T.C.
MUŞ ALPARSLAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MODULAR DİZİLERİ YARDIMIYLA TANIMLANAN GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK
DİZİ UZAYLARININ BAZI TOPOLOJİK ÖZELLİKLERİ
Semih TEKDEMİR YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı
Ocak-2020 MUŞ Her Hakkı Saklıdır
T.C.
MUŞ ALPARSLAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MODULAR DİZİLERİ YARDIMIYLA TANIMLANAN GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK
DİZİ UZAYLARININ BAZI TOPOLOJİK ÖZELLİKLERİ
Semih TEKDEMİR YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı
Danışman
Dr. Öğr. Üyesi Gülcan ATICI TURAN
Ocak-2020 MUŞ Her Hakkı Saklıdır
iv
ÖZET
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MODULAR DİZİLERİ YARDIMIYLA TANIMLANAN GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK DİZİ UZAYLARININ BAZI TOPOLOJİK ÖZELLİKLERİ
Semih TEKDEMİR
Muş Alparslan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Dr. Öğr. Üyesi Gülcan ATICI TURAN 2020, 30 Sayfa
Jüri
Danışman: Dr. Öğr. Üyesi Gülcan ATICI TURAN Jüri Üyesi: Prof. Dr. Çiğdem BEKTAŞ
Jüri Üyesi: Doç. Dr. Erdal KORKMAZ Jüri Üyesi: Unvanı Adı SOYADI
Jüri Üyesi: Unvanı Adı SOYADI
Bu çalışmada, Modular dizileri uzayları yardımıyla bazı genelleştirilmiş fark dizi uzayları tanımlanmış ve bazı topolojik özellikleri incelenmiştir. Ayrıca dizi uzaylarının arasında bazı kapsama bağıntıları verilmiştir.
Üç bölümden oluşan bu tezin ilk bölümünde konuya ilişkin ön bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, tez boyunca kullanılacak olan temel kavramlar verilmiştir. Ayrıca fark dizi uzayları, genelleştirilmiş fark dizi uzayları, Orlicz fonksiyonu, ( ) dizi uzayı ve Modular dizi uzayı kavramları tanımlanmış ve bunlarla ilgili bazı teoremler ve topolojik özellikler incelenmiştir.
Üçüncü bölümde ise her bir k için ve birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olmak üzere ( ) ve ( ) Orlicz fonksiyon dizileri yardımıyla ( ) ve ( ) yeni fark dizi uzayları tanımlanmıştır. Ayrıca bu dizi uzaylarının bazı topolojik özellikleri ve bu dizi uzayları arasında bazı kapsama bağıntıları incelenmiştir.
v
ABSTRACT MS THESIS
ON SOME TOPOLOGICAL PROPERTIES OF GENERALIZED DIFFERENCE SEQUENCE SPACES DEFINED BY MODULAR SEQUENCE
Semih TEKDEMİR
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF MUŞ ALPARSLAN UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS SCIENCE
Advisor: Asst. Prof. Dr. Gülcan ATICI TURAN 2020, 30 Pages
Jury
Advisor: Asst. Prof. Dr. Gülcan ATICI TURAN Jury Member: Prof. Dr. Çiğdem BEKTAŞ
Jury Member: Assoc. Prof. Dr. Erdal KORKMAZ Jüri Üyesi: Unvanı Adı SOYADI
Jüri Üyesi: Unvanı Adı SOYADI
In this study, we define some generalized difference sequence spaces by Modular sequence spaces and we examine some properties of these sequence spaces. We also give some inclusion relations between these spaces.
In the first part of this thesis consisting of three chapters, some basic concepts related to the subject are given. In the second chapter, the basic concepts used throughout the thesis are given. Also, the concepts of difference sequence spaces, generalized difference sequences spaces, Orlicz function ( ) sequences space and Modular sequence space are defined and some theorems related to these and their topological properties are examined.
In the third chapter, we define the new difference sequence spaces ( ) and ( ) where of Orlicz function ( ) and ( ) such that and be mutually complementary for each k. We also examine some topological properties of the sequence spaces and some inclusion relations between these spaces.
vi
ÖNSÖZ
Tez çalışmamın hazırlanmasında emeği bulunan başta ailem olmak üzere, bu tezin hazırlanması süresince, her anlamda benden desteğini eksik etmeyen, akademik gelişmemde bilgi ve becerilerini paylaşarak bana yardımcı olan, her daim bana yol gösteren değerli danışman hocam Dr. Öğr. Üyesi Gülcan ATICI TURAN' a sonsuz teşekkürlerimi sunuyorum.
Semih TEKDEMİR MUŞ-2020
vii İÇİNDEKİLER TEZ BİLDİRİMİ ... iii ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii
SİMGELER VE KISALTMALAR ... viii
1. GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI ... 1
2. TEORİK ESASLAR ... 4
2.1. Temel Kavramlar ... 4
2.2. Fark Dizi Uzayları, Orlicz Fonksiyonu, ( ) Dizi Uzayı ve Modular Dizi Uzayı ... 7
2.2.1. Fark Dizi Uzayları ... 7
2.2.2. Orlicz Fonksiyonu ... 8
2.2.3. ( ) Dizi Uzayı ... 11
2.2.4. Modular Dizi Uzayı ... 11
3. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA ... 14
3.1. Modular Dizileri Yardımıyla Tanımlanan Genelleştirilmiş Fark Dizi Uzaylarının Bazı Topolojik Özellikleri ... 14
3.2. ( ) ve ( ) Dizi Uzayları Arasındaki İlişkiler... 24
4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 27
4.1. Sonuçlar ... 27
KAYNAKLAR ... 28
viii
SİMGELER VE KISALTMALAR
: Reel sayılar kümesi
: Doğal sayılar kümesi
: Sınırlı diziler uzayı
‖ ‖ : Norm
( ‖ ‖) : Normlu uzay
: Yakınsak diziler uzayı
: Her
: Sıfıra yakınsak diziler uzayı : Banach koordinatsal süreklilik
: Genelleştirilmiş fark operatörü ( ) ̌( ) ̌ M : : : : : :
Modular dizi uzayı Modular dizi sınıfı Orlicz dizi sınıfı Orlicz dizi uzayı Orlicz fonksiyonu Bütün diziler uzayı
Kısaltmalar
Kısaltmaları yazmaya buradan başlayınız ve yazım kılavuzunda belirtildiği şekilde düzenleyiniz.
1. GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI
İlk olarak fark dizileri kavramı 1981 yılında Kızmaz tarafından tanımlandı. Kızmaz ( ) ( ) ve , ve olacak şekilde
( ) { ( ) }
dizi uzaylarını tanımladı. Daha sonra Et ve Çolak (1995), ,
( ), ( ), ( ) ( ) ve
∑( ) ( )
olmak üzere
( ) { ( ) } dizi uzaylarını tanımladılar.
Bir Orlicz fonksiyonu, sürekli, azalmayan, konveks, ( ) , için ( ) ve iken ( ) şartlarını sağlayan bir [ ) [ ) fonksiyonudur (Kamthan ve Gupta, 1981).
Bir Orlicz fonksiyonu her zaman
( ) ∫ ( )
integral formunda gösterilebilir. Burada nin çekirdeği olarak bilinen , azalmayan, için sağdan türevlenebilir, ( ) , için ( ) ve iken ( ) dur (Karanoselskii ve Rutitsky, 1961).
Bir ( ) Orlicz fonksiyonu ile çekirdeği olan ( ) yi göz önüne alalım ve ( ) { ( ) } olsun. Bu takdirde
( ) ∫ ( )
şeklinde bir fonksiyonu vardır. Burada ( ) nin bir çekirdeği olup ( ) nin tüm özelliklerine sahiptir ki bu da nin bir Orlicz fonksiyonu olduğunu gösterir. Bu şekilde ve fonksiyonları birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olarak adlandırılır (Kamthan ve Gupta, 1981).
Lindenstrauss ve Tzafriri (1965) Orlicz fonksiyonu fikrini kullanarak { ∑ ( (| |))
} Orlicz dizi uzayını tanımladılar ve bu dizi uzayının
‖ ‖ { ∑ ( (| |))
} normu ile bir Banach uzayı olduğunu gösterdiler.
1973 te Woo ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi olmak üzere ( ) { ( ) ∑ (| |)
} şeklinde Modular dizi uzayını tanımlamış ve bu dizi uzayının
‖ ‖ { ∑ (| |)
} normu ile bir Banach uzayı olduğunu göstermiştir.
( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi olmak üzere her bir için lar ( ) ∫ ( )
integral formunda gösterilebilir. Buradan her bir için ların çekirdeği olarak bilinen lar azalmayan, için sağdan türevlenebilir, her bir için ( ) , için ( ) ve iken ( ) dur (Atıci, 2011).
Her bir için lar Orlicz fonksiyonu ve her bir ya karşılık lar da bu Orlicz fonksiyonlarının çekirdeği olmak üzere
( ) { ( ) } olsun. Bu takdirde her bir k için
( ) ∫ ( )
integral formunda gösterilen fonksiyonunu tanımlayabiliriz. Burada her bir için ( ), nın çekirdeği olup ( ) nin tüm özelliklerine sahiptir. Yani ( ) bir Orlicz fonksiyon dizisi olur. Bu şekildeki her bir için ve birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olarak adlandırılır (Atıci, 2011).
Parashar ve Choudhary (1994), bir Orlicz fonksiyonu ve ( ) pozitif reel sayıların herhangi bir dizisi olmak üzere
( ) { ( ) ∑ [ (| |)]
}
dizi uzayını tanımladılar ve bu dizi uzayının bazı cebirsel topolojik özelliklerini incelediler.
Modular dizi uzayları kullanılarak yeni genelleştirilmiş fark dizi uzayları tanımlanmış ve pek çok bilim adamı bu dizi uzayları üzerine çalışmalar yapmıştır (Alsaedi ve Bataineh, 2007; Bektaş ve Atıci, 2013; Gupta ve Pradhan, 2008; Atıci Turan, 2017; Jamwal ve Raj, 2015).
2. TEORİK ESASLAR 2.1. Temel Kavramlar
Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak bazı temel tanımlar verilecektir.
Tanım 2.1 bir küme ve K reel veya kompleks sayılar cismi olmak üzere ,
fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, kümesine cismi üzerinde vektör uzayı (lineer uzay) denir. Her ve her için
i.
ii. ( ) ( )
iii. Her için olacak şekilde bir vardır.
iv. Her bir için ( ) ( ) olacak şekilde bir ( ) vardır. v.
vi. ( ) vii. ( )
viii. ( ) ( ) (Maddox, 1970).
Tanım 2.2 , cismi üzerindeki bir lineer uzay ve , nin bir alt kümesi olsun. Her ve her için
1) 2)
şartları sağlanıyorsa ye nin alt uzayı denir (Bayraktar, 1994).
Tanım 2.3 cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. ‖ ‖ ‖ ‖
dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu dönüşüme bir norm ve ( ‖ ‖) ikilisine de bir normlu uzay denir. için
N1) ‖ ‖
N2) ‖ ‖
N4) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ dir (Kreyszig, 1978).
