ÖNSÖZ
"Fuzzy Say¬ Dizilerinin Dereceden Deferred ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬¼g¬" ba¸sl¬kl¬ yüksek lisans çal¬¸smas¬n¬n haz¬rlanmas¬ sürecinde ilgi ve desteklerinden yararland¬¼g¬m, sayg¬de¼ger hocam Prof. Dr. Mikail ET ve kar¸s¬la¸st¬¼g¬m problemlerin çözümünde deste¼gini esirgemeyen hocam Prof. Dr. H¬fs¬ ALTINOK’a te¸sekkürlerimi sunar¬m.
Yüksel EROL Elaz¬¼g-2018
·IÇ·INDEK·ILER Sayfa No ÖNSÖZ. . . I ·IÇ·INDEK·ILER . . . II ÖZET. . . ...III SUMMARY. . . IV ¸ SEK·ILLER L·ISTES·I. . . V SEMBOLLER L·ISTES·I. . . VI 1. G·IR·I¸S. . . 1
2. DERECEL·I ·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK. . . 3
3. FUZZY KÜMELER VE FUZZY SAYI D·IZ·ILER·I. . . 10
3.1 Fuzzy Kümeler. . . 10
3.2 Fuzzy Say¬ Dizileri . . . 12
4. DEFERRED ·ISTAT·IST·ISEL YAKINSAKLIK VE DEFERRED CESÀRO YAKINSAKLIK. . . 15
5. FUZZY SAYI D·IZ·ILER·IN·IN DERECEDEN DEFERRED ·ISTAT·IS-T·IKSEL YAKINSAKLI ¼GI VE DERECEDEN KUVVETL·I ¡DEFERRED CESÀRO TOPLANAB·IL·IRL·I ¼G·I. . . 22
6. SONUÇLAR. . . .32
7. KAYNAKLAR... . . . 33
ÖZET
Fuzzy Say¬ Dizilerinin Dereceden Deferred ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬¼g¬
"Fuzzy Say¬ Dizilerinin Dereceden ·Istatistksel Yak¬nsakl¬¼g¬" ba¸sl¬kl¬ çal¬¸sma be¸s bölümden olu¸smaktad¬r. Birinci bölümde, yap¬lan çal¬¸sma hakk¬nda k¬sa bir bilgi ver-ilmi¸stir. ·Ikinci bölümde, istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬n tarihçesinden üçüncü bölümde ise fuzzy say¬ dizilerinin tarihçesinden bahsedilmi¸stir. Dördüncü bölümde, deferred ista-tistiksel ya¬nsakl¬k ve deferred Cesàro yak¬nsakl¬ktan bahsedilmi¸stir. Be¸sinci bölüm çal¬¸sman¬n orijinal k¬sm¬n¬ olu¸sturmaktad¬r. Bu bölümde 2 (0 1] reel say¬s¬ için fuzyy say¬ dizilerinin dereceden deferred istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ ve dereceden deferred kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsakl¬¼g¬ tan¬mlanm¬¸s, dereceden deferred istatistik-sel yak¬nsakl¬k ve dereceden deferred kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsakl¬k aras¬nda birkaç ba¼g¬nt¬ verilmi¸stir.
Anahtar Kelimeler: Fuzzy Say¬ Dizisi, Deferred ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬k, De-ferred Cesàro Toplanabilme.
SUMMARY
On Deferred Statistical Convergence of Order of Sequences of Fuzzy Numbers
This study consists of the …ve chapters which has been titled as "On Deferred Statistical Convergence of Order of Sequences of Fuzzy Numbers". We give some informations about the historical development of statistical convergence in the chapter 2 and give some informations about the historical development of fuzzy numbers in the chapter 3. In the chapter 4, we give the concepts of deferred statistical convergence and strong deferred ¡Cesàro summability for sequences of real numbers. In the …fth chapter which is original, we introduce the concepts of deferred statistical convergence of order and strong deferred ¡Cesàro summability of order for sequences of fuzzy numbers and give some relations between deferred statistical convergence sequences of order and strong deferred ¡Cesàro summable sequences of order for 2 (0 1]
Key Words: Fuzzy Number Sequences, Deferred Statistical Convergence, Deferred Cesàro Summability.
¸
SEK·ILLER L·ISTES·I
¸
Sekil 1 dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak, ancak yak¬nsak olmayan fuzzy say¬ dizisi . . . 23 ¸
Sekil 2 dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak, fakat dereceden deferred istatis-tiksel yak¬nsak olmayan fuzzy say¬ dizisi . . . 25 ¸
Sekil 3 2¡13 1 2
¤
için dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak, ancak dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak olmayan bir fuzzy say¬ dizisi . . . 29
SEMBOLLER L·ISTES·I
Bu çal¬¸smada a¸sa¼g¬daki sembolleri s¬k s¬k kullanaca¼g¬z. () dereceden deferred yo¼gun küme
( ) dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak fuzzy say¬ dizilerin kümesi [] dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak fuzzy say¬ dizilerin
1. G·IR·I¸S
·Istatistiksel yak¬nsakl¬k Toplanabilme Teorisinde önemli ara¸st¬rma alanlar¬ndan birisidir. ·Istatistiksel yak¬nsakl¬k çe¸sitli zamanlarda ortaya ç¬km¬¸s olsa da bu kavram-dan ilk olarak Zygmund [1] bahsetmektedir. Bu kavrama ili¸skin ilk bilgiler Fast [2] ve Steinhaus [3] taraf¬ndan verildi. Toplanabilme metodu olarak bu kavram Schoenberg [4] taraf¬ndan çal¬¸s¬ld¬. Bilindi¼gi gibi dizilerin Cesàro yak¬nsakl¬¼g¬ literatürde istatistiksel yak¬nsakl¬ktan ba¼g¬ms¬z olarak incelenmi¸s ve
= 8 < : 1 +1 0· · 0
¸seklinde tan¬mlan ve aritmetik ortalama matrisi olarak da bilinen = () matrisi
yard¬m¬yla tan¬mlanan bir toplanabilme metodu olup, yak¬nsak olmayan en az bir diziyi yak¬nsak bir diziye dönü¸stürür. Schoenberg [4] istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬n temel özelliklerini incelemi¸s ve s¬n¬rl¬ istatistiksel yak¬nsak bir dizinin Cesàro toplanabilir oldu¼gunu göstermi¸stir. Daha sonra s¬ras¬yla Salat [5], Fridy [6], Connor [7], Fridy ve Orhan [8] istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬n toplanabilme ile ili¸skisini incelemi¸sler ve istatistik-sel yak¬nsakl¬¼g¬n birkaç özelli¼gini vermi¸slerdir. Örne¼gin Salat [5] reel istatistiksel yak¬n-sak dizilerin kümesinin bir lineer uzay oldu¼gunu ifade etmi¸s ve reel de¼gerli s¬n¬rl¬ istatis-tiksel yak¬nsak dizilerin uzay¬n¬n, tüm reel de¼gerli diziler uzay¬n¬n kapal¬ bir altuzay¬n¬ göstererek hiçbir yerde yo¼gun küme olmad¬¼g¬n¬ ispatlam¬¸st¬r. Connor [7] s¬n¬rl¬ istatis-tiksel yak¬nsak dizilerin kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir oldu¼gunu göstermi¸s, Fridy [6] ise istatistiksel Cauchy dizisi kavram¬n¬ tan¬mlayarak istatistiksel yak¬nsak diziler ile istatistiksel Cauchy dizileri aras¬ndaki ili¸skiyi incelemi¸stir. Fridy ve Orhan [8] bir lacu-nary dizisini kullanarak istatistiksel yak¬nsakl¬k kavram¬n laculacu-nary istatistiksel yak¬n-sakl¬¼ga genelle¸stirmi¸s ve Freedman ve arkada¸slar¬ [9] taraf¬ndan tan¬mlanan kuvvetli lacunary toplanabilir diziler ile aras¬ndaki ili¸skileri vermi¸slerdir. Son zamanlarda is-tatistiksel yak¬nsakl¬k ve isis-tatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬n genelle¸stirmeleri literatürde Bhunia ve arkada¸slar¬ [10], Çakall¬ [11], Caserta ve arkada¸slar¬ [12], Et ve ¸Sengül ([13],[14]) gibi birçok yazar taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.
Reel say¬ dizisi kavram¬ndan daha genel olan Fuzzy (bulan¬k) say¬ dizilerinin is-tatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ kavram¬ son zamanlarda çal¬¸s¬lan popüler konulardan birisidir.
