Bir boyutlu örgüde spin dalgaları

(1)

T.C.

SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

BĐR BOYUTLU ÖRGÜDE SPĐN DALGALARI

AHMET EKER

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ FĐZĐK ANABĐLĐM DALI

(2)

T.C.

SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

BĐR BOYUTLU ÖRGÜDE SPĐN DALGALARI

AHMET EKER

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ FĐZĐK ANABĐLĐM DALI

Bu tez 23.06.2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği ile kabul edilmiştir.

Prof.Dr.H.Şevki MERT Yrd.Doç.Dr.Atilla GÜLEÇ Yrd.Doç.Dr.Ö.Faruk YÜKSEL (Danışman) (Üye) (Üye)

(3)

Yüksek Lisans Tezi

BĐR BOYUTLU ÖRGÜDE SPĐN DALGALARI

AHMET EKER

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Fizik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. H. Şevki MERT 2008,41 Sayfa

Jüri:

Prof. Dr. H. Şevki MERT Yrd. Doç. Dr. Atilla GÜLEÇ Yrd. Doç. Dr. Ö.Faruk YÜKSEL

Bu çalışmada, bir boyutlu örgüdeki spin dalgaları incelenmiştir. Bu amaçla manyetizasyon ifadesini türetebilmek için Değiş-tokuş, Zeeman ve dipol-dipol etkileşimlerinden oluşan sistem hamiltoniyeni elde edilmiştir. Hamiltoniyeni köşegenleştirmek için gerekli dönüşümler kullanılmış ve Z bölüşüm fonksiyonundan yararlanılarak manyetizasyon ifadesi elde edilmiştir. Elde edilen manyetizasyon ifadesinin uygulanan dış alana bağlı olarak düşük sıcaklıklardaki değişimi incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Manyetizasyon, Değiş-tokuş etkileşimi, Zeeman etkileşimi ve dipol-dipol etkileşimleri

(4)

MS Thesis

SPIN-WAVES IN ONE DIMENSIONAL LATTICE

Ahmet EKER

Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics

Supervisor: Prof. Dr. H. Şevki MERT 2008,41 Page

Jury:

Prof. Dr. H. Şevki MERT Asst. Prof. Dr. Atilla GÜLEÇ Asst. Prof. Dr. Ö.Faruk YÜKSEL

In this study, spin waves in one dimensional lattice have been studied. With this purpose, the exchange interaction, zeeman interaction and dipole-dipole interaction are used in order to obtain the magnetization. In order to diagonalise the Hamiltonien necessary transformations have been applied and the magnetization has been obtained by utilizing the partition function Z of the system. The low temperature variation of the so obtained magnetization with the applied external magnetic field has been investigated.

Key words:, Magnetization, the exchange interaction, zeeman interaction and dipole-dipole interaction

(5)

Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne yüksek lisans tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışmada bilgi ve tecrübeleriyle bana her konuda yardımcı olan ve yön gösteren, benden maddi ve manevi hiçbir yardımı esirgemeyen danışman hocam Sayın Prof. Dr. H. Şevki MERT ’e en içten teşekkürlerimi sunmak isterim.

Ahmet EKER Konya,2008

(6)

ÖZET ………...……….. i ABSTRACT …...……….. ii ÖNSÖZ ………...………...….. iii ĐÇĐNDEKĐLER ……...………... iv 1. GĐRĐŞ ………...………. 1 2. MANYETĐZASYON HESABI…...………. 3 3. SONUÇ ……….……….. 40 4. KAYNAKLAR……….……….. 41

(7)

1. GĐRĐŞ

Günümüzde manyetik maddeler giderek önem kazanmaktadır. Bilgisayarlardan hızlı trenlere, manyetik kaydedicilerden uydulara kadar günlük hayatımızın her alanında kullanılmaktadır. Bu nedenlerle bu tür maddelerin yapısını düşük sıcaklıklarda daha iyi bilinmesi için çeşitli deneysel ve kuramsal araştırmalar yapılmaktadır. Bu çalışmada bir boyut özelliği gösteren manyetik yapılar kuramsal olarak incelenecektir.

Bu konudaki ilk kuantum mekaniksel çalışmalar Slater ve Bloch tarafından başlatıldı. Daha sonra aynı sonuçlar daha hassas sonuç veren bir metod Holstein ve Primakof, yarı klasik metod Heler ve Kramers tarafından Slater ve Bloch metodlarına klasik bir anlam verebilmek amacıyla geliştirildi. Her iki metod daha sonraları Keller, Kaplan ve Yafet tarafından tekrar gözden geçirildi.

