Dört Boyutlu Ising Model için Bilinen Sonlu Örgü Ölçekleme ve Logaritmik Düzeltmeli Sonlu Örgü Ölçekleme Fonksiyonlarının ncelenmesi

Dört Boyutlu Ising Model için Bilinen Sonlu Örgü Ölçekleme ve

Logaritmik Düzeltmeli Sonlu Örgü Ölçekleme Fonksiyonlarının

ncelenmesi

Ziya MERDAN1_{, Mehmet BAYIRLI}2 Abdullah GÜNEN2

ÖZET: Dört boyutlu Ising modelinin, do rusal boyutu L =4,6,8,10,12,14,16 olan periyodik sınır artlı soyut basit küp örgülerde, dört “bit”li demonlar kullanılarak Creutz cellular automaton’ında simülasyonu yapıldı. Simülasyondan elde edilen veriler bilinen sonlu örgü ölçekleme teorisi ve logaritmik düzeltmeli sonlu örgü ölçekleme teorisine göre analiz

edildi. Manyetik alınganlık için kritik üs logaritmik düzeltme olmaksızın

ν

γ

= 2.2529 logaritmik düzeltmeli

ν

γ

= 2.0057, özısı için kritik üs logaritmik düzeltme olmaksızın α ν = -0.0715 logaritmik düzeltmeli α

ν = 0.0932 αν = -0.1055 elde edildi. Bu sonuçlar üç “bit”li demonlar kullanılarak yapılan simülasyon sonuçları ve teorik de erlerle uyum halindedir. Anahtar Kelimeler : Ising Model; Sonlu Örgü Ölçekleme Teorisi; Cellular Automaton.

Investigation of the well Know Finite-Size Scaling Function and Finite-Size

Scaling Functions with Logarithmic Correction for the Four Dimensional

Ising Model

Abstract: The four-dimensional nearest-neighbor Ising model is simulated on the Creutz cellular automaton by using four-bit demons and the finite-size lattices with the linear dimension L=4,6,8,10,12,14,16. The simulation results for the finite-lattice are analyzed according to the conventional finite-size scaling theory with and without logarithmic factors. Critical exponents of the magnetic susceptibility (

χ

) is found as _νγ

=

2

.

0057

when the expression with the logarithmic factor is used and as _νγ

=

2

.

2529

when the expression without logarithmic factor is used. Similarity, the exponents for the specific heat (

C

) are calculated as _να

=

0

.

0932

_,

₌

₋

₀

_.

₁₀₅₅

ν

α _{with the logarithmic factor}

and α_ν

=

−

0

.

0715

_{without logaritmic factor.These results are in good agreement with} the results of simulations with three-bit demons and theoretical values.

Key words: Ising model; Finite-Size Scaling Theory; Cellular Automata.

1

Gaziosmanpa a Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü, Ta lıçiftlik, 60250 TOKAT ,zmerdan@gazi.edu.tr, zmerdan@gop.edu.tr

2

Giri

Boyut ya da örgü boyutu arttı ı zaman Monte Carlo metoduyla Ising modelinin simülasyonu yetersiz kalmakta ve bu yüzden daha hızlı algoritmalara ihtiyaç duyulmaktadır. Creutz cellular automaton geleneksel (alı ılagelmi ) Monte Carlo yöntemine göre iki avantaja sahiptir (iki bakımdan tercih edilmektedir). Bunlardan biri geleneksel Monte Carlo metodundan daha hızlı olması ve di eri yüksek kalitede rasgele sayılar gerektirmemesidir. Creutz cellular automaton Q2R cellular automaton ile kar ıla tırıldı ında Q2R cellular automaton da iç enerji simülasyon süresince sabit kaldı ından özısı (C) enerji dalgalanmaları kullanılarak hesaplanamamaktadır [1,2,3,4,5,6,7,8,9].