Fuzzy küme ve Fuzzy say¬s¬ kavram¬ klasik küme ve reel say¬ kavram¬ndan daha geneldir ve günlük hayat¬ ifade bak¬m¬ndan daha isabetlidir. Klasik küme
() = 8 < : 1 2 ise 0 2 ise
olarak tan¬mlanan karakteristik fonksiyonu yard¬m¬yla ifade edilirken bu i¸slem Fuzzy küme teorisinde üyelik fonksiyonu ad¬ verilen bir fonksiyon yard¬m¬yla ifade edilebilir. ·Ilgili nesnelerden olu¸san ve bo¸s olmayan evrensel tan¬m kümesi üzerinde bir fuzzy kümesi
() : ! [0 1]
üyelik fonksiyonu yard¬m¬yla tan¬mlan¬r. Esas …kir bir eleman¬n bir kümeye k¬smi üyeli¼gine olanak sa¼glamas¬d¬r. E¼ger üyelik derecesi olarak adland¬r¬lan üyelik fonksiy-onunun de¼geri 1 ise eleman¬ kümeye tamamen aittir, üyelik derecesi 2 (0 1) olacak ¸sekilde bir say¬s¬ ise kümenin k¬smi üyesidir, üyelik derecesi 0 ise kümeye ait de¼gildir. Fuzzy küme ve ilgili i¸slemler 1965 y¬l¬nda Lot… A. Zadeh [15] taraf¬ndan yay¬mlanan bir makalede çal¬¸s¬lm¬¸s ve daha sonraki y¬llarda bu kavram ile ilgili birçok çal¬¸sma yap¬lm¬¸st¬r [16 ¡ 22]
Fuzzy say¬ dizisi kavram¬ 1986 y¬l¬nda Matloka [23] taraf¬ndan tan¬mland¬ ve baz¬ temel özellikleri incelendi, yak¬nsak ve s¬n¬rl¬ fuzzy say¬ dizileri ile ilgili birkaç ba¼g¬nt¬ Nanda [19] taraf¬ndan verildi. Fuzzy say¬ dizilerinin yak¬nsakl¬¼g¬ 1995 y¬l¬nda Nuray ve Sava¸s [24] taraf¬ndan fuzzy say¬ dizilerinin istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬na genelle¸stirildi, Kwon [25] fuzzy say¬ dizilerinin ¡Cesàro convergence yak¬nsakl¬¼g¬n¬ tan¬mlayarak is-tatistiksel yak¬nsakl¬k aras¬ndaki ba¼g¬nt¬lar¬ inceledi. Daha sonra konuya ili¸skin birçok çal¬¸sma Alt¬nok v.d. ([26],[27]), Aytar ve Pehlivan [28], Mursaleen v.d. ([29],[30]), Sava¸s [31] ve di¼ger birçok yazar taraf¬ndan çal¬¸s¬ld¬.
Bu çal¬¸smada Küçükaslan and Y¬lmaztürk ([32],[33]) taraf¬ndan tan¬mlanan reel say¬ dizilerinin deferred istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ ve deferred ¡Cesàro toplanabilme kavramlar¬, 0 · 1 olmak üzere fuzzy say¬ dizilerine genelle¸stirilecektir.
2. DERECEL·I ·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK
Reel veya karma¸s¬k de¼gerli ¬raksak bir dizinin farkl¬ ¸sekillerde yak¬nsama sorunu 19. yüzy¬l¬n ba¸slar¬na kadar uzan¬r. Farkl¬ pek çok yak¬nsama metodu tan¬mlanm¬¸s (Arit-metik Ortalama, Cesàro, Nörlund, A¼g¬rl¬kl¬ Ortalama, Abel vs.) ve matemati¼gin birçok dal¬na uygulanm¬¸st¬r. Hemen hemen tüm yak¬nsakl¬k türleri cebirsel ve topolojik bir yap¬ içermektedir. Bununla birlikte genel bir metrik uzayda yak¬nsakl¬k …kri cebirsel bir yap¬dan ba¼g¬ms¬zd¬r. Bu yak¬nsakl¬k türleri bilinen yak¬nsakl¬k kavram¬n¬ genelle¸stiren daha genel yak¬nsakl¬k türleridir. ·Istatistiksel yak¬nsakl¬k bu kavramlardan birisidir. ·Istatistiksel yak¬nsakl¬k …kri do¼gal say¬lar¬n yo¼gunlu¼gu kavram¬na dayan¬r. Bu kavram literatürde çe¸sitli isimler alt¬nda farkl¬ zamanlarda ortaya ç¬km¬¸st¬r. Zygmund [1] Var¸sova da bas¬lan bir notta istatistiksel yak¬nsakl¬k …krinden bahsetmi¸stir, ancak ista-tistiksel yak¬nsakl¬k tan¬m¬ Fast [2] ve Steinhaus taraf¬ndan verilmi¸stir. Schoenberg [4] istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ bir toplanbilme metodu olarak yorumlad¬. ·Isatistiksel yak¬n-sakl¬k Buck [34] taraf¬ndan tan¬mlanan yo¼gunlu¼ga ba¼gl¬ yak¬nsakl¬¼g¬n bir örne¼gi olarak ortaya ç¬kmaktad¬r. N do¼gal say¬lar¬n kümesini göstersin, kümesi de N nin bir alt kümesi olsun. ( ) ile [ ] \ N kümesinin eleman say¬s¬n¬ gösterelim. nin üst ve alt do¼gal yo¼gunlu¼gu s¬as¬yla
¹ () = lim !1sup (1 ) ve () = lim !1inf (1 )
¸seklinde tan¬mlan¬r. E¼ger ¹ () = () ise kümesi do¼gal yo¼gunlu¼ga sahiptir denir ve
() = lim
!1
(1 )
olarak tan¬mlan¬r. Örne¼gin say¬s¬na e¸sit ya da say¬s¬ndan daha küçük olan do¼gal say¬lar¬n kümesini () ile gösterelim, örne¼gin = f2 4 6 g ise (1) = 0 (2) = 1 (6) = 3 (7) = 3 (152) = 3 d¬r. Gerçekten ¸ 0 ise () = £¯¯2¯¯¤ dir. () = 0 ise kümesine s¬f¬r yo¼gunlu¼ga sahiptir denir. = f 2 N : j¡ j ¸ g
kümesinin do¼gal yo¼gunlu¼gu s¬f¬r ise reel (kompleks) say¬lar¬n bir = () dizisi
kümesini ile gösterece¼giz. E¼ger bir dizi say¬s¬na istatistiksel yak¬nsak ise ¡ = veya ¡! () olarak yazaca¼g¬z. = 0 olmas¬ durumunda yerine 0 yazaca¼g¬z.
Örne¼gin = () dizisini
= 8 < : 2 = 2 0 6= 2 = 1 2 3 olarak tan¬mlarsak jf · : 6= 0gj · p olup ¡ = 0 bulunur.
Sonlu kümeler s¬f¬r do¼gal yo¼gunlu¼ga sahip olaca¼g¬ndan bilinen anlamda yak¬nsak her dizi istatistiksel yak¬nsakt¬r, gerçekten ! olsun, bu durumda her 0 için
0 iken j¡ j olacak ¸sekilde bir 0 2 N say¬s¬ vard¬r. Buna göre · 0 için
j¡ j ¸ olup lim !1 1 jf · : j¡ j ¸ gj · lim!1 1 0 = 0
d¬r. Bunun tersi do¼gru de¼gildir, yani istatistiksel yak¬nsak bir dizinin yak¬nsak olmas¬ gerekmez, gerçekten = 8 < : p = 3 ( = 1 2 3 ) 1 6= 3
dizisi istatistiksel yak¬nsak fakat yak¬nsak de¼gildir.
S¬n¬rl¬ bir dizinin istatistiksel yak¬nsak olmas¬ gerekmez, gerçekten = (2¡2 2 ¡2 2 ¡2 )
dizisi s¬n¬rl¬d¬r, ancak istatistiksel yak¬nsak de¼gildir. ·Istatistiksel yak¬nsak bir dizinin de s¬n¬rl¬ omas¬ gerekmez. Bunun için = ()dizisini
= 8 < : p = 2 ( = 1 2 3 ) 1 6= 2
olarak tan¬mlayal¬m, bu dizi istatistiksel yak¬nsak, ancak s¬n¬rl¬ de¼gildir. Bilindi¼gi gibi sn¬rl¬ diziler uzay¬ 1= ½ = () : sup j j 1 ¾
¸seklinde tan¬mlan¬r. Tüm sabit diziler hem s¬n¬rl¬ hem de istatistiksel yak¬nsakt¬r. Buna göre ile 1 dizi uzaylar¬n¬n ortak elemanlar¬ vard¬r ancak birbirlerini kapsamazlar.
