Üzerinde tanımlı her norm-sınırlı operatörün regüler olduğu banach örgüleri

Tam metin

(1)STANBUL KÜLTÜR ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ. ÜZERNDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDUU BANACH ÖRGÜLER. YÜKSEK LSANS TEZ. Nazl DOAN. 1109041005. Anabilim Dal: Matematik-Bilgisayar Program: Matematik-Bilgisayar. Tez Dan³man: Doç. Dr. Mert ÇALAR. AUSTOS 2013.

(2) STANBUL KÜLTÜR ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ. ÜZERNDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDUU BANACH ÖRGÜLER. YÜKSEK LSANS TEZ. Nazl DOAN. 1109041005. Tezin Enstitüye Verildi§i Tarih. :. 19 Temmuz 2013. Tezin Savunuldu§u Tarih. :. 05 A§ustos 2013. Tez Dan³man:. Doç. Dr. Mert ÇALAR. Di§er Jüri Üyeleri:. Prof. Dr. Zafer ERCAN (Abant zzet Baysal Üniversitesi) Yrd. Doç. Dr. R. Tunç MISIRLIOLU. Yedek Üye:. Yrd. Doç. Dr. Ya³ar POLATOLU. AUSTOS 2013.

(3) Özet. ÜZERNDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN. REGÜLER OLDUU BANACH ÖRGÜLER. DOAN, Nazl Yüksek Lisans Tezi, Matematik-Bilgisayar Bölümü Tez Dan³man: Doç. Dr. Mert ÇALAR Temmuz 2013, 113 sayfa Bu tez çal³mas A. A. Wickstead'in Separable Banach lattices on which every. linear operator is regular ba³lkl makalesine [18] dayanmakta ve yedi bölümden olu³maktadr. kinci bölümde Boole cebiri teorisi detayl olarak çal³lm³tr. Üçüncü bölümde Riesz uzaylar tantlm³, bu çal³ma içerisinde kullanlan özelliklerine de§inilmi³, ve bir Riesz uzaynn evrensel tamlan³ detaylaryla karakterize edilmi³tir. Dördüncü bölümde Banach örgüleri tantlm³, bu çal³ma içerisinde kullanlan özelliklerine de§inilmi³, ve Banach örgüleri üzerinde tanml regüler operatörler ile norm-snrl operatörler arasndaki ili³ki tantlm³tr. Be³inci bölümde yerel konveks uzaylarn kompakt konveks alt kümelerinde tanml reel de§erli fonksiyon snaryla ilgilenilmi³ ve bölümün sonunda an fonksiyonlar ile AM -uzaylarnn bir karakterizasyonu verilmi³tir. Altnc bölümde Fonksiyonel Analizde kar³la³lan klâsik uzaylarda regüler operatörler ile norm-snrl operatörler arasndaki ili³ki incelenmi³tir. Son bölümde, A. W. Wickstead'in ayrlabilir. AM -uzaylarnn sra-birime sahip olmasyla ilgili bir karakterizasyonu incelenerek üzerinde tanml olan her norm-snrl operatörün regüler oldu§u ayrlabilir Banach örgülerinin karakterizasyonu üzerinde durulmu³tur.. ANAHTAR KELMELER: Banach örgüsü, regüler operatör, evrensel tamlan³, simpleks, an fonksiyon. iii.

(4) Abstract. BANACH LATTICES ON WHICH EVERY. NORM-BOUNDED OPERATOR IS REGULAR. DOAN, Nazl M.Sc. Thesis, Department of Mathematics and Computer Science Supervisor: Assoc. Prof. Mert ÇALAR July 2013, 113 pages This thesis, based on the paper entitled Separable Banach lattices on which every. linear operator is regular by A. A. Wickstead [18], consists of seven chapters. Chapter two provides a detailed study of the theory of Boolean algebras. In chapter three, having introduced Riesz spaces, properties of them used in the thesis are given, and the universal completion of a Riesz space is characterized. The purpose of chapter four is to introduce Banach lattices along with their properties that are necessary throughout, and examine the relationships between norm-bounded and regular operators. Chapter ve deals with several classes of real-valued functions on compact convex subsets of locally convex spaces and contains a characterization of AM -spaces by ane functions in its nal part. The subject matter of chapter six is the relationship between regular and normbounded operators on the classical spaces of Functional Analysis. In the nal chapter, a characterization of separable AM -spaces to have an order-unit given by A. W. Wickstead is thoroughly studied, and the problem of characterizing separable Banach lattices on which every norm-bounded operator is regular is discussed.. KEYWORDS: Banach lattice, regular operator, universal completion, ane function, simplex. iv.

(5) Te³ekkür. Öncelikle 2010 ylndan beri bana yol gösteren, yüksek lisans e§itimim boyunca sabrla yönlendiren tez dan³manm Sayn Mert Ça§lar'a, yüksek lisans ders döneminde ve sonrasnda yapt§ yardmlardan dolay Sayn R. Tunç Msrlo§lu'na, 2010 ylndan beri beni cesaretlendiren, destekleyen, yardmlarn esirgemeyen çok de§erli Hocam Aydn Aytuna'ya, her zaman manevi desteklerini hissettiren sevgili arkada³larm Tu§ba Yldrm ve Çi§dem Çelik'e, sonsuz inanç ve sevgilerinden dolay sevgili aileme, son olarak bu süreçte maddi deste§inden dolay TÜBTAK'a te³ekkür ederim.. v.

(6) çindekiler. Özet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iii. Abstract. ..................................................... iv. Te³ekkür. ..................................................... v. 1. ³. gr. ........................................................ 1. 2. ksmî sralama ve örgüler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.1. Da§lma Özelli§ine Sahip Örgüler . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.2. Boole Cebiri ve Boole Halkas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.3. Asal dealler ve Stone Gösterili³ Teoremi . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.4. Kabuk-Çekirdek Topolojisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 3. 4. resz uzaylar ve evrensel tamlan³. .................. 26. 3.1. Riesz Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 3.2. C ∞ (X)-uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.3. Evrensel Tamlan³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. ve üzerlerndek. regüler operabanach örgüler . ..................................................... 50. 4.1. Banach Örgüleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.2. Banach Örgüleri Üzerinde Regüler Operatörler . . . . . . . . . . .. 60. törler. vi.

(7) 5. 6. kompakt-konveks kümeler üzernde afn fonksyonlar. uzay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 5.1. Simplekler, Yüzler ve Gösterili³ Teoremleri . . . . . . . . . . . . .. 65. 5.2. Kompakt-Konveks Kümeler Üzerindeki Reel-De§erli Fonksiyonlar. 72. 5.3. Noktalarn Ölçülerle Temsili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. üzernde. klâsk banach örgüler norm-snrl ve regü-. ......................................... 85. Klâsik Uzaylar çin Önemli Sonuçlar . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. ler operatörler. 6.1 7. her norm-snrl operatörün regüler olüzerndek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 du§u banach örgüler. 7.1. Sonuçlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108. Kaynakça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114. Özgeçm³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. vii.

(8) Bölüm 1. ³. gr. Genel operatör teorisi içinde özel ve önemli bir yeri olan pozitif operatörler teorisi çal³lmaya ba³land§ndan bu yana, bir E Banach örgüsünden bir ba³ka F Banach örgüsüne giden tüm norm-snrl operatörlerin hangi ko³ullar altnda iki pozitif operatörün fark ³eklinde yazlabilece§i problemi do§al olarak gündeme gelmi³ ve bu problemi merkeze alan birçok çal³ma yaplm³tr. Bu tez çal³masnda, sözü edilen problemin önemli bir özel durumu incelenmektedir.. E ve F Banach örgüleri olmak üzere, E uzayndan F uzayna giden ve iki pozitif operatörün fark olarak yazlabilen (di§er bir deyi³le,. regüler. olan) ope-. ratörlerin vektör uzay Lr (E, F ) ile, tüm norm-snrl operatörlerin vektör uzay ise L (E, F ) ile gösterildi§inde, Lr (E, F ) uzaynn L (E, F ) uzaynn bir alt uzay oldu§u hemen görülür. Bu iki uzay, genel olarak, birbirinden farkldr. Lr (E, F ) uzay ile L (E, F ) uzay arasndaki ili³ki incelenmek istendi§inde, hangi ko³ullar altnda her norm-snrl operatörün regüler oldu§u, ve bu özellik sa§land§nda operatör normu ile Lr (E, F ) uzay üzerinde tanmlanan r-normunun ne zaman birbirlerine e³it olduklar biçiminde iki temel problemle kar³la³lr. E§er. L (E, F ) = Lr (E, F ) oluyorsa ve her operatörün operatör normu ile r-normu ile birbirlerine e³itse, Lr (E, F ) ≡ L (E, F ) ³eklinde gösterelim. 1974 ylnda Fremlin tarafndan, Lr (E, l1 ) = L (E, l1 ) e³itli§i var ise E uzaynn bir AL-uzayna izomork oldu§u gösterilmi³tir. 1975 ylnda Cartwright ve Lotz, Fremlin'in sonucunu geli³tirerek, Lr (E, F ) = L (E, F ) e³itli§i var ve F 0. (E ) uzay bir lp uzayna örgü izomork alt uzaya sahip ise E (F ) uzaynn bir. AL- (AM -) uzayna örgü izomork oldu§unu kantlam³lardr. Ayn makalede, Lr (E, F ) = L (E, F ) e³itli§i varsa E uzaynn bir AL- uzayna, F uzaynn da bir 1.

(9) AM -uzayna örgü izomork olmas gerekti§i sav ortaya atlm³tr; ancak 1977'de Yuri Abramovich, Lr (E, F ) = L (E, F ) e³itli§ini sa§layan bir AL-uzayna örgü izometrik olmayan bir E uzay ve bir AM -uzayna örgü izomork olmayan bir F uzay kurarak, bu savn gerçeklenmeyece§ini göstermi³tir. Yine ayn eserde, e§er. Lr (E) = L (E) ise E uzaynn ya bir AL-uzayna ya da bir AM -uzayna örgü izometrik oldu§u gösterilmi³tir. Keyfî bir E AL-uzay için Lr (E) = L (E) e³itli§i sa§lanmasna ra§men, Lr (E) = L (E) e³itli§inin sa§lanmad§ E AM -uzaylar mevcuttur. 2011 ylnda Wickstead tam olarak hangi AM -uzaylarnn bu e³itli§in sa§land§n göstermeye çal³m³ ve ayrlabilir Banach örgüleri için ilgili problemi çözmü³tür.. 2.

