˙ISTANBUL TEKN˙IK ÜN˙IVERS˙ITES˙I F FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ
ÇE ¸S˙ITL˙I ELEMANLAR TA ¸SIYAN B˙IR K˙IR˙I ¸S (ÇUBUK) HAL˙INDE KARAKTER˙IST˙IK DENKLEM˙IN ELDE ED˙ILMES˙I ve ˙ILG˙IL˙I
ÖZDE ˘GER HASSAS˙IYETLER˙IN˙IN HESAPLANMASI
YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I Salih DEM˙IRTA ¸S
Makina Mühendisli˘gi Anabilim Dalı Makina Dinami˘gi, Titre¸sim ve Akusti˘gi
˙ISTANBUL TEKN˙IK ÜN˙IVERS˙ITES˙I F FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ
ÇE ¸S˙ITL˙I ELEMANLAR TA ¸SIYAN B˙IR K˙IR˙I ¸S (ÇUBUK) HAL˙INDE KARAKTER˙IST˙IK DENKLEM˙IN ELDE ED˙ILMES˙I ve ˙ILG˙IL˙I
ÖZDE ˘GER HASSAS˙IYETLER˙IN˙IN HESAPLANMASI
YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I Salih DEM˙IRTA ¸S
(503101406)
Makina Mühendisli˘gi Anabilim Dalı Makina Dinami˘gi, Titre¸sim ve Akusti˘gi
Tez Danı¸smanı: Prof. Dr. Metin GÜRGÖZE
˙ITÜ, Fen Bilimleri Enstitüsü’nün 503101406 numaralı Yüksek Lisans Ö˘grencisi Salih DEM˙IRTA ¸S, ilgili yönetmeliklerin belirledi˘gi gerekli tüm ¸sartları yerine getirdik-ten sonra hazırladı˘gı “ÇE ¸S˙ITL˙I ELEMANLAR TA ¸SIYAN B˙IR K˙IR˙I ¸S (ÇUBUK) HAL˙INDE KARAKTER˙IST˙IK DENKLEM˙IN ELDE ED˙ILMES˙I ve ˙ILG˙IL˙I ÖZDE ˘GER HASSAS˙IYETLER˙IN˙IN HESAPLANMASI” ba¸slıklı tezini a¸sa˘gıdaki imzaları olan jüri önünde ba¸sarı ile sunmu¸stur.
Tez Danı¸smanı : Prof. Dr. Metin GÜRGÖZE ... ˙Istanbul Teknik Üniversitesi
Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Vahit MERMERTA ¸S ... ˙Istanbul Teknik Üniversitesi
Prof. Dr. U˘gur GÜVEN ... Yıldız Teknik Üniversitesi
...
Teslim Tarihi : 06 Aralık 2013 Savunma Tarihi : 23 Ocak 2014
ÖNSÖZ
Bu tez çalı¸sması boyunca benden hiçbir yardımı esirgemeyen, tecrübelerini ve bilgilerini benimle payla¸san çok de˘gerli bilim insanı, Danı¸sman Hocam, Sayın Prof. Dr. Metin GÜRGÖZE’ye en derin sevgi, saygı ve te¸sekkürlerimi sunarım.
Tez çalı¸smamın sıkıntılı zamanlarını, beraber geçirdi˘gimiz keyifli anlar ve arkada¸slık-larıyla unutturan çok de˘gerli arkada¸slarım, Turgay ERAY ve Hakan ÜLKER’e te¸sekkürü borç bilirim.
Aralık 2013 Salih DEM˙IRTA ¸S
˙IÇ˙INDEK˙ILER Sayfa ÖNSÖZ ... v ˙IÇ˙INDEK˙ILER ... vii Ç˙IZELGE L˙ISTES˙I... ix ¸SEK˙IL L˙ISTES˙I... xi
SEMBOL L˙ISTES˙I... xiii
ÖZET ... xv
SUMMARY ...xvii
1. G˙IR˙I ¸S ... 1
2. ÇE ¸S˙ITL˙I ELEMANLAR TA ¸SIYAN B˙IR K˙IR˙I ¸S˙IN (E ˘G˙ILME T˙ITRE ¸S˙IM-LER˙I) KARAKTER˙IST˙IK DENKLEM˙IN˙IN ELDE ED˙ILMES˙I ve ˙IL-G˙IL˙I ÖZDE ˘GER HASSAS˙IYETLER˙IN˙IN HESAPLANMASI ... 3
2.1 Hareket Denklemlerinin Elde Edilmesi... 4
2.1.1 Lagrange Denklemlerinin ηi genelle¸stirilmi¸s koordinatları için yazılması... 7
2.1.2 z genelle¸stirilmi¸s koordinatına ili¸skin Lagrange Denkleminin yazılması 9 2.2 Karakteristik Denklemin Elde Edilmesi ... 10
2.2.1 Kiri¸s ve üzerine bir ayrık eleman eklenmesiyle olu¸san bile¸sik sistem ... 12
2.2.2 Kiri¸s ve üzerine birden fazla ayrık eleman eklenmesiyle olu¸san bile¸sik sistem ... 15
2.3 Özde˘ger Hassasiyetinin Elde Edilmesi... 17
2.4 Sayısal Hesaplamalar... 18
2.4.1 Üzerine tekil bir noktasal kütle eklenen basit mesnetli kiri¸s ... 21
2.4.2 Üzerine, Maxwell modeline uyan bir viskoleastik katı eklenen basit mesnetli kiri¸s ... 25
2.4.3 Ucuna tekil bir noktasal kütle eklenmi¸s , ara mesnetli ankastre kiri¸s... 33
2.4.4 Basit mesnetli kiri¸sin üzerine birden fazla ayrık elemanın eklenmesi durumu... 37
2.4.5 Üzerine noktasal kütle eklenen basit mesnetli plak... 41
3. ÇE ¸S˙ITL˙I ELEMANLAR TA ¸SIYAN B˙IR ÇUBU ˘GUN (BOYUNA T˙ITRE-¸S˙IMLER) KARAKTER˙IST˙IK DENKLEM˙IN˙IN ELDE ED˙ILMES˙I ve ˙ILG˙IL˙I ÖZDE ˘GER HASSAS˙IYETLER˙IN˙IN HESAPLANMASI... 45
3.1 Hareket Denklemlerinin Elde Edilmesi... 46
3.1.1 Lagrange denklemlerinin ηi genelle¸stirilmi¸s koordinatları için yazılması... 48
3.1.2 z1 genelle¸stirilmi¸s koordinatına ili¸skin Lagrange denkleminin yazılması... 49
3.1.3 Lagrange denkleminin z2genelle¸stirilmi¸s koordinatı için yazılması ... 50
3.2 Karakteristik Denklemin Elde Edilmesi ... 51
3.2.1 Çubuk üzerine bir ayrık eleman eklenmesiyle olu¸san bile¸sik sistem .... 53
3.2.2 Çubuk üzerine birden fazla ayrık eleman eklenmesiyle olu¸san bile¸sik sistem ... 54
3.3 Özde˘ger Hassasiyetlerinin Elde Edilmesi ... 55
3.4 Sayısal Hesaplamalar... 58
3.4.1 Üzerine tekil bir noktasal kütle eklenen çubuk ... 59
3.4.2 Üzerinde kütle-yay sistemi (osilatör) ta¸sıyan ve ucunda ayrık bir kütle bulunan çubuk... 63
3.4.3 Ta¸sıyıcı çubuk üzerine birden fazla ayrık eleman eklenmesi durumu.... 67
4. SONUÇLAR VE DE ˘GERLEND˙IRME ... 75
KAYNAKLAR... 79
EKLER ... 81
Ç˙IZELGE L˙ISTES˙I
Sayfa Çizelge 2.1 : x1noktasına eklenebilecek ayrık elemanlar için σ ve uuu1ifadeleri... 13
Çizelge 2.2 : g’nin ayrık elemanın fiziksel parametrelerine ve kiri¸se eklenmi¸s oldu˘gu konuma göre kısmˆı türevleri. ... 20 Çizelge 2.3 : Üzerine noktasal kütle eklenen basit mesnetli kiri¸s için boyutsuz
ilk be¸s do˘gal frekans. ... 24 Çizelge 2.4 : Çizelge 2.3’te verilen ilk 5 özfrekans için boyutsuz frekans
hassasiyetleri. ... 25 Çizelge 2.5 : Üzerine Maxwell modeline uyan viskoelastik bir katı eklenen
basit mesnetli kiri¸s için ilk üç boyutsuz özde˘ger... 31 Çizelge 2.6 : Çizelge 2.5’de verilen ilk üç boyutsuz özde˘ger için özde˘ger
hassasiyetleri. ... 32 Çizelge 2.7 : Ucuna noktasal kütle eklenen ara mesnetli ankastre kiri¸sin
boyutsuz ilk be¸s do˘gal frekansı. ... 36 Çizelge 2.8 : Çizelge 2.7’deki ilk 5 özfrekans için boyutsuz frekans
hassasiyet-leri... 37 Çizelge 2.9 : Üzerine birden fazla ayrık eleman eklenen basit mesnetli bir
kiri¸sin ilk be¸s boyutsuz özde˘geri... 40 Çizelge 2.10 : Çizelge 2.9’de verilen ilk özde˘ger için boyutsuz özde˘ger
hassasiyetleri. ... 40 Çizelge 2.11 : Ayrık elemanların fiziksel parametrelerinde ve bu elemanların
kiri¸se eklenmi¸s oldukları konumlarda (2.144)’te verilmi¸s olan küçük de˘gi¸simlerin olması durumu için elde edilen ilk be¸s yeni boyutsuz özde˘ger... 41 Çizelge 2.12 : Üzerine noktasal kütle eklenen basit mesnetli plak ( ¸Sekil 2.6)
için boyutsuz ilk be¸s do˘gal frekans. ... 43 Çizelge 2.13 : Çizelge 2.12’de verilen ilk üç özde˘ger için boyutsuz özde˘ger
hassasiyetleri. ... 43 Çizelge 3.1 : x1noktasına eklenen ayrık eleman için σ ifadeleri. ... 53 Çizelge 3.2 : Ayrık elemanın fiziksel parametreleri ve eklenmi¸s oldu˘gu
konuma göre g’nin kısmˆı türevleri. ... 57 Çizelge 3.3 : Üzerine noktasal kütle eklenen çubu˘gun boyutsuz ilk be¸s do˘gal
frekansı... 61 Çizelge 3.4 : Çizelge 3.3’te verilen ilk 5 özfrekans için boyutsuz frekans
hassasiyetleri. ... 62 Çizelge 3.5 : ¸Sekil 3.3’teki bile¸sik sistemin ilk üç boyutsuz özfrekansı... 66 Çizelge 3.6 : Çizelge 3.5’te verilen ilk üç özfrekans için boyutsuz frekans
Çizelge 3.7 : ¸Sekil 3.4’teki bile¸sik sistemin ilk be¸s boyutsuz özde˘ger. ... 70 Çizelge 3.8 : Bile¸sik sistemin ilk özde˘geri için boyutsuz özde˘ger hassasiyetleri. . 71 Çizelge 3.9 : De˘gi¸sen özde˘gerlerin hesaplanması... 72
¸SEK˙IL L˙ISTES˙I
Sayfa ¸Sekil 2.1 : Çe¸sitli ayrık elemanlar ta¸sıyan, rastgele mesnetli bir
Bernoulli-Euler kiri¸si... 3
¸Sekil 2.2 : Üzerine ayrık kütle eklenen basit mesnetli kiri¸s... 21
¸Sekil 2.3 : Üzerine Maxwell modeline uyan bir viskoelastik katı eklenen basit mesnetli kiri¸s . ... 26
¸Sekil 2.4 : Ucuna noktasal kütle eklenmi¸s, ara mesnetli kiri¸s. ... 33
¸Sekil 2.5 : Üzerine birden fazla ayrık eleman eklenen basit mesnetli kiri¸s. ... 38
¸Sekil 2.6 : Kenar uzunlukları a,b olan ve (xa, ya) noktasına ayrık kütle eklenmi¸s basit mesnetli plak. ... 42
¸Sekil 3.1 : Üzerinde çe¸sitli ayrık elemanlar ta¸sıyan çubuk. ... 45
¸Sekil 3.2 : Üzerine noktasal kütle eklenen çubuk. ... 59
¸Sekil 3.3 : Üzerinde kütle-yay sistemi ta¸sıyan ve ucuna ayrık bir M kütlesi eklenmi¸s çubuk. ... 63
¸Sekil 3.4 : Üzerine birden fazla ayrık eleman eklenen ta¸sıyıcı çubuk. ... 67
¸Sekil A.1 : Basit mesnetli ta¸sıyıcı kiri¸s... 83
¸Sekil A.2 : Ankastre ta¸sıyıcı kiri¸s. ... 100
SEMBOL L˙ISTES˙I
A : Üniform çubu˘gun kesit alanı
a : Dikdörtgen pla˘gın x do˘grultusundaki uzunlu˘gu B
BB : p× p karakteristik matris
b : Dikdörtgen pla˘gın y do˘grultusundaki uzunlu˘gu bi j : BBBmatrisinin (i, j)’nci elemanı
c : Viskoz sönüm katsayısı
cb : Burulmaya ili¸skin viskoz sönüm katsayısı D : Pla˘gın e˘gilme katılı˘gı
E : Elastisite modülü
g : Bile¸sik sistemin karakteristik denklemine ba˘glı olarak tanımlanan bir fonksiyon
