Elektronun elekromagnetik form faktörlerinin hesabı

FİZİK A ABİLİM DALI FİZİK YÜKSEK LİSANS PROGRA i

---~.~~ ...

TEZ UMARASI

Genel

Anabilim Dalı Program

ELEKTRONUN ELEKTROMAG ETlK FOR

FAKTöRLERtNİN

HESABI

Ay en ÜSTÜN

Yöne ici : Prof.Dr.Mehrne ABAK

Trabzon, 1986

i

• LV'y?t'

• / et:J

-Bu çalışmanın yöneticiliğini üstlenen ve çalışmalarımı yön -lendiren Hocam Sayın Prof.Dr. Mehmet ABAK'a eşekkür ederim.

Çalışmalarımın her aşamasında yardımcı olan Sayın Arş. GÖr. , Coşkun AYDIN 'a teşekkür ederim.

Ayrıca kaynak konusunda yardımcı olan Sayın Arş .GÖr.

Ay t ekin AYDEMİR'e , Sayın Uzman A illa AKAY 'a ve çalışmayı dak i lo eden Sayın Temel TOSU La teşekkür ederim.

ÖZET BÖLÜ GİRİş

BÖLÜM 2

YÜKSEK MERTEBEDEN SAÇlLMA DÜZELTMELERİ

BÖLÜM 3

2

ELEKTRONU ELEKTROMAG ETİK FORM FAKTÖRLERİ İ HESABI 7

EKLER Ek- A Ek- B Ek- C Ek-D Ek- E Ek- F GÖSTERİM SERBEST PARÇACIKLAR

DlRAC ' ın y ATRİSLERİ VE ÖZELLİKLERİ

FEY AN DİYAGRAMLARI VE FEYNMA KURALLARI KULLANILA FEYNMA İNTEGRALLERİ VE DiGER İNTEGRALLER GORDON AYRILMASI KAYNAKLAR 21 23 2 29 45 47

sel anlama

geldiği

,

ikinci (e 2) ve dördüncü (e ) mertebeden

olası

Feynman diyagramlarının katkıları ve deneysel değerleri ile arasındaki fark gözönüne alınarak, elek ronun elektromagne ik form fak örleri (F₁,F₂) EKLER'de gösterilen Feynman kuralları ve integralleri ile hesaplanmıştır.

BÖLUM 1

GİRİŞ

Kuan um elektrodinamiği renormalize bir kuram olduyundan yüksek mertebeden düzeltmeler fiziksel ölçülebilir büyüklükler

(elektron yükü e , kütlesi m gibi) cinsinden hesaplanabilir. Elek romagnetik

etkileşmelerde

çiflenim sabiti a=

1~7

'nin küçük olması nedeniyle ilk terim kullanılabilir sonuçlara gö ürür. Fa -ka duyurucu bir kurarnda yüksek mertebeden katkıların da hesap

-ıdil, i)i lıncsi qcr kir. Ku<ıntum lck roc.lin<ııııi (ji VI' kıı;ıntııııı .11,ııı1iır kuramında bu bizi karakteristik büyüklüklere gö ürür. 8azı

"küçük düzeltmeler" sonsuz büyük olur. Bu sorunun çözüme bağlanma­ sı kurarnda önemli bir adım oluşturmuyordu. Demek ki renormalizes-yon problemi halledilmelidir. Böylece elde edilen sonlu bir kurarn -da e kileşmenin ölçülebilir etkileri virtüel (gerçek olmayan) üre -tilen parçacıklar (vakum flüktüasyonları) ile hesaplanabilir.

Bu çalışmada elektronun elektromagnetik form faktörlerı hesap

-lanmıştır.

İkinci bölümde, yüksek mertebeden saçılma düzeltmeleri , üçüncü bölümde elektronun elektromagnetik form faktörleri hesaplanmıştır.

BÖLÜM 2

YÜKSEK MERTEBEDEN SAÇlLMA DÜZEDTMELERİ

Fo on , elektromagnetik alanın kuantumlanmış şekli olduğundan e lektrom gnet ik etkileşmeler foton aracılığı i le olur. Elektromag-netik etkileşmelerdeki hesaplar kuantum elektrodinamiği aracılığı i le yapılabilmektedir. Elektromagnetik etkileşmeler hakkındaki bu bilgi ler bize elemanter parçacıkların özelliklerini araş ırma ola -nt:ıqı verir.

Dış bir elektromagnetik alan i le etkileşen bir elektron için Feynman diyagramı

şeklindedir.

Gelen ve saçılan e lektronlar arasında virtüel fo on aracılığı ile bir e kileşmenin olması durumunda

diyagramını gözönüne almalıyız .

Bu i ki diyagramın matri s elemanını yazarken -iey~ yerine -ie (yIJ+ .. u (p i , p))

a

lmanın

ne gibi fiziksel sonuçlar getirec

ğ

i

ni

araştırmak istiyoruz . Buna göre

-ieyIJ = -ie (yIJ+rIJ (p ' ,p )) _{(2 . 1 )}

y

az

ı

l

ı

r

ve

r

~

(p

'

,p)

köş

e

fonksiyonu serbest spinör ler ve

düşük

R

moment um geçişleri için tam olarak belirlenebi lir .

+

+

(a ) (~)

Şekil 2. 1: Foton elektron etkileşmesinin ikinci mertebeden saçılma düzeltmeleri

Şekil 2.1 diyagramlarının fiziksel yorumu için bir dış

elektromagnetik

(A~ş

)

alanıyla

etkileşen

bir elektronun enerjisi -ni araştıralım.

(c) ve (d) diyagramları, self enerji düzeltmeleri serbes

parçacıklarda sadece yük ve kütle renormalizasyonuna ka kı yap

-tıkları ndan gözönüne a lınmayabi lir ler. (a) dan (c) ye kadar o lan

diyagramlar dış bir alanla etkileşen elektron etkileşme enerjisine

katkı yaparlar. Etkileşme enerjisi

ile verilir. ülur. Şekil 2.1 için . R -ı 3 - R ll'J V )J W = e f d x ıj; ,[ y + r (p ', p) + - 4 TT - i O Oy

J

ıj; A

P

)J )J F o p dış vo Ovo= - 4TT g F

;T

anımından

bulunur. (2 .5) denklemi Gordon ayrılması (EK.F) i le

(2 .2) (2. 3) (2 .4) (2 .5) 3 - 1 a k2 m 3 1 a i \) II w=efd

x4

1 _{{ -(p+p') [1+-} -- (ın- - - - -) ] + (1 _{- -)- 0 k } A (2 . 6)} p ' 2m )J 3 TT 2 A 8 5 2 TT 2m )J V P dış m

formuna dönüşür. Burada

_(-

₅

1

₎

_{terimi vakum polarizasyonuncan ge} -lir. Momentum faktörleri konum uzayında gradyentler cinsinden aşağıdaki gibi

k + i

a

x

veri lir. (2.7) ifadesi (2. 6) denkleminde yerine yazıldığında

Id3 { i ;/,( )\ iii ( ) [1 o 1 (0 m _ _ _ 3 _ _

1

)

O]A

ı.ı

w=e x -- 0/ X o 0/ X - - - . - - Nn 2m \.l 31T m 2 A 8 5 dış - (1 +

~

)

__ 1

~

(x)

°

ljJ (x) a v Ad\.l } 2n 2m \.lv ış (2 .8) bulunur .