(10) Bölüm 2. ksmî sralama ve örgüler. Bu bölümde da§lma özelli§ine sahip örgüler özellikle Boole cebirleri üzerinde daha sonra kullanaca§mz çe³itli tanmlar ve teoremler verilecektir. Stone Gösterili³ Teoremi verilecek ve da§lma özelli§ine sahip bir örgünün Stone uzay üzerinde kabuk-çekirdek topolojisi kurulacaktr. Kabuk-çekirdek topolojisinin önemli topolojik özellikleri ara³trlacaktr. Daha fazla bilgi için [11] kayna§na ba³vurulabilir.. 2.1. Da§lma Özelli§ine Sahip Örgüler. X bo³tan farkl bir küme olsun. Bütün (x, y) (x, y ∈ X) sral ikililerinin kümesine X 'in kendisiyle kartezyen. çarpm. denir ve X × X ile gösterilir. X × X kartezyen. çarpmnn bo³tan farkl bir alt kümesine X kümesi üzerinde bir. ba§nt. denir. ve genellikle bir ba§nt R ile ve ba§ntnn elemanlar da xRy ile gösterilir. yi bilinen ba§ntlardan birisi. denklik ba§ntsdr. ; bir R ba§nts. (i) xRy ve yRz iken xRz (geçi³me), (ii) her x ∈ X için xRx (yansma), (iii) xRy iken yRx (simetri), özelliklerine sahipse R ba§ntsna denklik ba§nts denir. Bir di§er iyi bilinen ba§nt ise. ksmi sralamadr. ; bir R ba§nts. (i) xRy ve yRz iken xRz , 3.

(11) (ii) her x ∈ X için xRx, (iii) xRy ve yRx iken x = y (ters simetri), özelliklerine sahipse R ba§ntsna ksmi sralama denir. X üzerindeki bir R ksmi sralama ba§ntsnn xRy elemanlarn genellikle x ≤ y (ya da, denk olarak y ≥ x) ³eklinde yazaca§z. Key x, y ∈ X elemanlarna ya x ≤ y ya da y ≤ x gerçekleniyorsa kar³la³trlabilir, ne x ≤ y ne de y ≤ x gerçeklenmiyorsa kar³la³trlamaz denir. E§er X kümesinin bütün elemanlar kar³la³trlabilir ise bu ksmi sralama ba§ntsna. lineer sralama. denir.. X ksmi sral bir küme olmak üzere X kümesi üzerindeki ksmi sralamay bo³tan farkl her Y ⊂ X alt kümesi üzerine indirebiliriz, e§er Y kümesi indirdi§imiz ksmi sralamaya göre lineer sral ise Y kümesine X kümesi içinde bir. zincir. denir.. X ksmi sral bir küme ve Y ⊂ X bo³tan farkl olsun. Bir x0 ∈ X eleman her y ∈ Y için x0 ≥ y sa§lyorsa x0 elemanna Y kümesinin bir. üst snr. denir.. Y kümesinin bir x0 üst snr di§er tüm üst snrlarndan küçükse, yani key üst snr x00 için x0 ≤ x00 sa§lyorsa, x0 elemanna Y kümesinin veya. supremumu. en küçük üst snr. denir ve x0 = sup Y veya x0 = sup {y : y ∈ Y } ile gösterilir. 0. Ayrca bir kümenin supremumu tek türlü belirlidir, e§er x0 ve x0 bir Y kümesinin supremumlar olsayd x0 ≤ x00 ve x00 ≤ x0 oldu§undan x0 = x00 bulunurdu. Benzer ³ekilde bir kümenin. ,. alt snr. en büyük alt snr. ve. inmumu. tanmlanr ve bir. Y kümesinin inmumu inf Y = inf {y : y ∈ Y } ile gösterilir. X ksmi sral bir küme ve x0 ∈ X olmak üzere x ∈ X ve x0 ≤ x iken x0 = x ise x0 elemanna maksimal eleman denir (x0 maksimal elemann her x ∈ X elemanndan büyük olmas gerekmez). Bir x0 ∈ X eleman her x ∈ X için x0 ≥ x sa§lyorsa x0 elemanna X kümesinin. en büyük eleman. denir ve ayn zamanda. x0 eleman tek maksimal elemandr. Fakat X ksmi sral kümesi tek maksimal elemana sahip olsa bile bu elemann en büyük eleman olmas gerekmez. eleman. ve. en küçük eleman. Minimal. tanmlar benzer ³ekilde verilir.. yi bilinen ve skça kullanlacak Zorn Lemmasn verelim. Zorn Lemmas:. X ksmi sral bir küme olmak üzere X kümesi içindeki her. zincirin bir üst snr varsa, X kümesi en az bir maksimal elemana sahiptir. 4.

(12) Tanm 2.1.1.. (i) E§er. X X. varsa. (ii) E§er. X. X. ksmi sral bir küme olsun.. kümesinin bo³tan farkl her alt kümesinin supremumu ve inmumu kümesine sra tam denir.. kümesinin bo³tan farkl üstten snrl (alttan snrl) her alt küme-. sinin supremumu (inmumu) varsa. (iii) E§er. X. X. kümesine Dedekind tam denir.. kümesinin bo³tan farkl üstten snrl (alttan snrl) saylabilir her. alt kümesinin supremumu (inmumu) varsa. X. kümesine Dedekind. σ -tam. denir.. (iv) E§er varsa. X X. kümesinin iki elemanl her alt kümesinin supremumu ve inmumu kümesine örgü denir.. Bir X örgüsünde x, y ∈ X olmak üzere x ve y elemanlarndan olu³an kümenin supremumunu sup (x, y) veya x ∨ y ile gösterece§iz. Benzer ³ekilde x ve y elemanlarndan olu³an kümenin inmumunu inf (x, y) veya x ∧ y ile gösterece§iz. ndüksiyon ile bir örgü içindeki sonlu her kümenin supremumu ve inmumu oldu§unu da söylebiliriz ve sonlu bir {x1 , . . . , xn } kümesinin supremumunu ve inmumunu srasyla sup {x1 , . . . , xn } ( x1 ∨ . . . ∨ xn veya ( x1 ∧ . . . ∧ xn veya. n ^. n _. xi ) ve inf {x1 , . . . , xn }. i=1. xi ) ile gösterece§iz.. i=1 Tanm 2.1.2. Bir. X. örgüsünde her. x, y, z ∈ X. için. x ∧ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) oluyorsa da§lma özelli§ine sahiptir denir.. Tanmdaki supremum ve inmumun yerlerini de§i³tirebiliriz, yani bir X örgüsünün da§lma özelli§ine sahip olmas için gerek yeter ko³ul her x, y, z ∈ X için. x ∨ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) olmasdr. Bir X örgüsü en küçük ve(veya) en büyük elemana sahip ise bu elemanlar srasyla θ ve e ile gösterece§iz. X da§lma özelli§ine sahip, en küçük ve en büyük 5.

(13) eleman olan bir örgü olmak üzere x, x0 ∈ X elemanlar için x∧x0 = θ ve x∨x0 = e sa§lanyorsa x0 elemanna x elemannn. tümleyeni. denir. Bu durumda x eleman. da x0 elemannn tümleyenidir. Teorem 2.1.3.. X. da§lma özelli§ine sahip, en küçük ve en büyük eleman olan. bir örgü olmak üzere e§er bir. x∈X. elemann tümleyeni varsa tek türlü belirlidir,. di§er bir deyi³le her elemann en fazla bir tümleyeni vardr.. Kant.. Bir x ∈ X elemannn x0 ve x∗ gibi iki tümleyeni oldu§unu varsayalm. O. halde. x∗ = x∗ ∨ θ = x∗ ∨ (x ∧ x∗ ) = (x∗ ∨ x) ∧ (x∗ ∨ x0 ) = e ∧ (x∗ ∨ x0 ) = (x∗ ∨ x0 ) . Benzer ³ekilde x0 = (x∗ ∨ x0 ) elde edilir. Sonuç olarak x0 = x∗ bulunur.. 2.2. Boole Cebiri ve Boole Halkas. Da§lma özelli§ine sahip, en küçük, en büyük eleman olan ve her elemann tümleyene sahip oldu§u örgüler Boole cebiri olarak adlandrlr. Teorem 2.2.1.. X. bir Boole cebiri,. x, y ∈ X. ve. x≤y. olmak üzere. Xx,y = {z ∈ X : x ≤ z ≤ y} kümesi de. X. üzerinde sralamay üzerine indirdi§imizde bir Boole cebiridir ve bu. Boole cebirinin en küçük eleman. Kant.. x. ve en büyük eleman. y 'dir.. X Boole cebirinin en büyük elemann e, en küçük elemann θ ile göste-. relim. X üzerinde sralamay Xx,y üzerine indirdi§imizde Xx,y kümesinin da§lma özelli§ine sahip bir örgü oldu§u açktr. imdi Xx,y kümesindeki her z ∈ Xx,y elemann Xx,y içinde tümleyeninin oldu§unu gösterelim. z elemann X kümesi içindeki tümleyenini z 0 ile gösterelim. z ∗ = (z 0 ∧ y) ∨ x dersek. z ∧ z ∗ = z ∧ {(z 0 ∧ y) ∨ x} = {z ∧ (z 0 ∧ y)} ∨ (z ∧ x) = θ ∨ x = x, z ∨ z ∗ = z ∨ (z 0 ∧ y) ∨ x = z ∨ (z 0 ∧ y) = (z ∨ z 0 ) ∧ (z ∨ y) = e ∧ y = y. 6.

