D.E.Ü.İ.İ.B.F.Dergisi
Cilt:13, Sayı:II, Yıl:1998, ss:173-184
PLANLI BAKIM SİSTEMLERİ İÇİN BAZI STOKASTİKYENİLEME MODELLERİ
Abdullah EROĞLU(*) ÖZET
Bir sistem ve sistemi oluşturan elemanların arızalanmaları rassaldır. Dolayısıyla sistemi meydana getiren elemanların ömürleri rassal değişkenlerdir. Arızalarla doğrudan ilgisi nedeniyle bakım da rassal nitelik taşır. Bu nedenle bakım planlamasında stokastik yenileme modellerinin önemli bir yeri vardır. Bu çalışmada stokastik yenileme modellerinden yaş yenileme (age raplacement), blok yenileme (block replacement) ve küçük tamirli yenileme (replacement with minimal repair at failure) modellerinin tanıtılması amaçlanmıştır. Arıza verilerinin artan arıza oranına sahip sürekli tekdüze ve Weibull dağılımına uygun olması durumunda söz konusu modeller için çözüm sonuçları verilmiştir.
1. GİRİŞ
Üretimin planlandığı gibi gerçekleştirilebilmesi makine ve tesislerden oluşan üretim sisteminin düzenli bir biçimde çalışmasına bağlıdır. Öte yandan sistemin düzenli çalışması ise planlı bakımla mümkündür. Bir sistem veya sistemi oluşturan elemanlar kullanımla yıpranmakta ve zamanla fonksiyonunu tam olarak yerine getirememektedirler. Bunun yanı sıra beklenmedik zamanlardaki arızalanmalar sistemin diğer elemanlarına zarar vermekte ve daha kötü sonuçların ortaya çıkmasına neden olmaktadır. Bundan dolayı sistemi arızalanıncaya kadar kullanmak ekonomik olmamaktadır. Bazı durumlarda sistemin veya elamanlarının arızalanmadan önce yenilenmesi daha uygun olmaktadır. Bir sistemin arızalanmadan önce yenilenmesine “koruyucu yenileme” adı verilir. Koruyucu yenilemenin yapılması aşağıdaki koşullarda uygundur.
a) Bir sistemin koruyucu yenileme maliyeti arızalandıktan sonra yenilenmesi maliyetinden daha az olmalıdır.
b) Sistemin arızalanma oranı (failure rate) artan olmalıdır. (Jardine, A.K.S., 1973)
Stokastik yenileme modellerinde sistemin arızalanma davranışının belirli bir dağılıma uyduğu varsayılır. Arızalanma dağılımı, arıza verilerinden elde edilir. En çok kullanılan arıza dağılımları; weibull, normal ve gamma dağılımlarıdır. Yenileme modellerinde amaç toplam yenileme maliyetini veya toplam duruş süresini minimum yapan yenileme zamanının belirlenmesidir. Bu
Stokastik Yenileme Modelleri
çalışmada yalnızca toplam yenileme maliyetlerini minimum yapmayı amaçlayan bazı stokastik yenileme modelleri tanıtılacaktır.
