Elastik Zemine Oturan Çapraz Tabakalı Kompozit Kalın Plakların Statik Analizi

XIX. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ

24-28 Ağustos 2015, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon

ELASTİK ZEMİNE OTURAN ÇAPRAZ TABAKALI KOMPOZİT KALIN PLAKLARIN STATİK ANALİZİ

Gülçin Tekin ve Fethi Kadıoğlu İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul

ABSTRACT

In this study, a functional for the static analysis of symmetric cross-ply laminated composite thick plates on Winkler’s elastic foundation is obtained by using Gâteaux differential method. For the solution of the derived functional, mixed finite element method is used. Numerical solutions obtained by using the mixed finite element formulation are compared with the presented results in literature for isotropic and orthotropic plates and verification of the proposed formulation is performed. In the analyses, thick plate-foundation interaction problems are considered for symmetric cross-ply laminated thick plates with different lamination schemes and angles, with different a/h ratios and material properties.

ÖZET

Bu çalışmada Gâteaux diferansiyel kullanılarak Winkler elastik zeminine oturan simetrik çapraz tabakalı kompozit kalın plakların statik analizi için fonksiyonel elde edilmiştir. Elde edilen fonksiyonelin çözümü için karışık sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır. Karışık sonlu eleman formulasyonu kullanılarak elde edilen sayısal çözümler literatürdeki mevcut izotrop ve ortotrop plak sonuçları ile karşılaştırılarak doğrulanmıştır. Analizlerde kalın plak-zemin etkileşim problemleri, simetrik çapraz tabakalı kompozit kalın plaklarda farklı tabaka sayıları ve tabaka açıları kullanılarak, farklı a/h oranları ve farklı malzeme özellikleri için incelenmiştir.

GİRİŞ

Günümüzde yüksek mukavamet ve hafif malzeme gereksiniminin artmasından dolayı kompozit malzemeler çok sık kullanılmaktadır. Literatürde kompozit malzemelerle ilgili birçok çalışma mevcuttur. Bunlar genellikle plaklar, kabuklar, kemerler ve kirişler üzerinedir. Plaklar mühendislikte çok sık kullanılan yapı elemanlarından birisidir.Yapının davranışını güvenilir bir biçimde ortaya koymak için geliştirilen çeşitli plak teorileri, klasik plak teorilerine ya da kayma deformasyonlu plak teorilerine dayanmaktadır. Klasik plak teorisinin geçerli olduğu Kirchhoff-Love ince plak teorisinde düzleme dik kayma şekil değiştirmelerinin etkisi göz ardı edilmiştir. Ancak plak kalınlığı arttıkça söz konusu şekil değiştirmelerin etkisi büyümekte ve Kirchhoff-Love ince plak teorisi doğru olmayan sonuçlara götürebilmektedir. Bu nedenle özelikle kalın plak problemlerinde düzleme dik kayma şekil değiştirmelerinin etkisini de dikkate almak gerekmektedir (Reissner plak teorisi). Ancak Mindlin-Reissner plaklarında, özellikle plak kalınlığı azaldıkça kayma kilitlenmesi adı verilen problemle karşılaşılmaktadır. Bu çalışmada Reissner plak teorisi esas alınmıştır. Aköz ve çalışma grubu tarafından yapılan birçok çalışmada Gâteaux diferansiyel yöntemi kullanılarak

fonksiyonel elde edilmiş ve karışık sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır. Gâteaux diferansiyel yöntemi etkin ve güvenilir bir yöntem olup şu avantajlara sahiptir [1].

 Herhangi bir lineer ve nonlinear probleme uygulanabilir.

 Her tipte bünye bağıntısı için bu yaklaşım kullanılabilir.

 Kayma kilitlenmesi gözlenmez.

 Özellikle mühendislikte önemli olan moment değerleri bağımsız değişken olarak alındığı için doğrudan büyük bir doğrulukla elde edilebilir.

 Basit matematiksel işlemlerle, sınır koşulları ve eleman matrisleri sistematik bir şekilde elde edilebilir.