= () reel (kompleks) say¬lar¬n bir dizisi olsun. E¼ger
lim 1 X =1 =
olacak ¸sekilde bir say¬s¬ varsa, = ()dizisi say¬s¬na Cesàro toplanabilirdir denir.
Cesàro toplanabilme …kri istatistiksel yak¬nsakl¬ktan ba¼g¬ms¬z olarak çal¬¸s¬ld¬. Fast [2] ve Schoenberg [4] istatistiksel yak¬nsak ve s¬n¬rl¬ bir dizinin Cesàro toplanabilir oldu¼gunu gösterdiler. Sonraki y¬llarda Salat [5] reel istatistiksel yak¬nsak diziler ile ilgili birkaç özellik ispatlad¬. Fridy [6] ve Connor [7] istatistiksel yak¬nsakl¬k ile ilgili temel birkaç temel özelli¼gi incelyerek toplanabilme aç¬s¬ndan inceledi. Bu çal¬¸smalardan sonra istatistiksel yak¬nsakl¬kla ilgili birçok çal¬¸sman¬n literatüre kazand¬r¬ld¬¼g¬n¬ görüyoruz. Bu iki çal¬¸smadan önemli oldu¼guna inand¬¼g¬m¬z iki teoremi a¸sa¼g¬da ispats¬z olarak veriyoruz. Bu teoremleri ifade etmeden önce iki tan¬m verelim.
Tan¬m 2.1 pozitif reel bir say¬ ve = ()kompleks terimli bir dizi olsun. E¼ger
lim 1 X =1 j¡ j = 0
e¸sitli¼gi sa¼glanacak ¸sekilde bir say¬s¬ mevcut ise dizisi reel (kompleks) say¬s¬na kuvvetli ¡Cesàro toplanabilirdir denir. Bu durumda ¡ lim = yaz¬l¬r. Kuvvetli
-Cesàro yak¬nsak dizilerin cümlesi ile gösterilecektir, yani
= ( = () : lim1 X =1 j¡ j = 0 en az bir 2C için ) dir.
Tan¬m 2.2 Bir = ()kompleks terimli dizisini göz önüne alal¬m, 0 verilsin.
E¼ger için j¡ j olacak ¸sekilde bir = () do¼gal say¬s¬ varsa yani,
lim
!1
1
jf · : j¡ j ¸ gj = 0 ise = ()dizisine istatistiksel Cauchy dizisi denir.
Teorem 2.3 [7] 0 1 ve = () reel (kompleks) say¬lar¬n bir dizisi olsun.
) Bir dizi say¬s¬na kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsak ise say¬s¬na istatistiksel yak¬n-sakt¬r.
) s¬n¬rl¬ bir dizi ve say¬s¬na istatistiksel yak¬nsak ise bu dizi say¬s¬na kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsakt¬r
Teorem 2.4 [6] = () reel (kompleks) say¬lar¬n bir dizisi olsun. A¸sa¼g¬daki
önermeler denktir.
i) dizisi istatistiksel yak¬nsakt¬r, ii) dizisi istatistiksel Cauchy dizisidir,
iii) için = olacak ¸sekilde yak¬nsak bir = ()dizisi vard¬r.
Dereceli istatistiksel yak¬nsakl¬k …kri Gadjiev ve Orhan [35] taraf¬ndan verildi. Bhunia ve arkada¸slar¬ [10] dereceli istatistiksel yak¬nsakl¬k ile ilgili birkaç özellik is-patlad¬lar. Dereceli istatistiksel yak¬nsakl¬k ile ilgili literatürdeki çal¬¸smalar¬n Çolak ([36],[37]) taraf¬ndan verilen " dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬k " ve " ¡istatistiksel yak¬nsakl¬k" ba¸sl¬kl¬ çal¬¸smadan sonra artt¬¼g¬n¬ görüyoruz. Daha sonra Çolak ve Bek-ta¸s [38], Et ve ¸Sengül ([13],[14]) dereceli istatistiksel yak¬nsakl¬k kavramlar¬n¬ çal¬¸st¬lar. Konunun güncelli¼gini korudu¼gu ve son zamanlarda birçok yazar taraf¬ndan çal¬¸s¬ld¬¼g¬ gözlenmektedir. ¸Simdi Çolak [36] taraf¬ndan verilen dereceli yo¼gunluk ve dereceli ista-tistiksel yak¬nsakl¬k ile ilgili temel baz¬ kavramlar¬ verelim.
Tan¬m 2.5 Bir kümesinin ¡yo¼gunlu¼gu, jf · : 2 gj ifadesi kümesinin do¼gal say¬s¬ndan büyük olmayan elemanlar¬n¬n say¬s¬n¬ göstermek üzere
() = lim
!1
1
jf · : 2 gj
e¸sitli¼gi ile tan¬mlan¬r (limit sonlu ya da sonsuz olabilir). Bu limitin sonlu olmas¬ duru-munda kümesi ¡yo¼gunlu¼ga sahiptir denir. E¼ger bu limitin de¼geri s¬f¬r ise kümesi s¬f¬r ¡yo¼gunlu¼ga sahiptir denir. Bu tan¬m = 1 için do¼gal yo¼gunluk kavram¬ ile ayn¬d¬r. µ N herhangi bir küme olmak üzere 0 · · 1 için () · ()
oldu¼gu aç¬kt¬r. S¬f¬r ¡yo¼gunluklu küme tan¬m¬ndan hareketle dereceden istatistik-sel yak¬nsakl¬k a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlan¬r.
Tan¬m 2.6 = ()2 ve her 0 için
lim
!1
1
jf · : j¡ j ¸ gj = 0
olacak ¸sekilde bir kompleks say¬s¬ varsa = () dizisi ye dereceden istatis-tiksel yak¬nsakt¬r denir. = () dizisinin say¬s¬na dereceden istatistiksel
yak¬n-sak olmas¬ halinde
¡ lim = yazar¬z. dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬k her
2 (0 1] say¬s¬na bir istatistiksel yak¬nsakl¬k kar¸s¬l¬k getirece¼ginden istatistiksel yak¬n-sakl¬¼g¬ derecelendirmektedir. dereceden istatistiksel yak¬nsak tüm dizilerin kümesi ile = 0 olmas¬ durumunda ise
0 gösterilecektir. dereceden istatistiksel
yak¬n-sakl¬k = 1 için bilinen anlamda istatistiksel yak¬nyak¬n-sakl¬k ile ayn¬ olur. 1 olmas¬ durumunda dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬k iyi tan¬ml¬ olmayabilir. Gerçekten
= 8 < : 2 = 2 0 6= 2 = 1 2 3
e¸sitli¼gi ile verilen bir dizisini tan¬mlayal¬m. 1 olmas¬ durumunda lim !1 1 jf · : j¡ 1j ¸ gj · lim!1 2 = 0 ve lim !1 1 jf · : j¡ (¡1)j ¸ gj · lim!1 2 = 0
olaca¼g¬ndan dizisi hem 1 ve ¡1 say¬lar¬na dereceden istatistiksel yak¬nsakt¬r. Kompleks (reel) terimli bütün dizilerinin kümesi n¬n = () = () ve bir
skaler olmak üzere
+ = () + ()
= ()
i¸slemleri ile bir lineer uzay oldu¼gunu, nin her alt kümesinin de bu i¸slemler alt¬nda kapal¬ olmas¬ durumunda bir lineer uzay oldu¼gunu biliyoruz. n¬n yukar¬daki i¸slemler
alt¬nda kapal¬ oldu¼gunu kolayca gösterebiliriz. Buna göre bir lineer uzayd¬r.
Yak¬nsak her dizinin dereceden istatistiksel yak¬nsak ancak tersinin do¼gru ol-mad¬¼g¬n¬ söyleyebiliriz. Gerçekten
olarak al¬n¬rsa 1 jf · : j¡ 0j ¸ gj · 1 ¡ 2p + 1¢
olaca¼g¬ndan 2 (12 1] için dizisi 0 say¬s¬na dereceden istatistiksel yak¬nsakt¬r, ancak bu dizi yak¬nsak de¼gildir.
A¸sa¼g¬daki teorem 2 (0 1] say¬lar¬ 0 · · 1 e¸sitsizli¼gini sa¼glayan iki say¬ olmak üzere dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬k ile dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬k aras¬ndaki ba¼g¬nt¬y¬ verir.
