• Sonuç bulunamadı

Yüzeyine Dik Kuvvet Etkiyen Dönen Diskin Titreşimleri

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Yüzeyine Dik Kuvvet Etkiyen Dönen Diskin Titreşimleri"

Copied!
9
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

20. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ

05 - 09 Eylül 2017, Uludağ Üniversitesi, Bursa

YÜZEYİNE DİK KUVVET ETKİYEN DÖNEN DİSKİN TİTREŞİMLERİ

Mertol Tüfekci1, Ömer Ekim Genel2, Hilal Koç3, Olcay Oldaç4, Ekrem Tüfekci5 1, 2, 3 İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi,

Gümüşsuyu, 34437, İstanbul

ABSTRACT

Rotating disks are frequently used applications of engineering problems. They are used in rotating machinery, turbines, grinding wheels, gears, hard disk drives etc. The rotation has a significant impact on the mechanical properties of rotating disks so the effects of rotation must be included into calculations in order to make more accurate predictions on mechanical characteristics of rotating disks. In this study, disks are modelled as thin plates and Galerkin approach is used to analyze forced vibration characteristics of rotating disks that have perpendicular spacefixed force affecting on them. The force creates the excitation. The power spectrum and Campbell diagrams are plotted following the differential equations of motion that are solved by suggested Galerkin shape functions.

ÖZET

Dönen diskler sıkça karşılaşılan mühendislik problemlerindendir. Uygulama alanları olarak dönen makinalar, taşlama makinası, çarklar ve hard disk gibi örnekler verilebilir. Dönmenin mekanik özelliklere etkisi önemlidir bu nedenle bu etkilerin hesaba katılması, sistemin mekanik davranışının doğru analiz edilmesi ve doğru öngörüler yapılması açısından gereklidir. Bu çalışmada, disk, ince plak olarak modellenmiştir ve zorlanmış titreşim karakteristikleri Galerkin yöntemiyle analiz edilmiştir. Disklerin üzerine konumu sabit ve dik bir kuvvet etkimektedir. Bu kuvvet titreşimi tahrik etmektedir. Hareket denklemleri, güç spektral yoğunluğu ve Campbell diyagramları çalışmanın içinde yer almaktadır.

GİRİŞ

Hareketli ve duran disklerin mühendislik tarafından incelenmeye başlaması oldukça eskiye dayanır. Diskler üzerinde yapılan çalışmaların, çoğu konu ve durumda olduğu gibi, endüstrideki ihtiyaçlara paralel olduğu görülmektedir. Bilindiği gibi disklerin; türbinler, dairesel testereler, dişliler, taşlama makinaları gibi kullanım alanları vardır ve kullanım alanları oldukça fazladır. Son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler doğrultusunda, disklerle ilgili çalışmaların bilgi depolama endüstrisi yönüne doğru kaydığı gözlenmektedir. Disklerle ilgili ilk çalışmalar diskin ince plak olarak lineer elastik teoriyle modellenmesiyle başlamıştır [1,2]. Disklerin titreşimlerinin incelenmesi, mod şekillerinin ve doğal frekanslarının belirlenmesi şeklinde olmuştur [3-13]. Diskin dönmesinin söz konusu olmadığı stasyoner durumda, çözümü Bessel deklemleriyle ifade etmek mümkün olmaktadır [14]. Buna karşın dönen diskler söz konusu olduğunda analitik bir çözüm elde etmek oldukça zordur. Kirkhope ve Wilson diskin eksenel simetrisinden de faydalanılarak titreşim ve gerilme analizleriyle ilgili sonlu elemanlar yaklaşımıyla çözüm yapmıştır [5]. Yapılan çalışmalarda,

(2)

Dönen disklerin zorlanmış titreşimleriyle ilgili mevcut çalışmalarda iki farklı yöntemin kullanıldığı görülmüştür. Birinci yöntemde diskin değil, üzerine etkiyen kuvvetin hareketli olduğu varsayılarak diskin dönmesi nedeniyle meydana gelen gerilmeler ihmal edilerek çözüm yapılmıştır [15, 16]. İkinci yöntemde ise, diskin döndüğü varsayılarak diskin dönmesi nedeniyle meydana gelen gerilmeler hareketin diferansiyel denkleminde yer almış ve çözüm bu şekilde elde edilmiştir [17, 18]. Disk titreşimleriyle ilgili yapılan bazı çalışmalar da tanımlanmış zorlanmış yer değiştirmelerle tahrik verilmesi durumlarını incelemiştir [19, 20]. Disklerin titreşimleri kadar kararlılıkları/stabiliteleri de dönme durumundan etkilenmektedirler. Bunun da hesaba katılması için kritik hızların tespiti ve kararlılık analizlerinin analitik ve sayısal olarak yapılmıştır [21-24].

