SOYUT LİNEER OPERATÖR İÇEREN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SINIR-GEÇİŞ
ŞARTLARI ALTINDA ÜRETTİĞİ BİR SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN BAZI SPEKTRAL ÖZELLİKLERİ (*)
Bu çalışmada bir diferansiyel operatör sınır-değer-geçiş probleminin bazı spektral özellikleri araştırıldı. Altı bölümden oluşan bu çalışmanın "Giriş" bölümünde araştırılan konunun güncelliği, ele alınma nedeni ve uygulama alanları hakkında kısa bilgi verildi. "Literatür özeti" bölümünde özdeğer parametresi içeren lineer diferansiyel denklemler için sınır-değer problemlerinin genel tarihine değinildi. "Genel Bilgiler" kısmında ise kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. "Bulgular" bölümünde problemle ilgili olan yardımcı başlangıç-değer problemleri incelenerek, ele alınan problem için temel çözüm fonksiyonları tanımlandı ve bu fonksiyonlar için asimptotik formüller elde edildi. Daha sonra bu formüllerden yararlanarak özdeğerler ve özfonksiyonlar için asimptotik formüller bulundu. Çalışmanın orijinal kısmı olan son bölümde ise denkleminde soyut lineer operatör bulunduran sınır-değer-geçiş probleminin özdeğerleri için asimptotik formüller bulundu. "Sonuç ve Öneriler" bölümünde ise araştırmadan çıkarılabilecek sonuçlardan bahsedilmiştir.
Anahtar kelimeler: Sturm-Liouville Problemleri, Sınır Şartları, Özdeğerler, Özfonksiyonlar, Özdeğerlerin Asimptotik Davranışları, Soyut Lineer Operatör.
(*) Bu çalışma Gaziosmanpaşa Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Komisyonu tarafından desteklenmiştir. (Proje No:2009/64)
SOME SPECTRAL PROPERTIES OF ONE BOUNDARY-VALUE PROBLEM CONSISTING OF DIFFERANTIAL EQUATION
WITH ABSTRACT LINEER OPERATOR AND BOUNDARY-TRANSMISSION CONDITIONS
In this thesis, some spectral properties of one differential-operator boundary value transmission problem is studied. The thesis contains six chapters. For the beginning a brief remarks has been given about the reason of having this subject,currency of problem and the applications of discussed subject. In the "Literature" chapter general information is given from the past studies of the boundary-value problems for the linear differential equations having eigenvalue parameters. The general definitions and theorems related to the main subject of our thesis are stated in the chapter of "General Knowledge". In the chapter of "Findings" by examining some auxiliary initial-value problems we defined fundamental solutions for our problem and derived asymptotic formulas for these solutions. And afterwards these formulas are used to establish the asymptotic formulas for the eigenvalues and eigenfunction. Presenting the asymptotic formulas for the eigenvalue of the boundary value transmission problem which contains abstract linear operator in its equation is the original part of this study and stated in the fifth chapter. And finally, in the chapter of "Results and Suggestions" some pointed remarks which can be reached in the later studies are made.
Key words: Sturm-Liouville Problems, Boundary Conditions, Eigenvalues, Eigenfunction, Asymptotic Behaviour of Eigenvalues, Abstract Linear Operator.
Onur verici bu çalışmayı hazırlamamda bilgisini, desteğini, zamanını esirgemeyen değerli hocamız Prof. Dr. Oktay MUHTAROĞLU’ na, her konuda yardımcı olan ve bilgilerini benimle paylaşan Arş. Gör. Kadriye AYDEMİR’e ve Arş. Gör. Hayati OLĞAR’a, lisans ve yüksek lisans eğitimim boyunca emeği geçen bütün bölümümüz hocalarına, canım anneme, canım babama ve desteklerini kalbimde hissettiğim herkese, 2009/64 nolu Bilimsel Araştırma Projesi olarak maddi anlamda destekleyen Gaziosmanpaşa Üniversitesi’ne sonsuz teşekkürler.
Merve ÇOĞAN Ocak 2011
ÖZET . . . i
ABSTRACT . . . ii
ÖNSÖZ . . . iii
1. GİRİŞ . . . 1
2. GENEL BİLGİLER . . . 2
2.1 Klasik Sturm-Liouville Problemleri . . . 2
2.2 Hilbert Uzaylarında Lineer Operatörler . . . 4
2.3 Ters Diferansiyel Operatörler ve Green Fonksiyonu . . . 5
2.4 Kompleks Fonksiyonların Sıfır Yerlerinin Sayısı . . . 9
2.5 Mutlak Sürekli Fonksiyonlar . . . 10
2.6 Başlangıç-Değer Probleminin Çözümünün Varlığı, Tekliği ve Özdeğer Parametresine Göre Tam Fonksiyonu Olma Özelliği . . . 10
2.7 Asimptotik İfadeler . . . 11
2.8 Yansımalı Lineer Normlu Uzaylar . . . 12
2.9 Rezolvent, Sınırlı ve Kompakt Operatörler, Kompakt Gömülmeler . 13 2.10 Sobolev Uzayları ve Diskret Spektrumlu Operatörler . . . 14
3. METOTLAR . . . 18
4. BULGULAR . . . 19
4.1 Sınır Değer Probleminin İfadesi ve Karşılaştırma Teoremi . . . 19
4.2 Problemin Operatör-Teorik Yorumu . . . 29
4.3 Probleme Uygun A Operatörünün Simetrikliği . . . 30
4.4 Başlangıç-Değer Problemleri ve Çözümleri . . . 32
4.5 Temel Çözümler ve Eşdeğer İntegral Denklemler . . . 42
4.6 Temel Çözümlerin Özdeğer Parametresine Göre Asimptotik Davranışı 47 4.7 Karakteristik Fonksiyonun Tanımlanmasıve Asimptotik Davranışı . 60 4.8 Özdeğerler Dizisinin Asimptotik Davranışları . . . 67
4.9 Özfonksiyonların Asimptotik Davranışları . . . 71
4.10 Sınır-Değer-Geçiş Probleminin Rezolventi ve Green Fonksiyonu . . . 79
4.11 Diferansiyel Operatör Sınır-Değer-Geçiş Probleminin İzomorfluğu, Özdeğerlerinin Asimptotiği . . . 87
4.11.1 Sınır-Değer-Geçiş Probleminin İzomorfluğu . . . 87
4.11.2 Esas Diferansiyel Kısmına Göre Kompakt Olan Operatörle Etkilenmiş Sınır-Değer-Geçiş Probleminin Özdeğerlerinin Asimptotiği . . . 93
5. SONUÇ VE ÖNERİLER . . . 100 iv
Matematiksel fizik problemlerinin çözümü için uygulanan bazı yöntemler, uygun adi diferansiyel denklemler için sınır-değer problemlerinin spektral özelliklerinin araştırılmasını gerektirmektedir. Bu özelliklere örnek olarak özdeğer ve özfonksiyonların asimptotiğinin bulunması, Green fonksiyonunun inşa edilmesi v.b. özellikler gösterilebilir.
Bu tez çalışmasının esas konusu da bir diferansiyel operatör sınır-değer-geçiş problemi için yukarıda bahsedilen özelliklerin incelenmesidir. Verilen denklemin sadece diferansiyel ifadeleri değil ayrıca da B soyut lineer operatörünü içermesi ve verilen aralıkta süreksizlik noktasının bulunması ve de bu süreksizlik noktasında problemin geçiş şartları ile birlikte verilmesinden dolayı klasik Sturm-Liouville problemlerinden farklıdır. Ayrıca, denkleminde soyut lineer operatörün (genel olarak sınırlı olmayan) bulunması tez konusu olan sınır-değer probleminin uygulama alanını teorik ve pratik açıdan çok büyük ölçüde genişletmektedir.
2.1 Klasik Sturm-Liouville Problemleri L diferansiyel operatörü Ly = − d dx p(x)dy dx + q(x)y (2.1.1)
olarak tanımlanırsa, λ, x’ den bağımsız bir parametre olmak üzere d dx p(x)dy dx − q(x)y + λρ(x)y = 0, a ≤ x ≤ b (2.1.2)
şeklindeki diferansiyel denklem ailesi bu operatör yardımıyla
Ly − λρ(x)y = 0 (2.1.3)
biçiminde de yazılabilir. Burada L’ye ikinci mertebeden lineer diferansiyel operatör, λ sayısına spektral parametre, q(x) fonksiyonuna ise potansiyel fonksiyonu denir (Hasanov ve ark., 2002). Bu diferansiyel denklemin
U1y = A1y(a) + B1y0(a) = 0
U2y = A2y(b) + B2y0(b) = 0 (2.1.4)
sınır koşullarını sağlayan çözümünün bulunmasına Sturm-Liouville sınır-değer problemi adı verilir. Burada A1, A2, B1, B2 reel sabitler olup A21 + B12 6= 0,
A2
2 + B22 6= 0 koşulları sağlanmaktadır. Özel olarak, B1 = 0, B2 = 0 için 2.1.4
şartları
y(a) = y(b) = 0
ile tanımlı Dirichlet şartlarına, A1 = 0, A2 = 0 olduğu durumda ise
ile belirli Neumann sınır şartlarına indirgenmektedir. Eğer x ∈ [a, b] aralığında p(x) 6= 0 ise ve p0(x) varsa, 2.1.1 denklemi,
y00+ p(x)y0 + q(x)y = 0 (2.1.5)
biçimindeki denkleme indirgenebilir. Öte yandan a0(x) 6= 0 için
a0(x)y00+ a1(x)y0+ a2(x)y = 0 (2.1.6)
şeklindeki ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemini 2.1.2 şekline dönüştürmek mümkündür. Bunun için a1(x) ve a2(x)’ in sürekli olduğunu varsayarak 2.1.6’ nın
her iki tarafını
µ(x) = 1 a0(x) exp Z a 1(x) a0(x) dx 6= 0 (2.1.7)
ifadesi ile çarpılırsa,
exp Z a1(x) a0(x) dx y00+ a1(x) a0(x) exp Z a1(x) a0(x) dx y0+ a2(x) a0(x) exp Z a 1(x) a0(x) dx y = 0. (2.1.8) Şimdi p(x) = exp Z a1(x) a0(x) dx , q(x) = a2(x) a0(x) exp Z a1(x) a0(x) dx (2.1.9)
tanımları altında 2.1.8 denklemi d dx p(x)dy dx + q(x)y = 0
olarak yazılabilir. Bu da, 2.1.2 denkleminin ρ(x) ≡ 0’ a karşı düşen bir özel halidir. Homojen denklemin λ’ nın herhangi bir değerinde 2.1.4 homojen sınır koşullarını sağlayan sıfırdan farklı çözümü varsa, λ’ nın bu değerine verilmiş sınır-değer probleminin özdeğeri, bu özdeğere karşı gelen çözüme ise öz fonksiyon denir. Özdeğerlerinin oluşturduğu kümeye, verilmiş sınır-değer probleminin spektrumu denir (Hasanov ve ark., 2002).
Tanım 2.1.1. Aşağıdaki koşulları taşıyan 2.1.3- 2.1.4 Sturm-Liouville problemine, regüler Sturm-Liouville sınır-değer problemi adı verilir:
a) p(x) > 0, ρ(x) > 0, x ∈ [a, b] b) p0(x), [a, b] aralığında süreklidir,
c) q(x) ve ρ(x) fonksiyonları [a,b] aralığında süreklidir, d) −∞ < a < b < ∞.
Bu koşullardan herhangi biri bozulduğunda, verilmiş probleme tekil (singüler) Sturm-Liouville problemi denir.