Potansiyel i le etkileşen ilk t erim elektronun "konveksiyon akımını" içerir. İkinci kısmını saf bir magnetik alanın özel ha -lindeki magnetik dipol enerjisine özdeş kılıyoruz Pı.ıv=dı.ıAv_avAı.ı

l<'k rOl1lileJnctik illan nsörünü v () = i

ly

'v

1

iln ıs im('lrjk

11\1 2 ii ' 1\1

bağın ısını kullanalım. Buna göre

w

mag = e (1

+

~

)

__ 1 i d

3_x

_~

_(x)

_°

_{ljJ (x) F\.lV}

21T 4m \.lV (2.9)

bulunur . Saf bir magnetik alan halinde F12= - B3, 012= L3 dür.

Böylece etkileşme enerjisi

e o 3

-w_mag = - 4m (1 + 21T) 2 id x IjJ (X)L ljJ (x ) B _{(2 .10)}

->- ...

w = - <u> B _{( 2 . 1 1 )}

dir. Burada magneti k moment

<ı.ı> = ~(1+ 20 )\.l <s>

2m 1T B (2 . 12)

dir. Böylece magnet ik moment beklendiği gibi elektron spininin beklenen

değeri

ile

o

r

a

n

tıl

ı

d

ır

.

\.lB=

;m~

Bohr magneton birimleri cinsinden orantı faktörü (g- fakt örü)

9

=

2 (1 + 20n) (2 . 13)

9 = 2(1+0.00116141) _{(2 . 14)}

olur.

g- faktörünün iki değerinden sapması elektronun anomalisi

ön örUsUdUr ve ilk defa Schwinger tarafından hesaplanmıştır. o

-dern deneysel değeri

g = 2(1+0. 00115965241)

(2. 15)

dir .

Denklem (2.15) i le verilen sonucu anlamak için yüksek merte -beden erimler gözönüne alınmalıdır. Şekil 2.2 de olan dördüncü mertebeden (e4 )

diyagramlarını

gözönüne

alalım

.

( Cl) _(b)

c.)

({)

( ~) ( h.)

Şekil 2.2. Foton-elektron etkileşmesinin dördüncU mer ebeden (e4)

saçılma

düzeltmeleri

(a ) dLln (c ) ye kadLIr olan diyagramların mClgnC'tj k ıııomen!: katkıları olduğu or taya çıkar.

Dördüncü mertebe için - fak örü

(2. 16)

g = 2[1+0.0011 5965236J (2. 17)

olarak hesaplanır.

Daha yrın ılı hesaplar için olası üm yüksek m r b~dcn

BÖLÜM 3

ELEKTRONUN ELEKTROMAGNETİK FORM FAKTÖRLERİNİ HESABI

Elektronun form faktörlerinin hesabına geçmeden önce köşe katkıları üzerinde biraz durmak istiyoruz.

p'

+

f

Şekil 3. 1. Elektronun elektromagnetik form faktörlerine

katkısı olan diyagramlar (Schwinger düzel meleri) .

Bu diyagramlara karşılık gelen matris elemanları ka kısı ;şağıdaki gibidir:

-i

eA~

(p

' ı

P)

=

ie

Y~

-

ie

rı.t

(

p

' ı

P

)

_{(3. 1 )}

rı.t

(p '

ıP)

'ye

köşe

(vertex) fonksiyonu denir. (Ek-D) deki Feynman kurallarına göre köşe fonksiyonu aşağıdaki formdadır :

-ierı.t (p' ıP) 3 d4Q, A = (-ie) J- - - Y (21T) 4 -ig i v \lA --;-r-~- Y --ı-m) Q 2 (3 .2) \i g\ıAY =Y_A kullanılırsa bu fonksiyon (3.3) olur.

(3 . 3) integrali logaritmik olarak ıraksadığından regülarize

edilmesi gerekir. Bu integralin hesabı uzun ve yorucu olduğundan

özel bir durum olan köşenin elektron çizgileri "kütle kabuğu"

üzerinde bulunan durumu alınmıştır. Yani hesabın sonunda serbest

spinörler arasındaki matris elemanını ü(p , ) :,ı.t (p ' ıP)u(P) formunda

II

(p i) (p'-m) O

ve

(p-m)u (p) = O

Dirac denklemi geçerli olmalıdır . Buradan

p

'

m,

p

m yazılır.

Köşe

fonksiyonu rW (p' ,p) 'yi momentum

geçişinin

sı ır olduğu

sınır değeri k= (p-p ' )=O (ileri saçılma) i le kalanı bir oplama

ayırıyoruz.

(3.4)

13urad n

(3.5)

olur. Bu integralin yakınsak olacağını i lerdeki işlemlerimizde

göreceğiz .

Köşe

fonksiyonu rW (p ' ,p) kW vektör

olmad

ı

ğ

ın

dan

yW eya pW ile orantılı olmalıdır. Bu iki işlemcinin serbest spinörler ara -sındaki matris elemanları birbiri ile orantılıdır. Bundan ötürü

birbiri cinsinden yazılabilir. Bu durum Gordon ayrılmasında görü

-lür.

Gordan ayrılması (Ek-F) de görüldüğü gibi

(3. 6) ormundadır. Bu nedenle yalnızca YW 'yü uygulamak ye işir . (3. 35) denkleminde tanımlayacağımız L gözönüne alınırsa

(3 .7)

olur. (3.7) denklemini (3.5) denkleminde yerine yazdığımızda ser

-bes spinörler arasındaki köşe fonksiyonu

(3.8)

olur . Buradan

bulunur. Dolayısıyla köşe fonksiyonu regülarize edilmiş olur .

Bundan sonra amacımız regülarize olmuş köşe fonksiyonunun hesap

-lanmasıdır . (3.9

1

denklemini daha açık bir şek i lde yazdığımı zdil

u

(

p

'

)

r~

(

p

'

,

p

ı

u

(

p

)

= u(p ' )r JJ (p',p)u(pl-LU(p' l yJJI.1 (pl _{(3. 10}

₁

olur . Köşe fonksiyonu yeniden yazarsak

rlJ (p' ,p)= _{( 3 . 1 1 )}

elde edilir.

Burada çıkacak kızılötesi ıraksaklıkları gidermek için foto

-na küçük bir A kütlesi ekledik.

Köşe fonksiyonunun hesaplanması için (Ek-E.60l in egral for -mu yardımı ile 1

2 2 [

2 2

2 2

]

[ (p , - ~) -m ] (p- ~) -m ] [ (~ - A ) (1 - x) (3. 12) 1 x 1 =2 J dx Jdy 2 2 2 2 2 2 2

:r

-o O [(p'

2+

~

-2p' R..-m )y+ (p +R.. -2pR..-m

1

(x-y) + (R.. -A

1

(1-x)

J

bulunur. Bu integralin paydasını yeniden düzenlediğimizde

2 2 2 2 2 2

(p' -2p' ~+2pR..-p ly+ (p - 2pR..-m )x+R..

