Genelleştirilmiş fark dizi uzaylarının bazı geometrik özellikleri / Some geometric properties of the generalized difference sequence spaces

T.C

FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK DİZİ UZAYLARININ BAZI GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ

DOKTORA TEZİ Murat KARAKAŞ

(08121202)

Anabilim Dalı: Matematik

Programı: Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi

Danışman: Prof. Dr. Mikail ET

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 21 Mayıs 2012

T.C

FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK DİZİ UZAYLARININ BAZI GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ

DOKTORA TEZİ Murat KARAKAŞ

(08121202)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 21.05.2012 Tezin Savunulduğu Tarih: 04.06.2012

Tez Danışmanı: Prof. Dr. Mikail ET (F.Ü) Diğer Jüri Üyeleri: Prof. Dr. Rifat ÇOLAK (F.Ü)

Prof. Dr. Etibar PENAHLI (F.Ü) Prof. Dr. Vatan KARAKAYA (Y.T.Ü) Yrd. Doç. Dr. Mahmut IŞIK (F.Ü)

ÖNSÖZ

Bu çalışmamın hazırlanması sürecinde, engin bilgi ve birikiminden yararlandığım, doktora eğitimim boyunca hiçbir zaman desteğini benden esirgemeyen ve her zaman yanımda olan saygıdeğer hocam Prof. Dr. Mikail ET’ e üzerimdeki emeklerinden dolayı teşekkür eder, saygılar sunarım.

Ayrıca zaman zaman karşılaştığım problemleri tartışmak için bana zamanını ayıran değerli hocalarım Prof. Dr. Rifat ÇOLAK, Yıldız Teknik Üniversitesi öğretim üyesi Prof. Dr. Vatan KARAKAYA, Doç. Dr. Yavuz ALTIN, Yrd. Doç. Dr. Hıfsı ALTINOK ve değerli arkadaşım Arş. Gör. Muhammed ÇINAR’a teşekkürlerimi sunmayı bir borç bilirim.

Murat KARAKAŞ

II İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ... I İÇİNDEKİLER ... II ÖZET ... III SUMMARY ... IV SİMGELER LİSTESİ ... V 1. GENEL KAVRAMLAR ... 1

1.1. Temel Tanım ve Teoremler... 1

1.2. Fark Dizi Uzayları ... 4

1.3. Köthe Dizi Uzayı ... 6

1.4. Modüler Uzaylar ... 7

1.5. Cesaro Fark Dizi Uzayları ... 9

2. BAZI GEOMETRİK ÖZELLİKLER ... 11

3. _{ }

 

m p C _ DİZİ UZAYI VE GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ ... 14

3.1. C_{ }p

 

 Dizi Uzayı ... 14m 3.2. C_{ }p

 

 Dizi Uzayında Kadec Klee Özelliği ... 15m 3.3. C_{ p}

 

 Dizi Uzayında p Tipi Banach Saks Özelliği ... 26 m_ 3.4. _{ }

 

m p C  Dizi Uzayında Düzgün Opial Özelliği ... 27_

4. 



p,,m



DİZİ UZAYI VE GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ ... 32

4.1. 



p,,m



Dizi Uzayı ... 32

4.2.



m



p,,  Dizi Uzayında k-Nuc Özelliği ... 33

4.3.



m



p,,  Dizi Uzayında Rotundluk ... 40

KAYNAKLAR ... 43

ÖZET

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde, Banach uzaylarının bazı geometrik özellikleri açıklanmış ve aralarındaki ilişkiler verilmiştir.

Üçüncü bölümde, genelleştirilmiş de la Vallee-Poussin ortalaması yardımıyla _{ }

 

m p

C  _

dizi uzayı tanımlanmıştır. Bu uzayın bir paranormlu uzay olduğu kanıtlanmış ve modüler uzay olduğu gösterilmiştir. Aynı zamanda, uzayın Lüxemburg normuna göre bir Banach uzay olduğu gösterilip, hem _{ }

 

m

p

C  uzayının hem de

 

pk ve

 

n ’nin özel durumlarında elde

edilen uzayların geometrik özellikleri incelenmiştir.

Dördüncü bölümde, lacunary dizisini kullanarak 



p,,m



uzayı tanımlanmış ve bu

uzayın modüler yapısı araştırılmıştır. Daha sonra, Lüxemburg normuyla birlikte göz önüne alınarak k-hemen hemen düzgün konveks (k-NUC) özelliğini sağladığı fakat rotund (kesin konveks) olmadığı kanıtlanmıştır.

Anahtar Kelimeler: De la Vallee-Poussin ortalaması, Lacunary dizisi, Lüxemburg normu,

IV

SUMMARY

Some Geometric Properties Of The Generalized Difference Sequence Spaces

This thesis consist of four chapters.

In the first chapter, we give some fundamental definitions and theorems.

In the second chapter, we give some geometric properties of Banach spaces and relations between these properties.

In the third chapter, we define a new difference sequence space C_{ }p

 

 by means of m

the generalized de la Vallee-Poussin mean. Then, we show that the space C_{ p}

 

m_ is

paranormed space and modular sequence space. Also, we prove that this space is Banach space equipped with the Luxemburg norm. Later, we study geometric properties of _{ }

 

m

p

C _

and the spaces which are obtained by special cases of

 

p_k and

 

_n .