Plak-zemin etkileşim problemlerine mühendislik uygulamalarında sıkça rastlanmaktadır. Zeminin plak üzerindeki etkilerini yansıtabilmek için yaygın olarak Winkler zemin modellemesinden yararlanıldığı bilinmektedir. Winkler zemin modellemesi, Pasternak zemin modellemesindeki kayma etkilerini göz ardı ederken zemin yataklanma katsayısı, k, Winkler modelindeki zemin parametresidir. Literatürde zemin-plak etkileşim problemleri üzerine yapılmış birçok çalışma mevcuttur. Bu çalışmalarda ilgili analizlerin yapılabilmesi için farklı yöntemler kullanılmıştır. [2] elastik zemine oturan plakların analizi için basitleştirilmiş sonlu eleman yöntemini kullanmıştır. [3] Reissner-Mindlin plak teorisini kullanarak iki parametreli elastik zemine oturan dikdörtgen plaklar için 9 düğüm noktalı bir sonlu eleman geliştirmiş ve lineer statik analiz yapmışlardır. [4] üniform yayılı yük etkisindeki dikdörtgen plakların minimum potansiyel enerji prensibine dayalı analitik yaklaşım ile lineer statik hesabını yapmışlardır. [5] Winkler elastik zemine oturan kalın dikdörtgen plakların diferansiyel quadrature elemanlar yöntemi ile lineer statik hesabını incelemiştir. [6] Winkler elastik zemine oturan kalın dikdörtgen plakların karışık sonlu elemanlar yöntemi ile analizini yapmışlardır. Yazarların bilgisi dahilinde, literatürde Winkler zeminine oturan çapraz tabakalı kompozit kalın plakların statik analizi için Gâteaux diferansiyel yönteminin uygulamasına ve fonksiyonelin elde edilmesine henüz rastlanamamıştır. Bu çalışmada, Gâteaux diferansiyel yöntemi kullanılarak elastik zemine oturan çapraz tabakalı kompozit kalın plaklara ait fonksiyonel elde edilmiştir. Elde edilen bu fonksiyonelin çözümü için karışık sonlu elemanlar yöntemi kullanılmış ve elastik zemine oturan çapraz tabakalı kompozit kalın plakların statik davranışı incelenmiştir.

ELASTİK ZEMİNE OTURAN ÇAPRAZ TABAKALI KOMPOZİT KALIN PLAKLARIN ALAN DENKLEMLERİ

Kalın plaklara ait alan denklemlerinin elde edilmesi ile ilgili detaylı bilgi [7-8]’de mevcuttur.

Şekil 1’ de gösterilen eksen takımı ve notasyonla, dikdörtgen kesitli, h kalınlıklı, Winkler elastik zeminine oturan simetrik çapraz tabakalı kalın plağa ait diferansiyel alan denklemleri kapalı formda şu şekilde verilebilir.

2 11 11 2 22 22 11 11 0 0 0 ( ) 0 10 ( ) 0 10 0 6 0 5 6 5 xy x x xy y y y x x x xy y xz x y y yx x yz y y x xy xy x x xz y y yz M M Q x y M M Q x y Q Q q kw x y Q h M M q kw x E D Q h M M q kw y E D Q M y x G D w Q x G h w Q y G h                              _{    }    _{ }     _    _  _{ }   _{  }              0

Katman elastik sabitleri (Qij); malzeme koordinatlarında tanımlanmış elastisite modülü (Ei),

kayma modülü (Gij) ve poission oranı (μij) cinsinden ifade edilmiştir. Burada, q z ekseni

doğrultusundaki dış yükü, k zemin katsayısını, w z ekseni doğrutusundaki yerdeğiştirmeleri gösterirken, Mx, My, Mxy momet vektörlerini, Qx ve Qy kuvvet vektörlerini,  ise dönme

vektörlerini göstermektedir.

Alan denklemlerinde yer alan Dij ise plağın rijitliğini göstermektedir. Plak rijitliği;

 

3 3 1 1 1 .( ) (i, j 1, 2, 6) 3 N ij ij _k k k k D Q z z   



 

şeklindedir. Burada N tabaka sayısını gösterirken, Q_ijdönüştürülmüş katman elastik sabitleri

matrisini, zk-1 ve zk ise plağın z doğrultusundaki kalınlık koordinatlarını vermektedir.

GÂTEAUX DİFERANSİYELİ ve FONKSİYONEL

Elastik zemine oturan simetrik çapraz tabakalı kalın plağa ait bütün alan denklemleri sınır koşulları da dahil olmak üzere operator formda aşağıdaki gibi yazılabilir.

 

Burada, L türev operatörünü, y yer değiştirmeler ve kesit tesirleri cinsinden bilinmeyenlere ait vektörü, f ise yük vektörünü göstermektedir. Burada, Q sürekli bir operatördür. Kompozit plaklar için dinamik sınır koşulları

ˆ ₀ ˆ ₀     M M Q Q ve geometrik sınır koşulları ˆ ˆ       0 w w 0  

şeklinde sembolik olarak verilebilir. Q‘nun potansiyel bir operatör olması için gerekli ve yeterli koşul [9]

* *

< dQ(y;y), y >=< dQ(y;y ), y >

şekildedir. Eşitlikteki <,> ifadesi iç çarpımı göstermektedir. Q operatörün Gâteaux türevi şu şekilde tanımlanmaktadır. τ =0 Q(u + τu) dQ(u; u) = τ  

burada  skaler bir sayıdır. Potansiyellik koşulunun sağlandığı Q operatörünün fonksiyoneli şu şekilde ifade edilir [9].