Teorem 2.7 2 (0 1] say¬lar¬ 0 · · 1 e¸sitsizli¼gini sa¼glayan iki say¬ olsun dereceden istatistiksel yak¬nsak her say¬ dizisi dereceden istatistiksel yak¬nsak, fakat tersi do¼gru de¼gildir.
Gerçekten 2 (0 1] say¬lar¬ 0 · · 1 e¸sitsizli¼gini sa¼glayan iki say¬ olmak üzere her 0 say¬s¬ için
1
jf · : j¡ j ¸ gj ·
1
jf · : j¡ j ¸ gj
e¸sitsizli¼gi sa¼gland¬¼g¬ndan dereceden istatistiksel yak¬nsak her say¬ dizisi dereceden istatistiksel yak¬nsakt¬r, fakat
= 8 < : 3 = 3 ise 0 6= 3 ise (2.1)
dizisi göz önüne al¬n¬rsa 13 · 1 için
¡ lim = 0, ancak 0 13 2
oldu¼gu görülür.
·Istatistiksel yak¬nsak diziler ile kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir diziler aras¬ndaki ili¸ski birçok çal¬¸smada incelenmi¸stir. dereceden istatistiksel yak¬nsak diziler ile dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir aras¬nda öncekilere benzer bir ba¼g¬nt¬ vermek mümkündür. Bu ba¼g¬nt¬y¬ vermeden önce dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir diziler uzay¬
y¬ a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlayal¬m.
Tan¬m 2.8 2 R+ olsun. E¼ger
lim !1 1 X =1 j¡ j = 0
olacak ¸sekilde bir kompleks say¬s¬ varsa, dizisi dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilirdir denir. dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilirlik, = 1 için, kuvvetli ¡Cesàro toplanabilirli¼ge indirgenir. dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplan-abilir dizilerin uzay¬
ile gösterilir.
Teorem 2.9 2 (0 1] say¬lar¬ 0 · · 1 e¸sitsizli¼gini sa¼glayan iki say¬ olsun dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir her say¬ dizisi dereceden istatistiksel yak¬nsakt¬r.
Teorem 2.9 un tersi = () dizisi s¬n¬rl¬ olsa bile sa¼glanmaz, yani s¬n¬rl¬ ve dereceden istatistiksel yak¬nsak bir dizinin dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir olmas¬ gerekmez.
Bu konuya ili¸skin son ba¼g¬nt¬m¬z dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir diziler ile dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir diziler aras¬nda olacakt¬r.
Teorem 2.10 say¬lar¬ 0 · e¸sitsizli¼gini sa¼glayan iki say¬ olsun dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir her say¬ dizisi dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplan-abilirdir, ancak tersi do¼gru de¼gildir.
·Ispat. say¬lar¬ 0 · e¸sitsizli¼gini sa¼glayan iki say¬ 2 R+ için
1 X =1 j¡ j · 1 X =1 j¡ j
oldu¼gundan dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir her say¬ dizisi dereceden kuvvetli ¡Cesàro toplanabilirdir, ancak (21) de tan¬mlanan dizi göz önüne al¬n¬rsa
1 X =1 j¡ 0j · 2p3 = 2 ¡13 ! 0 olup 2 (1 3 1] için 2 , ancak 2 (013) için 1 X =1 j¡ 0j ¸ 2 3 p ¡ 1 ! 1 oldu¼gundan 2 d¬r.
3. FUZZY KÜMELER VE FUZZY SAYI D·IZ·ILER·I 3.1 Fuzzy Kümeler
Fuzzy (Bulan¬k) küme üyelik derecelerine göre s¬n¬‡and¬r¬lan nesnelerin toplulu¼gu olarak gözönüne al¬nabilir. Üyelik dereceleri üyelik fonksiyonu olarak tan¬mlayaca¼g¬m¬z bir fonksiyon yard¬m¬yla yap¬labilir. Klasik küme teorisinde; "1" ile üye olma, "0" ile de üye olmama ifade edilir ve kümesinin herhangi bir altkümesi için üye olma ve üye olmama () = 8 < : 1 2 ise 0 2 ise
olarak tan¬mlanan karakteristik fonksiyonu yard¬m¬yla yap¬l¬rken, bu i¸slem Fuzzy teori-sinde üyelik fonksiyonu ad¬ verilen ve
: ! [0 1]
olarak tan¬mlanan fonksiyonu yard¬m¬yla yap¬labilir. Buna göre kümesinin herhangi bir altkümesi klasik küme teorisinde
=f 2 : () = 1g
¸seklinde tan¬mlan¬rken, bulan¬k küme teorisinde
=f 2 : ()2 (0 1]g
olarak ifade edilir. ()ald¬¼g¬ de¼geri fuzzy kümesindeki noktas¬n¬n üyelik
dere-cesini göstermektedir. 1 say¬s¬na en yak¬n olan de¼ger kümesindeki en yüksek üyelik derecesi göstermektedir. kümesi klasik anlamda bir küme ise üyelik fonksiyonu sadece 0 ve 1 iken, bulan¬k küme teorsinde bu de¼ger 0 ve 1 aras¬ndaki tüm say¬lar olmaktad¬r. Buna göre () = 1 en yüksek üyelik dercesini () = 0 ise üye
ol-mamay¬ ifade etmektedir. Çok say¬da üyelik fonksiyonu tan¬mlanm¬¸st¬r, ancak en çok kullan¬lan üyelik fonksiyonlar¬ Äç ç¸ ¦ üyelik fonksiyonlar¬d¬r. Üyelik fonksiyonun tipine göre fuzzy say¬s¬n¬ isimlendiririz, örne¼gin üçgen fuzzy say¬s¬ndan bahsediyorsak üyelik tipi üçgen olan fuzzy say¬s¬ndan bahsediyoruz demektir. Bir fuzzy say¬ kümesinin yüksekli¼gi üyelik derecesi en büyük olan de¼gerdir. Bu kavram normal fuzzy kümesi tan¬m¬n¬ vermektedir. E¼ger bir fuzzy
küme için yüksekli¼gi 1 olacak ¸sekilde bir nokta varsa bu fuzzy kümeye küme denir. Buna göre fuzzy kümesinin normal olmas¬ için (0) = 1olacak ¸sekilde
en az bir 0 2 olmas¬d¬r. Örne¼gin
() = 8 > > > < > > > : 2¡5 5 2 £5 2 5 ¤ ise ¡2+15 5 2 £ 515 7 ¤ ise 0 di¼ger durumlarda fuzzy kümesi = 5 için 1 de¼gerini ald¬¼g¬ndan normaldir.
Bir fuzzy kümesinin ¡seviye veya ¡kesim kümesi, üyelikleri dan az olmayan üyelerinden olu¸sur, yani
=f 2 : ()¸ g
olarak tan¬mlan¬r. Özel olarak f 2 R : () 0g kümesi 0¡ kümesi olarak
tan¬mlan¬r. ·Iki fuzzy say¬s¬n¬n toplam¬ ve fark¬ seviye kümeleri cinsinden tan¬mlanabilir. Reel say¬lar kümesi R tüm fuzzy say¬lar¬n¬n kümesi (R) de gömülebilirdir. Buna göre ~
2 (R) fuzzy say¬s¬ 2 R omak üzere
~ () = 8 < : 1 = ise 0 6= ise
¸seklinde ifade edilebilir. Bir ~2 (R) fuzzy say¬s¬ aral¬klar cinsinden ~ = [ ] ¸seklinde ifade edilebilir.
(R) kümesinde üzerinde 2 (R) olmak üzere ¹ : (R) £ (R) ! R ¹ ( ) = sup 2[01] ( )
¸seklinde bir metrik (uzakl¬k) tanmlamak mümkündür, burada
( ) = max
¡
j¡ j ¯¯¡ ¯¯¢
3.2 Fuzzy Say¬ Dizileri
Fuzzy say¬ dizisi kavram¬ 1986 y¬l¬nda Matloka [23] taraf¬ndan tan¬mland¬ ve baz¬ temel özellikleri incelendi. Bir fuzzy say¬ dizisi do¼gal say¬lar kümesinden tüm fuzzy say¬lar¬ kümesi (R) ye tan¬mlanan bir fonksiyondur. Bu durumda her bir pozitif tamsay¬s¬na bir () fuzzy say¬s¬ kar¸s¬l¬k gelir (uygunluk aç¬s¬ndan () yerine
yazaca¼g¬z). Nanda ([19]) yak¬nsak ve s¬n¬rl¬ dizi kavramlar¬n¬ a¸sa¼g¬daki ¸sekilde verdi. Verilen her 0 say¬s¬ için 0 oldu¼gunda ( 0) olacak ¸sekilde bir
0 2 N say¬s¬ mevcut ise () dizisi 0 say¬s¬na yak¬nsakt¬r denir ve lim
!1 = 0
yaz¬l¬r. Limitin mevcut olmamas¬ durumunda diziye ¬raksakt¬r denir. Her 2 N say¬s¬ için 1 · · 2 olacak ¸sekilde 1 ve 2 fuzzy say¬lar¬ mevcut ise = () fuzzy
say¬ dizisine s¬n¬rl¬d¬r denir. ( ) ve 1( ) ile s¬ras¬yla yak¬nsak ve s¬n¬rl¬ tüm fuzzy say¬ dizilerinin kümesini gösterece¼giz.