In the fourth chapter, we introduce the space



m



p,,

 by using lacunary sequence

and investigate modular structure of this space. Then, we consider the space 



p,,m



equipped with the Luxemburg norm and show that it has k-NUC property but is not rotund (strictly convex).

Keywords: De la Vallee-Poussin mean, Lacunary sequence, Luxemburg norm, Modular

SİMGELER LİSTESİ

IN : Doğal sayılar kümesi

IR : Reel sayılar kümesi

 : Lacunary dizisi

m

 : Genelleştirilmiş fark operatörü

 : Konveks modül  X : Modüler uzay  w : Zayıf yakınsaklık  s _{: Kuvvetli yakınsaklık} L . : Lüxemburg normu

 : Reel (ya da kompleks) dizi uzayı

 

A

conv : A kümesinin konveks kabuğu

 

A

conv : A kümesinin kapalı konveks kabuğu

 

X

B : X Banach uzayının kapalı birim yuvarı

 

X

S : X Banach uzayının birim küresi

1

 : Kuvvetli Cesaro yakınsak dizilerin kümesi



1. GENEL KAVRAMLAR

1.1. Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1.1. X  bir cümle ve K kompleks sayıların bir cismi olsun. : XX  X,

 : KX X

fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, X cümlesine K cismi üzerinde bir vektör uzay (lineer uzay) adı verilir. Her x,y,zX ve her ,K için

L1) x y yx

L2)



xy



zx



yz



L3) x  x olacak şekilde bir X vardır.

L4) Her bir x X için x



x



 olacak şekilde bir



x 



X vardır.

L5) 1.x x

L6) 



xy



xy

L7)







xxx

L8) 

   

x   x [1].

Tanım 1.1.2.



X ,d



bir metrik uzay ve x 

 

x_n X 'de bir dizi olsun. Eğer  0 için

0

n n 

 olduğunda

d



x_n,x





olacak şekilde bir n ₀ n₀

 

 sayısı varsa

 

x dizisi _n X 'de yakınsaktır denir ve x_n x

veya x_n x

n 

lim yazılır [2].

Tanım 1.1.3. X , K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun.

x x X  _R : .

dönüşümü aşağıdaki şartları sağlıyorsa bu dönüşüme bir norm ve



X, .



ikilisine de bir normlu uzay denir.  ,x yX için

N1) x 0

N2) x 0x

N3) x  x



skaler



N4) xy  x  y

(N3) şartı x  p x



skaler



şeklinde olursa bu takdirde X bir p normlu uzay olur [3].

Tanım 1.1.4.



X, .



bir normlu uzay ve x 

 

x_n de X uzayında bir dizi olsun. Eğer

0 

 için n n₀ iken xn  x  olacak şekilde bir no n0

 

 sayısı varsa x 

 

xn

dizisi x 'e yakınsaktır denir ve xn x

n 

lim veya xn  şeklinde yazılır [1]. x

Tanım 1.1.5.



X, .



bir normlu uzay ve x 

 

x_n de X uzayında bir dizi olsun. Eğer 0



 için m,nn₀ iken x_m x_n  olacak şekilde bir n_o n₀

 

 sayısı varsa

 

xn

x  dizisine bir Cauchy dizisi denir [1].

Tanım 1.1.6. Bir



X, .



normlu uzay tam ise; yani bu uzayda alınan her Cauchy dizisi bu uzayın bir noktasına yakınsıyorsa bu normlu uzaya Banach uzay denir [1].

Tanım 1.1.7. X bir K cismi üzerinde tanımlı bir normlu uzay olsun. X üzerinde tanımlı

tüm lineer fonksiyonellerden oluşan L



X,K



Banach uzayına X ' in cebirsel duali denir ve

*

X ile gösterilir. X üzerinde tanımlı sınırlı lineer fonksiyonellerden oluşan küme B



X,K



ile gösterilir. B



X,K



 L



X,K



olduğu açıktır. B



X,K



 X' eşitliğinde X' ifadesine X in sürekli duali denir [4].

Tanım 1.1.8. X bir normlu uzay ve X  X  ise X uzayına yansımalı (reflexive) uzay adı verilir. n

IR ve  uzayları yansımalıdır fakat p

 

 

 

0

c olduğundan c yansımalı ₀

olmayan bir uzaydır [4].

Tanım 1.1.9.



X, .



bir normlu uzay ve x 

 

x_n de X uzayında bir dizi olsun. f X ve n için f

 

xn  f

 

x ise

 

x dizisi x e zayıf yakınsaktır denir ve n

w n x

x  ile

3

Tanım 1.1.10.



X, .



bir normlu uzay ve x 

 

xn de X uzayında bir dizi olsun. n

için x_n x 0 ise

 

x dizisi x e kuvvetli yakınsaktır denir ve _n

s n x

x  şeklinde gösterilir [3].

Tanım 1.1.11.