Üzerine kuvvet etkiyen dönen disklerin hard disklere en yakın modellerden biri olduğu düşünülmektedir. Disklerin titreşimlerinde eksenel yöndeki modların baskın olduğu düşünüldüğü için eksenel tepkilerin incelendiği bir çalışma Jiang vd. tarafından yapılmıştır [25]. Bunların dışında analitik ve sayısal olarak disk ve yazıcı/okuyucu kafa modellemeleri de yapılmıştır [26,27]. Hard disk sürücülerinin çalışır durumdaki dinamik analizlerinin sayısal ve deneysel olarak yapılması ile bu sistemin dinamik karakteristikleri hakkında büyük ölçüde fikir edinilmektedir [28].

Bu çalışmada diskin döndüğü kabul edilerek çözüm yapılmıştır ve disk esnekliği göz önünde bulundurulmuş ancak mil esnekliği göz önüne alınmamıştır. Disk dönerken üzerine uzaydaki konumu sabit düşey bir kuvvet uygulanması hali incelenmiş, özellikle böyle bir incelemenin okuma/yazma kafası ve sabit disk etkileşimleri için bir model olabileceği düşünülmüştür. Bu amaçla, dönen disklerin zorlanmış titreşim karakteristiklerinin belirlenmesinde Galerkin yöntemi benimsenmişir. Bu yöntemde, çözüm için sınır şartlarını sağlayan yaklaşık bir fonksiyon seçilerek hareketin diferansiyel denkleminde yerine konmuştur. Bu çözümden yararlanılarak güç spektral yoğunluğu diyagramları çizilmiştir. Diskin herhangi bir noktasına etkiyen, belirli bir frekansa ayarlı olan kuvvetin, bazı modlardaki enerji genliklerine etkisi incelenmiş ve bazı hallerde enerji genliğini azalttığı görülmüştür. Böylece, iyi tasarlanmış bir kuvvet sistemiyle, istenmeyen titreşim etkilerinin elenebileceği vurgulanmıştır.

DENKLEMLER ve FORMÜLASYON

Dönen bir diskin, yüzeyine dik doğrultuda etkiyen yayılı kuvvet etkisindeki zorlanmış titreşim hareketinin diferansiyel denklemi, uzaydaki sabit koordinat sistemine göre;

𝑫 (𝝏 𝟐 𝝏𝒓𝟐+ 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓+ 𝟏 𝒓𝟐 𝝏𝟐 𝝏𝝍𝟐) 𝟐 𝒘 + 𝝆𝒉 (𝝏 𝟐𝒘 𝝏𝒕𝟐 + 𝟐𝛀 𝝏𝟐𝒘 𝝏𝝍𝝏𝒕+ 𝛀 𝟐𝝏 𝟐𝒘 𝝏𝝍𝟐) −𝒉 𝒓[ 𝝏 𝝏𝒓(𝝈𝒓𝒓 𝝏𝒘 𝝏𝒓) + 𝝈𝝍 𝒓 𝝏𝟐𝒘 𝝏𝝍𝟐] = 𝒑(𝒓, 𝝍, 𝒕) (1)

şeklindedir. Burada, w diskin düşey yer değiştirmesi, D diskin eğilme rijidliği, E disk malzemesinin Young modülü,  disk malzemesinin Poisson oranı, r ve  diskin

dönmesinden kaynaklanan radyal ve teğetsel doğrultulardaki gerilmeler, 𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) diskin yüzeyine dik olarak etkiyen değişken yayılı dış kuvvetidir.