h : Dikdörtgen pla˘gın kalınlı˘gı III : Birim matris
I : Alan atalet momenti j : ˙Imajiner birim
Ki : Ta¸sıyıcı bir yapının i. genelle¸stirilmi¸s katılı˘gı Kpq : Ta¸sıyıcı bir pla˘gın genelle¸stirilmi¸s katılı˘gı K
KKd : Elemanları Kiolan N × N, kö¸segen katılık matrisi
k : Yay sabiti
kb : Burulma yay sabiti
L : Kiri¸sin (çubu˘gun) uzunlu˘gu
Mi : Ta¸sıyıcı bir yapının i. genelle¸stirilmi¸s kütlesi Mpq : Ta¸sıyıcı pla˘gın genelle¸stirilmi¸s kütlesi M
MMd : Elemanları Miolan N × N, kö¸segen kütle matrisi
M : Ayrık kütle parametresi
m : Çubu˘gun birim uzunluk ba¸sına kütlesi N : Genelle¸stirilmi¸s koordinat sayısı p : Ayrık eklenti sayısı
q : Ayrık eklentilerin yerle¸stirildi˘gi konumların sayısı s : Ayrık eklentileri tanımlayan parametrelerin sayısı t : Zaman de˘gi¸skeni
u(x,t) : Keyfi bir t anında çubu˘gun x konumunun yatay yerde˘gi¸stirmesi u
uu(xa) : [u1(xa) u2(xa) u3(xa) · · · uN(xa)]T u
uui : uuu(xi)
w(x,t) : Keyfi bir t anında kiri¸sin x konumunun dü¸sey yerde˘gi¸stirmesi x : Konum koordinatı
αi : Ayrık eklentinin i. fiziksel parametresi
δi j : Kronecker deltası
ηi(x) : i. genelle¸stirilmi¸s koordinat
λR : λ ’nın reel kısmı
λI : λ ’nın imajiner kısmı ν : Poisson oranı
ρ : Kiri¸sin birim uzunluk ba¸sına kütlesi veya pla˘gın birim alan ba¸sına kütlesi σ : Ayrık eklentiyi tanımlayan parametre
φi(x) : Ta¸sıyıcı kiri¸sin (çubu˘gun) i. özfonksiyonu
ω : Bile¸sik sistemin do˘gal frekansı
ÇE ¸S˙ITL˙I ELEMANLAR TA ¸SIYAN B˙IR K˙IR˙I ¸S (ÇUBUK) HAL˙INDE KARAKTER˙IST˙IK DENKLEM˙IN ELDE ED˙ILMES˙I ve ˙ILG˙IL˙I
ÖZDE ˘GER HASSAS˙IYETLER˙IN˙IN HESAPLANMASI ÖZET
Üzerinde çe¸sitli ayrık elemanlar ta¸sıyan kiri¸slerin (çubukların) serbest titre¸simleri konusu uzun zamandır mühendisler tarafından ayrıntılı ve yo˘gun bir biçimde ara¸stırılmaktadır. Bu konu ile ilgili zengin bir literatür bulunmaktadır. Ancak pekçok çalı¸smada çubuk veya kiri¸s üzerine eklenen ayrık elemanlar, yay-kütle sistemi, noktasal kütle, yay-sönüm elemanı-kütle sistemi gibi, benzer tipdedir.
Philip D. Cha [J.S.V vol.286, pp.921-939 (2005)] çalı¸smasında, özel mesnetleme ¸sartlarından ba˘gımsız bir Bernoulli-Euler kiri¸si üzerine, ayrık kütle, yay, burulma yayı, viskoz sönüm elemanı, yay-sönüm elemanı-kütle sistemi, burulmalı viskoz sönüm elemanı ve belirli bir kütle atalet momentine sahip ayrık elemanın bir veya bir kaçının birlikte eklenmesi ile olu¸sacak olan bile¸sik sistemlerin özde˘gerlerinin belirlenmesi için etkili bir yöntem önermi¸stir. Sistemin özde˘gerlerini elde etmek için bir genelle¸stirilmi¸s özde˘ger probleminin çözülmesi yerine, Lagrange Denklemleri Yöntemi (Assumed Modes Method) kullanılarak sayısal olarak kolayca çözülebilen bir karakteristik denklem formüle edilmi¸stir.
P.D. Cha ve Andrew B. Sabater [AIAA Journal, vol.49, No.11, pp.2470-2481 (2011)] çalı¸smalarında ise, ayrık elemanların fiziksel parametrelerine ve eklenmi¸s oldukları konumlara göre bile¸sik sistemlerin özde˘ger hassasiyetlerini kapalı fonksiyonlar teoremi kullanılarak belirlenmesi için bir yakla¸sım önermi¸slerdir. Ayrıca, bu makalede ayrık elemanların fiziksel parametreleri ve eklenmi¸s oldukları konumlarda küçük de˘gi¸simlerin meydana gelmesi hali de ele alınmı¸stır. Böyle bir durum için de˘gi¸sen özde˘gerler yeni bir analize gerek duyulmaksızın özde˘ger hassasiyetlerinden faydalanılarak, Taylor serisi açılımı ile yakla¸sık olarak hesaplanmı¸stır.
Bu tez çalı¸smasının ikinci kısmında, yukarıda bahsi geçen Philip D. Cha’nın [J.S.V vol.286, s.921-939 (2005)] ve P.D. Cha ve Andrew B. Sabater’in [AIAA Journal, vol.40, No.11, s.2470-2481 (2011)] makaleleri titiz bir ¸sekilde incelenerek gerekli tüm ara i¸slemler ve sayısal hesaplamalar yapılmı¸stır.
Bu tezdeki esas katkı ise, çalı¸smanın üçüncü kısmında, ikinci kısmında önerilen ve açıklanan yöntemin, boyuna titre¸sen, üzerinde çe¸sitli ayrık elemanlar ta¸sıyan bir çubu˘ga uygulanması olmu¸stur. Çalı¸smaya konu olan bu çubu˘gun üzerinde, yay, noktasal kütle, sönüm elemanı, yay-kütle sistemi, yay-sönüm elemanı-kütle sistemi ve çubu˘gun ucunda bir yay bulunmaktadır. Yakla¸sık karakteristik denklem, Lagrange Denklemleri Yöntemi kullanılarak elde edilmi¸stir. ˙Ikinci kısıma paralel olarak, çe¸sitli bile¸sik sistemler için ayrık elemanların fiziksel parametreleri ve eklenmi¸s oldukları konumlara göre özde˘ger hassasiyetleri sayısal olarak hesaplanmı¸stır. Son olarak sistem parametrelerinde küçük de˘gi¸simlerin oldu˘gu durum gözönüne alınarak de˘gi¸sen özde˘gerler yakla¸sık olarak hesaplanmı¸stır.
Bir veya birden fazla ayrık eleman ta¸sıyan bile¸sik sistemlerin özde˘gerlerinin ve özde˘ger hassasiyetlerinin, önerilen bu yakla¸sım kullanılarak hesaplanmasının birçok avantajı vardır. ˙Ilk olarak, elde olunan karakteristik denklemin bir paket program kullanılarak kodlanması kolaydır. Ta¸sıyıcı kiri¸sin özfonksiyonlarının ve özde˘gerlerinin bilinmesi durumunda kolay bir ¸sekilde programlanabilir ve sayısal olarak çözülebilir. ˙Ikinci olarak, önerilen bu yakla¸sım ta¸sıyıcı kiri¸sin(çubu˘gun) özfonksiyonlarının belirlenebilmesinin mümkün olması halinde, çe¸sitli mesnetlenme durumları için uygulanabilir. Son olarak, ayrık elemanların fiziksel parametreleri ve eklenmi¸s oldukları konumlarda küçük de˘gi¸simlerin olması durumunda, de˘gi¸sen özde˘gerlerin Taylor serisi açılımı kullanılarak yakla¸sık olarak belirlenmesi için kullanılabilir.
OBTAINING EIGENVALUES AND EIGENVALUE SENSITIVITIES OF A BEAM (ROD) CARRYING VARIOUS LUMPED ATTACHMENTS
SUMMARY
A beam and rod are typically described as a structural element having one dimension (length) which is many times greater than its other dimensions. They share the same definition with only one distinction : the loading. Loading in beams is in transverse direction. Their motion is mainly in a direction perpendicular to their longitudinal axis. Rods, on the other hand, take axial or torsional loads and can deform longitudinally and rotationally around their longitudinal axis.
Beams and rods are some of the most fundamental structural and machine components. Buildings, steel framed structures, bridges, rotating shafts carrying pulleys and gears are examples of beam applications.In these applications, beams exist as structural elements or components supporting the whole structure. In addition, the whole structure can be modelled at a preliminary level as a beam. For example, a high-rise building and a wing of a plane can be modelled as a cantilever beam, or a bridge modelled as a simply supported beam. Truss members, hydraulic cylinders, as well as other components can be subjected to axial forces that excite mainly their longitudinal frequencies. These structures that are subjected to the axial forces are typical examples of rod applications.
The eigenvalues and eigenvalue sensitivities of combined system consisting of arbitrary supported linear structures, such as beams vibrating on transverse axis and rods vibrating on longitudinal axis, that carrying various lumped attachments are thoroughly analysed in this study. In the second part of the study, inspired from the work of Philip D. Cha [J.S.V vol.286, pp.921-939 (2005)], a simple approach is proposed that can be used to easily determine the eigenvalues of an arbitrarily supported single-span or multi-span beam carrying lumped mass, rotary inertia, grounded translational or torsional spring, grounded translational or torsional viscous damper and an undamped or damped oscillator with a rigid body degree of freedom. Rather than solving a generalized eigenvalue problem to obtain the eigenvalues of the system, a characteristic equation is formulated instead whose solution can be easily solved either numerically or graphically. To obtain the general characteristic equation, firstly arbitrary supported beam carrying lumped attachments which mentioned above is considered. The lateral displacement of the combined system at point x is expressed in the form of a finite series. This series consists of multiplication of the eigenfunctions φi(x) and generalized coordinates ηi(t) of the unconstrained beam (the beam without
any attachment). Under the assumption of finite series, it is considered to have a system having a finite degree of freedom instead of a system having an infinite degree of freedom.
