Deney çalışmamızda manipüle ettiğimiz
değişkenlerden olmayıp bağımlı değişken
üzerinde etkisi olduğunu düşündüğümüz
sürekli değişkenlere ortak değişken/kontrol
değişkeni/etki karışımı değişkeni (covariate;
control; confounding) deriz. Bu değişkeni
ANOVA’ya bağımsız değişken olarak
eklediğimizde ANCOVA elde ederiz.
ANCOVA’da yapmaya çalıştığımız şey regresyon ile ANOVA’yı birleştirmektir. Başka bir deyişle ANOVA yaparken ortak
değişkenin (covariate) etkisini kontrol ediyoruz yani dışarıda tutuyoruz.
İlk olarak bağımlı değişken ile bağımsız değişken arasında bir regresyon yaparak artık (residual) değerleri hesaplıyoruz. Daha sonra da bu artık değerleri ve grup değişkenini kullanarak
ANOVA yapıyoruz. Bunu yapmamızın iki nedeni vardır: Grup-içi hata varyansını azaltmak: ANOVA’da bağımlı
değişkendeki varyasyon iki kısıma ayrılmaktadır (Bağımsız
değişkenden kaynaklanan ve açıklanamayan hata varyansı).Hata varyansı genelde açıklanamayan hatalara addedilir. Eğer biz bu açıklanamayan varyansın birazını da olsa bildiğimiz bir
değişkene atfedersek açıklanamayan hata varyansını azaltmış oluruz.
Eğer bildiğimiz bir ortak etki değişkeni varsa o değişkenin etkisini bulmak.
ANOVA’ya covariate eklememizin iki nedeni
vardır:
Grup-içi hata varyansını azaltmak: ANOVA’da
bağımlı değişkendeki varyasyon iki kısıma ayrılmaktaydı (Bağımsız değişkenden
kaynaklanan varyans ve açıklanamayan hata
varyansı). Hata varyansı genelde açıklanamayan hatalara addedilir. Eğer biz bu açıklanamayan varyansın birazını da olsa bildiğimiz bir
değişkene (covariate) atfedersek açıklanamayan hata varyansını azaltmış oluruz.
Eğer bildiğimiz bir ortak etki değişkeni varsa o
değişkenin etkisini bulmak da araştırmacı için istenen bir şeydir.
ANCOVA’da bağımlı değişken içerisindeki varyasyon (değişim) gruplardan kaynaklanan varyans ve hata varyansının yanında ortak değişken (cov) vasıtasıyla açıklanır. Bu sayede
açıklanamayan varyans düşürülmüş olur. ANCOVA ANOVA’ya göre daha güçlü bir analiz olarak görülmektedir (more power:)
Ortak değişkeni (covariate) kontrol ettikten
sonra, bağımlı değişken puanları arasında
gruplar açısından bir fark var mıdır?
H0: Ortak değişkeni kontrol ettikten sonra
bağımlı değişken açısından gruplar arasında
anlamlı bir fark yoktur.
Ha: Ortak değişkeni kontrol ettikten sonra
bağımlı değişken açısından gruplar arasında
anlamlı bir fark vardır.
ANOVA’da olduğu gibi sıfır hipotezini reddedip
reddedemeyeceğimize F-testi kullanarak karar vereceğiz. Eğer F-testinden elde edilen p-değeri 0.05’ten küçük
çıkarsa sıfır hipotezini reddederek alternatif hipotezi yani Ortak değişkeni kontrol ettikten sonra bağımlı değişken açısından gruplar arasında anlamlı bir fark vardır
diyeceğiz. Bu durumda orijinal ve ayarlanmış ortalamaları karşılaştırarak ortak değişkenin etkisini görebiliriz.