M. Creutz [10] tarafından sunulan cellular automaton algoritmasının kritik bölge yakınında Ising model ara tırmaları için alternatif bir yöntem olabilece i çe itli çalı malarda gösterilmi tir [11-27]. Creutz cellular automaton ile dört boyutlu Ising modeli için yapılan çalı malarda sonlu örgülerden sonsuz örgü davranı ını tespit etmek amacıyla bilinen sonlu örgü ölçekleme teorisi yerine

d

4

boyutlu örgülerde V.Privman-N.E.Fisher [28, 29] tarafından sunulan hipotez N.Aktekin [11] tarafından

d

=

4

boyut için uygun hale getirilmi tir. Periyodik sınır artlı

L

d “hypercubic” sonlu bir sistemin serbest enerji yo unlu unun singüler kısmı

)

,

(

)

,

(

1/ / ) ( ν δβ ν

hL

tL

Y

L

h

t

f

_Ls

=

−d (1)

)

log

,

log

(

)

,

(

1/ 1/6 / 1/4 ) (

L

hL

L

tL

Y

L

h

t

f

_Ls

=

−d ν δβ ν (2)

fonksiyonu ile verilmektedir. Serbest enerji yo unlu u ba ıntılarından yararlanarak kendili inden mıknatıslanma (

M

), manyetik alınganlık (

χ

) , özısı (

C

) ve Binder Cumulant’ı (parametresi) (

g

_L

)

için sonlu örgü ölçekleme ba ıntıları elde edilmi tir.

Bu çalı manın amacı dört boyutlu Ising modeli için, do rusal boyutu L=4,6,8,10,12,14,16 olan periyodik sınır artlı örgülerde dört bitli demonlar ile Creutz “cellular automaton”ında yapılan simülasyonlardan bilinen sonlu örgü ölçekleme ve logaritmik düzeltmeli sonlu örgü ölçekleme fonksiyonlarından elde edilen kritik üsleri kar ıla tırmak ve elde edilen verilerin üç “bit”li demonlar kullanılarak yapılan simülasyon sonuçlarıyla ve teorik de erlerle uyumlulu unu tespit etmektir.

Model Bölüm 2’de sonuç ve tartı malar Bölüm 3’de açıklanmakta sonuçlar ise Bölüm 4’de tartı ılmaktadır.

Model

Bu modelde her bir hücreye 6 ikili “bit” kar ılık getirilmekte ve bir hücredeki bir de i kenin alaca ı de er o de i kenin bir önceki zaman adımındaki kendi de eri ile ona en yakın kom ularındaki de erlerinden elde edilmektedir. Bu altı ikili “bit” den ilki, Bi Ising spini içindir; “0” veya “1” de erlerini alabilir. Si=2Bi-1 olmak üzere, örgünün Ising spin enerjisi

H

I(iç enerji,

potansiyel enerji) (en yakın kom u etkile me sabiti J cinsinden) a a ıdaki gibi tanımlanmaktadır.

−

=

ij i j

I

J

S

S

H

(3)

Burada

ij

bütün en yakın kom u hücre çiftleri üzerinden toplamı göstermektedir. Kalan 5 bitten 4’i “demon” veya spine e lik eden momentuma kar ı gelmektedir.

D

₁

,

D

₂

,

D

₃

,

D

₄ ile gösterilen bu bitler “0” veya “1” de erlerini alabilmekte ve 0 1 2 3

1 2 3 4

(2

xD

+

2

xD

+

2

xD

+

2

xD

)

ifadesine göre (0,15) aralı ındaki tamsayıları olu turmaktadır. Momentum de i kenine kar ılık gelen kinetik enerji

E

bu tam sayı de erlerinin dört katını almaktadır.

0 1 2 3

1 2 3 4

4(2

2

2

2

)

D

E

=

xD

+

xD

+

xD

+

xD

(4)

Kinetik enerji bu de erleri aldı ında, bir spin de i iminde Ising enerjisinde olu an ve de erleri 4’ün katları olan enerji de i imi kar ılanabilmektedir. Bu sırada, örgünün toplam enerjisi

K

I

H

H

H

=

+

korunmaktadır.

H

_K örgünün toplam kinetik enerjisidir, yani i D

E

, i.nci örgü gözüne

ait “demon”un enerjisi olmak üzere

=

i i D

K

E

H

dir. Verilen bir toplam enerji için sistemin sıcaklı ı T (

J

/

k

_B biriminde; burada

k

_B Boltzman sabitidir) bir “demon”un kinetik enerjisinin ortalama de erinden elde edilir.

