Basit Mesnetli Dikdörtgen Viskoelstik-lif Kompozit Plağın Stabilite Kaybının Gelişmiş Plak Teorisi Çerçevesinde İncelenmesi

XV. Ulusal Mekanik Kongresi,03-07 Eylül 2007,ISPARTA

BASİT MESNETLİ DİKDÖRTGEN VİSKOELASTİK-LİF KOMPOZİT PLAĞIN STABİLİTE KAYBININ GELİŞMİŞ PLAK TEORİSİ ÇERÇEVESİNDE

İNCELENMESİ

Zafer KÜTÜĞ* Ayfer TEKİN *

Y. Doç. Dr., Yıldız Teknik Üniv. İnşaat Fak. İnşaat Müh. Böl. Mekanik ABD. 34349 Beşiktaş – İST. Ar.Gör.Y.Müh., Yıldız Teknik Üniv. İnşaat Fak. İnşaat Müh. Böl. Mekanik ABD. 34349 Beşiktaş – İST.

ÖZET

Bu çalışmada, [1]’de viskoelastik ve tabakalı kompozit levha için Üç Boyutlu Lineerize Edilmiş Stabilite Teorisi (ÜBLEST) çerçevesinde yapılmış olan incelemenin viskoelastik ve lif malzemeli kompozit levha probleminin ilk aşaması olan Üçüncü Mertebeden Gelişmiş Kromm Plak Teorisi (GPT) ile Stabilite Kaybının incelenmesi yapılmıştır.

Tüm işlemler, mekanik özellikleri normalize edilmiş homojen anizotropik lineer viskoelastik kompozit malzemeden yapılmış levhalar üzerinde modellenmiştir. [2]-[4]’de viskoelastik kompozit malzemeden yapılmış yapı elemanlarının stabilite kaybının Üç Boyutlu Lineerize Edilmiş Stabilite Teorisi (ÜBLEST) çerçevesinde incelenebilmesi için bir yaklaşım geliştirilmiştir. Bu yaklaşım [2] ve [3]’de, sırasıyla, basit ve ankastre mesnetli Şerit-Levhalara, [4]’de ise karşılıklı kenarları basit ve ankastre mesnetli dikdörtgen levhalara uygulanmıştır. [2]’de esas çözüm prosedürü analitik olarak, [3] ve [4] ise sayısal sonlu elemanlar yöntemi uygulanarak yapılmıştır.

Bu çalışmada [1]’de yapılan araştırmanın ilk aşaması Üçüncü Mertebeden Gelişmiş Kromm Plak Teorisi (GPT) ve Kirchhoff-Love Plak Teorisi (KLT) çerçevesinde lifli viskoelastik kompozit malzemeler için yapılmış olup, (GPT) ile elde edilen sayısal sonuçlar (KLT) çerçevesinde elde edilenlerle karşılaştırılmıştır.

ABSTRACT

In this study, the first stage of the previous [1] investigation has been done for fibrous viscoelastic materials. All procedures are made on the plate from the composite material that is modelled as homogeneous anisotropic linear viscoelastic material with normalised mechanical properties. As a stability loss criterion the values of time (critical time) for which the size of the initial imperfection starts to increase and grows indefinitely, is selected. From the analyses of these results it is concluded that they can be significantly different from those obtained in the framework of the Kirchhoff-Love plate theory.

1.PROBLEMİN FORMÜLSYONU

Viskoelastik kompozit malzemeden hazırlanmış plağın, ideal durumda (yükleme yapılmadan önce), orta yüzeyinin x₂ =F(x₁,x₃)=ε⋅f(x₁,x₃) ifadesi ile belirlenen bir sapması olduğunu varsayalım. Burada,

i

l A

ε = (i=1,3) (0≤ε <<1) küçük bir parametre olup, başlangıç sapmasının mertebesini gösterir, ε =0 olması durumu ön form verilmemiş levha haline karşı gelir. )f(x₁,x₃ fonksiyonu ise bu başlangıç sapmasının biçimini karakterize eder (Şekil1).

h h x x p S 3 p3 3 2 0 S S + _ M₀ M3 l3 0 A

Şekil 1. Levhada ilk kusur bölgesi

Plak, 0≤ x₁ ≤l₁ , 0≤x₃ ≤l₃ ve aralarındaki uzaklık 2h olan S ve + S yüzeyleri ile − x₁ =0 l, ₁ ile x₃ =0 l, ₃ de, sırasıyla, N₀, N₁ ve M₀, M₃ kenarları ile sınırlanmış bir Ω bölgesini kapsamaktadır. Ayrıca, plak x₁ =0 l, ₁ ile x₃ =0 l, ₃ sınırlarında, kenarları boyunca basit mesnetlere oturmakta olup, x₁ =0 l, ₁, x₃ =0 l, ₃ kenarlarından, sırasıyla, şiddeti p₁ ve p ₃

olan düzgün yayılı normal basınç yükü etkisi altındadır (Şekil2).