(14) bulunur, bu ise z ∗ elemann z elemannn Xx,y kümesi içindeki tümleyeni oldu§unu söyler.. X en küçük elemana sahip bir örgü ve x, y ∈ X olmak üzere x ∧ y = θ ise x ve y elemanlarna. dik. veya. ayrk. denir. Bo³tan farkl U ⊂ X kümesinin her. iki eleman ayrk ise U kümesine ayrk denir. Bo³tan farkl bir Y ⊂ X kümesinin bütün elemanlarna dik olan elemanlarn kümesine. ayrk tümleyen. denir ve. Y d := {x ∈ X : x ∧ y = θ ∀y ∈ Y } ile gösterilir.. X bir Boole cebiri olmak üzere bo³tan farkl bir I ⊂ X kümesi x, y ∈ I ⇒ x ∨ y ∈ I özelliklerine sahipse I kümesine. ideal. ve. x ∈ I, y ≤ x ⇒ y ∈ I. denir. {θ} kümesi bir idealdir. Ayrca bo³-. tan farkl Y ⊂ X alt kümesinin ayrk tümleyeni de bir idealdir. Bir I idealinin her alt kümesinin X içinde supremumu var ve bu supremum I idealinin eleman ise I idealine. bant. denir. deal ve bant tanmlarndan, ideallerin (bantlarn) ke-. si³imlerinin ideal (bant) oldu§unu söyleyebiliriz. Ayrca bo³tan farkl bir D ⊂ X kümesini kapsayan ideallerin kesi³imine D kümesi tarafndan üretilen ideal denir. Benzer ³ekilde D kümesi tarafndan üretilen bant D kümesini kapsayan bantlarn kesi³imidir.. X bo³tan farkl bir küme ve Γ, X kümesinin alt kümelerinin bir toplulu§u olmak üzere her A, B ∈ Γ için A ∪ B ∈ Γ ve A \ B ∈ Γ sa§lanyorsa Γ toplulu§una bir halka denir. Tanmdan da kolayca görülece§i gibi Γ toplulu§u sonlu birle³im ve kesi³im altnda kapaldr. Γ toplulu§u içerme ba§ntsyla ksmi sraldr. Açkça görülece§i gibi da§lma özelli§ine sahip, en küçük eleman olarak bo³ kümeyi içeren bir örgüdür. E§er X kümesinin kendisi Γ toplulu§unun eleman ise Γ kümesine cebir. denir. Bu durumda Γ en büyük eleman X olan bir Boole cebiridir ve her. A ∈ Γ için X \ A kümesi da§lma özelli§ine sahip yaplar içinde verilen tümleyen tanmna göre A kümesinin tümleyenidir.. X bir Boole cebiri olsun. B, E ⊂ X olmak üzere her 0 < b ∈ B için 0 < x ≤ b olacak ³ekilde x ∈ E varsa E kümesi B kümesini 7. minorize. ediyor denir ve E.

(15) kümesine B kümesinin. minorant. denir. Bo³tan farkl bir M ⊂ X kümesinin üst. snrlarnn kümesini u.b. (M ) ile gösterelim. Bir Boole cebirinin ayrk bir alt kümesine Teorem 2.2.2. (Tüketme Prensibi) bir alt küme olsun. Bir. E⊂X. X. kümesi. minorize etsin. Bu durumda öyle bir. u.b. (M ) Kant.. ve her. x ∈ E0. için öyle bir. ters zincir. diyelim.. bir Boole cebiri ve. M. M ⊂X. bo³tan farkl. kümesi tarafndan üretilen. E0 ⊂ E. y∈M. ters zinciri vardr ki. vardr ki. x≤y. B. bandn. u.b. (E0 ) =. sa§lanr.. U ile a³a§daki ko³ullar sa§layan tüm A ters zincirlerinin kümesini göste-. relim: (a) A ⊂ E ,. (b) her x ∈ A öyle bir y ∈ M vardr ki x ≤ y sa§lanr.. E§er θ 6= y ∈ M eleman varsa minorant olma ko³ulundan y ≥ x olacak ³ekilde. θ 6= x ∈ E eleman vardr. Böylece {x} ∈ U bulunur ki bu durumda U bo³tan farkldr. U içerme ba§ntyla sral bir kümedir ve Zorn Lemmasnn ko³ullarn sa§lar. O halde U bir maksimal elemana sahiptir, bu maksimal eleman E0 ile gösterelim. U toplulu§unun tanmndaki (b) ko³ulundan u.b. (M ) ⊂ u.b. (E0 ) bulunur. Özellikle u.b. (E0 ) = {e} ise ispat tamamlanr. Ters kapsamay göstermek için öyle bir e 6= b0 ∈ u.b. (E0 ) elemann u.b. (M ) kümesinde olmad§n varsayalm. O zaman öyle bir x ∈ M eleman vardr ki 0. x0 := b0 ∧ x 6= θ. Minorant olma ko³ulundan, öyle bir y ∈ E eleman için θ < y ≤ x0 sa§lanr. Böylece E0 ∪ {y} ∈ U bulunur ki bu ise E0 kümesinin maksimal olmasyla çeli³ir. O halde u.b. (E0 ) ⊂ u.b. (M ) bulunur. Lemma 2.2.3. En küçük üst snra sahip olan bo³tan farkl her için öyle bir için. x≤y. Kant.. A⊂X. ters zinciri vardr ki. sa§layan öyle bir. E :=. [. y∈M. sup A = sup M. ve her. M ⊂X x∈A. kümesi eleman. bulabiliriz.. [θ, y] kümesi M için minorant alnr ve yukardaki lemma kulla-. y∈M. nlrsa istenilen elde edilir. Sonuç 2.2.4. Bir Boole cebirinin tam olmas için gerek yeter ko³ul her ters zincirin supremuma sahip olmasdr.. 8.

(16) X da§lma özelli§ine sahip ve en küçük eleman θ olan bir örgü olsun. Key x ∈ X eleman için; {y ∈ X : θ ≤ y ≤ x} kümesini Xθ,x ile gösterelim ve Xθ,x kümesine X örgüsünün bir ba³langç parças denir. Her x ∈ X için Xθ,x ba³langç parçalarnn bir Boole cebiri oldu§unu varsayalm, yani y ≤ x sa§layan key iki x, y ∈ X eleman için öyle bir z ∈ X vardr ki z ∧ y = θ ve z ∨ y = x sa§lanr. Bulunan z eleman y elemannn x elemanna göre tümleyeni olarak adlandrlr. Buradaki z eleman için z = x y notasyonunu kullanalm. Açktr ki x y = θ olmas için gerek yeter ko³ul x = y olmasdr. Bu ³ekilde X üzerinde toplama ve çarpma i³lemi tanmlayabiliriz öyle ki bu i³lemlere göre X baz ek özellikleri olan de§i³meli bir halka olur. ³lemler,. x + y toplam x ∧ y elemannn x ∨ y elemanna göre tümleyeni, xy çarpm x ∧ y olarak tanmlanr. Bu i³lemlere göre X de§i³meli bir halka olur (daha fazla bilgi için, [11] s.8). X örgüsünün en küçük eleman θ bu halkann sfr eleman olur yani her x ∈ X için x + θ = x. Genelde bu halkann birim eleman yoktur, e§er X bir Boole cebiri ise, o zaman en büyük eleman e bu halka için birim eleman olur. Ayrca bu halkann ek ba³ka özellikleri de vardr; her eleman e³güçlü(idempotent) elemandr yani her x ∈ X için x2 = x, ayrca her x ∈ X için x + x = θ yani. x = −x sa§lanr. Do§al olarak bir R Boole halkasnn da§lma özelli§ine sahip, θ en küçük eleman, her Rθ,x ba³langç parçasnn Boole cebiri olacak ³ekilde bir ksmi sralamaya sahip olup olmad§ ve böyle bir örgü yapsndan elde edilecek olan Boole halkasnn ba³langçtaki Boole halkas olup olmad§ sorusu soruldu. Bir R Boole halkas verildi§inde xy = x ise x ≤ y diyelim. Bu tanmlamann bir ksmi sralama oldu§u ve R Boole halkasnn da§lma özelli§ine sahip oldu§unu, θ en küçük eleman oldu§unu görmek kolaydr. x ve y elemanlarnn inmumu xy eleman ve supremumu x + y + xy elemandr. Gerçekten z = x + y + xy dersek xz = x ve. yz = y oldu§undan z eleman x ve y elemanlar için bir üst snrdr. z 0 eleman x ve y elemanlar için bir ba³ka üst snr olsa. zz 0 = xz 0 + yz 0 + xyz 0 = x + y + xy = z, 9.

(17) ve böylece z ≤ z 0 elde edilir. Bu ise z = x+y +xy elemannn supremum oldu§unu gösterir. θ ≤ y ≤ x olmak üzere x + y eleman y elemannn x elemanna göre. Rθ,x içindeki tümleyenidir, böylece Rθ,x bir Boole cebiridir. O halde R Boole halkas istenilen özellikleri sa§layan bir ksmi sralamaya sahiptir. Bu Boole halkas yapsndaki ksmi sralamadan türetilen çarpma i³lemi xy = x ∧ y ba³langçtaki çarpma i³lemidir ve x ve y elemanlarnn toplam xy elemannn x∨y = x+y +xy elemanna göre tümleyenidir, yani toplam x + y + xy + xy = x + y ba³langçtaki Boole halkas üzerideki toplamadr. Bu ³ekilde sral bir Boole halkas yaps elde ederiz.. 2.3. Asal dealler ve Stone Gösterili³ Teoremi. X da§lma özelli§ine ve θ en küçük elemanna sahip bir örgü olsun. Bir Z ⊆ X kümesi. • zl , z2 ∈ Z iken z1 ∨ z2 ∈ Z , 0. 0. • z ∈ Z olmak üzere z ≤ z sa§layan her z ∈ Z , özelliklerine sahipse Z kümesine ideal denir. X kümesinin kendisinden farkl ideallerine has ideal diyece§iz. Bir P idealinde x∧y ∈ P sa§layan x, y ∈ X elemanlar için ya x ∈ P ya da y ∈ P oluyorsa P idealine. asal ideal. denir. I bir ideal ve M. bir asal ideal olmak üzere I ⊂ M 0 ⊂ M sa§layan her M 0 asal ideal için M 0 = M oluyorsa M asal idealine I idealine göre minimal asal ideal denir. Bir M ideali {θ} idealine göre minimal ise ksaca minimal asal ideal denir. X içindeki tüm has asal ideallerin toplulu§unu P ile, tüm has minimal ideallerin kümesini M ile ve bir eleman içermemeye göre maksimal olan Q ideallerinin kümesini Q ile gösterelim. (Q = {Q : ∃x ∈ X 3 x ∈ / I, I ideali için I ⊆ Q}). Teorem 2.3.1. sa§layan her. (ii) x0 ∈ X Q⊃P (iii). ve. (i). A, B ve. Bir. P. idealleri için. P ⊂ X. x0 ∈ /Q. idealinin asal olmas için gerek yeter ko³ul. ise. A⊂P. ideali. Q = P,. ise. x0 P. veya. B⊂P. A∩B ⊂ P. olmasdr.. elemann içermemeye göre maksimal, yani ideali asaldr.. Her maksimal ideal asaldr.. 10.