Örnek 3.2.1 () = 8 > > > < > > > : +2 + 2¡2+2 2 £2¡2 3 ¤ ise ¡+2 + 4+2 +2 2 £ 34+2 ¤ ise 0 di¼ger durumlarda ile tan¬mlana = () dizisi
0() = 8 > > > < > > > : ¡ 2 2 [2 3] ise ¡ + 4 2 [3 4] ise
0 di¼ger durumlarda fuzzy say¬s¬na yak¬nsakt¬r.
Skalar say¬ dizilerinin istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ Nuray ve Sava¸s ([24]) taraf¬ndan fuzzy say¬ dizilerine a¸sa¼g¬daki ¸sekilde genelle¸stirildi.
Her 0 için
lim
1
jf · : ( 0)¸ gj = 0
limiti mevcut olacak ¸sekilde 0 fuzzy say¬s¬ mevcut ise = () fuzzy say¬ dizisi 0
fuzzy say¬s¬na istatistiksel yak¬nsakt¬r denir. Yak¬nsak bir fuzzy say¬ dizisinin istatis-tiksel yak¬nsak ancak tersinin do¼gru olmad¬¼g¬ a¸sa¼g¬daki örnekde ifade edilmi¸stir.
Örnek 3.2.2 = () fuzzy say¬ dizisi () = 8 > > > > > > < > > > > > > : 2¡ (2 ¡ 1) 2£¡12 ¤ ise ¡2 + (2 + 1) 2£ + 12¤ ise 0 di¼ger durumlarda
9 > > > = > > > ; = 3 ise ( = 1 2 3 ) 0() 6= 3 ise
olarak tan¬mlans¬n, bu dizi
0() = 8 > > > < > > > : 2¡ 1 2£12 1¤ ise ¡2 + 3 2£132¤ ise
0 di¼ger durumlarda say¬s¬na istatistiksel yak¬nsakt¬r, ancak yak¬nsak de¼gildir.
Fuzzy say¬ dizlerinin kuvvetli ¡Cesàro toplanabilmesi Kwon [25] taraf¬ndan a¸sa¼g¬-daki gibi tan¬mland¬.
herhangi pozitif bir reel say¬ ve = () herhan¼gi bir fuzzy say¬ dizisi olsun.
lim !1 1 X =1 [ ( 0)] = 0
limiti sa¼glanacak ¸sekilde bir 0 fuzzy say¬s¬ varsa = () fuzzy say¬ dizisi 0 fuzzy
say¬s¬na kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsakt¬r denir. A¸sa¼g¬da kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsak bir fuzzy say¬ dizisi örne¼gi verilmi¸stir.
Örnek 3.2.3 = () fuzzy say¬ dizisi
() = 8 > > > > > > < > > > > > > : + 1 2£¡1 0¤ ise ¡ + 1 2£01 ¤ ise 0 di¼ger durumlarda
9 > > > = > > > ; = 2 ise ( = 1 2 3 ) ¹
0 di¼ger durumlarda
olarak tan¬mlan¬rsa bu dizinin ¡seviye kümesi
[] = 8 < : £¡1 1¡ ¤ = 2 ise [0 0] di¼ger durumlarda olup = 1 için lim !1 1 X =1 [ ( 0)] = 0
dir. () fuzzy say¬ dizisinin ¹0 fuzzy say¬s¬na kuvvetli ¡Cesàro toplanabilir oldu¼gu
4. DEFERRED ·ISTAT·IST·ISEL YAKINSAKLIK VE DEFERRED CESÀRO YAKINSAKLIK
Skalar dizilerin deferred Cesàro ortalamalar¬ 1932 y¬l¬nda Agnew [39] taraf¬ndan tan¬mland¬. Agnew [39] = f () : 2 Ng ve = f () : 2 Ng dizileri
() () ve lim
!1 () =1 (4.1)
özelliklerini sa¼glayan non-negatif diziler olmak üzere reel veya kompleks terimli bir = () dizisinin deferred Cesàro ortalamas¬n¬
( ) = 1 ()¡ () () X =()+1 = 1 2 3
olarak tan¬mlam¬¸s ve bu metodun regülerlik özelli¼gini sa¼glad¬¼g¬n¬ göstermi¸stir.
Son zamanlarda Küçükaslan ve Y¬lmaztürk ([32],[33]) skalar dizilerin deferred yo¼ gun-lu¼gu ve deferred istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ kavramlar¬n¬ tan¬mlad¬, bir dizinin kuvvetli deferred Cesàro ortalamas¬ ile deferred istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ aras¬ndaki ili¸skiyi in-celediler.
Bu bölümde Küçükaslan ve Y¬lmaztürk ([32],[33]) taraf¬ndan verilen skalar dizilerin deferred istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ ve kuvvetli deferred Cesàro yak¬nsakl¬¼g¬ aras¬ndaki ili¸skiyi verce¼giz.
= () reel (veya kompleks) terimli bir dizi ve = f () : 2 Ng ve =
f () : 2 Ng dizileri (41) deki ¸sartlar¬ sa¼glayan non-negatif diziler olsun. , N nin bir alt kümesi olsun ve f : () · () 2 g kümesini () ile gösterelim.
n¬n deferred yo¼gunlu¼gu
() = lim !1
1
(()¡ ())j()j ¸seklinde tan¬mlan¬r. Kolayca gösterilebilir ki
() E¼ger µ ise ()· ( )
() () = ve () = 0 ise deferred yo¼gunluk n¬n do¼gal yo¼gunlu¼gu ile ayn¬ olur.
Tan¬m 4.1[32] f () ve ()g dizileri (41) deki ba¼g¬nt¬lar¬ sa¼glayan iki dizi olsun. = () reel veya kompleks (reel) terimli bir dizi olmak üzere e¼ger her 0 için
lim
!1
1
( ()¡ ())jf () · () : j¡ j ¸ gj = 0
e¸sitli¼gi sa¼glanacak ¸sekilde say¬s¬ varsa bir = () dizisi say¬s¬na deferred ista-tistiksel yak¬nsakt¬r denir. Bu durumda ¡ lim = yaz¬l¬r. Tüm deferred
istatistiksel yak¬nsak dizilerin kümesi ile gösterilir. E¼ger () = ve () = 0
ise deferred istatistiksel yak¬nsakl¬k ile istatistiksel yak¬nsakl¬k ayn¬ olur. Yak¬nsak her dizinin deferred istatistiksel yak¬nsak oldu¼gu, fakat tersinin sa¼glanmad¬¼g¬ kolayca gösterilebilir.
Tan¬m 4.2 [32] f () ve ()g dizileri (41) deki ba¼g¬nt¬lar¬ sa¼glayan iki dizi ve = () reel veya kompleks terimli bir dizi olsun. E¼ger
lim !1 1 ()¡ () () X =()+1 j¡ j = 0
olacak ¸sekilde say¬s¬ varsa = () dizisine kuvvetli deferred Cesàro toplanabilirdir
denir. Tüm kuvvetli deferred Cesàro toplanabilirdir dizilerin kümesi [ ] ile gös-terilir. E¼ger () = ve () = 0 ise Kuvvetli deferred Cesàro toplanabilir dizilerin kümesi ile Kuvvetli Cesàro toplanabilir dizilerin kümesi ayn¬ olur.
A¸sa¼g¬daki teorem deferred istatistiksel yak¬nsakl¬k ile kuvvetli deferred Cesàro yak¬n-sakl¬k aras¬ndaki ili¸skiyi verir.