x2 S0 S+ S -p 3 x1 x3 O p 3 p 1 p 1 N₁ M₃ M₀ N₀

Bu sınır şartlarına göre f(x₁,x₃) fonksiyonu, 0 ) , ( 1 1 0, 3 1 x x= l = x f , ( , ) 0 1 1 0, 2 1 3 1 2 = ∂ ∂ = l x x x x f , ( , ) 0 3 3 0, 3 1 x x= l = x f , ( , ) 0 3 3 0, 2 3 3 1 2 = ∂ ∂ = l x x x x f 1 2 2 3 2 2 2 1 2 << ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⋅ x f x f ε (tüm x₁∈

( )

0 l, ₁ , x₃∈

( )

0 l, ₃ için) (1) şartlarını sağlamalıdır. Ω bölgesinde,

, 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ n i n i jn j x u x σ δ = +

∫

− t rs ijrs rs ijrs ij C t C t d 0 0 0ε ( ) ( τ)ε (τ) τ σ 3 , 2 , 1 , , 2 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ _{∂ ∂} + ∂ + ∂ = i j n x u x u x u x u j n i n i j j i ij ε (2) denklemleri sağlanmaktadır.

Ayrıca plağın alt _{S ve üst} − _{S yüzeylerinde,} + , 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ± ± j S n i n i jn n x u δ σ (3)

sağlanmaktadır, burada n±_j , S plak yüzeylerinin ortonormal bileşenleridir. ±

1 0, N N ve M₀, M₃ sınır kesitlerinde ise, , 0 ) , , ( 1 0; 3 2 1 2 x x x N N = u 0 1 0;1 0;1 1 ; n i jn i j i n _{N N} u n n p x σ δ ⎡ ⎛ ₊∂ ⎞⎤ _{= −} ⎢ ⎜ _∂ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ , , 0 ) , , ( 3 0; 3 2 1 2 x x x M M = u 0 3 0;3 0;3 3 ; n i jn i j i n _{M M} u n n p x σ δ ⎡ ⎛ ₊∂ ⎞⎤ _{= −} ⎢ ⎜ _∂ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (4)

şartları sağlanmalıdır. Burada 0( 1)

j j n n ile 0( 3) j j n n , sırasıyla, )N₀(N₁ ve M₀(M₃) sınır kesitlerinin ortonormal bileşenleridir.

2.ÇÖZÜM YÖNTEMİ

Plak kalınlığının sabit kalması şartı ile x₂ =F(x₁,x₃)=ε⋅ f(x₁,x₃) ifadesini ve (1) denklemlerini kullanarak, S yüzeylerinin ve bu yüzeylere ait ± n±_j ortonormallerinin ifadeleri,

i i i s s s f s s V h s x ∂ ∂ = ± ( , ) ) , ( 3 1 3 1 ε m i=1,3, ) , ( ) , ( 3 1 3 1 2 s s V h s s f x± =_ε ± _, ) , ( ) , ( 3 1 3 1 s s A s s A n j j ± ± ± _{= (5)}

olarak elde edilir. Burada, s (_i s_i∈

[ ]

0,l_i ) (i=1,3) biçiminde parametreler; ±

i

x (i=1,2,3), _S ±

yüzeylerinin koordinatlarıdır. Burada, 2 / 1 2 3 2 1 3 1, ) 1 ( ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = s f s f s s V ε ε , 3 1 3 1, ) ( s x s x s s A j k ijk i _∂ ∂ ∂ ∂ − = ± ± ± _{ε ,}

[

]

1/2 3 1 3 1, ) ( , ) (s s A s s A± = _i± i=1,2,3 (6)

Aynı şekilde )N₀(N₁ sınır kesitleri için; 0 1 3 1 3 1 2 10 1 ) , ( ) , ( ∂ ₌ ∂ − = s s s s f s s V s x ε , 1 1 1 3 1 3 1 2 1 11 ) , ( ) , ( s _{s l} s s f s s V s l x = ∂ ∂ − = ε 0 3 1 2 0 3 1 20 1 1 ( , ) ) , ( = = + ∂ = s s _{V s s} s s s f x ε , 1 1 1 1 ( , ) ) , ( 3 1 2 3 1 21 l s l s _{V s s} s s s f x = = + ∂ =ε 0 3 3 1 3 1 2 3 30 1 ) , ( ) , ( ∂ ₌ ∂ − = s s s s f s s V s s x ε , 1 1 3 3 1 3 1 2 3 31 ) , ( ) , ( s _{s l} s s f s s V s s x = ∂ ∂ − = ε (7a)

burada x ve _i0 x _i1 N₀(N₁) kesitlerinin koordinatlarıdır. )M₀(M₃ sınır kesitleri için;