(18) Kant.. (i) P bir asal ideal ve A, B ⊂ X idealleri için A ∩ B ⊂ P olsun. Ne A ⊂ P. ne de B ⊂ P olmazsa öyle x ∈ A ve y ∈ B vardr ki ne x eleman ne de y eleman. P idealinin elemandr. Öte yandan x ∧ y ∈ A ∩ B ⊂ P ve P asal oldu§undan ya x ∈ P ya da y ∈ P olur. Bu ise çeli³kidir. Böylece A ⊂ P veya B ⊂ P bulunur. Tersine, P ideali her A ∩ B ⊂ P olan A, B ⊂ X idealleri için A ⊂ P veya B ⊂. P özelli§ine sahip olsun. x ∧ y ∈ P iken x ∈ P veya y ∈ P oldu§unu gösterelim. Bunun için A ve B ile srasyla x ve y tarafndan üretilen idealleri gösterelim, yani A = {z : z ≤ x} ve B = {z : z ≤ y} olsun. O halde A ∩ B = {z : z ≤ x ∧ y} olur ve böylece x ∧ y ∈ P oldu§undan A ∩ B ⊂ P bulunur. Kabulümüzden A ⊂ P veya B ⊂ P bulunur, yani ya x ∈ P ya da y ∈ P .. (ii) x0 ∈ X ve P ideali x0 elemann içermeme özelli§ine göre maksimal olsun. E§er P asal de§ilse öyle y, z ∈ X \ P elemanlar vardr ki y ∧ z ∈ P sa§lanr.. P ∪{y} tarafndan üretilen ideal x0 elemann içerir, böylece öyle p1 ∈ P ve y1 ≤ y vardr ki x0 = p1 ∨y1 ³eklindedir. Benzer ³ekilde, P ∪{z} tarafndan üretilen ideal. x0 elemann içerir, böylece p2 ∈ P ve z1 ≤ z vardr ki x0 = p2 ∨ z1 ³eklindedir. p3 = p1 ∨ p2 dersek x0 ≤ p3 ∨ y1 , x0 ≤ p3 ∨ z1 ve x0 ≤ (p3 ∨ y1 ) ∧ (p3 ∨ z1 ) = p3 ∧ (y1 ∨ z1 ) ∈ P , böylece x0 ∈ P bulunur ki bu ise hipotez ile çeli³ir. (iii) P bir maksimal ideal ve x0 ∈ X \ P ise P , x0 elemann içermeme ba§ntsna göre maksimal oldu§undan (ii) ³kkndan P asal ideal bulunur. Teorem 2.3.2. ideali. P. x0. I. bir ideal ve. x0 ∈ /I. verildi§inde öyle bir. P ⊃I. ideali vardr ki. P. elemann içermeme özelli§ine göre maksimaldir. Bir önceki teoremden. ideali asaldr. Böylece, key bir. I=. \. I. ideali için. {P ∈P : P ⊃ I }. bulunur. Özel olarak,. {θ} =. \. {P : P. asal ideal. }. olur. Kant.. I idealini içeren x0 elemann içermeyen ideallerin kümesi içerme ba§nt-. sna göre ksmi sraldr. Ayrca bu küme içindeki her zincir bir üst snra sahiptir (zincirdeki elemanlarn birle³imi üst snr olarak alnabilir). Böylece küme bir maksimal elemana sahiptir, yani öyle bir P ⊃ I ideali vardr ki P , x0 elemann içermeme özelli§ine göre maksimaldir. Ayrca önceki teoremden P asaldr. 11.

(19) S ⊂ X ve θ ∈ / S olmak üzere x, y ∈ S iken x∧y ∈ S ise S kümesine ast alt örgü denir. x0 6= θ ald§mzda y ≥ x0 elemanlarnn kümesi bir ast alt örgüdür. Bo³ kümede bir ast alt örgüdür. Açkça görülece§i gibi bir P asal idealinin küme teorik tümleyeni S = X \ P bir ast alt örgüdür ve x ∈ S ve y ≥ x ise y ∈ S özelli§ine sahiptir. Tersine, S bir ast alt örgü olmak üzere küme teorik tümleyeninin S 0 =. X \ S bir ideal olmas gerekmez. Ancak, bir P ideali için S = X \ P bir ast alt örgü ise P ideali asaldr. Bir ast alt örgü ba³ka bir ast alt örgü tarafndan has alt küme olarak içerilmiyorsa. maksimal. denir. Bir S ast alt örgüsü verildi§inde S ast alt örgüsünü içeren. bütün ast alt örgülerin kümesi içerme ba§ntsna göre ksmi sraldr. Bu ksmi sral yap içindeki her zincir üstten snrldr (zincirdeki elemanlarn birle³imi üst snr olarak alnabilir). Böylece bir maksimal elemana sahiptir, yani S ast alt örgüsü bir Sm maksimal ast alt örgü tarafndan içerilir. Ayrca x0 ∈ Sm ve y ≥ x0 ise y ∈ Sm 'dir. E§er bir z ∈ / Sm ise en az bir x ∈ Sm için z ∧x = θ olur. Gerçekten, e§er her x ∈ Sm için z ∧ x 6= θ olsayd, z ∧ x elemanlarn Sm kümesine ekledi§imizde (z ∧ x elemanlar Sm kümesine ait de§ildir aksi halde z ∈ Sm bulunur) bir ast alt örgü elde ederiz ki bu ise Sm kümesinin maksimal olmasyla çeli³ir. Teorem 2.3.3. yeter ko³ul. (ii). (i) S ⊂ X. X \S. alt kümesinin maksimal ast alt örgü olmas için gerek. kümesinin bir minimal asal ideal olmasdr.. Her asal ideal bir minimal asal ideal içerir.. (iii) X 6= {θ}. ise bir. M. minimal asal ideali bir. hem de ayrk tümleyenini. {x}d. x∈X. elemannn hem kendisini. ayn anda içeremez.. x∈M. {x}dd ⊂ M 'dir.. (iv) M. bir minimal asal ideal ve. Kant.. (i) S bir maksimal ast alt örgü olsun. M = X \ S olsun. s ∈ S , t ≥ s iken. ise. t ∈ S oldu§undan x ∈ M ve y ≤ x ise y ∈ M bulunur. Öte yandan x, y ∈ M alrsak öyle bir s, t ∈ S vardr ki x ∧ s = θ ve y ∧ t = θ olur. s1 = s ∧ t dersek. s1 ∈ S ve x ∧ s1 = y ∧ s1 = θ, buradan da (x ∨ y) ∧ s1 = θ bulunur ki bu ise x∨y ∈ / S oldu§unu söyler. O halde x ∨ y ∈ M bulunur. Böylece M kümesinin bir ideal oldu§unu gösterdik. Öte yandan M idealinin tümleyeni S bir ast alt örgü oldu§u için M bir asal idealdir. Ayrca M ideali bir M ∗ asal idealini kesin olarak içerseydi, S ast alt örgüsü X \ M ∗ tarafndan kesin olarak içerilirdi. Bu ise S 12.

(20) maksimal ast alt örgü oldu§undan mümkün de§ildir, böylece M bir minimal asal idealdir. Tersine, M bir minimal asal ideal olsun. O halde S = X \ M bir ast alt örgüdür. E§er S maksimal de§ilse, S ast alt örgüsünü kesin olarak içeren S ∗ maksimal ast alt örgüsü vardr. Böylece, yukarda gösterdi§imiz gibi, X \ S ∗ bir minimal asal idealdir ve X \ S ∗ ⊂ M bulunur ki bu ise M idealinin minimal olmasyla çeli³ir. Böylece S maksimal ast alt örgüdür.. (ii) Bir P asal ideali verildi§inde S = X \ P bir ast alt örgüdür. S daima bir S ∗ maksimal ast alt örgüsü tarafndan içerildi§inden M = X \ S ∗ minimal asal ideali. P ideali tarafndan kapsanr. (iii) M bir asal ideal olsun. Bir x ∈ X için {x} ve {x}d kümelerinin M tarafndan içerildi§ini kabul edelim. S = X \M bir maksimal ast alt örgü oldu§undan x ∈ M için öyle bir y ∈ S vardr ki x ∧ y = θ. O halde y ∈ {x}d bulunur bu ise y ∈ S ∩ M oldu§unu söyler ki bu imkanszdr. O halde bir minimal asal idealde hem {x} hem de {x}d ayn anda bulunamaz.. (iv) M bir minimal ideal ve x ∈ M olsun. (M 6= X oldu§unu kabul edebiliriz) (iii) ³kkndan y ∈ X \ M ve y ∈ {x}d eleman vardr. {x}dd , M idealinin içinde de§ilse, yani öyle bir z ∈ {x}dd eleman vardr ki z ∈ S . Öte yandan y, z ∈ S ve. y ∧ z = θ bulunur ki bu ise S 'nin ast alt örgü olmasyla çeli³ir. R ⊆ P ve x ∈ X olmak üzere {R}x ile x elemann içermeyen R ∈ R ideallerinin kümesini gösterelim. Teorem 2.3.4. Böylece. Kant.. {P }x ⊂ {P }y. {P }x = {P }y. olmas için gerek yeter ko³ul. olmas için gerek yeter ko³ul. x=y. x ≤ y. olmasdr.. olmasdr.. x ≤ y iken {P }x ⊂ {P }y oldu§unu görmek kolaydr. Tersine {P }x ⊂. {P }y oldu§unu ama x ≤ y olmad§n varsayalm. O halde x eleman y eleman tarafndan üretilen Iy idealine ait de§ildir. O zaman P ⊃ Iy ve x ∈ / P olacak ³ekilde bir P asal ideali vardr. Böylece P ∈ {P }x ⊂ {P }y bulunur, bu ise y ∈. Iy ⊂ P olmasyla çeli³ir. O halde x ≤ y olur. X ve Y srasyla en küçük elemanlar θX ve θY olan da§lma özelli§ine sahip iki örgü olsun. Bir π : X → Y fonksiyonu her xl , x2 ∈ X için π (θX ) = θY , π (x1 ) = y1 , 13.