-

A

(l-x) _(3.13

1

olur.

(3.13) 'deki paydanın değerini (3.12) denkleminde yerine yaz

-dığımızda 2 2 2 2 [ 2 2 ] [ (p , - R.. ) -m ] [ (p- R.. ) -m ] (R.. - A ) (1 -x) 1 x = 2 Jdx Jdy o o 1 (3. 1 4

1

bulunur. Bulunan bu integralin de~eri (3.11) köşe fonksiyonunda yerine yazılırsa 2. 2 1 1·\1 (_P ' _ıP) -_{- - ---}ıe ₄ fdx (27T) o (3.15 )

bulunur. (3 .15) integralinin paydasında k

=

p-p '

2 2 2 2 2 2 2 )

-nı ;.; ~k y (x-y)+( -m ) (l-x) (x-y) + (ı,:> ' -11\ )y (l-x)-A' (l-x)

yazılırsa paydanın de~erinin

[ (,Q,- px+ky) 2 +a 2J 3 _{(3 . 16)}

oldu~u görülür. (3. 16) de~erini (3. 11 ) köşe fonksiyonunda yerine yazdı~ımızda 2ie2

r\..l

(p ' ıP) =- - ---:r ( 2 7T ) bulunur. 1 x 4 fdxfdyfd ,Q, o o (3. 17)

Köşe fonksiyonundaki momentum intp-gralini hesaplayabilmek

için ı..ı ile göstereceğimiz integralin payını (Ek-C) 'de verilen Dirac matrislerinin özdeşlikleri yardımı ile kısaltabiliriz .

(3. 18)

Buna göre birinci terim

ikinci terim

=

m[4p 'Y~-4ıY~+4PY~-4ıy~] m[4p' ~- 4ı~+4p~-4ı~J üçüncü terim L ).. II L III Y YA = - 21LL yıl veya (3.18b) (3. 18c)

olur . (3.18a) , (3. 18b), (3.18c) eşitliklerini (3. 18) denkleminde

yerine yazdığımızda

(3. 19)

bulunur .

(3 .17) integrali (Ek-E) 'de olduğu gibi logaritmik olarak ıraksayan integral olduğundan orijini ı ı+px-ky kadar değiştire­

biliriz. Buna göre integral

olur.

= - 2· 21 ıe fdxx fdyfd 4 ı u(p' )

~

u(

p

)

(2n) 4 o o [ı2+a2] 3 -

-2

e

cl =

4TI

değerini yazdığımızda

U(pl) rIJ (p',p)u(p) =

şekline dönüşür .

ia

(2TT) 4

ı ı+px-ky dönüşümü yapıldığında integralin payı,

(3. 21 )

(3. 22 ) o lur. ( . 22) dcccrini (3.21) integral ormundc:ı ycrin yc:ızdı<]ımızdc:ı

simetrik integrallerden dolayı ı' ye göre tek olan integraJlerin

değeri sıfırdır. Buna göre payı düzenlediğimizde

bulunur. ve ,"yIJ

_ı

ifadesi; =ı yV gösterimi \) ı ı

v

o özdeşliği yardımı ile

(3 .23 )

(3. 24 )

o lur. (3.24) eş i t liğ ini (3.23) denkleminde yerine yazdığ ımızda

NlJ = - 2 [p-px+*-y] ylJ [p '-Px+J<Y]+4m[pIJ+p , IJ-2pJ.lx+2kIJy]_7.m2yIJ+ı2yIJ

olur. (3.25 )

Payın değerinin fizikselolarak daha uygun bir yorumu için

Gordon- ayrılmasından yararlanabiliriz . (3.6) denklemi aşağıdaki

(3. 26 )

Bu bağıntı yardımı ile payın birinci terimi için

+(1-x) (2y-x)mkı.tü (p ' )u (p) _{(3 .27 )}

bulunur. Bu sonucu (3.25) denkleminde yerine yazdığımızda payın

değeri aşağıdaki şekilde olur.

-

ıı

-

[ 2 2 x2

J

ıı

ıı

u (p') u(p) = u(p ' ){ R, - 4m (2 + x-1) y +2K (p', p,x,y)} u(p) Burada, C, M ı.t , Mıı' ,o vı.ı ifadelerini şeklinde tanımladığımızda olur. ve

(3.29) denklemini (3. 28) denkleminde yerine yazar, ü(p' ) (p ' -m) = O

(p-m) u (p) = O

(3.28 )

gözönün alınırsa

U

(p ' ) \.lu (p) bulunur.

. 2 2 x2 ] \.l

LQ. - 4m (T + x- 1)+2 (1+y- x) (y-l) u(p' )Y u(p)

-2mix (1- x)aV\.lk u (p ' )u (p)+ik\.lm(l+x) (x- 2y)

V

(3.30 )

Ayar değişmezliği (veya yük korunumu) nedeniyle kIJ ile oran

-(

tılı sonucu terim herzaman ihmal edilir.

-_{u (p ' )N u(p)} \.l ₌ [ 2 _{Q. - 4m} 2 ₍x_-22 _{+ x- l )+2 (1+y- x) (y- l )}

J

-

_{u (p ' )y} \.l _u(p) \) IJ -- 2mix (1- x)a k u (p ' )u (p)

v

(3. 31 ) 2 2 2 2

Köşe fonksiyonunda p =m ve p ' =m yazarak yeniden düzenle -diğimizde

(3. 32 )

bulunur.

Regülarize olmuş köşe fonksiyonunun genel hesaplanması

ka-rış

ık

olduğundan

u(p ' )

r~

(

p

'

,p)u(p) matris

elemanını düşük

momen -k2 (p-p ' ) 2

tum geçişlerinde, yani, - ~ = - 2 « 1 durumlarında hesapla

-m m 2

yacağız. Bunun için (3.32) integralinin paydasını k 'ye göre

seriye açıp ilk iki terimle yetinelim.

1 [ Q. 2 +k 2 (x-y)y-m 2 x 2 - A 2 (1 -~ }3

=

---[Q.2_m2 x 2_A2(1 _x)]3 (3.33 ) 2 3k (x-y)y + . . . . [ Q. 2 -m x 2 2 - A 2 (x- y) ] 4

(3 . 33) denklemini (3. 32) integral formunda yerine yazdığımızda - W i a u (p ') r (p',p)u (P)= - - 3 2n 2 2 x 2 1 x ı -4m (- - + x-l) 4 [ 2 JdxJdyJd ı{ 2 2 2 2 3 o o ~ -m x

-

A

(l - x)] 2 [ 2 2 x2 2 3k (x-y)y ı - 4m (T + x-ı)] 2k (l-x+Y) (y- l) _ W 2 22 2 4 + 2 22 2 3Ju (P') Y u(p)

[ı

-m x - A ( 1 - x)

J

[ı

-m x - A (

ı

- x) ] , (3.34 )

bulunur. Regülarize olmuş köşe fonksiyonunun bulunması için u (p ' ) r W(p, p) u (p) büyüklüğünün de bulunması gerekir.

k

=

p- p'