Then, kinetic, potential energies and Rayleigh dissipation function of the combined system are achieved. Substituting the kinetic, potential energies and Rayleigh dissipation function into the Lagrange equations, equations of motion of the combined system are obtained.
Under the assumption of the solution of equations of motion are exponential, the solution consists of a multiplication of a time-dependent function and a constant value. After some algebra, approximate characteristic equation which eigenvalues of the combined system must satisfy is obtained. For an undamped system, the eigenvalues are purely imaginary, implying that the system executes simple harmonic motion, consistent with physical intuition. When damping is present, the eigenvalues are in the complex form.
The obtained characteristic equation can be assumed to contain all the possible attachments on the system. After the solving the equations of motion, σ functions that represent the lumped elements attached on the beam in the approximate characteristic equation are given in table for all attachments. Then this characteristic equation in the general form that can represent all possible cases are handled for the special cases in which single attachment on the beam or multiple attachments on the beam on different locations are executed, and for those cases characteristic equations are obtained. After obtaining the approximate characteristic equations of combined system, eigenvalue sensitivities are determined. The eigenvalue sensitivities with respect to the physical parameters of the lumped elements and their attachment locations are computed by taking the partial derivatives of the characteristic equation. An efficient approach is proposed by P.D. Cha ve Andrew B. Sabater [AIAA Journal, vol.49, No.11, pp.2470-2481 (2011)] to determine the eigenvalue sensitivities with respect to the physical parameters of the lumped elements and their attachment locations using the implicit function theorem. Firstly, eigenvalue sensitivities are obtained for a beam carrying a single lumped attachment using this paper. A function "g" is determined for this purpose. Note that the characteristic equation is obtained if the function g is equal to zero. Then, approximate eigenvalue sensitivities are obtained via simple partial differentiation by exploiting the implicit function theorem. In addition, partial differentiations of function g with respect to the physical parameters of the lumped elements and their attachment locations are given in table for various lumped attachments. Because these partial derivatives are tabulated, nonexperts can immediately obtain the eigenvalue sensitivities without having to perform any analysis. The proposed method is used to determine the eigenvalues and the eigenvalue sensitivities of various combined systems in the part of Numerical Computations. Whenever possible, the exact characteristic equation is determined via a boundary value formulations to compare with those obtained approximately. Finally, to assess the quality of the approximate results, percent error is given. The results is showed that approximate eigenvalues and eigenvalue sensitivities agree very well with the exact solution.
The main contribution of this study is applied to longitudinally vibrating rods which carrying various lumped attachments, including point masses, translational springs and dampers, undamped and damped oscillators with rigid body degree of freedom, using proposed method given in the second part of the study. Firstly, characteristic
equation is obtained as in the second part. The characteristic equation as well as σ parameters for various lumped attachments determined at this part was showed that they are identical with beam carrying miscellaneous lumped attachments. Next, σ parameters correspond to the lumped elements which attached on the rod are tabulated. In addition, partial derivatives with respect to the physical parameters of the lumped elements and their attachment locations are also tabulated. Finally, the eigenvalue sensitivities can be used in conjunction with the Taylor series expansion to compute the perturbed eigenvalues of a slightly modified system without performing a potentially costly reanalysis.
The eigenvalues and eigenvalue sensitivities of various combined systems are thoroughly investigated in the part of Numerical Computations. The exact characteristic equation is obtained via a boundary value formulation. Lastly, percent error is given to assess the quality of the approximate results. Numerical experiments validated the proposed scheme and showed that the approximate natural frequencies and sensitivities agree very well with the exact solution.
Determining eigenvalues and eigenvalue sensitivities of combined system consisting of an arbitrarily supported linear structure carrying any number of lumped attachments, the proposed scheme of calculating the eigenvalues and the eigenvalue sensitivities of the combined systems offers numerous advantages. First, proposed method is simple to code. Given the eigenfunctions, φi(x), of the host linear structure, characteristic
equations can be easily programmed and solved either graphically or numerically using any existing root solvers. Second, the proposed approach can be used to determine the eigenvalues and eigenvalue sensitivities with respect to any physical parameter of the lumped attachments. Third, the formulation of the present study is general, and the results can be easily extended to encompass any one- or two-dimensional linear structure onto which one or more lumped elements are attached. Finally, the eigenvalue sensitivities can be used in conjunction with the Taylor series expansion to compute the perturbed eigenvalues of a slightly modified system without performing a potentially costly reanalysis. As a result, numerical case studies are illustrated the validity of the proposed method when approximate eigenvalues and eigenvalue sensitivities are compared with those obtained exactly.
1. G˙IR˙I ¸S
Çubuklar ve kiri¸sler bir boyutu di˘ger iki boyutuna göre oldukça büyük olan yapı elemanlarıdır. Bu iki yapı elemanı arasındaki ayrım yükleme ¸seklinden kaynaklanır. Kiri¸slerde yükleme eninedir. Hareketi boyuna do˘grultudaki eksene dik do˘grultudadır. Çubuklarda ise hareket, boyuna, yani eksenel do˘grultudadır.
Kiri¸sler ve çubuklar en temel yapı ve makina bile¸senleridir. Köprüler, çelik konstrüksiyonlu yapılar, di¸sli çark ve kasnak ta¸sıyan miller, kiri¸slerin mühendislikte ilk aklımıza gelen örnekleridir. Bu uygulamalarda kiri¸sler, yapı elemanı olarak ya da tüm yapıyı destekleyen yapı bile¸seni olarak rol alır. Ayrıca, örne˘gin bir gökdelen veya bir uçak kanadı ankastre kiri¸s olarak, bir köprü ise basit mesnetli bir kiri¸s olarak modellenebilir. Binalar, köprüler vs. gibi yapılarda bulunan çelik çerçeveyi te¸skil eden elemanlar ve hidrolik silindirler ise boyuna titre¸simleri tahrik eden eksenel yüke maruz kalır. Eksenel yüklemelerin tesir etti˘gi bu gibi yapılar, çubu˘gun mühendislikteki ba¸slıca uygulama alanlarıdır [1].
Üzerine çe¸sitli ayrık elemanlar eklenerek olu¸san kiri¸slerin ve çubukların serbest titre¸simleri konusu uzun zamandır mühendisler tarafından ayrıntılı ve yo˘gun bir biçimde ara¸stırılmı¸stır ve hâlen de ara¸stırılmaktadır. Bu konudaki zengin literatürde bulunan çalı¸smalardan birkaçı [2–6]’da verilmi¸stir. Bu çalı¸smalarda bile¸sik sistemlerin özde˘gerlerini belirlemek için genelle¸stirilmi¸s özde˘ger probleminin çözülmesi yerine bir karakteristik denklem formüle edilmi¸stir. Gürgöze ve di˘gerleri [2], ucunda noktasal kütle bulunan, ara mesnetli, ankastre Bernoulli-Euler kiri¸sinin serbest titre¸simleri ile ilgilenmi¸slerdir. Yazarlar bu çalı¸smalarında, kesin karakteristik denklemi Sınır De˘ger Problemi Metodu ile, yakla¸sık karakteristik denklemi ise Lagrange Çarpanları Metodu ile elde etmi¸slerdir. Buna ek olarak, ara mesnetin konumundaki küçük de˘gi¸simlere göre özde˘ger hassasiyetinin belirlenmesi için bir formül türetilmi¸stir. Gürgöze [3] di˘ger bir çalı¸smasında ucunda noktasal bir kütle bulunan, üzerinde yay-kütle sistemi ta¸sıyan bir çubuk(boyuna titre¸simler) için frekans denklemi ve
frekans hassasiyetinin belirlenilmesi problemi ile ilgilenmi¸stir. Daha sonra, genel durumdaki frekans denklemi ifadesinin özel durumları olarak, daha basit yapıdaki frekans denklemleri elde edilmi¸stir. Cha ise [4] makalesinde, kiri¸s üzerine ayrık kütle, yay ve sönüm elemanı eklenmesi ile olu¸san bile¸sik sistemin yakla¸sık karakteristik denklemini, Lagrange Denklemleri Yöntemi (Assumed Modes Method) kullanarak elde etmi¸stir.
Bunlar ve önceki pekçok çalı¸smada çubuk veya kiri¸s üzerine eklenen ayrık elemanlar, yay-kütle sistemi, noktasal kütle, yay-sönüm elemanı-kütle sistemi gibi, benzer tipdedir. Bu tez çalı¸smasının ikinci bölümünde, Cha’nın [5, 6] makaleleri titizlikle incelenerek anlamaya çalı¸sılmı¸s ve daha sonra da, yapılan sayısal hesaplamalar ve matematiksel ara i¸slemler ayrıntılı bir biçimde verilmi¸stir. Yazar bu çalı¸smalarında, özel mesnetleme ¸sartlarından ba˘gımsız bir Bernoulli-Euler kiri¸si üzerine, ayrık kütle, yay, burulma yayı, viskoz sönüm elemanı, yay-sönüm elemanı-kütle sistemi, burulmalı viskoz sönüm elemanı, belirli bir kütle atalet momentine sahip ayrık elemanın bir veya bir kaçının birlikte eklenmesi ile olu¸sacak bile¸sik sistemlerin özde˘gerlerinin ve özde˘ger hassasiyetlerinin belirlenmesini amaçlayan bir yöntem önermi¸stir.
Bu tezdeki esas katkı ise üçüncü bölümde, ikinci bölümde önerilen yöntemin boyuna titre¸sen, üzerinde çe¸sitli ayrık elemanlar ta¸sıyan bir çubu˘ga uygulanması ¸seklinde olmu¸stur. Çalı¸smaya konu olan bu çubu˘gun üzerinde, yay, noktasal kütle, sönüm elemanı, yay-kütle sistemi, yay-sönüm elemanı-kütle sistemi ve çubu˘gun ucunda bir yay bulunmaktadır. ˙Ilk olarak, Lagrange Denklemleri Yöntemi (Assumed Modes Method) kullanılarak, çubu˘gun boyuna titre¸simleri için genel bir karakteristik denklem ifadesi elde edilmi¸stir. Daha sonra çubuk üzerine bir ve birden fazla ayrık eleman eklenmesi durumları ele alınmı¸s ve bu özel durumlar için daha basit yapıdaki karakteristik denklem ifadeleri elde edilmi¸stir. Bunlara ek olarak, kapalı fonksiyonlar teoremi kullanılarak ayrık elemanların fiziksel parametrelerine ve eklenmi¸s oldukları konumlara göre özde˘ger hassasiyetleri de belirlenmi¸stir.
2. ÇE ¸S˙ITL˙I ELEMANLAR TA ¸SIYAN B˙IR K˙IR˙I ¸S˙IN (E ˘G˙ILME T˙ITRE ¸S˙IM-LER˙I) KARAKTER˙IST˙IK DENKLEM˙IN˙IN ELDE ED˙ILMES˙I ve ˙ILG˙IL˙I ÖZDE ˘GER HASSAS˙IYETLER˙IN˙IN HESAPLANMASI
Çalı¸smaya konu olacak olan mekanik sistem (Bernoulli-Euler kiri¸si) ¸Sekil 2.1’de gösterilmi¸stir. Karakteristik denklemini elde etmek amacıyla ele alınan bu kiri¸ste; x1’de yay katsayısı k olan bir yay; x2’de noktasal bir M kütlesi; x3’te yay katsayısı
kb olan bir burulma yayı; x4’te c sönüm katsayılı viskoz bir sönüm elemanı; x5’te
parametreleri M1, c1ve k1olan basit yay-sönüm elemanı-kütle sistemi; x6’da katsayısı
cb olan burulmalı viskoz bir sönüm elemanı ve son olarak x7’de ise kütlesel atalet
momenti J olan bir ayrık eleman bulunmaktadır.
