Z Y Z Y Z Y X X X(( ) )( )  ( ( ))  (Y)XZ(Xg(Y,))Z (Y)XZg(XY,)Zg(Y,X)Z aynı şekilde Z X g Z X g Z X Z X _{Y Y Y} Y(( ) )( )   ( ,)  ( , ) 

yazılır. Bu eşitliklerle birlikte

Z Y g Z Y _X X    ( )  ( , ) olmak üzere; Z X Z Y g Z Y g Z Y Z Y X R Z Y X R( , )  ( , ) ( )_X  (_X ,)  ( ,_X) ( )_Y (X)YZg(YX,)Zg(X,Y)Z(Y)XZ g(XY,)Zg(YX,)Z yazılır.    X (X) X    eşitliği kullanılarak Z X Z X Y g Z X Y g Z Y Z Y X R Z Y X R( , )  ( , ) ( )X  ( , )  ( ,( )) ( )Y (X)YZg(X,Y)Zg(X,(Y))Z(Y)XZ ve ] )[ ( ) , ( ) , (X Y Z R X Y Z X Z Z R   Y Y (Y)[XZXZ] yazılır. Ve böylece,

26 Z Y Z X Z Y X R Z Y X R( , )  ( , ) ( )(Y) ( )(X)

elde edilir ve ispat tamamlanmış olur.

Önerme 3.1.2. M , Kaehler yapıda (2n1)-boyutlu çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu hemen hemen



- kosimpletik manifold olsun. O halde;

] ) ( ) , ( )[ ( ] ) ( ) , ( )[ ( ) , ( ) , (X Y Z R X Y Z X g Y Z Z Y Y g X Z Z X R          (X)[g(hY,Z)(Z)hY](Y)[g(hX,Z)(Z)hX] (3.2) dir.

İspat : Kaehler yapıdaki M , hemen hemen -kosimplektik manifoldu için (2.35) deki

hX Y Y hX g X Y Y X g Y X ) ( ( , ) ( ) ) ( , ) ( ) (

























eşitliği (3.1) de yerine yazılırsa, X,Y,Z,W(TM)

hY Z Z hY g Y Z Z Y g X Z Y X R Z Y X R( , )  ( , ) ( )[( ( , ) ( ) ) ( , )( ) (Y)[g(X,Z)(Z)X]g(hX,Z) (Z)hX

yazılır. Gerekli düzenlemeler yapılarak;

] ) ( ) , ( )[ ( ] ) ( ) , ( )[ ( ) , ( ) , (X Y Z R X Y Z X g Y Z Z Y Y g X Z Z X R            (X)[g(hY,Z)(Z)hY](Y)[g(hX,Z)(Z)hX] elde edilir.

Önerme 3.1.3. M , (2n1)-boyutlu çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu hemen hemen

-kosimplektik manifold olsun. X,Y(TM) _için;

hY X hX Y Y X X Y Y X R Y X R( , )  ( , ) [( ) ( ) ]( ) ( ) (3.3) Y Y X R Y X R( ,)  ( ,) (X) (3.4)

27 hX X X R X R(, )  (, )  (3.5) eşitlikleri yazılır. İspat : (3.2) de Z  alınırsa; ] ) ( ) , ( )[ ( ] ) ( ) , ( )[ ( ) , ( ) , (X Y R X Y X g Y Y Y g X X R               (X)[g(hY,)()hY](Y)[g(h,Z)()hX] yazılıp 0    , ()1ve h 0 olduğundan; hY X hX Y Y X X Y Y X R Y X R( , )  ( , )[( ) ( ) ]( ) ( ) elde edilir. (3.2) de Y  ve Z Yyazılırsa, ] ) ( ) , ( )[ ( ] ) ( ) , ( )[ ( ) , ( ) , (X Y R X Y X g Y Y g X Y Y X R             (X)[g(h,Y)(Y)h]()[g(hX,Z)(Y)hX] yazılıp düzenlenirse, Y Y X R Y X R( ,)  ( ,) (_X) elde edilir. (3.2) de X Z  ve Y  X yazılırsa, ] ) ( ) , ( )[ ( ] ) ( ) , ( )[ ( ) , ( ) , ( X  R  X   g X    X  X g      R ()[g(hX,) ()hX](X)[g(h,)()h]

28 yazılıp düzenlenirse, hX X X R X R(, )  (, )  elde edilir.

Sonuç 3.1.1. M , Kaehler yapıda (2n1)-boyutlu çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu hemen hemen -kosimplektik manifold olsun.

hX Y Y hX g X Y Y X g Y X R Y X R( ,)  ( ,) ( ( , )( ) ) ( , )( ) (3.6) eşitliği yazılır.