Tanım 2.4 ( ‖ ‖) bir normlu uzay ve ( ), uzayında bir dizi olsun. Eğer için iken
‖ ‖
olacak şekilde bir ( ) sayısı varsa ( ) dizisi e yakınsaktır denir. ( ) dizisi e yakınsak ise veya şeklinde yazılır (Kreyszig, 1978).
Tanım 2.5 ( ‖ ‖) bir normlu uzay ve ( ), X uzayında bir dizi olsun. Eğer için iken
‖ ‖
olacak şekilde bir ( ) sayısı varsa ( ) dizisine bir Cauchy dizisi denir (Kreyszig, 1978).
Tanım 2.6 normlu lineer uzay olsun. , norm metriğine göre tam ise ye Banach uzayı denir (Bayraktar, 1994).
Tanım 2.7 ( ), ( ‖ ‖) de bir dizi olsun. Her için ‖ ‖ olacak şekilde bir sayısı varsa ye sınırlı dizi denir (Bayraktar, 1994).
Tanım 2.8 ( ‖ ‖) ve ( ‖ ‖) normlu iki uzay, bir dönüşüm ve olsun. Verilmiş herhangi bir sayısı için ‖ ‖ olduğunda
‖ ( ) ( )‖
olacak şekilde sayısı varsa dönüşümüne noktasında süreklidir denir. , nin her noktasında sürekli ise ye de sürekli denir (Bayraktar, 1994).
Tanım 2.9 , cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. dönüşümü aşağıdaki şartları sağlarsa ye bir paranorm, ( ) ikilisine de paranormlu uzay denir.
için ( ) ii. ( ) ( )
iv. , iken dir
iv) şartını , ( ) iken ( ) şeklinde ifade edebiliriz (Maddox, 1970).
Tanım 2.10 Bir ( ) paranormlu uzayında, alınan her Cauchy dizisi bu uzayın bir noktasına yakınsıyorsa ( ) uzayına tam paranormlu uzay denir (Maddox, 1970).
Tanım 2.11 Reel veya kompleks terimli tüm dizilerin cümlesini ile gösterelim. ( ), ( ) ve bir skaler olmak üzere , ( ) ve ( ) şeklinde tanımlanan işlemler altında bir lineer uzaydır. nın her alt lineer uzayına bir dizi uzayı denir (Goes ve Goes, 1970).
Aşağıdaki dizi uzayları bu çalışmada sıklıkla kullanılacaktır. { ( ) | | } sınırlı, { ( ) } yakınsak ve { ( ) } sıfır dizileri uzayı ‖ ‖ | | normu ile birer Banach uzayıdır (Goes ve Goes, 1970).
Tanım 2.12 bir dizi uzayı olsun. bir Banach uzayı ve
( ) ( ) ( )
dönüşümleri sürekli ise e bir (Banach Coordinatewise)-uzayı denir (Goes ve Goes, 1970).
Tanım 2.13 bir dizi uzayı olsun.
i. | | olacak şekilde tüm ( ) dizileri için ( ) alındığında eğer ( ) ise solid (ya da normal) dir.
ii. tüm basamak uzaylarının kanonik ön resimlerini kapsıyorsa, e monotondur (Kamthan ve Gupta, 1981).
Önerme 2.1 perfektir normaldir monotondur (Kamthan ve Gupta, 1981).
Aşağıdaki eşitsizlik bu çalışmada sıklıkla kullanılacaktır. , , ve ( ) olmak üzere
(| |) {| | | | } (2.1)
dir.
2.2. Fark Dizi Uzayları, Orlicz Fonksiyonu, ( ) Dizi Uzayı ve Modular Dizi Uzayı
2.2.1. Fark Dizi Uzayları
Fark dizileri kavramı ilk olarak Kızmaz (1981) tarafından tanımlandı. Kızmaz ( ) ( ) olmak üzere
( ) { ( ) } ( ) { ( ) } ( ) { ( ) }
dizi uzaylarını tanımladı ve bu uzayların ‖ ‖ | | ‖ ‖ normu ile birer Banach uzayı olduğunu gösterdi.
Et ve Çolak (1995), , ( ) ( ) ( ) ( ) ve ∑( ) ( ) olmak üzere ( ) { ( ) } ( ) { ( ) } ( ) { ( ) } dizi uzaylarını tanımladılar ve bu uzayların
‖ ‖ ∑| |
‖ ‖ ile Banach uzayı olduğunu gösterdiler.
Teorem 2.1 ( ), ( ) ve ( ) dizi uzayları
‖ ‖ ∑| | ‖ ‖
(2.2) normu ile birer normlu uzaydır (Et, 1992).
Teorem 2.2 ( ) ‖ ‖ bir Banach uzayıdır (Et, 1992).
Teorem 2.3 ( ), ( ) ve ( ) uzayları (2.2) deki norm ile birer BK-uzayıdır
(Et, 1992).
2.2.2. Orlicz Fonksiyonu
Tanım 2.14 Bir Orlicz fonksiyonu, sürekli, azalmayan, konveks, ( ) , için ( ) ve iken ( ) şartlarını sağlayan bir [ ) [ ) fonksiyonudur (Kamthan ve Gupta, 1981).
Bir M Orlicz fonksiyonu her zaman
( ) ∫ ( )
integral formunda gösterilebilir. Burada nin çekirdeği olarak bilinen , azalmayan, için sağdan türevlenebilir, ( ) , için ( ) ve iken ( ) dur ( Karanoselskii ve Rutitsky, 1961).
