ÖZET: Sezgisel belirtisiz küme kavramı, belirsizliği ifade etmenin bir yöntemi olarak düşünülmüştür. Belirtisiz kümeleri içinde bulunduran ve belirtisiz kümelerden daha genel bir kavram olarak karşımıza çıkmaktadır. Sezgisel be-lirtisiz kümelerin uygulama alanları arasında biyoinformatik, tıp, ekonomi, sosyal bilimler ve mühendislik bilimleri sayıla-bilir.
ANAHTAR KELİMELER: Küme, belirtisiz küme, sezgisel belirtisiz küme.
ABSTRACT: The concept of intuitionistic fuzzy sets, uncertainty factors are considered as a method of expression. It contains fuzzy sets and is a more general concept than the fuzzy sets. The Areas of application for intuitonistic fuzzy sets include bioinformatics, medicine, economics, social sciences, and engineering sciences.
KEYWORDS: Set, fuzzy set, intuitionistic fuzzy set. Göller Bölgesi Aylık Hakemli Ekonomi ve Kültür Dergisi Ayrıntı Cilt 5 Sayı 61 Nisan 2018/ 60
Georg Cantor (1845-1908) küme kavramını “bazı kurallara göre bir bütün olarak göz önüne alınabi-len nesnelerin herhangi bir toplulu-ğu” olarak tanımlamıştır. Temel bir bilim dalı olan Matematik kesinlik-ten yanadır. Bir nesne bir kümenin elemanıdır ya da değildir. O halde boş olmayan bir küme; eleman olma 1 ve eleman olmama 0 ile gösteril-mek üzere, {0,1} değerlerini alan bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Kla-sik iki değerli mantık dilinde DOĞRU ile 1, YANLIŞ ile 0 özdeşleştirilir. Bu özdeşliklerin bilgisayar ve elektronik mühendisliğinde karşılıkları, sırasıy-la VAR ve YOK biçimindedir. Cantor tarafından verilen küme tanımı; sez-gisel ve gündelik yaşantımızda kar-şılaşılan bazı problemleri iki değerli mantık sınırları içerisinde açıklamak-ta yetersiz kalmakaçıklamak-tadır.
Lofti Asker Zadeh (1921-2017) belirsizliğe bir çözüm olarak, 1965 yılında belirtisiz kümeyi ta-nımlamış, belirtisiz kümelerle kla-sik kümelerin cebirsel özelliklerini karşılaştırmalı olarak incelemiştir. Belirtisiz kümeler; kümeyi içine alan daha genel bir kavramdır. Belirti-siz kümeler, klasik küme teorisinin
açıklamakta zorlandığı bazı güçlük-leri aşabilme yetkinliğini yapısında bulundurmaktadır. Bir nesnenin bir belirtisiz kümenin elemanı olması derecelendirilmiştir. Derecelendir-me {0,1} küDerecelendir-mesinin elemanları olan 0 ve 1 değerleriyle sınırlı kalmayıp; bu değerleri de içinde bulunduran [0,1] kapalı aralığına genişletilmiştir. Böylece güncel yaşantımızda karşı-laşılan ve küme kavramıyla açıkla-makta zorlandığımız olayları ifade edebilme yetkinliği kazanılmıştır. Bu durum matematik disiplininin araç-ları kullanılarak şöylece ifade edile-bilir: bir belirtisiz küme [0,1] kapalı aralığında değerler alabilen bir fonk-siyondur. E evrensel küme olmak bir
A belirtisiz kümesi
fonk-siyonu ile karakterize edilir. Şu halde bir nesnenin bu fonksiyon altındaki görüntüsü, o nesnenin belirtisiz kü-meye ne derecede ait olduğunu ifa-de eifa-der.
Klasik anlamda küme ile be-lirtisiz küme tanımları karşılaştırıldı-ğında, belirtisiz kümelerin kümeleri içine alan daha genel bir kavram olduğunu söyleyebiliriz. Sonuç ola-rak her küme bir belirtisiz kümedir. Ancak bir belirtisiz kümenin klasik anlamda küme olması gerekmez. Örneğin bir nesnenin bir belirtisiz kümeye ait olma derecesi 0.7 ise, bu nesnenin klasik anlamda o kümeye ait olmasından (1) ya da olmamasın-dan (0) söz edilemez.
Bir A belirtisiz kümesinin
tümleyeni ile gösterilir ve 1-μ
olarak tanımlanır. 1-μ değeri A belir-tisiz kümesine ait olmama derecesi olarak yorumlanır. Aşağıda Şekil 1 de görüleceği gibi, bir A belirtisiz kümesinin ait olma derecesi ile ait olmama derecelerinin toplamı 1 dir. Ancak günlük hayatta karşılaşılan bazı problemlerde μ+(¬ μ) toplamı 1 den küçük olabilmektedir.
