Zemin-temel Etkileşimini Dikkate Alarak Tünel Kazılarına Bağlı Zemin Oturmalarının Ve Etkilerinin İncelenmesi

ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ



FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Çağlar ÇELĐKÖRS

Anabilim Dalı : Đnşaat Mühendisliği Programı : Yapı Mühendisliği

ZEMĐN - TEMEL ETKĐLEŞĐMĐNĐ DĐKKATE ALARAK TÜNEL KAZILARINA BAĞLI ZEMĐN OTURMALARININ VE ETKĐLERĐNĐN

ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ



FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Çağlar ÇELĐKÖRS

(501061024)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 04 Mayıs 2009 Tezin Savunulduğu Tarih : 02 Haziran 2009

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Ahmet Işın SAYGUN (ĐTÜ) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Metin AYDOĞAN (ĐTÜ)

Doç. Dr. Mustafa ZORBOZAN (YTÜ)

ZEMĐN - TEMEL ETKĐLEŞĐMĐNĐ DĐKKATE ALARAK TÜNEL KAZILARINA BAĞLI ZEMĐN OTURMALARININ VE ETKĐLERĐNĐN

ÖNSÖZ

Đstanbul Teknik Üniversitesi Fen Bilimler Enstitüsü Đnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Yapı Mühendisliği Programında gerçekleştirilen bu yüksek lisans çalışmasında zemin temel etkileşimini dikkate alarak, tünel kazılarına bağlı zemin çökmelerinin ve etkilerinin incelemesi yapılmıştır.

Bu çalışmanın yapılması sürecinde bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım sayın hocam Prof. Dr. Ahmet Işın SAYGUN önde gelmek üzere, sayın hocam Y.Doç. Dr. Mecit ÇELĐK’ e, Yapı Statiği Çalışma Grubunun diğer değerli öğretim üyelerine ve sevgili aileme en içten teşekkürlerimi sunarım.

Haziran 2009 Çağlar Çelikörs

ĐÇĐNDEKĐLER

Sayfa

ÖNSÖZ ... iii

ĐÇĐNDEKĐLER ...v

ÇĐZELGE LĐSTESĐ ... vii

ŞEKĐL LĐSTESĐ ... ix ÖZET ... xi SUMMARY ... xiii 1. GĐRĐŞ ...1 1.1 Konunun Tanıtım ...1 1.2 Çözüm Yönteminin Tanıtımı ...2

1.3 Çalışmanın Amacı ve Kapmsamı ...3

2. TÜNEL KAZISINA BAĞLI ZEMĐN OTURMA HESABI VE BĐNALARA ETKĐLERĐNĐN DEĞERLENDĐRME ESASLARI ...5

2.1 Zemin Oturmalarının Binalara Etkisinin En Basit (1. Kademe) Değerlendirilmesi ...5

2.2 Oturma Limitleri ...7

2.3 Oturma Yüzeyi Eğrisini Bir Fonsiyonla Belirleyerek Değerlendirme Yapma (2. kademe Değerlendirme) ...8

3. ZEMĐN MODELLENMESĐ ĐÇĐN GELĐŞTĐRĐLEN ALTI DÜĞÜM NOKTALI ÜÇGEN SONLU ELEMANLAR ... 13

3.1 Sonlu Elemanlar Metodunun Genel Esasları ... 13

3.1.1 Metodun esasları ve tanımlar ... 13

3.1.2 Sonlu elemanlar metodu denklemlerinin elde edilmesi ... 14

3.1.3 Virtüel iş ilkesi ... 16

3.1.4 Sonlu elemanlarda seçilen deplasman fonsiyonlarının genel özelliklerinin irdelenmesi ... 19

3.2 Üçgen Sonlu Elemanlarda Şekil Değiştirme Fonksiyonlarının Alan Koordinatlarıyla Đfadesi ve Alan Koordinatlarıyla Cebrik işlemler ... 21

3.2.1 Üçgen elemanlarda alan koordinatları ... 21

3.2.2 Geliştirilen üçgen sonlu elemanın şekil fonksiyonu ... 24

3.2.3 Düzlem gerilme halinde eleman rijitlik matrisinin elde edilmesi ... 29

3.2.4 Düzlem gerilme halinde eleman gerilme matrisinin elde edilmesi ... 33

4. BĐLGĐSAYAR PROGRAMI ... 35

4.1 Programın Amacı ... 35

4.2 Genson.f90 Bilgisayar Programı ... 35

4.3 Programı Kullanarak Örnek Çözümü ... 36

5. TÜNEL KAZISI ETKĐLERĐNĐN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMĐ ĐLE ĐNCELENMESĐ ... 39

5.1 Tünel Çevre Zemininin Sonlu Elemanlarla Modellenmesi ... 39

5.4 Zemin Üstünde Kuvvetli Bir Temel Kirişinin Olması Durumu ... 50

5.5 Zemin Üstünde Bir Yığma Duvarın Olması Durumu ... 59

6. SONUÇ ... 69

KAYNAKLAR ... 71

ÇĐZELGE LĐSTESĐ

Sayfa

Çizelge 2.1 : Bina hasar sınıflandırması. ... 6

Çizelge 2.2 : Tarihi ve potansiyel tarihi yığma binaların oturma ve dönme limitleri. . 7

Çizelge 2.3 : Betonarme, çelik ve tahta yapılı binaların oturma ve dönme limitleri .. 7

Çizelge 2.4 : Tren yollarının oturma ve dönme limitleri. ... 8

Çizelge 2.5 : Tünel derinliğine bağlı k değerleri. ... 11

Çizelge 3.1 : Herhangi bir büyüklüğün her doğrultuda kartezyen ve alan koordinatlarındaki ifadeleri. ... 24

Çizelge 3.2 : A elemanı alt rijitlik matrisi. ... 31

Çizelge 3.3 : B elemanı alt rijitlik matrisi. ... 31

Çizelge 3.4 : C elemanı alt rijitlik matrisi. ... 31

Çizelge 3.5 : D elemanı alt rijitlik matrisi ... 31

Çizelge 3.6 : E elemanı alt rijitlik matrisi. ... 32

Çizelge 3.7 : F elemanı alt rijitlik matrisi. ... 32

Çizelge 3.8 : G elemanı alt rijitlik matrisi. ... 32

Çizelge 3.9 : H elemanı alt rijitlik matrisi. ... 32

Çizelge 3.10 : I elemanı alt rijitlik matrisi. ... 32

Çizelge 3.11 : Rijitlik matrisi. ... 33

Çizelge 3.12 : Gerilme matrisinin elde edilmesi. ... 33

Çizelge 4.1 : Program giriş bilgileri. ... 36

Çizelge 5.1 : Kirişsiz durumda oluşan değerler. ... 43

Çizelge 5.2 : Kirişli durumda oluşan değerler. ... 52

ŞEKĐL LĐSTESĐ

Sayfa

Şekil 2.1 : Zemin yüzeyi eğimi – olası hasar derecesi. ... 5

Şekil 2.2 : Enine yönde düşey deformasyon eğrisi. ... 8

Şekil 2.3 : Yatay düzlemde oluşan yer değiştirmeler ve tersinir yöndeki gerilmeler 11 Şekil 2.4 : Yatay deformasyon ve açısal dönme grafiği. ... 12

Şekil 3.1 : Virtüel iş ilkesi. ... 16

Şekil 3.2 : Co tipi süreklilik. ... 20

Şekil 3.3 : Üçgen levha eleman kartezyen koordinatları. ... 21

Şekil 3.4 : Üçgen elemanda alan koordinatları. ... 22

Şekil 3.5 : Geliştirilen altı düğüm noktalı üçgen sonlu eleman ... 25

Şekil 3.6 : Düzlem gerilme hali. ... 26

Şekil 3.7 : d1=1 durumu için düzlem gerilme hali. ... 27

Şekil 3.8 : d4=1 durumu için düzlem gerilme hali ... 28

Şekil 4.1 : Üçgen sonlu elemanla ilgili örnek. ... 37

Şekil 5.1 : Program için oluşturulan zemin modeli ... 40

Şekil 5.2 : Modelin düzenlenmesinde kullanılan ara değerler ... 42

Şekil 5.3 : Kirişsiz durum. ... 42

Şekil 5.4.a : Kirişsiz durumda oluşan çökme grafikleri. ... 45

Şekil 5.4.b : Kirişsiz durumda oluşan çökme grafikleri. ... 46

Şekil 5.5.a : Kirişsiz durumda oluşan gerilme grafikleri... 48

Şekil 5.5.b : Kirişsiz durumda oluşan gerilme grafikleri. ... 49

Şekil 5.6 : Kirişli Durum ... 50

Şekil 5.7.a : Kirişli durumda oluşan çökme grafikleri. ... 54

Şekil 5.7.b : Kirişli durumda oluşan çökme grafikleri. ... 55

Şekil 5.8.a : Kirişli durumda oluşan gerilme grafikleri. ... 57

Şekil 5.8.b : Kirişli durumda oluşan gerilme grafikleri ... 58

Şekil 5.9 : Duvarlı durum ... 59

Şekil 5.10.a : Duvarlı durumda oluşan çökme grafikleri. ... 62

Şekil 5.10.b : Duvarlı durumda oluşan çökme grafikleri. ... 63

Şekil 5.11.a : Duvarlı durumda oluşan gerilme grafikleri. ... 65

ZEMĐN – TEMEL ETKĐLEŞĐMĐNĐ DĐKKATE ALARAK TÜNEL KAZILARINA BAĞLI ZEMĐN OTURMALARININ VE ETKĐLERĐNĐN ĐNCELENMESĐ

ÖZET

Bu çalışmada deformasyon oluşan zeminlere oturan yapılar sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla incelenmiştir. Zemine ait elastisite modülü, poisson oranı değerleri değişken alınmıştır. Kirişe ait elastisite modülü, poisson oranı değerleri ile kiriş boyutları sabit alınmıştır.

Çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Giriş, birinci bölümde konunun önemi, problemin ifade edilmesi ve hesabın genel aşamaları tanıtılmıştır. Konu hakkında daha önce yapılan çalışmalar doğrultusunda ortaya konulan matematik modeller kısaca anlatılmıştır. Sistemin çözümü için kullanılan çözüm yöntemi ve yöntemin uygulanma prosedürü hakkında ön bilgi verilmiştir. Ayrıca bu bölümde çalışmanın kapsamı ve amacı da belirtilmiştir.

Đkinci bölümde tünel kazısına bağlı olarak zeminde oluşan oturmaların hesabı ve binalara olan etkilerini belirten bir hesap yöntemi anlatılmıştır. Bu hesap yöntemine göre zemin oturmalarının binalara etkisi önce basitçe değerlendirilmiştir. Sonra yapıda oluşan oturmalar, oturma limit değerleriyle karşılaştırılarak yapının durumu incelenir. Oturma yüzeyi eğrisi bir fonksiyonla belirlenerek tünel kazısından dolayı oluşan çökmelerin yüzeyin hangi bölgesinde ne kadar çökme ve dönme oluşturacağı bulunur. Son aşamada bulunan çökme ve dönme değerleri karşılıklı olarak değerlendirilerek yapıda oluşabilecek hasarın seviyesi belirlenir.

Üçüncü bölümde zeminin modellenmesi için çalışmalar yapılmıştır. Zemini modellemek için önce sonlu elemanlar metodu irdelenmiştir. Sonrasında, üçgen sonlu elemanlarda şekil değiştirme fonksiyonlarının genel alan koordinatlarıyla ifadesi elde edilmiştir. Alan koordinatlarıyla hesap yöntemlerinden bahsedilmiştir. Zeminin modellenmesi için altı düğüm noktalı üçgen sonlu eleman geliştirilmiştir. Dördüncü bölümde, önceki bölümlerde elde edilen bilgilerin genson adlı programda değerlendirilmesi, giriş yöntemleri ve program çıkış bilgilerinin değerlendirilmesi ifade edilmiştir.

Son bölümde çalışma kapsamında elde edilen sonuçlara ve değerlendirmelere yer verilmiştir.

ANALYSIS OF THE GROUND SETTLEMENT EFFECTS ACCORDING TO THE FOUNDATION – GROUND INTERACTION

SUMMARY

In this study, the calculation of the structure based on the deformative ground have examined by the finite element method. The values which belongs to beam are constant. The values of modulus of elasticity and poisson ratio which belongs to ground are variable.

The study consists of six chapters. The first chapter deals with the importance of the subject, statement of the problem and the general stages of the analysis. The previous mathematical models regarding the subject are shortly described. Also preliminary information is given about the analysis method and the procedure. This chapter also contains the scope and objective of the study.

In the second chapter a method of a solution about the effect of the tunnel construction to the structure on the surface is described. According to this solution method, the foundation settlement effects on the structure is examined. Then the settlement of the structure is compared about the settlement limit values and the case of the structure is decided. The settlement graphic is found with a function, then the distortion and the settlement of the foundation around the tunnel construction could found from this graphic. In the last step, the values of the settlement and the distortion is assessed together, and the level of the damage at the structure is found. In the third chapter foundation model is prepared. Finite element model is used for the foundation model. Then the expression of the deformation function with polar coordinates by the triangular finite elements. It is mentioned about the calculation methods of the polar coordination. The triangular finite element with six joint points is used to prepare the foundation model.

In the forth chapter the data set which is collected from before chapters is used in the genson program and it is shown about data print in and print out.

In the last chapter the results of this study are gathered together to have an overview of the study.

1. GĐRĐŞ

1.1 Konunun Tanıtımı

Yapıların mesnetlerini oluşturan temelleri, zeminde oluşabilecek çökme ve oturmalar etkileyecektir; bu da yer değiştirme ve dönmelere neden olarak üst yapının davranışını etkileyecektir.

Đstanbul’ da gerçekleştirilen metro inşaatları ve Marmaray projesi kapsamında tünel inşaatları yapılmaktadır. Tünel tasarımında ve yapımındaki en önemli sorunlardan birisi, arazide oluşan yüzey oturmalarıdır. Tünelin inşasıyla oluşan yüzey oturmaları (azaltıcı önlemler alınmazsa) üst yapılarda ve zemine gömülü bulunan diğer yapılar üzerinde çok ciddi boyutlarda yapısal hasara yol açabilir. Dolayısıyla tünel güzergahı boyunca, tünelin yüzeydeki etkisinin ortaya çıkacağı bölgenin sınırlarının ve oturmaların mertebesinin belirlenmesi için gerçekçi yöntemler geliştirilmelidir. Gerekirse bu kritik bölgelerde daha detaylı araştırmalar yapılarak, zemini ıslah edecek önlemler alınarak oluşturulabilecek olumsuzlukların önüne geçilebilecektir. Tünel güzergahının üzerinde oluşan yüzey oturma kalıbının normal dağılım eğrisiyle ifadesi Peck (1969) tarafından tanımlanmıştır. Aynı araştırmacı, yüzeydeki oturma kalıbının hacminin yaklaşık olarak tünelde aşırı kazılan miktara eşit olduğunu ifade etmiştir. Aşırı kazma ifadesi bir inşaat hatasını göstermez. Tünel açma tipinden bağımsız olarak kazı sırasında gevşeyen bölgenin kapanması kaçınılmazdır. Aşırı kazılma miktarının belirlenmesi için çeşitli ampirik, yarı teorik, deneysel modellere dayalı çözümler sunulmuştur. Tünelin oluşturduğu yüzey oturma kalıbının genişliği geliştirilen bir takım ampirik yöntemlerle elde edilebilir. Bölüm ikide konu ile ilgili özet bilgi verilecektir.

Bu yöntemlerde yalnızca zeminle ilgili parametreler dikkate alınmakta, zemin yüzeyine oturmuş yapının ve temel sisteminin rijitliğinin oturma kalıbının oluşmasına etkisi dikkate alınmamaktadır. Temel sisteminin rijitliği hem zemin

yalnız zemin özelliklerinden hareket ederek bulunacak çözümler ancak zayıf ve yığma türü yapıların değerlendirilmesinde geçerli olabilecektir.

Sürekli temelleri veya kuvvetli bağlı kirişleri olan yapılarda oluşabilecek tesirlerin bulunması ancak zeminin ve yapı temel sisteminin birlikte hesaba katılabilmesine imkan veren yöntemlerin uygulanması ile mümkün olabilecektir.

1.2 Çözüm Yönteminin Tanıtımı

Mühendislik problemlerinin giderek karmaşıklaşması; bunun sonucunda diferansiyel denklem çözümüne dayanan klasik çözüm metotlarının uygulanmasının zorlaşması hatta bu yollarla çözümün imkansızlaşması, ayrıca bilgisayarların ortaya çıkması ve çok gelişmesiyle nümerik çözümler büyük popülerlik kazanmıştır. Bu metotlar, mühendislik problemleri ne kadar karmaşık olursa olsun, çözümü sonlu sayıda bilinmeyenli lineer denklem takımının çözümüne dönüştürdüğünden hızla gelişmiş ve yayılmışlardır.