X, .



bir normlu uzay olsun. Bir x 0 X noktası ve pozitif bir r sayısı

verilsin. Bu takdirde

Br

 

x0 



xX : xx0 r



kümesine x merkezli r yarıçaplı açık yuvar, ₀

Br

 

x₀ 



xX : xx₀ r



kümesine x merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar, ₀

Sr

 

x0 



xX : xx0 r



kümesine de x merkezli ₀ r yarıçaplı yuvar yüzeyi (küre) ad verilir [4].

Tanım 1.1.12. X bir Banach uzay olmak üzere

B

 

X 



xX : x 1



kümesine X uzayının kapalı birim yuvarı,

S

 

X 



xX : x 1



kümesine ise X uzayının birim küresi denir [1].

Tanım 1.1.13. Kompleks terimli tüm x 

 

xk ,



k 1,2,3,...



dizilerinin cümlesini  ile göstereceğiz. , x 

 

x_k , y 

 

y_k ve,  bir skaler olmak üzere

xy

   

xk  yk

x



x_k



şeklinde tanımlanan işlemler altında bir lineer uzaydır.  ' nın her alt lineer uzayına dizi uzayı denir. [6]

Tanım 1.1.14. X bir dizi uzay olsun. X bir Banach uzay ve

k : X C, k

 

x xk



k 1,2,3...



dönüşümü sürekli ise X ' e bir BK-uzayı denir [7].

olduğunda

M 



yY : yy1



1



y2, 01



Y

oluyorsa Y alt kümesi konvekstir denir [3].

Tanım 1.1.16. Her x₁,x₂



a,b



ve her 

 

0,1 için f



x₁



1



x₂



f

  

x₁  1

  

f x₂

oluyorsa f fonksiyonu



a,b



üzerinde konvekstir denir [3].

Tanım 1.1.17.  :IRIR sürekli fonksiyonu  vu, IR için u v 

 

u  

 

v        2 1 2 1 2

şartını sağlıyorsa konveks fonksiyon adını alır [8].

Tanım 1.1.18.

 

pk kesin pozitif reel sayıların sınırlı bir dizisi ve H suppk olsun. Bu

takdirde Dmax



1,2H1



,  1 H p t k k ve a ,k bkC olmak üzere k



k pk



k p k p k k b D a b a    (1.1.1) ve k k tk k t k t k k b a b a    (1.1.2) eşitsizlikleri sağlanır [9].

1.2. Fark Dizi Uzayları

Fark dizisi ve bazı fark dizi uzayları, ilk defa 1981 yılında Kızmaz [10] tarafından tanımlanmıştır.

Tanım 1.2.1. x 

 

xk kompleks terimli bir dizi ve x



xk xk1



olmak üzere 

 

 ,

 

 c ve c0

 

 dizi uzayları

 



 



 



 



 



 

:



, , : , : 0 0 x x x c c c x x x c x x x k k k                _   

şeklinde tanımlanır. Kızmaz, bu uzayların x₁ x1  x_

5

normu ile birer BK uzayı olduğunu göstermiştir. Daha sonra Et ve Çolak [11], m_N,

 

, 0 k x x   x



x_kx_k1



, mx_k 



mx_k

 

 m1x_k m1x_k1



,

 

_{k i} i m i m i k m x x _         

_

1 0 olmak üzere

 



 



 



 



 



 

:



, , : , : 0 0 x x x c c c x x x c x x x m k m m k m m k m                   

dizi uzaylarını tanımlamış ve bu uzayların    



x   x x m m i 1 1

normu ile birer BK - uzay olduklarını göstermişlerdir.

Daha sonra Et ve Nuray [12], X herhangi bir dizi uzayı olmak üzere yukarıdaki dizi uzaylarını

 

m

X  dizi uzaylarına genelleştirerek bu uzayların bazı özelliklerini incelemiştir. Fark dizi uzayları ile ilgili baz özellikleri şöyle sıralayabiliriz.

Teorem 1.2.2. Eğer X bir lineer uzay ise X 

 

m de bir lineer uzaydır [12].

Teorem 1.2.3. Eğer X Y ise

 

m

 

m

Y

X    dir [12].

Teorem 1.2.4. X bir lineer uzay ve A  X olsun. Bu takdirde A konveks ise

 

m

A 

uzayı X 

 

m uzayında konvekstir [13].

Teorem 1.2.5. Eğer X  normu ile bir Banach uzay ise , X 

 

m uzayı da

x xi mx m i   

_

  1

normu ile bir Banach uzayıdır [12].

Tanım 1.2.6. x 

 

x_k kompleks terimli bir dizi olsun. Buna göre her  0 için lim1



k n :  x L 



0,

n k

m n

yani h.h.k. için mx_k L  ise x 

 

x_k dizisi L sayısına m  istatistiksel yakınsaktır denir. m  istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı

 

m

S  ile gösterilir. Özel olarak L0 olması halinde 0

 

,

m

Sonuç 1.2.7.

 

m

S  uzayı bir lineer uzaydır [12].

Tanım 1.2.8. p pozitif bir reel say ve x 

 

xk kompleks terimli bir dizi olsun. Eğer

lim1 0 1   



 p k m n k n _n x L

olacak şekilde bir L sayısı varsa x dizisi L ye kuvvetli m 

p Cesàro yakınsaktır denir.