Düşük sıcaklıklarda bir malzemeye manyetik alan uygulandığında sınırlı bir mıknatıslanmaya sahip olduğu gözlenir. Bu kendiliğinden mıknatıslanma sürekli dipol momentlerin yönlenmesinden kaynaklanır. Manyetik düzenin en basit türü, bütün momentlerin ani mıknatıslanmaya eşit olarak katkı getirdikleri ferromanyetik düzendir. Bir ferromanyet, manyetik alan olmadığında bile var olan, kendiliğinden oluşmuş manyetik momente sahiptir. Kendiliğinden bir momentin oluşumu, elektron spinleri ile manyetik momentin uyumlu bir şekilde olduklarını gösterir. Ferromanyetik durumunda doyma mıknatıslanması sıcaklığa bağlıdır ve Curie sıcaklığında sona erer. Buradaki mıknatıslanmanın sıcaklığa göre değişim eğrisi, bir ferroelektiriğin kutuplanma eğrisine benzer.

Ferromanyetik düzenlemeye bir yaklaşım yapabilmek için, manyetik atomun kristal ile etkileşmesi, etkin bir alan ile ya da moleküler alan ile tanımlanabilir. Bu yaklaşım Pierre Weiss tarafından önerilmiştir. Kuantum mekaniğinin ortaya çıkmasından önce Weiss kendiliğinden mıknatıslanmayı atomik manyetik momentlerin yönelmesinden ileri geldiğini düşünmüş ve bu yönelmeyi açıklamak için mıknatıslanma ile orantılı bir moleküler alanın varlığını önermiştir. Herhangi bir momente etki eden etkin manyetik alanın

0

etk = yer+λµ

(8)

olduğunu teklif etmiştir. Burada B_yer, atomdaki gerçek manyetik alan

λµ

₀M ise Weiss moleküler alanıdır.

Bir katı örgü üzerinde düzenli aralıklarla yerleşmiş spinler harmonik osilatör gibi titreşirler. Elbette spinler değiş tokuş etkileşimleri ile çiftlenimlidir. Sonuçta spin sistemlerinin bir birim daha aşağı enerji durumları karakter açısından dalga gibidir. Çünkü herhangi bir spin sapması bir dalga biçiminde yayılır. Bu dalgalar genellikle spin-dalgaları olarak bilinir. Bu kavram orijinal olarak ferromanyetler için Bloch kanunu ile gösterilir. Bloch, spin dalgasının manyetik metallerde mevcut olduğunu, bir ferromanyetin M manyetizasyonunun mutlak sıcaklıktan artırıldığı zaman azaldığını gözlemledi. Bu deneysel gözlemi açıklamak için spin-dalga teorisini tesadüfen buldu. Mutlak sıfırda iyonik manyetik momentlerin hepsi uygulanan manyetik alana paralel yönelmektedir. Şimdi eğer sıcaklık, mutlak sıfırdan artırılırsa, bazı yanlış yönelmeler olacağı beklenir. Bunun sonucu olarak toplam manyetizasyon mutlak sıfırdaki değerinden artacaktır. Düşük sıcaklıklarda manyetizasyondaki azalma

0 (1 ) n

M =M ⋅ −

α

T

ile temsil edilebilir. Burada M , ₀ 0K `deki manyetizasyondur ve

2 3 =

n dir. Bu _T32 Bloch kanunu olarak bilinir.

Eğer bir iyonun manyetik momenti, sadece tek elektrondan dolayı olursa, aşağı-spin ve yukarı-spine karşılık gelir. Eğer her bir atom için bir elektrondan daha çoğu manyetik momente katılırsa bir spin sapmasının yayılması olacaktır. Bir spin dalga enerjisi de magnon olarak adlandırılır.

Bu çalışmada, düşük sıcaklıklarda manyetizasyonun sıcaklıkla değişimi incelenecektir.

(9)

2. MANYETĐZASYON HESABI

Manyetizasyon ifadesini elde edebilmek için kullanacağımız ilk dönüşüm i

S

spin operatörlerinden spin-sapma yaratma ve spin-sapma yok etme

a

†_i ve

a

_i, operatörlerine dönüşümdür.

a

†_i yaratma operatörü orijinal durumundan enerji olarak bir birim daha yüksek duruma değiştirir, yani bir kuantum enerjisi yaratır. Benzer olarak

a

_i yok etme operatörü bir kuantum enerjisi yok eder ve böylece orijinal durumdan enerji alarak bir birim daha alçak bir duruma değişir. Bu

a

†_i ve

a

_i, operatörleri

[ ]

[ ] [

,

]

0 ,

=

† † † j i j i ij j i

a

δ

(1)

komütasyon bağıntılarını sağlar ve

a

†_i

a

_i

`nin özdeğerleri olan

n

_i spin-sapma doluluk sayısı aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır:

iz i

S

n

=

−

(2)

Böylece

a

_i operatörü,

S

_iz`ye indirgenir. Böylece iki tane bağımsız spin operatörleri olarak

iy ix i S iS

S± = ± (3)

kullanılır. Çünkü bu spin operatörleri uygun yükselme ve azalma özelliklerine sahiptir. Atomik spektrumlar teorisinden

[

(

+

1 )