=

O

p

=

p koşulunu kullanarak 2 2 x2 1 x ı

-

4m (-2- + x-l ) - ı.ı ia 4 u (p , ) r ( p , p) u (p) = - - 3 J d x J d y J d ı -[----2 --;2~2;---"'2----=;J3 2n o o ı -m x

-

A

(l-x) (3 .35 ) bulunur. (3. 35) ve (3.34 ) denklemlerini (3. 10) denkleminde yerine

yazdığımızda regülarize olmuş köşe fonksiyonu

- W ia u (p , ) r R (p , , p ) u (p) = -

-

::-3

2n 2 2 x2 1 x ₄

~

ı

-

4m

(-

_L

+ x- l) JdxJdyJd ~[ 2 2 2 2 3 o o [ı -m x - A (1 - x)

J

(3.36) 2 2k (l-x+Y) (y- l) 2 22 2 3 u (p ' )yWu(p) [ı -m x - A (l-x)J -2mix (1-x ) 2 2 x2 } ı - 4m (- + x-1 ) - v 2 - W

u(p' )a

ı.ıkvu

(

P

)-

2 2 2 2 3 u(p')y u(p)

[ı -ın x -A (l-x)] [ 2 ı -m 2 - x 2 - A 2 (ı-x) J3

u(p ')

r~

(p',

p

)u{p)

₌

-

_{u{p' )y} ıı _{F (k} 2 _{)u{p)+ 2mu}i - _(P')o vıı _k 2

vF2{k )u {p)

(3.37)

Fı

(k2) ve F₂ (k2) elektronun form faktörleri olarak

adland

ı

­

rılırlar. (3.36) ve (3.37) denklemlerinden

(3. 38 )

bulunur. _{F 2} form faktörü kızılötesi ıraksaklık içermediğinden

~

2=O

alabiliriz. Önce 1 üzerinden integral

aldığımızda

. 2 1 cl ı Jdx (l-x ) 'TT o bulunur. (k

?

)=

-

i Cl3 }d

~d

Jd41k 2 [2 (l+Y- x} (y-l) Fı x Y 2 2 2 2 3 2 'TT o o [1 -m x - " { 1 - x }

J

2 3(x-y)1 (3.39 ) [ 1 2 -m x 2 2 - " 2 (ı -x}J (3 .40 ) 2 x2 l2m (x-Y}Y(T + x-1)

1

+ 2

2

2

2

J4 [1 -m x - " (l -x )

olur. Burada yakınsak integraller aracılığı ile 1 üzerinden in

. 2 -ın 2

x

2 . 2 -ın 2 . 2 3 (x-y)y - - + 3 ı2m (x-Y) Y (T + x-ı )

~~

-J

r 2 2 2 ]

Lm

x

+A (ı-x) ı x F

ı

(k 2)

=

-

2a. n J d x J d Y o bulunur . [m 22 x +A 2 (ı-x) ]2 k 2 [ (ı -x+y) (Y-ı ) 2 2 2 m x +A (ı-x) y(x- Y) 2 2

2

--m x +A (ı-x) 2

x

2 2m (x- Y) Y (T + x-ı) [ 2 2 2

2

]

m x +A (l - x)] ( 3 . 4ı ) (3.42 )

nin _{çözümü için y=xu dönüşümü yapıp ve A =0} 2 _limitinde yakınsak ve ıraksak terimleri ayırarak sonuca varırız

Y

= xu o<u<l dy = xdu 1 1

Fı

(k 2) = -

~

k2

Jdx xJdu

[

(ı

-

x

+u

x

)

(ux- l ) 2n 2 2 2 ux (x- ux) 2 2 2 o o m x +A (ı-x) m x +A (ı-x) (3.43 ) 2 2 2 1 1 x- l+2u x - 2ux F (k 2) = -

~k2

Jdx xJdu [ - = -____

=

-1 2n o o [m2x2+A2 (1-x)J 2 2 ~

_'"

_x

2 2m x (u-ul (-y + x- l ) 2 2 2

2 ]

[m x +A (l - x) (3. 44 )

ı 2 ı x-ı--x

Fı(k

2

₎

=- 20. 1/2 fdx,x[ 2 2 3 2 -o m x +A (ı-x) 2 2 x2 m x (-+x-ı) 2 ] [ 2 2 2 2 3 m x +A (ı -x)]

olur. Daha açık bir şekilde yazıldığında

2 ı 5 2 ı 4 mG f -

-T

~ .9_~

--

-

2

-

~L

f 2 -; -d; 2 o [ iii X ).. (ı - x ) ] o [nı x + A (ı - x) ] 2 m + -3 ı 3 f x dx

J

o-[-m':"2 -x =-2 +-A-:2::---( ı---x-)--=-2 (3 .45) (3.46 )

r.u1unu~. Yakınsak ve ıraksak integralleri ayırdığımızda x'in küçük mertebeli integrallerinin ıraksak olduğunu görürüz. Bu in egralle -ri i ile gösterelim.

(3.47 )

i integralinin hesaplanması için (Ek-E) deki (35) ve (36) integral formlarından yararlanılır.

ı 2 2 2 2 1= - {- - R.n [m x - A X+A 2m2 A 2

ı

dx ID 2 [ 1 2 2 2 2

ı

+ - -2 f 2 2 2 2 -

'3

- 4

~n [m x -A x+ A o 2m o m x - A X+A 2m c (3 .48)

1 2 2 \2 1 d 2 { n \ 1\ f x m r l - 2 2

J

1= - - 2 ",n (m ) -tn (1\ ) + - 2 2 2 '2 2 -

3 L

-4 L tn (m ) - İn (>' ) 2m 2m o m x + A - A x 2m T

=

-

(A + A +

n

+ 13 + C ) 1 2 1 2 1

olarak gösterdiğimizde

olur. 2 m = 3m 2 tn

T

l

o limi tinde 1

Cı

= 6m 2 (3 .49 ) (3.50 ) (3.51 ) (3. 52 ) (3.53 ) (3.54 ) 2

i ntegralinin çarpım katsayısı A ~ o limitınde sıfır olur. Buradan

(3.51 ) ve (3.53) denklemler ini (3.50) de yeri ne yuzursak

i = -

[

-'?'2

9,n

3m bulunur.

(3.55 )

Yak

ı

nsak

integral leri A2 O limit inde çözebiliriz .

Bunl

arı

i i ile gösterelim. 1 dx I I

=

f

-2

o nı i i

=

olur. 1 1 _{1 1} 1 - -2 f xdx - - - f x,dx- f dx

3

nı

o 6m2 o

3

nı

·

2 o (3.56 ) (3.57 ) i ve Li değerleri _{(3. 46) denkleminde yerine yazıldığında} 2 ct 2 [ 2 m ı ] 5 F (k ) = - - k {- - -2 tn - + - - + - - } 1 2n 3m A 6m2 12m2 (3.58 ) (3.59 ) veya 2 =

~

[ı.-

tn

~

-

l ]

2 'TTm 2 3 A 4 (3.60 )

bulunur. (3. 39) ve (3.60) denklemlerini (3.37) denkleminde yerine yazdığımızda

2

u

{

p

l

)

rR

~

{

p

ı

,p)u{p)

=

U{pl)

(y

~

~

(

~

tn m

l

)

2nm2 3

i

-

4

Ek-l\

GÖSTERİ

Bu tez çalışmasında James D. Bjorken Sidney D.Drell 'in

aşağıda gör ülen metrik ve gösterimi kullanılmıştır.