Kuvvetli mp  Cesàro yakınsak dizilerin kümesi

 

 

            

_

 için bir az en , 0 , 0 1 lim : 1 L p L x n x x w k p m n k n k m p ile gösterilir ve

 

m p w x  olması durumunda



 

m



p k Lw x   yazılır [12]. Teorem 1.2.9. 0 p olsun. i) xk L



wp

 

m



ise



 



m k LS x   dir.

ii) x_

 

m ve x_k L



S

 

m



ise x_k L



w_p

 

m



dir [12].

Sonuç 1.2.10. i) S S

 

m 

 

m ii)

 

 

p

 

m

 

m m m w S        [12].

Tanım 1.2.11. x 

 

x_k kompleks terimli bir dizi olsun. Eğer her  0 için

lim1



 :   



0   N  m k m n _n k n x x

olacak şekilde bir N N

 

 sayısı varsa x 

 

x_k dizisine m  istatistiksel Cauchy dizisi denir [12].

Teorem 1.2.12. m  istatistiksel yakınsak her dizi m  istatistiksel Cauchy dizisidir [12].

Teorem 1.2.13. y 

 

y_k dizisi m  istatistiksel yakınsak bir dizi olsun. Eğer x 

 

x_k ,

h.h.k. için k m k m y x 

 olacak şekilde bir dizi ise bu dizi m istatistiksel yakınsak bir dizidir [12].

1.3. Köthe Dizi Uzayı

7 uzayına Köthe dizi uzayı adı verilir.

i) x ve iIN olmak üzere x _i y_i şartını sağlayan y X için, x X ve

y

x  dir.

ii) iN için x

 

i 0 şekilde bir x X vardır [5].

Tanım 1.3.2. Bir X Köthe dizi uzayında herhangi bir x X için lim



0,0,0,...,



1

 

, 2



,...



0



 x n x n

n

oluyorsa X uzayı kesin sürekli norma sahiptir denir [5].

Tanım 1.3.3. e_i 



0,0,0,...,1,0,0,...



olmak üzere x X için x

 

i ei x n i n



   1 lim

ise X Köthe dizi uzayı A özelliğine sahiptir denir [5].

Tanım 1.3.4. iN olmak üzere 0xn

 

i  x

 

i olacak şekilde bir xx

 

i X dizisi

için xn 0 oluyorsa x x

 

i dizisi sıralı süreklidir denir. X uzayındaki sıralı sürekli elemanların kümesi X ile gösterilir. Eğer _a X  X_a ise X uzayı sıralı süreklidir denir [5].

Tanım 1.3.5. Herhangi bir iN için

 

i x

 

i x x

x_n   _n 

 0

oluyorsa X Köthe dizi uzayı monoton tam uzay olarak adlandırılır [5].

1.4. Modüler Uzaylar

Tanım 1.4.1. X bir reel vektör uzay olsun.  : X 



0,



fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlarsa modül adını alır.

i) 

 

x 0x0

ii)  1 şeklinde her  skaleri için 

 

x 

 

x

iii)  1 şeklinde , 0 ve  ,x yX için 



xy





 

x 

 

y Ayrıca,  modülü

iv)  1 şeklinde , 0 ve  ,x yX için 



xy





 

x 

 

y şartını sağlıyorsa konveks olarak adlandırılır [8].

X uzayı üzerinde herhangi bir  modülü için, X_ 



xX : (x)0, 0



şeklinde tanımlanan uzay modüler uzay olarak adlandırılır [8]. X uzayının elemanlarının

bir

 

x dizisi, _n n iken 







x_n  x





0 olacak şekilde bir  0 mevcutsa



X

x  'e modüler yakınsaktır denir [8].

Genellikle bir  modülü alt toplamsal değildir ve bu nedenle bir norm ya da uzaklık fonksiyonu olarak düşünülmez. Ancak, bir modülü bir F normuyla ilişkilendirebiliriz. Öncelikle F norm kavramını hatırlayalım:

Tanım 1.4.2. Bir . : X 



0,



fonksiyoneli, i) x 0 x0

ii)  1 olmak üzere x  x

iii) xy  x  y

iv) _n  ve x_n x 0 ise _nx_n  x 0

şartlarını sağlıyorsa bir F normu tanımlar. Bu F normu X üzerinde d



x,y



 xy şeklinde bir uzaklık tanımlar ve



X ,d



lineer metrik uzay tam ise F uzay adını alır [8].

 X modüler uzayı                    x x inf 0 :

şeklinde tanımlanan F normu ile birlikte göz önüne alınabilir. Eğer  bir konveks modül ise               inf 0 : 1    x x

formülü X üzerinde bir norm tanımlar ve bu norm Lüxemburg normu olarak adlandırılır _

[8].

Teorem 1.4.3.

 

xn  X_ alalım. xn 0 olması için gerek ve yeter şart  0 için

 

9

Tanım 1.4.4.  0 verilsin. 

 

x a olmak üzere x X_ için 

 

2x K

 

x 

olacak şekilde K 2 ve a0 sabitleri varsa,  modülü ₂ şartını sağlar denir ve

2



 ile gösterilir [15].

Tanım 1.4.5.  modülü a0 sayısına bağlı olan K 2 sabiti için ₂ şartını sağlıyorsa,  kuvvetli ₂ şartını sağlıyor denir ve s

2



 ile gösterilir [15].