0 1 3 1 3 1 2 1 10 3 ) , ( ) , ( ∂ ₌ ∂ − = s s s s f s s V s s x ε , 3 3 1 3 1 3 1 2 1 13 ) , ( ) , ( s _{s l} s s f s s V s s x = ∂ ∂ − = ε 0 3 1 2 0 3 1 20 3 3 ( , ) ) , ( = = + ∂ = s s _{V s s} s s s f x ε , 3 3 3 3 ( , ) ) , ( 3 1 2 3 1 23 l s l s _{V s s} s s s f x = = + ∂ =ε 0 3 3 1 3 1 2 30 3 ) , ( ) , ( ∂ ₌ ∂ − = s s s s f s s V s x ε , 3 3 3 3 1 3 1 2 3 33 ) , ( ) , ( s _{s l} s s f s s V s l x = ∂ ∂ − = ε (7b)

ifadeleri elde edilir. Burada x ve _i0 x _i3 M₀(M₃) kesitlerinin koordinatlarıdır. Ayrıca s₂,

h s

h≤ ≤+

− ₂ biçiminde bir parametredir. Bu hazırlık işlemlerinden sonra plağın gerilme-şekil değiştirme durumu ε parametresine göre

{

}

_∑

∞

{

}

= = 0 ; ; ; ; q q i q ij q ij q i ij ij ε u ε σ ε u σ (8)

biçiminde bir seri formunda ifade edilir. (3) yüzey koşulları ile (4) kesit koşulları sağlatılarak (8) ifadesinin ε parametresine göre açılımından q.uncu yaklaşım aşağıda gösterildiği üzere, önceki yaklaşımlardaki terimleri içerecektir.

L + σ ε + σ ε + σ = σ (0) 2 (2) ij (1) ij ij ij L + ε ε + ε ε + ε = ε (0) 2 (2) ij (1) ij ij ij L + ε + ε + = (0) 2 (2) i (1) i i i u u u u

(8) ifadesi (2) denklemlerine konur ve ε parametresinin aynı kuvvetleri karşılaştırılırsa karşı gelen kapalı denklem takımı elde edilir. Göz önüne alınan malzemenin mekanik özelliklerinin lineer olmasına bağlı olarak (8) yaklaşımlarının her biri ayrı ayrı sağlanır. [2] ve [4]’de ispat edildiği gibi stabilite kaybını belirleyen kritik parametrelerin elde edilmesi için açılan serinin sıfırıncı ve birinci yaklaşımı yeterlidir. Buna göre, sıfırıncı yaklaşımdan (2)-(4) için,

, 0 ) 0 ( ) 0 ( ₌ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ n i n i jn j x u x σ δ = +

∫

− t rs ijrs rs ijrs ij C t C t d 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( _{ε ( ) ( τ)ε (τ) τ} σ 3 , 2 , 1 , , 2 1 (0) (0) (0) (0) ) 0 ( ₌ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ _{∂ ∂} + ∂ + ∂ = i j n x u x u x u x u j n i n i j j i ij ε (9)

0 2 ) 0 ( ) 0 ( 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ± = h x n i n i n x u δ σ (10) 0 = = 0 1 2 3 0 2 3 2 0 2 ( ,x ,x ) u (l ,x ,x ) u( ) ( ) , ₁, ; 0 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( 1 1 1 p x u l x n n n ⎥ =− ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = δ σ 0 = = 0 1 2 3 0 2 2 1 0 2 (x ,x , ) u (x ,x l, ) u( ) ( ) , ₃, ; 0 ) 0 ( 3 3 ) 0 ( 3 3 3 p x u l x n n n =− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = δ σ (11)

elde edilir. Birinci yaklaşım için aşağıdaki lineerize edilmiş denklemler, sınır ve kenar koşulları elde edilir:

(1) ₀ ij j x σ ∂ ₌ ∂ , (0) (1) (1) n i (1) (0) i ij i jn jn n n u u x x σ =⎛_⎜δ +∂ ⎞_⎟σ +σ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ , 3 , 2 , 1 , , 2 1 2 1 (0) (1) (0) (1) ) 1 ( ₌ ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = i j n x u x u x u x u i n j n n j j n i n n i ij δ δ ε