Diskin düşey yer değiştirme fonksiyonu aşağıdaki gibi seçilebilir: 𝑤(𝑟, 𝜓, 𝑡) = ∑ ∑ 𝜂𝑚𝑛(𝑡)𝑅𝑚𝑛(𝑟) sin(𝑛𝜓 − 𝜔𝑚𝑛𝑡) 𝑀 𝑚=0 𝑁 𝑛=0 (2) Bu denklemde, sinüslü ifade açık bir biçimde şöyle ifade edilebilir:

(3)

𝑤(𝑟, 𝜓, 𝑡) = ∑ ∑ [𝜂𝑚𝑛(𝑡) cos 𝜔𝑚𝑛𝑡 sin 𝑛𝜓 − 𝜂𝑚𝑛(𝑡) sin 𝜔𝑚𝑛𝑡 cos 𝑛𝜓] 𝑀 𝑚=0 𝑁 𝑛=0 𝑅𝑚𝑛(𝑟) (3) Burada; 𝑞𝑚𝑛𝑠 (𝑡) = 𝜂𝑚𝑛(𝑡) cos 𝜔𝑚𝑛𝑡 ; 𝑞𝑚𝑛𝑐 (𝑡) = −𝜂𝑚𝑛(𝑡) sin 𝜔𝑚𝑛𝑡 (4) kısaltmaları yapılarak,denklem; 𝑤(𝑟, 𝜓, 𝑡) = ∑ ∑ [𝑞𝑚𝑛𝑠 (𝑡) sin 𝑛𝜓 + 𝑞𝑚𝑛𝑐 (𝑡) cos 𝑛𝜓] 𝑀 𝑚=0 𝑁 𝑛=0 𝑅𝑚𝑛(𝑟) (5)

şekline dönüşür. Yukarıdaki yer değiştirme fonksiyonu hareketin diferansiyel denkleminde yerine konacaktır. Bunun için gerekli türevler alınırsa,ve bu türevler hareketin diferansiyel denkleminde yerine konursa;

∑ ∑ {𝐷 (𝜕 4𝑅 𝑚𝑛(𝑟) 𝜕𝑟4 + 2 𝑟 𝜕3𝑅𝑚𝑛(𝑟) 𝜕𝑟3 − 1 + 2𝑛2 𝑟2 𝜕2𝑅𝑚𝑛(𝑟) 𝜕𝑟2 + 1 + 2𝑛2 𝑟3 𝜕𝑅𝑚𝑛(𝑟) 𝜕𝑟 𝑀 𝑚=0 𝑁 𝑛=0 +𝑛 4− 4𝑛2 𝑟4 𝑅𝑚𝑛(𝑟)) −ℎ 𝑟[𝜎𝑟𝑟 𝜕2𝑅𝑚𝑛(𝑟) 𝜕𝑟2 + ( 𝜕𝜎𝑟 𝜕𝑟 𝑟 + 𝜎𝑟) 𝜕𝑅𝑚𝑛(𝑟) 𝜕𝑟 −𝑛 2 𝑟 𝜎𝜓𝑅𝑚𝑛(𝑟)] . [𝑞𝑚𝑛 𝑠 (𝑡) sin 𝑛𝜓 + 𝑞 𝑚𝑛 𝑐 (𝑡) cos 𝑛𝜓] + 𝜌ℎ([𝑞̈𝑚𝑛𝑠 (𝑡) sin 𝑛𝜓 + 𝑞̈ 𝑚𝑛 𝑐 (𝑡) cos 𝑛𝜓] + 2Ω𝑛[𝑞̇𝑚𝑛𝑠 (𝑡) cos 𝑛𝜓 −𝑞̇𝑚𝑛𝑐 (𝑡) sin 𝑛𝜓] − Ω2𝑛2[𝑞 𝑚𝑛𝑠 (𝑡) sin 𝑛𝜓 +𝑞𝑚𝑛𝑐 (𝑡) cos 𝑛𝜓])𝑅𝑚𝑛(𝑟)} = 𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) (6)

denklemi bulunur. Bu ifade, gerekli kısaltmalar yapılarak düzenlenir ve eşitliğin her iki tarafı 𝜌ℎ çarpımına bölünerek, elde edilen diferansiyel denklemin çözümünü elde etmek için Galerkin yöntemi kullanılacaktır.