Teorem 1.4.6. 2 ise, X uzayında norma göre yakınsaklık ile modüler yakınsaklık 

denktir [15].

Teorem 1.4.7. 2s olsun. L0 ve  0 verilsin. 

 

u L ve 

 

v 

eşitsizliklerini sağlayan u,vX_ için 



uv





 

u 

olacak şekilde  0 mevcuttur [15].

Teorem 1.4.8. 2s ise, herhangi  0 için 

 

x  1 olmak üzere x  1

olacak şekilde  

 

 0 vardır [15].

1.5. Cesaro Fark Dizi Uzayları

Cesaro dizi uzayları ilk olarak 1968 yılında Hollanda Matematik Topluluğu tarafından duallerinin hesaplanması için bir problem olarak ortaya atılmıştır. Leibowitz [16] ve Jagers [17] ces₁ 

 

0 ve 1 p için ces uzaylarının ayrılabilir yansımalı Banach uzaylar _p

olduğunu kanıtlamıştır. Ancak, bu uzaylar hakkında düzenli bir araştırma 1970 yılında Shiue [18] tarafından yapılmıştır.

 bütün reel yada kompleks terimli dizilerin uzayı olsun. 1 p için Shiue, Cesaro dizi uzayını                    

_

_

   p k n k n p x n x ces 1 1 1 : 

p p k n k n x n x / 1 1 1 1               

_

_

  

normu ile donatılmıştır.

 

pk

p  dizisi, kIN için pk 1 olacak şekilde pozitif sayıların bir dizisi olsun. Genelleştirilmiş Cesaro dizi uzayı Suantai [19] tarafından

ces_{ p} 



x : 

 

x , bazı0'lar için



olarak tanımlanmıştır. Burada 

 

x , ces_{ p} uzayı üzerinde bir konveks modüldür ve

 

 

n p n k n k x n x _      

_

_

  1 1 1 

şeklinde tanımlıdır. Daha sonra, Orhan [20] Cesaro fark dizi uzaylarını

 

                 

_

_

   p x n x x C p k n k n k p ,1 1 : 1 1 ve

 

           

_

  , 1 1 sup : 1 n x n x x C k n k n k

şeklinde tanımlamış ve 1 p için Ces_p  X_p C_p bağıntısının kesin olduğunu göstermiştir. Daha sonra

IN 

m olmak üzere C p

 

m genelleştirilmiş Cesaro fark dizi uzayı Et [21] tarafından

), ( ), ( 1 0       x xk x xk xk ( ) ( 1) 1 1           k m k m k m m x x x x ve _{k v} v m v m v k m x x          

_

( 1) 0 olmak üzere                         

_

_

   p x n x x C p k m n k n k m p ,1 1 : ) ( ) ( 1 1

şeklinde tanımlanmıştır ve 1 p için

p p k m n k n i m i p x n x x 1 1 1 1 1                 

_

_

_

   

2. BAZI GEOMETRİK ÖZELLİKLER

Tanım 2.1. (Extremum nokta) Bir x S

 

X noktası verilsin. Herhangi y,zB

 

X için

z y z y

x   

2 eşitliği sağlanıyorsa x S

 

X noktasına extremum nokta adı verilir [22].

Tanım 2.2. (Rotund uzay) x S

 

X noktası B

 

X  in bir extremum noktası ise X Banach uzayına rotund adı verilir [22].

Örnek 2.3. x



1,0,0,0,...



ve y



0 , 1,0,0,...



alalım. Bu takdirde x,y1 ve





1 2 1     y x y

x dir. Yani  rotund uzay değildir [23]. ₁

Tanım 2.4. (Düzgün konveks uzay) X bir Banach uzay olsun.  0 ve x,yS

 

X için   







1 2 1 y x y x

olacak şekilde bir  0 sayısı mevcutsa X Banach uzayı düzgün konvekstir denir [24].

Örnek 2.5. 1 p için L uzayları düzgün konvekstir [25]. _p

Örnek 2.6. Hilbert uzayları paralelkenar kuralının bir sonucu olarak düzgün konveks

uzaylardır [26].

Tanım 2.7. (   Ayrılmış dizi)  0 için sep

 

xn inf



xnxm : nm





olacak şekilde bir

 

x_n  X dizisi mevcutsa bu diziye  ayrılmış dizi adı verilir [24].

Tanım 2.8. (NUC uzay)  0 ve sep

 

xn  olmak üzere her

 

xn  B

 

X dizisi için

 

x 







  

B X





conv _n 1  olacak şekilde bir 

 

0,1 sayısı varsa X Banach uzayına

(NUC) uzay adı verilir [24].

Tanım 2.9. (k-NUC uzay) Bir X Banach uzayı  0 ve sep

 

xn  olmak üzere

1  2 ... 1

k x x

xn n n_k

olacak şekilde  0 sayısı varsa



k NUC



uzay olarak adlandırılır [24].

Tanım 2.10. (Drop özelliği) Herhangi x B

 

X için x ile tanımlanan "drop" kümesi D



x,B

 

X



conv



 

x B

 

X



şeklinde tanımlıdır. B

 

X ile ayrık olan her kapalı C kümesi için D



x,B

 

X



C

 

x

olacak şekilde bir x C mevcutsa X Banach uzayı drop özelliğine sahiptir denir [24].