Bir ( ) Orlicz fonksiyonu ile çekirdeği olan ( ) yi göz önüne alalım ve ( ) { ( ) } olsun. Bu takdirde
( ) ∫ ( )
şeklinde bir fonksiyonu vardır. Burada ( ), nin bir çekirdeği olup ( ) nin tüm özelliklerine sahiptir ki bu da nin bir Orlicz fonksiyonu olduğunu gösterir. Bu şekilde ve fonksiyonları birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olarak adlandırılır (Kamthan ve Gupta, 1981).
Önerme 2.2 ve fonksiyonları birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olsun. Bu takdirde i) için ( ) ( ) (Young Eşitsizliği)
ii) için ( ) ( ) ( ( )) dir (Kamthan ve Gupta, 1981).
Ayrıca konveks ve ( ) olduğundan olmak üzere her için ( ) ( ) dir (Kamthan ve Gupta, 1981).
Tanım 2.15 Her bir Orlicz fonksiyonu için
̃ { ( ) ∑ (| |)
}
şeklinde tanımlanan ̃ cümlesine Orlicz dizi sınıfı denir (Kamthan ve Gupta, 1981). Benzer şekilde , nin alışılmış tamamlayıcısı olmak üzere ̃ cümlesi
̃ { ( ) ∑ (| |)
} şeklinde tanımlanır.
Lindestrauss ve Tzafiri (1965) Orlicz fonksiyonu fikrini kullanarak aşağıdaki dizi uzayını tanımladılar:
{ ∑ ( (| |)) } ve bu dizi uzayını ‖ ‖ { ∑ ( (| |)) } normu ile bir Banach uzayı olduğunu gösterdiler.
Tanım 2.16 Her bir Orlicz fonksiyonu için
{ ( ) ∑ (| |)
} şeklinde tanımlanan kümeye Orlicz dizi uzayı denir (Kamthan ve Gupta, 1981).
Benzer şekilde , nin alışılmış tamamlayıcısı olmak üzere { ( ) ∑ (| |)
}
de bir dizi uzayıdır. ve fonksiyonları birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olmak üzere Orlicz dizi uzayı
{ ( ) ∑
̃ } (2.3) şeklinde de verilebilir (Kamthan ve Gupta, 1981).
Buradan açıkça görülebilir ki ̃ ve ̃ dir (Kamthan ve Gupta, 1981).
Teorem 2.4 Her bir için {|∑
| ∑ (| |)
} dur (Kamthan ve Gupta, 1981).
Böylece ‖ ‖ {|∑ | ∑ (| |) }
şeklinde üzerinde bir norm tanımlanabilir. , bu norm ile birlikte bir Banach uzayıdır (Kamthan ve Gupta, 1981).
Teorem 2.5 ( ‖ ‖ ) bir -uzayıdır (Kamthan ve Gupta, 1981).
‖ ‖ normundan farklı olarak ,
‖ ‖( ) { ∑ (
| | )
}
ile tanımlanan ‖ ‖ normuna denk olan ‖ ‖( ) normuyla da BK-uzayı yapılabilir (Kamthan ve Gupta, 1981). Teorem 2.6 için ∑ ( | | ‖ ‖( )) dir (Kamthan ve Gupta, 1981).
Önerme 2.3 için
∑ ( | | ‖ ‖ )
dir (Kamthan ve Gupta, 1981).
Teorem 2.7 için ‖ ‖( ) ‖ ‖ ‖ ‖( ) dir (Kamthan ve Gupta, 1981).
Sonuç 2.1 ( ‖ ‖ ) bir BK-uzayıdır (Kamthan ve Gupta, 1981).
2.2.3. ( ) Dizi Uzayı
Bu kısımda Parashar ve Choudhary (1994) tarafından tanımlanan ve bazı cebirsel-topolojik özellikleri incelenen ( ) dizi uzayına yer verildi. Bu bölümde ( ) dizisini sınırlı kabul edeceğiz.
Şimdi bir Orlicz fonksiyonu ve pozitif reel sayıların herhangi bir ( ) dizisi için
( ) { ( ) ∑ [ (| |)]
} şeklinde tanımlanan dizi uzayının bazı temel özelliklerini verelim.
Teorem 2.8 olsun. Bu durumda ( ) dizi uzayı sayılar cismi üzerinde
bir lineer uzaydır (Parashar ve Choudhary, 1994).
Teorem 2.9 olsun. Bu durumda ( )
( ) { (∑ [ (| |)]
)
⁄
} (3.3) paranormuyla total paranormlu uzaydır (Parashar ve Choudhary, 1994).
Teorem 2.10 Her bir k için olacak şekilde ve dizilerini alalım. Bu takdirde ( ) ( ) dur (Parashar ve Choudhary, 1994).
2.2.4. Modular Dizi Uzayı
Woo (1973) modular dizi uzayını tanımlamıştır. Biz de bu bölümde Orlicz fonksiyonlarının integral formundaki gösterimini, çekirdeğini, alışılmış tamamlayıcısını ve modular dizi sınıfını tanımlarına yer verdik ve bunların bazı özelliklerini inceledik.
( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi olsun. Bu takdirde her bir için lar
( ) ∫ ( )
integral formunda gösterilebilir. Buradan her bir için ların çekirdeği olarak bilinen lar azalmayan, için sağdan türevlenebilir, her bir için ( ) , için ( ) ve iken ( ) dur (Atıci, 2011).
Her bir k için lar Orlicz fonksiyonu ve her bir ya karşılık lar da bu Orlicz fonksiyonlarının çekirdeği olmak üzere
( ) { ( ) } olsun. Bu takdirde her bir için
( ) ∫ ( )
integral formunda gösterilen fonksiyonunu tanımlayabiliriz. Burada her bir için ( ), nın çekirdeği olup ( ) nin tüm özelliklerine sahiptir. Yani ( ) bir Orlicz fonksiyon dizisi olur. Bu şekildeki her bir için ve birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olarak adlandırılır (Atıci, 2011).