1 0

ds I(y) 



Q(sy, y), y

Burada s skaler bir büyüklüktür. Bu durumda; Elastik zemine oturan simetrik çapraz tabakalı kalın plağa ait alan denklemlerine karşı gelen fonksiyonelin açık formu şu şekildedir:





 















x y x y x y x x, xy x, xy y, y y, x x y y x , y , 11 x x xy x y y y xy xy xy x 11 2 11 xz x yz y x 11 M ,Ω + M ,Ω + M ,Ω + M ,Ω + Q ,Ω + Q ,Ω + Q ,w + Q ,w Q 1 - q,w w,w - M ,M -2μ M ,M + M ,M +2(1+μ ) M ,M 2 2E D Q h 1 + μ q,M +μ q,M E D 10 2 k               _{             }         _{     }       I(y)













xz x yz x x y y _{σ ε} σ ε xz yz 1 μ w,M μ w,M 2 3 3 _{ˆ ˆ ˆ} ˆ - Q ,Q - Q ,Q - M,Ω - Q,w - (w-w),Q - (Ω-Ω),M 5G h 5G h y k k  _{  }  _{ }                  

Fonksiyonelde  ve ε alt indisli parantezler sırasıyla dinamik ve geometrik sınır koşullarını ifade etmektedir. Köşeli parantezler bölgede iç çarpımı gösterirler. I(y) fonksiyonelinde yer alan son 4 terim sınır koşulları ile ilgili olup açık halleriyle









, ( ), , ( ), ( ), x x y y x x xy y x xy x y y y Q w Q n Q n w M M n M n M n M n   _  _      _   _{ }   _ şeklinde verilir.

KARIŞIK SONLU ELEMAN FORMÜLASYONU

Sonlu elemanlar yönteminin kullanılmasındaki amaç; elemanın herhangi bir noktasındaki yer değiştirmeler ile elemanın düğüm noktaları yer değiştirmeleri arasındaki bağıntıları, şekil fonksiyonlarını kullanarak ifade etmektir. Bu çalışmada, dikdörtgen plak eleman için doğrusal şekil fonksiyonları kullanılmıştır.

Fonkisyonelde yer alan 8 değişkenin şekil fonksiyonları cinsinden tanımlanarak yerine konulması ve elde edilen ifadenin extremum olacak şekilde, bilinmeyenlerin nodal değerlerine göre türevlerinin alınarak sıfıra eşitlenmesi ile elde edilen eleman matrisi ve yük vektörü;

                                                          1 1 2 1 2 7 1 2 1 3 1 3 8 1 4 1 3 2 5 1 1 2 6 1 1 3 2 3 1 3 2 1 7 1 8 1 2 3 1 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 x y xy x y x y T T T T T T M M M Q Q w k k k k k k k k k k k k k k k k K k k k k k k k k k k k k k k k k k                                                                  

 

 

 

7 1 8 1 1 0 0 0 0 0 Yük vektörü k q k q k q                            

şeklindedir. Burada [k1], [k2], [k3] eleman matrisini oluşturan alt matrislerdir. Eleman matrisi

ve yük vektöründeki γ ifadelerinin açık halleri ise şu şekildedir.

11 11 11 11 1 2 3 4 11 11 11 11 2 2 11 22 5 6 7 8 11 22 , , , 2 2 2 3 3 1 1 , , , 5 5 10 10 xy xy x x x yx xy xz yz xz yz x y Q Q Q Q E D E D E D D G Q h Q h G h G h E D E D                             SAYISAL SONUÇLAR

Bu bölümde geliştirilen karışık sonlu eleman formülasyonunun doğrulanması amacıyla FORTRAN programlama dilinde tarafımızdan kodlanmış program kullanılarak çeşitli simetrik tabakalanma, çeşitli plak malzeme ve plak geometri durumları kullanılarak örnek problemler çözülmüştür. Sayısal örneklerde, simetri koşulu kullanılarak dörtte bir plak için çözümler yapılmıştır. Sayısal uygulamalarda ilk üç problem çözümünde temel amaç, geliştirilen karışık sonlu eleman formulasyonunun ve kodlanmış bilgisayar programının doğruluğunun literatürdeki mevcut çözümlerle kıyaslanarak test edilmesidir. Diğer örneklerde ise temel amaç, Winkler zeminine oturan çapraz tabakalı kompozit kalın plaklar için, h en kesit yüksekliği ve a en kesit genişliği olmak üzere; farklı a/h oranlarının, farklı tabaka dizilişlerinin ve farklı malzeme özelliklerinin statik davranış üzerindeki etkilerini incelemektir