Notasyonlar
C
f : Sistemi arızalandıktan sonra yenileme maliyeti,C
p: Koruyucu yenileme maliyeti,C
r: Küçük tamir maliyeti,f (t) : Sistemin arıza olasılık yoğunluk fonksiyonu, F (t) :
∫
ot f (t) dt : Birikimli arıza dağılım fonksiyonu(Sistemin t den önce arızalanma olasılığı),
F(t) = 1- F (t) : Güvenilirlik fonksiyonu (sistemin en az t zamanına kadar arızalanmama olasılığı) ,
r (t) : f(t)
F (t) : Arızalanma oranı fonksiyonu,
µ :
∫
∞o t f (t) d t : Sistemin ortalama ömrü, N (t) : (0 , t) aralığındaki arızalanma sayısı,S
n: n tane arızanın meydana gelmesi için geçen zaman,F
n (t) : P {S
n≤ t } :S
n nin birikimli dağılım fonksiyonu,M (t) = E
(
N (t) =)
Fn (t) :(0,t) aralığındaki beklenen arıza sayısı,n=1 ∞ ∑
(
)
M (s): f (s) s 1 f (s) : ∗ ∗ − ∗ M (t) nin Laplace dönüşümü,f s
∗( )
: f (t) nin Laplace dönüşümü, m (t) :dM(t)
dt
:
Yenileme yoğunluğu fonksiyonuAbdullah Eroğlu 2. Yaş Yenileme Modeli
Bu modelde sistem ya arızalandığında ya da tP zamanında (hangisi önce
olursa) değiştirilir (yenilenir). C1(tP); birim zamanda toplam beklenen yenileme
maliyeti; ) P (t F P t tf(t)dt P t o ) P (t F P C ) P F(t f C zunluğu u çevrimi yenileme Beklenen maliyeti yenileme beklenen Toplam ) P (t 1 C + ∫ + = =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
(1)
şeklindedir (Özkaya, G., 1977, Barlow, R.E. ve diğerleri, 1965). Amaç C1 (tp) yi
minimum yapan yenileme zamanının belirlenmesidir. Bunun için (1)
denkleminin t
* P
t
p’ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlenirse,
[
]
{
[
][
]
}
0
)
(t
F
.
t
tf(t)dt
/
)
(t
F
C
)
F(t
C
)
(t
f
t
-)
(t
F
)
f(t
t
)
(t
F
.
t
tf(t)dt
)
f(t
C
)
f(t
C
dt
)
(t
dC
2 t 0 * p * p * p p * p f * p * p * p * p * p t 0 * p * p * P p * P f p p 1 * p * p=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
∫
∫
olur. Buradan;[
(C C )F(t ) C]
0 ) (t F ) (t F t tf(t)dt ) (t )f C (C * p p p f * p t 0 * p * p * p p f * p = + − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + −∫
p * p * p * p t 0 * p * p * p p f
C
)
f
(t
)
tf(t)dt
t
F
(t
)
F
(t
)F
(t
)
F
(t
)
C
(C
* p=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
∫
) (t F / ) f(t ) r(t C -C C ) (t F / ) (t )F (t F ) (t F t tf(t)dt ) (t f P P P p f p * p * p * p t 0 * p * p * p * p = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +∫
Stokastik Yenileme Modelleri (2) ) C -(C / C ) (t F ) (t f t dt (t) tf ) (t r * p f p p t 0 * p * p * p * p = − +
∫
denklemi elde edilir. Arıza oranı fonksiyonunun [r (t)]; sürekli ve artan olduğu
varsayılırsa, (2) denkleminin ya gibi tek bir çözümü vardır, ya da
çözümü yoktur. Çözümü olmaması * p p
t
t
=
∞ = pt olması anlamına gelir, bu da sistem
arızalandığında değiştirilecektir demektir (Glasser, G.J., 1967). (2) nin gibi tek bir çözümü olması halinde minimum maliyeti bulmak için (2)denkleminden nin eşiti (1) denkleminde yerine yazılırsa.