Đnşaat mühendisliğinde bu yöntemlerden sonlu elemanlar metodu büyük kullanım alanı bulmaktadır. Bu yöntemin temelinde yatan fikir analiz edilecek yapının, cismin ya da bölgenin çok sayıda sonlu elemana bölünmesidir. Düğüm noktalarında birleştiği kabul edilen bu elemanlar bir, iki ya da üç boyutlu olabilmektedir. Elemanların şekil değiştirmeleri ise düğüm noktalarının sonlu sayıdaki deplasman bileşenleri ve bunların koordinat değişkenlerine göre bazı türevlerinden oluşan uç deplasmanlarına bağlı fonksiyonlarının lineer kombinasyonu olarak belirlenebilir. Elemanlardaki uç kuvvetleri ve uç deplasmanları arasındaki matris bağıntıları, birim deplasman durumlarını belirleyen deplasman fonksiyonlarından veya birim yükleme durumlarından hareketle enerji teoremleri kullanılarak elde edilebilirler. Sisteme gelen yüklerin de düğüm noktalarına etkidiği kabul edilerek yayılı etkiler de düğüm noktalarına etkiyen tekil kuvvetlere ve momentlere dönüştürülebilir. Sonuç olarak sistemin çözümü düğüm noktalarında uç deplasmanları doğrultusunda denge denklemleri anlamında bir lineer denklem takımının çözümüne indirgenmektedir. Yukarıda anlatılan sebeplerden dolayı sonlu elemanlar metodu sisteme ait bilgileri, mesnet şartlarını, dış etkilerin sürekli veya ani değişimlerini ve sistem sınırlarının düzgün olmaması halini kolaylıkla göz önüne alma imkanı sağlamaktadır.

Đnşaat mühendisliği problemlerinde sonlu elemanlar yöntemi uygulanırken denklemlerin sistemin bütünüyle çalışılarak ve enerji teoremleriyle çıkarılması problemin fizik anlamına, başlangıçta yapılan kabullere ve yükleme terimlerine açıklık getirdiğinden daha uygun olmaktadır.

Bu çalışmada da sonlu elemanlar yöntemi kullanılacaktır. Çözümde kullanılması gereken temel sistemini modellemekte kullanılacak kiriş sonlu elemanlara ait rijitlik matrisleri literatürden alınacaktır. Zeminin modellenmesinde kullanılacak düzlem şekil değiştirme durumuna ait üçgen sonlu eleman matrisleri ise bu çalışmada elde edilecektir.

1.3 Çalışmanın Amacı ve Kapsamı

Bu çalışmada tünel kazısı yapılan bölgelerde zemine oturan yapıların oluşacak deformasyonlardan nasıl etkileneceğinin hesabı yapılacaktır. Bütün hesaplarda zeminin homojen olduğu dolayısıyla zeminin mekanik özelliklerinin sabit olduğu kabul edilecektir.

Hesaplar sonlu elemanlar metodunun ilkelerine göre yapılacaktır. Hesaplar yapılırken zemin bölüm 3-2’ de bahsedilen üçgen sonlu elemanlarla tanımlanacak, yapıların temelleri kiriş olarak dikkate alınacaktır.

Zeminde şekil değiştirme üçgen sonlu elemanlardan oluşan zeminde tünel kazısı sırasında kaçan toprak hacminden dolayı oluşur. Oluşacak şekil değiştirme, tünel kazısının zemin yüzeyinde oluşturduğu bölüm 2’ de bahsedilen enine yönde düşey yer değiştirme eğrisi şeklinde oluşacaktır. Yer değiştirme (deplasman) eğrisi bulunduktan sonra zemine oturan yapıların temellerinde oluşacak yer değiştirmeler hesaplanacaktır.

2. TÜNEL KAZISINA BA BĐNALARA ETKĐLERĐ

2.1 Zemin Oturmalarının Binalara Etkisinin En Değerlendirmesi

Binalardaki veya diğer yapılarda hasarlar taban seviyesindeki oturmalardan meydana gelmektedir. Yapının altındaki mutlak çökme de

önemlidir. Bu durum şekil 2.1’ de gösterilen iki temel

yapıda yaratacağı tesirlerle açıklanabilir. Kramer zemin yüzeyinde olu bağlı olarak yapılardaki olası hasarın mertebesini belirtmi

yüzeyinde enine sıkışma deformasyonlarının olması için verilmi deformasyonları varsa eğ

sıkışma halinde 1/250=‰4’ in altında e

altında eğim için yalnız mimari düzeyde az hasar görülecek, bunların üstüne ç eğimler taşıyıcı sistemi etkileyen orta ve üstü in

KAZISINA BAĞLI ZEMĐN OTURMA HESABI ve ĐLERĐNĐN DEĞERLENDĐRME ESASLARI

Zemin Oturmalarının Binalara Etkisinin En Basit (1. Kademe)

ğer yapılarda hasarlar taban seviyesindeki oturmalardan meydana gelmektedir. Yapının altındaki mutlak çökme değil noktalar arası diferans

şekil 2.1’ de gösterilen iki temel arasındaki farklı oturmanın üst ı tesirlerle açıklanabilir. Kramer zemin yüzeyinde oluş

lı olarak yapılardaki olası hasarın mertebesini belirtmiştir. Bu e

şma deformasyonlarının olması için verilmiştir. Yüzeyde açılma deformasyonları varsa eğimler ikiye bölünmelidir. Bu eğriye göre, örne

ma halinde 1/250=‰4’ in altında eğim, enine açılma halinde 1/500=‰2’ nin im için yalnız mimari düzeyde az hasar görülecek, bunların üstüne ç

ıyıcı sistemi etkileyen orta ve üstü inşaat hasarı yaratacaktır [4] N OTURMA HESABI ve

Basit (1. Kademe)

er yapılarda hasarlar taban seviyesindeki oturmalardan meydana il noktalar arası diferansiyel çökme arasındaki farklı oturmanın üst ı tesirlerle açıklanabilir. Kramer zemin yüzeyinde oluşacak eğime tir. Bu eğri zemin tir. Yüzeyde açılma riye göre, örneğin enine im, enine açılma halinde 1/500=‰2’ nin im için yalnız mimari düzeyde az hasar görülecek, bunların üstüne çıkan

Çizelge 2.1 : Bina Hasar Sınıflandırması Risk kategorisi Hasar derecesi

tanımı Tipik hasarların tanımı Çatlak kalınlığı (mm) Maksimum enine çekme def. (%) 0 Göz ardı edilebilir. Kılcal çatlak <0.05

1 Çok hafif Kolayca

normalleşen kılcal çatlaklar. 0.1’ den 1’ e kadar. 0.05- 0.075 2 Hafif Kolayca doldurabilir çatlaklar. 1’ den 5’e kadar. 0.075- 0.15 3 Orta Ortadan kaldırılması yada yamanması gerekebilecek çatlaklar. 5’ den 15’ e kadar, yada 3 çatlaktan fazla. 0.15- 0.30 4 Sık Duvarlarda ve özellikle kapı ve cam üslerinde kapsamlı bir onarım gerektiren. 15’ den 25’ e kadar, fakat çatlak sayısına da bağlı. >0.30

5 Fazla Kısmi yada

tamamının yeniden inşaa edilmesini gerektiren .

Genelde 25’ den fazla fakat çatlak sayısına da bağlı.

Çizelge 2.1’ de zeminde oluşan deformasyonlardan dolayı yapılarda oluşan hasarların çatlak kalınlığı ve oluşan çekme gerilmelerine göre risk kategorilerinin belirlenmesi gösterilmiştir.

2.2 Oturma Limitleri

Yapıların özelliklerine göre oturma ve dönme limitleri değişiklik göstermektedir. Tarihi ve potansiyel tarihi yığma binaların oturma ve dönme limitleri çizelge 2.2’ de, betonarme, çelik ya da tahta taşıyıcı sistemli binaların oturma ve dönme limitleri çizelge 2.3’ de, tren yolları için oturma ve dönme limitleri çizelge 2.4’ de verilmiştir.