15 15 4 4 0 0

4

n

/

n D n n

E

ne

− β

e

− β = =

=

(5) β 1

=

T

(6)

dir. Altıncı bit “cellular automaton”ın zamanla dama tahtası düzeninde geli imini sa lamakta ve böylece Ising modelinin “cellular automaton” ile simülasyonunu mümkün kılmaktadır. Her bir zaman adımında dama tahtasının siyah hücrelerine kural uygulanıp rengi beyaza çevrilir; beyaz hücrelerin ise sadece rengi siyaha çevrilir. Rengi beyaza çevrilen siyah hücrelerin spini ters çevrilerek Ising enerjisindeki enerji de i imi hesaplanır. E er enerji de i imi bu hücrenin momentum de i kenine aktarılabilecek veya momentum de i keninden alınabilecek bir de erde ise, toplam enerji korunmak üzere spin ters çevrilir. Buna uygun olarak momentum de i tirilir, aksi halde spin ve momentum de i tirilmez. Bu i lem örgüdeki bütün siyah hücrelere aynı zaman adımında uygulanmakta ve geli im süresince periyodik sınır artı kullanılmaktadır. Ba langıçta sistemin bütün spinleri a a ı veya yukarı yönde alınabilir. lk kinetik enerji beyaz hücrelerdeki demonun “bit”leri vasıtasıyla örgüye rasgele verilir; bu çalı mada birinci ve üçüncü “bit”ler vasıtasıyla verilmektedir. Simülasyon için L=4,6,8,10,12,14,16 örgüleri kullanılmı tır.

Sonuçlar Ve Tartı ma

4

d

=

için kendili inden mıknatıslanma (

M

) , manyetik alınganlık (

χ

) , özısı (c kB biriminde) ve Binder parametresi (

g

_L) nin sıcaklıkla de i im e rileri L=4,6,8,10,12,14,16 örgüleri için sırasıyla ekil 1a,1b,1c ; ekil 2a,2b,2c ; ekil 3a,3b,3c ; ekil 8a,8b de gösterildi. L=4,6,8,10,12 örgülerinde her bir toplam enerji için 3 ba ımsız simülasyon, L=14,16 örgüleri için 5 ba ımsız simülasyon yapılmı tır. Her bir ba ımsız simülasyonda L=4,6,8,10,12 örgüsü için 9.6x105 kere, L=14,16 örgüleri için de 3.6x105 kere örgünün bütün spinlerine ters çevirme kuralı uygulanmı tır.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 5,5 6,5 7,5 8,5

T

M

_L L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (a) 0 2 4 6 8 10 -25 -5 15 tL2 MLL L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (b) 0 2 4 6 8 10 -25 -5 15

tL

2

Log

1/6

L

M

L

L

og

-1/ 4

L

L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (c)

ekil 1.(a) Manyetizasyonun sıcaklıkla de i imi, (b) Bilinen sonlu örgü ölçekleme fonksiyonu için

L

M L

’ nin 2

tL

ye kar ı de i imi (c) Logaritmik düzeltmeli sonlu örgü ölçekleme fonksiyonu için 1/ 4

L

M LLog

−

L

’nin 2 1/ 6

-1 4 9 14 19 24 5,3 6,3 7,3

T

X

_L L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (a) -0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 -22 -12 -2 8 18

tL

2

X

_L

L

-2 L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (b) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 -22 -12 -2 8

tL

2

Log

1/6

L

X

L

L

-2

L

og

-1/ 2

(L

)

L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (c)

ekil 2.(a) Manyetik alınganlı ın sıcaklıkla de i imi, (b) Bilinen sonlu örgü ölçekleme fonksiyonu için

2

−

L

L

χ

’ nin

tL

2 ye kar ı de i imi (c) Logaritmik düzeltmeli sonlu örgü ölçekleme fonksiyonu için