Önerme 2.4 Her bir için ve birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olsun. Bu takdirde
i) için ( ) ( ) (Young Eşitsizliği) ii) için ( ) ( ) ( ( )) dir.
Ayrıca lar konveks ve her bir için ( ) olduğundan ve olmak üzere her için ( ) ( ) dir (Atıci, 2011).
Tanım 2.17 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi olmak üzere ̃( ) { ( ) ∑ (| |)
}
şeklinde tanımlanan ̃( ) cümlesine Modular dizi sınıfı denir. Benzer şekilde her bir için , nın alışılmış tamamlayıcısı olmak üzere ̃( )
̃( ) { ( ) ∑ (| |)
} şeklinde tanımlanır (Atıci, 2011).
Tanım 2.18 Bir ( ) Orlicz fonksiyon dizisi için ( ) { ( ) ∑ (| |)
}
şeklinde tanımlanan ( ) cümlesine modular dizi uzayı denir (Woo, 1973). Bu dizi uzayı
‖ ‖ { ∑ (| |)
}
normu ile bir Banach uzayıdır. Benzer şekilde her bir k için , nın alışılmış tamamlayıcısı olmak üzere
( ) { ( ) ∑ (| |)
} şeklinde tanımlanan ( ) cümlesine modular dizi uzayı denir. Bu dizi uzayı
‖ ‖ { ∑ (| |)
}
normu ile bir Banach uzayıdır. Her bir için , fonksiyonları birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olmak üzere
( ) { ( ) ∑ ̃( ) } (3.4) olarak da verilebilir (Atıci, 2011).
Tanım 2.19 ve herhangi iki Orlicz fonksiyonu olsun. şeklindeki her için ( ) ( ) ( ) olacak şekilde , ve pozitif sayıları varsa ve Orlicz fonksiyonlarına denktir denir (Kamthan ve Gupta, 1981).
Benzer şekilde Orlicz fonksiyon dizilerinin denkliği aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
Tanım 2.20 ( ) ve ( ) Orlicz fonksiyonlarının herhangi iki dizisi olsun. şeklindeki her ve her için ( ) ( ) ( ) olacak şekilde , ve pozitif sayıları varsa ve Orlicz fonksiyon dizilerine denktir denir (Atıci, 2011).
3. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA
3.1. Modular Dizileri Yardımıyla Tanımlanan Genelleştirilmiş Fark Dizi Uzaylarının Bazı Topolojik Özellikleri
Tanım 3.1 Her için ve birbirinin alışılmış tamamlayıcı fonksiyonları, ( ) kesin pozitif reel sayıların sınırlı bir dizisi, ( ) kesin reel sayıların bir dizisi ve olacak şekilde ( ) reel terimli bir dizi olsun. O halde aşağıdaki dizi uzaylarını ( ) { ( ) ∑ [ (| |)] } ve ( ) { ( ) ∑ [ ( | |)] } şeklinde tanımlayalım. Bu bölümde her için ( ) ve ( ) alınmaktadır.
Her için alınırsa
( ) { ( ) ∑ [ (| |)] } ve ( ) { ( ) ∑ [ ( | |)] } dizi uzayları elde edilir.
Teorem 3.1 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi olsun. Bu takdirde
( ) dizi uzayı bir lineer uzaydır.
İspat. ( ) ve olsun. Bu takdirde ∑ [ (| |)]
∑ [ (| |)]
olacak şekilde ve pozitif sayıları vardır. ve iki kompleks sayı olmak üzere ( | | | | ) alalım. lar azalmayan, konveks ve lineer olduğundan
∑ [ (| ( )|)] ∑ [ (| || | | || |)] ∑ [ (| || | | | ( | || | | | ))] ∑ [ (| | (| |))] ∑ [ (| || |)] ∑ [ (| || |)]
bulunur. Toplamının her ikisi de ayrı ayrı sonsuzdan küçük kaldığı için toplamı da sonsuzdan küçük kalır. O halde ( ) bir lineer uzaydır.
Teorem 3.2 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi olsun. Bu takdirde
( ) dizi uzayı bir lineer uzaydır.
İspat. ( ) ve olsun. Bu takdirde
∑ [ ( | |)]
∑ [ ( | |)]
olacak şekilde ve pozitif sayıları vardır. ve iki kompleks sayı olmak üzere ( | | | | ) alalım. lar azalmayan, konveks ve lineer olduğundan ∑ [ ( | ( )|)] ∑ [ ( | || | | || |)] ∑ [ ( | || | | | ( | || | | | ))] ∑ [ ( | | ( | |))] ∑ [ ( | || |)] ∑ [ ( | || |)]
bulunur. Toplamının her ikisi de ayrı ayrı sonsuzdan küçük kaldığı için toplamı da sonsuzdan küçük kalır. O halde ( ) bir lineer uzaydır.
Teorem 3.3 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi ve ( ) kesin pozitif reel
sayıların sınırlı bir dizisi olsun. Bu takdirde ( ) uzayı ( ) olmak üzere ( ) { ⁄ (∑ [ (| |)] ) ⁄ }
paranormu ile bir paranormlu uzaydır.
İspat. Her için ( ) olduğundan için { ⁄ } olur. Tersine
( ) olduğunu varsayalım. O halde
{ ⁄ (∑ [ (| |)]
)
⁄
}
olur ki buradan olur. ( ) ( ) olduğu aşikardır.