Çizelge 2.2 : Tarihi ve potansiyel tarihi yığma binaların oturma ve dönme limitleri Tüm toprak ve temel türleri

Max. toplam oturma Smax,(mm) 10 Max. açısal dönme , Ѳ 1 / 500

Çizelge 2.3 : Betonarme, çelik ya da tahta yapılı binaların oturma ve dönme limitleri Tekil/Sürekli temel Radye temel Max.toplamoturma Smax,(mm) Kil 65 ( 75 ) 80 ( 125 ) Kum 40 ( 50 ) 50 ( 75 ) Max. diferansiyel oturma ∆Smax ,(mm) Kil 40 ( 45 ) Kum 25 ( 30 )

Max. açısal dönme ,Ѳ

Çizelge 2.4 : Tren 40-60 Max.diferansiyel oturma Smax ,(mm) 5.70

Đki tren rayı arasındaki max. açısal dönme ,Ѳ

1/250

2.3 Oturma Yüzeyi Eğrisini Bir Fonksiyonla Belirleyerek De Yapma (2. Kademe Değerlendirme)

Bu metotta tünel kazısına bağlı yüzey oturması edilmektedir. Oturmayı oluşturacak toprak hacmi hacim kaybına eşit olacaktır. Düş

2 2 2 max , ) ( ix x v v x S e S = − Sv,max tünel aksındaki maximum oturma (m

x (enine yönde) tünel aksına olan mesafe (m

ix (enine yönde) çan eğrisinin büküm noktasının yeri (m

Şekil 2.2 : Enine yönde dü

Tren yollarının oturma ve dönme limitleri V ( km/h ) 60-80 80-100 >100 4.30 2.90 2.15 1/333 1/500 1/666

risini Bir Fonksiyonla Belirleyerek Değerlendirme ğerlendirme)

ğlı yüzey oturması çan eğrisi şeklinde olacağı kabul turacak toprak hacmi tünel çalışması sırasında oluş

Düşey oturma aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

(2.1) el aksındaki maximum oturma (m)

ksına olan mesafe (m)

risinin büküm noktasının yeri (m)

Enine yönde düşey deformasyon eğrisi

ğı kabul ması sırasında oluşacak

Birim boyuna uzunluk için oturma yapan hacim aşağıdaki gibidir. x v v s S xdx S i V =

∫

( ) = 2π * ,max* +∞ ∞ − (2.2) s

V : tünel kazısında birim boyda kaçan toprak hacmi tünel alanının bir yüzdesi (Vl) olarak kabul edilir (_{m /}3 _m).

Buna göre maksimum oturma aşağıdaki formülle elde edilir.

x s v i V S π 2 max , = (2.3) 4 2 D V Vs l π =

(2.4) D: tünel dış çapıdır (m).

2.1 ve 2.4 formüllerini kullanarak düşey oturma çan eğrisi fonksiyonu şu şekilde bulunur. 2 2 2 2 4 2 ) ( ix x x l v e i D V x S =

π

− (2.5)

Bu formülde ix’ in değerini bilirsek maksimum oturmayı buluruz. Oturmanın türevi

de dönmeyi verir. Dönme değerini şu şekilde buluruz.

2 2 2 max , 2 ) ( ix x v x X _ix S e − = Φ (2.6)

ix büküm noktasının yerinin zeminin özelliğine ve tünelin derinliğine bağlı olduğu

kabulü yapılır. zo dairesel kesitli tünel merkezinin zemin yüzeyinden uzaklığı olmak

üzere yüzeyde;

o

x kz

i = (2.7)

şeklinde ifade edilir. Burada k zeminin özelliğine bağlı bir katsayıdır.

2 2 2 2 2 2 2 max , 2 2 4 2 ) , ( k z x x v z k x l v _kz e i S e kz D V z x S = π − = − (2.8)

şeklinde ifade edilir. Bu ifadenin z’ e göre türevi zeminin içindeki herhangi bir

noktada düşeydeki uzama deformasyonunu verir.

z z x Sv z _∂ ∂ − = ( , )

ε

(2.9)

Burada (-) işareti z’ nin yukarı doğru, buna karşılık oturmaların aşağı doğru (+) alınmasından kaynaklanmaktadır. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 z k x l z _{k z k}x_z e D V −       − =

π

ε

(2.10)

Herhangi bir noktada basınç değişikliği olmadığına göre hacim değişikliği de olmaz

kabulü yapılırsa, enine yönde deformasyonlar için;

z

h ε

ε =− (2.11)

kabulü yapılabilir. Özel olarak yüzeyde enine yönde oluşan deformasyonlar

yukarıdaki formülde z değerinin yerine zo değerini vererek elde edilebilir.

2 2 2 2 2 max , ₁ ix x x o v h e i x z s −         − − =

ε

(2.12)

Bu ifade x’ e göre integre edilirse yüzeydeki enine yöndeki yer değiştirme ifadesi bulunur. ) ( ) ( 0 x S z x x Sh =− v (2.13)

Şekil 2.3 : Yatay düzlemde olu Büküm yerini gösteren i

Kohezyonlu zeminler için Taneli zeminler için =i

Arıoğlu’ nun önerisi =i

i değeri bu formüllerden uygun olanı kullanılarak 10 ile 20 metre arasında oldu

olmaktadır. Çizelge 2.5 : O’Reilly Kohezyonlu zeminler 1 . 1 43 . 0 + = z_o i O’Reilly Taneli Zeminler 1 . 0 28 . 0 − = z_o i Arıoğlu'nun önerisi

Yatay düzlemde oluşan yer değiştirmeler ve tersinir yöndeki gerilmeler Büküm yerini gösteren ix için çeşitli formüller aşağıdaki gibidir.

Kohezyonlu zeminler için i=0.43Z_o +1.1 1 . 0 28 . 0 Z_o− 84 . 2 386 , 0 + = Z_o eri bu formüllerden uygun olanı kullanılarak bulunabilir. Derinliğ ile 20 metre arasında olduğu durumlarda ilgili k değerleri çizelge 2.5’ deki

Çizelge 2.5 : Tünel derinliğine bağlı k değerleri _{z o}

10 15 20 0.54 0.5 0.48

0.27 0.28 0.28

0.67 0.57 0.53

tirmeler ve tersinir yöndeki gerilmeler

(2.10) (2.11)

(2.12) erinliğin genellikle erleri çizelge 2.5’ deki şekilde

20 48

28

Mair ve Rankin’ in değerlendirmelerine göre k

için 0.6, kohezyonlu plastik kil zeminler için 0.5, taneli zeminler için 0.3 olacaktır.

Şekil 2.4 : Yatay deformasyon açısal dönme grafi

Sonuç olarak tünelin derinliği ve yapının yatayda tünel aksına olan mesafesi biliniyorsa 2.12 formülünden hesaplanan yatay deformasyon ve 2.6 formülünden hesaplanan açısal dönme değerleri

koyularak hasarın ne derecede olu alınabilir [1].

erlendirmelerine göre k değerleri kohezyonlu sert kil zeminler için 0.6, kohezyonlu plastik kil zeminler için 0.5, taneli zeminler için 0.3 olacaktır.

Yatay deformasyon açısal dönme grafiği

ği ve yapının yatayda tünel aksına olan mesafesi biliniyorsa 2.12 formülünden hesaplanan yatay deformasyon ve 2.6 formülünden ğerleri bulunur. Bulunan bu değerler şekil 2.4’ de yerine ne derecede oluşabileceği tahmin edilebilir ve buna göre önlem erleri kohezyonlu sert kil zeminler için 0.6, kohezyonlu plastik kil zeminler için 0.5, taneli zeminler için 0.3 olacaktır.

i ve yapının yatayda tünel aksına olan mesafesi biliniyorsa 2.12 formülünden hesaplanan yatay deformasyon ve 2.6 formülünden yerine lir ve buna göre önlem

3. ZEMĐNĐN MODELLENMESĐ ĐÇĐN GELĐŞTĐRĐLEN ALTI DÜĞÜM NOKTALI ÜÇGEN SONLU ELEMANLAR

3.1 Sonlu Elemanlar Metodunun Genel Esasları 3.1.1 Metodun esasları ve tanımlar

Yüzeysel taşıyıcı cisimlerin gerilme-şekil değiştirme problemleri incelenirken iki yol

izlenmektedir.

1-) Diferansiyel denklem metodu

2-) Sonlu Eleman Metodu veya diğer sayısal yöntemler

Diferansiyel denklem metodu; serbest değişkenlere bağlı deplasman yüzeyini ifade

eden fonksiyonların bulunması için diferansiyel denge denkleminin integre

edilmesini ve integral sabitlerinin sınır şartlarını sağlayacak şekilde bulunmasını

gerektiren bir yöntemdir [5].

Özel haller dışında yüzeysel taşıyıcı sistemlerde bu kesin çözümün uygulanması,

matematik güçlükler nedeniyle ya çok zor ya da imkansız olduğundan, değişik

sayısal hesap metodlarının geliştirilmesini gerektirmiştir. Sonlu farklar ve sonlu

elemanlar şeklinde gruplandırabileceğimiz bu sayısal yöntemlerden bu çalışmada

sonlu elemanlar yöntemi üzerinde durulacaktır.

Sonlu elemanlar metodunda, sürekli sistemden genel bir eğriler ağı geçirilir. Bu

eğriler arasında kalan her sürekli ortam parçasına sonlu eleman denir. Elemanların

çevresini belirten eğriler ise elemanın ayrıtları olmaktadır. Sonlu elemanların

ayrıtlarının kesişme noktalarına ise düğüm noktaları denecektir. Bu metotta, sonlu

eleman yüzeyinin şekil değiştirmesi yalnız, düğüm noktalarının deplasman

bileşenleri ve bunların serbest değişkenlere göre türevlerinden oluşan uç deplasman

parametrelerine bağlı olarak ifade edilir. Bu takdirde, düğüm noktaları deplasman

parametrelerinin belirlenmesi, sonlu elemanlardan oluşan bütün sistemde deplasman

parametrelerinin karşılıklı etkilerini ifade edecek bir denge denklem takımının çözümüne indirgemek metodun amacıdır.