* p p
t
t
=
p C∫
∫
+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = * p * p t 0 * p * p * p t 0 * p * p * p p f * p p f * p 1 ) (t F t tf(t)dt ) F(t -) f(t t tf(t)dt ) r(t ) C -(C ) F(t ) C -(C ) (t C∫
∫
+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = * p * p t 0 * p * p t 0 * p * p * p p f ) (t F t tf(t)dt ) f(t t tf(t)dt ) r(t ) C -(C(3)
)
r(t
)
C
-C
(
)
(t
C
)
(t
F
t
tf(t)dt
)
(t
F
t
tf(t)dt
)
r(t
)
C
-(C
)
(t
F
t
tf(t)dt
)
(t
F
)
r(t
t
tf(t)dt
)
r(t
)
C
-(C
* p p f * p 1 t 0 * p * p t 0 * p * p * p p f t 0 * p * p t 0 * p * p * p * p p f * p * p * p * p
=
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
∫
∫
∫
∫
Abdullah Eroğlu
bulunur. tp =∞ olması durumunda söz konusu maliyet;
0 ) (t F t lim µ ve tf(t)dt , 0 ) ( F , 1 ) F( p 0 p tP = = = ∞ = ∞
∫
∞ ∞ → olduğundan(4)
µ
C
)
(
C
f 1∞
=
elde edilir.2.1. Arıza Verilerinin Sürekli Tekdüze Dağılıma Uyması Durumu
Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu; (Law, A.M., and Kelton, W.D., 1982) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − = d.d. , 0 b t a , a b 1 f(t)
birikimli dağılım fonksiyonu,
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ ≤ − = t b , 1 b t a , a b a -t F(t)
ve arıza oranı fonksiyonu,
t b 1 r(t) − =
biçimindedir. k=Cf -Cp ve m = b - a olarak alınırsa (1) denklemi
[
t
/
(2m)
]
t
[
1
(t
/
m)
]
C
m)
/
(kt
)
(t
C
P P 2 P P P P 1−
+
+
=
ve (2) denklemi,Stokastik Yenileme Modelleri
k
C
m
a
)
t
-2m(b
t
p * P *2 P+
=
olur. Buradan⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
m
b
k
mC
a
k
mC
k
mC
a
t
* p P P Pelde edilir. (3) denkleminden minimum maliyet;
* P P f * P * P 1
t
b
C
C
t
b
k
)
(t
C
−
−
=
−
=
olur.2.2. Arıza Verilerinin Weibull Dağılımına Uyması Durumu Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu,
) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = d.d. , 0 0 t , e t β α f(t) α β (t/ -1 -α α
birikimli dağılım fonksiyonu,
) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = d.d. , 0 0 t , e -1 F(t) α β (t/
ve arıza oranı fonksiyonu,
1 -α -α
t
β
α
r(t)
=
dır.
Söz konusu dağılım için (2) denklemi
) )
(5)
1
C
C
C
e
1)
)
(t
β
(α
dt
e
t
β
α
)
(t
β
α
p f p β / (t -α * p α - β (t/ -t 0 α α - 1 -α * p α - α *p α * p+
−
=
+
+
∫
Abdullah Eroğlu
Olur. (5) denkleminin için analitik çözümü bulunmadığından nümerik
metotlarla çözüm elde edilebilir. Minimum maliyet ise (3) denklemine göre
* p t 1 α * p α -p f * p 1(t ) (C C )αβ (t ) C = − − olur.
3. Blok Yenileme Modeli
Bu modelde sistem periyodik ktP (k=1,2,...) zamanlarında değiştirilir. Bu
arada sistem tP zamanından önceki arızalanmalarda da değiştirilir. (0, tP)
aralığındaki arızalanmalar bir yenileme süreci (renewal process) oluşturur (Ross, S.M., 1989). C2 (tP); birim zamanda beklenen toplam yenileme maliyeti
olsun.