Örnek 1:

Bu örnekte dört kenarından basit mesnetlenmiş tek tabakalı izotrop kalın plak düzgün yayılı yük altında incelenmiştir. Plak malzeme özellikleri; E = 2x107

kN/m2 ve μ = 0.3 şeklindedir. Kare plak 10x10 sonlu eleman ağına bölünmüş ve plak orta noktasının çökmesi için denklem (1) ile verilen boyutsuzlaştırma katsayısı kullanılmıştır. Elde edilen boyutsuz çökme değerleri [10] da ki çalışma sonuçları ile birlikte farklı kalınlık/açıklık oranları (h/a) için Çizelge 1’de sunulmuştur. 3 2 4 0 10 Eh w w q a        (1)

Çizelge 1. Farklı kalınlık/açıklık oranları için tek tabakalı izotrop basit mesnetli kalın plağın orta noktasına ait boyutsuz çökme değerleri

h a w Ref.[10] Mevcut Çalışma 0.05 4.50 4.495 0.20 5.20 5.226 0.40 7.40 7.564 Örnek 2:

Bu örnekte Winkler zeminine oturan dört kenarından basit mesnetlenmiş tek tabakalı izotrop kalın plak düzgün yayılı yük altında incelenmiştir. Zemin yataklanma katsayısı, k= 562 kN/m3

olup, plak malzeme özellikleri; E = 2x107 kN/m2 ve μ = 0.167 şeklindedir. Kare plak 6x6 sonlu eleman ağına bölünmüş ve plak orta noktasının çökme değerleri [11] da ki çalışma sonuçları ile birlikte Çizelge 2’de sunulmuştur.

Çizelge 2. Winkler elastik zeminine oturan tek tabakalı izotrop basit mesnetli kalın plağın orta noktasına ait çökme değerleri

h

a

wx10 m4 Ref.[11] _Çalışma Mevcut 0.05 5.4514 5.4

Örnek 3:

Bu örnekte dört kenarından basit mesnetlenmiş tabakalı kalın plak düzgün yayılı yük altında incelenmiştir. Plak malzeme özellikleri; E1 = 25 E2; G12 = G13 = 0.5 E2; G23 = 0.2 E2; E2 =

106 kN/m2 ve μ12 = 0.25 şeklindedir. Tabaka dizilişi 0°/90°/0° şeklinde olan kare plak 5x5

sonlu eleman ağına bölünmüş ve plağın orta noktasının çökmesi için denklem (1) ile verilen boyutsuzlaştırma katsayısı kullanılmıştır. Elde edilen boyutsuz çökme değerleri [12] ve [8] de ki çalışma sonuçları ile birlikte farklı açıklık/kalınlık oranları (a/h) için Çizelge 3’de sunulmuştur.

Çizelge 3. Farklı açıklık/kalınlık oranları için tabakalı (0°/90°/0°) kompozit kalın plağın orta noktasına ait boyutsuz çökme değerleri

a

h

w

Ref.[12] Ref.[8] Mevcut Çalışma 2 7.7062 7.6520 7.650

Örnek 4:

Bu örnekte Winkler zeminine oturan dört kenarından basit mesnetlenmiş tabakalı kalın plak düzgün yayılı yük altında incelenmiştir. Zemin yataklanma katsayısı, k= 5000 kN/m3

olup, plak malzeme özellikleri; E1 = 25 E2; G12 = G13 = 0.5 E2; G23 = 0.2 E2; E2 = 106 kN/m2 ve

μ12 = 0.30 şeklindedir. Tabaka dizilişi 0°/90°/0° şeklinde olan kare plağın orta noktasının

çökmesi için denklem (1) ile verilen boyutsuzlaştırma katsayısı kullanılmıştır. Elde edilen boyutsuz çökme değerleri farklı açıklık/kalınlık oranları (a/h) için Çizelge 4’de ve farklı zemin katsayıları için Çizelge 5’de sunulmuştur.