¸Sekil 2.1: Çe¸sitli ayrık elemanlar ta¸sıyan, rastgele mesnetli bir Bernoulli-Euler kiri¸si. ¸Simdilik, özel mesnetleme ¸sartlarını dikkate almayaca˘gımız bu Bernoulli-Euler kiri¸sinin e˘gilme titre¸simlerini ele alalım. ˙Ilk olarak, ¸Sekil 2.1’deki bile¸sik sistemin yakla¸sık hareket denklemi "Lagrange Denklemleri Yöntemi" kullanılarak elde edilecektir. Sonrasında, hareket denkleminin çözümüne geçilerek yakla¸sık karakteristik denklem ifadesi elde edilecektir.
2.1 Hareket Denklemlerinin Elde Edilmesi
Bile¸sik sistemin herhangi bir x noktasının dü¸sey yer de˘gi¸stirmesi yakla¸sık olarak,
w(x,t) =
N
∑
i=1φi(x)ηi(t) (2.1)
biçiminde sonlu bir seriyle ifade edilebillir. Burada N seçilen mod sayısını, φi(x)(i = 1, 2, . . . , N) kiri¸sin (ta¸sıyıcı kiri¸sin) özfonksiyonları ve ηi(t)(i = 1, 2, . . . , N)
ise genelle¸stirilmi¸s koordinatlardır.
Yukarıdaki gibi sonlu bir seri çözümü kabulü yapılmakla, sürekli sistem yerine, N serbestlik dereceli ayrık bir sistem alınmı¸s olaca˘gı açıktır.
Sistemin hareket denklemini elde etmek için ilk olarak kinetik enerji, potansiyel enerji ve Rayleigh disipasyon fonksiyonunu yazmamız gerekir. Bu ba˘glamda, kiri¸sin toplam uzunlu˘gunun L oldu˘gunu kabul edelim.
Sistemin toplam kinetik enerjisinin,
T = 1 2 Z L 0 ρ [ ˙w(x,t)]2dx +1 2Mw˙ 2(x 2,t) +1 2M1˙z 2(t) +1 2J ˙θ 2(x 7,t) ˙ ˆ=∂ ∂ t (2.2) ¸seklinde olaca˘gı açıktır. Burada ρ kiri¸sin birim uzunluk ba¸sına kütlesi, z(t) sönümlü osilatörün (bundan sonra basit yay-sönüm elemanı-kütle sistemi yerine kısalık için kullanılacaktır.) dü¸sey yer de˘gi¸stirmesi, θ (x,t) ise,
θ (x, t) = ∂ w(x, t)
∂ x (2.3)
¸seklinde, kiri¸sin dönme miktarını göstermektedir.
¸Simdi, (2.1) denklemini, (2.3)’ü de hesaba katarak, (2.2)’de yerine koyabiliriz :
T = 1 2 Z L 0 ρ " N
∑
i=1 φi(x) ˙ηi(t) N∑
j=1 φj(x) ˙ηj(t) # dx +1 2M N∑
i=1 φi(x2) ˙ηi(t) N∑
j=1 φj(x2) ˙ηj(t) +1 2M1˙z 2(t) +1 2J N∑
i=1 φi0(x7) ˙ηi(t) N∑
j=1 φ0j(x7) ˙ηj(t). (2.4)Bundan sonrasında (2.4) düzenlenerek kinetik enerji için, T = 1 2 N
∑
i=1 N∑
j=1 Mi jη˙i(t) ˙ηj(t) + 1 2M N∑
i=1 N∑
j=1 φi(x2)φj(x2) ˙ηi(t) ˙ηj(t) +1 2M1˙z 2(t) +1 2J N∑
i=1 N∑
j=1 φi0(x7)φ0j(x7) ˙ηi(t) ˙ηj(t) (2.5)ifadesi elde edilir. Burada,
Mi j = Z L
0
ρ φi(x)φj(x) dx (2.6)
kısaltması kullanılmı¸stır. Sistemin potansiyel enerjisi ise,
V = 1 2 Z L 0 EIw00(x,t)2dx +1 2kw 2(x 1,t) +1 2kbθ 2(x 3,t) + 1 2k1[z(t) − w(x5,t)] 2 0=ˆ ∂ ∂ x (2.7) olarak yazılabilir.
(2.1) denklemi, (2.3)’den de faydalanılarak, (2.7)’de yerine konulacak olursa,
V = 1 2 Z L 0 EI " N
∑
i=1 φi00(x)ηi(t) N∑
j=1 φ00j(x)ηj(t) # dx +1 2k N∑
i=1 φi(x1)ηi(t) N∑
j=1 φj(x1)ηj(t) + 1 2kb N∑
i=1 φi0(x3)ηi(t) N∑
j=1 φ0j(x3)ηj(t) +1 2k1 " z(t) − N∑
i=1 φi(x5)ηi(t) #2 (2.8) elde edilir.Yukarıdaki ifade düzenlenirse, potansiyel enerji ifadesi,
V = 1 2 N
∑
i=1 N∑
j=1 Ki jηi(t)ηj(t) + 1 2k N∑
i=1 N∑
j=1 φi(x1)φj(x1)ηi(t)ηj(t) +1 2kb N∑
i=1 N∑
j=1 φi0(x3)φ0j(x3)ηi(t)ηj(t) + 1 2k1 " z(t) − N∑
i=1 φi(x5)ηi(t) #2 (2.9)¸seklini alır. Burada,
Ki j = Z L
0 EIφ 00
kısaltmasından faydalanılmı¸stır.
¸Simdi, ¸Sekil 2.1’deki bile¸sik sistemde, ta¸sıyıcı kiri¸sin φi(x)(i = 1, 2, . . . , N)
özfonksiyonlarının ortogonal oldu˘gunu hatırlayalım. Bilindi˘gi üzere özfonksiyonların ortogonalli˘gi,
Z L 0
ρ φi(x)φj(x)dx = 0 , i6= j (2.11)
e¸sitli˘ginin sa˘glanmasıyla ifade edilir. (2.11)’in bir sonucu olarak, Mi j ve Ki j’nin,
dolayısıyla kinetik ve potansiyel enerjilerin tekrar de˘gerlendirilmesi yerinde olur. (2.11)’den Mi j ve Ki j’nin, Mi= Z L 0 ρ φi2(x) dx , (2.12a) Ki= Z L 0 EI[φi00(x)]2dx (2.12b)
¸seklinde yazılabilece˘gi açıktır. Bu durumda kinetik enerji, T = 1 2 N
∑
i=1 Miη˙i2(t) +1 2M N∑
i=1 N∑
j=1 φi(x2)φj(x2) ˙ηi(t) ˙ηj(t) +1 2M1˙z 2(t) +1 2J N∑
i=1 N∑
j=1 φi0(x7)φ0j(x7) ˙ηi(t) ˙ηj(t), (2.13)ifadesine, potansiyel enerji ise V =1 2 N
∑
i=1 Kiηi2(t) +1 2k N∑
i=1 N∑
j=1 φi(x1)φj(x1)ηi(t)ηj(t) +1 2kb N∑
i=1 N∑
j=1 φi0(x3)φ0j(x3)ηi(t)ηj(t) + 1 2k1 " z(t) − N∑
i=1 φi(x5)ηi(t) #2 (2.14) ba˘gıntısına indirgenir.Son olarak da, Rayleigh disipasyon fonksiyonu, R= 1 2cw˙ 2(x 4,t) + 1 2c1[˙z(t) − ˙w(x5,t)] 2+1 2cb ˙ θ2(x6,t) (2.15) olarak yazılabilir.
¸Simdi, (2.1) çözüm kabulü (2.15)’te yerine konulunca :
R= 1 2c N
∑
i=1 φi(x4) ˙ηi(t) N∑
j=1 φj(x4) ˙ηj(t) + 1 2c1 " ˙z(t) − N∑
i=1 φi(x5) ˙ηi(t) #2 +1 2cb N∑
i=1 φi0(x6) ˙ηi(t) N∑
j=1 φ0j(x6) ˙ηj(t), (2.16)ba˘gıntısına eri¸silir. Bu ifade düzenlenince de Rayleigh disipasyon fonksiyonu nihayet, R= 1 2c N
∑
i=1 N∑
j=1 φi(x4)φj(x4) ˙ηi(t) ˙ηj(t) + 1 2c1 " ˙z(t) − N∑
i=1 φi(x5) ˙ηi(t) #2 +1 2cb N∑
i=1 N∑
j=1 φi0(x6)φ0j(x6) ˙ηi(t) ˙ηj(t) (2.17)¸seklinde elde edilir.
Kinetik enerji, potansiyel enerji ve Rayleigh disipasyon fonksiyonu elde oldu˘guna göre artık bundan sonra hareket denkleminin elde edilmesine geçilebilir.
2.1.1 Lagrange Denklemlerinin ηigenelle¸stirilmi¸s koordinatları için yazılması
Lagrange denklemleri ηi (i = 1, 2, ..., N) genelle¸stirilmi¸s koordinatları için a¸sa˘gıdaki
¸sekilde yazılır : d dt ∂ T ∂ ˙ηi − ∂ T ∂ ηi + ∂V ∂ ηi + ∂ R ∂ ˙ηi = 0. (i = 1, 2, ..., N) (2.18) A¸sa˘gıda T , V ve R sırasıyla (2.13), (2.14) ve (2.17)’den alınarak, yukarıdaki denklemin her terimi için gerekli ara i¸slemler ayrı ayrı yapılacaktır.
i) d dt ∂ T ∂ ˙ηi : d dt ∂ T ∂ ˙ηi = N
∑
i=1 Miη¨i(t) + Mφi(x2) N∑
j=1 φj(x2) ¨ηj(t) + Jφi0(x7) N∑
j=1 φ0j(x7) ¨ηj(t) . (i = 1, 2, ...N)Matris notasyonu kullanılarak yukarıdaki ifade, d dt ∂ T ∂ ˙ηi = MMMdηηη + (Mφ¨ φφ2φφφ2T+ Jφφφ07φφφ0T7 ) ¨ηηη =MMMd+ Mφφφ2φφφT2 + Jφφφ07φφφ0T7 ¨ ηηη (2.19) olarak yazılabilir. Burada, ayrık elemanların kiri¸s üzerinde eklendi˘gi xi
(i = 1, 2, . . . , 7) konumunda de˘gerlendirilen φφφi özfonksiyonlar vektörü ve ηηη genelle¸stirilmi¸s koordinatlar vektörü a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanmı¸stır :
φ φφi= [φ1(xi) · · · φR(xi) · · · φN(xi)]T , η η η = [η1(t) · · · ηR(t) · · · ηN(t)]T. (2.20)
Di˘ger taraftan (2.19)’daki MMMdmatrisinde kullanılmı¸s olan "d" üst indisi, o matrisin diagonal, yani kö¸segen oldu˘gunu belirtti˘gine i¸saret edelim. Bu, özfonksiyonların ortogonalli˘ginin bir sonucudur.
ii) ∂ T ∂ ηi = 0 . (i = 1, 2, · · · N) iii) ∂V ∂ ηi : ∂V ∂ ηi = N
∑
i=1 Kiηi(t) + 1 2kφi(x1) N∑
j=1 φj(x1)ηj(t) + 1 2kφi(x1) N∑
j=1 φj(x1)ηj(t) +1 2kbφ 0 i(x3) N∑
j=1 φ0j(x3)ηj(t) + 1 2kbφ 0 i(x3) N∑
j=1 φ0j(x3)ηj(t) + k1 " z(t) − N∑
j=1 φj(x5)ηj(t) # [−φi(x5)] . (i = 1, 2, 3 · · · N) Bu denklem düzenlenirse, ∂V ∂ ηi = N∑
i=1 Kiηi(t) + kφi(x1) N∑
j=1 φj(x1)ηj(t) + kbφi0(x3) N∑
j=1 φ0j(x3)ηj(t) − k1z(t)φi(x5) + k1φi(x5) N∑
j=1 φj(x5)ηj(t) (i = 1, 2, · · · N) (2.21) elde edilir.(2.21) denklemi, matris notasyonu kullanılarak a¸sa˘gıdaki gibi yazılabilir :
∂V ∂ ˙ηi
= KKKdηηη + kφφφ1φφφT1ηηη + kbφφφ03φφφ0T3 ηηη + k1φφφ5φφφT5ηηη − k1φφφ5z(t).