ANCOVA’nın varsayımları ANOVA’nın varsayımlarını
içermekle beraber aşağıdaki 2 varsayımı da içermektedir:
(1) Ortak değişken ve deney etkisinin bağımsızlığı
(independence of the covariate and treatment effect)
(2) Regresyon eğrilerinin homojenliği (homogeneity of
ANOVA’da F testini kullandığımız için bu testin
sonuçlarının geçerli olabilmesi için diğer parametrik testlerde olduğu gibi bazı varsayımların yerine gelmesi gerekmektedir.
Varyansların homojenliği (homojenlik) Verilerin bağımsız olması (bağımsızlık)
Bağımlı değişkenin en az eşit aralıklı ölçek olması Grup içi dağılımların normal olması (within group
normality) (normallik)
Bir grup değişkenine (categorical) sahip olunmalıdır. Verimizde her han
ANOVA bu varsayımların ihlaline dirençli bir yöntemdir.
Özellikle grup büyüklükleri eşit (n1=n2=n3) olduğunda ANOVA normallik ve grup varyans homojenliği varsayımı ihlallerine dirençlidir.
ANOVA varsayımlarını bir önceki sunumda
nasıl test edeceğimizi göstermiştik.
Burada karşımıza çıkan iki yeni varsayımı
nasıl test/kontrol edeceğimizi
gösterilmektedir.
(1) Ortak değişken ve deney etkisinin bağımsızlığı: Ortak değişken eklememizin sebeplerinden biri de açıklanamayan grup içi varyansın birazını ortak
değişken vasıtasıyla açıklamaya çalışmak olduğunu söylemiştik. Bunun doğru olabilmesi için ortak etki değişkeninin deney etkisinden bağımsız olması
gerekmektedir. Bunu sağlayabilmek için katılımcıları deney gruplarına rastgele (seçkisiz) bir şekilde
atamak gerekmektedir. Bu durumu kontrol edebilmek için ortak değişken değerinin gruplar arasında
değişip değişmediğini göstermek gerekir. Eğer
gruplar anlamlı farklılıklar göstermiyorsa (t-testi ya da ANOVA ile bakılabilir) o zaman ortak değişkeni (covariate) ANCOVA’da kullanabiliriz.
Daha önce de belirttiğimiz gibi ANCOVA regresyon ve ANOVA’nın
birleşiminden meydana gelmektedir.
ANCOVA’da bağımlı değişken ve ortak değişken arasındaki genel
ilişkiye bakarken tüm gruplar için ortak bir regresyon eğrisi (çizgisi) çizeriz. Bu genel ilişkinin tüm gruplar için doğru olduğunu varsayarız.
Örneğin ortak değişken ve bağımlı değişken arasında grup1 için
pozitif bir ilişki varsa diğer gruplar için de pozitif bir ilişki olduğunu varsayarız. Fakat bu ilişki her grup için de aynı olmazsa tüm gruplar için tek bir genel ilişkiden bahseden regresyon modeli yanlış olur.
Bu varsayıma Regresyon eğrilerinin homojenliği (homogeneity of
regression slopes) varsayımı diyoruz.
Bu varsayımı kontrol etmek için bağımlı değişken ve ortak değişken
arasındaki ilişkiyi her bir grup için ayrı ayrı gösteren saçılım grafikleri (scatter plots) çizmek gerekecektir. Her bir grup için “b” katsayısı
değerinin eşit olması ya da saçılım grafiklerinin aşağı yukarı birbirine benzemesi beklenmektedir. (Bu konuyu regresyon sunumunda detaylı bir şekilde göstereceğiz)
ANCOVA yapabilmek için üç değişkene
ihtiyacımız vardır:
1) Bağımlı değişken (örnek: son test)
2) Bağımsız değişken (grup değişkeni)
3) Ortak değişken (örnek: ön test)
Bu sunumda
ANCOVA analizleri için yandaki veri kullanılmıştır.
Bu veride 1’den
500’e kadar numara (ID) verilen
öğrencilerin matematik testi puanı (BAĞIMLI DEĞİŞKEN) ve
MOSAIC testi puanı (ORTAK DEİŞKEN) ile babalarının eğitim düzeylerini içeren “BabaEgitim” (1 = Ortaokul ve altı, 2 = Lise Mezunu, 3 = Yüksek okul, and 4 = Üniversite ve
üzeri) değişkenleri kullanılmıştır.