Önerme 3.1.4. M , (2n1)-boyutlu  çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu hemen hemen -kosimplektik manifold olsun. S ve r ,  konneksiyonun Ricci eğriliği ve skaler eğriliği olmak üzere X,Y(TM) _için;

Z div Y Z g Z Y S Z Y S( , ) ( , ) ((_Y) ,)( )( ) ve r r  dir.

İspat: (3.1) in W ile iç çarpımını alırsak;

) , ) (( ) ( ) , ) (( ) ( ) , , , ( ) , , , (X Y Z W R X Y Z W X g Z W Y g Z W R   _Y  _X (3.7)

yazılır. (3.7) de X ve W baz vektörleri üzerinden toplam alınırsa;

Z div Y Z hY g Z g Z Y S Z Y S( , ) ( , ) ((_Y) ,) ( , )( )( ) (3.8) bulunur. Sve S , ve  konneksiyonlarının birer Ricci tensörleri olarak alındığından, çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu hemen hemen



- kosimplektik manifolda ait Ricci tensörü simetrik değildir. r ve r,  ve  konneksiyonlarının birer skaler tensörleri olmak üzere, tekrar (3.8) de Yve Z baz vektörleri üzerinden toplam alınırsa;

29

r

r  (3.9) elde edilir.

Sonuç 3.1.2. M , Kaehler yapıda (2n1)-boyutlu çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu hemen hemen -kosimplektik manifold olsun.

) , ( ) , ( ) , ( ) , (Y Z S Y Z g Y Z g hY Z S     (3.10) r r 

Önerme 3.1.5.  çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu hemen hemen -kosimplektik

manifold için; 0 ) , , , ( ) , , , (X Y Z W R X Y W Z  R veya 0 ) , , , ( ) , , , (X Y Z W R Y X Z W  R dır. İspat: Z Y Z X Z Y X R Z Y X R( , )  ( , ) ( )(Y) ( )(X)

eşitliğinin W ile iç çarpımı alınırsa;

) , ) (( ) ( ) , ) (( ) ( ) , , , ( ) , , , (X Y Z W R X Y Z W X g Z W Y g Z W R   _Y  _X _(3.11) yazılır. (2.29) den; 2 ) ), , ( ( )] , ( ) ( ) , ( ( [ ) , ) (( Z W g g Y Z Z g Y W g N Z W Y g Y            2 ) ), , ( ( )] , ( ) ( ) , ( ) , ( [g Y Z g  W  Z g Y W g N Z W Y     2 ) ), , ( ( )] , ( ) ( ) , ( ) ( [ W g Y Z  Z g Y W g N Z W Y     (3.12) ve aynı şekilde;

30 2 ) ), , ( ( )] , ( ) ( ) , ( ) ( [ ) , ) (( Z W W g X Z Z g X W g N Z W X g x            _(3.13)

elde edilir. (3.12) ve (3.13) eşitlikleri (3.11) de yerine yazılırsa;

) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , , , ( ) , , , (X Y Z W R X Y Z W X W g Y Z X Z g Y W R        (Y)(W)g(X,Z)(Y)(Z)g(X,W) yazılır. Aynı şekilde;

) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , , , ( ) , , , (X Y W Z R X Y W Z X Z g Y W X W g Y Z R        (Y)(Z)g(X,W)(Y)(W)g(X,Z) ve ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , , , ( ) , , , (Y X Z W RY X Z W Y W g X Z Y Z g X W R        (X)(W)g(Y,Z)(X)(Z)g(Y,W) bulunur. Bu eşitliklere göre;

0 ) , , , ( ) , , , (X Y Z W R X Y W Z  R 0 ) , , , ( ) , , , (X Y Z W R Y X Z W  R

olduğu görülür. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.1.1. M ,çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu yerel simetrik



-kosimplektik manifold olmak üzere;

 Eğer  0 ise D _{integral manifoldu total geodezik ve M , bir} M₁2n Kaehler manifoldu ve bir M Abelian Lie grup tarafından üretilen yerel ayrışabilir 1₂

Riemann manifoldudur.

 Eğer  0ise D integral manifoldu yerel umbiliktir ve r22ns(2n1)dir.