2.2 Hilbert Uzaylarında Lineer Operatörler
Tanım 2.2.1. E lineer normlu uzay ve A : E → E lineer operatör olsun. A operatörünün tanım kümesi E’nin yoğun bir alt kümesi ise yani, D(A) = E ise A lineer operatörüne her yerde yoğun olarak tanımlı olan operatör denir (Debnath ve Mikusiński, 2005).
Tanım 2.2.2. H Hilbert uzayında, her yerde yoğun olarak tanımlı olan A lineer operatörü verilsin. Tanım bölgesi
D(A∗) = {y ∈ H | f (x) =< Ax, y > ile tanımlı f lineer fonksiyoneli D(A)’ da süreklidir.}
olan ve ∀x ∈ D(A) ve ∀y ∈ D(A∗),
< Ax, y >=< x, A∗y >
eşitliğini sağlayan A∗ lineer operatörüne A’nın eşleniği denir.
Tanım 2.2.3. A, H Hilbert uzayında yoğun olarak tanımlı bir lineer operatör olsun. Eğer A = A∗ise A’ya kendine eşlenik operatör denir (Debnath ve Mikusiński, 2005). Tanım 2.2.4. ∀x, y ∈ D(A),
ise H Hilbert uzayında yoğun olarak tanımlı A operatörüne simetriktir denir. Her kendine eşlenik operatörün simetrik olduğu bilinmektedir (Debnath ve Mikusiński, 2005).
Tanım 2.2.5. E1, E2 lineer normlu uzaylar ve tanım kümesi D(A) ⊂ E1, değer
kümesi R(A) ⊂ E2 olacak biçimde A : E1 → E2 lineer operatörü verilsin. O halde
G(A) = {(x, Ax) : x ∈ D(A)}
ile tanımlı G(A) ⊂ E1 × E2 kümesine A operatörünün grafiği denir. A lineer ve
D(A)’nın vektör uzayı kabulünden G(A) vektör uzayıdır. A operatörünün grafiği E1× E2’de kapalı ise A operatörüne bir kapalı lineer operatör denir. A : E1 −→ E2
operatörünün grafiğinin kapalı olması için gerek ve yeter şart xn∈ D(A), xn−→ x
ve Axn −→ y şartlarını sağlayan x ∈ D(A) ve Ax = y olmasıdır (Debnath ve
Mikusiński, 2005).
2.3 Ters Diferansiyel Operatörler ve Green Fonksiyonu
Adi diferansiyel denklemler için
Lu = f (2.3.1)
operatör şeklinde yazılabilir. Verilen sınır şartları ile birlikte bu eşitliği sağlayan bir u çözümünü araştırırız. D(L) sınır şartlarını sağlayan fonksiyonların uzayı olarak tanımlanırsa, bu taktirde problem, D(L)’deki 3.3.1 denkleminin bir çözümünü bulmaya indirgenir. Problemi çözmek için bir yol, L−1ters operatörünü aramaktır. L−1 bulunabiliyorsa 3.3.1’in çözümü u = L−1(f ) olarak elde edilir.
u = (L−1f )(x) = Z b
a
G(x, t)f (t)dt
şeklinde bir integral operatördür. G fonksiyonuna L operatörünün Green fonksiyonu denir.
Teorem 2.3.1. (Abel Formülü) u ve v fonksiyonları [a,b] aralığında
Lu + λωu = (pu0)0+ qu + λwu = 0
denkleminin iki çözümü ise bu taktirde
p(x)W (x; u, v) = constant
(W , Wronskian’ dır) (Debnath ve Mikusiński, 2005).
Teorem 2.3.2. Aşağıdaki regüler Sturm-Liouville problemi için λ = 0 sayısının bir özdeğer olmadığını kabul edelim:
Lu = (p(x)u0)0+ q(x)u = f (x), a ≤ x ≤ b (2.3.2)
a1u(a) + a2u0(a) = 0 (2.3.3)
b1u(b) + b2u0(b) = 0 (2.3.4)
Burada, p ve q [a, b] aralığında sürekli reel değerli fonksiyonlardır. p > 0, p0(x) var ve [a, b] aralığında süreklidir (a1, a2, b1, b2 reel sayılar olacak şekilde a21 + a22 > 0,
b2
1+ b22 > 0). Bu taktirde u1 ve u2 fonksiyonları
(p(x)u0)0+ q(x)u = 0
denkleminden ve 3.3.3 ve 3.3.4 sınır şartlarından oluşan homojen sistemin lineer bağımsız çözümleri olsun.
G(x, t) = u2(x) u1(t) p(t)W (t) , a ≤ t < x u1(x) u2(t) p(t)W (t) , x < t ≤ b
ile verilen G(x, t) Green fonksiyonu olmak üzere her bir f ∈ C[a, b] için sistem
u(x) = Z b
a
şeklinde bir tek çözüme sahiptir; W (t) = u1(t)u02(t) − u2(t)u01(t) Wronskian’dır
(Debnath ve Mikusiński, 2005).
İspat . Lu = 0 homojen denkleminin lineer bağımsız iki çözümü u1, u2; 3.3.2
denkleminin herhangi bir özel çözümü ise upolsun. O halde adi diferansiyel denklemler
teorisine göre 3.3.2 denkleminin genel çözümü c1, c2 sabitler olmak üzere,
u(x) = c1u1(x) + c2u2(x) + up(x)
şeklindedir. up özel çözümü parametre değiştirme metodu ile bulunabilir. v1 ve v2
belirlenecek fonksiyonlar olmak üzere
up(x) = v1(x)u1(x) + v2(x)u2(x)
şeklinde bir çözüm araştırırız. up, 3.3.2 sağladığından v1 ve v2 fonksiyonlarının
sonsuz çoklukta çifti olduğu bilinmektedir. Biz bu fonksiyonların
v10u1+ v20u2 = 0 (2.3.5)
eşitliğini de sağlamasını talep edeceğiz. Buradan,
u0p = v1u01+ v2u02 ve u00p = v1u001 + v2u002+ v 0 1u 0 1+ v 0 2u 0 2
3.3.2’de yerine konularak,
v1(pu001 + p 0u0 1+ qu1) + v2(pu002 + p 0u0 2+ qu2) + p(v01u 0 1+ v 0 2u 0 2) = f elde edilir.
u1 ve u2 homojen denklemin çözümleri olduğu için yukarıdaki sonuçta
v10u01+ v20u02 = f
olabilmesi için ilk iki terim sıfır olur. v01 ve v02, 3.3.5 ve 3.3.6 eşitlikleri çözülerek v10(x) = − f (x)u2(x) p(x)W (x; u1, u2) ve v02(x) = f (x)u1(x) p(x)W (x; u1, u2) (2.3.7) elde edilir. Wronskian’ın [a, b] aralığının herhangi noktasında sıfır olmadığını gösterelim. ξ noktasında Wroskian’ın sıfır olduğunu kabul edelim. Bu taktirde
αu1(ξ) + βu2(ξ) = 0
αu01(ξ) + βu02(ξ) = 0
denklem sistemi, aşikar olmayan bir çözüme sahiptir öyleki α ve β aynı anda sıfır değildir. g = αu1+ βu2 fonksiyonu
(p(x)u0)0+ q(x)u = 0
g(ξ) = g0(ξ) = 0
başlangıç-değer probleminin bir çözümüdür. Fakat yukarıdaki problemin sadece aşikar çözümü vardır ve bu yüzden g = 0 dır. Bu kabulün tersine u1 ve u2
fonksiyonlarının lineer bağımlı olduğu anlamına gelir. Abel formülünden, p(x)W (x; u1, u2) sabittir. W [a,b] aralığında sıfır olmadığı için, sabit sıfır değildir
(p>0).
c = 1
p(x)W (x; u1, u2)
ile gösterilsin. 3.3.7 diferansiyel denklemi integrallenerek,
v1(x) = − Z cf (x)u2(x)dx ve v2(x) = Z cf (x)u1(x)dx elde edilir ve up(x) = −cu1(x) Z x b f (t)u2(t)dt + cu2(x) Z x a f (t)u1(t)dt = Z x a cu2(x)u1(t)f (t)dt + Z b x cu1(x)u2(t)f (t)dt.
Sonuç olarak, G(x, t) = cu2(x) u1(t) , a ≤ t < x cu1(x) u2(t) , x < t ≤ b
olarak Green fonksiyonu tanımlanırsa
up(x) =
Z b
a
G(x, t)f (t)dt
yazılabilir (Ancak integral varsa). Ayrıca Teorem 3.3.2’de tanımlanan integral operatörü T ile gösterilir, yani
(T f )(x) = Z b
a
G(x, t)f (t)dt.
2.4 Kompleks Fonksiyonların Sıfır Yerlerinin Sayısı
Tanım 2.4.1. f fonksiyonu, z0’ın bir komşuluğunun her noktasında
diferansiyellenebilirse, f fonksiyonuna z0’da analitiktir denir. Eğer f , bir S
bölgesinin her noktasında analitik ise f fonksiyonuna S’de analitiktir denir. Bütün kompleks sayıların cümlesinde analitik olan fonksiyona tam fonksiyon denir (Cain, 1999).
f : C −→ C ile tanımlı f (z) fonksiyonu ve z0 ∈ C noktası verildiğinde
f (z0) = f0(z0) = ... = f(k−1)(z0) = 0, f(k)(z0) 6= 0
ise bu durumda z = z0 noktasına f (z) fonksiyonunun k katlı sıfır yeri denir.
Sıfırdan farklı tam fonksiyonların herbir sıfır yerinin sonlu katlı olduğu kompleks analizden bilinmektedir (Ulucay, 1971).
Teorem 2.4.1. (Rouche Teoremi) f (z) ve g(z) kompleks fonksiyonları kapalı düzlenebilir Jordan eğrisi olan Γ üzerinde ve içinde analitiklerse ve her z ∈ Γ
için,
|f (z)| > |g(z)|
şartı sağlanıyorsa; o halde Γ eğrisinin içinde f (z) + g(z) fonksiyonunun sıfır yerlerinin sayısı ile f (z) fonksiyonunun sıfır yerlerinin sayısı (her sıfır yeri katı sayıda hesaplanmak üzere) eşittir (Ulucay, 1971).
2.5 Mutlak Sürekli Fonksiyonlar
Tanım 2.5.1. f : [a, b] → R fonksiyonu verilsin. Eğer ∀ε > 0 için öyle δ > 0 sayısı varsa ki,
n
X
k=1
|hk| < δ
şartını sağlayan her sonlu sayıda [xk, xk+ hk] aralıkları için n
X
k=1
|f (xk+ hk) − f (xk)| < ε
olsun, o halde f fonksiyonuna [a,b] kapalı aralığında mutlak süreklidir denir (Balcı, 2000 ).
Teorem 2.5.1. f fonksiyonu [a, b] de mutlak sürekli ise [a, b] nin hemen-hemen her noktasında türevlenebilirdir (Balcı, 2000 ).
2.6 Başlangıç-Değer Probleminin Çözümünün Varlığı , Tekliği ve Özdeğer Parametresine Göre Tam Fonksiyonu Olma Özelliği
Teorem 2.6.1. q : [a, b] −→ R fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olsun. O halde
diferansiyel denkleminin
u(a) = sin α, u0(a) = − cos α α ∈ [0, π)
sınır şartlarını sağlayan bir tek u(x, λ) çözümü vardır ve bu çözüm her x ∈ [a, b] için λ ∈ C parametresinin tam fonksiyonudur (Titchmarsh, 1939).