SPSS
programında
ANCOVA
yapabilmek
için yandaki
menüleri
kullanabiliriz.
Açılan “Univariate” ekranında ANCOVA analizleri için
ANOVA’da olduğu gibi bir bağımlı değişken (dependent) ve bir de grup değişkeni (fixed factor) girmemiz gerekmektedir. ANCOVA’da ANOVA’ya ek olarak covariate (ortak değişken) girmemiz gerekiyor.
Yandaki resimde
görüldüğü üzere
Bağımlı değişkene
“MatematikPuanı”
grup değişkenine
“BabaEgitim” ve
Ortak değişken
kısmına da
“MosaicTestPuanı”
giriliyor.
Ortak değişkeni (MOSAIC test puanını) kontrol
ettikten sonra, matematik puanları açısından
baba eğitim düzeyi farklı olan öğrenciler (gruplar) arasında bir fark var mıdır?
H0: MOSAIC test puanını kontrol ettikten sonra,
matematik puanları açısından baba eğitim düzeyi farklı olan öğrenciler (gruplar) arasında anlamlı bir fark yoktur.
Ha: MOSAIC test puanını kontrol ettikten sonra,
matematik puanları açısından baba eğitim düzeyi farklı olan öğrenciler (gruplar) arasında anlamlı bir fark vardır.
SPSS’te Compare Means menüsünden eldeki veriyle aşağıdaki ANOVA tablosunu
elde ederiz.
SPSS’te General Linear Model menüsüne covariate eklemediğimiz zaman ANOVA elde ederiz.
ANOVA’da çoklu
karşılaştırma yapabilmemiz
için post hoc testleri vardı.
ANCOVA’da
post hoc
testleri ortak değişken için
yapılamamaktadır.
Karşılaştırmalar yapabilmek
için “post hoc” yerine
SPSS’teki “contrast” menüsü
kullanılmaktadır.
“Simple” contrastını seçerseniz referans olarak seçtiğiniz grup ile diğer grupların ikişerli karşılaştırmasını elde edersiniz.
Referans grubunuz en küçük değere sahip olan mı (first) yoksa en büyük
değere sahip olan mı (last) onu burada belirtmelisiniz.
Karşılşatırma
yapmak
istemezseniz
“None”
seçeneğini
seçebilirsiniz.
“Post hoc” karşılaştırma
yapmanın başka bir yolu da “options” menüsü içerisinde “estimated marginal means” kısmını kullanarak düzeltilmiş (“adjustment”
kısmında) post hoc testine (LSD,
Bonferoni, Sidak) karar vermek.
SPSS’te otomatik olarak seçilen LSD
(düzeltilmemiş) yani Tukey LSD post hoc testinin uygulanmasıdır (tavsiye edilmez).
İkinci seçenek Bonferroni düzeltmesi (tavsiye
edilir).
Üçüncü seçenek de Sidak düzeltmesidir bu da
Bonferroni düzeltmesinden daha az tutucudur
(less conservative). Eğer Bonferroni yöntemindeki güç kaybını yaşamak istemiyorsanız bu yöntemi seçebilirsiniz.
Ayrıca options
menüsünden
betimleyici
istatistikler,
homojenlik testi
ve parametre
tahmini gibi
bulgular da elde
edilebilir.
Yanda verilenler
her bir grup için
hesaplanan
düzeltilmemiş
ortalama
değerleridir
Aşağıdaki Levene’s test sonucuna göre gruplar
arası varyans homojenliği varsayımının sağlandığını söyleyebiliriz.