−

(

±

1 )

]

12

+

1 =

± iz iz iz iz i

S

(4)

şeklinde verilir. Şimdi Denk(4) kullanılarak

[

]

1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

(

1)

(

1)

1 (

)

1 (

1) (

)

1

1 (2 ) (1

) (

)

1

2

z z z z z z z z z z z z z z z

S

S S

S

SS

S

+

₌

_{+ −}

₊

=

+ +

−

+

=

+ +

−

+

− −

=

−

+

S

(5)

(10)

elde edilir. i indisini dahil edilerek ve Denk(2)’yi kullanarak

1 )

(

2

1

1 )

2 (

12 2 1 2 1

_

−











−

=

+ i i i i i

n

S

n

S

n

S

(6)

elde edilir. Burada

1 )

1 (

12 2 1

+

=

n

†

1 -n

n

a

(7)

eşitlikleri kullanılarak, Denk(6) `nın

( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 i i i z i i i i i n n S n S S n S n n S n S n S + ₌  ₋ −  ₊     −   =  −  −   −   =  −    S a (8)

indirgendiği bulunur. Sonuç olarak

i i i

S

n

S

a

S

2 1 2 1

2

1

1 )

2 (













−

=

+ ₍₉₎

elde edilir. Denk(9)`da,

a

_i,

n

_i üzerine işlem yaptığı zaman,

(

n

i

−

1 )

durumu elde

edildiğinden dolayı ve de

n

=

a

† (10)

eşitliğinden dolayı,

(

n

i

−

1 )

yerine

a

i

a

i † yazılır.

1 )

1 (

1 =

−

i i i i i

a

n

a

† (11) Benzer olarak, Denk(4) `den ikinci bağıntıyı alarak

(11)

(

)

(

)

(

)(

)

( )

(

)

( )

(

)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

2

1

2

1

2

z z z z z z z z i z i i z

S

S S

S

n

S

n

S

n

S

−

₌

_

_{+ −}

₋

_

₋





=



_

− +

+



_

−





=

+



−



−









=

+



−



−





S

(12) veya

( ) (

)

( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 i i i i i i i i n n S n n S n n S n S −   = +  −  +     =  −    -S S a†

( )

1 2 1 2

2

1

2

i i i

n

S





=



−







-S

a

† (13) elde edilir.

Böylece Denk(13) dönüşümü yani spin-sapma yaratma ve yok etme operatörleri ile spin operatörlerinin ilişkisi türetilir. (2), (9) ve (13) denklemlerinden

i i iz S a a S = − † i i i i

S

a

S

2 1 2 1

2

1 )

2 (

_











−

=

+ † (14) 2 1 2 1

2

1 )

2 (

_











−

=

−

S

i i i i

a

S

† † elde edilir.

Denk(14) dönüşümünden manyetizasyon ifadesini türetebilmek için, Değiş-tokuş, Zeeman ve dipol-dipol etkileşimlerinden oluşan hamiltoniyen aşağıdaki gibi yazılabilir:

(12)

[

(

)

3 (

)(

)

]

4

2

1

2 )

(

2 1 , 5 2 ' 1 1 , j ij i ij j i ij N j i _ij B N i iz B N j i j i ij

H

J

S

R

S

R

S

R

S

R

⋅

−

⋅













+

−

⋅

−

=

∑

= = =

µ

H

(15)

Burada R , _ij

S

_i ve

S

_j spinlerinin konum vektörüdür ve

N

toplam atom sayısıdır.

Denk(15)`de ilk terim, atomik spin operatörlerine göre ifade edilen

Heisenberg değiş-tokuş enerjisidir ve üçüncü terim farklı atomlar üzerine elektronlar arasındaki manyetik dipol-dipol etkileşiminden kaynaklanır.

Şimdi Denk(14) ile verilen ilk dönüşümü kullanarak ve Denk(8) komütasyon bağıntıları kullanılarak, Denk(15) hamiltoniyenin ilk teriminin

( )

( )(

)

( )

(

)(

)

( )

, , , , 2 2 2 2 1 4 N e x ij i j i j N ij ix jx iy jy iz jz i j j j j j i i i i N ij i j i i j j N i j i j j j i j i j ij i j J J S S S S S S i i J S S J + = − ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅  ₊    ₋  ₋   + +  _ _  _ _  = −          − −     + + + − = −

∑

+ - + -+ - + -+ + + - - - - + R S S R S + S S S S S S S R a a a a S S S S S S S S S S R † † H

(

)

(

) (

)(

)

( )

(

)

(

)(

)

, 1 4 1 4 i j i j i j i i j j N _i _j _j _j _i _j _i _j ij i j i i j j S S J S S − + − + +   +     ₊ ₋ ₊ ₋ ₋        + + + +   = − _ _ − −    

∑

+ + -+ - - + - -S -S S S S S a a a a S S S S S S S S R a a a a † † † †

(13)

( )