∫

− + = _{ijrs rs} t _{ijrs rs} ij C t C t d 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( _{ε ( ) ( τ)ε (τ) τ} σ (12) 1 3 1 3 1 3 (0) (0) (1) 1 3 (0) 1 3 (0) 2 _{( , , )} 1 3 1 _{( , , )} 3 _{( , , )} ( , ) n i ( , ) n i i _{x h x} i n i n n _{x h x} n _{x h x} f x x u f x x u x x x x σ δ σ δ σ ± ± ± ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = _⎜ + _⎟ + _⎜ + _⎟ ∂ _⎝ ∂ _⎠ ∂ _⎝ ∂ _⎠ (13) 1 1 (1) 11 _{x 0,l} 0 σ ₌ = , 0 1 1 0, ) 1 ( 2 _{x= l} = u , 3 3 (1) 33 _{x 0,l} 0 σ ₌ = , 0 3 3 0, ) 1 ( 2 _{x= l} = u (14)

(9)-(12) denklemleri Ω =

{

0< <x₁ l₁; − <h x₂ < +h; 0<x₃<l₃

}

bölgesinde sağlanırlar ve böylelikle yaklaşımlardan ikincisi de elde edilmiş olunur. Şu haliyle denge denklemleri ve geometrik bağıntılar inhomojendirler.

Böylece, statik dış basınç kuvvetleri altındaki plağın küçük başlangıç sapmasının zamana bağlı büyümesinin araştırılması, (9)-(11) ile (12)-(14) gibi sınır değer problemlerinin seri çözümlerine indirgenmiş olmaktadır. Bu denklemler yardımıyla plakta belirlenecek gerilme-şekil değiştirme halinden sonra stabilite kaybı kriterini belirlemek gerekir. Stabilite kaybı kriteri olarak dış basınç yüklerinin etkisi altında, plaktaki ön başlangıç sapmasının zamanla sonsuza gitmesi olarak göz önüne alınacaktır, bu kriterden kritik zaman saptanacaktır.

3.SIFIRINCI VE BİRİNCİ YAKLAŞIMLARIN VİSKOZ OLMAYAN KOMPOZİT İLE KARŞILAŞTIRMASI

Rijit kompozitlerin, bilinen, mekanik özelliklerinde yapılan kabullerin ışığı altında, sıfırıncı yaklaşımın (9)-(11) denklemlerindeki nonlineer terimler yüksek hassasiyetle ihmal edilebilirler. Sonuç olarak, sıfırıncı yaklaşım değerleri lineer viskoelastisite teorisi

çerçevesinde belirlenebilir. Dahası, _∂ (0) _{∂ <<}1

j

i x

u olması dikkate alınarak, (12)-(14) ifadelerindeki

(

n _{i n}

)

i +∂u(0) ∂x

δ terimleri

( )

n i

δ ile yerdeğiştirebilir.

Bu durumda birinci yaklaşım için aşağıdaki denklemler, sınır ve kenar koşulları elde edilir:

0 ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ₌ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ n i jn ij j x u x σ σ , 2 , 1,2,3 1 (1) (1) ) 1 ( ₌ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = i j x u x u i j j i ij ε (15) ) ( ) 0 ( 3 3 ) ( ) 0 ( 1 1 ) ( ) 1 ( 2 2 2 2 h x i h x i h x i _x f x f ± = ± = ± = ∂ ∂ + ∂ ∂ = σ σ σ i=1,2,3 (16) 0 1 1 0, ) 1 ( 2 _{x= l} = u , 0 1 1 0, 1 ) 1 ( 1 ) 0 ( 11 ) 1 ( 11 ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = l x x u σ σ , 0 3 3 0, ) 1 ( 2 _{x= l} = u , 0 3 3 0, 3 ) 1 ( 3 ) 0 ( 33 ) 1 ( 33 ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = l x x u σ σ (17)

Bu durumda plağın bünye denklemleri: ) ( ) ( q jj ij q ii Aε σ = i,j=1,2,3; ( ) 12 66 ) ( 12 2 q q _{A ε} σ = , ( ) 13 44 ) ( 13 2 q q _{A ε} σ = , ( ) 23 55 ) ( 23 2 q q _{A ε} σ = (18)

∫

− + = _ij t _ij ij A A t d A 0 1 0 ( τ) τ, ij=11,22,33,12,13,23,44,55,66 (19)