∫ ∫ ∑ ∑ {[𝑞̈𝑚𝑛𝑠 (𝑡)𝑅 𝑚𝑛(𝑟) − 2Ω𝑛𝑞̇𝑚𝑛𝑐 (𝑡)𝑅𝑚𝑛(𝑟) − Ω2𝑛2𝑞𝑚𝑛𝑠 (𝑡)𝑅𝑚𝑛(𝑟) 𝑀 𝑚=0 𝑁 𝑛=0 2𝜋 0 𝑅0 𝑅𝑖 +𝐹𝑚𝑛 𝜌ℎ 𝑞𝑚𝑛 𝑠 (𝑡)] sin 𝑛𝜓 + [𝑞̈ 𝑚𝑛𝑐 (𝑡)𝑅𝑚𝑛(𝑟) + 2Ω𝑛𝑞̇𝑚𝑛𝑠 (𝑡)𝑅𝑚𝑛(𝑟) − Ω2𝑛2𝑞 𝑚𝑛𝑐 (𝑡)𝑅𝑚𝑛(𝑟) +𝐹𝑚𝑛 𝜌ℎ 𝑞𝑚𝑛 𝑐 (𝑡)] cos 𝑛𝜓} . 𝑅 𝑠𝑛(𝑟)[𝑞𝑠𝑛𝑠 (𝑡) sin 𝑛𝜓 +𝑞𝑠𝑛𝑐 (𝑡) cos 𝑛𝜓]𝑟𝑑𝜓𝑑𝑟 = 1 𝜌ℎ∫ ∫ 𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) 2𝜋 0 𝑅𝑜 𝑅𝑖 𝑅𝑠𝑛(𝑟)[𝑞𝑠𝑛𝑠 (𝑡) sin 𝑛𝜓 +𝑞𝑠𝑛𝑐 (𝑡) cos 𝑛𝜓]𝑟𝑑𝜓𝑑𝑟 (7)

(4)

∑ ∑ {([(𝑞̈𝑚𝑛𝑐 (𝑡) + 2Ω𝑛𝑞̇ 𝑚𝑛𝑠 (𝑡) − Ω2𝑛2𝑞𝑚𝑛𝑐 (𝑡))Γ𝑠𝑚𝑛 𝑀 𝑚=0 𝑁 𝑛=0 + 𝑞𝑚𝑛𝑐 (𝑡)𝜙𝑠𝑚𝑛] ∫ cos2𝑛𝜓 𝑑𝜓 2𝜋 0 ) 𝑞𝑠𝑛𝑐 (𝑡) + ([(𝑞̈𝑚𝑛𝑠 (𝑡) − 2Ω𝑛𝑞̇𝑚𝑛𝑐 (𝑡) − Ω2𝑛2𝑞 𝑚𝑛𝑠 (𝑡))Γ𝑠𝑚𝑛 + 𝑞𝑚𝑛𝑠 (𝑡)𝜙𝑠𝑚𝑛] ∫ sin2𝑛𝜓 𝑑𝜓 2𝜋 0 ) 𝑞𝑠𝑛𝑠 (𝑡)} = 1 𝜌ℎ[∫ ∫ 𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) 2𝜋 0 𝑅𝑜 𝑅𝑖 𝑅𝑠𝑛(𝑟) 𝑟cos 𝑛𝜓𝑑𝜓𝑑𝑟𝑞𝑠𝑛𝑐 (𝑡) + ∫ ∫ 𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) 2𝜋 0 𝑅𝑜 𝑅𝑖 𝑅𝑠𝑛(𝑟)𝑟 sin 𝑛𝜓𝑑𝜓𝑑𝑟𝑞𝑠𝑛𝑠 (𝑡)] = 1 𝜌ℎ[∫ ∫ 𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) 2𝜋 0 𝑅𝑜 𝑅𝑖 𝑅𝑠𝑛(𝑟) 𝑟cos 𝑛𝜓𝑑𝜓𝑑𝑟𝑞𝑠𝑛𝑐 (𝑡) + ∫ ∫ 𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) 2𝜋 0 𝑅𝑜 𝑅𝑖 𝑅𝑠𝑛(𝑟)𝑟 sin 𝑛𝜓𝑑𝜓𝑑𝑟𝑞𝑠𝑛𝑠 (𝑡)] (8)

şeklini alır. Burada n=0 için ve n0için denklemin farklı karakterde olacağı açıkça görülmektedir. Bu çalışmada n0için denklemin katsayıları düzenlenmiştir. Yukarıdaki denklemde 𝑞𝑠𝑛𝑐(𝑡) ve 𝑞𝑚𝑛𝑠(𝑡) fonksiyonlarının katsayıları için düzenlenerek elde edilen

denklemler ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerdir ve matris formda, herbir n değeri için, şu şekilde yazılmaktadır:

[Γ𝑠𝑚𝑛 0 0 Γ𝑠𝑚𝑛] { 𝑞⃗̈𝑚𝑛𝑠 (𝑡) 𝑞⃗̈𝑚𝑛𝑐 (𝑡)} + 2Ω𝑛 [ 0 −Γ𝑠𝑚𝑛 Γ𝑠𝑚𝑛 0 ] { 𝑞⃗̇𝑚𝑛𝑠 (𝑡) 𝑞⃗̇𝑚𝑛𝑐 (𝑡)} + [𝜙𝑠𝑚𝑛− Ω 2𝑛2Γ 𝑠𝑚𝑛 0 0 𝜙𝑠𝑚𝑛− Ω2𝑛2Γ𝑠𝑚𝑛] { 𝑞⃗𝑚𝑛𝑠 (𝑡) 𝑞⃗𝑚𝑛𝑐 (𝑡) } = 1 𝜌ℎ{ 𝑄⃗⃗𝑠𝑛𝑠 𝑄⃗⃗𝑠𝑛𝑐 } (9) n=1,...,N için

Burada smn (M+1)(M+1) boyutunda simetrik bir matris, 𝜙𝑠𝑚𝑛 (M+1)(M+1) boyutunda

matristir. Bu denklem kısa gösterimle;

𝐌𝑛𝑞⃗̈𝑛(𝑡) + 𝐆𝑛𝑞⃗̇𝑛(𝑡) + 𝐊𝑛𝑞⃗𝑛(𝑡) = 𝑄⃗⃗𝑛(𝑡) (10) şeklinde yazılabilir. Burada, 𝐌𝑛 , 𝐆𝑛 , 𝐊𝑛 2(M+1)(M+1) boyutunda matrislerdir. 𝑞𝑚𝑛𝑠(𝑡) ve 𝑞𝑚𝑛𝑐(𝑡) (M+1) boyutlu genelleştirilmiş koordinatların vektörleridir.

c sn s

sn Q

Q ve  (M+1) boyutlu, dış tahrik kuvvetinin vektörleridir. Dış tahrik kuvveti diskin üzerinde bir noktaya etkiyen, zamanla değişen bir tekil kuvvettir. Fonksiyonun ifadesi;

𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) = 𝐹

𝑟𝛿(𝑟 − 𝑅1)𝛿(𝜓 − 𝜓1) sin(𝜛𝑡 − 𝜙1) (11) şeklindedir. Burada , Kronecker deltası fonksiyonudur. Böylece (8) denkleminin katsayıları düzenlendikten sonra sağ tarafında bulunan ifadeler düzenlenir:

(5)

1 𝜋𝜌ℎ∫ ∫ 𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) 2𝜋 0 𝑅𝑜 𝑅𝑖 𝑅𝑠𝑛(𝑟) 𝑟cos 𝑛𝜓𝑑𝜓𝑑𝑟 = 1 𝜋𝜌ℎ𝐹𝑅𝑠𝑛(𝑅1) cos 𝑛𝜓1sin(𝜛𝑡 − 𝜙1) (12) 1 𝜋𝜌ℎ∫ ∫ 𝑝(𝑟, 𝜓, 𝑡) 2𝜋 0 𝑅𝑜 𝑅𝑖 𝑅𝑠𝑛(𝑟) 𝑟 sin 𝑛𝜓 𝑑𝜓𝑑𝑟 = 1 𝜋𝜌ℎ𝐹𝑅𝑠𝑛(𝑅1) sin 𝑛𝜓1sin(𝜛𝑡 − 𝜙1) (13)

ifadelerine ulaşılır. Burada, 𝑅1 ve 𝜓1 kuvvetin uygulandığı noktanın koordinatları, 𝜛 dış

tahrik kuvvetinin frekansı, 𝜙1tahrik kuvvetinin faz açısıdır.

(10) denklemi, ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem, aşağıdaki kısaltmalar kullanılarak birinci mertebe iki diferansiyel denkleme dönüştürülebilir. qn

ve bunun türevlerinden oluşan şu vektörler tanımlanırsa;

𝑥⃗ = {𝑞⃗𝑛(𝑡)

𝑞⃗𝑛̇ (𝑡)} 𝑥̇⃗ = { 𝑞⃗𝑛̇ (𝑡) 𝑞⃗𝑛̈ (𝑡)

} (14)

elde edilir. Böylece diferansiyel denklem; [𝐊𝑛 0 0 𝐌𝑛] { 𝑞⃗𝑛̇ (𝑡) 𝑞⃗𝑛̈ (𝑡)} + [ 0 −𝐊𝑛 𝐊𝑛 𝐆𝑛 ] { 𝑞⃗𝑛(𝑡) 𝑞⃗𝑛̇ (𝑡)} = { 0 𝑄⃗⃗𝑛} (15)

şekline dönüşür. Bu denklem kısa formda yazılmak istenirse,

𝑀∗𝑥̇⃗ + 𝐺∗𝑥⃗ = 𝑄⃗⃗𝑛∗ (16)

denklemi elde edilir.