(t,x,y,z) = (t,x) uzay- zaman koordinatları (h=c=1) alınarak kontravaryant dört ' lü vektör i le

p

x (x o , x 1 , x 2 , x 3 ) _{( , x,y, z)}

şeklinde gösterilir. Kovaryant dörtlü vektör X

u uzay bileşenleri­

nin işaret değişimi ile elde edilir.

Burada metrik tansörü (ölçü gergenil

o

O O O - 1 O O g\Jv = _{O O - 1 O} O O O - 1 dır . Momentum vektörleri pı.ı _{= (E, Px, Py, pz)}

şeklindedir ve iç çarpımı ise

pı.ı -+ -+

P1 P 2 = 1 P2ı.ı = E1 E2

-

P1 P2

x P E - x P

dır.

pl! _{i ( i} cı ) = i VIJ dXlJ dt , i i le tanımlanır. Dirac denklemi (i y

---

d

-

m) ıjJ {x) = O dX LJ

dır. Fiziksel momentumu P ve polarizasyonu s olan bir parçacık için

Dirac spinörü u(p,s) i le , anti parçacık ise v(p,s ) i le gös r i l i r.

(yS-m) u (p , s)

=

O (yS+m) v (p,s) =

O

Herhangi bir A dörtlü vek örü ile y matrisinin iç çarpımı

AlJ = "A

=

yOAO -+ Y -+ A LJ AlJ d -+-+ iylJ d P

₌

i~

=

iy at + iyv = ı.ı _dXı.ı şeklinde gösteri l i r. "

Ek-B

SERBEST PARÇACIKLAR

Herhangi bir e kileşim olmaksızın parçacıkların hareke ini

re lativistik bir kuramda inceleyelim. Bunun için kısaca spini - ~ ' li parçacıkların (elekronlar, pozitronlar, nükleonlar, müonlar , .. v.s)

ve spini -1 ' li fakat sıfır kütleli (fotonlar) parçacıkların dalga

onksiyonlarını tartışalım.

1) 1/2 -spinli sGrbes parçacıklar

m kütleli 1/2-spinli bir parçacığın hareket denklemi (1 ) Dirac denklemi ile verilir.

(iyW_d_ - m) ıjJ (x)

x

o

Kompleks eşleniğini aldığımızda

*

(- i y *W dXW - m) ıjJ (x)

o

olur. Transpozeden T

*

T ıli (x) [ - i (y W) bulunur. veya T ₊ = y

a

-

-

m]

= O dXW

olduğundan (4) ifadesini (3 ) denkleminde yerine yazarsak

ıjJ + (x) veya +--ıjJ+(X) [i (yW)+ _d_ + _{m ]} = O dXW ( 1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (5 ) (6 ) (7 )

+

bulunur. Diferansiyel simgesi üzerindeki ok, soldaki

~

(x) spinö

-rünün diferansiyelinin alınacağını gösterir.

i le

olur. Sağdan B ile çarpılırsa

veya

~

-tl/

(x)

[

i

By

IJ _d_ +

B

m] = O

dXIJ

bulunur. Eşlenik spinör olarak

alınır . Bununla (11) denklemi

:i,_~ ( ) _x

[0

_ıy IJ _dXd ] O

IJ + m =

eşlenik spinörün Dirac denklemi olur.

(8 ) (9 ) ( 1 O) ( 1 1 ) (12) (13)

Dirac parçacığı için momentum dalga fonksiyonu t}; (x) konum

dalga fonksiyonunun Fourier dönüşümü aracılığı ile momen um

uza-y

ında

(po = i p2 + m2, pX=PIJxIJ) t}; (x)

₌

1 (2n) 3/2 d3n [ - ipx

ipxı

f ~ u(p,s )e + v(p,s)e o ( 1 4 ) s=±

d _ m ]

ıjJ

(x) = O xı.ı ( 1 5 ) kullanarak 1 1 [ , ı.ı

- -

=7-

ıy (2TT)32 ( ') .. i' ) '1/2 d - - - m dXı.ı 3

L Jd P [ u(p,s)e-ipx + v(p,s)eiPX

]=

O

s=± 2po

(1 6 )

( 1 7 )

bulunur. Ustel

fonksiyonlar

ı

n

lineer

bağımsızlıklarınd

an

momentum

uzayında spinörler denklemleri olar k u(p,s) , v(p,s)

(

yı.ı

p

-m)u (p,s) = O ı.ı (yı.ıp +m)v(p,s) = O ı.ı (18) (19)

yaz

ılır

.

u (p,s ) spinörü

sPin

-

~

'nin dalga fonksiyonunu , v(p,s) ise

buna ai antiparçacığın dalga fonksiyonunu gösterir.

2. Kütlesiz l-spi nli parçacıklar

l-spinli, kütlesiz , serbest bir parçacığın Maxwell eorisine

göre hareket denklemi

Aı.ı (x) = O (20)

dır. Bu denklemin çözümü

A (x)

ı.ı (21 )

şeklindedir.

Burada €, (k,A) A=1 , 2 elektromagnetik

dalganın

polari

-ı.ı

Ek-C

DlRAC 'IN Y MATRİSLERİ ve ÖZELLİKLERİ

Dirac denklemi

(iyU_d_ - m)

~

(x)

=

O

dX )J (1 )

şeklinde verilir. Burada y)J 4x4 ' lü Dirac matrisleri _{(x) ise} dört bi

leşenli

spinörlerdir. Dirac y matrisler i

sırade

ğ

i

şmez

(antikomitasyon) bağıntısını sağlarlar. (11=0,1,2,3)

~ v v )J ~v

YY + y y = 2 g

Buna göre

y)J= Ty)J T- 1

bağıntısını sağlayan bir T matrisi vardır. y ' ların gösterimi

şeklindedir. Burada

bilinen 2x2 ' l i Pauli matrisleridir. Ayrıca

i "

C

~

)

(2 ) (3 ) (4 ) (5 ) (6 )

ise 2x2 'li birim matristir. i

Açık olarak y , (i=1 ,2, 3) matrisleri hermityen değildirler , çünkü

.2 1

Y = - 1

dir. yW'lerin hermi yen

eşleniklerind

e

sırad

e~

işm

ez

li

~i

(an iko -mu ıfli~i) gerçekler. Bu teoreme göre öyle bir

S

ma risi va r-dır ki sa~lar. Böylece veya + + ı.ı - 1 = B y B ı.ı - 1 ı.ı + y = B (y ) B

eşitli~i sa~lanır.

+

Bununla

B

ler

B

lar gibidir. Denklem (1 0) dan

bulunur, öyleki

Byı.ı

hermityen olur. Bizim y matrisleri için

dir.

o

B = y

Sırade~işmezli~i (antikomutatifli~i) sa~layan yı.ı ' lerin transpozesinin negatifi için öyle bir C ma risi vardır ki

(8 ) (9 ) ( 1 O) ( 1 1 ) (12) (13)

o

2

geçerlidir. Bu gösterimde C=y y dir. Beşinci bir Dirac ma risi 5 y 'i eklemek kolaydır 5 . o 1 2 3 y = ıy y y y = y5 (14) ve

y5yı.ı

+

yı.ıy

5=

O dır . Ayrıca (15)

. eklind dir.