2.7 Asimptotik İfadeler
Kompleks düzlemin herhangi G ⊂ C bölgesinde tanımlı olan f (z), g(z) ve h(z) fonksiyonları verilsin. Eğer f (z) = g(z)α(z) ve
lim
z→z0, z∈G
α(z) = 0
olacak şekilde α(z) : C → C fonksiyonu varsa
f (z) = o(g(z)), z ∈ G, z −→ z0 (2.7.1)
yazılır ve f (z) fonksiyonu z0 noktasının yakın komşuluğunda g(z)’ye göre sonsuz
küçüktür denir. f (z)g(z) fonksiyonu z0 noktasının herhangi komşuluğunda sınırlı ise,
yani eğer z0-ın öyle komşuluğu ve öyle M>0 varsa ki bu komşulukta
|f (z)| ≤ M |g(z)| olsun. O halde f (z) = O(g(z)), z ∈ G, z −→ z0 (2.7.2) yazılır. Eğer f (z) − h(z) = O(g(z)), z ∈ G, z −→ ∞ ise f (z) = h(z) + O(g(z)), z ∈ G, z −→ ∞ (2.7.3)
yazılabilir. Eğer lim z→z0 f (z) g(z) = 1 ise f (z) ∼ g(z), z ∈ G, z −→ z0 (2.7.4)
yazılır. Hangi G bölgesinden bahsedildiği açık şekilde bilinirse bazen z ∈ G ifadesi yazılmaz.
3.7.1 − 3.7.4 şeklindeki formüllere asimptotik formüller denir (Titchmars, 1962). İlerideki işlemler için aşağıdaki özelliklerin varlığını gözönüne almalıyız .
(i) O(a(n))O(b(n)) = O(a(n)b(n)) (Çarpma)
(ii) O(a(n)) + O(b(n)) = O(max{a(n), b(n)}) (Toplama) (iii) O(kb(n)) = O(b(n)), k 6= 0 (Bir sabit ile çarpma) (iv) O(k + b(n)) = O(b(n)) (Bir sabit ile toplama)
2.8 Yansımalı Lineer Normlu Uzaylar
K (K = R veya C) cismi üzerinde E lineer normlu uzayı verilsin. f : E → K lineer sürekli fonksiyonelleri
kf k = sup
kxkE≤1
|f (x)|
normu altında lineer normlu uzay oluşturmaktadır. Bu uzay E∗ ile gösterilir ve bu uzaya E’nin eşlenik uzayı denir. E∗ ın bir Banach uzayı olduğu iyi bilinmektedir. E∗ eşlenik uzayı da lineer normlu uzay olduğu için onun eşleniğinden bahsedebiliriz. (E∗)∗ uzayı E∗∗ ile gösterilir. ∀x ∈ E için Fx ∈ E∗∗ ile göstereceğimiz elemanını
aşağıdaki biçimde tanımlayalım:
Fx(f ) = f (x).
Böylece ∀x ∈ E bir Fx ∈ E∗∗ üretiyor ve ϕ : E → E∗∗ ϕ(x) = Fx gibi bir dönüşüm
izomorf ve izometrik bir dönüşüm olduğundan bu anlamda ( yani E ile ϕ(E) yi özdeş olarak kabul ederek) E ⊂ E∗∗ yazılır. Bu anlamda eğer ϕ(E) = E∗∗ oluyorsa yani E = E∗∗ oluyorsa, E’ye yansımalı uzay denir.
2.9 Rezolvent, Sınırlı ve Kompakt Operatörler, Kompakt Gömülmeler
Tanım 2.9.1. E lineer normlu uzayında tanımlı bir A operatörü verilsin. Eğer
Aλ = (A − λI)−1
ters operatörü mevcutsa bu operatöre A operatörünün rezolventi denir. Aλ sınırlı
bir operatör ve bütün E uzayında tanımlı olması durumunda λ değerlerine A operatörünün regüler değeri denir. A operatörünün bütün regüler değerler cümlesine rezolvent cümlesi denir ve ρ(A) ile gösterilir. C kompleks sayılar cümlesinde ρ(A)’nın tümleyenine A operatörünün spektrumu denir. σ(A) ile gösterilir (Debnath ve Mikusiński, 2005).
Tanım 2.9.2. A, H Hilbert uzayında lineer operatör olsun. H’de her (xn) sınırlı
dizisi için, eğer (Axn) dizisinin yakınsak bir alt dizisi varsa A lineer operatörüne
kompakt operatör denir (Debnath ve Mikusiński, 2005).
Tanım 2.9.3. X ve Y lineer normlu uzaylar ve A : X → Y operatörü verilsin. Eğer her M ⊂ D(A) sınırlı kümesi için A(M ) = {Ax|x ∈ M } kümesi sınırlı ise A operatörüne sınırlı operatör denir.
A operatörü lineer olduğu durumda onun sınırlı olması için gerek ve yeter şart öyle C > 0 sayısının mevcut olmasıdır ki, ∀x ∈ D(A) için
k A(x) k≤ C k x k
sağlansın (Musayev ve Alp, 2000).
Tanım 2.9.4. X ve Y Banach uzayları olsun. Bire-bir ve cebirsel işlemleri koruyan J : X −→ Y dönüşümü verilmişse, o halde X, Y ’ ye gömülmüştür denir. J (X)
ile X aynı uzaylar olarak kabul edilir ve X ⊂ Y olarak gösterilir. J operatörüne ise gömülme operatörü denir (Kreyszig, 1989).
J : X −→ Y gömülme operatörü sürekli ise X ⊂ Y gömülmesine de sürekli gömülme denir (Triebel, 1978).
J : X −→ Y gömülme operatörü kompakt ise X ⊂ Y gömülmesi de kompakt gömülme olarak adlandırılır (Triebel, 1978).
Eğer J (X) görüntü kümesi, Y ’ de her yerde yoğun ise X ⊂ Y gömülmesi de her yerde yoğundur denir (Triebel, 1978) .
Lemma 2.9.1. Aşağıdaki şartların sağlandığını kabul edelim.
1) X ve Y bazları bulunan birer Banach uzaylarıdır ve X yansımalıdır.
2) X ⊂ Y gömülmesi her yerde yoğun ve süreklidir.
3) B : X −→ Y operatörü kompakttır.
O halde her ε > 0 ıçin öyle C(ε) > 0 sayısı vardır ki ∀u ∈ X için
kBukY ≤ ε kukX + C(ε) kukY
eşitsizliği sağlanır (Yakubov, 1994).
2.10 Sobolev Uzayları ve Diskret Spektrumlu Operatörler
u(x) ve v(x) fonksiyonları (a, b) aralığında tanımlı ve lokal integrallenebilir olsun. Eğer sonsuz mertebeden diferansiyellenebilir ve
şartını sağlayan her ϕ(x) fonksiyonu için Z b a u(x)ϕ(n)(x)dx = (−1)n Z b a v(x)ϕ(x)dx
eşitliği sağlanırsa v(x) fonksiyonuna u(x) fonksiyonunun n (n ∈ N) mertebeden genelleştirilmiş türevi denir (Triebel, 1978).
(a, b) ⊂ R aralığı q > 1 reel sayısı ve m > 0 tamsayısı verildiğinde Wm q (a, b)
ile (a, b) aralığında Lebesque anlamında ölçülebilir ve u0(x), u00(x), ...., u(m)(x)
genelleştirilmiş türevleri bulunan ve her k = 1, 2, ...., m için u(k)∈ L
2(a, b) olan
fonksiyonların lineer uzayını gösterelim. Bu uzayda
hu, viWm 2 (a,b) = m X k=0 h u(k) , v(k) i L2(a,b) !12
formülü bir iç çarpım tanımlar. Bu uzaylara Sobolev uzayları denir. Bu uzayların Hilbert uzayları olduğu bilinmektedir (Triebel, 1978). L2(a, b) yerine bazen
W0
2(a, b) yazacağız.
H Hilbert uzayı ve A : H −→ H kapalı operatör olsun. A : H −→ H, D(A) = H olacak şekilde sınırlı olmayan A lineer kapalı operatörü verilsin. Eğer en az bir λ = λ0 için R(λ, A) = (A − λI)−1 mevcut ve kompakt ise A-ya diskret spektrumlu
operatör denir (Kato, 1966).
λ = λ0 sayısı A operatörünün özdeğeri olduğunda
Ker(A − λ0I)n= {u ∈ D(A) | u 6= 0, (A − λ0I)nu = 0} olmak üzere mλ0(A) = ∞ [ n=1 Ker(A − λ0I)n
kümesi A operatörünün λ0 özdeğerine uygun kök lineali, bu küme kapalı olduğu
durumda ise kök alt uzayı olarak adlandırılır. Bu kümenin elemanlarına ise kök vektörleri veya kök elemanları denir. mλ0(A) kümesinin boyutuna ise λ0özdeğerlerinin
m sayısına f vektörünün katı denir. Bu sayıyı m(f ) ile gösterelim. Eğer m(f ) = 1 ise f kök vektörü özvektördür. Eğer f kök vektörü için m(f ) > 1 ise böyle kök vektörüne şerik vektör denir.
Eğer A operatörü diskret spektrumlu ise o halde A operatörünün spektrumu sonlu veya sayılabilir sayıda özdeğerden oluşmaktadır, her özdeğerin uygun kök altuzayı sonlu boyutludur ve spektruma ait olmayan ( bu durumda özdeğer olmayan) her λ için R(λ, A) kompakt operatördür ve özdeğerlerin sonlu yığılma noktası bulunmaz.
A operatörünün {λ ∈ C | |λ| ≤ r} kapalı yuvarında bulunan özdeğerlerin katlarının toplamı N (r, A) ile gösterilecektir. N (r, A) fonksiyonuna A operatörünün özdeğerlerinin dağılım fonksiyonu denir (Triebel, 1978).
φ ⊂ C herhangi küme olduğunda
N (r, φ, A) = X
|λj(A)|≤r, λ∈φ
1 (2.10.1)
şeklindeki gösterimi kullanılacaktır. Ψ±α = {λ ∈ C : | arg(±λ)| < α} olduğunda N (r , Ψ±α , A) yerine N±(r , α , A) yazacağız. R+ve R− uygun olarak pozitif ve
negatif reel sayılar kümesini gösterdiğinde N (r , R±, A) yerine sadece N±(r , A)
yazacağız.
Teorem 2.10.1. Eğer hiç olmazsa bir tane λ0 ∈ ρ(A) için R(λ0, A) rezolventi
kompakt operatör ise A operatörü diskret spektrumludur (Kato, 1966).
Teorem 2.10.2. A : H −→ H operatörü kendine eşlenik ise, o halde A diskret spektrumlu operatör olması için gerek ve yeter şart R(λ, A) rezolvent operatörünün kompakt operatör olmasıdır (Kato, 1966).
A operatörü diskret spektrumlu olduğunda onun özdeğerlerinin
|λ1| ≤ |λ2| ≤ |λ3| ≤ ...
şeklinde mutlak değerlerinin azalmayan sırasına göre sıralandığını kabul edeceğiz (Bu durumda, her özdeğerin katı sayıda yazıldığını da kabul ediyoruz.).
Tanım 2.10.1. Eğer A : H −→ H lineer operatörünün hiç olmazsa bir tane λ regular değeri mevcutsa ve D(A) ⊂ D(B) olacak şekilde B : H −→ H lineer operatörü için BR(λ, A) operatörü kompakt ise o halde B operatörüne A operatörüne göre kompakt operatör denir.