4.YAKLAŞIK TEORİLER ÇERÇEVESİNDE VİSKOELASTİK PLAKLARIN STABİLİTE KAYBI DENKLEMLERİ VE ÇÖZÜMÜ

Şimdi, hem (KLT) ni hem de (GPT) ni [5,6] (15)-(17) stabilite denklemlerinde göz önüne alalım. Plak orta yüzeyinin yer değiştirmeleri,

) , 0 , ( ) , ( (1) _{1 3} 1 3 1 x u x x x u = , )( , ) (1)( ₁,0, ₃ 2 3 1 x u x x x w = , )( , ) (1)( ₁,0, ₃ 3 3 1 x u x x x v = (20)

notasyonlarıyla gösterilsin. u(x₁,x₃)<<w(x₁,x₃) ve v(x₁,x₃)<<w(x₁,x₃) eşitsizliklerinden dolayı u(x₁,x₃), )v(x₁,x₃ aşağıdaki ifadelerde ihmal edilmiştir.

Kirchhoff-Love Plak Teorisine göre:

i i x x x w x x x x u ∂ ∂ − = ( , ) ) , , ( 1 3 2 3 2 1 ) 1 ( _{(i=1,3) u}( )_{(x ,x ,x ) w(x ,x )} 3 1 3 2 1 1 2 = (21)

Gelişmiş Plak Teorisine göre:

3 (1) 1 3 2 2 1 2 3 2 2 1 3 ( , ) 1 ( , , ) ( , ) 4 3 i i i w x x x u x x x x h x x x x ϕ ⎛ ⎞ ∂ = − + _⎜ − _⎟ ∂ _{⎝ ⎠} (i=1,3) ) x , x ( w ) x , x , x ( u(₂1) _{1 2 3} = _{1 3} (22)

Burada ϕ₁ ve ϕ₃, sırasıyla, Ox₁ ve Ox eksenlerine dik doğrultudaki plak kesitlerindeki ₃

kayma şekil değiştirmelerinin ortalama değerlerini göstermektedir.

(21) ifadelerini kullanarak, (15)-(17) ifadelerini ve bunların x₂ ile çarpımlarının (-h)-(+h) aralığında x₂’ye göre integre edilmesinden (KLT) çerçevesinde aşağıdaki stabilite kaybı denklemleri ve sınır koşulları elde edilir:

(

)

4

(

)

4

(

)

4 (0) (0) (0) (0) 11 11 4 13 55 11 33 2 2 33 33 4 1 1 3 3 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) 11 33 11 33 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 2 4 3 3 3 3 w w w A A A A x x x x w w f f h x h x h x h x σ σ σ σ σ σ σ σ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = + ∂ ∂ ∂ ∂ (23) 0 ) , ( ) , 0 ( x₃ =wl₁ x₃ = w , (0, ) ( ₂, ) 0 1 3 1 2 2 1 3 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ x x l w x x w , 0 ) , ( ) 0 , (x₁ =w x₁ l₃ = w , ( ,0) ( ₂, ) 0 3 3 1 2 2 3 1 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ x l x w x x w (24)

(22) ifadelerini kullanarak, (15)-(17) ifadelerine aynı işlemleri uygulayarak GPT [5,6] çerçevesinde aşağıdaki stabilite kaybı denklemleri ve sınır koşulları elde edilir:

2 2 2 (0) (0) 3 1 66 44 11 2 33 2 1 3 1 3 2 3 h w w A A x x x x ϕ ϕ _{σ σ} ⎛ ∂ ₊ ∂ ⎞_{= −} ⎛ ∂ ₊ ∂ ⎞ ⎜ _{∂ ∂} ⎟ ⎜ _{∂ ∂} ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (25)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3 (0) (0) 11 11 3 13 55 33 2 1 1 3 2 2 2 2 2 (0) 1 (0) 1 3 66 (0) 11 11 2 55 33 2 13 55 1 2 11 1 3 1 3 1 2 2 3 2 2 2 15 15 3 w w A A A x x x A h h f A A A A x x x x h x σ σ ϕ ϕ ϕ σ σ ϕ σ ⎡ ∂ ∂ ⎤ + + + + + ⎢ _{∂ ∂ ∂} ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ∂ − _⎢ + + + _⎥− + − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3 3 2 (0) (0) 1 55 13 11 2 33 33 3 13 55 1 3 3 1 3 2 2 2 (0) 3 (0) 3 44 (0) 55 11 2 33 33 2 3 2 33 1 3 3 2 2 2 3 15 2 2 15 3 w w h A A A A A x x x x x A h f A A x x h x ϕ σ σ ϕ ϕ σ σ ϕ σ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ + + + + − + + ⎢ _{∂ ∂ ∂} ⎥ _{∂ ∂} ⎣ ⎦ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ − _⎢ + + + _⎥− = − ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ (26) 0 ) , ( ) , 0 ( x₃ =wl₁ x₃ = w , (0, ) ( ₂, ) 0 1 3 1 2 2 1 3 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ x x l w x x w , (0, ) ( , ) 0 1 3 1 1 1 3 1 ₌ ∂ ∂ = ∂ ∂ x x l x x ϕ ϕ , 0 ) , ( ) 0 , (x₁ =w x₁ l₃ = w , ( ,0) ( ₂, ) 0 3 3 1 2 2 3 1 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ x l x w x x w , ( ,0) ( , ) 0 3 3 1 3 3 1 3 ₌ ∂ ∂ = ∂ ∂ x l x x x ϕ ϕ (27)