(

) (

)(

)

( )

(

) (

)(

)

( )

(

) (

)(

)

( ){

}

( )

, , , 2 , , 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 N ij i j i j i i j j i j N ij j i i j i i j j i j N ij i j i i j j i j N ij i j i i i i j j i j N i ij i i j J S S J S S J S S J S S n J S S + + + +   = − _ + + − − _     = − _ + + − − _     = − _ + − − _   = − + − −   = −  − 

∑

+ - -- + -R S S S S a a a a R S S S S a a a a R S S a a a a R S S a a a a a a R a † † † † † † † † † †

( )

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 , 1 2 2 2 1 1 2 2 2 j j i i i i j j N j j i i ij i j i i i i j j i j n S S S J S S S S S  _ _    − + − −              _ _ _ _    = −   −  _ − _ + − −         

∑

a a a a a a a a a a a R a a a a a a a a † † † † † † † † † (16) ya indirgendiği bulunur. Burada aşağıdaki bağıntılar kullanılır.

ˆ

x y x y i ix iy ik j jx jy jk

S

iS

S

iS

S

S x

S y

S z

S

S x

S y

S z

=

+

=

−

=

+

=

+

-S

S

2

x y

S

i

+

−

=

S

+

S

-

=

S

+

S

-(

)

(

) (

)

{

}

(

)(

) (

)(

)

, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ,

1,2,3,...

...

2

j i i j i j j j j i j i j

i

j

− + − − − + − − − − − − − +

+ ⋅

=

+

=

+

=

∑

- + - + + + + + + + + +

S S

S

S S

S

S S

Benzer olarak Denk(15)`de dipol terimleri

(

) (

)(

)

(

)

( )

(

)(

)

2 2 5 , 1 1 2 1 2 2 2 † 3 , 2 5 , 1 4 3 2 1 4 2 2 1 1 2 2 2 1 4 3 2 N B dipol ij i j ij i ij j i j ij N j j B i i i i i i j j i i j ij B ij i ij j i j ij S S S S S µ µ µ =     = _ __ ⋅ − ⋅ ⋅ _    _ _ _ _    = _ − + +  − _{ } − _ _         − _ _ ⋅ ⋅  

∑

j R S S R S R S R a a a a a a a a a a a a R R S R S R † † † † † † H (17)

(14)

şeklinde yazılabilir. Denk(17)`de

(

R_ij⋅S , _i

)

(

R_ij⋅S_j

)

ve

(

R_ij⋅S_i

)(

R_ij⋅S_j

)

terimleri için;

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

1

4

1

2

4

1

2

x y z ij i ix iy iz x y x Y z z z z z z ij i ij i ij i ij i

R S

R

iR

S

iS

R

S

R

S

R S

i

R S

± ± + − + − + − + − + + + − − + − − + + + − − + − − + − − +

⋅ =

+

= ±



₊



₊

 

₋



₋



=





 

+





+





 





=

+

−

+

=

+





⋅ =



+



+ - - + z z

R S

(

)

1

2

ij j ij j ij j ij j









⋅ =



+







+ - - + z z

R S

( )( )

(

)

(

)

(

)(

) (

)

(

) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2

1

2

1

4

2

1

2

1

4

ij i ij j ij i ij i ij j ij j ij j ij j z i i j j i i jz z z z z z i j j i j i j i j i j i + − − + + − − + + − − + + − − + + − − + − − + − + + − −











⋅

⋅ =





+



+















=

+

=

+

+ - - + z z + - - + z z

R S R S

R S

R S R S

R S

RS RS RS

RS

RS RS RS

RS RS

RS

R S S

RR S S

R S

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 2

1

2

1

2

1

4

2

1

2

4

z z j i j z z z z z z z z z i j i j i j i j z z ij i j ij i j ij i j ij ij i j ij ij i j z z ij ij i j ij ij i j i j i j + + + − − + + − − + − + + + − − + − + + − − + − + + −

+

=

+

+ - - z z z + z - z z z

S

RR S S

R S S

R

S S

R

S S

R S S

R R S S

RR S S

( )

2 2 2

1

4

1

2

z z z z ij i j ij i j ij i j ij ij i j ij ij i j ij ij i j − + + + − − + − +

=

+

+ - - z z z +

-R

S S

R

S S

R S S

R R S S

(18) bulunur. Burada y ij x ij ij R R R± = ±

(15)

dır. Denk(15)`deki zeeman terimi;

(

)

2 2 zeeman B iz i B i i i HS H S

µ

= − = − −

∑

a a† H (19)

şeklinde yazılabilir. Toplam hamiltoniyen ise aşağıdaki biçimde yazılır:

( )

(

)

( )

(

)

( )

1 2 1 2 2 , 1 1 2 1 2 2 2 3 , 2 2 1 1 2 2 1 4 2 2 1 1 2 2 2 ex dipol zeeman N j j i i ij ij i i i i j j i j i j N j j B i i i i i i j j i j i j ij J S S S S S S S S S S µ = = + +  _ _ _ _    =−  − + +  − _{ } − _                 + _ _ − + +  − _{ } − _      