Tanım 2.11. (Kadec-Klee (H) özelliği) Birim küre üzerindeki her zayıf yakınsak dizi norma

göre yakınsak ise X Banach uzayı Kadec-Klee özelliğine ((H) özelliği) sahiptir denir [23].

Tanım 2.12. Bir X Banach uzayının sınırlı bir A alt kümesi için non-kompakt olmanın

yuvar ölçümü



 

A inf



 0 : çapıolan sonlu çokluktakiyuvarlarlarlaörtülebilir



şeklinde tanımlanır. 

 

A fonksiyonuna kompakt olmamanın Hausdorff ölçümü adı verilir [27].

Tanım 2.13. Bir X Banach uzayının kapalı, sınırlı, konveks bir alt kümesi A olsun. A

kümesinin çapı diamA



x y y A



A x     : sup şeklinde tanımlıdır [28].

Tanım 2.14. (Normal yapı) X yansımalı bir Banach uzayı ve A , X Banach uzayının

kapalı, sınırlı, konveks bir alt kümesi olsun. x A için r



x,A



sup



xy : yA



olmak üzere A kümesinin Chebyhsev yarıçapı

R

 

A min



r



x,A



: xA



şeklinde tanımlıdır. X Banach uzayının kapalı, sınırlı, konveks, birden fazla elemana sahip her A alt kümesi için R

 

A diamA şartı sağlanıyorsa X Banach uzayı normal yapıya sahiptir denir [27].

Tanım 2.15. (Opial özelliği) Bir X Banach uzayında sıfıra zayıf yakınsak herhangi

 

xn

13

x x_n x

n n

ninf liminf 

lim

şartı sağlanıyorsa X Banach uzayı Opial özelliğine sahiptir denir [29].

Tanım 2.16. (Düzgün Opial özelliği)  0 verilsin. x  olmak üzere herhangi bir

X

x  ve sıfıra zayıf yakınsak

 

xn S

 

X dizisi için r xn x

n      inf lim 1

olacak şekilde bir r 0 sayısı varsa X Banach uzayı düzgün Opial özelliğine sahiptir denir [29].

Tanım 2.17. (L özelliği) 

 

A, kompakt olmamanın Hausdorff ölçümü olmak üzere her 0



 için kompakt olmamanın konvekslik modülü



 

 inf



1inf



x : xA



: 

 

A olan A, B

 

X in alt kümesi



şeklinde tanımlıdır. lim

 

1

1 

 

 oluyorsa X Banach uzayı L özelliğine sahiptir denir [29].

Teorem 2.18. X Banach uzayının L özelliğine sahip olması için gerek ve yeter şart X

uzayının yansımalı ve düzgün Opial özelliğine sahip olmasıdır [29].

Tanım 2.19. (Nonexpansive dönüşüm) X bir Banach uzay ve A  X olsun. x,yA için UxUy  xy eşitsizliği sağlanıyorsa U : A X dönüşümüne nonexpansive dönüşüm adı verilir [29].

Tanım 2.20. (Sabit nokta özelliği) Sınırlı, kapalı, konveks her A  kümesi ve her

A A

U :  nonexpansive dönüşümü için U

 

x  olacak şekilde bir x x A varsa X

Banach uzayı sabit nokta özelliğine sahiptir denir [29].

Teorem 2.21. X , duali 

X olan bir Banach uzayı olsun. 

X L- özelliğine sahipse, X

uzayı da sabit nokta özelliğine sahiptir [29].

Tanım 2.22. (p tipi Banach-Saks özelliği) X bir Banach uzay ve 1 p olsun. X uzayındaki her zayıf yakınsak

 

x_k dizisi, nN ve C0 için

_k





p n l n C x l / 1 0 1  





olacak şekilde bir

 

l

k

x alt dizisine sahipse X Banach uzayı p tipi Banach-Saks ya da

3. C_{ }p

 

m DİZİ UZAYI VE GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ 3.1. C_{ }p

 

m Dizi Uzayı

Toplanabilme teorisinde, de la Vallée-Poussin ortalaması ilk olarak Leindler [31] tarafından



V,



-toplanabilirliği tanımlamak amacıyla kullanılmıştır.

 

k



 , sonsuza giden pozitif reel sayıların azalmayan bir dizisi ve ₁ 1, _k1_k1

olsun. Genelleştirilmiş de la Vallée-Poussin ortalaması bir x 

 

xk dizisi için



k k



Ik  k 1,



k1,2,...



olmak üzere

 

_k I j k k x x t k



   1 şeklinde tanımlanır.