5

y

( 1 6 )

Dirac ' ın y matrisleri arasında aşağıdaki öZdeşlikler geçer

-lidir. Y y\.l

=

4 ( 1 7 ) \.l LL -29'1 ( 1 8) y ,;{y = il Y 9!

ı6

Y

\.l

=

4ab \.l (19) Y 9!

ı6i

Y

\.l

=

\.l -2iı6~ (20 )

y\.l9!ı6içily)J = 2[çiI~ı6i ₊ iı69!çiI

J

Ek-D

FEY J'1Ai\ DİYAGRAMLARI ve FEY LMA KURALLARI

a ) Feynman Diyagramları

Feynman

diyagramları

,

matematiksel formüllerin diyagram ola

-rak gösterirnleridir.

mertebeli, n gelen ve m giden parçacıklı bir süreç için Feynman diyagramı aşağıdaki şekilde oluşturulur.

1) Sürecin zamansal gelişimi sağdan sola emsil dilir.

2) G 1 n

r

rçucıkl

r n ane v giden p

rçacıklar

m t ne çizgi i l ös r i l i r.

~/

i

"?

i

m tane giden \ ___ - - n tane gelen

i r

-i

parçac

ık

'l

'"

parçacık

( 1 )

3) Çeşitli parçacık tipleri çeşitli ok ve çizgilerJe gösteri

-lir. gelen _giden Elektronlar _•

..

_• Pozitronlar

.

..

• • (2 ) Fotonlar

4) Gelen ve giden çizgiler bir etkileşme düğümü ile bağlanır.

Elek romagnetik etkileşme için etkileşme düğümünün şekli

aşağıdaki gibidir.

(3 )

Yani her elektromagnetik etkileşme noktasında aynı çeşidin

-e

(4 )

b) Bir elektron pozitron çiftinin bir müon an .imüon çiftine

dönüşmesi (yok olması )

-+ 1J

(5 )

c)

Düşük

(

sıfır

olmayan) rnertebeden elektron-elek ron

saçıl

­

ması (Möller saçılması)

e

t f', r ') i t r,f") e.(P,6") ,,-- - -_0-::::..:. (6 ) (7 )

ilk iki örneğin ersine bunda düşük mer ebeden (sıfır olmayan) iki

diy gram var.

b) Feyr..man Kuralları

Yukarıda verilen Feynman diyagramlarının S fi geçiş matris

elemanları Feynman kuralları ile formalize edilir. Feynman

diyag-ramları aşağıdaki kısımlardan meydana gelmiştir.

1) Dış çizgiler : Bunların yalnız bir sonu diyagrama bağlıdır , diğer sonu serbesttir. Dış çizgi ler gelen veya çıkan parçacıklar veya antiparçacıklara karşılık gelirler.

2) İç çizgiler: Bunlar h r iki ucundan diyagrama hağJıdır.

Değiş-tokuş olan parçacıkIara karşılık gelirler.

3) Köşeler (vertexler) : Dış ve iç çizgilerin birleş iği nok-talardır. Bunlarda parçacıkların etkileşmelerine karşılık gelir

-ler.

Parçacıklar çizgiler üzerinde gösterilen ok yönünde, antipar

-çacıklar ise ok yönünün ter si yönde hareket ederler.

Feynman diyagramlarının momentum uzayında matematiksel ifa

-desi aşağıdaki gibidir.

"

...---

--- _._----

- r -. _ - - - - _ . - - -

J

Dalga fonksiyonu

Parçacık Momentum Polarizasyon Gelen parçacık Giden parçacık

-

-e, ı.ı ,p,n p s u (p , s )

--

u (p,s)

-+ -+ -

-v (p,s ) e , ı.ı , P, n _P s •

•

V (p, s) -+--'i k A ı.ı (k, A)

.-vv

€ ı.ı (k , A)

a)

Dış

çizgiler; her

dış

çizgi için (211) - 3/2 faktörü ve momentum dalga fonksiyonu gelir.

b)

İç

çiz i ler i her iç çizgi için i (2n)-4 faktörü i le

aşağ

ıd

aki

prabagatörler (ilerleticiler) gelir.

Parçacık Prabagatör Diyagram

e , w,p ,n ı(yı.ıp _W +m)

.

i i 2 2

i

p -m . ı.ı \!

J

y -ıg

rvvv

7

c) Köşeler (Düğüm noktaları veya vert extler): Her köşe için

faktörü gelir.

p.- momentumları köşeye gelen parçacıkların momen umlarını,

J

p~- momentumları köşeden çıkan parçacıkların momentumlarını

ı

) Toplam Feynman

diyagramlarının

ön

iş

are

i P uli ilke

sin-den belirlenir.

i) Giden iki Fermiyon çi zgisinin

değiş

-

tokuşund

an

formül

ifade bir (- 1) faktörü kazanır.

ii)

Kapalı

her Fermiyon çizgisi için (- 1) faktörü ve iz

al

ı

nır

.

5) Faktörlerin birleşiminde şöyle hareket edi l i r.

i) Gelen ve giden

parçac

ı

klar

ok lar konarak belirtilir.

ii) Bütün iç momen umlar üzerinden in eqral alınır.

jji) (211) V(' (i ) fiıkL.örlcrj ~()Yl(' <ı' l il".

Ai Dış çizgilerin sayısı

K3 i Üç çizginin düğüm noktası (köşe ) sayısı

K4i Dört çizgi nin düğüm noktası (köşe) sayısı

Verilen Feynman kurallarına göre aşağıdaki sürecin saçılma

matrisini yazalım.

p,o : M kütleli gelen müonun momen

-tumu ve spini

p '

,

o

':

k,s

Giden müonun momentumu ve

spini

Elektron-müon saçılması

m kütleli gelen elek ronun

momentumu ve spini

dır.

k ', s ' : Giden elektronun momentumu ve

spini Saçılma matrisi <w(p' ,o ' )e (k' ,s ') ISfilw (p,o)e (k,s» 4 - 2 - 3 - 4 =Jd q(2n) (i) II (p ',o ' )ey,u (p,o)e (p '_p_q) ı.ı 1\ ı.ı - g

AV

2 . q +ıE U (k ' s ')ey u (k,s) e ' V e

olur.

Ek-E

KULLANILAN FEYNMAN İNTEGRALLERİ VE DİCER

İNTEGRALLER

1. Feynman İntegralleri

a) Yakınsak İntegraller

Yakınsak integraller aşağıdaki standart forma getirilirler:

I =

mn

(k 2)m- 2 d 4 k (k2+a2)n

Dört boyutlu momentum vektörleri yazıldığında

kı.ı _{= (ko,k)} k = _(ko,-k) ı.ı k _ı.ı kı.ı = k 2 _ k 2 = k2

°

(1 ) (2 ) (3 )

n. dereceden iki kutup noktasına sahip bu integralin ku up nok alarını bulalım.

dır . 2 2 k + a

=

O k

°

In" k. k _kompleks dUzlemi

°

(4 ) i,." o 12. o

11

ko kompleks düzl minde integralin yolu pozitif yönde

2

kadar döndürülürse integral kutup

noktalarından

kur ulur.