∑

a a a a R a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a R † † † † † † † † † † † † H H H H

( )

{

}

(

)

(

)

( )

2 2 ₂ 5 , 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 3 2 2 3 3 2 2 1 2 1 1 2 2 4 2 2 3 2 2 N z B ij i i i i j j i j ij j j j j z i i ij ij i i j ij i j z ij ij S S s S S S S S s µ = −           _ _ + _ _− − + _               + −  − _ − _ + −   −  _ − _             + −   

∑

+ + R a a a a a a R a a a a a a R R a a a R a a R R † † † † † † † † † †

(

)

( )

(

)

( )

(

)

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 2 4 2 2 3 2 2 1 1 2 4 2 2 j j i i j j i i j ij i j j j i i ij ij i j B i i i S S S S S S H S S S µ − −         − _ − _ + −   −  _ − _               + −   − _{ } − _ − −      

∑

+ a a a a a a a a a R a a a a a a R R a a a a † † † † † † † † (20)

Denk(16)`dan Denk(19)`a kadar olan ifadeleri çok daha basit ve çözülebilir biçime indirgemek için, aşağıdaki yaklaşımlar yapılabilir. Eğer manyetizasyon doyuma yakın olursa 1 ) , ( 2 1 0 0− << M H T M M veya ₁ 2 << − S S S z

olması beklenir. Sonuçta

(i) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 i i ni S Sz S S S   _ _ _ ₋ _ − = −  = −  ≈         a a† (ii)

a

†_i

a

_i

a

†_j

a

_j

=

n

_i

n

_j

≅

0

(16)

Bu, farklı spin sapmalarının yerleşiminde hiçbir korelasyon olmadığı anlamına gelir, yani, S çok büyük bir sayı olduğundan dolayıdır.

(iii)

(

2 )

12 †

=

(

2 )

12 †

<<

1

j i j i i

S

n

S

a

Bunlar, farklı toplam spin durumları arasındaki geçişleri gerçekleştirmek için sistemin neden olduğu terimlerdir. Bunlar, sadece spin sapmalarının önceden var olduğu atomlara yakın meydana gelen geçişler için sıfırdır.

Bu yaklaşımlar ile Denk(16), Denk(17), Denk(18) ve Denk(19) birlikte toplanıldığı zaman toplam hamiltoniyen çok daha basit bir şekilde:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

2 , 1 , 2 2 2 3 3 , , 2 2 2 2 2 5 5 , , 2 5 , 2 1 4 1 4 2 2 2 1 4 1 4 3 2 2 2 1 4 2 N ij ij ij ij i j i i i j i j N N B B i j i i i j ij i j ij N N z z B B ij ij i i i j ij i j ij N B i j ij J S SJ S S S S µ µ µ µ µ = = − − −     + _ _ + _ _ −         + − _ _ + _ _ −       + _ _  

∑

R R a a a a a a a a R R R R a a R R R R † † † † † H

(

)

( )

(

)

( )

1 2 2 2 5 , 2 1 2 5 , 2 2 5 , , 3 2 2 2 1 4 3 2 2 4 1 4 3 2 2 2 2 1 4 3 2 2 4 2 2 z ij ij i i j N B ij i j i j ij N z B ij ij i i j i j ij N B ij i j i j ij B B i i i j i S S S S S S HS H µ µ µ µ µ + + − −   − −       _ _ + _ _ −        _ _ + _ _ −  −       _ _ + _ _ −      − +

∑

R a a a R a a R R R a a a R R a a R a a † † † † † † (21)

yazılabilir. Burada sabit terimleri e olarak göstererek hamiltoniyen

( )

(

)

( )

(

)

( )( )

(

)

(

)

2 3 , , 2 2 2 2 † 5 , 1 4 2 2 2 1 4 1 1 3 2 2 2 4 2 N B ij ij i j i i i j i i i j i j ij N B ij i i ij ij i j ij i j ij i j i j ij B i i i e SJ S S z x y H µ µ µ + −   = − − + _ _ −     __ __ + _ _ − _− + + + + _       +

∑

R a a a a a a a a R a a a a R a a R a a R a a † † † † † † † † H (22) yazılır.

(17)

Burada 2 2 2 2 3 2 , , 3 1 4 ( ) 2 1 2 ij B ij ij B i j i j ij ij z e= − J S −

µ

HNS+

µ

S _ − _  

∑

R

∑

R R (23) j i ij R R R = − ve ij ij ij x iy R± = ±

dir. e sabiti, bütün manyetik atomlarda uygulanan manyetik alanın doğrultusu boyunca yöneldiği zamanki enerjiyi gösterir. e deki ilk terim, değiş-tokuş enerjisidir; ikincisi, atomlar ve manyetik alan arasındaki etkileşimdir; üçüncüsü, dipolar etkileşimdir.