Sonlu elemanlara ayrıldığı düşünülen sistemin, dış etkiler yokken herhangi bir

düğüm noktasındaki deplasman bileşenlerinden birini bir, diğerleri sıfır ve diğer

bütün noktalarda deplasman parametrelerini sıfır yapan bir şekil değiştirme

durumuna birim durum denecektir. Birim durumda yalnız o düğüm noktasında

birleşen sonlu elemanlarda şekil değiştirmelerin meydana geleceği açıktır. Sonlu

elemanlarda, düğüm noktaları deplasman parametrelerinin birim değerlerine ait

deplasman fonksiyonlarının seçilmesi ile ilgili özellikler ve uyulması gereken şartlar

bölüm 3.1.4’ de irdelenecektir.

3.1.2 Sonlu elemanlar metodu denklemlerinin elde edilmesi

Bu kısımda, enerji teoremlerinden hareket ederek genellik bakımından kabuk bir

sistem için, sonlu elemanlar metodu denklemleri elde edilecektir. Bu bağıntıların

bulunması için, birim durumlara ait deplasman fonksiyonlarının ayrıtlar boyunca

komşu elemanlar arasında, geometrik uygunluk şartlarını sağladığı kabulü

gerekmektedir [7].

Herhangi bir ( i ) durumunda deplasman bileşenleri fonksiyonları,

[ ]

(

)

(

)

(

)

_i i 2 s , 1 s w 2 s , 1 s u 2 s , 1 s v v           = (3.1)

mambran ve eğilme deformasyonları,

[ ]

i 12 2 1 i           γ ε ε = ε

[ ]

i 2 1 i 2           τ χ χ = χ

[ ]

[ ]

i _i i i       χ ε =       χ ε (3.2)

Mambran ve eğilme kesit tesirleri ise,

[ ]

i 12 2 1 i N N N N           =

[ ]

i b 2 1 i M M M M           =

[ ]

[ ]

i _i i i M N M N       =       (3.3)

kolon matrisleri ile tanımlanırsa, genel bir taşıyıcı sistem için, deplasman

deformasyon bağıntıları toplu halde;

[ ][ ]

i i v . ∂ =       χ ε (3.4)

şeklinde matris formunda gösterilebilir. Kesit tesirleri ise deplasman fonksiyonlarına

bağlı olarak,

[ ]

[ ][ ][ ]

i i i v . . D . D M N ∂ =       χ ε =       (3.5)

bağıntısı yardımı ile türetilebilir.

Diğer taraftan, dış yükler, üniform ve farklı sıcaklık değişimleri, elastik yataklanma

tepkileri gibi statik tesirlerden oluşabilen dış etkiler altında, sistemde meydana gelen

denge durumuna tabii durum denirse, bu halde yayılı dış yükler, deplasman

bileşenleri ve deformasyonlar;

[ ]

          = w u v q q q q (3.6)

[ ]

          = w u v v (3.7)

[ ]

[ ]

=

[ ][ ]

∂.v     χ ε =       χ ε (3.8)

kolon matrisleri ile tanımlanabilir.

Üniform ve farklı sıcaklık değişiminden ileri gelen deformasyonlar ve eğrilik

değişimleri ise,

[ ]

T 12 2 1 T           γ ε ε = ε

[ ]

T 2 1 T 2           τ χ χ = χ

[ ]

[ ]

     χ ε =       χ ε T T T (3.9)

şeklinde gösterilebilir. Toplam deformasyonlardan, sıcaklık değişimlerinden ileri

gelen deformasyonlar çıkarılarak, kesit tesirleri bileşenleri,

[ ]

              χ ε −       χ ε =       T 0 . D M N (3.10)

formülü ile bulunur. 3.1.3 Virtüel iş ilkesi

Burada virtüel iş kelimesi ile tamamen fiktif veya düşünsel bir enerjiden

bahsedilmektedir. Kuvvetler sisteminin işi hesaplanırken yer değiştirmelerin o

kuvvetler tarafından oluşturulması gerekmez. Yer değiştirmeler tamamen keyfi veya

düşünsel olabilir. Đstenirse keyfi yer değiştirme olarak başka bir kuvvetler sisteminin oluşturduğu yer değiştirmeler de alınabilir. Bu tip yer değiştirmelere virtüel yer değiştirmeler adı verilir ve kuvvetlerin bu tip yer değiştirmeler sonunda yaptığı işe de virtüel iş adı verilir.

Her ne kadar virtüel yer değiştirmeler keyfi ise de bazı şartları sağlaması gerekir. Virtüel yer değiştirmeler: a) Sistemin dış bağları ile uyum sağlamalı, b) cismin iç

sürekliliğini bozmamalı, c) çok küçük olmalı, d) zamandan bağımsız olmalıdır.

Virtüel iş teoreminde iki çeşit yükleme durumu vardır. Birincisi, sistemin gerçek

yükler altındaki durumu; ikincisi ise sistemin gerçek yüklerinden temizlenip fiktif

(hayali) bir kuvvetle yükleme durumudur. Virtüel iş teoremine göre iç ve dış

kuvvetlerin bir yüklemeden, yer ve şekil değiştirmelerin ise diğer yüklemeden

alınması koşuluyla dış kuvvetlerin virtüel işi iç kuvvetlerin virtüel işine eşittir.

d i V

V = (3.11)

A noktasına yapılan birim yükleme şekil 3.1 (b) de görülmektedir.Birim yüklemenin

yapıldığı sistemdeki kuvvetlerin, şekil 3.1 (a) da görülen sistemin yer

değiştirmelerine göre virtüel işi yazıldığında veya başka kelimelerle şekil 3.1 (b) de

görülen virtüel kuvvetlerin gerçek yer değiştirmelere göre virtüel işi yazıldığında dış

kuvvetlerin virtüel işi Q′*δ dır. Đç kuvvetlerin virtüel işi ise; kuvvet tipi büyüklüklerin birim yükleme yapılan sistemden, deformasyon tipi büyüklüklerin

gerçek sistemden alınmasıyla aşağıdaki şekilde yazılır.

δ = δ ′. 1. Q 1.

(

R. M.

)

.dz L 0

∫

′γ+ ′ω = δ (3.12)

Yukarıda verilen ifadede R′ ve M′ vektörleri birim yükleme yapılan sisteme ait

kesit tesiri vektörleri, γ ve ω vektörleri ise gerçek sisteme ait birim öteleme ve

birim dönme vektörleridir.

Sonlu elemanlara ayırdığımız sistemin, dış etkiler yokken herhangi bir düğüm

noktasındaki deplasman bileşenlerinden birini bir, diğerlerini sıfır yapan ( i ) birim durumunu virtüel deplasman; tabii durumu da yükleme olarak alıp (3.11) denklemi uyarınca iç kuvvetlerin virtüel işini dış kuvvetlerin virtüel işine eşitlersek;

[ ] [ ]

v q dA dA M N T i T i . . . .

∫∫

∫∫

_ =            χ ε (3.13)

( 3.10. ) bağıntısından da yararlanarak (3.13.) eşitliği düzenlenirse

[ ]

D. .dA

[ ] [ ]

v .q.dA .

[ ]

D. .dA . T T i T i T i       χ ε       χ ε + =       χ ε       χ ε

∫∫

∫∫

∫∫

(3.14)

yazılabilir. Birim duruma ait deplasman fonksiyonlarının ayrıtlar boyunca süreklilik şartlarını sağlaması halinde, ayrıca bir kabul yapılmadığından bu bağıntının kesin olduğu açıktır.

Tabii durumun birim durumların lineer kombinezonu olarak belirlenebileceği

yaklaşımı yapılırsa, X tabii durumda sistemin j inci deplasman parametresinin j

[ ]

[ ]

j n 1 j j.X v v

∑

= = (3.15)

[ ][ ]

j j n 1 j j j n 1 j X . X . v .

∑

∑

= =       χ ε = ∂ =       χ ε (3.16)

yazılabilir. Burada n sistemin serbestlik derecesini yani toplam deplasman

parametresi sayısını göstermektedir. O halde (314.) eşitliği

[ ]

D. .dA

[ ] [ ]

v .q.dA .

[ ]

D. .dA . . X T T i T i j i n 1 j j       χ ε       χ ε + =       χ ε       χ ε

∫∫

∫∫

∫∫

∑

= (3.17)

şekline girer. Bu bağıntıda:

[ ]

D. .dA . k j T i ij       χ ε       χ ε =

∫∫

(3.18.a)

[ ] [ ]

v .q.dA p T i 0 , i =

∫∫

(3.18.b)

[ ]

D. .dA . p T T i T , i       χ ε       κ ε =

∫∫

(3.18.c) kısaltmaları yapılırsa, T , i 0 , i j n 1 j ij.X p p k = +

∑

= (3.19) bulunur.