L

Log

L

L 2 / 1 2 − −

χ

’nin 2 1/ 6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 5,8 6,3 6,8 7,3 7,8 T C L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (a) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 -25 -5 15 tL2 CL-b L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (b) 0 0,5 1 1,5 -25 -5 15 tL2Log1/6L (C L -b )L -a/ v L og -1/ 3 L L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (c)

ekil 3.(a) Özısının sıcaklıkla de i imi, (b) Bilinen sonlu örgü ölçekleme fonksiyonu için

C

_L

−

b

’ nin

tL

2 ye kar ı de i imi (c) Logaritmik düzeltmeli sonlu

C

_L

−

b

ölçekleme

C

_L

−

b

fonksiyonu için

L

Log

L

b

C

_L

)

/ 1/3

(

−

−α ν − ’nin

tL Log

2 1/ 6

L

’ye kar ı de i imi.

Kritik Sıcaklık

Sonlu örgünün kritik sıcaklı ı, özısı ( C

( )

c

T

L

) ve manyetik alınganlık (

T

_cχ

( )

L

) ın maksimum de erlerinden elde edildi. Sonlu örgü kritik sıcaklık (

T

_c

( )

L

) de erlerinin örgü kenar uzunlu u L’ye ba ımlılı ının bilinen ve logaritmik düzeltmeli ifadeleri a a ıdaki ekilde verilmektedir [29, 30, 32].

1/

( )

( )

C C c c

T

∞ −

T

L

∝

L

− ν (7) 1/ 1/ 6

( )

( )

C C c c

T

∞ −

T

L

∝

L

− ν

Log

−

L

(8)

Bu ifadelerde d = 4 için

ν

=

1/ 2

olarak verilmektedir [29, 31]. Sonlu örgünün kritik sıcaklı ı

( )

C c

T

L

nin grafikleri bilinen ve logaritmik düzeltmeli olarak ekil 4’de verilmi tir.

L

→ ∞

için logaritmik düzeltmeli ölçekleme verilerinden C

( )

c

T

∞

= 6.6771,

T

_cχ

( )

∞ =

6.6758

bilinen ölçekleme verilerinden C

( )

c

T

∞

= 6.6721,

T

_cχ

(

∞

)

=

6

.

6779

de erleri elde edilmektedir.

ekil 4.

T

_cC

(L

)

ve

T

_cχ

(L

)

’ nin

ν

=

1

/

2

olmak üzere

L

−1/ν

Log

−1/6

L

ve

L

−1/ν ’ye göre grafikleri çizilerek

T

_cC

(

∞

)

=

6

.

6771

( ) , 6.6721( )

T

_cχ

( )

∞ =

6.6758

(∆) , 6.6779(Ο) de erleri

bulunmu tur.

Bu varsayımlar ı ı ında yukarıdaki ifadeler

T

_cχ

(L

)

içinde geçerlidir. Yani logaritmik düzeltmeli ifadeler kullanıldı ı zaman

T

_cχ

(

∞

)

=

6

.

6758

ve bilinen logaritmik düzeltmeli ifadeler kullanıldı ı zaman

T

_cχ

(

∞

)

=

6

.

6779

de erlerini vermektedir.

Buradan da görülmektedir ki bulunan bu de erler, daha önce çalı ılmı Monte Carlo sonucu

680

.

6

)

(

∞

=

c

T

[32, 33], seri geni leme sonucu

T

_c

(

∞

)

=

6

.

6802

[34] , 3 bitli demon kullanılarak yapılan

T

_cC

(

∞

)

=

6

.

675

(logaritmik düzeltme olmaksızın), 6.680 (logaritmik düzeltmeli),

682

.

6

)

(

∞

=

χ c

T

(logaritmik düzeltme olmaksızın), 6.680(logaritmik düzeltmeli) [11,35] simülasyon sonuçları ile uyu maktadır. Tüm bu durumlar yukarıdaki sonlu örgü ölçekleme denklemlerinin

)

(L

T

_cχ içinde geçerli oldu unu göstermektedir.