Hamiltoniyeni köşegenleştirmek için uygulanan dönüşüm, Denk(24) dönüşümüdür. Denk(24) dönüşümünü yapmak için fiziksel neden ise; Denk(22) hamiltoniyeninde, j `inci spin yukarı flip oluyorken i `inci spin aşağı flip olan

a

†_i

a

_j gibi çarpanlar içerir. Öyle ki bu çarpan iki tane farklı örgü yerine, i ve j ye bağlıdır. Fiziksel olarak, aşağıda verilen Denk(24) dönüşümleri, bir tek i yerine bağlı olan

a

_i operatöründen,

a

_λ `nın örnekteki bütün örgü yerlerine, i, j, v.s., bağlı olduğu anlamında korelatif operatörler olan

a

_λ operatörüne götürür.

∑

⋅ − ⋅ − −

=

λ λ λ λ λ λ † †

a

R K R K ) ( 2 1 ) ( 2 1 l l i l i l

e

N

e

N

(24) ve ters dönüşümleri

∑

⋅ − − ⋅ −

=

l l i l l i l l

e

N

e

N

† †

a

R K R K ) ( 2 1 ) ( 2 1 λ λ λ λ (25)

olarak tanımlanır. Burada N , sistemdeki toplam spin sayısıdır. Bu yeni operatörler aşağıdaki komütasyon bağıntısını sağlarlar.

(18)

(

)

( ) ( )

(

)

( )

{

}

( )

{

}

( ) † ,

,

1

1 ,

l l l l l l l l l i i i i l l l l l i i l l l l l i l l l l l i l l l i l

e

N

e

N

e

N

e

N

e

N

µ µ λ λ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ µ λ λµ λ µ

δ

− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − − − − −





₌

₋





=

−

=

−





=

_

−

_





=

_

_

=





=

_

_

=









∑

Κ R Κ R Κ R Κ R Κ Κ R Κ Κ R Κ Κ R Κ Κ R Κ Κ R Κ Κ

a a

a

a a

† † † † † † † † † † † λµ

δ

=

(26)

Denk(24) ve Denk(25) `de, R , _l l `inci atoma keyfi bir orjinden vektörü gösterir, büyüklüğü, örgü sabitleri birimlerinde karşılık gelen mesafeyi ölçer; K , _λ indirgenmiş bir dalga vektörüdür. Örgünün periyodikliği ise

z

y

x

i

G

K

i i i

,

2 =

=

πλ

λ (27)

olduğunu gösterir. Burada

λ

_i,

−

₂1

G

_i ve

(

₂1

G

_i

−

1 )

arasında herhangi bir tam sayı değerinde olabilir.

G

_i `ler örneğin ve örgü sabitlerinin uzunlukları oranıdır.

l

a

ve

a

_λ `nın yer değiştirmesi, Denk(22) hamiltoniyeninin özdeğerinin değerlendirilmesinde ilk adım oluşturur (ikinci dönüşüm). Bu yer değiştirmeyi yapmak için, aşağıdaki ifadenin toplamı değerlendirilmelidir:

( )

( ( ( )))

( )

( ) , , , , , , , , , , ,

1

l _m l l h l h i i lm l m lm l m l m lm l m h m l h i lm l m h l m l h i h l h

f

e

N

f

e

N

f

e

N

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ′ ′ ′ ⋅ − ⋅ ′ ′ ⋅ − − ′ ′ − + ′ ′

=

−

=

−

=

∑

Κ R Κ R Κ R Κ R R Κ Κ R Κ R

R

a a

R

a a

R

a a

R

a a

R

a a

† † † †

(19)

( )

( ) , , , ,

1

i l i _h lm l m h l m l h

f

e

N

λ λ λ λ λ λ λ ′− ′ ′

=

∑

Κ Κ R _Κ _R

R

a a

†

R a a

† (28) Burada lm m l h R R R R = − = `dir

( )

( ) ( )

_{( )}

, , , , , 1 1 1 l l l l i i lm lm l l h l m l i h l i h l J J e e N J e N e J N λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

′ ′ ′ − ′ ′ − ′ ′ − ′ = ′ = = =

∑

Κ R Κ R Κ R R Κ R R R a a R a a R a a R a a † † † †

( )

, 1 h lm lm l l h l m N J N J J λ λ λ λ λ λ ′ ′ = =

∑

R a a R a a R a a † † † (29)

elde edilir. Böylece,

( )

{

}

( )

, , , , , h h i lm l m h l m h lm lm l l h l m i lm l m lm lm l l h h l m h f f e J J f J f e J λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ′ ′ ′ ′ = = − = −

∑

Κ R Κ R R a a R a a R a a R a a R a a R a a R a a R a a † † † † † † † †

(

)

(

)