Yukarıdaki ifade düzenlenirse, ∂V ∂ ˙ηi =KKKd+ kφφφ1φφφT1 + kbφφφ03φφφ0T3 + k1φφφ5φφφT5 η η η − k1φφφ5z(t) (2.22) ¸seklini alır. iv) ∂ R ∂ ˙ηi : ∂ R ∂ ˙ηi =1 2c φi(x4) N
∑
j=1 φj(x4) ˙ηj(t) + 1 2c φi(x4) N∑
j=1 φj(x4) ˙ηj(t) + c1 " ˙z(t) − N∑
j=1 φj(x5) ˙ηj(t) # [−φi(x5)] + 1 2cbφ 0 i(x6) N∑
j=1 φ0j(x6) ˙ηj(t) +1 2cbφ 0 i(x6) N∑
j=1 φ0j(x6) ˙ηj(t). (i = 1, 2, 3 · · · N)Düzenlenirse, ∂ R ∂ ˙ηi = cφi(x4) N
∑
j=1 φj(x4) ˙ηj(t) + c1φi(x5) N∑
j=1 φj(x5) ˙ηj(t) + cbφi0(x6) N∑
j=1 φ0j(x6) ˙ηj(t) − c1φi(x5)˙z(t) (i = 1, 2, 3, · · · N) (2.23)ifadesine eri¸silir. Bu ifade ise matris notasyonu ile, ∂ R ∂ ˙ηi = cφφφ4φφφT4η + cηη˙ 1φφφ5φφφT5ηηη + c˙ bφφφ06φφφ 0T 6 ηηη − c˙ 1φφφ5˙z
olarak yazılabilir. Düzenlenirse, ∂ R ∂ ˙ηi = cφφφ4φφφT4+ c1φφφ5φφφT5+ cbφφφ06φφφ0T6 ˙ηηη − c1φφφ5˙z (2.24) ¸seklini alır.
Artık, elde edilen (2.19), (2.22) ve (2.24) denklemlerini (2.18)’de yerine koyarak, Lagrange denklemlerini ηi (i = 1, 2, ...N) genelle¸stirilmi¸s koordinatları için a¸sa˘gıdaki
¸sekilde yazabiliriz : h MMMd+ Mφφφ2φφφT2 + Jφφφ7φφφT7 i ¨ ηηη +cφφφ4φφφT4 + c1φφφ5φφφT5+ cbφφφ60φφφ0T6 ˙ηηη − c1φφφ5˙z + h KKKd+ kφφφ1φφφT1+ kbφφφ03φφφ0T3 + k1φφφ5φφφT5 i ηηη − k1φφφ5z= 000 . (2.25) Burada, 000 = [0 · · · 0 · · · 0]T ¸seklinde tanımlı, N elemanlı sıfır sütun vektördür.
2.1.2 z genelle¸stirilmi¸s koordinatına ili¸skin Lagrange Denkleminin yazılması Lagrange denklemi, z genelle¸stirilmi¸s koordinatı için a¸sa˘gıdaki ¸sekilde yazılabilir :
d dt ∂ T ∂ ˙z −∂ T ∂ z + ∂V ∂ z + ∂ R ∂ ˙z = 0. (2.26)
¸Simdi bu ba˘gıntıda da her bir terimi elde edip düzenleyerek z’ye ili¸skin hareket denklemini elde edelim :
∂ T ∂ ˙z = M1˙z(t) → d dt ∂ T ∂ ˙z = M1¨z(t) , (2.27a) ∂ T ∂ z = 0 , (2.27b) ∂V ∂ z = k1 " z(t) − N
∑
i=1 φi(x5)ηi(t) # , (2.27c) ∂ R ∂ ˙z = c1 " ˙z(t) − N∑
i=1 φi(x5) ˙ηi(t) # . (2.27d)(2.27) denklemleri, matris notasyonu kullanılarak düzenlenirse, d dt ∂ T ∂ ˙z = M1¨z , (2.28a) ∂ T ∂ z = 0 , (2.28b) ∂V ∂ z = k1z− k1φφφ T 5ηηη , (2.28c) ∂ R ∂ ˙z = c1˙z − c1φφφ T 5ηηη˙ (2.28d) elde edilir.
(2.28) ifadeleri (2.26)’daki yerlerine konulursa,
M1¨z + c1˙z − c1φφφT5ηη + kη˙ 1z− k1φφφT5ηηη = 0 (2.29) olarak z genelle¸stirilmi¸s koordinatı için Lagrange denklemi elde edilmi¸s olur.
Böylece, yukarıda sistemin hareketine ili¸skin Lagrange denklemleri elde edilmi¸s oldu. Artık karakteristik denklemin elde edilmesine geçilebilir.
2.2 Karakteristik Denklemin Elde Edilmesi
Karakteristik denklemi elde etmek için öncelikle (2.25) ve (2.29) hareket denklem-lerini, bazı kısaltmalardan faydalanarak a¸sa˘gıdaki ¸sekilde yazalım :
µ µµ 000 0 0 0T M1 ¨ηηη ¨z + ξ ξξ −c1φφφ5 −c1φφφT5 c1 ˙ηηη ˙z + κ κκ −k1φφφ5 −k1φφφT5 k1 ηηη z =000 0 . (2.30) Burada, µ µµ = MMMd+ Mφφφ2φφφT2 + Jφφφ07φφφ0T7 , κ κκ = KKKd+ kφφφ1φφφT1+ kbφφφ03φφφ0T3 + k1φφφ5φφφT5 , ξ ξξ = cφφφ4φφφT4 + c1φφφ5φφφT5 + cbφφφ06φφφ0T6 (2.31)
tanımlamaları kullanılmı¸stır.
¸Simdi, bundan sonra (2.30)’da matris notasyonuyla verilmi¸s olan (N + 1) adet lineer diferansiyel denklemin çözümüyle ilgilenelim. Bu denklemler için, sabit bir vektör ile zamanın üstel bir fonksiyonun çarpımı ¸seklindeki,
η ηη z = ¯ηηη ¯z eλ t (2.32)
çözüm kabulü yapılırsa, (2.30)’dan λ2 µµµ 000 0 00T M1 + λ ξξξ −c1φφφ5 −c1φφφT5 c1 + κκκ −k1φφφ5 −k1φφφT5 k1 ¯ η η η ¯z = 000 0 (2.33) e¸sitli˘gine ula¸sılır. Burada λ , sistemin henüz bilinmeyen bir özde˘gerini temsil etmektedir.
Yukarıdaki ifade,
λ2µµµ ¯ηηη + λ (ξξξ ¯ηηη − c1φφφ5¯z) + κκκ ¯ηηη − k1φφφ5¯z = 000 , (2.34a) λ2M1¯z − λ c1φφφT5ηηη + λ c¯ 1¯z − k1φφφT5ηηη + k¯ 1¯z = 0 (2.34b)
¸seklinde, iki denklem olarak yazılabilir. (2.34b)’den ¯z,
¯z = k1+ λ c1 k1+ c1λ + M1λ2
φφφT5ηηη¯ (2.35) olarak çekilir ve (2.34a)’daki yerine konulursa,
λ2µµµ + λ ξξξ + κκκ − (k1+ c1λ ) 2 k1+ c1λ + M1λ2 φ φφ5φφφT5 ¯ η ηη = 000 (2.36) ¸seklinde N adet, homojen cebirsel denklemden olu¸san bir denklem takımına gelinir. Son olarak (2.36), (2.31) tanımlamalarından yola çıkılarak düzenlenecek olursa,
λ2MMMd+ KKKd+ 7
∑
i=1 σiuuuiuuuTi ! ¯ ηηη = 000 (2.37) ifadesi elde edilir. Burada a¸sa˘gıdaki kısaltmalar kullanılmı¸stır :σ1= k, σ2= Mλ2, σ3= kb, σ4= cλ , σ5= (k1+ c1λ )M1λ2 k1+ c1λ + M1λ2 , σ6= cbλ , σ7= Jλ2. (2.38) Di˘ger taraftan uuui , u uui= φφφi → i= 1, 2, 4, 5 ve uuui= φφφ0i → i= 3, 6, 7 (2.39)
¸seklinde tanımlı N elemanlı sütun vektördür.
(2.37)’de verilen N adet denklemin, adi olmayan çözümlerinin mevcut olabilmesi için λ özde ˘gerleri, det λ2MMMd+ KKKd+ 7
∑
i=1 σiuuuiuuuTi ! = 0 (2.40) e¸sitli˘gini sa˘glamalıdır.Elde olunan (2.40)’ın kökleri, sistemin ¸simdiye dek bilinmeyen λ özde˘gerlerini verir. Bu denklem, ¸Sekil 2.1’de verilen sistemin yakla¸sık karakteristik denklemi’dir. Ayrıca bu denklemin incelenen türdeki bile¸sik sistemler için en genel durumdaki bir karakteristik denklem olaca˘gı da söylenebilir.
A¸sa˘gıda, kiri¸sin üzerine bir ve birden fazla ayrık eleman eklenmesiyle olu¸san bile¸sik sistemler için karakteristik denklemlerin nasıl bulunaca˘gı konusuna yo˘gunla¸smak istiyoruz.
2.2.1 Kiri¸s ve üzerine bir ayrık eleman eklenmesiyle olu¸san bile¸sik sistem
Kiri¸s üzerinde yalnızca x1 noktasında bir ayrık elemanın bulundu˘gu, özel durumdaki
bile¸sik sistem ele alınsın. Bu durumda (2.40)’ın basitle¸serek, detλ2MMMd+ KKKd+ σ uuu1uuuT1
= 0 (2.41)
¸seklinde yazılabilece˘gi açıktır. Burada σ ve uuu1eklenen ayrık elemanın cinsine ba˘glıdır. Kiri¸s üzerine eklenen çe¸sitli ayrık elemanlar için σ ve uuui ifadeleri, (2.38) ve (2.39) tanımlamalarından yola çıkılarak Çizelge 2.1’de verilmi¸stir.
Bundan sonrasında, (2.41) ile verilen karakteristik denklem incelenecektir. Bu ifade tetkik edildi˘ginde, determinantı hesaplanacak olan, (N × N) boyutundaki matrisin, kö¸segen bir matris ile rankı "bir" olan bir matrisin toplamından ibaret oldu˘gu görülür. Böyle özel matrislerin determinantının hesaplanmasında kullanılan basit formüller vardır :
AAAN×Ntekil olmayan bir matris, ccc ve dddise N elemanlı sütun vektörler olsun. Bu durumda, det III + ccc dddT = 1 + dddTccc, (2.42a) det AAA+ ccc dddT = det(AAA) 1 + dddTAAA−1ccc (2.42b) ifadeleri yazılabilir [8].