Manyetik Alınganlık için Kritik Üsler

Sonsuz örgü kritik sıcaklı ın sonlu boyutlu örgünün L do rusal boyutuna manyetik alınganlı ın ba ımlılı ı, ν γ

χ

/

)

(

L

∝

L

(9)

L

Log

L

L

)

/ 1/2

(

γ ν

χ

∝

T

=

T

_c

(∞

)

(10)

denklemleriyle (

γ

/

ν

=

2

) verilmektedir [33]. Bu çalı mada bilinen ölçekleme ifadeleri için

2529

.

2

/

ν

=

γ

, logaritmik düzeltmeli ölçekleme ifadesi için

γ

/

ν

=

2

.

0057

de erleri bulundu ( ekil 5). Üç “bit”li demonlar kullanılarak yapılan simülasyonlardan bilinen ölçekleme ifadeler için

25

.

2

/

ν

=

γ

,

γ

/

ν

=

2

.

26

, logaritmik düzeltmeli ölçekleme ifadesi için

γ

/

ν

=

2

.

003

,

03

.

2

/

ν

=

γ

bulunmu tur [11,34]. Bu çalı mada elde edilen logaritmik düzeltmeli

γ

/

ν

=

2

.

0057

6,2 6,25 6,3 6,35 6,4 6,45 6,5 6,55 6,6 6,65 6,7 0 0,02 0,04 0,06 0,08

de eri

γ

/

ν

=

2

teorik de eri ve üç “bit”li demonlar kullanılarak yapılan simülasyon sonuçlarıyla uyum halindedir. Bu sonuçlar bize manyetik alınganlık için logaritmik düzeltmeli ifadelerin

T

=

T

_c

de daha iyi sonuçlar verdi ini göstermektedir.

-0,8 -0,3 0,2 0,7 1,2 0,6 0,8 1 1,2 1,4 Log'suz Log'lu

ekil 5.

T

=

T

_cχ de

χ

’nin

χ

Log

−1/2

L

’nin

L

γ /ν ‘ye kar ı de i im grafikleri

γ

/

ν

=

2

.

0057

( ) ,

2529

.

2

/

ν

=

γ

( ) de erleri bulunmu tur. Özısı için Kritik Üsler

Sonlu örgü ölçeklemenin özısı C(L)’ye ba ımlılı ı a a ıdaki denklemler ile verilmektedir [29, 31, 33]. ν α /

)

(

L

L

C

∝

(11)

L

Log

L

L

C

(

)

∝

α/ν 1/3

(

α

=

0

)

(12)

Bu çalı mada bilinen ölçekleme ifadeleri için

α

/

ν

=

−

0

.

0715

logaritmik düzeltmeli ölçekleme için

α

/

ν

=

0

.

0932

,

α

/

ν

=

−

0

.

1055

de erleri bulunmu tur ( ekil 6, ekil 7). Üç “bit”li demonlar kullanılarak yapılan simülasyonlardan bilinen ölçekleme ifadeleri için

α

/

ν

=

0

.

129

,

09

.

0

/

ν

=

α

, logaritmik düzeltmeli ölçekleme ifadeleri için

α

/

ν

=

0

.

006

,

α

/

ν

=

0

.

25

de erleri bulunmu tur [11, 34]. Görüldü ü gibi bulunan sonuçlar üç “bit”li demonlar kullanılarak yapılan simülasyon sonuçlarıyla ve

α

/

ν

=

0

teorik de erle uyum halindedir.

-0,19 -0,18 -0,17 -0,16 -0,15 -0,14 -0,13 -0,12 -0,11 -0,1 0,6 0,8 1 1,2 Log'suz Log'lu

ekil 6.

T

=

T

_cC de C’nin

C

_L

Log

−1/3

L

ve

L

α /ν ‘ye kar ı de i im grafikleri çizilerek

00932

.

0

/

ν

=

-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,6 0,8 1 1,2 1,4 Log(L) L o g (( CL -b )L o g -1 /3 (L ))

ekil 7.

T

=

T

_cC de Log((CL-b)Log-1/3(L)’nin Log(L)‘ye kar ı de i im grafikleri çizilerek b=0 için

0715

.

0

/

ν

=

−

α

( ) , b= -0.4 için

α

/

ν

=

−

0

.

1055

(∆) de erleri bulunmu tur.