3 3 3 , ,

1

h i l m l l l m lm h h

e

a

λ λ λ λ

−

=

−

∑

Κ R

a a

R

† † † (30)

sonucu olur. Bu yaklaşımları uygulamadan önce Denk(22)`yi kolaylık için aşağıdaki biçimde yeniden yazılır:

(

)

(

)

(

)

( )

2 3 , , 2 2 2 2 5 , 2 2 2 5 ,

4

2

6

2

6

1

2

B lm l m l l l m l l l m l m lm B lm lm l m lm l l l m lm B lm l m lm l m B l l l m lm

S

e

SJ

S

x

y

z

S

H

µ

+ −

_µ

= −

−

+

−





−

_

+

−

_





−

_

_

+

_

_

+

∑

a a

R

a a

R

a a

R

a a

R

† † † † † † † † †

H

(31) Burada

(20)

2 2 3 2 , ,

2

3

2

B

1

lm lm B B l m l m lm lm

S

z

e

= −

J S

−

µ

HNS

−

µ

S





−

µ





−











∑

R

dir. Şimdi Denk(31)`deki terimlere Denk(30) dönüşümünü uygulayarak Denk(31)`deki 2 2 2 2 3 5

4

6 (

)

(

)

B B l m l l l m l l lm lm lm

S

x

y

µ

₋

µ

_

₊

₋

_





∑

a a

R

† † † † için; 2 2 2 2 3 5 2 2 2 2 2 3 5 2 2 2 2 2 3 3 5 4 6 ( ) ( ) 4 6 ( 1) ( ) 2 4 4 6 ( ) h h h h B B l m l l l m l l lm lm lm i i B B lm lm lm lm i i B B B lm lm lm lm lm S S x y S S e x y e z S S S e z e λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

µ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅   − − _ + − _     =  − −  + −      = − − − +

∑

K R

∑

K R

∑

K R K R a a a a a a a a R R a a a a a a R R R R R R † † † † † † † 2 2 5 2 2 2 3 3 2 2 6 2 3 2 2 2 h 2 3 h h (3 ) B lm lm lm i i lm i B lm lm lm lm lm S z z S e e e z a λ λ λ λ λ λ λ λ λ

µ

⋅ ⋅ ⋅         =  − − + +   

∑

K R K R K R

∑

a a R a a R R R † † 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2

2

3

2

2 (3

)

2

3

1 2 1

2

3

1

1 3 1

h h h h i i B lm lm lm lm lm lm i B lm lm lm lm lm lm i B lm lm lm lm lm lm

S

z

e

z

a

S

z

e

a

S

z

e

a

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

µ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅





=



−

− +

+



















=



−



−



−



−



















 



=



−

 

− −



−



 



∑

K R K R K R K R

a a

R

a a

R

† † 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2

3

6

3

2

3

1

1 (1

h

)

lm lm i B h B h h h h h h

z

S

z

S

z

e

a

λ λ λ λ λ λ λ

µ

⋅









−





















_







_







=





−



−





+



−



−

























∑

K R

∑

a a

R

a a

R

† † (32) elde edilir.

Aynı şekilde Denk(31)`deki

2 2 5 ,

6 (

)

B lm l m l m lm

S

µ

_

−

_

−

_

_

∑

R

a a

R

için;

(21)

' 2 2 5 , 2 2 2 5 , 2 2 2 5 , , 2 ( ) 2 2 5 , , , , , , ,

6 (

)

6 (

2 )

6

1 (

2 )

6

1 (

2 )

l m l l h B lm l m l m lm B h h h h l m l m lm i i B h h h h l m lm i i B h h h h l m lm l m

S

x

y

ix y

S

x

y

ix y

e

N

S

x

y

ix y

e

N

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

µ

− − ⋅ − ⋅ ′ ′ − ⋅ − − ′ ′ ′ ′





−

_

_

=

−

=

−

=

−

=

∑

K R K R K R K R R

R

a a

R

a a

R

a

R

a a

R

' ' 2 ( ) ) 2 2 5 ,

6

1 (

2 )

i l i h B h h h h lm

S

x

y

ix y

e

N

λ λ λ λ λ λ λ

µ

− + ⋅ ⋅ ′ ′

−

∑

K K R K R

a a

R

' 2 2 2 , ' 5 , , 2 2 2 5 , 2 2 2 5 ,

6

1 (

2 )

6 (

2 )

6 (

2 )

h h h i B h h h h h h i B h h h h h h i B h h h h h h

S

x

y

ix y

N

e

N

S

x

y

ix y e

S

x

y

ix y e

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

µ

_δ

µ

− ⋅ ′ − ′ ⋅ − − ⋅ −

=

−

=

−

=

−

∑

K R K R K R

a a

R

a a

R

a a

R

(

)

2 2 2 2 2 5 3 3 2 , , 2 2 2 3 2 , 3

6

2 (

)