De la Vallee Poussin ortalaması kullanılarak aşağıdaki uzaylar tanımlanmıştır:

























                              





     k I j k k k I j k k x x V V le x x V x x V k k          1 sup : , , , : , , 0 1 lim : , 0 0

Her k IN için _k k ise bu uzaylar, Maddox [32] tarafından tanımlanan w ,₀ w ve w _

uzaylarına indirgenir.

 bütün reel dizilerin uzayı ve nIN için pn 1 olmak üzere p 

 

pn , pozitif reel

sayların bir dizisi olsun. Şimşek, Savaş ve Karakaya [33] de la vallee pousiin ortalamasını kullanarak V



,p



uzayını





                     





 1  1 : , k p I j j k k k x x p V    şeklinde tanımlamışlardır. Şimdi, _{ }

 

m p

15 genelleştirilmiş fark operatörü m

 ’i kullanarak n n m p m I k n n m i k x i x x           

_

_

_

     ( ) 1 ) ( ) ( 1 1    olmak üzere _{ }

 

 



 : _ ( ), 0için



  x x C m m p

şeklinde tanımlıyoruz. C_{ }p

 

m dizi uzayını

              inf 0 : _ 1     x x _L m (3.1.1) Lüxemburg normuyla birlikte gözönüne alıyoruz.

 

pk

p  dizisi sınırlı ise bu takdirde

_{ }

 

                       

_

_

   n n p k m I k n n k m p x x x C   1 : 1

şeklinde yazılır ve nIN için pn  p olması durumunda  

 

m p

C _ uzayı

 

m p

C _

uzayına indirgenir. ,p ve m nin özel seçilmesi durumunda aşağıdaki uzaylar elde edilir:

i) nIN için _n n ve m0 ise bu takdirde C_{ p}

 

m_ ces_{ p} [19], ii) nINiçin _n  ,n p_n  p ve m0 ise bu takdirde _{ }

 

m _p

p ces

C _  [18],

iii) nIN için pn  p ve n n alınırsa  

 

 

m p m

p C

C _   [21],

iv) m0 ise bu takdirde C_{ }p

 

m =V



,p



[33].

Çalışma boyunca nIN için pn 1 ve n

n

p

M sup olarak alacağız.

3.2. C_{ }p

 

m Dizi Uzayında Kadec-Klee Özelliği (H-Özelliği)

Bu kısımda öncelikle _{ }

 

m p

C _ uzayı üzerinde m 

_ modülünün baz temel özelliklerini

vereceğiz. Daha sonra m 

_ modülü ile Lüxemburg normu arasındaki ilişkiyi araştıracağız.

Teorem 3.2.1. m 

_ fonksiyoneli _{ }

 

m p

İspat: 0 0 ) ( 1 ve 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( ) ( 0 ) ( 1 1 1 1                            













          x k x i x k x i x x x n n n n m m p m I k n n m i p m I k n n m i      

dir.  1 olacak şekilde her  skaleri için m( x) m(x)     _  _ olacağı açıktır.  

 

m p C y

x,  _ ve   1 olacak şekilde , 0 ise, bu takdirde  operatörünün m

lineerliği ve nIN için t  tn fonksiyonunun konveksliğini kullanarak





) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 y x k y k x i y i x k y k x i y i x k y k x i y i x y x m m n n n n n n n n n m p m I k n n p m I k n n m i m i p m I k n m I k n n m i p m I k n n m i                                                                                                                 



























bulunur. Teorem 3.2.2. a) _        k k p M

H max 1, sup olsun. _{ }

 

m

p C _ dizi uzayı H n n m p k m I k n n i m i x x x g 1 1 ) ( 1 1                   

_

_

_

      

paranormuyla birlikte bir tam paranormlu uzay,

b)

 

m

p

17 _{ } p n m p p k m I k n n i m i C x x x 1 1 1 1                   

_

_

_

      

normu ile bir BK  uzayıdır.

İspat: a) (1.1.1), (1.1.2) eşitsizlikleri ve  operatörünün lineerliği kullanılırsa m

 

 

m p C y x  _  , için





H n n H n n H n n p k m I k n n p k m I k n n p k k m I k n n y x y x 1 1 1 1 1 1 1 1 1                                                      













            (3.2.1) ve pn



H



  max1, (3.2.2) yazabiliriz. _ ()0  m g ve g_m(x)g_m(x) 

 olduğu açıktır. (3.2.1) ve (3.2.2) eşitsizlikleri

kullanılırsa g m 

 nin alt toplamsallığı elde edilir.

Şimdi,

 

s

x dizisi g_m



xs x



0 

olacak şekilde _{ }

 

m p

C _ uzayında herhangi bir dizi ve

 

n , n  olacak şekilde herhangi bir skaler dizi olsun. Bu takdirde,

 

 









 

x g



x x



g x x x x x x x x x x x x x x x g s p k m I k n n p k s k m I k n n i m i i s i m i p k k s k m I k n n i i s i m i p s k m I k n n s i m i s m m H n n H n n H n n H n n m                                                                                                        

























       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

olduğundan



 



N   _s s x g m  dizisi sınırlıdır. Buradan,









 





 

x g



x x



g x x x x x x x x x x x x g s s s p k s k m I k n n H p p s k m I k n n H p s i s i m i s i m i s p k s k s m I k n n i s i s m i s s m m H n n n H n n n H n n m                                                                                   



















                     1 1 1 1 1 1 1 / 1 / 1 1 1 1 olup s iken g_m



sxs x



0

 elde edilir, yani skaler çarpım süreklidir. O halde

m g   ,  

 

m p

C _ uzayı üzerinde bir paranormdur. Şimdi _{ }

 

m

p

C _ uzayının tam olduğunu gösterelim.