Teorem 3.1 den alnırsa ( ) ( ) ( ) elde edilir. Son olarak ( ) skaler çarpımının sürekli olduğunu ispatlayalım. sıfırdan farklı herhangi bir sayı olsun. Buradan | |⁄ olarak seçilirse
( ) { ⁄ (∑ [ (| ( )|)] ) ⁄ } {(| | ) ⁄ (∑ [ (| |)] ) ⁄ }
elde ederiz. Bu takdirde | | ( | | ) olduğundan | | ( | | ) elde edilir. Böylece ( ) ( | | ) { ⁄ (∑ [ (| |)] ) ⁄ } ( | | ) ( )
olur. Böylece ( ), ( ) sıfıra yakınsak iken ( ) de sıfıra yakınsaktır. Şimdi ( ) uzayının sabit bir elemanı olsun. Bu takdirde
( ) { ⁄ (∑ [ (| |)]
)
⁄
} olacak şekilde sayısı vardır. iken
( ) { ⁄ (∑ [ (| |)]
)
⁄
} olur. Böylece ispat tamamlanır.
Teorem 3.4 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi ve ( ) kesin pozitif reel
sayıların sınırlı bir dizisi olsun. Bu takdirde ( ) uzayı ( ) olmak üzere ( ) { ⁄ (∑ [ ( | |)] ) ⁄ } paranormu ile bir paranormlu uzaydır.
İspat. Her için ( ) olduğundan için { ⁄ } olur. Tersine
( ) olduğunu varsayalım. O halde
{ ⁄ (∑ [ ( | |)]
)
⁄
}
olur ki buradan olur. ( ) ( ) olduğu aşikardır.
Teorem 3.1 den alnırsa ( ) ( ) ( ) elde edilir. Son olarak ( ) skaler çarpımının sürekli olduğunu ispatlayalım. sıfırdan farklı herhangi bir sayı olsun. Buradan | |⁄ seçilirse
( ) { ⁄ (∑ [ ( | |)] ) ⁄ } {(| | ) ⁄ (∑ [ ( | |)] ) ⁄ }
elde ederiz. Bu takdirde | | ( | | ) olduğundan | | ( | | ) elde edilir. Böylece
( ) ( | | ) { (∑ [ ( | |)] ) ⁄ } ( | | ) ( )
olur. Böylece ( ) ( ) sıfıra yakınsak iken ( ) de sıfıra yakınsaktır. Şimdi ( ) uzayının sabit bir elemanı olsun. Bu takdirde
( ) { ⁄ (∑ [ ( | |)]
)
⁄
} olacak şekilde sayısı vardır. iken
( ) { ⁄ (∑ [ ( | |)]
)
⁄
}
olur. Böylece ispat tamamlanır.
Teorem 3.5 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi ve ( ) kesin pozitif reel
sayıların sınırlı bir dizisi olsun. Bu takdirde ( ) uzayı ( ) olmak üzere ( ) { ⁄ (∑ [ (| |)] ) ⁄ }
paranormu ile tanımlanmış bir tam paranormlu uzaydır.
İspat. ( ) uzayının tam olduğunu gösterelim. ( ) dizisi ( ) uzayında ( ) ( ) olmak üzere bir Cauchy dizisi olsun. Bu takdirde için ( ) { ⁄ (∑ [ (| ( )|)] ) ⁄ } (3.1)
olacak şekilde mevcuttur. Buradan her bir için iken | | olur. Böylece ( ) ( ) dizisi de bir Cauchy dizisidir ve tam olduğundan yakınsaktır. diyelim. (3.1) eşitliğinde için limit alınırsa için
{ ⁄ (∑ [ (| ( )|)]
)
⁄
}
buluruz. Buradan ( ) ( ) dir. ( ), ( ) ( ) ve ( ) uzayı lineer uzay olduğundan ( ) ( ) ( ) olduğu görülür. Dolayısıyla ( ) uzayı tamdır.
Teorem 3.6 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi ve ( ) kesin pozitif reel
sayıların sınırlı bir dizisi olsun. Bu takdirde ( ) uzayı ( ) olmak üzere ( ) { ⁄ (∑ [ ( | |)] ) ⁄ } paranormu ile tanımlanmış bir tam paranormlu uzaydır.
İspat. ( ) uzayının tam olduğunu gösterelim. ( ) dizisi ( ) uzayında ( ) ( ) olmak üzere bir Cauchy dizisi olsun. Bu takdirde ve için ( ) { ⁄ (∑ [ ( | ( )|)] ) ⁄ } (3.2)
olacak şekilde mevcuttur. Buradan her bir için iken | | olur. Böylece ( ) ( ) dizisi de bir Cauchy dizisidir ve tam olduğundan yakınsaktır. diyelim. (3.2) eşitliğinde için limit alınırsa için
{ ⁄ (∑ [ ( | ( )|)]
)
⁄
}
buluruz. Buradan ( ) ( ) dir. ( ) ( ) ( ) ve ( ) uzayı lineer uzay olduğundan ( ) ( ) ( ) olduğu görülür. Dolayısıyla ( ) uzayı tamdır.
Teorem 3.7 ( ) ve ( ) Orlicz fonksiyonlarının herhangi iki dizisi olsun.
i. ( ) ( ) ( ),
ii. Eğer ve denk ise ( ) ( ) dir.