(21) π (x2 ) = y2 iken π (x1 ∨ x2 ) = y1 ∨y2 ve π (x1 ∧ x2 ) = y1 ∧y2 özelliklerini sa§lyorsa π fonksiyonuna örgü homomorsi denir. Bir π örgü homomorsi birebir ve üzerine ise π homomorsine. örgü izometrisi. denir.. Da§lma özelli§ine sahip en küçük elemanl bir X örgüsünün bir kümenin alt kümelerinin içerme ba§ntsna göre ksmi sralanm³ ve bo³ kümeyi en küçük eleman kabul eden bir örgüye izomork olup olmad§ soruldu ve M. H. Stone böyle iki yap arasnda bir izomorzma kurulabilece§ini gösterdi.. ∅ = 6 R ⊂ P olmak üzere her x ∈ X için {R}x ile x elemann içermeyen R ∈ R ideallerinin kümesini göstermi³tik. {R}θ bo³ kümedir ve her x, y ∈ X için {R}x ∩ {R}y = {R}x∧y ve {R}x ∪ {R}y = {R}x∨y .. (2.1). Böylece Y := {{R}x : x ∈ X} kümesi da§lma özelli§ine sahip en küçük eleman olarak bo³ kümeyi içeren bir örgüdür. E§er X en büyük eleman e olan bir Boole cebiri ise {R}e = R , Y için en büyük elemandr, böylece Y bir Boole cebiri olur. Teorem 2.3.5. (Stone Gösterili³ Teoremi). X ,. elemanl bir örgü ve. ∅= 6 R⊂P. da§lma özelli§ine sahip, en küçük. olsun.. x −→ {R}x gönderimi. X. örgüsünden. morsidir. E§er örgüsüne. X. R =P. Y = {{R}x : x ∈ X}. örgüsü üzerine bir örgü homo-. ise bu gönderim bir örgü izometrisi olur. Buradaki. Y. örgüsünün Stone gösterilimi veya Stone uzay denir ve bu uzay örgü. izometrilerine göre tek türlü belirlidir.. Kant.. Yukarda verilen (2.1) e³itliklerinden, x 7→ {R}x gönderimi bir örgü ho-. momorsidir. Di§er taraftan da, e§er R = P ise, Teorem 2.3.4 bu gönderimin bir örgü izometrisi oldu§unu söyler.. 2.4. Kabuk-Çekirdek Topolo jisi. Bu ksmda P ve alt kümeleri üzerinde kabuk-çekirdek topolojisini kuraca§z ve bu topolojinin Boole cebirleri ve Boole halkalar tarafndan karakterize edilen özellikleri üzerinde duraca§z. 14.

(22) X , da§lma özelli§ine sahip, en küçük elemanl bir örgü ve R ⊂ P bo³tan farkl bir alt küme olsun. Bo³tan farkl keyfî bir R1 ⊂ R kümesinin k. \. (R1 ) =. olarak tanmlanr; e§er R1 bo³ ise. k. çekirde§i. {R : R ∈ R1 }. (R1 ) = X alnr. Açkça görülece§i gibi,. (R1 ) kümesi X örgüsü içinde bir idealdir. Bo³tan farkl bir D ⊂ X kümesi için. k. D kümesinin. kabu§u h. (D) = {R : R ∈ R, R ⊃ D}. ³eklinde tanmlanr. Burada tanmlar R kümesinin seçimine ba§ldr, farkl seçimler için k (R1 ) ve h(D) yaplar de§i³ebilir.. (i). Teorem 2.4.1.. ( (D)) ⊃ ID. k h. (ii) D ⊂ X. E§er. Kant.. ise her. ( (R1 )) ⊃ R1. için h k. ve her. D ⊂ X. için. tarafndan üretilen idealidir.. R1 = h(D). olmak üzere. R=P. R1 ⊂ R. ID , D. olmak üzere. (iii) R1 ⊂ R (iv). burada. Her. ( (R1 )) = R1. ³eklindeyse h k. I = k(R1 ) I⊂X. ( (I)) = I. ³eklindeyse k h. ( (I)) = I. ideali için k h. bulunur.. bulunur.. bulunur.. (i) Tanmlardan açktr.. (ii) R1 = h(D) olsun. h(k(R1 )) ⊂ R1 oldu§unu göstermemiz yeterlidir. R1 = (D) oldu§undan k (R1 ) = k(h(D)) ⊃ D bulunur, böylece. h. ( (R1 )) ⊂ h(D) = R1 .. h k. (iii) Benzer ³ekilde yaplr. (iv) R = P olsun. Bir I ⊂ X has ideali I=. \. {P ∈P : P ⊃ I }. ³eklinde yazlabildi§inden P1 = { P ∈ P : P ⊃ I } dersek I = k(P1 ) bulunur. Böylece (iii) ³kkndan k(h(I)) = I bulunur. Ayrca do§rudan I = X için. ( (I)) = I oldu§u görülebilir.. k h. Teorem 2.4.2.. I⊂X. R ⊂ P. ve bütün. R ∈ R. ideali için. 15. ideallerinin kesi³imi. {θ}. olsun. Bir.

(23) I d = k (h (I)c ) E§er I = X ise. Kant.. h. olur.. (I) bo³ kümedir ve. h. (I)c = R bulunur. Böylece. ( (I)c ) = {θ} = I d .. k h. I 6= X , y ∈ I d ve R ∈. h. (I)c olsun. O halde I ideali R tarafndan içerilmez,. yani öyle bir x ∈ I vardr ki x, R idealinin eleman de§ildir. x ∈ I ve y ∈ I d oldu§undan x ∧ y = θ olur, buradan da y ∈ R bulunur (R asal ideal). Böylece key y ∈ I d eleman key R ∈. h. (I)c idealinin içindedir. Bu ise I d ⊂. ( (I)c ). k h. oldu§unu gösterir. Tersine key y ∈ k (h (I)c ) elemannn her x ∈ I ile dik oldu§unu, x ∧ y = θ, göstermeliyiz. Bunun için her R ∈ R için x ∧ y ∈ R oldu§unu göstermemiz yeterlidir. E§er R ∈. h. (I) ise x ∈ I ⊂ R böylece x ∧ y ∈ R bulunur. E§er. R ∈ h (I)c ise y ∈ R, böylece x ∧ y ∈ R. O halde her R ∈ R için x ∧ y ∈ R. Sonuç 2.4.3.. x∈X. (i) R ⊂ P. ve bütün. R∈R. {θ}. ideallerinin kesi³imi. olsun. Her. için. {x}d = k ({R}x ) . (ii). E§er. R=M. ise her. x∈X. için. ( ({M }x )) = {M }x. h k. gerçeklenir.. Kant.. (i) x ∈ X ve I , x ile üretilen ideal olsun. O halde I d = {x}d ve. h. (I)c =. {R}x . Böylece Teorem 2.4.2 kullanlarak istenen elde edilir. (ii) x 6= θ oldu§unu varsayabiliriz. Bir önceki ³ktan {x}d =. k. ({M }x ) olur ve. böylece . h. . {x}d = h (k ({M }x )) ⊃ {M }x. elde edilir. Öte yandan, M ∈. . h. . {x}d minimal asal ideal alrsak {x}d ⊂ M. oldu§undan Teorem 2.3.3 (iii) gere§ince x ∈ / M , böylece M ∈ {M }x bulunur. O halde h(k({M }x )) ⊂ {M }x , sonuç olarak h(k({M }x )) = {M }x bulunur. Teorem 2.4.4.. {M }x ⊂ {M }y. olmasdr. O halde veya denk olarak. olmas için gerek yeter ko³ul. {M }x = {M }y. {x}d = {y}d. olmas için gerek yeter ko³ul. olmasdr.. 16. {x}dd ⊂ {y}dd {x}dd = {y}dd.

(24) . Kant.. . {M }x ⊂ {M }y ise k ({M }x ) ⊃ k {M }y yani Sonuç 2.4.3 (i) 'den {x}d ⊃. {y}d bulunur ki bu ise {x}dd ⊂ {y}dd oldu§unu söyler. Tersine {x}dd ⊃ {y}dd ise . . {x}ddd ⊃ {y}ddd , yani {x}d ⊃ {y}d , böylece k ({M }x ) ⊃ k {M }y . O halde ( ({M }x )) ⊂ h. h k. . k. . {M }y. . olur, böylece Sonuç 2.4.3 (ii)'den {M }x ⊂ {M }y bulunur. imdi R üzerinde tüm {R}x formundaki kümeleri bir taban olarak kabul eden topoloji olu³turaca§z. {R}xi kümelerinin key sonlu kesi³imi x0 = inf {x1 , . . . , xn } olmak üzere yine {R}x0 formundadr, yani {R}x kümeleri R üzerinde bir topoloji üretir. Teorem 2.4.5.. R. yukarda açkland§ gibi topolojiye sahip olsun. Key. I⊂X. ideali için, bu idealin kabu§u olan. (I) = { R : R ∈ R , R ⊃ I}. h. bu topolojide kapal bir kümedir. Tersine, her kapal küme uygun bir idealin kabu§udur. Dahas herhangi bir. R1 ⊂ R. ( (R1 )). kümesinin kapan³ tam olarak h k. kümesidir, bu sebepten dolay bu topoloji genellikle kabuk-çekirdek topolojisi olarak adlandrlr. Ayrca. R. çekirdek topolojisinin. Kant.. üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisi. R. P. üzerindeki kabuk-. üzerine indirgedi§i topolojidir.. Kapal kümeler { R : R ∈ R, x ∈ R } kümelerinin kesi³imi ³eklindedir,. yani bir kapal küme için öyle bir D ⊂ X vardr ki bu kapal küme. (D) = { R : R ∈ R, R ⊃ D}. h. ³eklindedir. Öte yandan ID , D tarafndan üretilen ideal olmak üzere h(D) = h(ID ) oldu§undan R kümesinin bir alt kümesinin kapal olmas için gerek yeter ko³ul. X içindeki bir idealin kabu§u olmasdr. R1 ⊂ R olmak üzere kapan³ kümesini belirleyelim. Açktr ki R1 kümesi kapal h(k(R1 )) kümesinin içindedir. Öte yandan R2 ⊃ R1 kapal bir R2 kümesi alsak I ⊂ X olmak üzere R2 = h (I) ³eklindedir. Böylece h(I) ⊃ R1 . O halde. ( ( (I))) ⊃ h(k(R1 )). h k h. 17.