Böylelikle, (19), (21), (23) ve (24) denklemleri ile KLT; (19), (22), (25)-(27) denklemleri ile GPT çerçevesinde plağın stabilite kaybı kriteri belirlenir.

Öncelikle (15)-(17) denklemlerine giren sıfırıncı yaklaşım değerlerinin belirlenmesini göz önüne alalım. Birçok araştırmada göstermiştir ki yüksek hassasiyetli olarak;

1 1 ) 0 ( 1 i i pδ σ =− , 3 3 ) 0 ( 3 i i p δ σ =− (28)

biçiminde göz önüne alınabilir. Bu durumda σ_ij(0) =σ_ij(0)(x₁,x₃ t,) (i,j=1,3) gerilmeleri,

∫

∞ − = 0 ) ( ) (s _ϕ t e stdt ϕ (29)

Laplace transformunun çözümüne karşı gelen lineer quazi-statik sınır-değer probleminden saptanır. Diğer bir deyişle, sıfırıncı yaklaşımın determinantı için karşıtlık prensibinden yararlanılmaktadır.

Birinci yaklaşım değerlerinin belirlenmesinde l₃ =∞ bir plak-şerit, l₁ = biçiminde bir kare l₃

plak için araştırmalar yapılmış ve plağın başlangıç sapması,

3 3

1 1

1 3 1 1

1 3 1 3 1

( , ) sin x sin x sin x sin x , , L

f x x L l L l l l l l l π π π π ε = _⎜⎛ _⎟⎞ _⎜⎛ ⎞_⎟=ε _⎜⎛ _⎟⎞ _⎜⎛ _⎟⎞ << ε = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (30)

biçiminde göz önüne alınmıştır. (30) fonksiyonu (1) ifadesindeki tüm şartları gerçekler. (23)-(27) problemlerinin çözümünü göz önüne alırsak ve kolaylık için (0) ₃ 0

33 = p− = σ

varsayılır ve bu denklemlere (29) Laplace dönüşümü uygulanırsa (23)-(24) problemleri için, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 3 1 1 0 3 1, , ) ( )sin sin ( l x l x s w s x x w π π (31) (25)-(27) problemleri için, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 3 1 1 0 3 1, , ) ( )sin sin ( l x l x s w s x x w π π _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 3 1 1 10 3 1 1( , , ) ( )sin sin l x l x s s x x ϕ π ϕ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 3 1 1 30 3 1 3( , , ) ( )sin cos l x l x s s x x ϕ π ϕ (32) yazılabilir.

(31) ifadesi (23)-(24) ifadelerinde, (32) ifadeleri de (25)-(27) ifadelerinde yerine konularak )

( 0 s

w değerlerini saptamak için gerekli ifadeler elde edilmiş olunur. Ters Laplace dönüşümü için Schapery [7] yöntemi kullanılarak bunların zamana bağlı değerleri elde edilir. Bu durumda, KLT ve GPT için w₀ →∞ kriterinden kritik zaman t belirlenir. _kr

Buraya kadar anlatılan sıfırıncı ve birinci yaklaşımlar kritik zamanın belirlenmesi için yeterli olup, ikinci ve daha yüksek mertebeden yaklaşımların göz önüne alınması sadece levhadaki gerilme dağılımlarının daha hassas elde edilmesine yarayacaktır.