Binder Parametresinin Sıcaklıkla De i imi Binder parametresi

g

_L a a ıdaki

3

2 4

−

=

L L S s L

g

(13)

ifadesi ile tanımlanmaktadır [36]. Bu büyüklüklerin sıcaklık de i im grafi i çizilmi tir. Binder parametresi için sonlu örgü ölçekleme ifadesi ,

)

(

∗ T y L

G

tL

g

α

,

L

→

∞

(14)

dir. Farklı L de erleri için ölçeklenmi sıcaklı a göre e rilerin üst üste gelmesinden ( ekil 8. (b)) bu ölçekleme ifadesinin do ru oldu u anla ılmaktadır.

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 5,2 6,2 7,2 8,2 T gL L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (a)

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 -25 -5 15 35 tL2log1/6L gL L=4 L=6 L=8 L=10 L=12 L=14 L=16 (b)

ekil 8.(a) Binder parametresinin sıcaklıkla de i imi, (b) Binder parametresinin ölçeklenmi sıcaklık ile de i imi.

Sonuç

Dört boyutlu Ising model sonlu örgülerde periyodik sınır artı kullanılarak dört “bit”li demonlarla Creutz cellular automaton’ında simülasyonu yapıldı. Simülasyondan elde edilen veriler bilinen sonlu örgü ölçekleme teorisi ve logaritmik düzeltmeli sonlu örgü ölçekleme teorisine göre analiz edildi. Analiz sonucunda d=4 için logaritmik düzeltmeli ölçekleme fonksiyonları kullanılarak elde edilen kritik üslerin bilinen ölçekleme fonksiyonları kullanılarak elde edilen kritik üslere göre teorik de erlerle ve üç “bit”li demonlar kullanılarak yapılan simülasyon sonuçlarıyla daha uyumlu oldu u görüldü.

Te ekkür

Bu çalı manın program yazılımını yaparak bizim kullanımımıza sunan Prof.Dr.Nevzat AKTEK N’e te ekkür ederim.

Kaynaklar

[1] Vichniac, G.Y. “Simulating physics with Cellular Automata” Physica D. 10:96- 116(1984). [2] Pomeau, Y. “Invariant in Cellular Automata” J.Phys.A.17:L415-L418(1984).

[3] Zabolitzky, J.G.,Hermann, H.J. “Multitasking case study on the Cray-2:The Q2R Cellular Automaton” J.Comput.Phys.76:426-447(1988).

[4] Pires, A., Landau, D.P. Hermann, H. “Computational Physics And Cellular Automata” World Scientific(1989).

[5] Hermann, H.J. “Fast algorithm for the simulation of Ising models” J.Stat.Phys. 45:145-151(1986).

[6] Hermann, H.J., Carmesin, H.O.,Stauffer, D. “Periods and Clusters in Ising Cellular Automata” J.Phys.A. 20:4939-4948(1987).

[7] Lang, W.M.,Stauffer, D. “Test of three-dimensional Q2R Ising algorithm” J.Phys.A 20:5413-5415(1987).

[8] Pomeau Y., and Vichniac G.Y. “Extensions of Q2R: Potts Model and other lattices” J.Phys.A,Math.Gen.21:3297-3299(1988).

[9] Schulte, M., Stiefelhagen W.,Demme, E.S. “Period in the Chaotic Phase of Q2R Automata” J.Phys.A.Math.Gen.20:L1023-1025(1987).

[10] Creutz, M. “Deterministic Ising Dynamics” Ann.Phys.167:62-72(1986).

[11] Kutlu, B., Aktekin, N. “Computation of Critical exponent for two-Dimensional Ising model on a Cellular Automaton” J.Stat.Phys. 75:757-763(1994).

[12] Kutlu, B., Aktekin, N. “Critical slowing down in Ising model for Creutz algorithm” Physica A. 208:423-(1994).

[13] Kutlu, B., Aktekin, N. “Computation functions of the two dimensional Ising model” Physica A. 215:370-377(1995).

[14] Kutlu, B. “Critical behavior of the two-dimensional Ising model with next-nearest-neighbor antiferromagnetic interaction, Physica A. 234:807-818(1997).