Teorem 2.10.3. Eğer S diskret spektrumlu kendine eşlenik operatör ise, o halde S’ ye göre kompakt olan her lineer B operatörü için S + B de diskret spektrumludur (Gohberg ve Krein , 1969).
Teorem 2.10.4. S kendine eşlenik diskret spektrumlu lineer bir opeatör ve S’ ye göre kompakt olan B lineer operatör olsun. Eğer S operatörünün sonsuz sayıda pozitif özdeğeri varsa ve
lim r −→ ∞ ε −→ 0 N+(r(1 + ε), S) N+(r, S) = 1
ise o halde 0 < α < π2 olacak şekilde her α sayısı için
lim
r−→∞
N+(r, α, S + B)
N+(r, S)
= 1
Diferansiyel operatörler teorisinden regüler Sturm-Liouville teorisi ve yöntemleri; kompleks analizden tam fonksiyonların sıfır yerleri ile ilgili olan Rouche teoremi; lineer integral denklemlerin çözümlerinin asimptotiğini bulma yöntemleri, asimptotik değerlendirmelerle ilgili yöntemler ve metodlardan yararlanılmıştır. Ayrıca da kaynaklar kısmında belirtilen makale ve kitaplardan faydalanılmıştır.
Tez çalışmasının temel konusu; soyut lineer operatör içeren
−u00(x) + (Bu)(x) = λu(x), x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]
denkleminden, u(−1) = 0 u(1) = 0 sınır şartlarından ve de x = 0 noktasındaki u(+0) = u(−0) u0(+0) − u0(−0) = αu(0)
geçiş şartlarından oluşan sınır-değer-geçiş probleminin bazı spektral özelliklerinin incelenmesidir. İlk olarak aşağıdaki 5.1.1 − 5.1.5 Sturm-Liouville problemi ele alınacaktır.
4.1 Sınır Değer Probleminin İfadesi ve Karşılaştırma Teoremi
Bu bölümde ,
Lu := −u00+ q(x)u = λu, x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] (4.1.1) diferansiyel denkleminden,
u(−1) = 0 (4.1.2)
sınır şartlarından meydana gelen ve x = 0 noktasındaki
u(+0) − u(−0) = 0 (4.1.4)
u0(+0) − u0(−0) = αu(0) (4.1.5)
geçiş şartlarından oluşan Sturm-Liouville probleminin bazı spektral özellikleri incelenecektir. Burada q(x) [−1, 0) ve (0, 1] aralıklarında sürekli, x = 0 noktasında ise sonlu q(±0) limit değerlerine sahip olan bir fonksiyon ve λ kompleks özdeğer parametresidir.
Teorem 4.1.1. 5.1.1 − 5.1.5 eşitlikleri ile verilmiş sınır - değer - geçiş probleminin bütün özdeğerleri reeldir.
İspat . 5.1.1 − 5.1.5 sınır-değer-geçiş probleminin λ özdeğerine uygun özfonksiyonu u olsun. u, u’ nun ve λ, λ’ nın eşleniği olmak üzere, 5.1.1 − 5.1.5 ve
−u00+ q(x)u = λu (4.1.6)
u(−1) = 0 (4.1.7)
u(1) = 0 (4.1.8)
u(+0) = u(−0) (4.1.9)
u0(+0) − u0(−0) = αu(0) (4.1.10)
eşitlikleri sağlanır. 5.1.1 denklemi u ile 5.1.6 denklemi de u ile çarpılıp taraf tarafa çıkartılırsa,
uu00− uu00 = (λ − λ)uu (4.1.11) eşitliği elde edilir. uu00− uu00 = (uu0− uu0)0 olduğundan
(uu0 − uu0)0 = (λ − λ)uu (4.1.12)
yazılabilir. 5.1.12 eşitliği −1’ den 0’ a integrallenirse
Z 0 −1 (uu0 − uu0)0dx = (λ − λ) Z 0 −1 uudx
(uu0− uu0)|0−1 = (λ − λ) Z 0
−1
uudx
u(−0)u0(−0) − u(−0)u0(−0) − u(−1)u0(−1) + u(−1)u0(−1) = (λ − λ)
Z 0
−1
uudx (4.1.13)
elde edilir. Diğer taraftan 5.1.2 ve 5.1.7 sınır şartları sağlandığı için
u(−1)u0(−1) − u(−1)u0(−1) = 0 (4.1.14)
bulunur. 5.1.14’ de elde edilen ifade 5.1.13’ te yerine yazılırsa
u(−0)u0(−0) − u(−0)u0(−0) = (λ − λ) Z 0
−1
uudx (4.1.15)
elde edilir. Aynı şekilde 5.1.12 ifadesi 0’ dan 1’ e integrallenirse; Z 1 0 (uu0− uu0)0dx = (λ − λ) Z 1 0 uudx (uu0− uu0)|10 = (λ − λ) Z 1 0 uudx
u(1)u0(1) − u(1)u0(1) − u(+0)u0(+0) + u(+0)u0(+0) = (λ − λ)
Z 1
0
uudx (4.1.16)
elde edilir. 5.1.3 ve 5.1.8’ deki
u(1) = 0 ve u(1) = 0 sınır şartları 5.1.16’ da yerine yazılırsa
u(+0)u0(+0) − u(+0)u0(+0) = (λ − λ) Z 1
0
ifadesi elde edilir. 5.1.4 − 5.1.5 ve 5.1.9 − 5.1.10 geçiş şartları kullanılarak
u(+0) = u(−0) u(+0) = u(−0) u0(+0) − u0(−0) = αu(0) u0(+0) − u0(−0) = αu(0)
eşitlikleri yazılabilir. Bu eşitlikler 5.1.15’ de kullanılırsa,
[u(+0)u0(+0) − u(+0)u0(+0)] = (λ − λ) Z 0
−1
uudx (4.1.18)
elde edilir. Bu son eşitlik 5.1.17 ile karşılaştırılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa,
(λ − λ) Z 0 −1 uudx + Z 1 0 uudx = 0
esitliği bulunur. u özfonksiyonu sıfırdan farklı olduğundan dolayı parentez içindeki ifade sıfırdan farklıdır. Dolayısıyla sonuncu eşitlikten
λ = λ
elde edilir.
Teorem 4.1.2. 5.1.1 − 5.1.5 sınır-değer-geçiş probleminin iki farklı λm ve λn
özdeğerlerine uygun olan um ve un özfonksiyonları H := L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1) ile
tanımlı uzayda ortogonaldirler. Yani; Z 0 −1 um(x)un(x)dx + Z 1 0 um(x)un(x)dx = 0 (4.1.19) eşitliği sağlanır.
İspat . um ve un sırasıyla λm ve λn özdeğerlerine uygun özfonksiyonlar
olduğundan
−u00m+ q(x)um = λmum (4.1.20)
eşitlikleri sağlanır. 5.1.20 eşitliği un ve 5.1.21 eşitliği um ile çarpılıp taraf tarafa çıkarılırsa umu 00 n− u 00 mun= (λm− λn)umun (4.1.22)
elde edilir. Bu son eşitlik ilk olarak −1’ den 0’ a integrallenirse, Z 0 −1 (umu 0 n− u 0 mun) 0 dx = (λm− λn) Z 0 −1 umundx (umu 0 n− u 0 mun)|0−1 = (λm− λn) Z 0 −1 umundx =⇒ um(−0)u 0 n(−0) − u 0 m(−0)un(−0) − um(−1)u 0 n(−1) + u 0 m(−1)un(−1) = (λm− λn) Z 0 −1 umundx (4.1.23)
elde edilir. Problemde verilmiş olan 5.1.2 sınır şartı um ve un özfonksiyonları için
de geçerli olduğundan,
um(−1) = 0 ve un(−1) = 0
eşitlikleri sağlanır. Bu değerler 5.1.23’ de yerine yazılırsa,
um(−0)u 0 n(−0) − u 0 m(−0)un(−0) = (λm− λn) Z 0 −1 umundx (4.1.24)
elde edilir. Benzer şekilde 5.1.22 eşitliği 0’ dan 1’ e integrallenip
um(1) = 0 ve un(1) = 0 sınır şartları uygulanırsa, u0m(+0)un(+0) − um(+0)u0n(+0) = (λm− λn) Z 1 0 umundx (4.1.25)
eşitliği elde edilir. Yine 5.1.4 − 5.1.5 geçiş şartları kullanılarak
um(+0) = um(−0)
un(+0) = un(−0)
u0m(+0) − u0m(−0) = αum(0)
u0n(+0) − u0n(−0) = αun(0)
eşitlikleri yazılabilir . Bu ifadeler 5.1.24’ de yerine yazılırsa
[um(+0)u 0 n(+0) − u 0 m(+0)un(+0)] = (λm− λn) Z 0 −1 umundx
elde edilir. Elde edilen bu son eşitlik 5.1.25’ de yerine yazılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa, (λm− λn) Z 0 −1 umundx + Z 1 0 umundx = 0
elde edilir. λm 6= λn olduğundan dolayı,
Z 0 −1 umundx + Z 1 0 umundx = 0 bulunur.
Teorem 4.1.3. (Karşılaştırma Teoremi) Verilmiş 5.1.1−5.1.5 sınır-değer probleminin λ1 ve λ2 parametrelerine uygun olan aşikar olmayan çözümleri sırasıyla,
u(x, λ1) ≡ u1(x) ve u(x, λ2) ≡ u2(x)
olsun. λ1 < λ2 olduğunda u1(x) ’in her iki sıfır yeri arasında u2(x) ’in en az bir sıfır
yeri vardır.
İspat . u1(x) ve u2(x) 5.1.1 denklemini sağlayan λ1ve λ2sabitlerine uygun iki çözüm
olduğundan
−u002 + q(x)u2 = λ2u2
eşitlikleri yazılır. Teorem 5.1.2 ’ deki ispat yönteminin uygulanması sonucunda Z 0 −1 u1u2dx + Z 1 0 u1u2dx = 0 (4.1.26)
eşitliği elde edilir.