Sistemde bütün birim durumlar ayrı ayrı deplasman durumu olarak alınıp (3.13.)

virtüel iş ifadesi yazılırsa, (3.19.) a benzer bilinmeyen uç deplasman parametresi

sayısına eşit, n adet denklem elde edilir. Matris formunda bu denklem takımı,

[ ][ ] [ ]

K.X = P0 +

[ ]

P T (3.20) olarak yazılabilir.

[ ]

X Bilinmeyen uç deplasman parametrelerinin alt alta yazılmasından olu: şan kolon matrisi,

[ ]

K Herhangi bir : k terimi, (3.18, a ) da görüldü_ij ğü gibi, sistemde j birim

durumundaki iç kuvvetlerin i birim durumunda yaptığı iş olan, sistem rijitlik

matrisini,

[ ]

P 0 :Herhangi bir i elemanı dış yüklerin i birim durumunda yaptığı iş olan, sistem

yükleme matrisini

[ ]

P _T:Herhangi bir i elemanı, i birim durumunda iç kuvvetlerin sıcaklık

değişmesinden doğan deformasyonlarda yaptığı iş olan, n boyutlu sistem sıcaklık

değişimi matrisini göstermektedir.

Burada tanımlanan iş ifadeleri sistemi oluşturan bütün sonlu elemanlarda önce ayrı

ayrı hesaplanıp, sonradan toplanabilir. Yani yukarıdaki ifadelerde sistem yerine sonlu

eleman demek şartı ile tanımlanabilen ve aynı notasyonla gösterilecek olan eleman

rijitlik, yükleme ve sıcaklık değişimi matrisleri seçilen birim durum fonksiyonlarına

bağlı olarak bulunup, bunlardan hareket ederek matris deplasman metodu ile (3.20)

denklemleri elde edilir.

(3.20) denklemlerinden tabii durumda uç deplasman parametrelerinin değerleri

bulunur ve (3.16) ve (3.10) da yerlerine konursa her noktadaki ve özellikle düğüm

noktalarındaki deformasyonlar ve kesit tesirleri bileşenleri elde edilir.

Tabii durumun birim durumların lineer kombinezonu olduğu kabulünden dolayı

bulunan bu sonuçlar yaklaşıktır. Eleman boyutlarını küçültüp, sistemde birim durum

ve bilinmeyen sayısını arttırarak gerçek değere daha yakın sonuçlar elde edilebilir.

3.1.4 Sonlu elemanlarda seçilen deplasman fonksiyonlarının genel özelliklerinin irdelenmesi

Bilindiği gibi sonlu elemanlar metodunda, bulunan değerlerin gerçek sonuçlara

yakınsaması için en önemli etken, elemanlarda deplasman parametrelerinin birim

değerlerine karşı gelen, seçilmiş deplasman fonksiyonlarının uygunluğudur. Birim

deplasman durumlarının lineer kombinezonunun, gerçek deplasman yayılışını iyi bir

Bunun dışında bu fonksiyonların belirlenmesinde yakınsaklık kriterleri diye bilinen,

[3] , bazı özelliklerin sağlanması, metodun yakınsaklığının temini için önemlidir.

a) Ayrıtlar boyunca komşu iki elemanın [ u ] yer değiştirme bileşenleri birbirine eşit

olmalıdır. Bu koşul yakınsaklığın monoton ve çok kere hızlı olmasını sağlamaktadır.

[ ]

D. .dA X . .

[ ]

D. .dA . j T i n 1 j j T i       χ ε       χ ε =       χ ε       χ ε

∫∫

∑

∫∫

= (3.21)

eşitliği ile tabii durumun birim durumların lineer kombinezonu olarak

belirlenebileceği yaklaşımı yapılırken; üstü kapalı bir şekilde ayrık olarak ele

aldığımız elemanların bitiştirilmesi sırasında süreksizliğin oluşmadığını

varsaymıştık. Aksi halde ayrıtlarda böyle bir süreksizliğin oluşması bu ayrıtlardaki gerilmelerin yaptıkları işlerin (3.21) eşitliğine ilavesini gerektirecekti.

(3.21) eşitliği kapalı olarak yer değiştirme fonksiyonu ile şekil değiştirmeyi

barındırmakla beraber; kimi problemlerde şekil değiştirme yer değiştirmenin birinci

türevi; plak ve kabuk problemleri gibi durumlarda ise ikinci türevi olarak eşitliğin

içine girmektedir. Dolayısıyla kimi durumlarda u ve u’ nun kendi sürekliliği (3.21)

eşitliğinin geçerliliğini koruması için yeterliyken ( C tipi süreklilik ) kimi 0 durumlarda ise u’ nun 1. türevinin sürekliliği de ( C tipi süreklilik ) ko1 şul olarak

aranmaktadır. Şekil 3.2 de C tipi süreklili0 ğe sahip bir yer değiştirme fonksiyonunun

türev süreksizliği gösterilmiştir.

3.2 Düzlemi Đçinde Şekil Değiştiren Üçgen Sonlu Eleman 3.2.1 Üçgen elemanlarda alan koordinatları

Üçgen geometriye sahip sonlu elemanlarda herhangi bir büyüklüğün (yer değiştirme,

şekil değiştirme veya gerilme) eleman içindeki değişimini ifade ederken kartezyen koordinat sistemi (x,y) yerine boyutsuz alan koordinatları sisteminin kullanılması (

3 2 1,L ,L

L ) büyük kolaylık sağlamaktadır.

Şekil 3.3 : Üçgen levha eleman kartezyen koordinatları

Şekildeki gibi köşe noktalarının kartezyen koordinatları verilmiş bir üçgenin içindeki

P noktasının kartezyen koordinatları (x,y) ise bunların alan koordinatları L₁,L₂,L₃

cinsinden ifadesi aşağıdaki gibidir;

P(L1,L2,L3)→P(x,y) (3.22) x= (L₁X₁+L₂X₂+L₃X₃) (3.23) y= (L₁Y₁+L₂Y₂ +L₃Y₃) (3.24)

1= L₁+L₂ +L₃ (3.25) veya matris formunda

                =       2 1 3 2 1 3 2 1 L L y y y x x x y x (3.26)

şeklinde olur. Bu ifadelerden, alan koordinatlarında 1 1 = L L2 =L3 =0 1 köşe noktasını, 1 2 = L L1 =L3 =0 2 köşe noktasını, 1 3 = L L₁ =L₂ =0 3 köşe noktasını gösterdiği görülebilir.

Alan koordinatlarından biri sıfır alınıp diğer ikisinin toplamı bir olacak şekilde değişmesi, üçgenin bir kenarı üzerindeki noktaları gösterir. Örneğin şekil 3.4’ e göre bakıldığında, L₁ =0 L2 +L3 =1 olacak şekilde L2,L3’ ün farklı değerleri 2-3

kenarı üzerindeki noktaları tanımlar.

Şekil 3.4 : Üçgen elemanda alan koordinatları Genel olarak, alan koordinatlarına,

alanı üçgen alanı üçgen P L 3 2 1 3 2 1 − − − − = (3.27)

şeklinde geometrik bir anlam verilirse, bu koordinat sisteminin anlaşılması

kolaylaşır. Tersine, üçgenin içindeki x, y koordinatları bilinen bir noktanın alan

koordinatlarını bulmak için 3.26 formülünün tersi alındığında,

(

a b x c y

)

L1 1 1 1 2 1 + + ∆ = (3.28)

(

a b x c y

)

L2 2 2 2 2 1 + + ∆ = (3.29)

(

a b x c y

)

L3 3 3 3 2 1 + + ∆ = (3.30) bağıntıları elde edilir. Burada üçgenin alanı aşağıda ifade edilmiştir.

3 2 1 3 2 1 1 1 1 det 2 1 y y y x x x = ∆ = Alan 1-2-3 (3.31) 2 3 1 3 2 1 2 3 3 2 1 x x c y y b y x y x a − = − = − = (3.32) 1 1 1, b, c

a değerleri 3.32 ifadesindeki gibi olup, diğer terimlere 1,2,3 indislerinin

dairesel permütasyonu ile geçilebilir.

Örneğin a2, b2, c2 değerleri 3.33 ifadesindeki gibi olur.