İn

eg

-ralin

sınırları

-ioo ve +ioo

arasındadır

.

Bu döndürmeden sonra

sınırlar - ve +00 arasında olur ve değişkenlerimiz

ve olur . -+ k = k ı WL k = k = W' (iko,k l ₎ i (ik ,- k' )

°

k kiJ ' =(ik - k ' ) (iko,k ')

\l '

°

'

k I 2 = ( _ k2 _ k' 2 )

°

Bu dönüşümler (1) denkleminde yazılırsa

olur. i

mn (5 )

Aşağıdaki özdeşlik yardımı ile dört boyutlu küresel koordi

-natlarda hacim

elemanı

d4k ' elde edilir.

n fd x f (x) _{= ff (x)r} n-L _drfSin TT n- 2 ₈ TT n- 3 n_1d8 fSin 8_n_₂d

°

°

n=4 için 3 TT TT 2 2rr = ff (x) r dr fSin8d8fSin XdX f d ıp

°

°

_°

2TT fd ıp

°

(6 ) ( 7 ) 4

Dört boyutlu hacim elemanı d kı 'nün argümanları k,8 ,!f,X dir . (7) denkleminin

ya

rdımı

ile d

4

k ' 2TT TT fd4k' =fK3dK f d 'P f Sin d

°

_°

(8) TT 4TTfK3dK f Sin2xdX

°

(9 ) bulunur.

. 2 1- Cos 2X

Sın X

=

- -2

-bağın ısı kullanıldığında

olur. (11) denklemini (5) denkleminde yerine

yazdığımızda

i mn bulunur. Buradan K2

₌

K2t + a2t K2 a 2 t

=

_1-t ve K2

₌

2 2 K + a 2 K2 + a2 a

=

(1 - t ) 2KdK a 2 dt

=

(l- t ) 2 K~oo için t~l K O için t O (10) ( 1 1 ) (1 2 ) (13) ( 1 4 ) (15)

değişken dönüşümü

yaptığ

ı

mızda

ve bu

değerleri

(1 2) denkleminde

yerine yazdığımızda 2 a2t 1 a2dt ıa t )m- 2 2. 1 ·l- t 1-t

"2

_{( 1-t ) 2} i

=

2TT ı f (16) mn ₂ o _{[ a t 2Jn}

Tf=IT

+ a 2. 1 _{(a 2)m- n m- l} (l_t) -m+n-ı i = TT ı f _t d ₍₁₇₎ mn o

o (18) bulunur. Bu integral formu

hesaplanır.

Gauss Beta fonksiyonu yardımı ile

1 m- L _{(l _x)n-l} S (m, n)

₌

f x _dx o den i (a 2 )m-n _n2_{i S(m,n-m)} mn i 1T 2 i

₌

_S(m,n-m) mn _{(a 2)n-m} i n 2 _{r (m)r (n-m)} i

=

mn _{(a 2) n-m} r (n)

(20) integrali n>m>O koşulunda geçerlidir. Böylece

i mn kanıtlanır. . 2 ın (a2)n-m b ) Iraksak İntegraller

r

(m) r (n-m)

r

(n) (19) (20 ) (21 )

Iraksak integrallerde k-uzayındaki orjinin kayması önemlidir.

Aşağıdaki iki örnek bu noktayı açıklayacaktır.

1) Logaritmik Iraksaklık

Logaritmik ıraksak int egraller aşağıdaki şekilde görülecek

-tir.

I o

Bu integrali aşağıdaki şekilde yazabi liriz .

d4k _d4_k d4k

]

i = _f +

[J

2 2 2 o _{[k2+a2] 2} [ (k- p) +a ] [k2+a2] 2 i = f d 4 k fd4k [ 1 1

]

₍₂

₁

+ o _{[k2+a2] 2} [ _(k-p) 2 2 2 _+a

_J

_{[k2+a2] 2}

İkinci kısımdaki

integral

yakınsak olduğundan

regülarize etmeye

gerek yok ur.

Aşa~ıdaki

integral formunun

ardımı

i le çözülebilir.

1 n (a- Bldz

- -

_n

-

-

=

f Sn [ ] n+ 1 a _{o (a- B)z+S} (a- S) z +13

₌

u (a- Sldz

₌

du değişken _{dönüşümleri (3 )}

denkleminde yazıldığında

1 eY.. du

- -

_n

-

-

₌

-

n f

_rL+T

Sn _B a _u 1

-

-

-

-

₌

n _Sn [ (a- S)z+S]n a _o 1

- -

_n

-

-

₌

-

-

-Sn n Sn a _a bulunur. Böylece 1 1 _{n (a- S)dz}

- -

_n

-

-

=

f Sn [ ] n+ 1 a _{o (a- S)z+S}

kanıtlanmış olur. Bu integral formundan yararlanarak

2 2 2

ct = k +p - 2p k + a B k2 + a 2

n

=

2

değer ler ini (5) denklemi nde yazdığımı zda (2 ) denkleminin iki nci

kısmı

(3

1

(4

1

(5

1

olur. (7) denklemini (2) denkleminde yerine yazdığımızda i o 2 (p - 2pk)dz 2 2 2 3 [ fp - 2pk)z+k +a ]

bulunur. (8) integral formunun ikinci kısmında

k -+ k + ı.ı ı.ı değişken dönüşümü yaptığımızda (7 ) (8 ) (9 )

olur. (9) integralinde simetrik integrallerden dolayı k 'ya göre

tek olan integraller sıfırdır. Buna göre

olur . (21) integralinin yardımı i le

1 - i n2 J dz o 2 P (1- 2z) [ a 2 +p 2 z(l- z) ] 3 ( 1 O) ( 1 1 )

bulunur. (11) integralinin z 'e göre integralini

aldığımızda değeri

sıfır olur. Bu durumda (1) integrali aşağıdaki şekle dönüşür.

d4k

i =

J

2 2 2

2) Lineer IrDksDklık

Lineer ıraksak integraller aşağıdaki formdadır.

i =

(1 3)

Bu integral forr.lUnuda aşağıdaki şekilde yazabiliriz .