Teorem 5.1.2, teoremin ispatı için aralığın süreksizlik noktasından önceki ya da sonraki kısmından yalnızca birinin kullanılmasının yeterli olduğunu gösterir. Bu teoremin ispatı yalnızca −1 < x < 0 aralığı için gösterilecektir.
u2u 00 1 − u 00 2u1 = (λ2− λ1)u2u1 eşitliği ile u2u 00 1 − u 00 2u1 = (u2u 0 1− u 0 2u1) 0
ifadesi dikkate alınırsa
(u2u 0 1− u 0 2u1) 0 = (λ2− λ2)u2u1
elde edilir. Bu eşitliğin −1’ den x’ e integrali alınırsa,
u2(x)u 0 1(x) − u 0 2(x)u1(x) − u2(−1)u 0 1(−1) + u 0 2(−1)u1(−1) = (λ2− λ1) Z x −1 u2u1dx yazılabilir. Yani, u02(−1)u1(−1) − u2(−1)u 0 1(−1) = 0 olmalıdır. Bu durumda u2(x)u 0 1(x) − u 0 2(x)u1(x) = (λ2− λ1) Z x −1 u2u1dx (4.1.27)
elde edilir. Şimdi ise x = −1 sınır şartına uyan u(x, λ) çözümleri için her bir λ değerlerinin bazı bölgelerde salınımlı olduğu kabul edilsin. λ1için böyle bir bölgenin
mevcut olduğu düşünülerek u1(x)’ in ilk sıfır yeri x = x0 olsun. Bu durumda
u1(x0) = 0 olur. Dolayısıyla 5.1.27 eşitliği x = x0 için
u2(x0)u 0 1(x0) − u 0 2(x0)u1(x0) = (λ2− λ1) Z x0 −1 u2u1dx =⇒ u2(x0)u 0 1(x0) = (λ2− λ1) Z x0 −1 u2u1dx (4.1.28)
şekline dönüşür.
a) İlk olarak −1 < x < x0 aralığında u2(x)’ in hiçbir sıfıra sahip olmadığı kabul
edilsin. Bu durumda −1 < x < x0 aralığında u2(x)’ in işareti hiç değişmeyecektir
ve bu aralıkta u2(x) ya sıfırdan büyük ya da sıfırdan küçük olacaktır. Yani; ya
u2(x) > 0 ya da u2(x) < 0 olacaktır.
i) Eğer −1 < x < x0 aralığında u2(x) > 0 ise aynı aralıkta u1(x) > 0 olduğu da
kabul edilsin. Teoremin ifadesinden λ1 < λ2 bilinmektedir. Dolayısıyla
(λ2− λ1)
Z x0
−1
u1u2dx > 0
elde edilir. Buradan 5.1.28 gereği
u2(x0)u
0
1(x0) > 0 (4.1.29)
yazılabilir. Şimdi u1(x) > 0 için u
0
1(x)’ in işareti incelensin.
t > x0 olsun. O halde u1(x0) = 0 olduğu gözönüne alınarak,
u01(x0) = lim t→x0
u1(t) − u1(x0)
t − x0
eşitliği incelensin. t’ nin x0’ a yeteri kadar yakın olan değerleri için, u1(t) < 0 olduğu
ve t > x0 =⇒ t − x0 > 0 olduğu dikkate alınırsa,
lim t→x0 u1(t) − u1(x0) t − x0 < 0 =⇒ u01(x0) < 0 olur. t < x0 olsun. Bu durumda u1(t) > 0 , u1(x0) = 0 ve t < x0 =⇒ t − x0 < 0 olduğundan u01(x0) = lim t→x0 u1(t) − u1(x0) t − x0 < 0 =⇒ u01(x0) < 0
olur. Bu takdirde u2(x0) > 0 kabülümüz gereği ve u
0
1(x0) < 0 olduğundan
u2(x0)u
0
1(x0) < 0
elde edilir. Fakat bu 5.1.29 ifadesi ile çelişiyor.
düşüldü. O halde bu kabul yanlıştır. Yani bu aralıkta u2(x) en az bir sıfıra sahiptir.
ii) −1 < x < x0 aralığında u2(x) < 0 olduğu durumda aynı aralıkta u1(x) < 0
kabul edilsin. O halde λ2 > λ1 olduğundan
(λ2− λ1)
Z x0
−1
u2u1dx > 0
elde edilir. Buradan 5.1.28 gereği
u2(x0)u 0 1(x0) > 0 (4.1.30) olur. u1(x) < 0 için u 0 1(x0)’ ın işareti incelensin.
t > x0 =⇒ t − x0 > 0 kalır. u1(t) > 0 ve u1(x0) = 0 olduğu dikkate alınarak;
u01(x0) = lim t→x0 u1(t) − u1(x0) t − x0 > 0 =⇒ u01(x0) > 0 elde edilir.
t < x0 =⇒ t − x0 < 0 olsun. u1(t) < 0 ve u1(x0) = 0 olduğu dikkate alınarak;
u01(x0) = lim t→x0
u1(t) − u1(x0)
t − x0
> 0 =⇒ u01(x0) > 0
olur. Yani bütün durumlar için u1(x) < 0 iken u
0
1(x0) > 0 elde edilir. Bu takdirde
u2(x0)u
0
1(x0) < 0
kalır. Ama bu 5.1.30 ifadesi ile çelişiyor. Bu çelişkiye −1 < x < x0 aralığında
u2(x)’ in hiçbir sıfıra sahip olmadığı kabülüyle düşüldü. Bu durumda bu kabul
yanlıştır. Yani, −1 < x < x0 aralığında u2(x)’ in en az bir sıfırı vardır.
b) Şimdi u1(x)’ in, x0 < x < x1 aralığında iki ardışık sıfıra sahip olduğu dikkate
alınsın. Buradan u1(x0) ≡ u1(x1) ≡ 0 olur ve bu aralıkta 5.1.28 ifadesinden dolayı;
u2(x1)u 0 1(x1) − u1(x0)u02(x0) = (λ2− λ1) Z x1 x0 u2u1dx (4.1.31)
eşitliği elde edilir. x0 < x < x1 aralığında u2(x)’ in işaretinin hiç değişmeyeceği
kabul edilerek aşağıdaki durumlar incelensin.
i) x0 < x < x1 aralığında u2(x) < 0 ve u1(x) < 0 olsun. O halde λ2 > λ1
olduğundan dolayı (λ2− λ1) Z x1 x0 u2u1dx > 0 (4.1.32) elde edilir. u01(x1) = lim t→x1 u1(t) − u1(x1) t − x1 t > x1 =⇒ t − x1 > 0 u1(t) > 0 =⇒ u 0 1(x1) > 0 ve t < x1 =⇒ t − x1 < 0 u1(t) < 0 =⇒ u 0 1(x1) > 0 olduğundan, u2(x1)u 0 1(x1) − u1(x0)u02(x0) < 0
elde edilir. Fakat bu 5.1.31 ifadesi ile çelişiyor. Bu çelişkiye x0 < x < x1 aralığında
u2(x)’ in hiçbir sıfıra sahip olmadığı kabülüyle düşüldü. O halde bu kabul yanlıştır.
Yani; x0 < x < x1 aralığında u2(x)’ in en az bir sıfırı vardır.
ii) x0 < x < x1 aralığında u2(x) > 0 ve u1(x) > 0 kabul edilsin. λ2 > λ1
olduğundan (λ2− λ1) Z x1 x0 u2u1dx > 0 yazılır. Yani; u2(x1)u 0 1(x1) − u1(x0)u02(x0) > 0 (4.1.33)
elde edilir. u01(x1) = lim t→x1 u1(t) − u1(x1) t − x1 t < x1 =⇒ t − x1 < 0 u1(t) > 0 =⇒ u 0 1(x1) < 0 ve t > x1 =⇒ t − x1 > 0 u1(t) < 0 =⇒ u 0 1(x1) < 0
olduğundan ve (a) şıkkındaki u01(x0) durumları da kullanılarak
u2(x1)u
0
1(x1) − u1(x0)u02(x0) < 0
elde edilir. Fakat bu da bir çelişkidir.
Bu durumda her iki durum için de x0 < x < x1 aralığında u2(x)’ in en az bir
sıfırı mevcut olmalıdır.
4.2 Problemin Operatör-Teorik Yorumu
Bu kesimde, L2(−1, 0)⊕L2(0, 1) Hilbert uzayında verilmiş sınır-değer-geçiş problemi
ile aynı özdeğerlere sahip olan lineer operatör kurulacaktır.
L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1) Hilbert uzayında u, v ∈ L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1) elemanlarının iç
çarpımı < u, v >= Z 0 −1 u(x)v(x)dx + Z 1 0 u(x)v(x)dx (4.2.1)
eşitliği ile tanımlanır. L2(−1, 0)⊕L2(0, 1) uzayının bu iç çarpım altında bir Hilbert
uzayı olduğu aşikardır. Bu Hilbert uzayı H ile gösterilsin.
Herhangi aralıkta diferansiyellenebilir iki u(x) ve v(x) fonksiyonlarının Wronskian’ı ise
şeklinde gösterilecektir.
Verilmiş 5.1.1 - 5.1.5 sınır-değer problemine uygun olan A : H → H lineer operatörü
D(A) = { u(x) ve u0(x) fonksiyonları [−1, 0) ve (0, 1]
aralıklarında mutlak süreklidirler ve sonlu u(±0) ve u0(±0) limit değerleri mevcuttur. − u00+ q(x)u ∈ L2(−1, 0) ⊕ L2(0, 1)
u(−1) = 0, u(+1) = 0, u(+0) = u(−0),
u0(+0) − u0(−0) = αu(0)} (4.2.2)
tanım bölgesinde
Au := −u00(x) + q(x)u (4.2.3)
formülü ile tanımlanırsa 5.1.1 - 5.1.5 sınır-değer problemini H uzayında
Au = λu (4.2.4)
operatör denklem şeklinde yazılabilir. A operatörünün özdeğerlerine ve
özfonksiyonlarına 5.1.1 - 5.1.5 sınır- değer probleminin özdeğerleri ve özfonksiyonları denir.
4.3 Probleme Uygun A Operatörünün Simetrikliği
Teorem 4.3.1. 5.2.2-5.2.4 eşitlikleri ile tanımlı A operatörü simetriktir.
İspat: ∀u, v ∈ D(A) için < Au, v >H iç çarpımı aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
< Au, v >H = Z 0 −1 (−u00(x) + q(x)u(x))v(x)dx + Z 1 0 (−u00(x) + q(x)u(x))v(x)dx = − Z 0 −1 u00(x)v(x)dx + Z 0 −1 q(x)u(x)v(x)dx − Z 1 0 u00(x)v(x)dx + Z 1 0 q(x)u(x)v(x)dx (4.3.1)
şeklinde yazılabilir. Son eşitliğin sağ tarafındaki ilk integrale iki defa kısmi integrasyon uygulanırsa, − Z 0 −1 u00(x)v(x)dx = − u0(x)v(x) |0−1 − Z 0 −1 u0(x)v0(x)dx + Z 0 −1 q(x)u(x)v(x)dx = Z 0 −1 u0(x)v0(x)dx + Z 0 −1 q(x)u(x)v(x)dx − (u0(x)v(x) |0−1) = u(x)v0(x) |0 −1 − Z 0 −1 u(x)v00(x)dx + Z 0 −1 q(x)u(x)v(x)dx − (u0(x)v(x) |0−1) = − Z 0 −1 u(x)v00(x)dx + Z 0 −1 q(x)u(x)v(x)dx +{u(−0)v0(−0) − u(−1)v0(−1)} − {u0 (−0)v(−0) − u0(−1)v(−1)} = − Z 0 −1 u(x)v00(x)dx + Z 0 −1 q(x)u(x)v(x)dx + W (u, v; −0) −W (u, v; −1) (4.3.2) Z 1 0 (−u00(x) + q(x)u(x))v(x)dx = − Z 1 0 u00(x)v(x)dx + Z 1 0 q(x)u(x)v(x)dx Benzer şekilde − Z 1 0 u00(x)v(x)dx = − Z 1 0 u(x)v00(x)dx + Z 1 0 q(x)u(x)v(x)dx +W (u, v; 1) − W (u, v; +0) (4.3.3)
elde edilir. 5.3.2 ve 5.3.3, 5.3.1’ de yazılırsa,
< Au, v >H = Z 0 −1 u(x)(−v00(x) + q(x)v(x))dx + Z 1 0 u(x)(−v00(x) + q(x)v(x))dx
+W (u, v; 1) − W (u, v; +0) + W (u, v; −0) − W (u, v; −1) (4.3.4)
elde edilir. Diğer taraftan
< u, Av >H = Z 0 −1 u(x)(−v00(x) + q(x)v(x))dx + Z 1 0 u(x)(−v00(x) + q(x)v(x))dx
yazılabilir. Buradan 5.3.4 ve 5.3.5 ifadeleri taraf tarafa çıkartılırsa,
< Au, v >H − < u, Av >H = W (u, v; −0) − W (u, v; −1)
W (u, v; 1) − W (u, v; +0) (4.3.5)
eşitliği bulunur. A operatörünün simetrik olduğunu söyleyebilmek için 5.3.6 eşitliğinin sağ tarafının sıfıra eşit olduğunun gösterilmesi gerekir. Bunun için u(x) ve v(x) fonksiyonları A operatörünün tanım bölgesinin elemanları olduklarından sınır şartları kullanılarak
W (u, v; −1) = 0, W (u, v; 1) = 0 ve W (u, v; −0) = W (u, v; +0)
ifadeleri bulunur. Bu ifadeler 5.3.6’ da yerine yazılırsa sağ tarafın sıfıra eşit olduğu görülür. Sonuç itibariyle
< Au, v >H = < u, Av >H (4.3.6)
eşitliği elde edilir. Bu da A operatörünün simetrik olduğunu gösterir.