Teorem 4.3 [32] E¼ger ! ( [ ]) ise ! [ ] dir. ·Ispat: Kabul edelim ki ! olsun. Key… bir 0 için
1 ()¡ () () X =()+1 j¡ j = 1 ()¡ () () X =()+1 j¡j¸ j¡ j + 1 ()¡ () () X =()+1 j¡j j¡ j ¸ () 1 ¡ () () X =()+1 j¡j¸ j¡ j
¸ () 1
¡ ()jf : () · () j¡ j ¸ gj yazabiliriz. ! 1 için limit al¬n¬rsa,
lim
!1
1
()¡ ()jf : () · () j¡ j ¸ gj = 0
elde edilir. Bu dizisinin say¬s¬na deferred istatistiksel yak¬nsak olmas¬ demektir. Teorem 4.3 ün tersi genelde do¼gru de¼gildir. Bunun için = () dizisini ()
monoton artan bir dizi ve 0 6= 0 key… sabit bir do¼gal say¬ olmak üzere
= 8 < : 2 ° ° °p2 () ° ° ° ¡ 0 · ° ° °p2 () ° ° ° = 1 2 3
0 di¼ger durumlarda
olarak tan¬mlayal¬m. Burada kk sembolü tamde¼geri göstermektedir. E¼ger 0 () ° ° °p2 () ° ° ° ¡ 0
e¸sitsizli¼gini sa¼glayan () dizisi için [ ] metodunu göz önüne al¬rsak key… bir 0 ve ! 1 için
1
()¡ ()jf : () · () j¡ 0j ¸ gj =
0
()¡ () elde ederiz, yani ! 0 ( [ ]) dir. Di¼ger yandan ! 1 için
1 ()¡ () () X =()+1 j¡ 0j ¸ 0³°°°2 p () ° ° ° ¡ 0 ´2 ()¡ () ! 0 olup () dizisi s¬f¬ra [ ] yak¬nsak de¼gildir.
A¸sa¼g¬daki teorem = () dizisinin s¬n¬rl¬ olmas¬ durumunda deferred istatistiksel
yak¬nsak bir dizinin kuvvetli deferred Cesàro yak¬nsak oldu¼gunu ifade eder. Teorem 4.4[32] E¼ger 2 1 ve ! ( [ ]) ise ! ( [ ]) dir.
·Ispat. Kabul edelim ki 2 1 ve ! ( [ ]) olsun. Bu takdirde 8 için
1 ()¡ () () X =()+1 j¡ j = 1 ()¡ () () X =()+1 j¡j¸ j¡ j + 1 ()¡ () () X =()+1 j¡j j¡ j · ()¡ () () X =()+1 j¡j¸ 1 + ()¡ () () X =()+1 j¡j 1 · 1 ()¡ ()jf : () · () j¡ j ¸ gj + ()¡ ()jf : () · () j¡ j gj yazabiliriz. dizisi deferred istatistiksel yak¬nsak oldu¼gundan
lim !1 1 ()¡ () () X =()+1 j¡ j = 0
elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.
A¸sa¼g¬daki teoremde () veya () dizileri üzerine baz¬ k¬s¬tlamalar koyarak ista-tistiksel yak¬nsakl¬k ve deferred istaista-tistiksel yak¬nsakl¬k aras¬ndaki ba¼g¬nt¬ verilecektir.
Teorem 4.5 [32] E¼ger n
() ()¡()
o
2N dizisi s¬n¬rl¬ ise ! () olmas¬ halinde
! ( [ ]) dir.
·Ispat: E¼ger lim!1 = ve lim!1 = +1 ise lim!1 = d¬r. Bu özellik
pozitif reel say¬ dizilerinin iyi bilinen bir özelli¼gidir. Teoremin ispat¬nda bu özellikten faydalanaca¼g¬z. dizisi istatistiksel yak¬nsak oldu¼gundan her 0 için
lim
!1
1
jf : · j¡ j ¸ gj = 0 yazabiliriz. () dizisi için (4.1) sa¼gland¬¼g¬ndan
½ jf : · () j¡ j ¸ gj () ¾ 2N ! 0 d¬r. Bu nedenle
f : () · () j¡ j ¸ g ½ f : · () j¡ j ¸ g
kapsamas¬ ve
jf : () · () j¡ j ¸ gj · jf : · () j¡ j ¸ gj
e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Buradan 1 ()¡ ()jf : () · () j¡ j ¸ gj · µ 1 + () ()¡ () ¶ 1 ()jf : () · () j¡ j ¸ gj yazabiliriz. Son e¸sitsizlikte ! 1 için limit al¬n¬rsa
! ( [ ])
elde edilir.
A¸sa¼g¬daki sonuç Teorem 4.5 in bir sonucudur.
Sonuç 4.6 f ()g2N dizisi her 2 N için () olacak ¸sekilde key… bir dizi ve n
()¡()
o
2N s¬n¬rl¬ bir dizi olsun. Bu durumda ! () olmas¬ ! ( [ ])
olmas¬n¬ gerektirir.
Teorem 4.5 ve Sonuç 4.6 in tersi n ()
()¡()
o
dizisi s¬n¬rl¬ olsa bile do¼gru de¼gildir. Bunun için () = 2 ve () = 4 alal¬m ve a¸sa¼g¬daki gibi bir = () dizisi
tan¬mlayal¬m = 8 < : +1 2 tek ise, ¡2 çift ise, Aç¬kça ! 0 ( [2 4]) d¬r. Fakat key… 0 için
lim
!1
1
jf : · j¡ 0j ¸ gj 6= 0 olur.
Tan¬m 4.7[32] () ve () dizileri (41) ¸sart¬na ilave olarak n
() ()¡()
o
dizisinin s¬n¬rl¬l¬k ¸sart¬n¬ sa¼glarsa bir [ ] metoduna uygun deferred metod denir.
·Iki uygun deferred istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ metodu birbirlerini kapsamak zorunda de¼gildir. Gerçekten = () dizisi
= 8 < : + 1 = 2 + 1 ¡ = 2
¸seklinde tan¬mlan¬rsa ! 0 ( [2 4]) ve ! 12 ( [2¡ 1 4 ¡ 1]) oldu¼gu
görülür.
Teorem 4.8 [32] Her 2 N için () = olsun. Bu takdirde ! ( [ ]) olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart ! () olmas¬d¬r.
·Ispat: Farzedelim ki ! ( [ ]) olsun. Agnew in [39] verdi¼gi tekni¼gi
kullanal¬m. Bu takdirde 8 2 N için
() = (1) ¡(1)¢= (2) ¡(2)¢ = (3) yazabiliriz. Böylece ©· (1) : j¡ j ¸ ª kümesini © · (1) :j¡ j ¸ ª =©1 · (1) :j¡ j ¸ ª = ©· (1) :j¡ j ¸ ª [©(1) · : j¡ j ¸ ª olarak, ©1 · (1) :j¡ j ¸ ª kümesini © 1 · (1):j¡ j ¸ ª = ©1 · (1) :j¡ j ¸ ª = ©· (2) :j¡ j ¸ ª [©(2) · (1) :j¡ j ¸ ª olarak, ©1 · (2) : j¡ j ¸ ª kümesini © 1 · (2) :j¡ j ¸ ª = © · (2) :j¡ j ¸ ª = ©· (3) :j¡ j ¸ ª [©(3) · (2) :j¡ j ¸ ª
olarak yazabiliriz. Genel olarak ()
¸ 1 ve (+1) = 0 olacak ¸sekilde ’e ba¼gl¬ pozitif
bir 0 tamsay¬s¬ için © · (¡1) :j¡ j ¸ ª = © · ():j¡ j ¸ ª [©() · (¡1) :j¡ j ¸ ª
yazabiliriz. Buradan 8 2 N için 1 jf · : j¡ j ¸ gj = X =0 () ¡ (+1) 1 ()¡ (+1) ¯ ¯©(+1) · () :j¡ j ¸ ª¯¯
ba¼g¬nt¬s¬n¬n sa¼gland¬¼g¬ görülür. Bu ba¼g¬nt¬ ½ 1 ()¡ (+1) ¯ ¯©(+1) · () :j¡ j ¸ ª¯¯ ¾ N
dizisinin say¬s¬na istatistiksel yak¬nsak oldu¼gunu gösterir. ¸
Simdi (0) = olmak üzere
= 8 < : ()¡(+1) = 0 1 2
0 di¼ger durumlarda
matrisini gözönüne alal¬m. () matrisi Silverman-Toeplitz teoremininin ¸sartlar¬n¬
sa¼glar. Bu yüzden ! 1 iken 1 ()¡ (+1) ¯ ¯©(+1) · () :j¡ j ¸ ª¯¯! 0 oldu¼gundan lim !1 1 jf · : j¡ j ¸ gj = 0 elde edilir.
((=) () = dizisi (4.1) deki ¸sart¬ sa¼glad¬¼g¬ için teoremin tersi Teorem 4.5 in basit bir sonucudur.