( 1 4 ) ve

s

= - FS f d 4 k + f Kd 4 k ( 2 1 2 2

1 [ k 2 + a 2] 2

[(k

-

P ) + a

J

(1 5 )

(5) denkleminin yardımı i le S1 ifadesinin ikinci kısmı

(1 G)

bulunur. (16) integrali logaritmik ıraksayan integr aldir. Bunun

için orjinini k k+pz olarak değiştirdiğimizde 1 2 - 2 f (}C+"-z)d4 k f dz P (1- 2z)-2pk fo' [ 2 2 2

J3

o k +a +p z (1-z) (1 7)

olur. Simetrik integrallerden dolayı k 'nın ekli durumları için

~4

9 _~V

k2y~p'

_v dz ₄ 1 p2Z (1- 2z)dz -=---'---~

-

2

P

J d kJ - .-- -- - - ---., [k2+a2+p2z (1_z )J _o [k2 _+a 2 _+p 2 _z (1 _{- z} )J' .J k2 4 1 _{p2 z (1}- 2z)dz 2 2 2 3 - 2

P

Jd kJ

[

2

2 2 J 3 [k +a +p z (1- z)J o k +a +p z (1-z) (18)

Bu sonucu (15) denkleminde yerine yazdığımızda

2 4 1 dz

+

~

Jk d k J [ 2 2 2

~

o k +a +p z(1- z)J

(19)

bulunur. İkinci in egrali kısmi integrasyon i le hesaplarız .

z = u , dz = du 2 P (1 - 2z)dz

=

d 2 2 2 ] 3 k +a +p z (1-z) 1

v

= _{(20 )} [ 2 2 2 2 k +a +p z (1-z )J yardımı ile

d4k 4 1

P

J -₂ 2 2 - JPJd k J

[k

+a

J

o dz 2 2 2

2

[k +a +p z (l - z)J (21 )

bulunur. Bu sonucu (19) denklemi nde yerine yazdığımızda

. d k d k 4 1 dz Sl= -ID ) 2 22 + pJ 2 2 2 - pJd k J 2 2 2 :;L Lk +a J [k +a

1

o [k +a +p z(l- z) ] dz

[

-

k

-

2

+

~2 ~L;

(l-

z

)

J

4 1 k 2 S1 =

P

Jd k Jdz [ 2 2 2 3 o

[k

+a +p z (1 - z) ] 2 2 1 2

~

] [k +a +p z(l- z)J (22 )

olur . (21 ) yakınsak integr a lini n yardımı i le

. 2 ı71 ,.i..

S1 = - - 2- l' _{(23 )}

bulunur. (23) değerini (14) denkl eminde yerine yazarsak

(24)

cı

i

=

F

(

ı

)

d4

~

a,a 2·· ._{a n} (25 ı

(25) deki integrallerle, çeşitli diyagramlara karşılık gelen büyüklüklerin hesaplanmasında karşılaşılır . Burada a, ,a

2, . . . an

ler ikinci dereceden polinomlardır . F( ıı ı 'nün n. dereceden bir ı.ı

polinomudur. Aşağıdaki eşitliğin uygulanmasıyla bu integr ller he

-saplanır.

,

, x _xn- 2

=

(n- ' ) ! fdx, f dx 2 .. .f o o o (26 )

Denklem (3. " ) deki köşe fonksiyonunun hesabı için yararlandı­

ğımız integral formu

, x

= (3- , )! f dx J dy

o o

dır. (27) denkleminin paydasını düzenlediğimizde

olur. ve y =

o

için u = t y = x için u=t+x (a, -a 2) (27 ı (28 ı

1 t+x {aı-a2) = 2 f dx f o (29 ) = 1 - - - - 2 } 2[x {a 2- a3)+a3] 1 1

[f

x (30 ) o şekline dönüşür. x {a 1-a3 )+a3

=

z dx

₌

- - -

_a dz -a (31 ) 1 3 x

=

O içi n z

₌

a 3 x

=

1 için z

₌

_aı v x ( _2- a 3) + a 3

=

k dx

=

- - - -

dk a 2- a3 x

=

O için k

=

a 3 (32 ) x = için k = 2

Tekrar (31) ve (32) değişken dönüşümlerini (30) denkleminde yerine

yazdığımızda

1 1

=

-

bulunur. Böylece 1

x

= (3- 1)! i dx i dy o o olur. 2) Diğer İn egraller i _{_ -=2_}X_{_}d_{_}x_{_ = 2c Q,n [ cx}2 _{+bx+al - 2bc i 2 dx} -cx +bx+a cx +bx+a yardımı ile x dx 2 2 2 2 o m x - A X+A bulunur. 1 2 2 2 2 1 A 2 1 dx = --2Q.n[m x - A x+A J+-

_{2 1}

2 2 2 - 2"-2m o 2m o m x - A X+A 3 _{2 2} x dx 1 [ 2 ] a (2ac-b )+b (3ac-b )x i 2 2 = --2 Q,n cx +bx+a + 2 (cx +bx+a) 2c c 6R 2 R

=

cx +bx+a 6

=

4ac-b2 olarak tanımlanır. olur. b (6ac-b2) dx 2c2 6 i (cx 2

+

bx~)-R =m2x 2_A2X+).2 6 =4m2A2_,,4 (34 ) (35 ) (36)

Ek-F

GORDON AYRILMASI

Gordon ayrılmasını Dirac denklemlerinden yararlanarak bulabi

-liriz .

(p-m) u (p) = O

u (p ') ( '-m) = O

(1 )

(2 )

(1) denklemini soldan u (p ') ~ ile (2) denklemini sağdan ~u (p) ile

çarptığımızda

u (p' ) ~ (p-m) u (p)

=

O

_{(3 )}

u (p , )

(

p

' -

m ) ~ u ( p ) = O _{(4 )}

olur. (3) ve (4) denklemler i toplandığında

U (p ') ~(p-m)u (p) + u (p ') (p '-m) ~u (p) = O _{(5 )}

bulunur. (S) denklemini düzenlediğimizde

u{p ' )~pu {p) +u (p' )p '~u (p)-2mü (p ') ~u {p) = O (6 )

olur .

Dör lü

a

ve _{vektörleri arasında aşağıdaki bağın ılar vardır.}

ap

=y\..la _Y v _Pv = a p y\..ly v

\..l \..l v (7 )

aP

= a p [l {y\..lyV + yVy\..l)+ 1 _{- {y y} \..l v _{- y} v \..l _{Y )}

_]

\..l v 2 2 (8 )

~p = _a\..lPVg \..lv -ıa p a\..lV

\..l v

a

= a p\..l -ıa . p a \..lV

\..l \..l v ( 9 )

ve

FS '~

=

2ap'-~FS'

FS '~

=

2a p'-a p' lJ + ı. a p ' o LJ v

)J IJ v

FS' ıi

₌

a p' lJ

...

_{ia p' o} lJV

w _{w v}

(9) ve (11) denklemlerini (6) denkleminde yerine yazdığımızda

olur . (1 2) denklemi olur. (13) denkleminden u (p ' )ylJ u (p) = 2m veya

tl

(p' ) yW u (p} = 1 2m bulunur. - 2mu (p' )yW a u (p) = O

w

a LJ i le bölünürse u (p ' )

r

(plJ+p ,\J)_(p -p' )i v v LJ v ] u(p) u (p') [ (p\J+p '\J)+ (p -p' ) ia vw ] u (p} v v ( 1 1 ) (12) ( 1 4 ) (15 )

.'

KAYNAKLAR

1. J .O. BJORKE , 5.0 . ORELL, Relativistische Quantenmechanik,

B. i . , Mannheim, (1 966)

2. W.GREİNER, J.REİ HARDT, Quantenelektrodynamik, H.Oeu sch,

Fr nkfurt/Main (1 84)

3. J .M. Jl\UCII, F. ROHRLİCH, Theory of Photons and El ctrons

Springer-Verlag, New York (1 980)

R.P. FEY MA , Quantenelektrodynamik, B.r . Mannheim, (1969)