𝑥̇⃗ = 𝐀𝑥⃗ + 𝐁𝑄⃗⃗𝑛 (17)

Burada A ve B matrisleri şöyledir:

𝐀 = −(𝐌∗)−1𝐆 𝐁 = (𝐌)−1𝑄⃗⃗ 𝑛

(18) A ve B matrisleri ise 4(M+1)*4(M+1) boyutludur.

(17) denkleminde 𝑦⃗ = 𝑥̇⃗ dönüşümü yapılırsa,;

𝑦⃗ = 𝐂𝑥⃗ + 𝐃𝑄⃗⃗𝑛 eşitliği elde edilir. Burada, (14) denklemi kullanılarak, y  dönüşümü qn yapılırsa;

𝑞⃗𝑛̇ (𝑡) = [0 𝐼]𝑥⃗ + 0 (19)

denklemi elde edilir. Böylece, C ve D matrislerinin;

𝐂 = [𝐈 0], 𝐃 = 𝟎 olduğu görülebilir. Böylece durum uzayına geçilmiş olur.

SONUÇLAR (GÜÇ SPEKTRAL YOĞUNLUĞU DİYAGRAMLARI)

Güç spektral yoğunluğu diyagramlarında, titreşimlerin çeşitli modlardaki frekanslarına karşılık gelen genliklerin enerji değerleri gösterilmektedir. Şekil 1’deki diyagramda şiddetleri 1 N olan iki farklı kuvvet diske etki etmektedir. Kuvvetlerin faz farkları 𝜋 dır. Uygulama

(6)

anından itibaren belli bir gecikmeyle başladığıdır. Kuvvet ikaz frekansı 1.mod frekansının frekansına ayarlıdır. Görüldüğü gibi bu frekansta genlik değeri artış göstermiştir.

Şekil 1. İki farklı kuvvet uygulanması halinde güç spektral yoğunluğu diyagramı ve Uygulama noktası ve faz açıları farklı iki kuvvet durumunda güç spektral yoğunluğu

diyagramı

1. ve 3. mod frekansına ayarlı tek bir kuvvetin etkidiği durum Şekil 2’de görülmektedir. Burada faz farkı sıfırdır. Görüldüğü gibi burada da kuvvetin ikaz frekansıyla çakışan 1. ve 3. moddaki frekans değerinde genlik büyümektedir. Kuvvetlerin şiddetleri 1 N olan iki ayrı kuvvet mevcuttur. Burada kuvvetlerin uygulama noktaları 𝜋

2 ve 𝜋

4 alınmıştır. Kuvvetlerin faz

farkları𝜋

2 ve sıfırdır.

Şekil 2. 1. ve 3. mod frekansına ayarlı tek kuvvet halinde güç spektral yoğunluğu diyagramı Faz farkı Şekil 4’de 𝜋

2 alınmıştır. Faz farkı değişince genliklerin birbirlerine göre oranları

değişmektedir. İkaz frekansı ve faz farkı değerlerinin uygun şekilde seçilmesiyle istenilen genliklerden kurtulmanın mümkün olduğu görülmektedir.

Kuvvet sayısı arttırılarak titreşimin daha efektif olarak kontrol edilmesinin mümkün olabileceği düşünülmektedir. Bu kontrol işleminde kuvvet frekanslarının, uygulama noktalarının ve faz farklarının önemi ayrı bir inceleme konusu olacak kadar geniştir.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 Frekans (Hz) G üç S pe ktr um G en liği (d B ) F=1 N, OM =192.7514Hz, W =39.5561 Hz n =2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 Frekans G üç S pe ktr u m G en liği ( d B ) F=1 N, OM =192.7514Hz, W =1678.9664 Hz n =2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 Frekans G üç S pe kt ru m G en liğ i(d B ) F=1 N, OM =192.7514Hz, W =153.0948 Hz n =1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 104 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 Frekans G üç S pe ktr um G en liğ i(d B ) F=1 N, OM =192.7514Hz, W =153.0948 Hz n =1