6

2

1

h B B h h h h lm l m l m lm h h h i B h h h h h h h

S

S x

y

ix y

a

S x

y

ix y

e

a

λ λ λ λ λ

µ

− − ⋅ −



_{− −}





−

_

_

=



−





− −

+

−





∑

K R

R

a a

R

a a

R

(33) elde edilir. Denk(31)`deki 2 2 5 ,

6 (

)

B lm l m l m lm

S

µ

_

+

_

−

_

_

∑

R

a a

R

† † terimi için;

(22)

' 2 2 5 , 2 2 2 5 , 2 2 2 5 , , 2 ( ) 2 2 5 , , , , ,

6 (

)

6 (

2 )

6

1 (

2 )

6

1 (

2 )

l m l l h B lm l m l m lm B h h h h l m l m lm i i B h h h h l m lm i i B h h h h l m lm l

S

x

y

ix y

S

x

y

ix y

e

N

S

x

y

ix y

e

N

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

µ

′ + ⋅ ⋅ ′ ′ ⋅ + − ′ ′ ′





−

_

_

=

−

+

=

−

+

=

−

+

=

∑

K R K R K R K R R

R

a a

R

a a

R

a

R

a a

R

† † † † † † † † ' ' 2 ( ) 2 2 5 , , , 2 2 2 , 5 , , 2 2 2 5 ,

6

1 (

2 )

6

1 (

2 )

6 (

2 )

l h h h i i B h h h h m lm i B h h h h h h i B h h h h h h

S

x

y

ix y

e

N

S

x

y

ix y

N

e

N

S

x

y

ix y e

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

µ

_δ

µ

− + ⋅ − ⋅ ′ ′ ′ − ⋅ ′ − − ′ ⋅ −

−

+

=

−

+

=

−

+

∑

K K R K R K R K R

a a

R

a a

R

a a

R

† † † † † †

(

)

2 2 2 5 , 2 2 2 3 3 2 , 2 2 2 3 2 , 3

6 (

2 )

6

2

6

2

1

h h i B h h h h h h B h h h h h h h i B h h h h h h h

S

x

y

ix y e

S x

y

ix y

a

S x

y

ix y

e

a

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

µ

⋅ − ⋅ −

=

−

+



₋

₊

=



−





−

+

−





∑

K R K R

a a

R

a a

R

† † † † (34) elde edilir. Denk(31)`deki

2

_B _l _l l

H

µ

∑

a a

† terimi için; , ( ) , ( ) ,

1

2

1

2

1

2

l l l l i i B l l B l l i B l i B l B l

H

e

N

H

e

N

H

N

e

N

H

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ

µ

δ

µ

′ ′ ′ − ′ − ′ − ′ ′

=

∑

∑∑

K R K R K K R K K R

a a

a

a a

† † † † † (35)

(23)

elde edilir. Aynı şekilde 3 3 ,

2

2 (

)

h

(

i h

1)

lm l m l l lm h h

SJ

e

a

λ λ λ λ

−

∑

−

= −

∑

K R

−

a a

R

† † † (36)

sonucu elde edilir. Hamiltoniyenin en son hali ise

(

)

2 2 2 2 3 3 2 3 3 2 , 2 2 2 3 3 2 , 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 ,

6

3

2

3

1

1 (1

)

1

6

2

6

2

1

6

2

h h i B h B h h h h h h B h h h h h h h i B h h h h h h B h h h

S

z

S

z

e

a

S x

y

ix y

a

S x

y

ix y

e

a

S x

a

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

µ

⋅ − ⋅ −





















= −





−



−





+



−



−



























₋

+



−





−

+

−





−

+

−

∑

K R K R

a a

R

a a

R

†

H

(

)

2 2 2 2 2 3 2 3

2

6

2

1

2

h h h h h i B h h h h h h B

y

ix y

S x

y

ix y

e

a

H

λ λ λ λ λ λ

µ

⋅ −



₊







−

+

−





+

∑

K R

R

a a

R

a a

† † † (37) şeklindedir.

Denk(31) `deki bütün toplamlar bu yolla ele alınarak, hamiltoniyen

(

)

1 2

e

A

_{λ λ λ}

B

_{λ λ} _λ

B

_{λ λ} _λ λ − −





= +

∑

_

a a

†

+

a a

+

†

a a

† †

_

H

(38)

şeklinde yazılır. Denk(38) `de ilk terim köşegen biçiminde olduğundan dolayı, ikinci terimde operatörlerin

λ

ve

−

λ

parçacıkları için iki tane yaratma operatörü veya iki tane yok etme operatörü olarak göründüğüne dikkat edilmelidir.

Burada

(

)

(

e

)

H

SJ

e

z

a

S

z

a

S

A

B h i h h i h h B h _h h h B h h

µ

λ λ λ

2

1 )

(

2

1

3

1

2

3

1

6

2 2 3 3 2 2 2 3 3 2

+

−

+

−













−

+













−

=

∑

⋅ ⋅ R K R K

R

₍₃₉₎