Çizelge 2.1: x1noktasına eklenebilecek ayrık elemanlar için σ ve uuu1ifadeleri.
Eklenen ayrık eleman σ uuu1= uuu(x1)
Noktasal kütle Mλ2 φφφ1
Kütlesel atalet momenti Jλ2 φφφ01
Yay k φφφ1
Burulma yayı kb φφφ01
Viskoz sönüm elemanı c λ φφφ1
Burulmalı viskoz sönüm elemanı cbλ φφφ01 Sönümlü osilatör (k+cλ )Mλk+cλ +Mλ22 φφφ1
¸Simdi, (2.42b) formülü ile verilen sonucun nasıl elde olunaca˘gına bakalım.
˙Iki matrisin çarpımlarının determinantının, determinantlarının çarpımına e¸sit olması gerekti˘gi kuralı ile (2.42b) denkleminin sol tarafı ilk etapta,
det(AAA+ ccc dddT) = det(AAA) det(IIIn+ AAA−1ccc dddT) (2.43)
¸seklinde yazılabilir. Burada IIIn, N × N boyutundaki birim matristir.
(2.43) e¸sitli˘gindeki ikinci çarpan olan determinant ifadesinde,
det(IIIn+ AAA−1ccc dddT) = det IIIn+ AAA−1ccc dddT AAA−1ccc 000T 1 = det IIIn 000 d ddT 1 IIIn+ AAA−1ccc dddT AAA−1ccc 0 00T 1 IIIn 000 −dddT 1 = det IIIn AAA−1ccc 000T 1 + dddTAAA−1ccc = 1 + dddTAAA−1ccc (2.44)
i¸slemleri yapıldı˘gında, (2.42b) ile verilen sonucun elde olundu˘gu görülür.1 Burada 000, N elemanlı sıfır sütun vektördür.
1(2.44)’de ; [8]’deki, (6.1.16) ile verilen
det A AA BBB 0 00 CCC = det(AAA) det(CCC)
Artık elde edilen bu sonuç, (2.41) ba˘gıntısında kullanılabilir. Bunun için, λ2MMMd+ KKKd= AAA, ccc= σ uuu1, uuuT1 = dddT (2.45) uyarlamaları ile (2.41), det(λ2MMMd+ KKKd) 1 + σ uuuT1λ2MMMd+ KKKd −1 uuu1 = 0 (2.46)
tarzında yazılabilir. Ula¸sılan bu e¸sitlik,
det(λ2MMMd+ KKKd) = N
∏
i=1 (λ2Mi+ Ki) , (2.47a) 1 + σ uuuT1 λ2MMMd+ KKKd −1 u uu1= 1 + σ N∑
i=1 u2i(x1) λ2Mi+ Ki (2.47b) ¸seklinde toplam-çarpım formülleri kullanılarak düzenlenecek olursa, (2.41)N
∏
i=1 (λ2Mi+ Ki) 1 + σ N∑
i=1 u2i(x1) λ2Mi+ Ki ! = 0 (2.48)ba˘gıntısına dönü¸sür. Burada, kö¸segen matrisler olan MMMdve KKKd’nin i. elemanlarının Mi
ve Kiolarak gösterilmi¸s oldu˘guna i¸saret edelim.
Yapılan hesaplamalar ve düzenlemeler sonucunda elde olunan (2.48) ba˘gıntısı, kiri¸s ve üzerine bir ayrık eleman eklenmesiyle olu¸san bile¸sik sistem için yakla¸sık karakteristik denklemifadesidir. Bu e¸sitli˘gi sa˘glayan λ ’lar sistemin özde˘gerlerine kar¸sılık gelir. Son olarak da ¸sunu ifade edelim ki, ilgili elemanın eklendi˘gi x1 noktasının kiri¸sin
normal modlarının herhangi bir dü˘güm noktası ile çakı¸smaması durumunda λ2Mi+
Ki6= 0 olur. Bu durumda (2.48), 1 + σ N
∑
i=1 u2i(x1) λ2Mi+ Ki = 0 (2.49)2.2.2 Kiri¸s ve üzerine birden fazla ayrık eleman eklenmesiyle olu¸san bile¸sik sistem
Önceki kısımda elde edilen sonuçlar xi(i = 1, 2, ...S) noktalarında S tane ayrık eleman
ta¸sıyan, özel mesnetleme ¸sartlarını dikkate almadı˘gımız bir kiri¸s için basit bir ¸sekilde genelle¸stirilebilir. Daha genel olan bu durum için, (2.40)’ın
det λ2MMMd+ KKKd+ S
∑
i=1 σiuuuiuuuTi ! = 0 (2.50)tarzında yazılabilece˘gi açıktır.
Bölüm 2.2.1’de kiri¸s üzerinde yalnızca bir noktada ayrık eleman bulunması durumu ele alınarak karakteristik denklem ifadesi elde edilmi¸sti. Ayrık elemanın bir noktaya eklenmesi durumunda, yapılan matris dönü¸sümleri sonucunda 1 × 1 boyutundaki bir karakteristik determinant elde edilmi¸sti. S adet ayrık eleman eklenmesi durumunda ise S× S boyutundaki bir karakteristik determinantın elde edilece˘gi gösterilecektir. A
AA, XXX,YYY sırası ile N × N, N × S ve N × S boyutundaki matrisler olmak üzere, AAA+ XXXYYYT matris toplamının determinantı için
det(AAA+ XXXYYYT) = det(AAA) det(IIIs+YYYTAAA−1XXX) (2.51) yazılabilir [9].
Burada IIIs, S × S boyutundaki birim matristir ve tekrarlamak gerekirse,
X XXN×S= [xxx1, · · · , xxxS] , YYYN×S= [yyy1, · · · , yyyS] (2.52) olarak tanımlıdır. Di˘ger taraftan, XXXYYYT = S
∑
i=1 xxxiyyyTi (2.53) olarak yazılabilir.Ayrıca, (2.51)’deki matris çarpımı da, ¯ G GG:= YYYTAAA−1XXX =
yyyT1AAA−1xxx1 · · · yyyT1AAA−1xxxj · · · yyyT1AAA−1xxxs
..
. ... ...
yyyTi AAA−1xxx1 · · · yyyTi AAA−1xxxj · · · yyyTi AAA−1xxxs
..
. ... ...
yyyTsAAA−1xxx1 · · · yyyTsAAA−1xxxj · · · yyyTsAAA−1xxxs
(2.54) tarzında yazılabilir.
Yukarıdaki ifadeler yardımıyla, sonuç olarak (2.51) a¸sa˘gıdaki ¸sekle indirgenmi¸s olur : det AAA+ S
∑
i=1 xxxiyyyTi ! = det(AAA) det(IIIs+ ¯GGG) . (2.55)Burada ¯GGG; xxxi, yyyi sütun vektörleri ve AAA matrisinin tersi cinsinden, (2.54) denklemi ile
verilmi¸stir. Artık (2.55),
A
AA= λ2MMMd+ KKKd, xxxi= σiuuui, yyyTi = uuuTi (2.56)
uyarlamaları ile (2.51)’in bir sonucu olarak, det λ2MMMd+ KKKd+ S
∑
i=1 σiuuuiuuuTi ! = det λ2MMMd+ KKKd det(GGG) (2.57)¸seklinde ifade edilebilir. Burada GGG= IIIs+ ¯GGG’dir.
Bunlara ek olarak, S × S boyutundaki GGGmatrisi, (2.54)’ün yardımıyla, GGG= [gi j] = δi j+ uuuTi λ2MMMd+ KKKd −1 σjuuuj (i, j = 1, 2, . . . , S) (2.58) tarzında yazılabilir. Burada δi j Kronecker deltasıdır.
Toplam formulü ile de GGG’nin (i, j)’nci elemanı, yani gi j,
gi j= δi j+ σj N
∑
r=1 ur(xi)ur(xj) λ2Mr+ Kr (i, j = 1, 2, . . . , S) (2.59) olarak ifade edilebilir.Bile¸sik sistemin özde˘gerlerinin, ta¸sıyıcı kiri¸sin özde˘gerlerinden farklı olması durumunda, λ2MMMd+ KKKd6= 0 olaca˘gı açıktır. Bu durumda (2.57),
basit e¸sitli˘gine indirgenir.
Son olarak (2.60)’da e¸sitli˘gin sa˘g tarafının sıfır olması nedeniyle, determinant ifadesinin ilk sutünunun σ1’e, ikinci sütunun σ2’ye · · · ve son olarak S. sütunun σS’e
bölünmesi durumunda da bu e¸sitlik geçerlili˘gini korur. Yani,
det([g0i j]) = 0 (2.61)
e¸sitli˘gine ula¸sılır. Burada, bi j= g0i j = 1 σj δi j+ N
∑
r=1 ur(xi)ur(xj) λ2Mr+ Kr (i, j = 1, 2, . . . , S) (2.62) ¸seklindedir.Yapılan hesaplamalar neticesinde, S noktasında S adet ayrık eleman ta¸sıyan kiri¸s için yakla¸sık karakteristik denklemnihayet,
det(BBB) = 0 (2.63)
¸seklinde elde edilmi¸s olur.
2.3 Özde˘ger Hassasiyetinin Elde Edilmesi
Özde˘ger hassasiyeti, eklenen ayrık elemanların fiziksel parameterelerine ve eklenmi¸s oldukları konuma göre sistemin özde˘gerlerinin kısmˆı türevlerinin alınması yoluyla hesaplanır. Bunu hesaplamaktaki amaç, ayrık elemanların fiziksel parametereleri ve eklenmi¸s oldukları konumlarda küçük de˘gi¸simlerin olması durumunda, yeni bir analize gerek duymaksızın de˘gi¸sen özde˘gerleri yakla¸sık olarak hesaplamaktır.
Yapılacak hesaplamalar için bir "g" fonksiyonu tanımlanacaktır. g’nin sıfıra e¸sitlenmesi durumunda karakteristik denklemin elde olunaca˘gına dikkat çekelim. Bu fonksiyonun, önceki bölümde elde olunan karakteristik denklemlerden yola çıkılarak, kapalı bir fonksiyon oldu˘gunu biliyoruz. σ ’nın ise Çizelge 2.1’de görüldü˘gü gibi sistem parametrelerine ba˘glı oldu˘gu açıktır.
σ matematiksel olarak,
σ = σ (α1, α2, . . . , αs) (2.64)
¸seklinde ifade edilebilir. Burada αi(i = 1, 2, . . . , S), ayrık elemanın i. fiziksel
Karakteristik denklem, dolayısı ile "g" elde edildi˘ginde, özde˘ger hassasiyetlerini hesaplamak için "Kapalı Fonksiyonlar Teoremi",
∂ λ ∂ αi = −∂ g/∂ αi ∂ g/∂ λ , (i = 1, 2, · · · , p) (2.65) ∂ λ ∂ xi = −∂ g/∂ xi ∂ g/∂ λ (i = 1, 2, · · · , q) (2.66) ifadelerinde bulunan gerekli kısmi türevlerin hesaplanması yoluyla uygulanacaktır. Burada xi (i = 1, 2, · · · , q) ayrık elemanların kiri¸se eklenmi¸s oldu˘gu konumu belirtir.
(2.65) ve (2.66) denklemlerinin, ∂ g/∂ λ 6= 0 olması durumunda kullanılabilece˘gi açıktır.2
λi(i = 1, 2, · · · , N) özde˘gerleri ise,
λi= λi(α1, . . . , αp; x1, . . . , xq) (2.67)
¸seklinde, ayrık elemanın fiziksel parametrelerine ve kiri¸se eklenmi¸s oldu˘gu konuma ba˘glıdır.