(0,t
p) aralığındaki arıza-
t
pzamanındaki
lardan dolayı beklenen
yenileme
yenileme maliyeti
maliyeti
C
2(t
p) =
Periyod
Süresi
(6)
t
C
)
M(t
C
P P P f+
=
şeklinde ifade edilir (Kelle, P., ve diğerleri, 1994). Amaç yi minimum
yapan yenileme periyodunun bulunmasıdır. (6) denkleminin t
)
(t
C
2 p)
(t
* p P ye göretürevi alınıp sıfıra eşitlenirse;
[
]
(7) /C C ) M(t -) m(t t 0 / t ) C ) M(t (C t ) m(t C dt ) (t dC f p * p * p * p 2 p p p f p p f p p 2 = = + − =elde edilir. (7) denkleminden nin eşiti (6) denkleminde yerine yazılırsa minimum maliyet; * p
t
(8) ) m(t C ) (t C * p f * p 2 = bulunur.Stokastik Yenileme Modelleri
M(tP); kesikli yaklaşım olarak bilinen M(0)=0 olmak üzere
[
1 M(t i 1)]
f(t )dt , t 1 ) M(t P 1 i i P P 1 t 0 i P P P ≥ − − + =∑
−∫
+ =denkleminden nümerik olarak elde edilebilir (Jardine, A.K.S., 1973). 4. Küçük Tamirli Yenileme Modeli
Sistem periyodik ktP (k=1,2,...) zamanlarında değiştirilir ve bu arada
meydana gelen arızalanmalar küçük tamirle giderilir. Sistem tamir edilmek suretiyle fonksiyonunu yerine getiriyor ve arızalanma oranı değişmiyorsa bu tamire küçük tamir adı verilmektedir (Beichelt, F., Fischer, K., 1980, Jayabalan, V., Chaudhuri, D., 1995).
Birim zamanda toplam beklenen maliyet,
(0,t
p) aralığındaki arıza-
t
pzamanındaki
lardan dolayı beklenen
yenileme
yenileme maliyeti
maliyeti
C
3(t
p) =
Periyod
Süresi
(9) / t C (t)dt) r (C P t 0 p r p ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + =∫
şeklindedir (Barlow, R.E., Proschan, F., 1965). Minimum maliyeti bulmak için (9) denkleminin tP ‘ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlenirse,
(10)
C
/
C
(t)dt
r
)
r(t
t
0
/ t
))
C
(t)dt
r
(C
).t
r(t
(C
* p p t 0 r p * p * p t 0 2 p p r p r∫
∫
=
−
=
+
−
pelde edilir. Minimum maliyet ise
(11)
)
r(t
C
)
(t
C
* p r * p 3=
olur.
Abdullah Eroğlu
4.1. Arıza Verilerinin Sürekli Tekdüze Dağılıma Uyması Durumu İlgili dağılım için (10) denkleminden
(12) /C C /b) t (1 ln t -b t r p * p * p * p + − =
eşitliği elde edilir.
t
*pdeğeri nümerik yöntemle bulunarak minimum maliyet(13)
)
t
/(b
C
)
(t
C
* p r * p 3=
−
eşitliğinden bulunur.
4.2. Arıza Verilerinin Weibull Dağılımına Uyması Durumu İlgili dağılım için (9) denkleminden,
(14) )/t C t β C / t C dt t αβ C ) (t C p p α p α -r p t 0 p 1 -α α -r p 3 p + = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + =
∫
elde edilir. (14) denkleminin tP ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlenirse,
0 / t ) C -t β C -t t αβ (C dt ) (t dC 2 p p α p α -r p 1 -α P α -r p p 3 = =
(15)
1
α
,
1)
-(α
C
C
β
t
α 1 r p * p⎟⎟
>
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
bulunur. Minimum maliyet ; (11) denkleminden
α 1 r p p 1 -α * P α -r * p 3
1)
-(α
C
C
1)
-β(α
C
α
)
(t
αβ
C
)
(t
C
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
elde edilir.
5. ÖrnekStokastik Yenileme Modelleri
CP = 400, Cf = 700, Cr = 15, b = 1900, a = 0, α =1,02, β =1,6 verileri için
daha önce anlatılan modellerin çözüm sonuçları aşağıda verilmiştir.