4.4 Başlangıç-Değer Problemleri ve Çözümleri
Bu bölümde araştırılan 5.1.1 - 5.1.5 sınır-değer-geçiş problemi ile yakından ilgili olan ve sadece [−1, 0] veya [0, 1] alt aralıklarında verilmiş bazı yardımcı başlangıç-değer problemlerinin çözümlerinin mevcut olduğu ve bu çözümlerin λ kompleks özdeğer parametresine göre bütün kompleks düzlemde analitik (tam fonksiyon) olduğu ispat edilecektir. Daha sonra bu çözümlerden yararlanarak 5.1.1 denkleminin 5.1.1 - 5.1.5 sınır-değer-geçiş problemi için temel olacak çözümleri tanımlanacaktır.
Teorem 4.4.1. Her λ ∈ C için
−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [−1, 0] (4.4.1)
u(−1) = 0 (4.4.2)
u0(−1) = −1 (4.4.3)
eşitlikleri ile tanımlı başlangıç-değer probleminin bir tek Φ1(x, λ) çözümü bulunur
ve bu çözüm her bir x ∈ [−1, 0] değeri için λ değişkenine göre bütün kompleks düzlemde analitiktir. Yani her x ∈ [−1, 0] için λ parametresinin tam fanksiyonudur (Titchmarsh,1962).
Teorem 4.4.2. Her λ ∈ C için
−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [0, 1] (4.4.4)
u(0) = Φ1(0, λ) (4.4.5)
u0(0) = αΦ1(0, λ) + Φ01(0, λ) (4.4.6)
eşitlikleri ile tanımlı başlangıç-değer probleminin bir tek Φ2(x, λ) çözümü bulunur
ve bu çözüm her bir x ∈ [0, 1] değeri için λ değişkenine göre tam fonksiyonudur. İspat . Önce
−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x) denklemi
u00(x) = (q(x) − λ)u(x) biçiminde yazıldıktan sonra integrallenirse,
u0(x) = Z x
0
(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ), x ∈ [0, 1] (4.4.7)
elde edilir. Son ifade bir kez daha integrallenirse,
u(x) = Z x 0 ds Z s 0 (q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ)x + c2(λ), x ∈ [0, 1] (4.4.8)
bulunur. Bu son ifadedeki integral sırası değiştirilirse,
u(x) = Z x
0
(x − t)(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ)x + c2(λ) (4.4.9)
elde edilir. c1(λ) ve c2(λ) ifadelerini elde etmek için 5.4.5 - 5.4.6 başlangıç şartları
5.4.7 ve 5.4.9’ da yerine konulursa
u(0) = c2(λ) = Φ1(0, λ)
u0(0) = c1(λ) = αφ1(0, λ) + φ01(0, λ)
bulunur. c1(λ) ve c2(λ) değerleri 5.4.9’ da yerlerine yazılırsa
u(x) = Z x
0
(x − t)(q(t) − λ)u(t)dt + (αφ1(0, λ) + φ01(0, λ))x + φ1(0, λ) (4.4.10)
elde edilir. 5.4.10 integral denklemi 5.4.4 − 5.4.6 başlangıç-değer problemi ile eşdeğerdir. Φ2(x, λ)’ nın 5.4.4 − 5.4.6 başlangıç-değer probleminin bir tek çözümü
olduğu ve ∀ x ∈ [0, 1] için λ ∈ C kompleks değişkeninin tam fonksiyonu olduğunu ispatlamak için yani Φ2(x, λ) fonksiyonuna yakınsayan fonksiyon dizisinin inşa
edilmesi için, integral denklemler teorisinden iyi bilinen ardışık yaklaşımlar metodundan yararlanılacaktır. u0(x, λ) = (αφ1(0, λ) + φ01(0, λ)) x + φ1(0, λ) (4.4.11) un(x, λ) = Z x 0 (x − t)(q(t) − λ)un−1(t)dt + u0(x, λ), (n = 1, 2, ...)(4.4.12)
biçiminde tanımlanmış {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisi oluşturulur. Bunu kullanarak
u0(x, λ) + ∞
X
n=1
[un(x) − un−1(x)] (4.4.13)
serisi oluşturulur. P > 0 için, |λ| ≤ P olduğu kabul edilsin. 0 ≤ x ≤ 1 için, q(x) ve u(x) fonksiyonları sürekli olduklarından ve de sonlu q(±0) limit değerleri mevcut olduğundan |q(x)| ≤ R ve |u(x)| ≤ S olacak biçimde R > 0 ve S > 0 sayıları mevcuttur.
Bu durumda, |un(x) − un−1(x)| ifadesi gözönüne alınsın. n = 1 için, |u1(x) − u0(x)| = Z x 0 (x − t)(q(t) − λ)u0(t)dt + u0(x) − u0(x) ≤ Z x 0 |q(t) − λ| |u0(t)| |x − t|dt ≤ Z x 0 (|q(t)| + |λ|) |u0(t)| |x − t|dt ≤ Z x 0 (P + R)S(x − t)dt = (P + R)S Z x 0 (x − t)dt = (P + R)S xt − t 2 2 x o = (P + R)S x2 −x 2 2 =⇒ |u1(x) − u0(x)| ≤ (P + R)S x2 2! (4.4.14)
elde edilir. n = 2 için,
|u2(x) − u1(x)| = Z x 0 (x − t)(q(t) − λ)u1(t)dt − Z x 0 (x − t)(q(t) − λ)u0(t)dt = Z x 0 (q(t) − λ) (u1(t) − u0(t)) (x − t)dt ≤ Z x 0 |q(t) − λ| |u1(t) − u0(t)| |x − t|dt ≤ Z x 0 (|q(t)| + |λ|) (P + R)St 2 2 (x − t)dt ≤ 1 2 Z x 0 (P + R)2St2(x − t)dt = (P + R) 2S 2 Z x 0 t2x − t3 dt = 1 2(P + R) 2Sx 4 12 =⇒ |u2(x) − u1(x)| ≤ (P + R)2S x4 4! (4.4.15)
bulunur. n ≥ 2 için Tümevarım yöntemini kullanarak,
|un(x) − un−1(x)| ≤ (P + R)n S
x2n
eşitsizliği bulunabilir. 0 ≤ x ≤ 1 olduğundan x2n≤ 1 ve dolayısıyla, |un(x) − un−1(x)| ≤ (P + R)n S (2n)! (4.4.17) elde edilir. ∞ X n=1 (P + R)n S (2n)!
sayısal serisi yakınsak olduğundan, 5.4.13 serisi x ∈ [0, 1] ve P > 0 için, |λ| ≤ P şartlarıyla birlikte mutlak ve düzgün yakınsaktır. Diğer taraftan 5.4.13 serisi P > 0 ve |λ| ≤ P ile tanımlanmış bölgede analitik olduğu için, Φ2(x, λ) kısmi toplamlar
diziside analitiktir. Diğer taraftan serinin yakınsak olduğu durumda {un(x, λ)}
fonksiyonlar dizisinin limiti, serinin kısmi toplamlar dizisinin limiti olduğundan 5.4.13’ de n −→ ∞ için limit almakla,
Φ2(x, λ) = u0(x, λ) + ∞ X n=1 [un(x) − un−1(x)] = Z x 0 (x − t)(q(t) − λ)Φ2(t, λ)dt + (αΦ1(0, λ)x + Φ01(0, λ))x +φ1(0, λ) (4.4.18)
eşitliği elde edilir. Ayrıca 5.4.12 ile tanımlanan {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisinin
u0n(x) − u0n−1(x) = Z x
−1
(q(t) − λ){un−1(t) − un−2(t)}
u00n(x) − u00n−1(x) = (q(x) − λ){un−1(x) − un−2(x)}
birinci ve ikinci türevleri mevcut olduğundan 5.4.18, x değişkenine göre terim terim diferansiyellenebilir ve de Φ002(x, λ)) = ∞ X n=1 [u00n(x) − u00n−1(x)] = ∞ X n=1 {q(x) − λ}{un−1(x) − un−2(x)} = {q(x) − λ} {u0(x) + ∞ X n=2 {un−1(x) − un−2(x)}} =⇒ Φ002(x, λ)) = {q(x) − λ}Φ1(x, λ)
eşitliği sağlanır. Böylece φ2(x, λ) 5.4.4 − 5.4.6 başlangıç-değer probleminin çözümü olur. Sonuç 5.4.1. ∀λ ∈ C Φ(x, λ) = Φ1(x, λ), x ∈ [−1, 0) Φ2(x, λ), x ∈ (0, 1]
ile tanımlı Φ(x, λ) fonksiyonu,
−u00+ q(x)u = λu, x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] (4.4.19)
diferansiyel denkleminin birinci sınır şartı olan,
u(−1) = 0 (4.4.20)
şartını ve de
u(+0) = u(−0) (4.4.21)
u0(+0) − u0(−0) = αu(0) (4.4.22) geçiş şartlarını sağlar.
İspat . Her λ ∈ C Teorem 5.4.1’ den dolayı, x ∈ [−1, 0) için
Φ(x, λ) = Φ1(x, λ)
olduğundan ve de 5.4.2 sınır şartı sağlandığından dolayı,
Φ(−1, λ) = Φ1(−1, λ) = 0
yazılabilir. Böylece Φ(x, λ) fonksiyonu 5.4.20 sınır şartını sağlamış olur. Şimdi geçiş şartlarının sağladığı gösterilsin. 5.4.5 başlangıç şartından dolayı,
olduğu açıktır. Bu yüzden de
Φ2(0, λ) − Φ1(0, λ) = Φ2(+0, λ) − Φ1(−0, λ)
= Φ(+0, λ) − Φ(−0, λ) = 0
=⇒ Φ(+0, λ) = Φ(−0, λ)
elde edilir. Yine aynı şekilde 5.4.4−5.4.6 başlangıç-değer probleminin 5.4.6 şartından dolayı Φ02(0, λ) − Φ01(0, λ) = αΦ(0, λ) ⇒ Φ02(0, λ) − Φ01(0, λ) = φ0(+0, λ) − φ0(−0, λ) yazılır ve φ(0, λ) = φ1(0, λ) = φ2(0, λ) olduğundan Φ0(+0, λ) − Φ0(−0, λ) = αΦ(0, λ) biçiminde yazılabilir.
Sonuç olarak φ1(x, λ) fonksiyonu [−1, 0) aralığında, φ2(x, λ) ise (0, 1] aralığında
5.4.19’u sağladığından φ(x, λ) fonksiyonu bu denklemi [−1, 0)∪(0, 1]’de sağlayacaktır. Teorem 4.4.3. Her λ ∈ C için
−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [0, 1] (4.4.23)
u(1) = 0 (4.4.24)
u0(1) = 1 (4.4.25)
başlangıç-değer probleminin bir tek χ2(x, λ) çözümü bulunur ve bu çözüm her
bir x ∈ [0, 1] değeri için λ değişkenin tam fonksiyonudur. Yani ∀ x ∈ [0, 1] için λ kompleks parametresine göre tüm kompleks düzlemde analitik fonksiyondur (Titchmarsh, 1962).