Ayrık elemanın fiziksel parametreleri ve eklenmi¸s oldukları konumlarda küçük de˘gi¸simlerin olması durumunda sistemin yeni özde˘gerlerinin yakla¸sık de˘gerleri, (2.67)’de genel ifadesi verilen λi’nin Taylor serisine açılıp, lineer kısmının alınmasıyla,
yani λi≈ λi0+ ∂ λi ∂ α1 0 4 α1+ · · · + ∂ λi ∂ αp 0 4 αp + ∂ λi ∂ x1 0 4 x1+ · · · + ∂ λi ∂ xq 0 4 xq (2.68)
ba˘gıntısı ile hesaplanacaktır. Burada λi0hesaplanan özde˘geri, λiise ayrık elemanların
fiziksel parametreleri ve eklenmi¸s olduklarda konumlarda küçük de˘gi¸simlerin meydana gelmesi durumunda, yakla¸sık olarak elde edilen yeni özde˘geri belirtir.
2.4 Sayısal Hesaplamalar
A¸sa˘gıda, (2.49) ve (2.63)’deki yakla¸sık karakteristik denklemlerden, çe¸sitli mesnetleme durumları için özde˘gerler ve özde˘ger hassasiyetleri hesaplamaları
yapılacaktır.3 Yapılacak olan "yakla¸sık" hesaplamalarda sonlu seri ifadesindeki terim sayısı N = 20 olarak alınacaktır.
Yakla¸sık karakteristik denklem, Çizelge 2.1’den ilgili σ ve uuuiifadelerinin alınması ve sonrasında (2.49) ve (2.63)’te yerlerine konulması ile elde edilecektir. Ta¸sıyıcı kiri¸sin özfonksiyonları, ortonormal fonksiyonlar olması durumunda ise,
Mi= 1 , Ki= ωhi2 (i = 1, 2, . . . , N) (2.69) ifadelerine eri¸silir.4 Burada ωhi, ta¸sıyıcı kiri¸sin i. özfrekansıdır.
Bu durum için (2.49) ve (2.62) ifadeleri,
1 + σ N
∑
i=1 u2i(x1) λ2+ ωhi2 = 0 , (2.70a) bi j= 1 σj δi j+ N∑
r=1 ur(xi)ur(xj) λ2+ ωhr2 (i, j = 1, 2, . . . , S) (2.70b) ¸seklini alır.Kesin karakteristik denklemin elde edilmesi neticesinde yapılacak özde˘ger hassasiyeti hesaplamalarında (2.65) ve (2.66) e¸sitlikleri kullanılarak özde˘ger hassasiyetleri elde edilecektir. Yakla¸sık olarak bulunan (2.70a) ifadesi aracılı˘gıyla yapılacak hesaplamalarda ise, kapalı fonksiyonlar kuramını kullanmamız için gerekli kısmi türev ifadelerini, bir tablo ile vermek uygundur. Bu tablo olu¸sturulurken yapılan hesaplamalardan ikisi a¸sa˘gıda verilmi¸stir. Geri kalanları da benzer bir ¸sekilde elde edilerek Çizelge 2.2’ye eklenmi¸stir.
• α = M , σ = Mλ2 ve g = 1 + σ N
∑
i=1 φi2(xa) λ2+ ωhi2 : ∂ g ∂ λ = 2Mλ N∑
i=1 φi2(xa) λ2+ ωhi2 − 2Mλ 3 N∑
i=1 φi2(xa) (λ2+ ω2 hi)2 . Paydalar e¸sitlenirse: ∂ g ∂ λ = 2mλ N∑
i=1 ωhi2φi2(xa) (λ2+ ω2 hi)2 , olarak bulunur.3Yapılan tüm hesaplamalara ili¸skin MATLAB ve Mathematica kodları ekte verilmi¸stir. 4Bkz. Bölüm 2.1 denklem (2.10) ve Ek A.2 denklem (A.30).
Çizelge 2.2: g’nin ayrık elemanın fiziksel parametrelerine ve kiri¸se eklenmi¸s oldu˘gu konuma göre kısmˆı türevleri.
α ∂ g/∂ λ ∂ g/∂ α ∂ g/∂ xa M 2Mλ N
∑
i=1 ωhi2φi2(xa) (λ2+ ω2 hi)2 λ2 N∑
i=1 φi2(xa) λ2+ ωhi2 2Mλ 2 N∑
i=1 φi(xa)φi0(xa) λ2+ ωhi2 J 2Jλ N∑
i=1 ωhi2φi02(xa) (λ2+ ω2 hi)2 λ2 N∑
i=1 φi02(xa) λ2+ ωhi2 2Jλ 2 N∑
i=1 φi0(xa)φi00(xa) λ2+ ωhi2 c c N∑
i=1 (ωhi2− λ2)φ i2(xa) (λ2+ ω2 hi)2 λ N∑
i=1 φi2(xa) λ2+ ωhi2 2cλ N∑
i=1 φi(xa)φi0(xa) λ2+ ωhi2 cb cb N∑
i=1 (ω2 hi− λ2)φi 02(x a) (λ2+ ω2 hi)2 λ N∑
i=1 φi02(xa) λ2+ ωhi2 2cbλ N∑
i=1 φi0(xa)φi00(xa) λ2+ ωhi2 k −2kλ N∑
i=1 φi2(xa) (λ2+ ω2 hi)2 N∑
i=1 φi2(xa) λ2+ ωhi2 2k N∑
i=1 φi(xa)φi0(xa) λ2+ ωhi2 kb −2kbλ N∑
i=1 φi02(xa) (λ2+ ω2 hi)2 N∑
i=1 φi02(xa) λ2+ ωhi2 2kb N∑
i=1 φi0(xa)φi00(xa) λ2+ ωhi2 • α = c , σ = cλ ve g = 1 + σ N∑
i=1 φi2(xa) λ2+ ωhi2 : ∂ g ∂ λ = c N∑
i=1 φi2(xa) λ2+ ωhi2 − 2cλ 2 N∑
i=1 φi2(xa) (λ2+ ω2 hi)2 . Paydalar e¸sitlenirse: ∂ g ∂ λ = c N∑
i=1 (ωhi2− λ2)φ2 i (xa) (λ2+ ω2 hi)2 , elde edilir.Elde edilmesinin mümkün oldu˘gu durumlarda, kesin karakteristik denklemin bulunması ile yakla¸sık hesaplamalar neticesinde ortaya çıkan % hata hesaplanabilir. Bunun için,
% Hata = |kesin de˘ger − yakla¸sık de˘ger|/|kesin de˘ger| × 100 % (2.71) ba˘gıntısı kullanılacaktır.
A¸sa˘gıda yapılacak olan sayısal hesaplamalarda, kesin karakteristik denklemler "Sınır De˘ger Problemi Metodu" ile elde edilecektir. Yakla¸sık karakteristik denklemlerin eldesinde ise, (2.70a) ve (2.70b) ba˘gıntıları kullanılacaktır.
Karakteristik denklemlerin köklerinin hesaplanması için MATLAB’de bir program yazıldı. Bulunan kökler her ne kadar matematik yönden bakıldı˘gında, mekanik sistemin özde˘gerleri iseler de, sistemde sönümün bulunması durumunda "özde˘ger" ifadesi, sönümsüz sistemlerde ise "özfrekans" deyiminin kullanılması tercih edilecek-tir.
Son olarak, özde˘ger (frekans) hassasiyetlerinin eldesinde, Mathematica programın-dan faydalanılmı¸stır. Yapılan sayısal hesaplamalara ili¸skin kodlar ekte verilmi¸stir.
2.4.1 Üzerine tekil bir noktasal kütle eklenen basit mesnetli kiri¸s
¸Sekil 2.2’de, üzerinde noktasal bir M kütlesi ta¸sıyan, uzunlu˘gu L olan, basit mesnetli üniform bir kiri¸s görülmektedir.
¸Sekil 2.2: Üzerine ayrık kütle eklenen basit mesnetli kiri¸s (M = 0.5ρL, xa= 0.3L).
E˘gilme titre¸simleri yapan bir Bernoulli-Euler kiri¸sin hareket denklemi, EI∂ 4w(x,t) ∂ x4 + ρ ∂2w(x,t) ∂ t2 = 0 , 0 < x < L (2.72) ¸seklindedir.5
Kiri¸sin üzerindeki bir xa noktasında bulunan ayrık M kütlesinin solunda ve sa˘gında
kalan kiri¸s parçaları sırası ile 1 ve 2 alt indisi ile numaralandırılacaktır. Kiri¸si bu ¸sekilde iki parçaya ayırarak incelememiz durumunda da (2.72) geçerlili˘gini korur, yani bu denklem, her iki bölge için de geçerlidir. Kütlenin sol ve sa˘gındaki bölgelerdeki e˘gilme yerde˘gi¸stirmelerini w1(x,t), w2(x,t) ile gösterelim.
1. parça için ilk iki sınır ko¸sulu,
w1(0,t) = 0 , w100(0,t) = 0 (2.73)
¸seklinde yazılabilir.
2. parça için de benzer sınır ko¸sulları yazılabilir :
w1(L,t) = 0 , w100(L,t) = 0 . (2.74)
1. ve 2. kiri¸s parçasının, xa noktasındaki sa˘glaması gereken e¸sle¸sme di˘ger deyimle,
geçi¸s ¸sartı sayısı dörttür. Bunlar a¸sa˘gıdaki gibidirler :
w1(xa,t) = w2(xa,t), w10(xa,t) = w20(xa,t)
w100(xa,t) = w200(xa,t) , EIw1000(xa,t) − EIw2000(xa,t) = −M ¨w1(xa,t) .
(2.75)
Burada (0= ∂ /∂ x) ve (ˆ .= ∂ /∂ t)’dir.ˆ
Yukarıda (2.72) ile verilen e¸sitlik kiri¸sin hareketinin diferansiyel denklemidir. (2.73), (2.74), (2.75) ise sınır ve e¸sle¸sme ¸sartlarını temsil etmektedir. Hepsi bir arada, bir Sınır De˘ger Probleminiolu¸sturmaktadır.
Basit mesnetli kiri¸s için sınır de˘ger problemi elde edilmi¸s oldu. Artık bu sonuçlardan yararlanarak ¸Sekil 2.2’deki bile¸sik sistem için kesin frekans denkleminin elde edilmesine geçebiliriz.
Her iki bölgede de harmonik çözüm kabulü,
wi(x,t) = Yi(x)cos(ωt) (i = 1, 2) (2.76) ¸seklinde yapılırsa, (2.72) d4Yi(x) dx4 − β 4Y i(x) = 0 , β4= ω2ρ EI (i = 1, 2) (2.77)
ifadesine dönü¸sür. Burada Yi(x) genlik fonksiyonu, ω ise bile¸sik sistemin henüz
bilinmeyen bir özfrekansıdır.
Dördüncü mertebeden, sabit katsayılı, adi, homojen bir diferansiyel denklem olan (2.77)’nin genel çözümlerinin,
Y1(x) = sin(β x)C1+ cos(β x)C2+ sinh(β x)C3+ cosh(β x)C4, (2.78a)
Y2(x) = sin(β x)C5+ cos(β x)C6+ sinh(β x)C7+ cosh(β x)C8 (2.78b)
tarzında oldu˘gu bilinmektedir. Burada Ci (i = 1, 2, . . . , 8), sınır ve e¸sle¸sme ko¸sulları
(2.77) hareket denkleminin çözümü olan (2.78a) ve (2.78b)’nin sa˘glaması gereken sınır ve uygunluk ¸sartları, Y1(0) = 0 , Y100(0) = 0 , Y2(L) = 0 , Y200(L) = 0 , Y1(xa) = Y2(xa) , Y10(xa) = Y20(xa) , Y100(xa) = Y200(xa) , EIY1000(xa) − EIY2000(xa) = −Mω2Y1(xa) (2.79) ¸seklini alır.