İspat. i. ( ) ( ) olsun. Bu takdirde ∑ [ (| |)]
∑ [ (| |)]
olur. Burada (2.1) eşitsizliğini kullanırsak
[( ) (| |)] [ (| |)] [ (| |)] elde edilir. Bu eşitsizliğin her iki yanı ile çarpılır ve için toplamı alınırsa ∑ [( ) (| |)] ∑ [ (| |)] ∑ [ (| |)]
elde edilmiş olur ve böylece ispat tamamlanır. ii. ( ) olsun. Bu takdirde
∑ [ (| |)]
olur. Tanım 2.20 deki eşitsizlikte alınırsa ∑ [ (| |)]
∑ [ (| |)]
elde edilir. Buradan
( ) ( ) (3.3)
olur. Şimdi de ( ) alalım. Bu takdirde ∑ [ (| |)]
olur. Tanım 2.20 deki eşitsizlikte alınırsa ∑ [ (| |)]
∑ [ (| |)]
elde edilir. Buradan
( ) ( ) (3.4)
olur. (3.3) ve (3.4) eşitsizliklerinden ( ) ( ) elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
Teorem 3.8 ( ) ve ( ) Orlicz fonksiyonlarının herhangi iki dizisi olsun.
Bu takdirde
i. ( ) ( ) ( )
ii. Eğer ve denk ise ( ) ( ) dir.
İspat. i. ( ) ( ) olsun. Bu takdirde
∑ [ ( | |)]
∑ [ ( | |)]
olur. Burada (2.1) eşitsizliğini kullanırsak
[( ) ( | |)] [ ( | |)] [ ( | |)] elde edilir. Bu eşitsizliğin her iki yanı ile çarpılır ve için toplamı alınırsa ∑ [( ) ( | |)] ∑ [ ( | |)] ∑ [ ( | |)]
elde edilmiş olur ve böylece ispat tamamlanır. ii. ( ) olsun. Bu takdirde
∑ [ ( | |)]
olur. Tanım 2.20 deki eşitsizlikte alınırsa ∑ [ ( | |)]
∑ [ ( | |)]
elde edilir. Buradan
( ) ( ) (3.5)
olur. Şimdi de ( ) alalım. Bu takdirde
∑ [ ( | |)]
olur. Tanım 2.20 daki eşitsizlikte alınırsa ∑ [ ( | |)]
∑ [ ( | |)]
( ) ( ) (3.6) olur. (3.5) ve (3.6) eşitsizliklerinden ( ) ( ) elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
Teorem 3.9 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi ve her bir için
olsun. Bu takdirde ( ) ( ) dir.
İspat. ( ) olsun. Bu takdirde ∑ [ (| |)]
olacak şekilde en az bir sayısı vardır. Örneğin nın yeterince büyük değerleri ve en az bir sabit için alınırsa (| |) sağlanır. lar azalmayan olduğundan [ (| |)] [ (| |)] olur ve böylece ∑ [ (| |)] ∑ [ (| |)] elde edilir. O halde ( ) olur.
Teorem 3.10 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi ve her bir için
olsun. Bu taktirde ( ) ( ) dir.
İspat. ( ) olsun. Bu takdirde
∑ [ ( | |)]
olacak şekilde en az bir sayısı vardır. Örneğin nın yeterince büyük değerleri ve en az bir sabit için alınırsa (| |) sağlanır. lar azalmayan olduğundan
[ ( | |)] [ ( | |)] olur ve böylece
∑ [ ( | |)]
∑ [ ( | |)]
elde edilir ki buradan ( ) olur.
Teorem 3.11 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi olsun. Bu takdirde
( ) ( ) dir.
İspat. ( ) olsun. Bu takdirde en az bir için
∑ [ (|
|
)]
dır. lar azalmayan ve konveks olduğundan
∑ [ (| | )] ∑ [ (| | )] ∑ [ (| |)] ∑ [ (| |)]
yazabiliriz. O halde ( ) bulunur. Böylece ( ) ( ) olur.
Teorem 3.12 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi olsun. Bu takdirde
( ) ( ) dir.
İspat. ( ) olsun. Bu takdirde en az bir için
∑ [ ( | |
)]
dır. lar azalmayan ve konveks olduğundan
∑ [ ( | | )] ∑ [ ( | | )]
∑ [ ( | |)] ∑ [ ( | |)]
yazabiliriz. O halde ( ) bulunur. Böylece ( ) ( ) olur.
Teorem 3.13 ( ) dizi uzayı solid (normal) ve monotondur.
İspat. ( ) ve ( ), her için | | olacak şekilde skaler bir dizi olsun. Bu takdirde
∑ [ (| || |)] ∑ [ (| |)]
dir. Böylece ( ) olur. Ayrıca Önerme 2.1 den monoton olduğu görülür.
Teorem 3.14 ( ) solid(normal) ve monotondur.
İspat. ( ) ve ( ), her için | | olacak şekilde skaler bir dizi olsun. Bu takdirde
∑ [ (| | | |)] ∑ [ ( | |)]
dir. Böylece ( ) olur. Ayrıca Önerme 2.1 den monoton olduğu görülür.
Sonuç 3.1 (i) Her için olsun. Bu takdirde ( ) ( ) dir.
(ii) Her için olsun. Bu takdirde ( ) ( ) dir.
Sonuç 3.2 (i) Her için olsun. Bu takdirde ( ) ( ) dir.
(ii) Her için olsun. Bu takdirde ( ) ( ) dir.
3.2. ( ) ve ( ) Dizi Uzayları Arasındaki İlişkiler
Tanım 3.2 ( ) Orlicz fonksiyonlarının bir dizisi, ( ) kesin pozitif reel sayıların sınırlı bir dizisi, ( ) kesin reel sayıların bir dizisi ve olacak şekilde ( ) reel terimli bir dizi olsun. Bu takdirde
( ) { ( ) ∑ [ ( | |)]
} ve ( ) dizi uzayında her için alınırsa
( ) { ( ) ∑ [ (| |)]
} dizi uzayları elde edilir.