5. FUZZY SAYI D·IZ·ILER·IN·IN DERECEDEN DEFERRED ·ISTAT·IS-T·IKSEL YAKINSAKLI ¼GI VE DERECEDEN KUVVETL·I ¡DEFERRED CESÀRO TOPLANAB·IL·IRL·I ¼G·I
Bu bölümde 0 · 1 olmak üzere fuzzy say¬ dizileri için dereceden deferred istatistiksel yak¬nsakl¬k ve dereceden deferred ¡Cesàro toplanabilme kavramlar¬n¬ tan¬mlayacak ve bu kavramlara ili¸skin ba¼g¬nt¬lar¬ inceleyece¼giz. Bu bölüm tezin orjinal k¬sm¬n¬ olu¸sturmaktad¬r. Bu bölümde aksi belirtilmedikçe f ()g ve f ()g dizileri (41) ba¼g¬nt¬s¬n¬ sa¼glayan iki dizi olarak göz önüne al¬nacakt¬r.
Bu k¬s¬ma dereceden deferred yo¼gunluk kavram¬n¬ vererek ba¸slayal¬m.
Tan¬m 5.1 2 (0 1] olsun, () = f : () · () 2 g olmak üzere
do¼gal say¬lar¬n bir altkümesinin dereceden deferred yo¼gunlu¼gu () () = lim
!1
1
( ()¡ ()) j()j
limitinin mevcut olmas¬ ile tan¬mlan¬r. = 1 ve () = () = 0 olmas¬ durumunda dereceden deferred yo¼gunluk kümesinin do¼gal yo¼gunlu¼guna indirgenir. N nin sonlu her altkümesinin dereceden deferred yo¼gunlu¼gu s¬f¬rd¬r ve () = 1¡ ()e¸sitli¼gi 0 1 için genelde do¼gru de¼gildir. Bu e¸sitlik sadece = 1 ve () = () = 0 olmas¬ halinde sa¼glan¬r. E¼ger bir dizi dereceden deferred yo¼gunluklu bir küme hariç di¼ger bütün lar için bir () özelli¼gini sa¼gl¬yorsa, bu dizi ya göre hemen hemen her için özelli¼gini sa¼gl¬yor denir ve () ¸seklinde gösterilir. Do¼gal say¬lar¬n
herhangi bir altkümesi ve 0 · · 1 için () ·
() oldu¼gu kolayca
gösterilebilir.
Tan¬m 5.2 = () bir fuzzy say¬ dizisi ve 2 (0 1] olsun. E¼ger
lim
!1
1
( ()¡ ()) jf () · () : ( 0)¸ gj = 0
olacak ¸sekilde bir 0 fuzzy say¬s¬ varsa = ()dizisi 0 fuzzy say¬s¬na dereceden
deferred istatistiksel yak¬nsakt¬r denir. Bu durumda ¡ lim = 0 yaz¬lacakt¬r.
dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak tüm fuzzy say¬ dizilerinin kümesi ( ) ile gösterilecektir.
Tan¬m 5.3 = () bir fuzzy say¬ dizisi, ve iki pozitif say¬ olsun. E¼ger lim !1 1 ( ()¡ ()) () X ()+1 [ ( 0)] = 0
olacak ¸sekilde bir 0fuzzy say¬s¬ varsa = ()fuzzy say¬ dizisi 0 fuzzy say¬s¬na
dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsakt¬r denir. dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak tüm fuzzy say¬ dizilerin kümesi [] ile gösterilecektir.
Teorem 5.4 2 (0 1] ise istatistiksel yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi dereceden deferred istatistiksel yak¬nsakt¬r, ancak tersi do¼gru de¼gildir.
·Ispat. Do¼gal say¬lar kümesinin sonlu her altkümesinin dereceden deferred yo¼gun-lu¼gu s¬f¬r oldu¼gundan yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi dereceden deferred istatistiksel yak¬nsakt¬r. Tersini göstermek için = () dizisini
() = 8 > > > > > > < > > > > > > : ¡ 5 5· · 6 ise ¡ + 7 6 · · 7 ise 0 di¼ger hallerde
9 > > > = > > > ; = 3 ise 0 6= 3 ise
¸seklinde tan¬mlayal¬m. in ¡seviye kümesi
[] = 8 < : [ + 5 7¡ ] = 3 ise [0 0] 6= 3ise dir. Böylece 1 ( ()¡ ()) jf () · () : ( ¹0) ¸ gj · 3 p ()¡p3 () + 1 ( ()¡ ())
yazabiliriz. Bu = () dizisinin 13 için dereceden deferred istatistiksel
yak¬nsak olmas¬ demektir. Halbuki = ()dizisi istatistiksel yak¬nsak de¼gildir. Bu
Şekil. 1: (Xk) β dereceden deferred istatistiksel yakınsak, Fakat istatistiksel yakınsak değildir.
5 7
Xk (k=n3 için)
Xk (k n3 için) 1
dereceden deferred istatistiksel yak¬nsakl¬k 2 (0 1] için iyi tan¬ml¬d¬r, ancak 1 için genelde iyi tan¬ml¬ de¼gildir. Bunun için = ()dizisini
() = 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : + 5 ¡ ¡ 3 0 ¡5 · · ¡4 ¡4 · · ¡3 di¼ger hallerde
9 > > > = > > > ; : 0, tek ise ¡ 3 ¡ + 5 0 3· · 4 4· · 5 di¼ger hallerde
9 > > > = > > > ; : 00, çift ise
¸seklinde tan¬mlayal¬m. in ¡seviye kümesi
[] = 8 < : [¡ 5 ¡3 ¡ ] : [0], tek ise [ + 3 5¡ ] : [0 0] , çift ise
olup () = 4 , () = 3 için hem lim !1 1 jf () · () : ( 0)¸ gj · lim!1 2 = 0 hem de lim !1 1 jf () · () : ( 0 0)¸ gj · lim !1 + 1 2 = 0
dir. Fakat bu mümkün de¼gildir.
A¸sa¼g¬daki teorem standart teknikler kullan¬larak kolayca ispatlanabilir, bu yüzden bu teoremi ispats¬z olarak veriyoruz.
2 (0 1] ise
() ¡ lim = ve 2 R oldu¼gunda ¡ lim =
() ¡ lim = ve ¡ lim = oldu¼gunda ¡ ¡ lim(+ ) = + ,
ve herhangi iki pozitif say¬ ise
() []¡ lim = ve 2 R oldu¼gunda []¡ lim =
() []¡lim = ve []¡lim = oldu¼gunda []¡lim(+ ) =
+ d¬r.
Teorem 5.6 0 · · 1 olsun. dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi dereceden deferred istatistiksel yak¬nsakt¬r, ancak tersi do¼gru de¼gildir.
·Ispat. = ()fuzzy say¬ dizisi dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak olsun.
Bu takdirde 0 · · 1 için 1
( ()¡ ()) jf () · () : ( 0)¸ gj
· 1
( ()¡ ()) jf () · () : ( 0)¸ gj
yazabiliriz. Buradan = () fuzzy say¬ dizisi dereceden deferred istatistiksel
yak¬nsakt¬r. Tersini göstermek için = () dizisini
() = 8 > > > > > > < > > > > > > : 0· · 1 ise ¡ + 2 1 · · 2 ise 0 di¼ger hallerde
9 > > > = > > > ; = 3 ise 0 6= 3 ise
¸seklinde tan¬mlayal¬m. in ¡seviye kümesi
[] = 8 < : [ 2¡ ] = 3 ise [0 0] 6= 3 ise
dir. Bu = () dizisinin () = 3 ¡ 1 () = 2 ¡ 1 olamak üzere 2
¡1
3 1
¤ için dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak olmas¬ demektir. Halbuki = () dizisi
() = 3¡ 1 () = 2 ¡ 1 ve 2 ¡013¤ için dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak de¼gildir. Bu durum a¸sa¼g¬daki gra…kte ifade edilmi¸stir.
Xk (k=n3 için)
Xk (k n3 için)
0 2 1
Şekil 2: (Xk) γ dereceden deferred istatistiksel yakınsak, Fakat β dereceden deferred istatistiksel yakınsak değildir
= 1 al¬rsak Teorem 5.6 dan a¸sa¼g¬daki sonucu elde ederiz.
Sonuç 5.7 0 · 1 olsun. dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi deferred istatistiksel yak¬nsakt¬r, ancak tersi do¼gru de¼gildir.
Teorem 5.8 0 · · 1 ve herhangi bir pozitif reel say¬ olsun. dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi dereceden deferred kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsakt¬r, ancak tersi do¼gru de¼gildir.