(2.78a) ve (2.78b) genel çözüm ifadelerinde, (2.79) sınır ve uygunluk ko¸sulları hesaba katılıp, gerekli düzenlemelerin yapılması durumunda, altı bilinmeyenli altı adet homojen denkleme eri¸silir. Adi çözümler bir kenara bırakılırsa, bu homojen denklem takımından Ci(i = 1, 2, . . . , 8) katsayılarının bulunabilmesi için, katsayılar determinantı
sıfıra e¸sitlenir ve buradan kesin frekans denklemi olarak,
0 0 cos( ¯β ) sin( ¯β L) cosh( ¯β ) sinh( ¯β )
0 0 − cos( ¯β ) − sin( ¯β ) cosh( ¯β ) sinh( ¯β ) − sin(β xa) − sinh(β xa) cos(β xa) sin(β xa) cosh(β xa) sinh(β xa)
− cos(β xa) − cosh(β xa) − sin(β xa) cos(β xa) sinh(β xa) cosh(β xa)
sin(β xa) − sinh(β xa) − cos(β xa) − sin(β xa) cosh(β xa) sinh(β xa)
α1 α2 sin(β xa) − cos(β xa) sinh(β xa) cosh(β xa) = 0 (2.80)
ifadesi elde edilir. Burada
α1= − ¯M ¯β sin(β xa) + cos(β xa) , α2= − ¯M ¯β sinh(β xa) − cosh(β xa) (2.81) ve ¯ β = β L , M¯ = M/(ρL) (2.82) kısaltmaları kullanılmı¸stır.
Kesin frekans hassasiyetlerinin sayısal olarak hesaplanabilmesi için, öncelikle (2.80)’den, sistemin kesin özfrekansları bulunmalıdır. ˙Ilk be¸s boyutsuz özfrekans MATLABprogramında sayısal olarak hesaplanarak Çizelge 2.3’te verilmi¸stir.
Sonrasında, frekans denkleminin ayrık elemanın fiziksel parametresi ve kiri¸se eklenmi¸s oldu˘gu konuma (M, xa) göre kesin frekans hassasiyetleri ,
∂ λ ∂ M = − ∂ g/∂ M ∂ g/∂ λ , ∂ λ ∂ xa = −∂ g/∂ xa ∂ g/∂ λ (2.83)
Çizelge 2.3: Üzerine noktasal kütle eklenen basit mesnetli kiri¸s için boyutsuz ilk be¸s do˘gal frekans (Do˘gal frekanslar
q
EI/(ρL4)’e bölünerek boyutsuz hale
getirilmi¸stir.), M = 0.5ρL, xa= 0.3L. Kesin Denklem (2.80) Yakla¸sık Denklem (2.84) % Hata ω1 7.6139 7.6140 2.54 × 10−4 ω2 31.7977 31.7984 2.19 × 10−3 ω3 87.1404 87.1414 1.22 × 10−3 ω4 146.1107 146.1321 1.46 × 10−2 ω5 213.7299 213.8059 3.56 × 10−2
ba˘gıntılarında görülen gerekli kısmi türevlerin alınmasıyla hesaplanır. Burada g fonksiyonu, (2.80) e¸sitli˘ginin sol kısmıdır.
Sistemin yakla¸sık frekans denklemi, (2.70a)’dan yazılabilir. Bu e¸sitlikteki σ ifadesi, kiri¸s üzerine eklenen noktasal kütleden dolayı Çizelge 2.1’den σ = Mλ2 olarak alınır. Sönümsüz sistemler için λ = jω olması gerekti˘gi dü¸sünülerse, yakla¸sık frekans denklemi a¸sa˘gıdaki gibi elde olunur :
1 − Mω2 N
∑
i=1 φi(xa)2 ωhi2 − ω2 = 0 . (2.84)Burada ωhi(i = 1, 2, · · · , N) ta¸sıyıcı kiri¸sin özfrekansıdır.
Ta¸sıyıcı kiri¸sin ρ’ya göre normalize edilmi¸s φi(x)(i = 1, 2, · · · , N) özfonksiyonları ise,
φi(x) = s 2 ρ Lsin iπx L (i = 1, 2, · · · N) (2.85) ¸seklindedir.6
Yakla¸sık frekans hassasiyeti hesaplamalarında, α = M ve xaiçin Çizelge 2.2’den ilgili
kısmi türevler alınır. Daha sonra, bu ifadelerin (2.65) ve (2.66) ba˘gıntılarında yerlerine konulmasıyla, ∂ ω ∂ M = − ∂ g/∂ M ∂ g/∂ ω = − ω N
∑
i=1 φi2(xa) ωhi2− ω2 ! , 2M N∑
i=1 ωhi2φi2(xa) (ω2 hi− ω2)2 ! , ∂ ω ∂ xa = −∂ g/∂ xa ∂ g/∂ ω = − ω N∑
i=1 φi(xa)φi0(xa) ωhi2− ω2 ! , N∑
i=1 ωhi2φi2(xa) (ωhi2− ω2)2 ! (2.86)Çizelge 2.4: Çizelge 2.3’te verilen ilk 5 özfrekans için boyutsuz frekans hassasiyetleri. Kesin De˘gerler (2.83) Yakla¸sık De˘gerler (2.86) % Hata ∂ ω1 ∂ M . s EI ρ3L6 -3.1519 -3.1519 1.22 × 10 −3 ∂ ω2 ∂ M . s EI ρ3L6 -6.5019 -6.5028 1.34 × 10 −2 ∂ ω3 ∂ M . s EI ρ3L6 -1.3238 -1.3254 1.23 × 10 −1 ∂ ω4 ∂ M . s EI ρ3L6 -9.4021 -9.4310 3.06 × 10 −1 ∂ ω5 ∂ M . s EI ρ3L6 -15.6526 -15.7033 3.23 × 10 −1 ∂ ω1 ∂ xa . s EI ρ L6 -6.6688 -6.6686 1.92 × 10 −3 ∂ ω2 ∂ xa . s EI ρ L6 34.2008 34.2038 8.66 × 10 −3 ∂ ω3 ∂ xa . s EI ρ L6 89.8623 89.8204 4.66 × 10 −2 ∂ ω4 ∂ xa . s EI ρ L6 -370.9760 -370.3620 1.66 × 10 −1 ∂ ω5 ∂ xa . s EI ρ L6 199.7930 199.5640 1.15 × 10 −1 ifadelerine eri¸silir.
˙Ilk be¸s özfrekans için kesin frekans hassasiyeti hesaplamaları, (2.80) e¸sitli˘ginin sol tarafı g fonksiyonu olarak alınmasıyla (2.83) denkleminden hesaplanmı¸stır.
Yakla¸sık frekans hassasiyeti hesaplamaları ise (2.86) kullanılarak yapılmı¸stır ve sayısal sonuçlar Çizelge 2.4 ile verilmi¸stir.
2.4.2 Üzerine, Maxwell modeline uyan bir viskoleastik katı eklenen basit mesnetli kiri¸s
Önceki bölümde oldu˘gu gibi, ilk olarak kesin ve yakla¸sık karakteristik denklemler elde edilecektir. ¸Sekil 2.3’te görülen bile¸sik sistemin hareket denklemi, (2.72) ile aynıdır. Farklılık, viskoelastik katıdan dolayı e¸sle¸sme ko¸sullarından kaynaklanacaktır.
E˘gilme tire¸simleri yapan kiri¸sin hareket denklemi, EI∂
4w(x,t)
∂ x4 + ρ
∂2w(x,t)
¸Sekil 2.3: Üzerine Maxwell modeline uyan bir viskoelastik katı eklenen basit mesnetli kiri¸s ( k = 20EI/L3, c =pEIρ/L2ve x
a= 0.31L).
¸seklinde dördüncü mertebeden, sabit katsayılı, kısmˆı türevli diferansiyel denklem idi. Burada w(x,t) herhangi bir t anında kiri¸sin bir x kesitinin dü¸sey yerde˘gi¸stirmesidir. Viskoelastik katının bulundu˘gu yerin solunda ve sa˘gında kalan kiri¸s parçalarının e˘gilme yerde˘gi¸stirmeleri, sırasıyla w1(x,t) ve w2(x,t) ¸seklinde ele alınarak çözüme
gidilecektir.
Bu ba˘glamda, 1. parça için sol sınırdaki sınır ¸sartları,
w1(0,t) = 0 , w100(0,t) = 0 (2.88) ¸seklindedir.
2. parça için benzer ¸sekilde, sa˘g sınırdaki sınır ¸sartları,
w2(L,t) = 0 , w200(L,t) = 0 (2.89) olarak yazılabilir.
x= xa noktasında sa˘glanması gereken e¸sle¸sme ¸sartlarının sayısı dörttür. Bunların ilk
üçü a¸sa˘gıdaki gibidirler :
w1(xa,t) = w2(xa,t), w10(xa,t) = w20(xa,t), w100(xa,t) = w200(xa,t) . (2.90)
Son e¸sle¸sme ¸sartı ise,
k[w(xa,t) − z(t)] = c˙z(t) , (2.91a)
EIw1000(xa,t) − EIw2000(xa,t) = k[w1(xa,t) − z(t)] (2.91b)
De˘gi¸skenlerine ayırma yöntemine dayanarak, üstel çözüm kabulü, wi(x,t) = Yi(x)eλ t, z(t) = Zeλ t (i = 1, 2) (2.92) ¸seklinde yapılırsa, (2.87) d4Yi(x) dx4 − β 4Y i(x) = 0, β4= ω2ρ EI (i = 1, 2) (2.93)
denklemine; (2.88), (2.89), (2.90) ile verilen sınır ve e¸sle¸sme ko¸sulları ise, Y1(0) = 0 , Y100(0) = 0 , Y2(L) = 0 , Y200(L) = 0 , Y1(xa) = Y2(xa) , Y10(xa) = Y20(xa) , Y100(xa) = Y200(xa)
(2.94)
ifadelerine dönü¸sür.
Son olarak (2.91a) ve (2.91b) ise,
k[Y1(xa) − Z] = cλ Z , (2.95a)
EIY1000(xa) − EIY2000(xa) = k [Y1(xa) − Z] (2.95b)
¸sekillerini alır.
¸Simdi, (2.95a)’dan Z çekilir ve (2.95b)’de yerine konulursa, EIY1000(xa) − EIY2000(xa) −
kcλ
k+ cλY1(xa) = 0 (2.96) olarak, son uygunluk ¸sartı da elde edilmi¸s olur.
Uygunluk ¸sartları elde oldu˘guna göre kesin karakteristik denklemin hesaplanmasına geçebiliriz.
Bir önceki bölüme paralel olarak dördüncü mertebeden, sabit katsayılı, adi bir diferansiyel denklem olan (2.93)’ün genel çözümleri,
Y1(x) = sin(β x)C1+ cos(β x)C2+ sinh(β x)C3+ cosh(β x)C4, (2.97a)
Y2(x) = sin(β x)C5+ cos(β x)C6+ sinh(β x)C7+ cosh(β x)C8 (2.97b)
¸seklindedir.
Ci (i = 1, 2, . . . , 8) katsayılarının belirlenebilmesi için sınır ve uygunluk ko¸sulları kullanılmalıdır. Bu amaçla yapılan i¸slemler sonucunda altı bilinmeyenli altı homojen