5.SAYISAL SONUÇLAR

Plak malzemesinin, birbirini devam eden ve Ox₁x₃ düzleminde içinde her iki doğrultuda lifli olan homojen malzemeden meydana geldiğini göz önüne alalım. Güçlendirici malzeme elastik bir malzeme olup, elastisite modülü _{E , Poisson oranı} (2) _ν(2) _{dir. Dolgu malzemesi ise,}

[

1 *( ₀ )

]

0 ) 1 ( 0 )* 1 ( ∞ − − − =E ω R_α ω ω E , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + = 1 1 2 *( _{0 ∞}) 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 )* 1 (

_ω

_ω

_ω

ν

ν

ν

ν

Rα (33)

operatörleri ile belirlenen viskoelastik bir malzemedir. Burada (1) 0

E , (1)

0

ν sırasıyla, Elastisite Modülü ve Poisson Oranının anlık değerleri; ,α viskoz malzemenin başlangıçtaki reolojik düzensizliğini gösteren parametre; ω ω₀, _∞ dolgu malzemesinin zamana bağlı reolojik parametreleri, *

α

∫

− = t R t d R 0 * _{(β, τ) τ} α α , (34) 0 1 , )) 1 )( 1 (( ) , ( 0 ) 1 ( ≤ < + + Γ =

∑

∞ = + α α β β α α α n n n n t t t R (35)

Biçiminde verilir. Burada Γ(x) Gamma fonksiyonudur.

Boyutsuz reolojik parametre ω =ω_∞ /ω₀ ve boyutsuz zaman 1/(1 ) 0

t_{′ =}tω +α _ifadelerde yerleştirilmiş, sayısal hesaplamalarda (2) 0.3

0 ) 1 (

0 =ν =

ν , dolgu ve güçlendirici malzeme hacim oranları _η(1) _=η(2) ₌0.5 _{ve / 0;1.0}

3 1 = =l l

γ durumları göz önüne alınmıştır.

Malzeme, izotropi ekseni Ox2 ekseni boyunca olan, normalize edilmiş mekanik özellikli transversal izotrop malzeme gibi göz önüne alınır.

Bu çalışmada elde edilen sonuçlar kısaca özetlenirse,

• Her iki teoride de 2h/l levha kalınlık-uzunluk oranı arttıkça, P ve _kr,0 P_kr,∞ değerleri önemli ölçüde artmaktadır. Ancak sabit bir E değeri için, ele alınan yapı elemanının kalınlığı azaldıkça her iki teoriden elde edilen sonuçlar birbirine yaklaşmakta, kalınlık arttıkça iki teoriden elde edilen sonuçlar arasındaki fark büyümektedir.

• E elastisite modülü oranı büyüdükçe, hesaplanan P_kr,0 ve P_kr,∞ değerleri artmaktadır.

E elastisite modülü oranları büyüdükçe, iki teoriden bulunan P_kr değerlerindeki farklılaşma belirgin olarak artmaktadır.

• Aynı yüklemeye ve geometrik özeliklere sahip levhalar için, α değeri aynı olmak üzere, artan ω değerleri için sunulan tablolardan görülmektedir ki, her iki teoride de

,

kr

P _∞ değerleri artmakta ve P_kr,0 değerlerinde ise bir değişiklik olmamaktadır. Bu durum, viskoelastik malzemede ω’nın zamana bağlı reolojik bir parametre olması nedeniyle, beklenen bir durumdur. Ancak çalışmadan elde edilen ilginç sonuç,

,

kr

P _∞’daki artışların, GPT’de, KLT’ne göre daha belirgin olduğudur.

• ω değeri aynı olmak üzere, farklı α değerleri için yapılan çalışmadan görülmektedir

ki, her iki teoride de P ve _kr,0 P_kr,∞ değerlerinde belirgin bir değişiklik olmamaktadır.

• Bu araştırmada t_kr değerleri ile ilgili bir sonuç elde edilemedi. Bunun nedeni, yapılan bu hesaplamalar sonunda, her iki plak teorisi için referans olarak alınabilecek ortak bir

kr

Tüm bu sonuçlardan görüldüğü üzere, stabilitesi incelenen malzeme şayet viskoelastik malzeme ise, KLT yetersiz kalmaktadır. Çünkü KLT, Birinci Mertebeden bir plak teorisi olup, kayma şekil değiştirmelerini ihmal etmektedir. Oysaki, kompozit malzemelerden oluşan plak-levhalarda kayma şekil değiştirmesi ihmal edilemez. Bu amaçla, aynı problem, hem KLT, hem de kayma şekil değiştirmelerini göz önüne alan Üçüncü Mertebeden Gelişmiş Kromm Plak Teorisi kullanılarak çözülmüş ve elde edilen sonuçların kıyaslanmasıyla, GPT’nin gerçeğe daha yakın sonuçlar verdiği görülmüştür.