·Ispat. = ()fuzzy say¬ dizisi dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak
olsun. Bu takdirde 0 · · 1 için 1 ( ()¡ ()) () X ()+1 [ ( 0)] · 1 ( ()¡ ()) () X ()+1 [ ( 0)]
yazabiliriz. Buradan = ()fuzzy say¬ dizisi dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro
yak¬nsakt¬r. Tersini göstermek için = () dizisini
() = 8 > > > > > > < > > > > > > : ¡ 1 1· · 2 ise ¡ + 3 1· · 3 ise
0 di¼ger hallerde 9 > > > = > > > ; = 2 ise 0 6= 2 ise
¸seklinde tan¬mlayal¬m. in ¡seviye kümesi
[] = 8 < : [ + 1 3¡ ] = 2 ise [0 0] 6= 2 ise
dir. Buradan 12 · 1 için 1 ( ()¡ ()) () X ()+1 [ ( ¹0)] = 1 ( ()¡ ()) () X ()+1 [ ( ¹0)] · p ()¡p () + 1 ( ()¡ ()) ! 0 olup 2 [] fakat 0 1 2 için p ()¡p ()¡ 1 ( ()¡ ()) · 1 ( ()¡ ()) () X ()+1 [ ( ¹0)] ! 1 olup 2 [] dir.
= 1 al¬rsak Teorem 5.8 den a¸sa¼g¬daki sonucu elde ederiz.
Sonuç 5.9 0 · 1 olsun. dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsakt¬r, ancak tersi do¼gru de¼gildir.
Teorem 5.10 0 · · 1 ve herhangi bir pozitif reel say¬ olsun. derece-den kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi derecederece-den deferred istatistiksel yak¬nsakt¬r.
·Ispat. = ()fuzzy say¬ dizisi dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak
olsun. Bu takdirde 0 için
() X ()+1 [ ( 0)] = () X ()+1 (0)¸ [ ( 0)] + () X ()+1 (0) [ ( 0)] ¸ () X ()+1 (0)¸ [ ( 0)] ¸ jf () · () : [ ( 0)] ¸ gj yazabiliriz, buradan 0 · · 1 için
1 ( ()¡ ()) () X ()+1 [ ( 0)] ¸ 1 ( ()¡ ()) jf () · () : [ ( 0)] ¸ gj ¸ ( () 1 ¡ ()) jf () · () : [ ( 0)] ¸ gj
olup = ()dizisi dereceden deferred istatistiksel yak¬nsakt¬r.
= ()fuzzy say¬ dizisi s¬n¬rl¬ olsa bile Teorem 5.10 un tersi genelde sa¼glanmaz,
bunu göstermek için s¬n¬rl¬ ve dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak olan ancak dereceden deferred kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak olmayan bir fuzzy say¬ dizisi bulmam¬z gerekir. Bunun için 2 N için () = 0 ve () = alal¬m ve = ()
fuzzy say¬ dizisini
() = 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : 2p¡2p pp+1 ¡p+1 1 p +1 · · p +p+1 2pp+1 ise 2ppp+1¡2p+1 ¡p+1 p +p+1 2pp+1 · · 1 p ise
0 di¼ger hallerde
9 > > > = > > > ; 6= 3 ise ( = 1 2 3 ) ¡ 1 1· · 2 ise ¡ + 3 2 · · 3 ise 0 di¼ger hallerde
9 > > > = > > > ; = 3 ise
¸seklinde tan¬mlayal¬m. = () dizisi s¬n¬rl¬d¬r ve in ¡seviye kümesi
[] = 8 > < > : · ¡(p¡p+1)+2p 2pp+1 (p¡p+1)+2p+1 2pp+1 ¸ 6= 3 ise [1 + 3¡ ] = 3 ise olup 2¡13 1 ¤
için dereceden deferred istatistiksel yak¬nsakt¬r. ¸Simdi =f() · () : 6= 3 = 1 2 3 g diyelim. Her ¸ 2 için
P =1 1 p p e¸sitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬n¬ biliyoruz. = 1 seçelim. Bu takdirde
() X ()+1 [ ([] ¹0)] = X =1 [ ([] ¹0)] = X 2 [ ([] ¹0)] + X 2 [ ([] ¹0)] = X 2 1 p + X 2 3 X 2 1 p + X 2 1 p = X =1 1 p p
yazabiliriz, böylece 2¡012¢ için 1 ( ()¡ ()) () X ()+1 [ ([] ¹0)] = 1 X =1 [ ([] ¹0)] 1 p = 1 ¡12 ! 1, ! 1
2 [] d¬r, yani 2 ¡021¢ için () 2 ¡ [] 2 ¡1 3 1 2 ¢ dir. Bu durum a¸sa¼g¬daki gra…kte ifade edilmi¸stir.
0 8 1 7 1 6 1 5 1 2 1 3 1 2 1 1 3 X7 X6 X5 X4 X3 X2 X1= X8= X27 (k=n3 için)
Şekil. 3: (Xk) γ dereceden deferred istatistiksel yakınsak, Fakat β dereceden kuvvetli r-Cesaro toplanabilir değildir. 1
Sonuç 5.11 0 · 1 ve herhangi bir pozitif reel say¬ olsun. dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi deferred istatistiksel yak¬n-sakt¬r, fakat = () fuzzy say¬ dizisi s¬n¬rl¬ olsa bile tersi do¼gru de¼gildir.
Teorem 5.12 0 · · 1 ve lim
( ()¡ ())
0 olsun. dereceden
istatistiksel yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi dereceden deferred istatistiksel yak¬nsakt¬r. ·Ispat. = ()fuzzy say¬ dizisi dereceden istatistiksel yak¬nsak ve
lim
( ()¡ ())
0
olsun. her 0 için
f · : ( 0)¸ g ¶ f () · () : ( 0)¸ g
yazabiliriz, böylece 0 · · 1 için 1 jf · : ( 0)¸ gj ¸ ( ()¡ ()) 1 ( ()¡ ()) jf () · () : ( 0)¸ gj elde edilir. Bu = ()fuzzy say¬ dizisinin dereceden deferred istatistiksel yak¬nsak olmas¬ demektir.
= 1 al¬rsak Teorem 5.12 den a¸sa¼g¬daki sonucu elde ederiz. Sonuç 5.13 0 · 1 olsun ve lim
( ()¡ ())
0 olsun. dereceden
Teorem 5.14 0 · · 1 ve µ
() ()¡ ()
¶
dizisi s¬n¬rl¬ olsun. derece-den kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi derecederece-den kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsakt¬r.
·Ispat. = () fuzzy say¬ dizisi dereceden kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsak ve
µ
() ()¡ ()
¶
dizisi s¬n¬rl¬ olsun. Bu takdirde her 2 N için () ()
¡ () · olacak ¸sekilde pozitif bir 0 say¬s¬ vard¬r. ¸Simdi = ()fuzzy say¬ dizisinin
dereceden kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsak oldu¼gunu kabul edelim. Bu takdirde 1 ( ()¡ ()) () X ()+1 [ ( 0)] · 1 ( ()¡ ()) 2 4 () X =1 [ ( 0)]+ () X =1 [ ( 0)] 3 5 = [ ()] ( ()¡ ()) 1 [ ()] () X =1 [ ( 0)]+ µ () ()¡ () ¶ 1 [ ()] () X =1 [ ( 0)] = 1 [ ()] () X =1 [ ( 0)]+ ¡ 1 + ¢ 1 [ ()] () X =1 [ ( 0)]
yazabiliriz. = ()fuzzy say¬ dizisi dereceden kuvvetli deferred ¡Cesàro
yak¬n-sakt¬r.
= 1 al¬rsak Teorem 5.14 den a¸sa¼g¬daki sonucu elde ederiz. Sonuç 5.15 0 · 1 ve
µ
() ()¡ ()
¶
dizisi s¬n¬rl¬ olsun olsun. dereceden kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi kuvvetli deferred ¡Cesàro yak¬nsak-t¬r.
A¸sa¼g¬daki teoremde f ()g ve f ()g dizilerinin üzerindeki ¸sartlar¬ de¼gi¸stirerek Teorem 5.14 ile ayn¬ teoremi veriyoruz.
Teorem 5.16 0 · · 1 ve µ
() + () ()¡ ()
¶
dizisi s¬n¬rl¬ olsun olsun. dereceden kuvvetli ¡Cesàro yak¬nsak her fuzzy say¬ dizisi dereceden kuvvetli de-ferred ¡Cesàro yak¬nsakt¬r.
·Ispat. ·Ispat Teorem 5.14 ve () + () ()¡ () = ( ()¡ ()) + 2 () ()¡ () = 1 + 2 () ()¡ ()