Şekil:1
Bir örnek olarak “Burdur´a ya-kın olan şehirleri yazma” kavramını ele alalım. Verilen kavramın belirsiz olduğu kolayca görülmektedir. İz-mir’in Burdur’a yakın olma derecesi 0.6 iken yakın olmama derecesi 0.2 ile ifade edilebilir. Bu durumda μ+(¬ μ)=0.8 olmaktadır. Verilen örnekten anlaşılacağı gibi, belirtisiz kümelerin genelleştirilmesine ihtiyaç duyul-muştur.
Krassimir Todorov Atanassov, 1986 yılında Fuzzy Sets and Systems dergisinde yayınlanan “Intuitionistic Fuzzy Sets-Sezgisel Belirtisiz Küme-ler” başlıklı çalışmasıyla belirtisiz kü-melerin bir genellemesi olarak sez-gisel belirtisiz küme kavramını bilim dünyasına kazandırmıştır. Böylece belirsizliği ifade etmenin bir diğer yöntemi Atanassov’un yaklaşımıyla verilmiş oldu. Atanassov’un verdiği sezgisel belirtisiz küme kavramıyla, herhangi bir nesne hem ait olma derecesi hem de ait olmama dere-cesiyle ifade edilir. Bu durumda bir sezgisel belirtisiz kümeyi karakterize edebilmek için iki fonksiyona gerek-sinme duyulur. Birinci fonksiyon bir nesneyi sezgisel belirtisiz kümeye ait olmasıyla derecelendirirken, ikin-ci fonksiyon aynı nesnenin sezgisel belirtisiz kümeye ait olmamasıyla derecelendirir. Şimdi bir sezgisel belirtisiz kümenin matematiksel te-mellere dayanan ifadesini verelim: E boş olmayan bir küme olsun. E üze-rindeki bir A sezgisel belirtisiz küme-sinden;
fonksiyonları sırasıyla, her bir öğesinin A kümesine ait olma de-recesini ve ait olmama derecesi-ni göstermek üzere ve her
için 0≤ µ(x)+ν(x)≤1 olmak üzere biçiminde ifade edilen bir üçlüyü
anlıyoruz.
Her belirtisiz A kümesi için ait ol-mama derecesi olarak ν(x)=1-µ(x) fonksiyonu karşılık getirilerek
sezgisel belirtisiz kümesi elde edi-lebilir. Aşağıda verilen Şekil 2 de bir A Sezgisel belirtisiz kümesinin geo-metrik gösterimi yer almaktadır.
Şekil: 2
E üzerinde bir A sezgisel belirtisiz
kümesi verildiğinde, her için
π(x)=1-µ(x)-ν(x) olarak tanımlanan fonksiyona kuşkulu olma fonksiyo-nu, π(x) değerine de x noktasının kuşkulu olma derecesi adları verilir. Kuşkulu olmaya ilişkin geometrik yorum Şekil 3 de verilmiştir.
Şekil 3
Çizelge 1 de, E={a,b,c,d,e} evrensel kümesi üzerinde verilen bir A sez-gisel belirtisiz kümesi için; ait olma, ait olmama ve kuşkulu olma dere-celeri bir arada gösterilmiştir.
Atanassov’un sezgisel
belir-tisiz kümeler ve özelliklerini içeren makalesinin yayınlandığı 1986 yılın-dan günümüze kadar, 50 den fazla ülkeden 2000 nin üzerinde yayınla-nan çalışmaya referans olmuş, sos-yal bilimlerden mühendislik bilim-lerine kadar çok geniş bir yelpazede uygulama alanı bulmuştur. Belirtisiz kümelerin yaygın uygulama alanla-rının genişlemesi, konunun önemi-ni her geçen gün artırmaya devam ettirmekte ve bilim insanlarının ça-lışmalarında esin kaynağı olmaya
devam etmektedir.
KAYNAKLAR
1. Atanassov, K., Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, 20 (1), 87-96, 1986.
2. Atanassov, K., Intuitionistic Fuz-zy Sets. Springer Physica-Verlag, Heidelberg, 1999.
3. Atanassov, K., On Intuitionistic Fuzzy Sets Theory, Springer-Ver-lag Berlin Heidelberg, 2012. 4. Cantor, G., Über eine
Eigensc-haft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelle´s Journal für Mathematik, 77, 258-263, 1874.
5. Cantor, G., Grundlagen einer allgemeinen Manningfaltigke-itslehre, B. G. Teubner, Leipzig, 1883.
6. Zadeh, L. A., Fuzzy sets, Infor-mation and Control 8, 338-353, 1965.
Nesneler Ait olma derecesi
Ait olmama
derecesi Kuşkulu olma derecesi
a 0.3 0.5 0.2 b 0.2 0.4 0.4 c 0.1 0.3 0.6 d 0.4 0.3 0.3 e 0.6 0.3 0.1 Çizelge 1.