(7)

Literatürde, kuvvetin olması durumunu ele alan çalışmalar, sonlu eleman yöntemiyle çözüm elde etmişlerdir. Bu çalışmada diferansiyel denklem, Galerkin yöntemiyle çözülmüş ve sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca, literatürde, birden fazla kuvvetin olması durumuna da rastlanmamıştır. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 Frekans Güç S pe kt ru m Gen liğ i(d B ) F=1 N, OM =192.7514Hz, W =1678.9664 Hz n =2

Şekil 4. 3.mod frekansına ayarlı tek kuvvet ve faz farkının sıfırdan farklı olması durumunda güç spektral yoğunluğu diyagramı

Bu çalışmada, birden fazla kuvvetin etkimesi durumu incelenmiştir. Uygulanan kuvvetin sayısı, frekansı, faz açısı ve konumu gibi değerler değiştirilerek, bunların titreşim genlikleri üzerindeki etkileri incelenmiştir.

Diskin herhangi bir noktasına etkiyen, belirli bir frekansa ayarlı olan kuvvetin, bazı modlardaki enerji genliklerini azalttığı görülmüştür. Böylece, iyi tasarlanmış bir kuvvet sistemiyle, istenmeyen titreşim etkilerinin elenebileceği düşünülmektedir.

KAYNAKLAR

[1] S. P. Timoshenko, J. N. Goodier, 1951. Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York. [2] R. Szilard, 1974. Theory and Analysis of Plates, Prentice-Hall, Inc.

[3] H. Lamb and R. V. Southwell, “The vibrations of a spinning disk,” Proceedings of the Royal Society, Series A, vol. 99, pp. 272-280, 1921.

[4] R. V. Southwell, “On the free transverse vibrations of a uniform circular disc clamped at its center, and on the effects of rotation,” Proceeding of the Royal Society, Series A, vol. 101, p. 133, 1922.

[5] J. Kirkhope and G. J. Wilson, “Vibration and stress analysis of thin rotating discs using annular finite elements,” Journal of Sound and Vibration, vol. 44, no. 4, pp. 461-474, 1976.

[6] K. A. Cole, R. C. Benson “A Fast Eigenfunction Approach For Computing Spinning Disk Deflections”, Journal of Applied Mechanics, Vol.55, June, pp.453-457, 1986. [7] U. Güven, “On Transverse Vibrations of a Rotating Disk Uniform Strength”, Journal of

(8)

[8] C. W. Lee, M. E. Kım, “Separation and Identification of Travelling Wave Modes in Rotating Disk via Directional Spectral Analysis”, Journal of Sound and Vibration, Vol.187, pp.851-864, 1995.

[9] Y. C. Pei, Q. C. Tan, (2009). Modal interactions in a rotating flexible disc. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 223(4), 851–857. https://doi.org/10.1243/09544062jmes1035

[10] G. K. Ramaiah, (1981). Natural frequencies of spinning annular plates. Journal of Sound and Vibration, 74(2), 303–310. https://doi.org/10.1016/0022-460X(81)90511-3

[11] C. W. Tseng, J. Y. Shen, I. Y. Shen, (2003). Vibration of rotating-shaft HDD spindle motors with flexible stationary parts. IEEE Transactions on Magnetics, 39(2 I), 794–799. https://doi.org/10.1109/TMAG.2003.808926

[12] C. Dangelo, C. D. Mote, “Natural Frequencies of a Thin Disk Clamped by Thick Collars with Friction at the Contacting Surfaces Spinning at High Rotation Speed”, Journal of Sound and Vibration, Vol.168, pp.1-14, 1983.

[13] E. Tüfekçi, O. Oldaç, Free and Forced Vibrations of a Rotating Elastic Disk, The First International Structural Conference on Stability and Dynamics, Taipei Taiwan, December 7-9, 2000.

[14] C. Koçak, 1996. Yüksek matematik, İ.T.Ü. Vakfı yayınları.

[15] Y. Honda, H. Matsuhisa, S. Sato, “Modal Response of a Disk to a Moving Concentrated Harmonic Force”, Journal of Sound and Vibration, Vol.102, pp.457-472, 1985.