(25) yani Teorem 2.4.1 (ii)'den h(I) ⊃ h(k(R1 )). Burada R2 = h(I) oldu§undan R2 ⊃. ( (R1 )) bulunur ki istenilen sa§lanr.. h k. Son olarak R üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisinin tanm gere§i bu topoloji. P üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisinin R üzerine dü³ürülmü³ halidir. imdi {P }x ve {M }x kümelerinin kompakt olmalarna ili³kin baz durumlar inceleyece§iz.. x0 ∈ X , {xτ : τ ∈ {τ }} ⊂ X. Teorem 2.4.6.. zaman indeks kümesinde öyle sa§lanr ve böylece. {P }x0 ⊂. τ1 , . . . , τn. n [. {P }xτ. i. i=1 Kant.. {P }x0 ⊂. ve {P }x0 =. [. τ. [. τ. ve. {P }x0 ⊂. indisleri vardr ki. [. τ. {P }xτ. olsun. O. x0 ≤ sup {xτ1 , . . . , xτn }. bulunur.. {P }xτ olsun. Her τ için yτ = x0 ∧ xτ dersek θ ≤ yτ ≤ xτ. {P }yτ olur. x0 elemann sonlu tane yτ elemanlarnn supremumu. oldu§unu gösterece§iz. Olmad§n varsayalm. O halde x0 eleman tüm yτ elemanlar tarafndan üretilen I idealinin eleman de§ildir. Ayrca öyle bir P ⊃ I asal ideali vardr ki x0 ∈ / P . Böylece P ∈ {P }x0 ama her τ için yτ ∈ P oldu§undan [. P ∈ / {P }yτ . Bu ise {P }x0 =. τ. {P }yτ olmasyla çeli³ir. Böylece uygun τ1 , . . . , τn. indeksleri için x0 ≤ sup {xτ1 , . . . , xτn } olur.. R, P. Teorem 2.4.7. sun. \. {xτ : τ ∈ {τ }} {R}xτ. için. kümesinin bo³tan farkl bir alt kümesi ve. {R}xτ. M ⊂ R. ol-. sonlu kesi³im özelli§ine sahip olsun. O zaman. bo³tan farkldr.. τ ∈{τ } n \ Kant.. i=1. {R}xτ sonlu kesi³imi y = inf {xτ1 , . . . , xτn } olmak üzere {R}y biçimini. dedir. {R}xτ sonlu kesi³im özelli§ine sahip oldu§undan (xτ ) ve sonlu inmumlarn ekledi§imiz küme X içinde bir ast alt örgüdür. Bu ast alt örgü bir maksimal S ast alt örgüsü tarafndan içerilir ve M = X \S dersek M minimal asal idealdir. Ayrca her τ için xτ ∈ / M oldu§undan M ∈ Teorem 2.4.8. E§er tüm. {M }x. x0 ∈ X , xτ ∈ X (τ ∈ {τ }) indeksleri vardr ki. için. {M }x0 ⊂. n [ i=1. \. {R}xτ , yani kesi³im bo³tan farkldr.. elemanlarndan olu³an örgü bir Boole halkas ve. {M }x0 ⊂ {M }xτ. i. [. τ. {M }xτ. sa§lanr.. 18. sa§lanyorsa öyle. τ1 , . . . , τn.

(26) Kant.. xτ ile x0 ∧ xτ yer de§i³tirilerek her τ için θ ≤ xτ ≤ x0 oldu§unu var[. sayabiliriz ve böylece {M }x0 =. τ. {M }xτ bulunur. {M }x elemanlarndan olu³an. örgü bir Boole halkas oldu§undan key {M }xτ elemannn {M }x0 elemanna göre tümleyeni {M }yτ formundadr. {M }x0 =. [. τ. {M }xτ oldu§undan. \. τ. {M }yτ bo³ kü-. medir. Bir önceki teoremden, öyle sonlu tane τ1 , . . . , τn indis vardr ki bo³ kümedir, yani {M }x0 =. n [. P. rini içermeyen. P1 , P2 ∈ P. i. {P }x. T0 -uzaydr,. P1. ve. P2. idealleri. bir. bu to-. kümeleri hem açk hem de kompakttr. Biri di§e-. T1 -ayrlabilir, yani hem P1. hemde. larnn di§erini içermeyen açk kom³uluklar vardr. Bu durum asal ideal veya. i. {M }xτ bulunur.. örgüsü kabuk-çekirdek topolojisiyle birlikte. polojinin taban elemanlar. {M }yτ. i=1. i=1 Teorem 2.4.9.. n \. x∈X. P1. ve. P2 P2. elemanminimal. elemann içermemeye göre maksimal iken de. geçerlidir.. Kant.. P1 6= P2 olsun. O halde öyle x1 ∈ P1 vardr ki x1 ∈ / P2 veya x2 ∈ P2. vardr ki x2 ∈ / P1 . lk durumdan {P }x1 , P2 elemannn açk kom³ulu§udur ve P1 elemannn içermez, ikinci durumda {P }x2 , P1 elemannn açk kom³ulu§udur ve. P2 elemannn içermez. Böylece P örgüsü kabuk-çekirdek topolojisiyle birlikte T0 uzaydr. Tanmdan her {P }x açktr ve Teorem 2.4.6 gere§ince {P }x kompakttr.. P1 ve P2 birbirini içermeyen iki ideal olsun. O halde x1 ∈ P1 ve x2 ∈ P2 elemanlar vardr ki x1 ∈ / P2 ve x2 ∈ / P1 sa§lanr. Böylece {P }x2 , P1 elemannn P2 elemann içermeyen açk kom³ulu§udur, benzer ³ekilde {P }x2 , P1 elemannn P2 elemann içermeyen açk kom³ulu§udur. Bir topolojik uzaydaki kapal bir küme ile bu kapal kümeye ait olmayan bir eleman snrl sürekli reel de§erli bir fonksiyon ile ayrlabilir, yani F kapal bir küme ve x ∈ X \F ise öyle bir f : X → R snrl sürekli fonksiyonu için f (x0 ) = 0 ve her y ∈ F için f (y) = 1, ise bu topolojik uzaya Teorem 2.4.10.. M. taban elemanlar. {M }x. tam düzenli. uzay denir.. üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisi Hasudor topolojidir ve hem açk hem kapal kümelerdir. Böylece bu topoloji tam. düzenlidir.. 19.

(27) Kant.. M üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre T1 -uzaydr, çünkü M1 6=. M2 ise ne M1 ne de M2 bir di§erini içermez. Sonuç 2.4.3 (ii)'den her x ∈ X için ( ({M }x )) = {M }x. h k. oldu§undan taban elemanlar {M }x kapaldr. Böyleyse M1 , M2 elemann içermeyen açk ve kapal bir kom³ulu§a sahiptir. O halde bu kom³ulu§un tümleyeni. M2 elemannn açk kapal bir kom³ulu§udur. Böylece bu topoloji Hausdortur. Bu topolojinin tam düzenli oldu§unu göstermek için bir M0 ∈ M ve J ⊂ M kapal ve M0 ∈ / J alt kümesini alalm. O zaman M \J açk oldu§undan M0 elemannn {M }x0 (x0 ∈ X ) formunda bir açk kom³ulu§unu içerir. Her M ∈ {M }x0 için f (M ) = 1 ve di§er M elemanlar için f (M ) = 1 tanmlarsak {M }x0 hem açk hem kapal oldu§undan f fonksiyonu süreklidir. Bir topolojik uzayn taban elemanlar hem açk hem kapal kümelerden olu³uyorsa bu topolojik uzaya. tamamen ba§lantsz. uzay denir. Bir önceki teoreme. göre M tamamen ba§lantsz topolojik uzaydr. Teorem 2.4.11. Tüm. {M }x. elemanlarnn örgüsü bir Boole halkas ise. M. rindeki kabuk-çekirdek topolojisi Hausdor topolojidir, taban elemanlar. üze-. {M }x. hem kapal hem açktr hemde kompakttr. Böylece bu topoloji tamamen ba§lantsz, yerel kompakt ve tam düzenlidir.. x0 ∈ X. için. {M }x0. M. içinde olan alt kümesi. örgüsünün her açk kapal ve öyle bir. y 0 ≤ x0. olmak üzere. {M }y0. formun-. dadr.. Kant.. Teorem 2.4.8'den {M }x kümeleri kompakttr. Di§er iddia için B ⊂ M. açk kapal ve öyle bir x0 ∈ X için B ⊂ {M }x0 olacak ³ekilde B kümesi alalm.. B kümesi {M }x0 kompakt kümesinin kapal alt kümesi oldu§undan kompakttr. [. Ayrca B açk oldu§undan B =. {M }xτ ³eklinde yazlabilir ve burada her. τ ∈{τ }. τ için xτ ≤ x0 'dr. B kümesinin kompaktl§ndan öyle sonlu τ1 , . . . , τn indeksleri vardr ki B = ³eklindedir.. n [. {M }xτ . O halde y0 = sup {xτ1 , . . . , xτ2 } dersek B = {M }y0. i=1. Teorem 2.4.12.. P. i. örgüsünün üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre kom-. pakt olmas için gerek yeter ko³ul. X. örgüsünün en büyük elemana sahip olmasdr.. 20.