3 1 2 1 3 2 3 1 1 3 2 x x c y y b y x y x a − = − = − = (3.33)

Alan koordinatlarında türev alınırsa, örneğin f (L₁,L₂,L₃)=AL₁αL₂βL₃γ şeklindeki

herhangi bir fonksiyonun L ’ e göre türevi; ₁

γ β α α ₁ 1 _{2 3} 1 L L L A L f − = ∂ ∂ (3.34) olmaktadır.

f (L1,L2,L3) şeklindeki bir fonksiyonun x ve y ye göre türevi alınırken 3.32’ deki

bağıntıların katsayılarından yararlanılır.

      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 2 1 L f b L f b L f b x L L f x L L f x L L f x f _(3.35)       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∆ = ∂ ∂ 3 3 2 2 1 1 2 1 L f c L f c L f c y f _(3.36)

Alan koordinatlarında integral alınırsa, örneğin f (L1,L2,L3) fonksiyonunun

γ β α 3 2 1 L L

AL şeklindeki bir teriminin üçgen bölge içindeki integrali, ∆ üçgenin alanı göstermek üzere 3.37’ deki gibi olur [11].

∫∫

∆ ∆ + + + = 2 )! 2 ( ! ! ! 3 2 1 γ β α γ β α γ β α A dA L L L A (3.37)

3.2.2 Geliştirilen üçgen sonlu elemanın şekil fonksiyonları

Üçgen elemanlarda her doğrultuda eşdeğer hassasiyet arandığı taktirde tam polinomların kullanılması gerekir. Çizelge 3.1’ de tam polinomların kartezyen ve alan koordinatlarında ifadeleri verilmiştir.

Çizelge 3.1 : Herhangi bir büyüklüğün her doğrultuda, kartezyen ve alan koordinatlarındaki ifadesi

Kartezyen koordinatlar Alan koordinatları

Lineer değişim B1 =α1+α2x+α3y 3 3 2 2 1 1 1 L L L B

β

β

β

+ + = 2' polinom 5 6 2 2 4 1 2 B x xy y B = +

α

+

α

+

α

_{5 2 3 6 3 1} 2 1 4 3 3 2 2 1 1 2 L L L L L L L L L B

β

β

β

β

β

β

+ + + + + = 3' polinom 10 3 2 9 2 8 3 7 2 3 B x x y xy y B = +

α

α

+

α

+

α

_{9 3}2 _{2 10 1 2 3} 1 2 3 8 1 2 2 7 3 2 2 6 3 2 1 5 2 2 1 4 3 3 2 2 1 1 3 L L L L L L L L L L L L L L L L L L B β β β β β β β β β β + + + + + + + + + =

çizelgeden, düzlemi içinde şekil değiştiren üçgen bir elemanda her doğrultuda, ikinci derece polinomuna uygun değişim öngörüldüğü taktirde hem u(x,y), hem de v(x,y) yer değiştirmelerinin 6 serbestlikle ifade edilmesi gerektiği anlaşılır. Buna göre üçgenin köşeleri yanında kenar ortalarının da düğüm noktası olarak alınması ve üçgen eleman şekil fonksiyonlarının bu 6 noktanın yer değiştirmeleri cinsinden ifadesi gerekmektedir. Geliştirilen 6 düğüm noktalı üçgen sonlu eleman şekil 3.5’ deki gibi olur.

Şekil 3.5 : Geliştirilen 6 düğüm noktalı üçgen sonlu eleman

Geliştirilen 6 düğüm noktalı üçgen sonlu elemanın her bir düğüm noktasında 2 bilinmeyen vardır. Düzlem gerilme hali şekil 3.6’ da ki gibi olur.

Şekil 3.6 : Düzlem gerilme hali Deplasman fonksiyonları aşağıdaki formülle ifade edilir.

1 3 6 3 2 5 2 1 4 3 3 2 2 1 1L a L a L a LL a L L a L L a u= + + + + + (3.38)

v deplasman fonksiyonu da benzer şekildedir.

u ve v deplasmanları her iki doğrultuda ikinci derece polinomlarının tüm terimlerini içermektedir. Elemanın birim uç deplasmanlarına karşı gelen deplasman fonksiyonları matris formunda 3.39 formülündeki gibi gösterilir.

[ ][ ] [ ]

A A d v u d 1 − =       (3.39)

Şekil 3.7 : d1=1 durumu için düzlem gerilme hali

1 köşe noktasının yatay doğrultuda birim deplasman yapması halinde, elemanın deplasmanı şekil 3.7’ deki gibi olur ve deplasman fonksiyonu 3.40 formülündeki gibi ifade edilir.

1 1 1 (2L 1)L

u = − (3.40) Gerçektende bu fonksiyonun L1=1’ de birim değer aldığı (1 noktasında), L1=0’ da (2-3 kenarı boyunca) ve L1=1/2’ de (4 ve 6 noktalarında) sıfır olduğu görülebilir.

Şekil 3.8 : d4=1 durumu için düzlem gerilme hali

1- 2 kenarının ortasının yatay doğrultuda birim deplasmanı haline karşı gelen deplasman fonksiyonu 3.41 formülündeki gibi olur.

2 1 4 4LL

u = (3.41) Görüleceği gibi bu fonksiyon alan koordinatları L1= L2=1/2, L3=0 olan 4 noktasında birim değer almakta, L1, L2, L3 ‘den ikisinin sıfır olduğu köşe noktalarında veya L1 , L2’ den birisinin sıfır olduğu diğer kenarın orta noktalarında sıfır olmaktadır.

[ ][ ]

A Ad

-1’ _{in diğer bütün elemanları benzer şekilde bulunabilir. Deplasman} fonksiyonları her üç yakınsaklık koşulunu da sağlar. Bir ayrıt boyunca u ve v’ nin değişimi parabolik olduğundan, kenar üzerindeki üç noktadaki deplasman tam olarak, bu kenar boyunca deplasman değişimini belirler. Buna göre komşu elemanlarda bu kenar boyunca yer değiştirme sürekliliği sağlanır. Geliştirilen 6 düğüm noktalı üçgen sonlu eleman için u,v deplasman değerleri 3.42 ve 3.43’ da ki gibi oluşur [6]. 6 1 3 5 3 2 4 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1(2L 1)u L (2L 1)u L (2L 1)u 4LL u 4L L u 4L Lu L u= − + − + − + + + (3.42)

6 1 3 5 3 2 4 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1(2L 1)v L (2L 1)v L (2L 1)v 4LL v 4L L v 4L Lv L v= − + − + − + + + (3.43) 3.2.3 Düzlem gerilme halinde eleman rijitlik matrisinin elde edilmesi

Üçgen elemanlarda deformasyon 3.44’ deki gibi ifade edilir.

                  ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =           = x v y u y vx u xy y x γ ε ε ε (3.44)

Örneğin d1 =1 durumuna karşı gelen şekil değiştirme 1 2 1

2_{L L}

u= − , v=0 şeklinde oluşur. Bu duruma göre ε_x 3.44 formülüne göre hesaplanırsa aşağıdaki ifade elde edilir. x L L x L L u x L L u x L L u x u x ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = 1 1 3 3 2 2 1 1 ) 1 4 (

ε

(3.45) 1

L ’ in x’ e göre türevi 3.28 formülüne göre alınırsa 3.46 değeri elde edilir.

∆ = ∂ ∂ 2 1 1 b x L _(3.46)

3.46’ de bulunan değer 3.45’ de yerine koyulursa, ε de_x ğeri 3.47’ deki gibi elde edilir. ) 1 4 ( 2 1 1 ₋ ∆ = b L x ε (3.47)

3.44’ deki formülden

γ

_xy’ nin değeri yerine koyulursa,

) 1 4 ( 2 ) 1 4 ( 1 1 1 1 − ∆ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = c L y L L y u xy γ (3.48)

sonucu bulunur.

ε

_y değeri 3.45 formülünden alınır ve 3.49 formülündeki gibi

Gerilme fonksiyonları 3.50, 3.51, 3.52 formüllerindeki gibi oluşur. ) ( ) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( x x E

ε

υ

υ

υ

σ

− + − = (3.50) ) )( 1 ( ) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( x y E

ε

υ

υ

υ

υ

υ

σ

− − + − = (3.51) xy xy E

γ

υ

τ

) 1 ( 2 + = (3.52)

Rijitlik matrisi 3.53’ deki gibi olur.

dA t

ki,j =

∫∫

(σxεx +σyεy +τxyγxy) (3.53)

3.53 formülünde 3.47, 3.48, 3.49, 3.50, 3.51, 3.52 işlemlerinin sonuçları

yerleştirilirse rijitlik matrisleri aşağıdaki formül gibi elde edilir.

∫ ∫

                    ∂ ∂ + ∂ ∂       ∂ ∂ + ∂ ∂ − +       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + −       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − + = dA x v y u x vi y u x u y v y v x u y v y v x u x u Et k j j i j i j i j i j i j i 2 2 1 ) 1 ( ) 2 1 )( 1 ( , υ υ υ υ υ (3.54) Örnek olarak _k1,1 değeri bulunmak istenirse, 3.54 formülünden aşağıdaki sonuç elde edilir.