Çizelge 4. Farklı açıklık/kalınlık oranları için Winkler zeminine oturan çapraz tabakalı (0°/90°/0°) kompozit kalın plağın orta noktasına ait boyutsuz çökme değerleri

a h Eleman Sayısı w Mevcut Çalışma 5 10 x 10 1.772 10 0.5818 20 0.06943

Çizelge 5. Farklı zemin parametre değerleri için çapraz tabakalı (0°/90°/0°) kompozit kalın plağın orta noktasına ait boyutsuz çökme değerleri

k (kN/m3) Eleman _Sayısı a h w Mevcut Çalışma 500 10 x 10 10 0.9293 5000 0.5818 50000 0.1073 Örnek 5:

Bu örnekte Winkler zeminine oturan dört kenarından basit mesnetlenmiş tabakalı kalın plak düzgün yayılı yük altında incelenmiştir. Zemin yataklanma katsayısı, k= 500 kN/m3

olup, plak malzeme özellikleri; E1 = 25 E2; G12 = G13 = 0.5 E2; G23 = 0.2 E2; E2 = 106 kN/m2 ve

μ12 = 0.30 şeklindedir. Açıklık/kalınlık oranı; a/h=10 olan kare plak 10x10 sonlu eleman ağına

bölünmüş ve sonuçlar farklı tabakalanma durumları için Çizelge 6’da sunulmuştur.

Çizelge 6. Farklı tabakalanma durumları için çapraz tabakalı kompozit kalın plağın orta noktasına ait boyutsuz çökme değerleri

Tabakalanma tipi w Mevcut Çalışma 90°/ 0°/ 0°/ 90° 0.3907 0°/ 0°/ 0°/ 0° 0.5547 0°/ 90°/ 90°/ 0° 0.5749

SONUÇLAR

Bu çalışmada elastik zemine oturan simetrik çapraz tabakalı kompozit kalın plakların statik analizi için Gâteaux diferansiyel yöntemi ile fonksiyonel elde edilmiştir. Bu fonksiyonelde 8 bağımsız değişkene ek olarak, elastik zemin katsayısı bulunmaktadır. Dört düğüm noktalı toplam otuz iki serbestlik dereceli kalın plak için eleman matrisi elde edilmiş ve karışık sonlu eleman formulasyonu kullanılarak elastik zemine oturan simetrik çapraz tabakalı kompozit kalın plakların statik davranışı incelenmiştir. Karışık sonlu eleman formulasyonu kullanılarak elde edilen sayısal çözümler, literatürdeki mevcut izotrop ve ortotrop plak sonuçları ile karşılaştırılarak doğrulanmıştır. Analizlerde kalın plak-zemin etkileşim problemleri, simetrik çapraz tabakalı kompozit kalın plaklarda farklı tabaka sayıları ve tabaka açıları kullanılarak, farklı a/h oranları ve farklı malzeme özellikleri için incelenmiştir.

KAYNAKLAR

[1] A.Y. Aköz, Y. Özçelikörs, A new functional for plates and a new finite element formulation: Ninth National Applied Mechanics Meeting (in Turkish), Bayramoğlu-Kocaeli, 1985: s. 113-23.

[2] M. S. Cheung, A simplified finite element solution for the plates on elastic foundation. Computers & Structures. 8 (1978) 139-145.

[3] R. Buczkowski, W. Torbacki, Finite element modelling of thick plates on two-parameter elastic foundation, Int. J. For Num. and Anal. Meth. Geomech. 25 (2001) 1409-1427. [4] A.R. Kukreti, K. Man-Gi, Analysis of rectangular plate resting on an elastic half space

using an energy approach, Appl. Math. Modelling. 16 (1992) 338-356.

[5] F-L. Liu, Rectangular thick plates on winklerfoundation: Differential Quadrature element solution, Int. J. Solids and Struc. 37 (2000) 1743-1763.

[6] N. Eratlı, A.Y. Aköz, The mixed finite element formulation for the thick plates on elastic foundation, Computers & Structures, 65(4) (1997) 515-529.

[7] V. Panc, Theories of elastic plates, Noordhoff International, Holland, 1975.

[8] N. Ateş, Static Analysis of Cross-Ply Laminated Composite Thick Plates, Master Tezi, Istanbul Technical University, 2011.

[9] J.D. Oden, J.N. Reddy, Variational Methods in Theoretical Mechanics, Springer, Berlin, 1976.

[10] A.Y. Aköz, N. Eratlı, The new functional for Reissner plates and its application, Comput. Struct. 44(5) (1992) 1139-1144.

[11] S. Timoshenko, S.W. Krieger, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, New York, 1959.

[12] J.N. Reddy, A Simple Higher-Order Theory for Laminated Composite Plates, Journal of Applied Mechanics. 51 (1984) 745-752.