Tekdüze → = 1472,22 , C* p
t
1(t
*p) = 0,70129 Tekdüze →M( )=1.246248 , =1538 , C* pt
* pt
2(t
*p) = 0,82729 Tekdüze → = 1838,9 , C* pt
3 (t
*p) = 0,24556 Weibull → = 1852,62 , C* pt
3(t
*p) = 11,01146 6. SONUÇStokastik yenileme modellerinden yaş yenileme modelinde C1(tP)
yenileme maliyetini minimum yapan
) p C f (C / p C * P t 0 ) * P (t F ) * P (t f * P t dt (t) tf ) * P (t r
∫
+ − = −eşitliğinin analitik çözümü çoğu dağılımlar için yoktur. Ancak nümerik
çözümler elde edilebilmektedir. Model için en iyi yenileme zamanı ,
dağılımın parametreleri verildiğinde, C
* p
t
P / (Cf – CP) oranının bir fonksiyonu
olmaktadır. CP sabit tutulup Cf artırıldığında azalmaktadır. Bunun anlamı
arızalanma sonucu yenilemenin maliyeti arttıkça koruyucu yenileme periyodu azalmaktadır.
* p
t
Blok yenileme modelinde yenileme maliyeti C2(tP)’yi minimum yapan
f P * p * p * p m(t ) M(t ) C / C t − =
eşitliğinden nin analitik çözümü güç hatta imkansızdır. Bu nedenle M( ); kesikli yaklaşım olarak bilinen nümerik yöntemle bulunabilir ve belirlenebilir. * p
t
* pt
* pt
Küçük tamirli yenileme modelinde yenileme maliyeti C3 (tP)’yi minimum
yapan r P t 0 * p * p
r
(t
)
r
(
t
)
dt
C
/
C
t
* p=
−
∫
Abdullah Eroğlu 1/α 1) (α r C P C β * P t
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− =dır. Sürekli tekdüze dağılım için
t
*p nümerik yöntemle bulunabilir.Modellerin uygulanabilirliği büyük ölçüde arızalanmalara ilişkin
güvenilir istatistik verilerin bulunmasına bağlıdır. Güvenilir istatistik verileri ise düzenli kayıtların tutulması ile elde edilebilir. Söz konusu arıza kayıtlarından arıza olasılık yoğunluk fonksiyonları belirlenebildiğinde yaş yenileme, blok yenileme ve küçük tamirli yenileme modelleri kurulabilir ve çözüm sonuçları elde edilebilir.
ABSTRACT
Since the failure of the components which establish a system is random, the life of these components is a random variable. Since the maintenance has a direct connection with failure, it also has random characteristics. For that reason, stochastic replacement models have an important place in maintenance planning. The aim of this study is to introduce stochastic replacement models which are age replacement, block replacement and replacement with minimal repair at failure.
KAYNAKÇA
BARLOW, R.E., PROSCHAN ve F., HUNTER, L.C.,( 1965); Mathematical
Theory of Reliability, John Wiley and Sons., New York.
BEİCHELT, F. ve FİSCHER, K.,( 1980); “General Failure Model Applied to Preventive Maintenance Policies”, IEEE Transaction on Reliability, R-29, No:1.
GLASSER, G.J.,( 1967); “The Age Replacement Problem”, Technometrics, Vol. 9, No:1.
JARDİNE, A.K.S., (1973); Maintenance, Replacemenet and Reliability, John Wiley and Sons., New York.
JAYABALAN, V. ve CHAUDHURİ, D., (1995); “Replacement Policies: a near optimal algorithm” IEE Transaction, 27, 784-788.
KELLE, P., SİLVER, E.A. ve MURPHY, G.F., (1994); “Cost Analysis and Extension of a Simple Maintenence – Scheduling Heuristic”, Naval
Stokastik Yenileme Modelleri
LAW, A.M. ve KELTON, W.D., (1982); Simulation Modelling and Analysis, McGraw – Hill, Inc..
ÖZKAYA, G., (1977); Kantitatif Bakım Planlaması ve Dinamik Bir Sistem
Yenileme Modeli, Doçentlik Tezi, İTÜ, İstanbul.