F
(3, 496) = 1.102,p
= .348. ANCOVA sonuçlarını yorumlamadan önce
regresyon eğrilerinin homojenliğini test
etmemiz gerekmektedir. Bunu test etmenin bir yolu da grup değişkeni ile ortak değişken
arasındaki etkileşime (interaction) bakmaktır. Etkileşim değişkeninin anlamlı çıkması ANCOVA sonuçlarını anlamsız kılacaktır. Eğer etkileşim değişkenimiz istatistiksel olarak anlamlı
çıkmazsa o zaman regresyon eğrilerinin homojenliğinin sağlandığı söylenebilir.
Bizim verimizde etkileşim değişkeni Model
Yandaki tablodaki sonuçlar “etkileşim” değişkeninin
anlamlı çıkmadığını ( F(3, 492) = .645, p = .587). Yani, p (.587) > (.05). Bu sonuca göre eldeki veri ile ANCOVA yapılabileceğini söyleyebiliriz.
Varsayımlar sağlandığına dair kanıtlarımızı
elde ettikten sonra asıl ANCOVA analizlerine
geçebiliriz.
Aşağıdaki Tabloda öncelikli olarak bakmamız gereken yer ortak değişkenin (MOSAIC testPuanı) anlamlı çıkıp çıkmadığıdır. Eğer ortak değişken anlamlı ise ortak değişkenin bağımlı değişken üzerinde etkisi olduğu söylenir. Eğer ortak değişken anlamlı çıkmazsa bu ortak değişkene ihtiyacımız olup
olmadığı sorusunu sormamız gerekebilir. Bizim verimizde MosaicTesPuanı (ortak değişken) anlamlı çıktığı için mosaicTestPuanı ile MatematikTestPuanı arasında anlamlı bir ilişkiden söz edebiliriz.
ANCOVA Tablosunda ikinci bakmamız gereken
yer de ANOVA’da yaptığımız gibi grup
değişkeninin anlamlı çıkıp çıkmadığıdır. Önceki slayttaki tabloya bakarsak “BabaEgitim” düzeyi değişkeninin anlamlı çıktığını söyleyebiliriz (
F
(3, 495) = 12.338,p
< .05). Bu test değeri biziaraştırmamızdaki sıfır hipotezini reddeden bir sonuca götürür.
Bu test grupların düzeltilmiş ortalama değerleri
(Estimated Marginal Means kutusunda rapor edilen) arasındaki farklılığı test etmektedir: 11.170 (ortaokul ve öncesi), 12.386 (lise mezunu), 13.196 (yüksekokul), and 15.606 (üniversite ve üzeri).
Bir önceki slayttaki test aşağıda verilen tahmin edilen
marjinal ortalamaların (Estimated Marginal Means) gruplar arasında farklılaşıp farklılaşmadığını göstermektedir.
Burada tüm gruplar birbirleriyle karşılaştırılmıştır. Daha önce
yorumladığımız gibi eğer p değeri 0.05’ten küçük ise karşılaştırılan iki grup arasında anlamlı bir fark bulunmaktadır diyebiliriz.
Aşağıdaki tabloda ANCOVA’nın regresyon
kısmına ait analiz sonuçlarını görmektesiniz. Bu bulgular regresyon konusu işlendikten sonra
Yorumu: Verideki dört “BabaEğitim” Düzeyinin (mosaic test puanı kontrol
edildikten sonra) bağımlı değişkendeki yani matematik test puanındaki varyasyonun/çeşitliliğin %6’sını açıkladığını söyleyebiliriz.
Sonuçlara göre ortak değişken kontrol
edildikten sonra ana etki (main effect)
değişkeni anlamlı bulunmuştur. APA
formatına göre aşağıdaki şekilde rapor
edebiliriz:
ANCOVA Varsayımları Sağlanmazsa t-testinde
ve ANOVA’daki gibi SPSS’te kolayca
uygulanabilen nonparametrik verisyonlar
bulunmamaktadır.
Robust metotlar dediğimiz daha dirençli
analizleri tercih edebiliriz. Bu yöntemlerin
uygulanması uygulamacılar için kolay
olmamaktadır.