(28) Kant.. P kompaktsa, P =. örtülü³ü vardr P =. n [. [. {P }x yazd§mzda bu örtülü³ün sonlu bir alt. x∈X. {P }xi yazlabilir. x0 = sup {x1 , . . . , xn } dersek P =. i=1. {P }x0 bulunur. Böylece her x ∈ X için {P }x ⊂ P = {P }x0 olur, Teorem 2.3.4 gere§i x ≤ x0 bulunur, bu ise x0 elemannn X örgüsünün en büyük eleman oldu§unu söyler. Tersine X örgüsü bir en büyük e elemanna sahipse her x ∈ X için x ≤ e ve böylece {P }x ⊂ {P }e bulunur. P =. [. {P }x = {P }e ve her {P }x kompakt. x∈X. oldu§undan (Teorem 2.4.9) P kompakt bulunur. Genellikle P kabuk-çekirdek topolojisine göre T0 -uzaydr ama T1 -uzay olmas gerekmez. Bir sonraki teorem hangi ko³ullar altnda P uzaynn T1 hatta. T2 oldu§unu söyler. Teorem 2.4.13. A³a§dakiler birbirine e³de§erdir.. (i). Her has asal ideal bir maksimal idealdir.. (ii) P = M . (iii) P. üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre bir Hausdor uzaydr.. (iv) P. üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre bir. Kant.. T1 -uzaydr.. (i) ⇒ (i) Her has asal ideal maksimal olsun ve P1 ve P2 has asal idealleri. için P2 ⊂ P1 olsun. P2 maksimal oldu§undan P1 = P2 . Bu ise bir has asal P1 idealinin bir ba³ka asal ideali kesin olarak içeremeyece§ini söyler, yani P1 bir minimal asal idealdir.. (ii) ⇒ (iii) Teorem 2.4.10'dan istenilen elde edilir. (iii) ⇒ (iv) Açktr. (iv) ⇒ (i) P bir T1 -uzay ve P1 ve P2 farkl iki has asal ideal olsun. O zaman P1 ⊂ P2 olmas mümkün de§ildir. E§er P1 ⊂ P2 olsayd, P2 ∈ {P }x sa§layan her x ∈ X için P1 ∈ {P }x bulunur, yani P2 elemannn her kom³ulu§u P1 elemannn da bir kom³ulu§udur. Bu ise kabulümüzle çeli³ir. Böylece ne P1 ne de P2 di§erini tarafndan içerilmez. Bu ise her has asal idealin maksimal oldu§unu gösterir. Çünkü bir has asal P1 ideali maksimal olmasayd öyle bir I has ideali tarafndan içerilirdi. Teorem 2.3.2 gere§ince I ideali bir has asal P2 ideali tarafndan içerilir, yani P1 kesin olarak P2 has asal idealinin içinde bulunur ki bu bir çeli³kidir. 21.

(29) x, y ∈ X elemanlar için {M }x = {M }y veya denk olarak (Teorem 2.4.4) {x}dd = {y}dd sa§lanyorsa x ve y elemanlarna M -denk diyelim ve x ≡ y (M ) yazalm. E§er x ≡ θ (M ) ise x = θ ve x1 ≡ y1 (M ), x2 ≡ y2 (M ) ise x1 ∨ x2 ≡. y1 ∨ y2 (M ) ve x1 ∧ x2 ≡ y1 ∧ y2 (M ) sa§lanr. Bir x0 ∈ X eleman verildi§inde θ ≤ y ≤ x0 sa§layan y ∈ X eleman için. y1 ≡ y (M ), y1 ∧ y2 = θ ve y1 ∨ y2 = x0 (M ) sa§layacak ³ekilde y1 , y2 ∈ X elemanlar bulunabiliyorsa x0 elemanna M -tümleme özelli§ine sahiptir denir. Bir x0 ∈ X elemannn M -tümleme özelli§ine sahip olmas için gerek yeter ko³ul. {M }y ⊂ {M }x0 sa§layan y eleman için öyle bir y2 ∈ X vardr ki {M }x0 = {M }y ∪ {M }y2 ve {M }y ∩ {M }y2 = ∅ sa§lanr. Di§er bir deyi³le, bir x0 ∈ X elemannn M -tümleme özelli§ine sahip olmas için gerek yeter ko³ul ¦. {M }y : {M }y ⊂ {M }x0. ©. ba³langç parçalarnn bir Boole cebir olmasdr. Teorem 2.4.14. Bir. {M }x0. kümesinin. M. göre kompakt olmas için gerek yeter ko³ul sahip olmasdr. Bu durumda, kümeleri. Kant.. {M }x. formundadr. {M }x0. üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine. x0. elemannn. M -tümleme. özelli§ine. kümesinin hem açk hem kapal olan alt. (x ∈ X).. lk olarak x0 elemannn M -tümleme özelli§ine sahip oldu§unu varsaya-. lm, yani ba³langç parças ¦. {M }y : {M }y ⊂ {M }x0. ©. bir Boole cebiri olsun. {M }x0 kümesinin kompakt oldu§unu göstermek için {M }x0 ⊂ [. τ. {M }xτ iken {M }x0 kümesinin {M }xτ kümelerinin sonlu tanesiyle örtülebilece-. §ini göstermeliyiz. Her xτ ile x0 ∧ xτ yer de§i³tirerek genelli§i bozmakszn her τ için θ ≤ xτ ≤ x0 oldu§unu varsayabiliriz ve böylece {M }x0 =. [. τ. {M }xτ elde edilir.. x0 eleman M -tümleme özelli§ine sahip oldu§undan herhangi bir {M }xτ kümesinin {M }x0 kümesine göre tümleyeni {M }yτ formundadr. Buradan. \. τ. {M }yτ = ∅. oldu§unu söyleyebiliriz. Teorem 2.4.7 gere§ince öyle sonlu τ1 , . . . , τn indisleri vardr ki. n \. i=1. {M }yτ = ∅ bulunur, yani {M }x0 = i. n [. i=1. 22. {M }yτ . i.

(30) Sonuç 2.4.15. Tüm. {M }x. kümelerinin. M. üzeindeki kabuk-çekirdek topolojisine. göre kompakt olmas için gerek yeter ko³ul bütün. {M }x. yaplarnn kümesinin bir. Boole halkas olmasdr.. Kant.. Bir önceki teoremin ve Teorem 2.4.11'in sonucudur.. Teorem 2.4.16. Bir. R. Boole halkasnda bir has idealin asal olmas için gerek. yeter ko³ul bu idealin bir maksimal olmasdr.. Kant.. I bir has asal ideal olsun. x, y ∈ R elemanlarnn I idealinde olmadklarn. varsayalm. I asal ideal oldu§undan xy ∈ / I olur. Böyleyse y −x ∈ I bulunur. E§er. y−x ∈ / I olsayd, xy ∈ / I oldu§undan xy (y − x) ∈ / I bulunurdu, yani xy − xy ∈ /I bulunur ki bu bir çeli³kidir. O halde, özetlersek, e§er x ve y elemanlar I asal idealinin içinde de§ilse öyle bir i ∈ I vardr ki y = x + i ³eklindedir. imdi I idealinin maksimal olmad§n varsayalm, yani I ideali bir ba³ka J has ideali tarafndan içerilsin. O zaman öyle x ∈ J , x ∈ / I ve öyle y ∈ R, y ∈ / J elemanlar bulabiliriz. x, y ∈ / I oldu§undan öyle bir i ∈ I için y = x + i ³eklinde yazabiliriz. Bu ise y ∈ J oldu§unu söyler. O halde I ideali maksimaldir. Tersi için asal olmayan bir I ideali alalm, yani öyle x, y ∈ / I için xy ∈ I olsun. I ve x ile üretilen J idealini göz önüne alalm. J ideali i ∈ I , a ∈ R ve. n ∈ N olmak üzere i + ax + n • x ³eklindeki elemanlardan olu³ur, burada n • x ile x elemannn n defa toplamn gösteriyoruz. O halde I ⊂ J ⊂ R ve I 6= J (x ∈ / I ). Ayrca J 6= R, çünkü y ∈ / J 'dir. E§er y ∈ J olsayd y = i + ax + n • x ve. ax + n • x ∈ / I olurdu, böylece xy = xi + ax + n • x ∈ / I bulunurdu, çünkü xi ∈ I ama ax + n • x ∈ / I . Ama bu ise xy ∈ I olmasyla çeli³ir. O halde I 6= J 6= R bulunur, bu ise I idealinin asal de§ilken maksimal olmad§n gösterir. Teorem 2.4.17.. P. için gerek yeter ko³ul. Kant.. uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre Hausdor olmas. X. örgüsünün bir Boole halkas olmasdr.. lk olarak P uzaynn Hausdor oldu§unu varsayalm. O halde Teorem. 2.4.13 kullanlarak P = M bulunur. Böylece {P }x yaplarnn olu³turdu§u örgü ile {M }x yaplarnn olu³turdu§u örgü ayndr ve Stone Gösterili³ Teoreminden bu örgü X örgüsüne örgü izometriktir. Öte yandan, Teorem 2.4.9'dan {M }x = {P }x kümeleri P = M üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakttr, Sonuç 23.

(31) 2.4.15'den {M }x yaplarnn kümesi bir Boole halkasdr. Böylece X örgüsü bir Boole halkas ile örgü izometriktir. Tersine, e§er X bir Boole halkas ise Teorem 2.4.13 ve bir önceki teoremden P uzaynn Hausdor oldu§unu söyleyebiliriz. Sonuç 2.4.18.. P. uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakt Hausdor. olmas için gerek yeter ko³ul. Kant.. X. örgüsünün bir Boole cebiri olmasdr.. Teorem 2.4.12'den uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakt ol-. mas için gerek yeter ko³ul X örgüsünün en büyük elemana sahip olmasdr. Bir önceki teoreme göre P uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre Hausdor olmas için gerek yeter ko³ul X örgüsünün bir Boole halkas olmasdr. O halde P uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakt Hausdor olmas için gerek yeter ko³ul X örgüsünün bir Boole cebiri olmasdr. Bir topolojik uzayda açk kümelerin kapan³lar da açk ise o topolojik uzaya büsbütün ba§lantsz. uzay denir.. Teorem 2.4.19. Bir ko³ul. P. Kant.. X. Boole cebirinin Dedekind tam olmas için gerek yeter. uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre büsbütün ba§lantsz olmasdr.. lk olarak X Boole cebirinin Dedekind tam oldu§unu varsayalm. O ⊂. P açk bir alt küme olsun. O halde O =. [. τ. {P }xτ formundadr. X Dedekind. tam oldu§undan x0 = sup xτ ∈ X vardr. {P }x0 kümesi hem açk hem kapal oldu§undan {P }x0 = O oldu§unu gösterirsek istenilen elde edilir. Her τ için. xτ ≤ x0 ve burdan {P }xτ ⊂ {P }x0 bulunur. Böylece O ⊂ {P }x0 ve O ⊂ {P }x0 = {P }x0 . O kümesinin kesin olarak {P }x0 tarafndan içerildi§ini varsayalm. O halde {P }x0 \ O bo³tan farkl açk bir kümedir ve öyle bir y 6= θ için {P }y açk kümesini içerir. {P }x0 \ {P }y kümesi ise z , y elemannn x0 elemanna göre tümleyeni olmak üzere {P }z formundadr böylece {P }x0 kümesi {P }y ve {P }z kümelerinin ayrk birle³imi olarak yazlr (θ 6= z ≤ x0 ). Ayrca P içinde O ve {P }y kümeleri ayrk oldu§undan O ⊂ {P }z bulunur. Böylece her τ için {P }xτ ⊂ {P }z olur ve Teorem 2.3.4 gere§ince xτ ≤ z bulunur, bu ise x0 = sup xτ ≤ z oldu§unu söyler. 24.