∫∫

∫∫

∫∫

− ∆ + + − + − + − = L dA Et c L dA A b Et k 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 , 1 (4 1) 4 ) 1 ( 2 ) 1 4 ( 4 ) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( υ υ υ υ (3.55)

bulunup, 3.37 formülüne göre integral alınırsa,

∆ + + ∆ − + − = 4 ) 1 ( 2 4 ) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( 12 2 1 1 , 1 c Et b Et k υ υ υ υ (3.56) elde edilir.

Formülleri kolaylaştırmak için aşağıdaki kısaltmalar uygulanabilir.

) 12 1 ( ) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 ∆ − + − =

υ

υ

υ

Et E (3.57)

) 12 1 ( ) 2 1 )( 1 ( 2 ∆ − + =

υ

υ

υ

Et E (3.58) ) 12 1 ( ) 2 1 ( 2 + ∆ =

υ

Et G (3.59)

Uygulanan kısaltmalar sonucu eleman rijitlik matrisleri aşağıdaki çizelgelerdeki gibi elde edilir.

Çizelge 3.2 : A Eleman Alt Rijitlik Matrisi

1 , 1 k = ₃₍ 2₎ 1 2 1 1b Gc E + 2 , 1 k = _{3( )} 1 1 1 1 2b c Gb c E + 2 , 2 k = ₃₍ 2₎ 1 2 1 1c Gb E +

Çizelge 3.3 : B Eleman Alt Rijitlik Matrisi

3 , 1 k = _{( )} 2 1 2 1 1b b Gc c E + − 4 , 1 k = _{( )} 2 1 2 1 2b c Gc b E + − 3 , 2 k = _{( )} 1 2 2 1 2c b Gc b E + − 4 , 2 k = _{( )} 2 1 2 1 1c c Gb b E + −

Çizelge 3.4 : C Eleman Alt Rijitlik Matrisi

5 , 1 k = −(_E1b1b3 +_Gc1c3) 6 , 1 k = −(_E2b1c3+_Gc1b3) 5 , 2 k = −(_E2c1b3+_Gc3b1) 6 , 2 k = −(_E1c1c3+_Gb1b3)

Çizelge 3.5 : D Eleman Alt Rijitlik Matrisi

7 , 1 k = 4(E₁b₁b₂ +Gc₁c₂)=k_7,3 8 , 1 k = 4(E₂b₁c₂+Gc₁b₂)=k_4,7 7 , 2 k = 4(E₂c₁b₂+Gc₂b₁)=k_3,8

Çizelge 3.6 : E Eleman Alt Rijitlik Matrisi 9 , 1 k = ₀ 10 , 1 k = ₀ 9 , 2 k = ₀ 10 , 2 k = ₀

Çizelge 3.7 : F Eleman Alt Rijitlik Matrisi

11 , 1 k = 4(E₁b₁b₃+Gc₁c₃)=k_5,11 12 , 1 k = 4(E₂b₁c₃+Gc₁b₃)=k_5,12 11 , 2 k = 4(E₂c₁b₃+Gc₃b₁)=k_6,11 12 , 2 k = 4(E₁c₁c₃+Gb₁b₃)=k_6,12

Çizelge 3.8 : G Eleman Alt Rijitlik Matrisi

7 , 7 k = _{8[( ) (} 2_)] 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 b b b E G c cc c b + + + + + 8 , 7 k = 8[( ₂ 2 2)( 2)] 1 2 2 1 1 1 b c G E c b c b c b + + + + 8 , 8 k = _{8[( ) (} 2_)] 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 c c c E G b bb b c + + + + +

Çizelge 3.9 : H Eleman Alt Rijitlik Matrisi

9 , 7 k = 8(_b1b3E1+_Gc1c3) 10 , 7 k = 4(_b1c3+_c1b3)(_E2+_G) 10 , 8 k = 8(_c1c3E1+_Gb1b3)

Çizelge 3.10 : I Eleman Alt Rijitlik Matrisi

11 , 7 k = 8(_b2b3E1+_Gc2c3) 12 , 7 k = 4(_b2c3 +_c2b3)(_E+_G) 12 , 8 k = 8(_c2c3E1+_Gb2b3)

Çizelge 3.11: Rijitlik Matrisi Alt Blokları A B C D E F A' B’ D D' E A'' E D' F G H I G' H' G''

Çizelgedeki ( )’, ( )’’ alt matris terimlerine ( ) alt matrisi terimlerini permütasyon yaptırarak geçilebilir [3].

3.2.4 Düzlem gerilme halinde eleman gerilme matrisinin elde edilmesi

Elemanın düğüm noktaları yer değiştirmelerine bağlı olarak köşe noktalarındaki deformasyonları veren matris çizelge 3.12’de verilmiştir.

Çizelge 3.12 : Gerilme deformasyon matrisinin elde edilmesi

d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12 Ԑx 3b1/2∆ ₀ (-)b2/2∆ ₀ (-)b3/2∆ ₀ 4b2/2∆ _{0 0 0}4b3/2∆ ₀ Ԑy ₀3c1/2∆ ₀(-)c2/2∆ ₀(-)c3/2∆ ₀4c2/2∆ _{0 0 0}4c3/2∆ Ɣxy 3c1/2∆3b1/2∆(-)c2/2∆(-)b2/2∆(-)c3/2∆(-)b3/2∆4c2/2∆4b2/2∆ 0 04c3/2∆ 4b3/2∆ εx (-)b1/2∆ 0 3b2/2∆ 0 (-)b3/2∆ ₀4b1/2∆ ₀4b3/2∆ _{0 0 0} εy ₀(-)c1/2∆ ₀3c2/2∆ ₀(-)c3/2∆ ₀4c1/2∆ ₀ 4c3/2∆ _{0 0} Ɣxy (-)c1/2∆(-)b1/2∆3c2/2∆3b2/2∆(-)c3/2∆(-)b3/2∆4c1/2∆4b1/2∆4c3/2∆ 4b3/2∆ 0 0 εx (-)b1/2∆ ₀ (-)b2/2∆ ₀ 3b3/2∆ ₀ 0 ₀4b2/2∆ ₀ 4b1/2∆ ₀ εy ₀(-)c1/2∆ ₀(-)c2/2∆ ₀3c3/2∆ _{0 0 0}4c2/2∆ ₀4c1/2∆ Ɣxy (-)c1/2∆(-)b1/2∆(-)c2/2∆(-)b2/2∆3c3/2∆3b3/2∆ 0 04c2/2∆ 4b2/2∆ 4c1/2∆ 4b1/2∆

Her köşegene ait alt matris 3.60 bağıntısında yerine konarak köşe noktalardaki gerilmeler ile elde edilir [2].

                − − + ∂ − =         xy y x E n n y x ε ε υ υ υ υ υ υ (1 ) 0 0 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( (3.60)

4. BĐLGĐSAYAR PROGRAMI

4.1 Programın Amacı

Bu tez çalışmasının amacı ve kapsamına uygun olarak, ortasında boşluk olan zeminde oluşan deformasyonların belirlenebilmesi için, Fortran programlama dilinde yazılmış, Microsoft Developer Studio’da derlenen bir sonlu elemanlar yönteminin uygulaması, genel amaçlı bir bilgisayar programına (genson) gerekli alt program yazılmıştır.

4.2 Genson.f90 Bilgisayar Programı

Program giriş bilgileri, zeminde oluşan deformasyonların belirlenebilmesi amacı ile hazırlanan programda, giriş bilgisi olan zemin özellikleri, üçgen plak elemanlarla tanımlanarak programa girilmektedir. Giriş bilgileri sırasıyla;

Nbel: Sistemdeki eleman sayısı

Nbcach: Sistemdeki farklı yükleme durumları sayısı. Nmat: Malzeme cinsi sayısı

Nzem: Zemin özelliği. Bu çözüm yönteminde zemin özelliği 0 olarak girilecektir. Nbnok: Sistemdeki düğüm noktası sayısı

Imp: Programın sonuç olarak basacağı bilginin özelliği. Bu değer 0 ise yalnızca gerekli bilgileri basar, 1 ise kontrol amaçlı olarak çok sayıda bilgi basar.

IFDESE: Düğüm noktasındaki bilinmeyenlerin adedi. Eğer 0’ dan farklıysa program düğüm noktasında girilen değer kadar bilinmeyen okur, eğer 0’ a eşitse her düğüm noktasında kaç bilinmeyen olduğu sırayla yazılır. Bu çözüm yönteminde bu değer 2 olarak girilecektir.

Nocat: Eleman katalog numarası. Nocat = 17 ise elemanın üçgen plak eleman olduğu anlaşılmaktadır.