Teorem 4.4.4. Her λ ∈ C için
−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [−1, 0] (4.4.26)
u(0) = χ2(0, λ) (4.4.27)
u0(0) = χ02(0, λ) − αχ2(0, λ) (4.4.28)
başlangıç-değer probleminin bir tek χ1(x, λ) çözümü bulunur ve bu çözüm her bir
x ∈ [−1, 0] değeri için λ değişkenin tam fonksiyonudur. Yani ∀x ∈ [−1, 0] için λ kompleks parametresine göre tüm kompleks düzlemde analitik fonksiyondur. İspat . 5.4.26 denklemi için Teorem 5.4.2’ deki yöntem kullanılarak 5.4.9 integral denkleminin aynısı yazılabilir. Yani
u(x) = Z 0
x
(t − x)(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ)x + c2(λ) (4.4.29)
eşitliği yazılır. Şimdi c1 ve c2 ifadelerini elde etmek için 5.4.27 − 5.4.28 başlangıç
şartları uygulansın. Bu taktirde
u(0) = c2(λ) = χ2(0, λ)
olur. 5.4.29 eşitliği x’ e göre türevlenirse
u0(x) = Z 0
x
(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ) (4.4.30)
kalır. Bu son denklemde 5.4.28 başlangıç şartı uygulanırsa,
u0(0) = c1(λ) = χ
0
2(0, λ) − αχ2(0, λ)
bulunur. c1(λ) ve c2(λ) değerleri 5.4.29 integral denkleminde yerlerine yazılırsa,
u(x) = Z 0
x
(t − x)(q(t) − λ)u(t)dt + (χ02(0, λ) − αχ2(0, λ))x + χ2(0, λ) (4.4.31)
elde edilir. 5.4.31 integral denklemi 5.4.26 − 5.4.28 başlangıç-değer problemi ile eşdeğerdir. χ1(x, λ)’ nın 5.4.26 − 5.4.28 başlangıç-değer probleminin bir tek
olduğunu ispatlamak için, yani χ1(x, λ) fonksiyonuna yakınsayan fonksiyon dizisinin
inşa edilmesi için ardışık yaklaşımlar yönteminden yararlanılacaktır. Teorem 5.4.2’ nin ispatına benzer şekilde,
u0(x, λ) = χ2(0, λ) + (χ02(0, λ) − αχ2(0, λ))x (4.4.32)
un(x, λ) =
Z 0 x
(t − x)(q(t) − λ)un−1(t)dt + u0(x, λ) (4.4.33)
biçiminde {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisi oluşturulur ve bu dizi kullanılarak,
u0(x, λ) + ∞
X
n=1
[un(x) − un−1(x)] (4.4.34)
serisi oluşturulabilir. P > 0 için |λ| ≤ P ,
R := max
x∈[−1,0]|q(x)| , S := maxx∈[−1,0]|u0(x, λ)|
olmak üzere 5.2.32 − 5.2.33 eşitliklerinin mutlak değerleri incelenecektir. Bu durumda yine Teorem 5.4.2’ nin ispatına benzer biçimde,
|u1(x) − u0(x)| ≤ (P + R) S x2 2! |u2(x) − u1(x)| ≤ (P + R)2 S x4 4! eşitsizlikleri ve n ≥ 2 için tümevarım yöntemi kullanılarak,
|un(x) − un−1(x)| ≤ (P + R)n S
x2n
(2n)! (4.4.35)
eşitsizlikleri elde edilir. x ∈ [−1, 0] olduğundan x2n ≤ 1 ve buna bağlı olarakta,
|un(x) − un−1(x)| ≤ (P + R)n S (2n)! (4.4.36) elde edilir. ∞ X n=1 (P + R)n S (2n)!
sayısal serisi yakınsak olduğundan 5.4.34 serisi x ∈ [−1, 0] ve P > 0 için, |λ| ≤ P şartları dahilinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. Ayrıca 5.4.34 serisi P > 0 ve |λ| ≤ P ile tanımlanmış bölgede serinin her terimi analitik olduğu için, χ1(x, λ) kısmi toplamlar diziside analitiktir. Ayrıca serinin yakınsak olduğu
durumda {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisinin limiti ile serinin kısmi toplamlar dizisi
aynı olduğundan 5.4.33’ de n −→ ∞ için limit almakla,
χ1(x, λ) =
Z 0 x
(t−x)(q(t)−λ)χ1(t, λ))dt+(χ02(0, λ)−αχ2(0, λ))x+χ2(0, λ) (4.4.37)
eşitliği elde edilir.
χ1(x, λ) = u0(x, λ) + ∞
X
n=1
[un(x) − un−1(x)] (4.4.38)
ifadesi x’ e göre düzgün yakınsak olduğu için ve de n ≥ 2 için 5.4.32 − 5.4.33 ile tanımlanan {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisinin,
u0n(x) − u0n−1(x) = Z 0
x
(q(t) − λ){un−1(t) − un−2(t)}dt
u00n(x) − u00n−1(x) = (q(x) − λ){un−1(x) − un−2(x)}
türevleri olduğundan 5.4.34 serisi x değişkenine göre terim terim diferansiyellenebilir ve de χ001(x, λ) = ∞ X n=1 [u00n(x) − u00n−1(x)] = ∞ X n=1 {q(x) − λ}{un−1(x) − un−2(x)} = {q(x) − λ} {u0(x) + ∞ X n=2 {un−1(x) − un−2(x)}} =⇒ χ001(x, λ) = {q(x) − λ}χ1(x, λ) (4.4.39)
sağlanır. Bu sonuç χ1(x, λ)’ nın aynı zamanda 5.4.26 denkleminin bir çözümü
Sonuç 5.4.2. ∀λ ∈ C için χ(x, λ) = χ1(x, λ), x ∈ [−1, 0) χ2(x, λ), x ∈ (0, 1]
ile tanımlı χ(x, λ) fonksiyonu
−u00+ q(x)u = λu, x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] (4.4.40)
diferansiyel denklemini,
u(1) = 0 (4.4.41)
ikinci sınır şartını ve de
u(+0) = u(−0) (4.4.42)
u0(+0) − u0(−0) = αu(0) (4.4.43)
geçiş şartlarını sağlar.
İspat . Sonuç 5.4.1 ispatına benzer şekilde yapılır.
4.5 Temel Çözümler ve Eşdeğer İntegral Denklemler
Önceki bölümde tanımlanan Φi(x, λ) ve χi(x, λ) (i = 1, 2) fonksiyonlarının λ
kompleks parametresine göre bütün kompleks düzlemde analitik fonksiyon oldukları incelenmiştir. Bu kesimde başlangıç-değer problemlerinin eşdeğer oldukları integral ve integral-diferansiyel denklemler bulunacak ve Φi(x, λ) ve χi(x, λ) (i = 1, 2)
fonksiyonlarının |λ| → ∞ için asimptotik davranışları incelenecektir. İlerde her yerde λ = s2 gösteriminden yararlanılacaktır.
Teorem 4.5.1. φ1(x, λ) fonksiyonu aşağıdaki integral ve integral-diferansiyel
φ1(x, λ) temel çözümü için φ1(x, λ) = − 1 ssin s(x + 1) + 1 s Z x −1
sin s(x − y)φ1(y, λ)q(y)dy (4.5.1)
φ01(x, λ) = − cos s(x + 1) + Z x
−1
cos s(x − y)φ1(y, λ)q(y)dy (4.5.2)
integral ve integral-diferansiyel denklemi sağlanır. İspat . 5.4.1 denklemi
u00+ λu = q(x)u (4.5.3)
şeklinde yazılabilir. Bu denklemi çözmek için denklem homojen lineer diferansiyel denklem gibi kabul edilerek, bazı yardımcı denklemler oluşturularak çözülecektir. Bunun için, u00+ λu = 0 denkleminin genel çözümünün, u(x, λ) = c1cos √ λx + c2sin √ λx (4.5.4)
biçiminde olduğu gösterilebilir. Bu taktirde 5.5.3 denkleminin genel çözümü,
u(x, λ) = c1(x, λ) cos
√
λx + c2(x, λ) sin
√
λx (4.5.5)
biçiminde aranacaktır. Son ifadenin x’e göre türevi alınırsa
u0(x, λ) = −√λc1(x, λ) sin
√
λx+c01(x, λ) cos√λx+c02(x, λ) sin√λx+√λc2(x, λ) cos
√ λx
elde edilir. c1(x, λ) ve c2(x, λ) fonksiyonları için
c01(x, λ) cos√λx + c02(x, λ) sin√λx = 0 (4.5.6)
olduğu kabul edilsin. Bu takdirde
u0(x, λ) = −√λc1(x, λ) sin
√
λx +√λc2(x, λ) cos
√
yazılır. Tekrar x’e göre türev alınırsa u00(x, λ) = −√λc01(x, λ) sin√λx − λc1(x, λ) cos √ λx +√λc02(x, λ) cos√λx − λc2(x, λ) sin √ λx (4.5.8)
eşitliği bulunur. 5.5.5 ve 5.5.8 eşitlikleri 5.5.3’ de yerine yazılırsa,
−√λc01(x, λ) sin√λx +√λc02(x) cos√λx = q(x)u (4.5.9)
eşitliği elde edilir. Şimdi 5.5.6 ve 5.5.9 eşitliklerinin oluşturduğu denklem sisteminin çözümünden, c01(x, λ) ve c02(x, λ) fonksiyonları elde edilecektir.
c01(x, λ) = 0 sin√λx q(x)u √λ cos√λx cos√λx sin√λx −√λ sin√λx √λ cos√λx = − sin √ λx q(x)u √ λ (4.5.10) bulunur. Bu integrallenirse, c1(x, λ) = − 1 √ λ Z x −1 sin √
λy q(y) u(y)dy + c1(λ) (4.5.11)
elde edilir. Benzer şekilde,
c02(x, λ) = cos √
λx q(x)u √
λ (4.5.12)
bulunur. Son eşitlik integrallenirse,
c2(x, λ) = 1 √ λ Z x −1 cos √
λy q(y) u(y)dy + c2(λ) (4.5.13)
bulunur. u(x, λ) = − √1 λcos √ λx Z x −1
sin√λy q(y) u(y)dy + c1(λ) cos
√ λx + √1 λsin √ λx Z x −1
cos√λy q(y) u(y)dy + c2(λ) sin
√ λx
elde edilir. Son ifade düzenlenirse,
u(x, λ) = √1 λ
Z x
−1
sin√λ(x − y) q(y) u(y)dy + c1(λ) cos
√ λx + c2(λ) sin
√
λx (4.5.14)
kalır. Benzer yöntemle 5.5.11 ve 5.5.13 eşitlikleri 5.5.7’ de yerlerine yazılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa,
u0(x, λ) = Z x
−1
cos√λ(x − y) q(y) u(y)dy −√λc1(λ) sin
√ λx + √λc2(λ) cos
√
λx (4.5.15)
elde edilir. Bu durumda 5.5.14 denklemi 5.5.15 integral ifadeleri 5.4.2 − 5.4.3 başlangıç şartlarını sağlar. O halde bu şartların uygulanması sonucunda;
u(−1, λ) = c1(λ) cos √ λ − c2(λ) sin √ λ = 0 u0(−1, λ) =√λc1(λ) sin √ λ +√λc2(λ) cos √ λ = −1 (4.5.16)
lineer denklem sistemi bulunur. c1(λ) ve c2(λ) sabitlerini bulmak için bu
lineer denklem sistemininin çözümünden yararlanılacaktır. Bunun için c01(x, λ) ve c02(x, λ) fonksiyonlarının çözümleri bulunurken yapılan işlemler tekrarlanılırsa,
c1(λ) = − 1 √ λ sin √ λ (4.5.17) c2(λ) = − 1 √ λ cos √ λ (4.5.18)
elde edilir. Bu c1 ve c2 değerleri 5.5.14 integral denkleminde yerine yazılıp
düzenlenirse ve de λ = s2 eşitliği dikkate alınırsa;
u(x, λ) = −1 s sin s(x + 1) + 1 s Z x −1
sin s(x − y) u(y) q(y)dy (4.5.19)
integral denklemi elde edilir.