Tablo 1. Tek eksenli yüklemeye maruz şerit levhada; ω=2, α= -0,3 için, P_cr,0 ve P_cr,∞

2h/l 0.075 0.10 Pkr,0 Pkr,∞ Pkr,0 Pkr,∞ E Pl.Teo. KLT 0,0659 0,0645 0,1156 0,1130 5 GPT 0,0599 0,0566 0,0983 0,0912 KLT 0,1129 0,1113 0,1979 0,1952 10 GPT 0,0985 0,0920 0,1580 0,1430 KLT 0,2047 0,2031 0,3589 0,3560 20 GPT 0,1654 0,1497 0,2540 0,2197

Tablo 2. Tek eksenli yüklemeye maruz kare levhada; ω=2, α= -0,3 için, P_cr,0 ve P_cr,∞

2

h/l 0.075 0.10 Pkr,0 Pkr,∞ Pkr,0 Pkr,∞ E Pl.Teo. KLT 0,1871 0,1676 0,3237 0,2899 5 GPT 0,1636 0,1419 0,2603 0,2217 KLT 0,2460 0,2230 0,4256 0,3858 10 GPT 0,2109 0,1818 0,3317 0,2785 KLT 0,3438 0,3186 0,5948 0,5512 20 GPT 0,2787 0,2378 0,4257 0,3496

Tablo 3. İki eksenli yüklemeye maruz kare levhada; ω=2, α= -0,3 için, P_cr,0 ve P_cr,∞

2h/l 0.075 0.10 Pkr,0 Pkr,∞ Pkr,0 Pkr,∞ E Pl.Teo. KLT 0,0935 0,0838 0,1618 0,1449 5 GPT 0,0818 0,0709 0,1301 0,1108 KLT 0,1230 0,1115 0,2128 0,1929 10 GPT 0,1054 0,0909 0,1658 0,1392 KLT 0,1719 0,1593 0,2974 0,2756 20

Tablo 4. İki eksenli yüklemeye maruz kare levhada; α=-0.3 iken, ω =1, ω =2 ve ω =3 için, ∞ , cr P değerleri α= -0.3 ω=1 ω=2 ω=3 2h/l 0.075 0.10 0.075 0.10 0.075 0.10 Pkr,∞ Pkr,∞ Pkr,∞ Pkr,∞ Pkr,∞ Pkr,∞ E Pl.Teo. KLT 0.0788 0.1364 0.0838 0,1449 0.0862 0.1492 5 GPT 0.0646 0.0993 0.0709 0,1108 0.0738 0.1160 KLT 0.1059 0.1831 0.1115 0,1929 0.1143 0.1978 10 GPT 0.0822 0.1230 0.0909 0,1392 0.0948 0.1464 KLT 0.1532 0.2651 0.1593 0,2756 0.1624 0.2809 20 GPT 0.1059 0.1510 0.1189 0,1748 0.1245 0.1852 TEŞEKKÜR

Yazarlar, bu çalışmanın her aşamasında ilgisini ve yardımlarını esirgemeyen Prof. Dr. Surkay AKBAROV’a müteşekkirdir.

BİLGİ

Bu çalışma TUBİTAK tarafından desteklenmiş olan Proje No: INTAG 560 ve Yıldız Teknik Üniversitesi Araştırma Fonu tarafından desteklenmiş olan Proje No: 99-07-03-01 kapsamında yapılmıştır.

KAYNAKLAR

[1] Kütüğ Z., “Basit Mesnetli Dikdörtgen Viskoelastik Kompozit Plağın Stabilite Kaybının ÜBLEST Çerçevesinde İncelenmesi” XIV. Ulusal Mekanik Kongresi -Hatay, 619-629, 2005. [2] Akbarov S. D., “On the Three Dimensional Stability Loss Problems of Elements of Structures of Viscoelastic Composite Materials” Mech. Comp. Mater. 1998-31 N:6, P: 537-544.

[3] Akbarov S. D., Yahnioglu, N. “A Method of Investigation of the General Theory of Stability Problems on Structural Elements Fabricated from Viscoelastic Composite Materials” Composites, Part B: Engineering 2001-32 P:475-482.

[4] Akbarov S. D., Yahnioglu, N., Kutug, Z., “On the Three Dimensional Stability Loss Problem of the Viscoelastic Composite Plate” Int. J. Eng. Science 2001-39 P:1443-1457. [5] Kromm A., “Verallgeneierte Theorie der Plattenstatik ”, Ing. Arch., 21, P:266-286, 1953. [6] Kromm A., “Über die Randquerkrofte Beigestutzten Platten ” ZAMM, 35, 1955, P: 231-242.