[15] Kutlu, B. “Critical exponents of the two-dimensional Ising model with next-nearest-neighbor and four-spin interaction on the Creutz Cellular Automaton” Physica A. 243:199-212(1997). [16] Aktekin, N. “Simulation of the three- dimensional Ising model on the Creutz Cellular Automaton”

Physica A. 219:436- 446(1995).

[17] Aktekin, N. “Simulation of the four-dimensional Ising model on the Creutz Cellular Automaton” Physica A. 232: 397-407(1996).

[18] Aktekin, N., Günen, A., Sa lam, Z. “A finite-size scaling study of the four-dimensional Ising model on the Creutz Cellular Automaton” Int.J.Mod.Phys.C. 10; 875-881(1999).

[19] Aktekin, N. “The finite-size scaling functions of the four-dimensional Ising model” J.Stat.Phys.104:1397- 1406(2001).

[20] Aktekin, N. “Effect of the number of energy levels of a demon on the simulation of the Ising model in five to seven dimensions on the Creutz Cellular Automaton” Int.J.Mod.Phys. C.10:621-633(1999).

[21] Aktekin, N.Erkoç, ., Kalay, M. “The test of the finite-size scaling relations for the five-dimensional Ising model on the Creutz Cellular Automaton” Int.J.Mod.Phys. C. 10:1237-1245(1999).

[22] Aktekin, N., Erkoç, . “The test of the finite-size scaling relations for the six-dimensional Ising model on the Creutz Cellular Automaton” Physica A. 284:206-214(2000);

[23] Aktekin, N., Erkoç, . “The test of the finite-size scaling relations for the seven-dimensional Ising model on the Creutz Cellular Automaton” Physica A. 290:123-130(2001).

[24] Aktekin, N. “ Simulation of the eight-dimensional Ising model on the Creutz Cellular Automaton” Int.J.Mod.Phys. C. 8: 287-292(1997).

[25] Aktekin, N., “The Simulation of the Ising Model on the Creutz Cellular Automaton, Annual Reviews of Computational Physic VII”, edited by D.Stauffer, World Scientific, Singapore,1-23,(2000).

[26] Merdan, Z. and Aktekin, N.“The simulation of the six-dimensional ising model on the Creutz cellular automaton”, Balkan phys.Lett.10(2),95-101,(2002).

[27] Günen, A. “ Dört Boyutlu Ising model için sonlu örgü ölçekleme fonksiyonlarının tespiti” Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü.15:647-655(2002).

[28] Privman, V., Fisher, M.E. “Universal critical amplitudes in finite-sice scaling”Phys. Rev. B.30:322-327(1984).

[29] Privman, V., “Finite Size Scaling and Numerical Simulation of Statistical Systems”, World Scientific, Singapore,(1991).

[30] Landau, D.P. “Finite-size behavior of the simple-cubic Ising lattice” Phys.Rev.B.14: 255- 262(1976). [31] Rudnick, J., Guo, H., Jasnow, D., “Finite-size scaling and the renormalization group”,

J.Stat.Phys., 41, 353-373,(1985).

[32] Kenna, R., Lang, C.B. “Finite size scaling and the zeroes of the partition function in the

φ

₄4

model” Phys.Lett.B. 264:396-400(1991).

[33] Kenna, R., Lang, C.B., “Renormalization group analysis of finite size scaling in the

φ

₄4 model”, Nucl.Phys. B., 393, 461-479,(1993).

[34] Stauffer, D. and Adler, J. “Logaritmic Factors, Critical Temperature and Zero Temperature Flipping in the 4D Kinetic Ising Model”, Int.J.Mod.Phys.C 8,263,(1997).

[35] Gaunt,D.S., Skyes M.F. and S.McKenzie, S. “Susceptibility and fourth-field derivative of the spin-1/2 Ising model for

T

T

_c and d=4” J.Phys A. 12:871-877(1979).

[36] Binder, K.,Nauenberg, M., Privman, V., Young, A.P., “Finite-size test of hyperscaling”, Phys.Rev.B., 31, 1498-1502,(1985).