[16] G. N. Weisensel, A. L. Schlack, “Response of Annular Plates to Circumferentially and Radially Moving Loads”, Journal of Applied Mechanics, Vol.60, September, pp.649-661, 1993.

[17] R. C. Benson, D. B. Bogy, “Deflection of a very Flexible Spinning Disk due to a Stationary Transverse Load”, Journal of Applied Mechanics, Vol.45, September, pp.636-642, 1975.

[18] J. S. Chen, C. Mhsu, “On the Transient Response of a Spinning Disk Under a Space Fixed Load”, Journal of Applied Mechanics, Vol.64, December, pp.1017-1019.

[19] S. C. Huang, B. S. Hsu, “Vibrations of a Spinning Annular Plate with Multi-Circular Line Guides”, Journal of Sound and Vibration, Vol.164, pp.535-547, 1983.

[20] S. G. Hutton, S. Chonan, B. F. Lehmann, “Dynamic Response of a Guided Circular Saw”, Journal of Sound and Vibration, Vol.112, pp.527-539, 1987.

[21] J. S. Chen, “Vibration and Sensitivity Analysis Of A Spinning Disk Under Tangential Edge Loads”, Journal of Sound and Vibration, Vol.215, pp.1-15, 1998.

[22] W. D. Iwan, T. L. Moeller, “The Stability of a Spinning Elastic Disk With a Transverse Load System”, Journal of Applied Mechanics, September, pp.485-490, 1976.

[23] G. G. Adams, “Critical Speeds for a Flexible Spinning Disk, International Journal of Mechanical Science, Vol.29, No.8, pp.525-531, 1987.

[24] K. Ona, J. S. Chen, D. B. Boggy, “Stability Analysis for The Head-Disk Interface in a Flexible Disk Drive”, Journal of Applied Mechanics, Vol.58, December, pp.1005-1014, 1991.

[25] Z. W. Jiang, S. Chonan, H. Abe, “Dynamic Response of a Read-Write Head Floppy Disk System Subjected to Axial Excitation”, Journal of Vibration and Acoustics, Vol.112, January, pp.53-58, 1990.

[26] K. Ono, T. Maeno, T. Ebihara "Study on Mechanical Interface between Head and Media in Flexible Disk Drive”, Bulletin of JSME, Vol.29, No.255, September, 1986.

(9)

[27] S. C. Huang, W. J. Chiou, “Modeling and Vibration Analysis of Spinning-Disk and Moving-Head Assembly in Computer Storage Systems”

[28] L. M. Xu and N. Guo, “Modal testing and finite element modelling of subsystem in hard disk drive,” Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 17, no. 4, pp. 747-764, 2003.

Referanslar

Benzer Belgeler

• İlaç verilen koyunlar 5 gün ve sığırlar 10 gün geçmeden kesilmemeli;.. • Koyunlardan 56 saat ve sığırlardan 48 saat süreyle elde edilen sütler tüketim

(Toplam hava debisi =0.254 kg/s, Egzoz hava debisi= %15x toplam hava debısı) Şekil 6'da kompresör hızının sistem performansı üzerine etkisi görülmektedir. Kompresör

Ovacık ilçesine bağlı Karaoğlan (Birdo) köyü mıntıkasında 3 gün önce hava destekli ba şlatılan operasyon kapsamında yapılan bombardıman nedeniyle ormanlık alanda

• Eğri yüzeylere etki eden basınç gerilmeleri ise yine yüzeye diktir, fakat yüzey eğri olduğundan bu gerilmeler birbirine paralel değildir. • Bu nedenle eğri yüzeylere

Elektrik alana ek olarak kâğıt düzleminden içe doğru bir manyetik alan uygulandığında elektronlar   q B kadarlık ek bir manyetik kuvvetle aşağıya

Dış parazit için daha çok sığırlarda serpme veya sprey şeklinde kullanıl.. Sığırlarda pour- on şeklinde %8’lik çözeltisinden her 100 kg ca için 32.5 ml, sığır ve

Köpek ve kedilerde Dirofilaria immitisin neden olduğu kalp kurtlarını önlemek için (mikrofilarisid olarak) kullanılan bir antelmentiktir. Köpeklerde ayrıca Ancylostoma caninum,

Sonuç olarak çalışma bulguları incelendiğinde, katılımcıların görüşleri doğrultusunda spor bahis oyunlarını oynayan oyuncuların para kazanma, kısa yoldan