Teorem 5.4.1 gereği |λ| → ∞ iken u(x, λ) → φ1(x, λ) olduğundan 5.5.19 ifadesi
φ1(x, λ) = − 1 s sin s(x + 1) + 1 s Z x −1
şeklini alır. Bu ise 5.4.1−5.4.3 başlangıç-değer probleminin 5.5.20 integral denklemi ile eşdeğer olduğunu gösterir. Böylece 5.5.1 integral denklemi ispatlanmış olur. Aynı şekilde c1(λ) ve c2(λ) değerleri 5.5.15 integral denkleminde yerine yazılıp gerekli
düzenlemeler yapılırsa 5.5.2 eşitliğinin de sağlandığı kolayca gösterilebilir.
Teorem 4.5.2. φ2(x, λ) fonksiyonu aşağıdaki integral ve integral-diferansiyel denklemleri
sağlar. Yani 5.4.4 − 5.4.6 başlangıç-değer problemi ile tanımlı olan φ2(x, λ) temel
çözümü için φ2(x, λ) = 1 s sin sx[αΦ1(0, λ) + Φ 0 1(0, λ)] + φ1(0, λ) cos sx +1 s Z x 0
sin s(x − y)φ2(y, λ)q(y)dy (4.5.21)
φ02(x, λ) = −sφ1(0, λ) sin sx + (αΦ1(0, λ) + Φ01(0, λ)) cos sx
+ Z x
0
cos s(x − y)φ2(y, λ)q(y)dy (4.5.22)
integral ve integral-diferansiyel denklemi sağlanır. İspat . Teorem 5.5.1’in ispatına benzer şekilde yapılır.
Teorem 4.5.3. χ2(x, λ) fonksiyonu aşağıdaki integral ve integral-diferansiyel denklemleri
sağlar. Yani 5.4.23−5.4.25 başlangıç-değer problemi ile tanımlı olan χ2(x, λ) temel
çözümü için χ2(x, λ) = − 1 ssin s(1 − x) + 1 s Z 1 x
sin s(x − y)χ2(y, λ)q(y)dy (4.5.23)
χ02(x, λ) = cos s(1 − x) + Z 1
x
cos s(x − y)χ2(y, λ)q(y)dy (4.5.24)
integral ve integral-diferansiyel denklemi sağlanır. İspat . Teorem 5.5.1’in ispatına benzer şekilde yapılır.
Teorem 4.5.4. χ1(x, λ) fonksiyonu aşağıdaki integral ve integral-diferansiyel denklemleri
çözümü için χ1(x, λ) = χ2(0, λ) cos sx + 1 s(χ 0 2(0, λ) − αχ2(0, λ)) sin sx +1 s Z 0 x
sin s(x − y)χ1(y, λ)q(y)dy (4.5.25)
χ01(x, λ) = −sχ2(0, λ) sin sx + (χ02(0, λ) − αχ2(0, λ)) cos sx
+ Z x
0
cos s(x − y)χ1(y, λ)q(y)dy (4.5.26)
integral ve integral-diferansiyel denklemi sağlanır. İspat . Teorem 5.5.1’in ispatına benzer şekilde yapılır.
4.6 Temel Çözümlerin Özdeğer Parametresine Göre Asimptotik Davranışı
Önceki kısımda bulunan integral ve integral-diferansiyel denklemlerinden yararlanılarak, Φi(x, λ) ve χi(x, λ) (i = 1, 2) temel çözümlerinin λ parametresine göre |λ| −→ ∞
için asimptotik formülleri elde edilecektir.
Teorem 4.6.1. λ = s2, s = σ + it, Ims = t olmak üzere, Φ
1(x, λ) fonksiyonu için
−1 ≤ x ≤ 0 aralığında aşağıdaki asimptotik eşitlikleri sağlanır.
Φ1(x, λ) = O 1 |s| e |t|(x+1) , |λ| −→ ∞ (4.6.1) Φ01(x, λ) = O e|t|(x+1) , |λ| −→ ∞ (4.6.2) Φ1(x, λ) = − 1 ssin s(x + 1) + O 1 |s|2 e |t|(x+1) , |λ| −→ ∞ (4.6.3) Φ01(x, λ) = − cos s(x + 1) + O 1 |s| e |t|(x+1) , |λ| −→ ∞ (4.6.4)
İspat . ( Titcmarch (1962) Lemma 1.7(ii)).
Teorem 4.6.2. λ = s2, s = σ + it, Ims = t olmak üzere, Φ
2(x, λ) fonksiyonu için
Φ2(x, λ) = O 1 |s| e |t|(x+1) , |λ| −→ ∞ (4.6.5) Φ02(x, λ) = O e|t|(x+1) , |λ| −→ ∞ (4.6.6) Φ2(x, λ) = − 1 ssin s(x + 1) + O 1 |s|2 e |t|(x+1) , |λ| −→ ∞ (4.6.7) Φ02(x, λ) = − cos s(x + 1) + O 1 |s| e |t|(x+1) , |λ| −→ ∞ (4.6.8) İspat . F (x, λ) := |s|e−|t|(x+1) Φ2(x, λ) (4.6.9)
olarak F (x, λ) gösterilsin. Φ2(x, λ) için daha önce gösterilmiş olan 5.5.21 integral
denklemi üstteki eşitlikte yerine yazılırsa,
F (x, λ) = |s|e−|t|(x+1) 1 ssin sx[αΦ1(0, λ) + Φ 0 1(0, λ)] + φ1(0, λ) cos sx +1 s Z x 0
sin s(x − y)φ2(y, λ)q(y)dy
F (x, λ) = |s|e−|t|(x+1)1 ssin sxαΦ1(0, λ) + |s|e −|t|(x+1)Φ 1(0, λ) cos sx +|s|e−|t|(x+1)1 sΦ 0 1(0, λ) sin sx +|s|e−|t|(x+1)1 s Z x 0
sin s(x − y)Φ2(y, λ)q(y)dy (4.6.10)
elde edilir. 5.6.1 ve 5.6.2 asimptotik eşitlikleri dikkate alınırsa,
Φ1(0, λ) = O 1 |s|e |t| =⇒ |Φ1(0, λ)| ≤ M1 1 |s| e |t| Φ01(0, λ) = O e|t| =⇒ |Φ01(0, λ)| ≤ M2 e|t|
bulunur. Bu son iki eşitsizlikte bulunan değerler 5.6.10 eşitliğinde yerine yazılırsa ve
ifadeleri kullanılırsa, |F (x, λ)| ≤ |s|e−|t|(x+1)M1 1 |s|e |t| e|t|x+ |s|e−|t|(x+1) 1 |s|e |t|x αM1 1 |s|e |t| +|s|e−|t|(x+1)M2 1 |s|e |t| e|t|x +e−|t|(x+1) Z x 0
| sin[s(x − y)]| |q(y)| |F (y, λ)|e|t|(y+1)dy ≤ M1+ αM1
1
|s| + M2+ Z x
0
|q(y)|kF (y, λ)|dy (4.6.11)
elde edilir. 5.6.11 eşitsizliğinde,
F1 := max
x∈[0,1]|F (x, λ)| , q1 := maxx∈[0,1]
Z 1
0
|q(y)|dy (4.6.12)
ile tanımlansın. Bu durumda,
|F (x, λ)| ≤ M1+ αM1
1
|s| + M2+ Z x
0
|q(y)|kF (y, λ)|dy ≤ M1+ αM1 1 |s| + M2+ F1q1 (4.6.13) M := M1+ αM1 1 |s| + M2+ F1q1 ile gösterilirse, |F (x, λ)| ≤ M =⇒ |s||e−|t|(x+1) Φ2(x, λ)| ≤ M |Φ2(x, λ)| ≤ 1 |s|M e |t|(x+1)
elde edilir. Bulunan bu son eşitsizlikten,
Φ2(x, λ) = O 1 |s| e |t|(x+1) , |λ| −→ ∞
asimptotik eşitliği yazılabilir. Böylece istenilen ilk asimptotik eşitliğin sağlandığı gösterildi. Şimdi 5.6.6 asimptotik eşitliği ispatlansın. Daha önce,
Φ02(x, λ) = −sφ1(0, λ) sin sx + (αΦ1(0, λ) + Φ01(0, λ)) cos sx
+ Z x
0
cos s(x − y)φ2(y, λ)q(y)dy
olduğu gösterilmişti. Bu integral denklemini gözönüne alarak istenilen asimptotik eşitliğin sağlandığı gösterilsin. Daha önceden bilindiği gibi
Φ1(0, λ) = O 1 |s|e |t| =⇒ |Φ1(0, λ)| ≤ M1 1 |s| e |t| Φ01(0, λ) = O e|t| =⇒ |Φ01(0, λ)| ≤ M2 e|t|
yazılabilir. Bu ifadelerden yararlanılarak,
| − sΦ1(0, λ) sin sx| ≤ M1e|t|(x+1)
buradan,
−sΦ1(0, λ) sin sx = O e|t|(x+1)
(4.6.14)
asimptotik eşitliği elde edilir. Aynı şekilde,
|αΦ1(0, λ) cos sx| ≤ αM1
1 |s|e
|t|(x+1)
olup yine buradan asimptotik eşitlik tanım gereği,
αΦ1(0, λ) cos sx = O 1 |s| e |t|(x+1) (4.6.15) yazılır. |Φ01(0, λ) cos sx| ≤ M2e|t|(x+1)
yazılabilir. Asimptotik eşitlik tanımı kullanılarak
cos sxΦ01(0, λ) = O e|t|(x+1)
bulunur. Φ2(x, λ) = O 1 |s| e |t|(x+1) , |λ| −→ ∞
asimptotik eşitliği gözönüne alınırsa ve
q1 := max x∈[0,1] Z 1 0 |q(y)|dy ile tanımlanırsa, | Z x 0
cos s(x − y)q(y)Φ2(y, λ)dy| ≤
1 |s|
Z x
0
|e|t|(x−y) |q(y)|e|t|(y+1)dy ≤ q1 1 |s| e |t|(x+1) ≤ M3e|t|(x+1) bulunur. Buradan, Z x 0
cos s(x − y)q(y)Φ2(y, λ)dy = O e|t|(x+1)
(4.6.17)
yazılır. 5.6.14 - 5.6.17 ifadeleri Φ02(x, λ) integral denkleminde yerine yazılırsa,
Φ02(x, λ) = e|t|(x+1)
asimptotik eşitliği elde edilir.
5.6.7 asimptotik eşitliği ispatlansın. Bu ifadeyi ispatlamak için Φ2(x, λ) için teorem
5.5.2’ den elde edilen,
φ2(x, λ) = 1 ssin sx[αΦ1(0, λ) + Φ 0 1(0, λ)] + φ1(0, λ) cos sx +1 s Z x 0