Teorem 3.15 Eğer ( ) sınırlı ve olacak şekilde bir dizi ise bu takdirde
( ) ( ) ( ) dir.
İspat. İlk önce ( ) ( ) olduğunu gösterelim. ( ) olsun. Bu takdirde en az bir için
∑ [ (| |)]
dur. ( ) sınırlı bir dizi olduğundan alalım. alınırsa bu takdirde her için
| | | |
| | | |
dir. lar azalmayan olduğundan ∑ [ ( | |)]
∑ [ (| |)]
olup buradan ( ) ( ) elde edilir.
Şimdi ( ) ( ) olduğunu gösterelim. ( ) olsun. Bu takdirde en az bir için
∑ [ ( | |)]
dur. Eğer ⁄ alınırsa bu takdirde her için
| | | |
⁄
| |
| |
dir. lar azalmayan olduğundan ∑ [ (| |)]
∑ [ ( | |)]
olup buradan ( ) ( ) olur. O halde ( ) ( ) dir. Şimdi de ( ) ( ) olduğunu gösterelim. ( ) olsun. Bu takdirde en az bir için
∑ [ (| |)]
Eğer ⁄ alınırsa lar azalmayan olduğundan
∑ [ (| |)]
∑ [ (| |)]
olup buradan ( ) ( ) elde edilir.
Son olarak ( ) ( ) olduğunu gösterelim. ( ) olsun. Bu takdirde herhangi bir için
∑ [ (| |)]
dir. Eğer alınırsa lar azalmayan olduğundan
∑ [ (| |)]
∑ [ (| |)]
olup buradan ( ) ( ) elde edilir.
O halde ( ) ( ) ( ) olur. Böylece ispat tamamlanır.
4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 4.1 Sonuçlar
Genelleştirilmiş fark dizi uzayı ve Modular dizi uzayı kavramlarını tanımlayıp bunların bazı topolojik özelliklerini verdik. Modular dizi uzayları ve genelleştirilmiş fark dizi uzayları alınarak ( ) ve ( ) dizi uzaylarını tanımladık. Ayrıca bu dizi uzaylarının bazı topolojik özelliklerini ve bu dizi uzayları arasında bazı kapsama bağıntılarını inceledik.
KAYNAKLAR
Alsaedi, R. S. and Bataineh, A. H. A., 2007. On a generalized difference sequence spaces defined by a sequence of Orlicz functions, International Mathematical Forum, 2, 167-177.
Atıci, G., 2011. Orlicz Fonksiyonları Yardımıyla Tanımlanmış Genelleştirlmiş Fark Dizi Uzayları, Doktora Tezi, Fırat Üniversitesi, Elazığ, Türkiye.
Atıci, Turan G., 2017. On Some Topological Properties of Generalized Difference Sequence Spaces Defined, International Journal of Applied Mathematics, 3(2), 151-161.
Bayraktar, M., 1994. Fonksiyonel Analiz. Atatürk Üniversitesi Yayınları, s314, Erzurum.
Bektaş, Ç. A. and Atıci G., 2013. On Some New Modular Sequence Spaces, Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, 31, 55, 65.
Et, M., 1992. Genelleştirlmiş Fark Dizi Uzayları ve Matris Dönüşümleri, Doktora Tezi, Fırat Üniversitesi, Elazığ, Türkiye.
Et, M. and Çolak, R., 1995. On generalized difference sequence spaces, Soochow Journal of Mathematics, 21, 377-386
Gupta, M. and Pradhan S., 2008. On Certain Type of Modular Sequence Spaces. Turkish Journal of Mathematics, 32, 293 303.
Goes, G. and Goes, S., 1970. Sequence of variation and sequence of fourier coefficients 1, Mathematische Zeitschrift ,118, 93-102.
Jamwal, S. and Raj K., 2015. An Orlicz Extension of Difference Modular Sequence Spaces, Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, 33(2), 31-57.
Kamthan, P. K. and Gupta, M., 1981. Sequence spaces and series, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 65, Marcel Dekker Incorporated, New York.
Kızmaz, H., 1981. On certain sequence spaces, Canadian Mathematical Bulletin, 24, 169-176.
Krasnoselskii, M. A. and Rutitsky, Y.B., 1961. Convex functions and Orlicz spaces, Groningen, Netherlands.
Kreyszig, E., 1978. Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley Sons, New York.
Lindenstrauss, J. and Tzafiri, L., 1965. On Orlicz sequence spaces, Israel Journal of Mathematics, 10, 379-390.
Maddox, I. J., 1970. Elements of Functional Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, London and New York.
Parashar, S. D. and Choudhary, B., 1994. Sequence Spaces defined by Orlicz functions, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 25, 419-428.
ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı : Semih TEKDEMİR
Uyruğu : T.C
Doğum Yeri ve Tarihi : Kulp 01/10/1989 Telefon : 5317705018
Faks :
e-mail : semihtekdemir@hotmail.com EĞİTİM
Derece Adı, İlçe, İl Bitirme Yılı
Lise : Güler Şevki Özbek Lisesi 2006
Üniversite : Muş Alparslan üniversitesi Fen Edebiyat
Fakultesi Matematik Bölümü 2015
Üniversite : Muş Alparslan üniversitesi Eğitim Fakultesi
İlköğretim Matematik Öğretmenliği 2019
Yüksek Lisans : Muş Alparslan üniversitesi Fen bilimleri
Enstitüsü /Matematik (Yl) (Tezli) 2019
Doktora :
İŞ DENEYİMLERİ
Yıl Kurum Görevi
2015-2016 Suvaran Ortaokulu Matematik
Öğretmeni
2016-2017 Ahmedi Hani Anadolu lisesi Matematik
Öğretmeni YABANCI DİLLER