(32) Bu z ≤ x0 , z 6= x0 olmasyla çeli³ir. O halde O = {P }x0 bulunur. Böylece P uzaynn büsbütün ba§lantsz oldu§unu göstermi³ olduk. Tersine P uzaynn büsbütün ba§lantsz oldu§unu kabul edelim. X örgüsünün Dedekind tam oldu§unu göstermek için {xτ , : τ ∈ {τ }} alt kümesini alalm.. sup xτ ∈ X var oldu§unu göstermeliyiz. O =. [. τ. {P }xτ dersek O hem kapal hem. açk oldu§undan öyle bir x0 ∈ X vardr ki O = {P }x0 biçimindedir. Buradan her. τ için {P }xτ ⊂ {P }x0 olur, Teorem 2.4.4 gere§ince her τ için xτ ≤ x0 bulunur. Bu ise x0 elemannn {xτ , : τ ∈ {τ }} kümesi için bir üst snr oldu§unu gösterir.. y ∈ X bir ba³ka üst snr olsa {P }y ⊃ O ve {P }y = {P }y ⊃ O = {P }x0 bulunur. O halde y ≥ x0 . Bu ise x0 = sup xτ oldu§unu gösterir. Böylece X Dedekind tam bir uzaydr.. 25.

(33) Bölüm 3. resz uzaylar ve evrensel. tamlan³. Bu bölümde Riesz uzaylar tantlacak ve bu çal³ma içinde kullanlan özelliklerine de§inilecektir. Ayrca bu bölümde evrensel tam uzaylar ve bir Riesz uzaynn evrensel tamlan³ ile ilgili detayl bilgi verilecektir. Daha fazla bilgi için [11] ve. [6] kaynaklar kullanlabilir.. 3.1. Riesz Uzaylar. E bir vektör uzay üzerinde bir ≥ ksmi sralama ba§nts var ve bu ksmi sralama ba§nts E uzay üzerindeki cebirsel i³lemlerle uyumlu, yani 1. x ≥ y iken her z ∈ E için x + z ≥ y + z , 2. x ≥ y iken her α ≥ 0 için αx ≥ αy sa§lanyorsa E uzayna. sral vektör uzay. denir.. E sral vektör uzaynda x ≥ 0 sa§layan x ∈ E elemanlarna. pozitif. denir. E uzayndaki tüm pozitif vektörlerin kümesine E uzaynn. eleman. pozitif konisi. denir ve E + ile gösterilir, yani E + := {x ∈ E : x ≥ 0}.. E sral vektör uzaynda her iki elemanl alt kümenin supremumu ve inmumu varsa E uzayna. Riesz uzay. veya. vektör örgüsü. denir. Genel olarak her x, y ∈ E. için supremum ve inmum. x ∨ y := sup {x, y}. ve 26. x ∧ y := inf {x, y}.

(34) ile gösterilir. Riesz uzaylarnn tipik örnekleri fonksiyon uzaylardr, örne§in RΩ : Ω kümesinde tanml tüm reel-de§erli fonksiyonlarn kümesi, fonksiyonlar üzerindeki noktasal sralamaya göre Riesz uzaydr. Ayrca di§er klasik fonksiyonel analiz uzaylar da Riesz uzay yapsna sahiptir.. x ∈ X olmak üzere x+ := x ∨ 0, x− := (−x) ∨ 0 ve |x| := x ∨ (−x) elemanlar srasyla x elemannn pozitif ksm, negatif ksm ve mutlak de§eri(veya modülü) olarak adlandrlr. Teorem 3.1.1. (Riesz Ayr³m Özelli§i). x1 , . . . , xn. ve. y1 , . . . , ym. bir Riesz uzay-. nn elemanlar olsun. E§er. n X. xi =. i=1 ise Riesz uzayn öyle bir sonlu. m X. yj. j=1. {zij : i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m}. alt kümesi vardr. ki. her i = 1, . . . , n. için. xi =. m X. zij ,. j=1 ve. her j = 1, . . . , m. için. yj =. n X. zij. i=1 sa§lanr.. Kant.. [[6], Theorem 1.20].. Bir Riesz uzaynda x ve y elemanlar için |x| ∧ |y| = 0 oluyorsa bu iki elemana ayrk. veya. dik. alt kümesinin. denir ve x⊥y ile gösterilir. Bir E Riesz uzaynn bo³tan farkl bir dik tümleyeni. Ad := {x ∈ E : x⊥y, her y ∈ A} ³eklinde tanmlanr. Bir Riesz uzayndan bir {xα } a§ için her α ≥ β iken xα ≤ xβ oluyorsa {xα } a§na. azalan. denir ve xα ↓ ile gösterilir. Azalan bir {xα } a§ için inf {xα } = x. varsa xα ↓ x ile gösterilir. Benzer ³ekilde xα ↑ ve xα ↑ x tanmlanabilir. Bir E Riesz uzaynda her x ∈ E + için n1 x ↓ 0 ise E uzayna Ar³imet sahiptir denir. 27. özelli§ine.

(35) Teorem 3.1.2.. (Kantorovich). E. sahip olsun. Bir. T : E+ → F +. ve. F. iki Riesz uzay ve. F. Ar³imet özelli§ine. tasvirinin toplamsal oldu§unu, yani her. T (x + y) = T (x)+T (y) oldu§unu kabul edelim. O zaman T. için. uzayna bir geni³lemesi vardr. Bu geni³lemeyi tekrar. T. x, y ∈ E +. tasvirinin tüm. ile gösterirsek her. E. x∈E. için geni³leme . . . T (x) = T x+ + T x−. . ³eklinde tanmlanr.. Kant.. [6, Theorem 1.10].. Tanm 3.1.3. her. X. ve. Y. sral vektör uzaylar olmak üzere bir. x ≥ 0 için T x ≥ 0 sa§lyorsa T. T :X→Y. operatörüne pozitif denir ve. operatörü. T ≥ 0 veya 0 ≤ T. ile gösterilir.. Açkça görülece§i gibi bir T : X → Y operatörünün pozitif olmas için gerek yeter ko³ul T (X + ) ⊂ Y + olmas veya denk olarak x ≤ y iken T x ≤ T y olmasdr.. X ve Y uzaylar üzerindeki operatörlerin (reel) vektör uzay T − S operatörü pozitif iken T ≥ S yazarsak sral bir vektör uzay olur. Tanm 3.1.4.. X. ve. Y. sral vektör uzaylar olmak üzere bir. iki pozitif operatörün fark ³eklinde yazlabiliyorsa denir. Bir. T. operatörün regüler olmas. T ≤S. T. T :X→Y. operatörü. operatörüne regüler operatör. sa§layan bir pozitif. S :X →Y. operatörünün olmasna denktir.. Bu tez çal³masnda X sral vektör uzayndan Y sral vektör uzayna giden regüler operatörlerin vektör uzayn (pozitif operatörler tarafndan üretilen uzay ile ayn) Lr (X, Y ) ile gösterece§iz. Tanm 3.1.5.. E. ve. F. iki Riesz uzay ve. T :E →F. bir operatör olmak üzere. e§er. |T | := T ∨ (−T ) supremumu varsa bu supremuma. T. operatörünün modülü denir.. Bir Riesz uzaynda bo³tan farkl üstten snrl her kümenin supremumu (denk olarak bo³tan farkl alttan snrl her kümenin inmumu) varsa uzaya 28. Dedekind.

(36) tam. veya. denir. Bir Riesz uzaynn Dedekind tam olmas için gerek ye-. sra tam. ter ko³ul her 0 ≤ xα ↑≤ x a§ için sup {xα } var olmasdr. Benzer ³ekilde, bir Riesz uzayna içindeki her bo³tan farkl saylabilir üstten snrl kümenin supremumu olmas veya denk olarak her 0 ≤ xn ↑≤ x dizisi için sup {xn } var olmas durumunda. Dedekind. σ -tam denir.. (F.Riesz-Kantorovich). E. Teorem 3.1.6.. ve. F. iki Riesz uzay ve. F. Dedekind. tam olsun. O halde. Lr (E, F ) Dedekind tam bir Riesz uzaydr. Dahas, her T, S ∈. Lr (E, F ), x ∈ E +. için. |T | (x) = sup {|T y| : |y| ≤ x} , ¦. ©. ¦. ©. [S ∨ T ] (x) = sup S (y) + T (z) : y, z ∈ E + ve y + z = x , [S ∧ T ] (x) = inf S (y) + T (z) : y, z ∈ E + ve y + z = x ³eklinde verilir.. Kant.. [6, Theorem 1.18].. Teorem 3.1.7.. E. F. ve. iki Riesz uzay,. bir operatör olmak üzere her . x∈X. F. Dedekind tam ve. T :E →F. pozitif. için. . T x+ = max {S (x) : S : E → F, 0 ≤ S ≤ T } , . . T x− = max {−S (x) : S : E → F, 0 ≤ S ≤ T } , T (|x|) = max {S (x) : S : E → F, −T ≤ S ≤ T } . Kant.. [6, Theorem 1.23].. Bir E Riesz uzaynn bir G alt vektör uzay E üzerindeki örgü i³lemleri altnda kapal ise G uzayna bir. Riesz alt uzay. denir. Bir G Riesz alt uzaynda her. 0 < x ∈ E (0 ≤ x ve x ∈ / 0) için 0 < y ≤ x sa§layacak y ∈ G varsa G uzayna sra yo§un. denir.. Bir Riesz uzaynn bir A alt kümesi y ∈ A ve |x| ≤ |y| iken x ∈ A özelli§ine sahipse A kümesine. kat. denir. Bir Riesz uzaynn kat bir vektör uzayna. denir.. 29. ideal.