 

l

x dizisi C_{ }p

 

m uzayında

  

l 1k, k2,...



l k l x x x

x   olmak üzere bir Cauchy dizisi olsun. Bu takdirde  0 ve l,tn₀ için









                         

_

_

_

     H n n m p t k l k m I k n n t i l i m i t l x x x x x x g 1 1 1 1 (3.2.3)

olacak şekilde n₀IN mevcuttur. Buradan her bir kIN için l,t iken 0   kt l k x x olur. Böylece

  

l 1k, k2,...



l k x x

x  dizisi C de bir Cauchy dizisidir ve C tam

olduğundan yakınsaktır. _kl _k

l x  x

lim diyelim. (3.2.3) eşitliğinde t için limit alınırsa

0 n l  için





                      

_

_



    H n n p k l k m I k n n i l i m i x x x x 1 1 1 1 buluruz. Buradan





_{ }

 

m p k l k x C x   _ dir.

  



_{ }

 

m p k l k l k x x C x ,   _ ve _{ }

 

m p C _ uzayı

19

lineer uzay olduğundan

  

k



_{ }p

 

m

l k l k k x x x C x     _ olduğu görülür. Dolayısıyla C_{ }p

 

m uzayı tamdır. b) 1 p için

 

m p

C _ uzayının bir BK  uzayı olduğu benzer şekilde gösterilebilir.

Teorem 3.2.3 xCp

 

m için m 

_ modülü aşağıdaki özellikleri sağlar:

i) 0 a1 ise , bu takdirde a m

 

_a m(x) x M    _  _ ve m(ax) a m(x),    _  _

ii) a1 ise , bu takdirde ( ) M

 

_ax , m

m x a



 

_  _

iii) a1 ise , bu takdirde m(x) a m(x) m(ax)      _  _  _ . İspat: i) 0 a1 için , ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1                                                    



















a x a a k x a a i x a a k x a a i x a k x i x x m n n n n m M p m n k n M n m i M p m n k n p n m i p m n k n n m i        olur ve m 

_ nın konveksliğinden _m(ax)a_m(x) olduğu görülür ve buradan (i)

sağlanır.

ii) a1 olduğunu kabul edelim. Buradan

) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a x a a k x a i x a a k x a a i x a k x i x x m n n n n m M p m n k n n m i M p m n k n p n m i p m n k n n m i                                       _           _           



















buluruz. Böylece (ii) elde edilir. iii) a1 olsun. Bu takdirde

) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ax k x a i ax k x a i ax x a k x a i x a k x i x x m n n n m n n m p m n k n n m i p m n k n p n m i p m n k n n m i p m n k n n m i                                                                     

























olur ve buradan m(x) a m(x) m(ax)      _  _  _ elde edilir.

Teorem 3.2.4. Herhangi bir xCp

 

m için ,

i) x _L1 ise , bu takdirde _m(x) x _L, 



ii) x _L 1 ise , bu takdirde _m(x) x _L,   iii) x _L 1 _m(x)1,   iv) x _L 1 _m(x)1,   v) x _L 1 _m(x)1,  

vi) 0 a1 ve x _L a ise , bu takdirde _m(x)aM, 



vii) a1 ve x _L a ise , bu takdirde _m(x)aM 

 dir.

İspat: (i) 0 1 x _L olacak şekilde  0 verilsin. Bu durumda x _L  1 olur. . _L nin tanımından, x _L   ve _ ( )1



 m x olacak şekilde  0 mevcuttur. Teorem 3.2.3

(i) ve (iii)'den,













, ) (                                               L L L L x x x x x x x x m m m m olur ki bu L x x m  _( )

21 ii) L L x x 1

0   olacak şekilde  0 verilsin. Bu takdirde,







1



1 1 0 1 1 1 1 1             L L L L L x x x x x    

dir. ._L nin tanımı ve Teorem 3.2.3 (i)'den

, ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 m m L L x x x      _{ }             ve dolayısıyla            x x 1 , 0  için x _L m     _  ) 1 ( olur. Buradan x _L m

 

x  _  bulunur ve (ii) sağlanır.

iii) x_L 1 olduğunu kabul edelim. ._L nin tanımından,  0 için 1   x _L ve

1 ) (   _   x

m olacak şekilde  0 mevcuttur. Teorem 3.2.3 (ii) den,

 

M x M





M x m m             _  ( ) 1

olur. Buradan  0 için









    ( ) 1 1 M m x olur ki bu _m(x)1   olduğunu gösterir. 1 ) (  m x   ise, bu takdirde _m(x)aM 1 

 olacak şekilde a(0,1) seçebiliriz. Teorem

3.2.3 (i) den, _ ( ) 1 _ (x)1 a a x m m _M    

buluruz. Buradan x _L  a1 olup bu bir çelişkidir. Böylece _m(x)1 

 dir.

Şimdi _m(x)1 

 olduğunu kabul edelim. Bu durumda x _L1 dir. x _L1 ise, (i)'den

1 )

(  

m x x L

 olup bu kabulümüzle çelişir. O halde x _L1 dir.

iv) (i) ve (iii)'den açıktır. v) (iii) ve (iv)'den açıktır.