İspat: M , çeyrek-simetrik metrik koneksiyonlu yerel simetrik



-kosimplektik manifold olduğundan

31 0 ) , )( (X R Y Z W  (3.14)

yazılır. (3.14) ile U(TM) nin iç çarpımı alınırsa;

0 ) , , , )( (XR Y Z W U  (3.15)

olur. (3.15) de Y ve U baz vektörleri üzerinden toplam alınırsa;

) , ( ) , ( ) , ( ) , )( (XS Z W XS Z W S XZ W S Z XW _(3.16) yazılıp W _i alınırsa; 0 ) , ( ) , ( ) , )( (XS Z



_i S XZ



_i S Z X



_i  (3.17) dır. (2.35) ve (2.42) yı kullanarak; 0 ) ( ) ( 2 ) , ( . ) , ( ) , ( . 2 1 , 3 2 3     



 s k i i k X Z n X Z g s X Z S X Z g s n         (3.18)

yazılıp (3.18) de X ve Z vektörleri üzerinden toplam alınırsa; 0 ) 2 4 ( n2s2 r 2ns   (3.19)

elde edilir. Buna göre  0 ya da r22ns(2n1) _{dir. Önerme 2.3.7 ve Teorem 2.3.5} den ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.1.2. çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu genelleştirilmiş rekürrent



-kosimplektik manifold yoktur.

İspat:  _{çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu genelleştirilmiş rekürrent}



-kosimplektik manifold olduğunu farz edelim. M 'deki her X , Y , Z ,W vektör alanı için (2.14) den;

) ) , ( ) , ( )( ( ) , ( ) ( ) , )( (XR Y Z W A X R Y Z W  X g Z W g Y W Z

yazılır. Eşitlikte Y W  alınırsa;

) ) ( )( ( ) , ( ) ( ) , )( (XR  Z  A X R  Z B X  Z Z

32

elde edilir. (2.32) ve (3.5) kullanılarak;

) ) ( )( ( ) )( ( ) , )( (XR  Z   A X 22ZZ B X  Z  Z (3.20)

yazılır. (2.30), (2.31), (2.32) ve (3.6) ile birlikte;

0 ) , )(

(X R  Z   (3.21)

bulunur. (3.20) ve (3.21) birlikte düşünüldüğünde;

0 ) ) ( )( ( ) )( (X  2 2Z Z B X Z Z  A     

elde edilir. Burada Z Zyazılırsa;

0 ) )( ( ) )( (X  2 3Z  2Z B X  Z  A    

olur. Düzenleme yaparak;

0 ) ( )) ( ) ( (2A X B X ZA X 2Z (3.22) yazılır. (3.22) de Z _{vektörü üzerinde toplam alınırsa;}

0 ) (X  A

 (3.23)

bulunur. Z Zalınıp (3.22) de Z vektörü üzerinde toplam alınırsa;

) ( ) ( 2 X B X A   (3.24)

bulunur. (3.23) ve (3.24) e göre A(X)B(X)0olur. Fakat Tanım 2.1.20 deki tanımda 0



B alındığından bu bir çelişkidir. Dolayısıyla ispat tamamlanmış oldu.

Tanım 3.1.1. Düzlemsel olmayan n- boyutlu Riemann manifoldu M , n3 _ve Reğrilik

tensörü,  _{Levi-Civita konneksiyonu, (1,1)-tipinde tensör alanı ve} A da boştan farklı 1-form olmak üzere;

W Z Y R X A W Z Y R X )( , ) ) ( ) ( , ) (( 2    _(3.25)

33

Teorem 3.1.3. M ,çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu



-kosimplektik manifold olsun. Eğer,  0ise –rekürrent



-kosimplektik manifold yoktur.

İspat: çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu –rekürrent



-kosimplektik manifold olduğunu farzedelim. M deki her X ,Y , Z ,W vektör alanı için (3.25) den

W Z Y R X A W Z Y R X )( , ) ( ) ( , ) ( 2    (2.22) 'yı kullanarak; W Z Y R X A W Z Y R W Z Y R X X )( , ) ( ( )( , ) ) ( ) ( , ) (      

yazılır. Bu eşitlikte Y W  yazılırsa;

       , ) ( ( )( , ) ) ( ) ( , ) )( (XR Z  XR Z  A X R Z 

olur. Diğer yandan (3.21) den;

0 ) , ( ) (X R  Z   A yazılır. (2.32) ve (3.6) dan; 0 ) )( (X  2 2Z Z  A    (3.26) (3.26) da Z vektörü üzeinde toplam alınırsa;

0 ) ( . 2  X A 

BuradanA(X)0bulunur. Fakat tanımda A(X)0 olarak alındığından bu bir çelişkidir .

Dolayısıyla ispat tamamlanmış oldu.

Sonuç 3.1.1 M ,çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu yerel simetrik hemen hemen



-kosimplektik manifold olsun. Eğer, tr(h2)(2n1)2ise –rekürrent



-kosimplektik manifold yoktur.

34 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER

Bu çalışmada çeyrek-simetrik metrik konneksiyon ve hemen hemen



-kosimplektik manifoldlar hakkında temel bilgiler verilmiştir. Sonrasında çeyrek-simetrik metrik konneksiyonlu hemen hemen



-kosimplektik manifoldların özellikleri verilip, bazı temel sonuçlar elde edilmiştir.